60 Ⅱ.순열과조합

중복순열

①서로다른 n개에서중복을허용하여 r개를택하는순열을중복순열이라하고, 그수를기호

로 «P®와같이나타낸다.② «P®=n®

｜보기｜ 두개의숫자 1, 2로만들수있는세자리자연수의개수는서로다른 2개에서 3개를택하는중복순열이므로

™P£= (개)(1)

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.

원순열

①서로다른n개를원형으로배열하는순열을원순열이라고한다.

②서로다른n개를원형으로배열하는원순열의수는

(n-1)!

｜보기｜ 7명이원탁에둘러앉는경우의수는(7-1)!=6!= (가지)(2)

*

1.중복순열과원순열

같은것이있는순열

n개중에서서로같은것이각각 p개, q개, r개, y일때, n개를모두일렬로배열하는순열의

수는

(단, p+q+r+y=n)

｜보기｜ 6개의숫자카드 , , , , , 으로만들수있는여섯자리자연수의

개수는 1개의 , 2개의 , 3개의 을일렬로배열하는순열이므로

= (개)(4)1!2!3!

���

������

n!p!q!r!y

(3)

⇡내용정리가부족한학생은교과서78~82쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 8 (2) 720 (3) 6! (4) 60답

1.순열, 조합과이항정리 61

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

중복을허용하여다섯개의숫자 1, 2, 3, 4, 5로만들수있는세자리자

연수의개수를구하여라.1교과서 79쪽

두개의숫자 1, 2로만들수있는네자리자연수의개수를구하여라.

1. 두개의기호‘•’, ‘-’를다섯번사용하여만들수있는신호의개수를구하여라.

1.

sense를구성하고있는문자를일렬로배열할때, 서로다른경우의수를

구하여라.2교과서 82쪽

[풀이]

서로다른 2개에서 4개를택하는중복순열이므로

™P¢=2› =16(개)

오른쪽 그림과 같이 원둘레를 6등분한 점에 여섯개의 문자 a, b, c, d,e, f를 모두 써넣는 경우의수를구하여라.

2.

[풀이]

서로 다른 6개를 원형으로 배열하는 원순열이므로

(6-1)!=5!=120(가지)

hawaii를구성하고있는문자를일렬로배열할때, 서로다른경우의수를구하여라.

3.

[풀이]

2개의 a, 2개의 i, 1개의 h, 1개의 w를일렬로배열하는순열이므로

=180(가지)6!2!2!1!1!

[풀이]

서로다른 2개에서 개를택하는중복순열이므로

™P = (개)

오른쪽 그림과 같이 원을5등분한 칸에 5가지의 색빨강, 주황, 노랑, 초록,파랑을 모두 칠하여 구분하는경우의수를구하여라.

2.

[풀이]

서로다른 5가지색을원형으로칠하는원순열이므로

(5- )!= (가지)

gangwon을구성하고있는문자를일렬로배열할때, 서로다른경우의수를구하여라.

3.

[풀이]

2개의 g, 2개의 n, 1개의 a, 1개의w, 1개의 o를일렬로배열하는순열이므로

= (가지)7!! !1!1!1!

62 Ⅱ.순열과조합

오른쪽그림과같은정사각형모양의식탁에

네쌍의부부가둘러앉을때, 부부끼리는한

변에이웃하여앉는경우의수를구하여라.

2

여섯개의숫자 0, 1, 1, 2, 2, 2로만들수있는여섯자리자연수의

개수를구하여라.3

다음의각경우에만들수있는세자리자연수의개수를구하여라.

(1) 중복을허용하여다섯개의숫자 1, 3, 5, 7, 9를사용하는경우

(2) 중복을허용하여다섯개의숫자 0, 1, 3, 5, 7을사용하는경우

1

오른쪽그림과같은도로의A지점

에서 B지점까지최단거리로가는

경우의수를구하여라.

4

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

A

B

호수

정육면체의각면을여섯가지색으로서로다르게칠하는경우의수를

구하여라.5

호수로막혀

있는도로가있네.

B지점으로가는경우를

간단히따지려면어떻게

해야할까?

오류피하기

맨 앞자리에 0이 오는 경우

두자리자연수가된다.

1.순열, 조합과이항정리 63

맨 앞자리에는 반드시 1이

와야한다.

갑과 을의 속력이 같으므로

갑, 을은 각각 같은 거리를

와서만난다.

이진법으로 나타낸 수 중에서 10001[™] , 11100[™]등과 같이 다섯 자리인수의개수를구하여라.

1

오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 6인

용 식탁이 있다. 여섯 명이 식탁에 앉는

경우의수를구하여라.

