「マクスウェル(Maxwell)方程式」を紹介して電磁気基礎を解説するという手順で・・

１つの方法論では、電気と磁気の性質から始め、それぞれの関係を推理し、そのすべてを含んだマクスウェル方程式という形にまとめ上げるところまでを説明するという流れもある。一方、まずマクスウェル方程式（の概要）を紹介し、それらを用いて色々な（電磁気に関する）物理現象を説明するという方法論もある。

第１章

マクスウェルの方程式は簡単！？ (1)https://xtech.nikkei.com/dm/article/COLUMN/20150609/422421/

電磁気学の教科書には、基礎となる方程式として、マクスウェルの方程式が紹介される。しかし、ベクトル解析：ローテーション(rotation)、ダイバージェンス(divergence)、偏微分などを扱った式はやはり、とっつきにくい！？なぜなら、数学的に理解しようとするからか。数式で見ると難しく感じるが、マクスウェル方程式を物理現象を説明する「言葉」と考えると、もしかすると意外に簡単かも。そこで、次の4つの式を順番に説明。

1番目の式：これは、電線に電流が流れたときに磁界が発生する誘導磁界を表現。この式の意味は、「アンペールの法則（右ねじの法則）」の説明にもなっている。アンペールの法則とは、電線に電流 I

が流れたとき、電線から距離 r だけ離れた場所に、同心円状に磁界H＝2πrIの発生を説明。右手の親指を立てて手を握ると、親指の向きを電流の方向としたとき、残りの指の向きが磁界の向きと一致することから、右ねじの法則や右手の法則と呼ばれる。左の1番目の式は、アンペールの法則を説明している。この式の左側は、誘導磁界をベクトル H のローテーションとして表現。ローテーションとは、物理的には「くるくるとループ状に回っている」という意味をもつ。『磁界は、くるくる回って発生』するということを表現。式の右側の第1項は、このとき電線に流れた電流を表現。電線に流れる電流を導電流と呼び、電流の向きがあるので、これをベクトル J で表現。

電線に電流が流れたときに発生するのと同じ磁界を電線のない空間に掛けると、電線に流れる導電流と同じ値の変位電流が発生。この変位電流は、導線に交流が流れる場合のみ発生。電線が切れている部分はコンデンサと考えられ、直流の場合はコンデンサに電流は流れず、交流ではコンデンサにも電流は流れる。変位電流の発生も、これと同様。

式の右側の第2項が偏微分方程式の時間微分（∂/∂t）になっているのは、時間とともに変化している、すなわち交流の世界という意味。電磁気学では∂/∂tという記号がよく出てくるが、これらを無線の世界では「交流のときに起こる」というマークだと理解すると、分かりやすい。

電線に流れる電流の周囲に、それを取り巻くように磁界が発生。この電流に、導電流と変位電流の概念を加えたのがマクスウェルの研究と考えられる。

交流では、電線に流れる導電流とは別に、電線のない空間にも電流が発生。これを表現したのが第2項。電線を切断し、そこに金属板を付けたらどうなるかを考えてみる。それはコンデンサという部品で、このような電線のない空間にも交流であれば電流が流れる。この電流を、電線に流れる導電流と区別して変位電流と呼ぶ。

マクスウェルの方程式は簡単？ (2)https://xtech.nikkei.com/dm/article/COLUMN/20150609/422421/

マクスウェルの方程式の1番目の式では磁界に注目したが、2番目の式では電界に注目。

式の右側は「磁束密度の時間変化」を表現するが、∂/∂tという時間による偏微分マークがあるので、「交流（高周波）の世界で起こること」と、まず理解。また、式の右側にマイナス記号があるので「逆起＝打ち消す」を意味。

電線に交流（高周波電流）が流れると何が起こるか。まず、電線の周りに磁界が発生。その磁界は新たな電界を空間に発生。これが2番目の式で表している誘導電界（ベクトルEのローテーション）。

電磁気学の公式とオームの法則の関係において、磁界は電流に相当すると説明されるので、電流のようなものが電線の周りに流れると、新たな電界が空間に発生することを意味。

電磁気学の公式とオームの法則の関係において、磁界は電流に相当すると説明されるので、電流のようなものが電線の周りに流れると、新たな電界が空間に発生することを意味。

この誘導電界は、ループ状の変位電流と見ることができ、この変位電流を打ち消す方向に別の電流が流れるかのような、新たな磁界がループ状に発生。これが連鎖的に起こるというのが、2番目の式の意味。この連鎖が電磁波につながり、真空中で伝搬する電磁波の存在の予言となったが、現代の電磁気学では、左上の図のような電波伝搬は否定されている。

