1. feladatEgy egyiptomi pira-mis (négyzet alapú egyenes gúla) oldal-éle az alaplappal 60o-os szöget zár be. Mekkora a pira-mis oldallapjának és alaplapjának a haj-lásszöge?

2

260tg

a

m

2

23

a

m

a

mam 2

2

tg 6 4495,2

79,67

2. feladat Egy 284 m hosszú, átlagosan 28o-os emelkedési szögű Kálvária-domb tetején áll egy kis kápolna. A kápolna teteje a domb aljáról (az emelkedőhöz viszonyítva) 3o-os emelkedési szögben látszik. Milyen magas a kápolna?

28428sin

x

28sin284x

m 33,133

28428cos

y m 75,25028cos284 y

y

kx 31tg

75,250

33,1336008,0

k

m 32,17k

Az ábrán egy térkép részlete látható. Az országút egy P pontjából az úttal 38o-os szöget bezárva indul egy 2,4 km-es út az A faluba, majd P-n túl 5 km múlva a Q pontból egy másik az or-szágúttal 78o-os szöget bezárva egy 3 km-es út a B faluba. A két falu között egy egyenes utat akarnak építeni. Milyen hosszú a tervezett út?

3. feladat

85,1138cos54,2254,2 222 y 44,3y

44,3

4,2

38sin

sin

4,25 6,76AQB

6,76cos44,33244,33 222x 06,16

km 007,4x

38sin4,2AT

38cos4,2PT

78sin3BR 78cos3QR

KRBRBK 38sin4,278sin3

78cos338cos4,25AK

22 KBAKAB

4569,1

7325,3

007,4

2. megoldás

4. feladat

Egy háromszög a, b, c oldalaira

sinsin

sin11

2

a

b

b

a

a

b

b

a

Mekkora a háromszög szöge?

sin

sin

sin

sin1

2

a

b

b

a

ab

c

b

c

a

c 2

ab

c

a

b

b

a

a

b

b

a 2

12 ab

c

a

b

b

a 2

1

222 cabba cos222 abba

2

1cos 120

ab

c

a

b

b

a 2

1

sinsin

sin1

sin

sin

sin

sin 2

)sin(sin

sinsin

)(sin1

sin

sin

sin

sin 2

2

1)cos( 60

2. megoldás

5. feladatHatározza meg a p>0 paraméter értékét úgy, hogy a

03sin2sinsin xxx

egyenletnek pontosan 5 db megoldása legyen

a intervallumon!] ;0[ p

0)2sin(2sin)2sin( xxxxx

0sin2coscos2sin2sinsin2coscos2sin xxxxxxxxx

02sincos2sin2 xxx 0)1cos2(2sin xx

02sin x

kx2

2

kx

01cos2 x

2

1cos x

kx 23

2

2

3

4

3p

6. feladat

Oldja meg az alábbi egyenletet az x, y ]2 ;0[ valós számok halmazán:

xyxxxx cos21cos21sin2cossin 4

722

xyxxxx cos21cos21sin2cossin 4

722

0sin x

0cos x

2

1sin x

2

1cos x

Tehát csak lehet. 4

x

xyxxxx cos21cos21sin2cossin 4

722 4

x

y4

cos22

1

2

1 4

7

44

y

4cos2

2

2 4

7

4

y4

cos22 4

7

4

11

y

4cos2 4

7

4

3

2

1

4cos

y

ezért ],2 ;0[, Mivel yx

,4

x

3

4y

7. feladat

Bizonyítsa be, hogy ha a, b, c pozitív valós számok, akkor

bccbaccaabba 222222

Vegyünk fel egy-egy a, b és c szakaszt úgy, hogy c az a-val is és b-vel is 60o-os szöget zárjon be.

Írjuk fel az APC, BPC és ABP háromszögekre a ko-szinusz-tételt.

60cos2222 accax

accax 222

60cos2222 bccby bccby 222

120cos2222 abbaz abbaz 222

Innen a háromszög-egyenlőtlenség miatt: zyx Egyenlőség akkor és csak akkor, ha c az ABP háromszög szögfelezője, azaz

bac

111