2

오른쪽 그림과 같이 각 구획이 정

사각형 모양으로 이루어진 도로가

있다. 갑은 A지점을 출발하여 B

지점으로 가고, 을은 B지점을 출

발하여A지점으로갈때, 각각최

단거리를택한다. 갑과을의속력이서로같고동시에각지점을출발

할때, 중도에만난후각지점에도착하는경우의수를구하여라.

3

오른쪽 그림과 같은 원판에 서로 다른 8가지의 색

을 모두 사용하여 8개의 각 영역을 칠하는 경우의

수를구하여라. (단, 두원의중심은같고두선분

은원의중심에서수직으로만난다.)

4

두 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1, 2, 3, 4}에 대하여 함수 f는

f: A 2⁄B일때, f를만드는경우의수를구하여라.5

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

A

B

f가 함수이려면 집합 A의

원소에 집합 B의 원소가

오직하나씩대응해야한다.

64 Ⅱ.순열과조합

중복조합의뜻

서로다른n개에서중복을허용하여 r개를택하는조합을중복조합이라하고, 그수를기호로

«H®와같이나타낸다.

｜보기｜ (1) 서로다른 3개에서 5개를택하는중복조합의수는 £H 이다.(2) 다섯개의숫자 1, 2, 3, 4, 5에서 3개를택하는중복조합의수는 ∞H 이다.(2)

(1)

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.*

2.중복조합

중복조합의수

중복조합의수는 «H®=«≠®–¡C®이다.

｜보기｜ ¢H£=¢≠ –¡C£=§C£= (4)(3)

⇡내용정리가부족한학생은교과서83~86쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) 5 (2) 3 (3) 3 (4) 20답

n개의수 1, 2, 3, y, n중에서 r개의

수를 택하는 중복조합을 수의 크기의 순

서로정리하면

⋯

⋯

n, n, n, y, n

n, n, n, y, n-1

2, 2, 2, y, 2

1, 1, 1, y, 2

1, 1, 1, y, 1

여기서왼쪽의조합전체의집합과오른쪽의조합전체의집합은일대일대응이므로그원소의

개수는서로같다. 그런데오른쪽조합은서로다른 (n+r-1)개의수에서 r개의수를택하는

조합이므로그조합의수는 «≠®–¡C®이다. 즉, «H®=«≠®–¡C®이다.

««HH®®==««≠≠®®––¡¡CC®®개념 넓히기

왼쪽의 각 조합의 첫 번째 수에 0, 두 번

째수에 1, 세번째수에 2, y, r번째수

에 r-1을각각더하면

⋯

⋯

n, n+1, n+2, y, n+r-1

n, n+1, n+2, y, n+r-2

2, 3, 4, y, r+1

1, 2, 3, y, r+1

1, 2, 3, y, r111111⁄⁄111111⁄⁄

111111⁄⁄

111111⁄⁄111111⁄⁄

네 개의 숫자 1, 2, 3, 4에서 두 개를 택하는 순열,

중복순열, 조합, 중복조합을 각각 나타내고, 그 개

수를구하여보자.

⁄서로 다른 네 개에서 두 개를 택하여 일렬로 배열하는

경우

⁄순열: 12, 21, 13, 31, 14, 41, 23, 32, 24, 42, 34, 43

⁄순열의수: ¢P™=4_3=12(개)

¤서로다른네개에서중복을허용하여두개를택해일렬로배열하는경우

⁄중복순열: 11, 12, 21, 13, 31, 14, 41, 22, 23, 32, 24, 42, 33, 34, 43, 44

⁄중복순열의수: ¢P™=4¤ =16(개)

‹서로다른네개에서두개를택하는경우

‹조합: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}

⁄조합의수: ¢C™= =6(개)

›서로다른네개에서중복을허용하여두개를택하는경우

›중복조합: {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 3}, {3, 4}, {4, 4}

⁄중복조합의수: ¢H™=¢≠™–¡C™=∞C™=10(개)

일반적으로서로다른 n개에서 r개를택하는순열, 중복순열, 조합, 중복조합의특징을정리하

면다음과같다.

¢P™2!

«P®, «P®, «C®, «H®의비교

개념 넓히기

1.순열, 조합과이항정리 65

●

●

●

●

순열, 조합, 중복조합

이런것은이해하기

힘들어.

순서를생각하면

순열로, 순서를생각하지

않으면조합으로

생각해봐~.

«P® :중복을허용하지않고순서를생각한다.

«P®:중복을허용하고순서를생각한다.

«C® :중복을허용하지않고순서를생각하지않는다.

«H®:중복을허용하고순서를생각하지않는다.