電波は電界と磁界の位相が一致しているので、現代の電磁気学では、この鎖のようにつながった電界と磁界の図は電波伝搬の説明では用いていない。

マクスウェルの方程式は簡単？ (3)https://xtech.nikkei.com/dm/article/COLUMN/20150609/422421/

マクスウェルの方程式の3番目と4番目の式は、単一の磁極（N極のみの磁石やS極のみの磁石）は存在しない。一方で、単一の電荷は存在することを示したもの。

まず、divとは何かというと、ある微小領域からどれだけ湧き出すか、または吸い込むかを表すベクトル演算子。

図1の3番目の式：「単一の磁極（N極のみの磁石やS極のみの磁石）は存在しない」について説明すると、磁石は一般的にN極とS極の両極を有し、磁力線はN極からS極に向かってループ状に出る。

単一の磁極は存在しないとしているので、それをdiv B＝0と表現。

マクスウェルの方程式の4番目の式：「単一の電荷は存在」について。空間に電荷があるとき、正（＋）の電荷からは電気力線が湧き出し、負の電荷（－）へは電気力線が吸い込まれる。

電気力線が電荷から放射状に湧き出している（または吸い込まれている）状態を、ρが有限値なので、divを用いてdiv D＝ρ

と表現。

N極のみの磁石

S極のみの磁石

マクスウェルの方程式Bは磁束密度、Eは電場の強度、Dは電束密度、

Hは磁場の強度を表現(するベクトル)。ρは電荷密度、jは電流密度を表現。記号「∇·」、「∇×」はそれぞれベクトル場≒ベクトル解析の発散 (div) と回転 (rot) を意味。

① 磁束保存の式・・磁場(磁界)の構造を表現② ファラデー-マクスウェルの式・・変化する磁場と電場(磁界と電界)の関係

③ マクスウェル-ガウスの式・・電荷密度と電場(電界)の関係

④ アンペール-マクスウェルの式・・電流・電場と磁場(電界と磁界)の関係

https://ja.wikipedia.org/wiki/マクスウェルの方程式

① 磁束保存の式積分形で表すと次の式：

ここで B は磁束密度（単位はテスラ T ）、dAは、領域の外側へ向かう方向と直交する閉じた曲面 A

上の微小な方形の領域。

与えられるどんな体積要素についても、表面 A の外側の点のベクトル成分の総和が内側の点のベクトル成分の総和に等しくなり、構造的に見て磁力線が閉曲線でなければならないことを意味。この式は電場の積分形と同様に、閉曲面上を積分したときにのみ意味をもつ。

これらの式は、磁気単極子（モノポール）が存在しないことを前提としており、もし磁気単極子が発見されたならば・・Gaussの定理と同様に・・上の式は次のように変更されることに？

ここで ρmは磁気単極子の磁荷密度。これは(3)と同じイメージに。

ソレノイド（単線密巻）コイルを貫く磁界に変化があったときのコイルの誘導起電力V

は、上の式で表現。ただし、Nは巻数で、ΔΦ/Δtは微小時間Δtでのコイルを貫く磁束の変化。起電力の正の向きを磁束の向きに右ねじを進めるときのねじの回転方向としてあるので、右辺のマイナスは、磁束の変化を打ち消す方向に誘導起電力が発生することを意味。(レンツの法則)

② ファラデー-マクスウェルの式ファラデーの電磁誘導の法則（英語: Faraday's law of induction）とは、電磁誘導において、1つの回路に生じる誘導起電力の大きさはその回路を貫く磁界の変化の割合に比例するというもの。

https://hegtel.com/lenz.html

② ファラデー-マクスウェルの式 No.2

この法則は、コイル等に関わらず任意のループ(閉曲線)に適用可能。閉ループS内の領域を通る磁界の変化とループに沿って発生する電界は比例関係にあり、これを式にすると：

