vectores - fisica-mecanica.wikispaces.comvectores.pdf · en resumen • la suma de dos o más...

102 | Unidad 3

Vectores

Analicemos...

Como ya lo mencionamos, en el desarrollo de la prueba olmpicadel lanzamiento del martillo se manifiestan diversas fuerzas.

Observa el dibujo donde se ha representado la fuerza centrpetay la velocidad tangencial que interviene en la velocidad finaldel martillo.

Una forma de observar cules son las fuerzas de que depende lavelocidad final del martillo, es utilizar un diagrama en el que serepresenta la fuerza que acta sobre l y su velocidad tangencialmediante flechas, lo que permite visualizar cul es la fuerza resul-tante y cmo afecta, en este caso, a su velocidad de lanzamiento.

Cuando se representa una fuerza, no basta con sealar su magnitud.Una fuerza tiene tambin direccin, ya que cuando se aplica en di-recciones diferentes provocar distintos efectos. Es as como todafuerza se puede representar sobre un diagrama utilizando flechas.La direccin de la flecha ser la direccin en que se ejerce la fuerzay su longitud debe ser proporcional a la magnitud de esta.

La fuerza, tal como la velocidad y el desplazamiento, es un vector.

Un vector se caracteriza por su:

mdulo: es el valor numrico de la magnitud vectorial. Se repre-senta grficamente por la longitud de la flecha.

direccin: est dada por la orientacin en el plano o en el espaciode la recta que lo contiene.

sentido: se muestra mediante una punta de flecha situada en elextremo del vector, indicando hacia qu lado de la lnea de accinse dirige el vector.

El vector se representa por un segmento orientado con origen enA y extremo en B, se representa por el smbolo AB

. La distancia

entre A y B representa grficamente el mdulo del vector AB

.

Se puede decir que dos fuerzas son iguales, si las flechas quelas representan tienen igual longitud?, por qu?

Se pueden aplicar dos fuerzas distintas, de modo que la fuerzaresultante sea nula? Justifica.

De qu depende la longitud de la flecha, en cada caso?, y sudireccin? Explica.

Glosariovector: toda magnitud en la que,adems de la cantidad, hay queconsiderar la direccin y el sentido.

A

AB

B

UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetacin 1 13-07-11 9:25 Pgina 102

Vectores | 103

Un

idad

3Dos segmentos orientados representan al mismo vector si son para-lelos, tienen el mismo sentido y la misma magnitud o mdulo sinimportar dnde est ubicado su origen. Si alguna de estas condi-ciones no se cumple, se dice que son distintos.

Se dice que dos vectores son opuestos si tienen igual mdulo y di-reccin, pero sentido contrario.

En resumen

Un vector es un objeto matemtico caracterizable mediante una magnitud o mdulo, una direccin y un sentido.

Dos vectores son iguales solo si son, a la vez, paralelos, con igual sentido y con la misma magnitud o mdulo.

El vector 0

corresponde a un vector, pero de magnitud 0, y sin direccin ni sentido.

1. Determina si los siguientes vectores son iguales, opuestos o distintos, en cada caso. Justifica.

a. b. c.

2. La figura ABCDEF es un hexgono regular. Determina:

a. dos parejas de vectores con igual sentido, direccin y mdulo.b. Una pareja de vectores de distinta direccin pero con igual mdulo.c. Una pareja de vectores con distinto mdulo pero con igual direccin.

3. Determina cules de los siguientes vectores tienen igual mdulo, en cada caso. Justifica.

a. b.

Actividades

B

C

DE

F

A


104 | Unidad 3

Operatoria con vectores

Analicemos...

Observa el siguiente mapa y sigue las trayectorias que han hechoPablo y Andrea, desde la Plaza de la Independencia. Pablo caminpor Anbal Pinto hasta Chacabuco, y dobl hacia su derecha hastaColo-Colo. Andrea se fue por OHiggins hasta llegar a Tucapel.

Al igual que la fuerza, el desplazamiento es un vector, ya que es ladiferencia entre una posicin inicial y una posicin final; luego tienemagnitud y tambin direccin y sentido. En cambio, la trayectoriatiene magnitud, pero no direccin. Para sumar dos o ms trayecto-rias, basta sumar sus magnitudes. Pero, para sumar desplazamientos,su suma depende de la direccin de los desplazamientos. Observa.

Una forma de calcular el vector suma s = a + b es dibujar uno deellos, por ejemplo a, y luego representar el vector b colocando elorigen de b en el extremo de a. El vector resultante tiene su ori-gen en el origen de a y su extremo, en el extremo de b.

Otra forma de realizar la suma de a y b es dibujar dos representantesde ambos vectores con un mismo origen, O, y completar el paralelo-gramo. El vector suma a + b es la diagonal de origen O de dicho para-lelogramo. Observa que para realizar la suma de b + a, el parale-logramo correspondiente es el mismo; luego su vector suma tambin.

Quin recorri ms?, por qu? Ahora, dibuja una flecha que indique el desplazamiento de cada

uno. Quin se desplaz ms? Justifica. Ms tarde, Pablo y Andrea se reunieron en la Plaza Per. Cmo

se representa el desplazamiento de cada uno?, cul es su des-plazamiento total, en cada caso?

O Higgin

sPlaza de la

Independencia

Plaza Per

Chacabu

co

Anbal Pinto

Tucapel

Colo-Colo

Una diagonal de un paralelogramoes la recta que pasa por dos vrtices opuestos.

Recuerda que...

Glosariotrayectoria: lnea descrita en el planoo en el espacio por un cuerpo quese mueve.desplazamiento: cambio de la posi-cin de un cuerpo.

a b

a

a

a

s = a + b

a + b

b

b

b

0


En resumen

La suma de dos o ms vectores es un vector. La adicin de vectores es asociativa, conmutativa,tiene un elemento neutro y elemento inverso para cada vector.

La resta de vectores, a b , consiste en sumar a ael vector opuesto de b.

Para representar la suma o resta de vectores, se pueden utilizar las diagonales de un paralelogramo como representacin de ellas.

Vectores | 105

Un

idad

3La adicin de vectores cumple las siguientes propiedades:

Conmutativa: a + b = b + a. Asociativa: a + ( b + c

) = ( a + b ) + c

.

Elemento neutro: a + 0

= 0

+ a = a. El mdulo del vector resultante es menor o igual que la suma de

los mdulos de los vectores. Es igual solo cuando los sumandostienen la misma direccin y el mismo sentido.

Dado un vector a, existe un vector opuesto a, de igual mduloy direccin, pero sentido contrario, de forma que al sumarlos seobtiene el vector 0

o nulo. Esto es, a + (a) = 0

.

Al igual que en el caso de los nmeros, la sustraccin de vectores esla operacin inversa de la adicin de vectores. Restar dos vectoresconsiste en sumarle al primero el vector opuesto del segundo:w v = w + v.