66 Ⅱ.순열과조합

다항식 (a+b+c)fi 을전개할때생기는항의개수를구하여라.1

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

교과서 85쪽

파란색구슬 6개를서로다른세주머니에넣는경우의수를구하여라. 2교과서 85쪽

다음 중복조합의수를구하여라.(1) ∞H£ (2) ∞H¶

1. 다음중복조합의수를구하여라.(1) ¢H™ (2) £H∞

1.

[풀이]

«H®=«≠®–¡C®에서(1) n=5, r=3이므로

∞H£=∞≠£–¡C£=¶C£=35

(2) n=5, r=7이므로∞H¶=∞≠¶–¡C¶∞H¶=¡¡C¶=¡¡C¢=330

농구공, 축구공, 배구공의세종류의공에서 7개를택하는경우의수를구하여라.

2.

[풀이]

서로다른 3개에서 7개를택하는중복조합이므로

£H¶=£≠¶–¡C¶£H¶=ªC¶=ªC™=36(가지)

[풀이]

«H®=«≠®–¡C®에서(1) n=4, r=2이므로

¢H™=¢≠ –¡C™¢H™= C™=

(2) n=3, r=5이므로£H∞=£≠ –¡C∞£H∞= C∞= C™=

빨간색, 파란색, 노란색의세종류의구슬에서 9개를택하는경우의수를구하여라.

2.

[풀이]

서로다른 3개에서 개를택하는중복조합이므로

£H =£≠ –¡Cª£H = C™= (가지)

1.순열, 조합과이항정리 67

다음을만족하는 n또는 r의값을구하여라.

(1) «H¢=15 (2) •H®=1201

어느 동아리 회장 선거에 3명이

출마하였다. 투표를 한 회원이

모두 15명이고, 이들각각이무

기명으로 후보자 한 명을 적어

낼 때, 투표 결과의 경우의 수

를구하여라.

(단, 기권과무효는없다.)다

5

다음식을전개할때생기는항의개수를구하여라.

(1) (a+b+c)‡ (2) (a+b+c+d)‡2

방정식 x+y+z=9를 만족하는 x, y, z의 음이 아닌 정수해의 개수

를구하여라.3

똑같은연필 12자루를네명의학생에게나누어주

는경우의수를구하여라.

(단, 모든학생은적어도한자루의연필을받는다.)

4

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

각학생들에게

먼저연필한자루씩을

나누어줘봐~.

x, y, z를 9번 택하는 중복

조합의수로생각할수있다.

무기명 투표는 이름을 밝히

지 않고 하는 투표이다. 무

기명투표를하는경우는중

복조합으로생각할수있다.

68 Ⅱ.순열과조합

12개의과일을담을수있는바구니한개가있다. 세종류의과일을섞

어서바구니에 12개를채우는경우의수를구하여라. 1

사과 5개와배 5개를세사람에게나누어주는경우의수를구하여라.

(단, 모든사람이사과또는배를적어도 1개씩받는다.)2

방정식 x+y+z=10을만족하는 x, y, z에대하여다음을구하여라.

(1) x, y, z의음이아닌정수해의개수

(2) x, y, z의양의정수해의개수

(3) xæ1, yæ2, zæ3을만족하는정수해의개수

3

양의 부호‘+’6개와 음의 부호‘-’8개를 일렬로 배열할 때, 부호의

변화가 4번생기는경우의수를구하여라.4

집합A={1, 2, 3}에서집합B={4, 5, 6, 7, 8}로의함수 f:A 2⁄B에대하여다음을구하여라.

(1) 집합 A의임의의두원소 a, b에대하여 a

함수의개수구하기두집합X={x¡, x™, y, xμ}, Y={y¡, y™, y, y«}일때, 여러가지함수 f: X 2⁄ Y의개수를구하여보자.

(1) 함수 f의개수는 «Pμ=nμ 이다.(1) ｜보기｜함X={1, 2}, Y={0, 1, 2}일때, 함수 f의개수는　　£P™=3¤ =9(개)

(2) m…n일때

(1) ①일대일함수 f의개수는 «Pμ이다.(1) ①｜보기｜함X={1, 2}, Y={1, 2, 3}일때, 일대일함수 f의개수는　　£P™=6(개)

(1) ② a

70 Ⅱ.순열과조합

이항정리

①두개의항으로이루어진 (a+b)의거듭제곱, 즉 (a+b)« 을전개하는것을이항정리라고

한다.

②n이자연수일때

(a+b)« =«Cº a« +«C¡ a« —⁄ b+y+«C®a« —® +y+«C«b«②이때, 각항의계수

«Cº, «C¡, «C™, y, «C®, y, «C«①을이항계수라하고, (r+1)번째항 «C®a« —® b®을일반항이라고한다.

(1)

파스칼의삼각형

①n=0, 1, 2, 3, 4, 5, y일때, 다항식 (a+b)« 의전개식에서각항의계수를다음과같

이삼각형모양으로나타낼수있다.

①이와같은이항계수의배열을파스칼의삼각형이라고한다.

②파스칼의삼각형에서다음을알수있다.

②⁄ «C®=«C«–® ¤ «–¡C®–¡+«–¡C®=«C®

1{a+b}%`›

… … …

5 10 10 5 1

1{a+b}$`› 4 6 4 1

1{a+b}#`› 3 3 1

1{a+b}@`› 2 1

1{a+b}!`› 1

1{a+b})`›

∞Cº ∞C¡ ∞C™ ∞C£ ∞C¢ ∞C∞

¢Cº ¢C¡ ¢C™ ¢C£ ¢C¢

£Cº £C¡ £C™ £C£

™Cº ™C¡ ™C™

¡Cº ¡C¡

1

이항정리의성질

(1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™x¤ +y+«C«x« 임을이용하면다음을알수있다.① «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2② «Cº-«C¡+«C™-«C£+y+(-1)« «C«= (3)

(2)

⇡내용정리가부족한학생은교과서87~92쪽을공부하여개념을확실히익히세요.

(1) b® (2) n (3) 0답

안에알맞은것을채워가면서교과서에서학습한내용을확인해보세요.*

3.이항정리

1.순열, 조합과이항정리 71

｜ 함 께 하 기 ｜ ｜ 스 스 로 하 기 ｜

바 탕 다 지 기기초개념을확인하고계산능력을기르기위한문제입니다.*

이항정리를이용하여다음식을전개하여라.(1) (x+3)› (2) (x-1)fi

1. 이항정리를이용하여다음식을전개하여라.(1) (x+2)› (2) (x-2)fi

1.

[풀이]

(1) (x+3)›(1) =¢Cº x› +¢C¡ x‹ ¥3+¢C™x¤ ¥3¤

+¢C£x¥3‹ +¢C¢¥3›(1) =x› +12x‹ +54x¤ +108x+81(2) (x-1)fi(2) =∞Cº xfi +∞C¡ x› (-1)+∞C™ x‹ (-1)¤

+∞C£x¤ (-1)‹ +∞C¢ x(-1)›+∞C∞(-1)fi

(2) =xfi -5x› +10x‹ -10x¤ +5x-1

다음식의값을 2« 의꼴로나타낼때, n의값을구하여라.

2.

[풀이]

다항식 (1+x)⁄ ¤ 을전개하면(1+x)⁄ ¤ =¡™Cº+¡™C¡ x+¡™C™x¤(1+x)⁄ ¤ =+y+¡™C¡¡ x⁄ ⁄ +¡™C¡™ x⁄ ¤

이등식의양변에 x=1을대입하면2⁄ ¤ =¡™Cº+¡™C¡+¡™C™+y+¡™C¡™∴ n=12

«Cº+«C¡+«C™+y+«C«=256일때, 자연수 n의값을구하여라.2교과서 91쪽

[풀이]

(1) (x+2)›(1) =¢Cº x›+¢C¡ x‹ ¥2+¢C™x¤̀ ¥2¤

+¢C£x¥2‹ +¢C¢¥2›(1) =x› + x‹ + x¤ + x+(2) (x-2)fi(1) =∞Cº xfi +∞C¡ x› (-2)+∞C™ x‹ (-2)¤

+∞C£ x¤ (-2)‹ +∞C¢ x(-2)›+∞C∞(-2)fi

(2)=xfi - x› + x‹ - x¤+ x-32

다음식의값을 2« 의꼴로나타낼때, n의값을구하여라.

2.

[풀이]

다항식 (1+x)⁄ fi 을전개하면(1+x)⁄ fi =¡∞Cº+¡∞C¡ x+¡∞C™x¤(1+x)⁄ fi =+y+¡∞C¡¢ x⁄ › +¡∞C¡∞ x⁄ fi

이등식의양변에 x= 을대입하면2 =¡∞Cº+¡∞C¡+¡∞C™+y+¡∞C¡∞∴ n=

¡™Cº+¡™C¡+¡™C™+y+¡™C¡¡+¡™C¡™ ¡∞Cº+¡∞C¡+¡∞C™+y+¡∞C¡¢+¡∞C¡∞

다항식 (x+y)⁄ ‚ 의전개식에서 xfi yfi의계수를구하여라.1교과서 89쪽

72 Ⅱ.순열과조합

{ax-;[!;} 5의전개식에서 x‹의계수가-80일때, 실수 a의값을구하여라.