Grficamente, si se emplea el mtodo del paralelogramo para la sus-traccin, la diagonal del paralelogramo obtenido que une los pun-tos extremos de los vectores representa la resta de los dos vectores.

1. Resuelve los siguientes problemas.

a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero parte desde 0, representa grficamente elvector desplazamiento de su punta despus de quince minutos, media hora, tres cuartos dehora y despus de una hora.

b. Dos vectores de desplazamiento centrados en el origen tienen mdulos iguales a 6 m y 8 m. Cul debe ser la direccin y sentido de cada uno de estos vectores para que la resultante tenga un mdulo igual a 14 m, 2 m y 6 m? Representa grficamente cada uno de los casos pedidos.

Actividades

w v

w vv + w

El resultado de la adicin y lasustraccin de vectores es siem-pre un vector.

La representacin de la diagonal,como a b o b a, dependerdel punto de aplicacin del vectory de su extremo.

Pon atencin


106 | Unidad 3

Vectores en el plano cartesiano

Analicemos...

Recuerda que en cursos anteriores conociste el plano cartesiano, quepermite representar la ubicacin de puntos en el plano mediantesus coordenadas. Observa ahora la siguiente figura, en la que elorigen y extremo de un vector a en el plano cartesiano correspon-den a los puntos P(2, 3) y Q(12, 9), respectivamente.

Cuando el punto de aplicacin de un vector est en el origen de unsistema de coordenadas, su extremo coincidir con un punto delplano y se representa utilizando este punto, por ejemplo v = x, y.

En este caso se puede determinar su mdulo utilizando el teorema

de Pitgoras. Entonces || v ||2 = x 2 + y 2, o bien || v || = .

Por otra parte, cuando el origen del vector no coincide con el origendel sistema de coordenadas, se puede calcular la diferencia, com-ponente a componente, entre el extremo y el origen del vectorpara obtener la representacin cartesiana del vector.

Es decir, si v tiene su origen en el punto P2(x2, y2) y su extremo enel punto P1(x1, y1), se puede calcular v

= x1 x2, y1 y2. Por ejem-plo, si el origen de a corresponde al punto (5, 2) y su extremoal punto (7, 3), entonces a = 7 (5), 3 2 = 12, 1.

Y para determinar su mdulo, se puede calcular la distancia entreel origen y el extremo delvector. Observa. Dado queel punto E tiene coorde-nadas (x1, y2), la medida delos lados estara dada por: P2E = (x1 x2) y EP1 = (y1 y2).

x y2 2+

Si a se trasladara de modo que su origen se situara en (0, 0),en qu punto se ubicara su extremo?

Cmo se representa con nmeros el vector a?, por qu? Cmo se puede calcular el mdulo de a? Explica. En general, cmo se representa un vector, si se conocen las

coordenadas de su origen y su extremo? Justifica.

Existen diversas formas de re-presentar analticamente un vec-tor, en este Texto utilizaremos lanotacin x, y.

Se utiliza || v || para simbolizarel mdulo de v.

Pon atencin

Teorema de Pitgoras: la suma delos cuadrados de las medidas de loscatetos es igual al cuadrado de lamedida de la hipotenusa.

Recuerda que...

9

3

2 12

Y

P

O

Y

B

O

D E

AC

P2(x2, y2)

P1(x1, y1)

X

x

y

Q

X

Y

X

a

v


Vectores | 107

Un

idad

3

P P x x y y1 2 1 22

1 22= ( ) + ( ) Glosario

forma analtica: se dice de los vec-tores cuando estn representadosutilizando sus coordenadas carte-sianas, para distinguirlos de su repre-sentacin geomtrica.

Un vector OP

que va desde el origen del plano cartesiano alpunto P, se denomina vector posicin de P y se representa porp. Las componentes de p coinciden con las coordenadas delpunto P (px , py), dado que p

= px 0, py 0 = px , py.

Si el origen y extremo de un vector a en el plano cartesianocorresponden a los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), respectivamente,entonces la forma analtica de ese vector est determinada por:a = PQ

= x2 x1, y2 y1.

El mdulo de un vector, que corresponde a su longitud o tamao, se puede calcular mediante

la expresin: || v || = , si v = x, y.x y2 2+

En resumen

Aplicando el teorema de Pitgoras, se obtiene que

||P1P2||2 = (x1 x2)2 + (y1 y2)2, de donde

La adicin de vectores en forma analtica se efecta a travs de suscoordenadas cartesianas, sumando componente a componente.Por ejemplo, al sumar los vectores a = 2, 3 y b = 1, 2, el vectorresultante es: 2, 3 + 1, 2 = 2 + 1, 3 + 2 = 1, 5.

1. Dibuja y, luego, calcula el mdulo de los siguientes vectores centrados en el origen del plano ycuyo extremo es el punto:

a. A(3, 4) c. C(9, 12) e. E(1, 0)b. B(7, 12) d. D(13, 12) f. F(0, 4)

2. Si a = 4, 5, b = 6, 3 y c = 2, 2, grafica y determina v de modo que v = a + b c . Luego,calcula su mdulo. Explica, paso a paso, cmo lo hiciste.

3. Dados los vectores a = 3, 2, b = 1, 5 y c = 4, 6, determina:

a. a b + c c. a b c e. a + b + c

b. b c d. a + b c f. a + c

4. Sobre un cuerpo actan las fuerzas f1

= 6, 8, f2

= 15, 20, f3

= 4, 16. Calcula:

a. la magnitud del vector resultante. b. la direccin del vector resultante.

Actividades

y2

y1

x1 x2

x2 x1

y2 y1

Y

P

Q

X

a


Observa la siguiente figura:

108 | Unidad 3

Traslacin de figuras planas

Una traslacin es una transformacinisomtrica que desplaza todos lospuntos del plano en igual magni-tud, direccin y sentido.

Recuerda que...

Glosarioimagen bajo una transformacin:elemento (punto, segmento o figura)obtenido, a partir de otro similar, me-diante una transformacin del plano.

Compara las medidas y la direccin de los trazos AA , BB , CCy DD . Qu puedes concluir?

Corresponde a una transformacin isomtrica? Justifica. Esta transformacin se puede representar utilizando vectores?,

por qu? Si se conocen las coordenadas de la figura ABCD, cmo se

pueden obtener las coordenadas de A B C D ? Explica.

Analicemos...

A una figura dada se le puede aplicar una traslacin, que desplazatodos los puntos de una figura en igual magnitud, direccin y sen-tido. Luego, tal como las fuerzas y los desplazamientos, se puedeutilizar un vector para representarla, el que se suma a los vectoresposicin de cada punto.

Para obtener la imagen bajo una transformacin de una figura (laimagen de una figura bajo la traslacin), basta con sumar el vectorde traslacin, en este caso, a cada uno de los vrtices de la figura,coordenada a coordenada. Por ejemplo, la traslacin del trin-gulo cuyos vrtices son A(4, 4), B (2, 2) y C (3, 6), dada por elvector v = 2, 1, es:

A: (4, 4) + (2, 1) = (2, 5) B: (2, 2) + (2, 1) = (0, 3) C: (3, 6) + (2, 1) = (1, 7)

La traslacin anterior se denota como T

2, 1 de los puntos delABC. En la imagen se muestra la traslacin del tringulo ABC.

C

D

A

BC

D

A

B

7

6

2

1

B

A

C

B

A

C

2 2 44

v


Vectores | 109

Un

idad

3

Al igual que en el caso de las fun-ciones, la inversa de una traslacinT

es aquella traslacin que deshacelas transformaciones que realiza T

.

Pon atencin

Composicin de traslacionesSi al resultado de una traslacin se le aplica otra traslacin, se hablade composicin de traslaciones.

Observa la figura:

Como se puede observar,ABC se obtiene aplicandoT

1 10, 2 a los vrtices delABC. En cambio, ABCse obtiene aplicando T

2 1, 6

a los vrtices del ABC.

Entonces, para representar la traslacin del ABC al ABC, secalcula la composicin de las traslaciones; esto es, si T

1 x1, y1 y

T

2 x2, y2, entonces T

2 T

1 = x1 + x2, y1 + y2.

En este caso, T

2 T

1 = 10 + 1, 2 + 6 = 11, 4 representa la

traslacin del ABC al ABC.

En resumen

La traslacin de una figura en el plano cartesiano da origen a una nueva figura, que es congruente con la anterior; es decir, mantiene la misma forma y medidas.

Una composicin de traslaciones resulta de aplicar una traslacin a otra traslacin ya realizada.

Si T

x, y es una traslacin en el plano cartesiano, entonces T 1

x, y es su traslacin inversa, y corresponde a la trasformacin que tiene la misma magnitud y direccin, pero sentido contrario. O sea, T 1

x, y = T

x, y.

1. Los vrtices de un cuadriltero son (1, 0), (0, 2), (3, 0), (0, 1). Cules sern los vrtices delcuadriltero si se aplica una traslacin de vector 3, 2?

2. Considera dos circunferencias de igual radio, una con centro O (2, 3) y la otra con centro A (1, 1).Determina el vector que permite trasladar la circunferencia de centro O a la posicin con centroen A. Luego, determina el vector de la traslacin opuesta a la realizada. Qu puedes concluir?

3. Determina las traslaciones inversas de cada una de las siguientes traslaciones:

a. T

1 2, 3 b. T

2 3, 4 c. T

3 6, 7 d. T

4 0, 4

Actividades

Glosariocomposicin: de transformaciones,dadas dos transformaciones S

, T

,

es otra transformacin, T

S

, queresulta de aplicar sucesivamente lasanteriores. Esto es: (T

S

) x, y = T

(S

x, y).

Observa que primero se aplica S

ya su imagen se aplica T

.

6 4 2 2 4 6 8 102

2 T1

T2

4

4

6

8

C

A

A

B

C

C

A

B

B


110 | Unidad 3

Producto por un escalar

Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas, una se representa medianteel vector f

= 2, 3, y la otra por el vector g

= 6, 9.

distributividad

asociatividad

elemento neutro

propiedad absorbente del cero

Al dibujar en un plano cartesiano los vectores f

y g

seguramentepudiste observar que tienen la misma direccin, aunque no tienenel mismo sentido ni la misma magnitud.

Adems, para calcular el triple de la fuerza f

, se calcula el triple decada una de las coordenadas. Esto es: 3 f

= 3 2, 3 = 3 2, 3 3 = 6, 9

Es decir, tanto grfica como algebraicamente, el vector resultanteaumenta al triple su mdulo, manteniendo su direccin y sentido.

En general, cuando se calcula el producto por un escalar de un vec-tor, se obtiene un nuevo vector, que conserva la direccin del vectororiginal, pero cuya magnitud y sentido cambian segn el valor porel cual fue multiplicado. Observa.

Para graficar el mismo vector, pero

multiplicado por 1, se puede calcular

1 f

= 1 2, 3 = 1 2, 1 3 = 2, 3

Observa la imagen donde se represen-

taron f

y f

Propiedades del producto por un escalar

Dados los escalares y , y los vectores a y b, se cumplen las siguientes propiedades:

1. (a + b) = a + b

2. ( + )a = a + a

3. (a) = ()a

4. 1a = a

5. 0a = 0

Glosarioproducto por un escalar: aplicado aun vector a, es otro vector cuyamagnitud es el producto del escalarpor la magnitud de a, cuya direc-cin es la de ay cuyo sentido es elmismo u opuesto, segn el escalarsea positivo o negativo.escalar: elemento de un conjuntonumrico; se usa, en particular, cuan-do se le quiere distinguir claramentede los vectores.

Analicemos...

Dibuja un plano cartesiano y traza los vectores f

y g

, partiendodel origen. Qu tienen en comn? Explica.

Representa en el mismo plano una fuerza que sea el triple de lafuerza f

. Cul es su representacin algebraica?, por qu?

Cul es el valor de tal que se cumpla g

= f

? Justifica.

Y

Xf

f


Vectores | 111

Un

idad

3

| | se refiere al valor absoluto de un nmero real.|| a || se refiere al mdulo de un vector.

Recuerda que...Ejemplo Dados los vectores a = 6, 2 y b= 3, 4, cunto resulta 5(a + b

)?

5(a + b

) = 5a + 5b

= 56, 2 + 53, 4

En resumen

El producto de un escalar por un vector a, de coordenadas x, y, es otro vector dado pora, y se define como: a = x, y = x, y. Se dice que a es un vector ponderado de a.

Observa que dos vectores paralelos se pueden expresar uno como ponderado del otro:a = b o bien b = a.

El vector ponderado a tiene las siguientes caractersticas:

Mantiene la direccin de a. || a || = | | || a ||. Si > 0, el vector mantiene el sentido de a. Si < 0,

el vector cambia de sentido. Si = 0, entonces a = 0 (vector nulo).

1. Copia en tu cuaderno los vectores u, v y w. Luego, representa:

a. u + v d. v + 2w

b. 3u e. 2u v w

c. 2u v

2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a. 32, 1 32, 3 c. 5, 2 3, 1 + 26, 0b. 27, 3 + 50, 5 d. 53, 2 41, 0 + 21, 3

3. Dado el producto de a, con a 0, qu caractersticas cumple el producto, en cada caso? Justifica tu respuesta con la representacin grfica correspondiente.

a. si > 1? d. si = 0?b. si = 1? e. si = 1?