1

다음부등식을만족하는자연수 n의값을구하여라.3

다음식의전개식에서상수항을구하여라.

(1) {x+;[!;} 6 (2) (x¤ +1){x-;[!;} 82

¡ºCº+2¡ºC¡+2¤ ¡ºC™+y+2⁄ ‚ ¡ºC¡º의값을구하여라.4

다음식의값을구하여라.

(1) log™(ªªCº+ªªC¡+ªªC™+y+ªªCªª)

(2) log™ (¢ªC¡+¢ªC£+¢ªC∞+y+¢ªC¢ª)

5

집합 A={1, 2, 3, y, 15}의부분집합중원소의개수가홀수인부

분집합의개수를구하여라.6

기본실력을확인하고응용능력을기르기위한문제입니다.*기 본 익 히 기

전개식의 일반항을 이용하

여상수항을구한다.

(a+b)«의일반항은

«C®a« —® b®이다.

2048…«C¡+«C™+«C£+y+«C«

1.순열, 조합과이항정리 73

10개의똑같은상품과 21개의서로다른상품을합하여모두 31개의상

품이있다. 이중에서 10개를뽑는서로다른경우의수를구하여라.5

10개의원소로이루어진집합A={a¡, a™, a£, y, a¡º}에대하여A의

부분집합 중 a¡을 포함하고 원소의 개수가 n개인 부분집합의 개수를

f(n) (n=1, 2, 3, y, 10)이라고할때

f(2)+f(4)+f(6)+f(8)+f(10)

의값을구하여라.

6

a«=«Cº+;3!;«C¡+{;3!;}2 «C™+y+{;3!;}n «C«일때, ;Kn+! 을 n에대한식으로나타내어라.

1a˚3

다음등식이성립함을증명하여라.4

다양한유형에대한활용능력을키워실력을향상시키는문제입니다.*실 력 키 우 기

다음식의전개식에서 [ ] 안의계수를구하여라.

(1) (1+x)‹ (2+x)› [x]

(2) (1+x)+(1+x)¤ +(1+x)‹ +y+(1+x)⁄ ‚ [x¤ ]

1

21¤ ⁄을 1000으로나눈나머지를구하여라.2

«C¡+2«C™+3«C£+y+n«C«=n¥2« —⁄

똑같은상품과서로다른상

품이각각뽑히는개수에따

른경우의수를구하여본다.

(1+x)«의전개식에서미분

을이용한다.

21¤ ⁄을 (20+1)¤ ⁄

으로놓고이항정리를

이용하면되겠구나!

74 Ⅱ.순열과조합

주역에서는‘ ’와‘ ’두가지모양을중복을허용하여세개를택하고, 이것을

세로로 배열하여 한 괘를 만든다. 괘를 만드는 경우의 수를 구하고, 이를 모두 그려

보아라.

대 단 원 확 인 하 기

1★

여섯개의숫자카드 , , , , , 에대하여다음경우의수를

구하여라.

(1) 일렬로배열하는경우의수

(2) 여섯자리의자연수를만드는경우의수

������3★

오른쪽그림은두지점A, B 사이의도로망을나

타낸것이다. 다음의각경우에최단거리로가는

방법의수를구하여라.

(1) A지점에서 B지점으로가는경우

(2) A지점에서도로 PQ를지나지않고B지점으로가는경우

5★★★

8명의학생이A, B, C 세동아리에나누어가입하려고한다. A동아리에 2명, B

동아리에 3명, C동아리에 3명이가입하는경우의수를구하여라.4★★

오른쪽 그림과 같은 정삼각형 모양의 탁자에 6명이 둘러앉는 경

우의수를구하여라.2★★

이해

A

B

P

Q

이해

의사소통

계산

문제 해결

대단원확인하기(Ⅱ) 75

단원을최종적으로마무리하는문제입니다. 각자의실력을확인해보세요.*

다항식 (x+1)fi (3x-2)› 의전개식에서 x¤의계수를구하여라.8★★

똑같은공책 8권을세명에게모두나누어주는경우의수를구하여라.

(단, 모든사람은적어도한권의공책을받는다.)6★★

다음등식을증명하여라.

(1) ™«Cº+™«C™+y+™«C™«=™«C¡+™«C£+y+™«C™«–¡=2¤ « —⁄

(2) «Cº¤ +«C¡¤ +«C™¤ +y+«C« ¤ =(2n)!n!n!

10★★★

n이자연수일때, 다음을만족하는자연수 n의값을구하여라.

500