Actividades

u

v

w

b

b

a

a

a

= b


112 | Unidad 3

Homotecia

En cursos anteriores aprendiste que las transformaciones isomtricasson transformaciones geomtricas que preservan la forma y eltamao de las figuras; sin embargo, no todas las transformacionesgeomtricas son as. Por ejemplo, en la siguiente figura se puedeobservar el cuadriltero KLMN, de vrtices K(10, 2), L(4, 8),M(12, 12) y N(14, 6), y sus respectivas imgenes: el cuadrilteroK1L1M1N1 y el cuadriltero K2L2M2N2.

En la figura anterior puedes observar que las imgenes bajo latransformacin tienen la misma forma original, las medidas de susngulos se mantienen, pero no as las medidas de sus lados; esdecir, son semejantes, ya sean de menor o mayor tamao.

En cada caso, la imagen resultante se puede construir con ayuda derectas que pasan por el mismo punto O. Observa que al compararlos vectores correspondientes (por ejemplo, OM

con OM

1, OL

con

OL

1, etc.) se obtiene que la razn de sus mdulos es una constante.

La imagen bajo una transformacines un elemento (punto, segmento ofigura) obtenido, a partir de otrosimilar, mediante una transforma-cin del plano.

Recuerda que...

Analicemos...

Cmo describiras los cuadrilteros obtenidos, respecto deloriginal? Explica.

Corresponde, en cada caso, a la imagen bajo una transformacinisomtrica?, por qu?

Determina los pares ordenados correspondientes a los vrticesde cada cuadriltero. Qu puedes concluir?

Calcula la medida de los lados de cada cuadriltero. Existe unaproporcin entre ellos? Explica.

M1

L1

K1

N1

O

Y

XK2

L2

M2

N2N

M

L

K


Cuando esto ocurre, se dice que una de las figuras es la imagen dela otra bajo una homotecia. La homotecia est definida por elpunto O, que es el centro de la homotecia, y un nmero k, que esla razn entre el mdulo de los vectores correspondientes en esatransformacin. Se representa como H(O, k). El nmero k es dis-tinto de cero, ya sea positivo o negativo.

Si la homotecia tiene una razn k, se puede concluir que la magni-tud del vector OA

es | k | veces igual a la magnitud del correspon-

diente vector OA

.

En caso que la homotecia tenga razn negativa, (k < 0), el vector OA

est en la misma direccin, pero en sentido contrario al vector OA

.

Ejemplo Considera el ABC, de coordenadas A(2, 4), B (0, 2) y C (6, 3), yel origen O (0, 0). Encuentra su imagen bajo la homotecia H (O, 2).

Para aplicar una homotecia es necesario determinar primero losvectores desde el centro de homotecia O a cada uno de los puntos.

En este caso, ya que el centro de la homotecia est en el origenO(0, 0), los vectores son OA

= 2, 4, OB

= 0, 2, OC

= 6, 3.

A estos vectores se les aplica la homotecia; luego, OA

= 4, 8,OB

= 0, 4, OC

= 12, 6.

Entonces, su imagen es el ABC de coordenadas A(4, 8), B (0, 4),C(12, 6). Observa que la proporcin que existe entre los trin-gulos corresponde a la razn de homotecia.

Se puede verificar que dos figuras son homotticas si, al unir me-diante rectas los puntos o vrtices correspondientes de ellas, estasrectas concurren en un nico punto que es el centro de homotecia O.

Composicin de homotecias

Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composi-cin de homotecias; es decir, se puede aplicar una homotecia a laimagen de la homotecia de una figura.

La composicin de homotecias, cuando su centro de homotecia esel mismo, es una homotecia con igual centro, y cuya razn corres-ponde al producto de las razones de las homotecias originales.

Un

idad

3

Vectores | 113

Glosariohomotecia: transformacin en elplano con respecto a un centro O,que permite obtener una figura se-mejante a otra figura dada.homottico(a): elemento (punto,segmento o figura) que es imagende otro similar bajo una homotecia.

Cuando la homotecia tiene centroen el origen de coordenadas, dadoun punto A(x, y) y su homotticoA(x, y), se cumple que la relacinque hay entre ellos es la siguiente:x = kx e y = ky, donde k es larazn de la homotecia.

Pon atencin


114 | Unidad 3

EjemploDado los puntos A(3, 7) y O(2, 5) y las homotecias H1(O, 2) yH2(O, 1,5), determina el homottico de A respecto de la com-posicin de homotecias H2 H1. Se obtiene el vector OA

: OA

= 3 2, 7 5 = 1, 2.

Se aplica primero la homotecia H1; luego, OA

= 2 1, 2 = 2, 4. Se aplica la homotecia H2 al vector OA

; luego,

OA

= 1,5 2, 4 = 3, 6.

Luego, A se obtiene de O

+ OA

= 2, 5 + 3, 6 = 5, 11. Es decir,el homottico de A es el punto (5, 11).

A

OA

O

OA

A

A

En resumen

Una homotecia es una transformacin geomtrica que no afecta la forma de la figura, peros puede cambiar su tamao y orientacin.

Una homotecia de centro O y razn k, con k O transforma un vector OP

en un vector OP

,

tal que OP

= k OP

. Se escribe H(O, k). Algunas de sus caractersticas son: las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras originales. los lados correspondientes entre dos figuras homotticas son paralelos. si la razn es positiva, la homotecia preserva el sentido de las figuras. Si la razn es

negativa, la homotecia invierte las figuras.

La composicin de dos homotecias de centro C es otra homotecia de centro C, y su razn corres-ponde al producto de las razones; esto es, si H (C, k) y H (C, k), H H = H1, donde H1 (C, k k).

1. Considera un cuadriltero ABCD de coordenadas A (3, 3), B (6 , 6), C (10, 1) y D (4, 3) y el origenO (0, 0). Encuentra su figura homottica, respecto de:

a. H (O, 1) b. H (O, )2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de interseccin de sus diagonales es E. Haz el dibujo

en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotticas:

a. H1 H2, con H1(E, 3) y H2(E, ) b. H3 H4, con H3(A, 2) y H4(A, )3. Verifica si el rea de una figura homottica es igual al producto del rea de la figura

original por el cuadrado de la razn de homotecia.

12

32

32

Actividades


Vectores | 115

Un

idad

3

Herramientas tecnolgicas

Usando el programa Regla y Comps, aprenders a analizar grficamente el concepto de homotecia.

Ingresa al sitio web: www.educacionmedia.cl/web, escribe el cdigo 11m4115 y pulsa la flechaverde. Al hacerlo, se abrir una nueva pgina. Haz clic en el botn Descarga y Webstart que estubicado en el costado izquierdo de la pantalla. Luego selecciona el sistema operativo que tienetu computador y presiona Download. De este modo habrs descargado el software. Instlalo yluego realiza las siguientes actividades:

Con el comando vector construye tres o cuatro vectores cuyo punto de origen sea el mismopara todos ellos.

A continuacin, selecciona del men Macros, la opcin Vectores y luego Vect. mult. por unreal (dlog).

Selecciona uno de los vectores, y despus marca el punto de origen del vector. Escribe la razn de homotecia en un cuadro que aparecer ms abajo (no muy grande, por

ejemplo 2,0 o 2,5), y presiona enter. Aparecer en pantalla un segundo vector con el mismoorigen y direccin que el primero.

Repite el paso anterior para cada uno de los dems vectores, cuidando de multiplicar todoslos vectores por el mismo factor. La razn de homotecia ser el factor de multiplicacin, yaque al indicar el origen del vector, el segundo vector toma como origen este mismo punto.

Finalmente, presiona el botn mover, o selecciona esta opcin del men Edicin. Puedesmover tanto el centro de homotecia (el origen de los vectores que construiste) como lospuntos finales de los vectores.Obtendrs algo como lo que se muestra en la siguiente imagen:

Utilizando Regla y Comps, desarrolla las siguientes actividades:

1. Comprueba que la razn de homotecia se mantiene, independientemente de mover el origeno cualquiera de los puntos de la figura original.

2. Considera ahora una homotecia con un factor k negativo, qu caractersticas tiene la imagen resultante respecto de la original? Explica.


116 | Unidad 3

En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las pginas anteriores.

Utilizando los contenidos aprendidos hasta aqu y, apoyndote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.

1. Crees que falt un concepto importante en el mapa conceptual?, cul? Agrgalo.2. Qu es la magnitud de un vector?, y el sentido?3. Cul es la diferencia entre una traslacin y una homotecia?4. Cmo se suman dos vectores cuando estn representados grficamente? Explica.5. Qu caractersticas tiene una homotecia si k > 1?6. El producto por un escalar, mantiene el sentido del vector?, por qu?7. Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las pginas anteriores?, cul?

Comprtela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

Organizando lo aprendido

VECTORES

su

DEFINICIN APLICACIONES

puede ser en

permite realizar

REPRESENTACIN

OPERATORIA

ADICIN SUSTRACCIN PRODUCTO PORUN ESCALAR

su

requiere de

tiene

GRFICA FSICAMAGNITUD

DIRECCIN

SENTIDO

ANALTICA

tales como

GEOMETRA

TRASLACIN HOMOTECIAFUERZA

VELOCIDAD

DESPLAZAMIENTO

para representar para representar


Mi progreso

Un

idad

3

1. Utilizando los vectores que determinan los vrtices y el centro del hexgono regular de la figura, hallalos vectores solucin de las siguientes operaciones:

a. AB

+ OC

b. FA

+ ED

c. AO

+ AB

d. AO

OC

2. Dados los vectores a

= 3, 2 y b

= 1, 5, determina:

a. 3a

2b

b. a

b

c. 5a

+ 2b

d. || a + 3b||

3. Dado el tringulo ABC de vrtices A(4, 2), B(7, 2) y C(7, 5), determina su imagen si se aplica:

a. una traslacin T

3, 1. b. una homotecia H(O, 2).

4. Los vectores de la figura tienen su origen en el centro de un cuadrado y el extremo en un vrtice o enel punto medio de uno de los lados del cuadrado. Cul de las siguientes igualdades es incorrecta?Explica tu decisin en cada caso.

A. a

b

= 2c

B. a

+ b

= 2 d

C. || a

d

|| = || b

+ c ||D. c d

= b

E. || c + a

|| = || b

+ d

||

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las pginas indicadas. Luego, identifica el errory corrgelas.

Cmo voy?

Vectores | 117

a

d

cb

E D

A B

OF C

CRITERIO TEMS PGINAS DONDE SE TRABAJA

Operar con vectores representados grficamente. 1 y 4 102 a 105

Operar con vectores representados analticamente. 2 106, 107, 110 y 111

Aplicar traslaciones y homotecias a una figura. 3 108, 109, 112 a 114


118 | Unidad 3

Producto punto

En Fsica, se define el trabajo mecnico como el producto entre lafuerza aplicada a un cuerpo y su desplazamiento. Mientras mayorsea la fuerza aplicada y/o el desplazamiento logrado, mayor sertambin el trabajo realizado.

Ya que tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores, el tra-bajo depende de las direcciones en que se aplica la fuerza y en quese produce el desplazamiento; en particular, depende del nguloque se forma entre estos vectores, y se calcula mediante la expresin:

W = || F

|| || d

|| cos()

Analicemos...

Considerando la expresin que define el trabajo mecnico, W corresponde a un valor numrico o a un vector?, por qu?

Dada una fuerza aplicada a un cuerpo y su correspondientedesplazamiento, qu condiciones deben cumplirse para queel trabajo realizado sea mximo? Explica.

Es posible que se aplique fuerza a un cuerpo y este cuerpo sedesplace, pero que el trabajo sea nulo? Justifica.

La operacin que permite obtener el trabajo mecnico W a partirde la fuerza F

y el desplazamiento d

, se conoce como producto

punto o producto escalar.

El producto punto de dos vectores es un nmero y dicho productoser un nmero positivo, nulo o negativo, segn si el ngulo for-mado por los dos vectores es agudo, recto u obtuso (0 180).Tambin el producto punto es nulo si alguno de los factores es nulo.

Si aplicamos esto a la definicin de trabajo mecnico, el trabajoobtenido es: mximo cuando la fuerza aplicada y el desplaza-miento tienen la misma direccin y sentido, positivo si el ngulo (que forman sus vectores) cumple que 0 < < 90, nulo cuando susvectores son perpendiculares, y negativo si el ngulo cumple que90 < 180.

EjemploCalcula el producto punto de los vectores si || a

|| = 3, || b

|| = 8 y

= 60.

a

b

= || a

|| || b

|| cos() = 3 8 cos(60) = 12.

Glosarioproducto punto: se dice de dosvectores, a y b, al nmero realigual a || a|| || b|| cos(), don-de es el ngulo (entre 0 y 180)que forman.

b

a


Vectores | 119

En cambio, si dos vectores en el plano estn representados enforma analtica, digamos a

= a1, a2 y b

= b1, b2, el producto

punto se calcula multiplicando las coordenadas de ambos vectores,componente a componente, y sumando sus resultados, es decir:a

b

= a1, a2 b1, b2 = a1 b1 + a2 b2.

EjemploDados a

= 2, 1 y b

= 3, 4, calcula a

b

y b

a

.

Qu puedes concluir?

a

b

= 2, 1 3, 4 = 2 3 + (1) 4 = 6 4 = 2. b

a

= 3, 4 2, 1 = 3 2 + 4 (1) = 6 4 = 2.

En general, el producto punto es conmutativo, es decir: a

b

= b

a

.

Un

idad

3

1. Calcula el producto punto de los vectores, considerando los datos dados.

a. || u

|| = 5; || v

|| = 7; = 30 c. || u

|| = ; || v

|| = 1; = 45b. || u

|| = 7; || v

|| = 7; = 90 d. || u

|| = 10; || v

|| = 3; = 180

2. Para cada par de vectores siguientes, calcula || a

||, || b

|| y | a

b

|. Luego, verifica que se cumple que| a

b

| || b

|| || a

||, en cada caso. Qu debe ocurrir para que se cumpla | a

b

| = || b

|| || a

||?

a. a

= 3, 2 y b

= 5, 1 c. a

= 2, 0 y b

= 8, 2

b. a

= 4, 7 y b

= 3, 1 d. a

= , y b= 2, 33. Analiza qu ocurre con el producto punto de a

y b

si:

a. a

aumenta y b

se mantiene constante. c. a

y b

son perpendiculares.

b. a

y b

aumentan. d. a

y b

son paralelos.

23

12

35

Actividades

En resumen

El producto punto de dos vectores est dado por la expresin a

b

= || a || || b || cos(), con : ngulo comprendido entre ambos vectores.

O bien, si a

= a1, a2 y b

= b1, b2, el producto punto se calcula:a

b

= a1, a2 b1, b2 = a1 b1 + a2 b2.

Para todos los vectores a

, b

, se cumple que: | a

b

| || b

|| || a

||. Si a

y b

son perpendiculares, a

b

= 0.


120 | Unidad 3

Ecuacin vectorial de la recta en el plano

Viviana represent en su cuaderno los siguientes vectores en unsistema de coordenadas:

2, 1; 2, 1; 0, 1; 4, 2; 1, 0,5; 3, 1,5

Sebastin observ que, en algunos casos, pareca que los vectoresestuvieran sobre una misma recta.

d

P

O

L

Glosariovector director: se dice de un vec-tor que es paralelo a otro elemento,como una recta o un plano, demodo que indica su direccin.

Analicemos...

Dibuja los vectores anteriores en tu cuaderno. Se cumple lo quedice Sebastin?, por qu?

Determina cules de ellos pueden representarse uno como vectorponderado del otro. Luego, decide si se cumple la frase: Si uno oms vectores pueden escribirse uno como vector ponderado deotro, entonces pertenecen a la misma recta. Justifica tu respuesta.

Se pueden representar rectas en el plano, utilizando vectores ensu forma analtica?, por qu?

Cmo es la ecuacin vectorial de la recta que contiene a unvector dado? Explica.

Dados dos puntos distintos, sepuede obtener una nica rectaque pase por los dos puntos.

Todo punto en el plano cartesianotiene coordenadas (x, y).

Pon atencin

Para analizar si lo que observ Sebastin es correcto, podemos uti-lizar nuestros conocimientos. Sabemos que dos puntos determi-nan una recta en el plano. Si se considera que uno de estos puntoses el origen, y el otro es el correspondiente al extremo del vector,entonces basta un vector para determinar una recta, que tiene lamisma direccin del vector y pasa por el origen.

En un plano cartesiano se puede representar una recta L, que pasapor el origen O(0, 0) y con vector director d

= d1, d2 paralelo a la

recta L. Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemploP(x, y), entonces siempre existe un nmero real , tal que OP

= d

. Observa:

Luego la ecuacin vectorial de la recta L, expresada en coorde-nadas, es x, y = d1, d2.

La colinealidad de puntos se puede

expresar y verificar vectorialmente

por medio de la ponderacin. Si M,N y P son tres puntos colineales,entonces existe algn nmero real

, tal que MP

= MN

.

Recuerda que...

MN

P


Vectores | 121

Un

idad

3Ahora, cuando la recta no pasa por el origen, adems del vector di-rector es necesario determinar un vector que indique la ubicacinde la recta en el plano.

En este caso, para representar la recta L con vector director d

, pero

que pasa por el punto P0(x0, y0), se considera que si P es un puntocualquiera de la recta, de coordenadas P(x, y), existe un nmeroreal , tal que P0P

= d

, y por lo tanto: OP

= OP0

+ d

.

Utilizando el vector posicin p0 de P0 y considerando el vector p

de P, resulta: p = p0 + d

.

Adems, si d1 y d2 son las componentes del vector d

, la ecuacinvectorial de la recta, expresada en coordenadas es:x, y = x0, y0 + d1, d2.

EjemploDados los puntos A (2, 3) y B (5, 2), determina la ecuacin vecto-rial de la recta que pasa por ellos.

Se utiliza el vector b

como vector posicin de la recta. Luego, se

calcula su vector director d

, que corresponde al vector AB

,

d

= a

b

= 2, 3 5, 2 = 3, 1.

De esa manera, se puede escribir la ecuacin vectorial de la rectacomo: x, y = 5, 2 + 3, 1. O bien, como: x, y = 5 3, 2 + con IR. Tambin se puede usar a

como vector posicin.

Veamos ahora qu sucede si = . Al remplazar en la ecuacin:

Observa que, por otra parte, el punto medio del segmento AB

est dado por: , lo que coincide con el punto

correspondiente a

2 52

3 22

72

52

, ,+ +

=

12

a c b d,

+ +

2 2

x y, , ,= + = + =5 3 2 532

212

10

+=, ,

32

4 12

72

52

Glosariovector posicin: se dice del vectorque indica la posicin de otro ele-mento, como una recta o un plano.

Una recta que no pasa por el ori-gen, L: p

= p

0 + d

, es una

traslacin en el vector p

0 de la rectap

= d

.

Pon atencin

El punto medio de un segmento,cuyos extremos son (a, b) y (c, d)est dado por:

Y

XO

P0P

p0

pd

= .12

Recuerda que...

a c b d,

+ +

2 2


122 | Unidad 3

Una ventaja importante de una ecuacin vectorial de una recta espoder obtener ecuaciones para un segmento especfico de la rectapor medio de una restriccin del parmetro .

Por ejemplo, la ecuacin x, y = 2, 1 + 1, 2, con 1 3 des-cribe el segmento de recta que une los puntos (3, 1) y (5, 5)(obtenidos al remplazar por el mnimo y el mximo valor delparmetro ).

1. Determina la ecuacin vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados: A(4, 6) y B(4, 2).

2. Se puede determinar la ecuacin vectorial de la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? En casoafirmativo, cul es su ecuacin vectorial?

3. Dado el punto P(2, 2) y el punto Q(4, 4), cul es el punto medio del segmento PQ?

4. Dada la ecuacin vectorial de la recta x, y = 1, 2 + 4, 8, determina tres puntos que pertenezcana la recta.

5. A qu recta pertenecen los puntos A(1, 4), B(1, 1) y C(0, 5)? Justifica.

A. L: x, y = 1 + 2, 1 + 3B. L: x, y = 1 + 2, 3 2C. L: x, y = 2 , 1 + 2D. L: x, y= 2 , 3 + 2E. Ninguna de las anteriores.

6. Determina la ecuacin vectorial de una recta paralela a x, y = 2, 5 + 1, 4; luego, grafica ambas rectas.

Actividades

En resumen

La expresin p

= p0

+ d

recibe el nombre de ecuacin vectorial de la recta o ecuacin de larecta en la forma vectorial. p0

es el vector posicin de la recta, cuando no pasa por el origen

(que no es un vector ponderado de d

), d

es el vector director, paralelo a la recta, y es unparmetro que, al tomar diferentes valores, nos entrega distintos puntos que forman la recta.

Glosarioparmetro: variable que puede to-mar diferentes valores, condicionandoas los del resto de las variables.


Vectores | 123

Un

idad

3

Ecuacin vectorial de una recta y su ecuacin cartesiana

Como ya sabemos, la ecuacin vectorial de la recta est determi-nada por un punto y una direccin; por consiguiente, por un puntode la recta y un vector paralelo a ella.

Considera una recta L en el plano, cuyo vector director es d

= 6, 4y A (5, 7) un punto perteneciente a ella.

Remplazando valores en la ecuacin vectorial, se pueden ubicar enel plano cartesiano dos puntos pertenecientes a la recta y, luego,graficarla. Observa:

Primer paso: determinar la ecuacin vectorial de la recta. Ya que la recta L pasa por el punto A, este es el vector posicin:x, y = 5, 7 + 6, 4 con , nmero real.

Segundo paso: para determinar un punto B se asigna un valorcualquiera a y se remplaza en la ecuacin. Por ejemplo, si = 2,el punto B resultante es:

B = (5, 7) + 2 (6, 4) = (5, 7) + (12, 8) = (17, 15)

Tercer paso: se grafican los puntos A y B y se traza la lnea quepasa por ellos para obtener la recta L.

Cuarto paso: se calcula la ecuacin cartesiana de la recta dados un

punto de ella y su pendiente. La pendiente m se calcula a partir de

las coordenadas del vector director d1, d2 como m = .

y 7 = (x 5).

Ordenando, se obtiene 2x 3y + 11 = 0.

46

d2d1

Analicemos...

Cul es la ecuacin vectorial de L? Explica. Cmo se obtiene un punto B que pertenezca a la

recta L? Justifica. Cmo se obtiene la ecuacin cartesiana de la recta L? Explica. Conocidos los puntos A y B, se puede graficar la recta L?,

por qu? En general, cmo se grafica una recta en el plano, a partir de

su ecuacin vectorial?

10

12

14

16

8

6

4

2

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

A

L

B

2

d

La ecuacin cartesiana de la recta,dada su pendiente m y un punto deella (x0, y0) es: y y0 = m (x x0)

Recuerda que...


124 | Unidad 3

Ejemplo 1Dada la ecuacin vectorial de la recta: x, y = 5, 2 + 3, 1, de-termina la correspondiente ecuacin cartesiana.

Otra forma de obtener la ecuacin cartesiana correspondiente esigualar componente a componente y despejar el parmetro encada una de estas ecuaciones:

x = 5 + 3 =

y = 2 + = y 2

Luego, se igualan ambos parmetros y se despeja y:

= y 2

x 5 = 3y 6

y = x + (Ecuacin cartesiana de la recta)

Ejemplo 2Dada la ecuacin cartesiana de la recta: 4x + 3y + 7 = 0, determinala correspondiente ecuacin vectorial.

Primer paso: para obtener el vector posicin se requiere determinarun punto que pertenezca a la recta. Por ejemplo, se puede calcular elvalor de y remplazando en la ecuacin de la recta un valor para x.Si x = 1, 4 (1) + 3y + 7 = 0

3y + 3 = 0y = 1

Entonces, el vector posicin es 1, 1.

Segundo paso: para obtener el vector director se puede calcular

la pendiente de la recta m = y, luego, escribir el vector director

4x + 3y + 7 = 03y = 4x 7

y = x , es decir, m = .

Luego un vector director es 3, 4. Por lo tanto, una ecuacin vec-torial de la recta es: x, y = 1, 1 + 3, 4.

43

73

43

d2d1

13

13

x 53

x 53

como d1, d2.

Observa que la recta tiene pendiente ; mientras que su vector di-rector es 3, 1.

13

La ecuacin cartesiana de la rectaest dada por ax + by + c = 0,o bien y = mx + n.

Dos rectas son paralelas si tienenigual pendiente.

Dos rectas son perpendicularessi sus respectivas pendientes, m1y m2, satisfacen m1 m2 = 1.

Recuerda que...


Vectores | 125

Un

idad

3

1. Dada la ecuacin vectorial de la recta x, y = 1, 2 + 4, 8, determina la ecuacin cartesiana correspondiente.

2. Encuentra la ecuacin cartesiana correspondiente a la recta que pasa por el punto (5, 2) y esparalela al vector d

= 2, 3.

3. Encuentra la ecuacin vectorial de la recta que pasa por el punto (3, 2) y es paralela a la recta y = 3x 2.

4. Decide si los puntos (0, 0), (0, 11) y (3, 0) pertenecen a la recta anterior. Justifica tu decisin.

5. Determina la ecuacin vectorial para cada recta.

4x + 2 = 3y 3 2x 5y + 1 = 0

6. Indica cul es la posicin relativa entre las rectas dadas. Explica.

L1: x y 2 = 0, L2: x, y = 1, 2 + 2, 2

7. De la recta x, y = 2, 3 + 1, 2 y el punto P(2, 1), obtn la ecuacin de la recta:

a. paralela a la dada que pasa por P. b. perpendicular a la dada que pasa por P.

8. Obtn la recta que pasa por el punto A(2, 1) y tiene la misma pendiente que:

a. x, y) = 0, 3 + 1, 1 b. 2x 3y = 6

Actividades

En resumen

La ecuacin de la recta en el plano se puede representar mediante:

la ecuacin cartesiana de la recta: ax + by + c = 0. la ecuacin vectorial de la recta: x, y = p0

+ d

= x0, y0 +d1, d2, donde d

es el vector

director de la recta, p0x0, y0 es el vector posicin y es su parmetro.

Si d

es un vector director cuyas coordenadas son d1, d2, la pendiente m de la recta

correspondiente est dada por m = .d2d1


126 | Unidad 3

Producto cruz y vectores en el espacio

Sergio intent abrir una puerta batiente empujando en el centrode la puerta. Aunque finalmente lo consigui, tuvo que aplicar msfuerza de la que pensaba. Andrea, en cambio, la empuj lo msafuera posible.

En la situacin presentada podamos observar que Sergio y Andreaaplicaban una fuerza sobre una puerta. Cuando una fuerza actasobre un cuerpo, la puerta en este caso, y producto de esta accinel cuerpo gira, se dice que se ha producido un torque sobre elcuerpo. Otro ejemplo es la fuerza que se aplica al pedal de la bicicletaque permite que gire el plato, y con l la cadena de la bicicleta.

El torque sobre el cuerpo se puede calcular como el producto cruzentre la fuerza aplicada y la posicin del punto de aplicacin de lafuerza respecto del eje de giro del cuerpo: = r F

El producto cruz o vectorial a

b

entre dos vectores en el espacio

se define como un tercer vector p

, perpendicular a ambos, a

y b

.

El mdulo de p

= a

b

corresponde al rea del paralelogramo

formado por a

y b

; luego, || p

|| = || a

|| || b

|| sen(), donde es el ngulo agudo formado por los vectores a

y b

.

Analicemos...

Crees que Andrea tuvo que aplicar la misma fuerza que Sergiopara abrir la puerta?, por qu?

Si se aplicara la misma fuerza en distintos puntos de la puerta,se obtendra el mismo movimiento en torno a su eje? Explica.

Si se aplica una fuerza, en qu posicin se obtiene el mximogiro?, en qu posicin se obtiene un giro nulo? Comenta contus compaeros y compaeras.

Glosariotorque: magnitud resultante del pro-ducto del valor de una fuerza por sudistancia a un punto de referencia.

El producto punto entre dos vec-tores a

y b

tiene como resul-

tado un valor numrico (escalar);en cambio, el resultado del pro-ducto cruz es un nuevo vector.

El producto cruz se define solopara vectores en el espacio. No tiene sentido para vectoresen el plano.

Pon atencin

p

= a

X b

p

= b

X a II pII = II aII II bII sen()

a

II bII sen()

b

p p

a

a

b

b


Vectores | 127

Un

idad

3Para calcular el producto cruz de dos vectores, utilizando sus coor-denadas cartesianas, es indispensable considerarlos en el espaciocartesiano, es decir, con sus tres coordenadas. Por ejemplo, si seconsidera el plano cartesiano como el piso de la sala, la tercera coor-denada va a representar la altura que tiene el vector.

As, en el grfico siguiente est representado el punto C = (1, 4, 6).

Una forma de calcular el producto cruz entre dos vectores es repre-sentando cada vector mediante los vectores unitarios cartesianos.

Los vectores unitarios asociados con las direcciones de los ejes coorde-nados cartesianos X, Y, Z, se designan por i^, j^, k^, respectivamente.Permiten expresar los vectores por medio de sus componentescartesianas. As, i^ = 1, 0, 0, j^ = 0, 1, 0, k^ = 0, 0, 1.

EjemploObserva la siguiente imagen en que se muestra c

= 1, 4, 6.

De esta manera, el vector c

se puede representar como: c

= 1, 4, 6 = i^ + 4j^ + 6k^.

67

5

43

2

1

12341 2 3 4 5 6 Y

Z

X

67

5

43

2

1

12341 2 3 4 5 6 Y

Z

Xi^

i^

j^

j^

k^

k^ Glosariovectores unitarios: vectores cuyamagnitud o mdulo es igual a la unidad.

Si colocas los dedos de tu manoderecha de modo que apunten enla direccin y sentido del vector a

y, luego, doblas los dedos apun-tando hacia b

, la direccin y sen-

tido de a

b

estn dados por eldedo pulgar extendido. Esto se cono-ce como la regla de la mano derecha.

Pon atencin

c


128 | Unidad 3

Observa cmo se calcula el producto cruz entre dos vectores, uti-lizando sus coordenadas cartesianas y los vectores unitarios. Sean dos vectores A

= a, b, c y V

= u, v, w

A

V

= (ai^ + bj^ + ck^) (ui^+ vj^ + wk^)= au (i^ i^) + av (i^ j^) + aw (i^ k^) + bu ( j^ i^) + bv ( j^ j^)

+ bw ( j^ k^) + cu (k^ i^) + cv (k^ j^) + cw (k^ k^)= av k^ aw j^ bu k^ + bw i^ + cu j^ cv i^

= (bw cv) i^ + (cu aw) j^ + (av bu) k^

EjemplosSean dos vectores A

= 3, 4, 1 y V

= 2, 5, 6:

1. A

V

= (3i^ + 4j^ k^) (2i^ 5j^ + 6k^)= 6 (i^ i^) + 15 (i^ j^) + 18 (i^ k^) + 8 ( j^ i^) + 20 ( j^ j^)

+ 24 ( j^ k^) + 2 (k^ i^) + 5 (k^ j^) + 6 (k^ k^) = 15 k^ + 18 (j^) + 8 (k^) + 24 i^ + 2 j^ + 5 ( i^ )= 19 i^ 20 j^ 23 k^

2. A

A

= (3i^ + 4j^ k^) (3i^ + 4j^ k^)= 9 (ii^ i^) + 12 (i^ j^) + 3 (i^ k^) + 12 ( j^ i^) + 16 ( j^ j^)

+ 4 ( j^ k^) + 3 (k^ i^) + 4 (k^ j^) + 1 (k^ k^)= 12 k^ + 3 (j^) + 12 (k^) + 4 i^ + 3 j^ + 4 ( i^)= 0 i^ + 0 j^ + 0 k^ = 0

El producto cruz cumple con las siguientes propiedades:

es distributivo respecto de la suma de vectores. Es decir, a

(b

+ c

) = (a

b

) + (a

c

).

a

(b) = (a b) = (a) b. el producto cruz de un vector con uno de sus ponderados es

nulo. Es decir, a

a= 0

. no es conmutativo, ya que a

b

= (b

a

).

i^ i^ = 0

j^ j^ = 0

k^ k^ = 0

Por definicin, i^, j^ y k^ son vectoresperpendiculares entre s; es decir:

i^ j^, j^ k^, k^ ii^. Aplicando la regla de la mano

derecha, se cumple que:

i^ j^ = k^

ii^ k^ = j^

j^ ii^ = k^

j^ k^ = ii^

k^ ii^ = j^

k^ j^ = i^

Pon atencin

En resumen

Para representar vectores unitarios que estn en los ejes X, Y y Z, en sentido positivo, utilizamos las letras i^, j^ y k^, respectivamente.

El producto cruz, de dos vectores u

v

, es un vector de mdulo | u

| | v

| sen(), con direccin perpendicular al plano determinado por u

y v

, y cuyo sentido se puede determinar

mediante la regla de la mano derecha.


vectores - fisica-mecanica.wikispaces.comvectores.pdf · en resumen • la suma de dos o más...

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