ただし、Eは誘導電場で、dsはループ微小片で、dΦB/dtは磁束の変化。またこの式の微分形式で

の表記は、磁束密度Bを用いて表現：

この一般化された法則も「ファラデーの電磁誘導の法則」と呼ぶが、マクスウェルの方程式の1つにもなっていることから、「ファラデー-マクスウェルの式」とも表記（呼称される）。

③ マクスウェル-ガウスの式ガウスの法則（英: Gauss’ law）とは、カール・フリードリヒ・ガウスが1835年に発見し、1867年に発表した電荷と電場の関係を表す方程式。ジェームズ・クラーク・マクスウェルにより数学的に整備され、マクスウェルの方程式の1つに。電気におけるアンペールの法則とみなすことも。

一般に積分形式と呼ばれるガウスの法則は以下の形で表される表現。

ここで、

D : 電束密度ρ : 電荷密度Q : 積分領域 V の内部にある電荷の総和

dS : 面素ベクトルV : 体積ある領域内に電荷が存在すると、その領域から電荷と等しい大きさの電束という物理量が出入りする

ということを示している。電場(電界) E (D =εE)を用いて

と表現可能。εは誘電率であり、線形の場合はスカラー量。（非線形素子においては行列となることも）

③ マクスウェル-ガウスの式 No.2閉曲面Sにおいて、ガウスの法則

において、体積Vの微小変化による電束（ガウスの法則、面積分）の変化率をdivDで表す。

ここでΔSはΔVの表面である。また

ρ : 電荷密度と表記可能。ここで記号「div」はダイバージェンス (divergence) と読み、発散を表現。直角座標においてdivDは、

と表記可能。微分形式と呼ばれるガウスの法則は以下の形で表現。マクスウェルにより整備。

ここで、∇（ナブラ）は微分演算子。

④ アンペール-マクスウェルの式アンペールの法則（英語: Ampère’s circuital law）は電流とそのまわりにできる磁場との関係を記述。1820年にフランス物理学者アンドレ＝マリ・アンペール (André-Marie Ampère) が発見。

アンペールは実験で2本の電流の間に働く力を観測し、そして実験結果をアンペールの法則にまとめ、それ以前に発見されていた電磁気の現象を説明。アンペールは、電流を流すと、電流の方向を右ネジの進む方向として、右ネジの回る向きに磁場が生じることを発見。右手の親指を立てて手を握ると、電流の方向：親指の向き＆磁場(磁界)方向：残りの指の向きがと一致するため右手の法則（日本では右ねじの法則）と呼ばれることも。

例）無限に長い直線導線に電流を流す。この時、電流の回りには同心円上で右ねじ方向の磁場が発生。

閉じた経路として半径 r の同心円をとると、その上で磁場の大きさは Hとなり、アンペールの法則によれば、

という関係が成立。ただし I は電流、r は電流との距離。これを変形すると次の直線電流の磁場の公式、

が導出。これはビオ・サバールの法則を積分したものと一致。

④ アンペール-マクスウェルの式 No.2アンペールの法則は、周回積分・面積分によって一般式で表すと以下のように表現可能。

ここで、

H : 磁場の強さ

J : 電流密度I : 積分領域 S を貫く総電流

dl : 線素ベクトル

dS : 面素ベクトル∂S : 面Sの境界この式は、ある面 S 内を電流が貫くと、その電流と等しい磁場が面の境界 ∂S で右ねじの法則に従った方向に発生することを意味。

④ アンペール-マクスウェルの式 No.3アンペールの法則はマクスウェルにより拡張され、数学的に整備され、マクスウェルの方程式の4つの方程式の1つ（アンペール-マクスウェルの式）に。その正体は磁気におけるガウスの法則とも考えられる。電流場のループCの微小変化による周回積分

の変化率をrotHを使い、次式で表現。

ここでΔCはΔSの境界であり、(rotH)nとはΔSの法線方向の成分を表現。

rotHを使うとアンペールの法則は

と表記可能。rotはrotation（ローテーション）の略で「回転」の意味。微分演算子∇(ナブラ)を用いて、

と記述可能。マクスウェルの方程式の4つの方程式の1つ（アンペール-マクスウェルの式）。

ベクトル解析のgrad、div、rot について説明

(1) grad（勾配：gradient）の定義勾配ベクトル

の x 成分は、その点で x 軸の向きに少しだけ進んだら、f がどれくらい増えるかを表現。y 成分、z 成分も同様。勾配は、それぞれの変数で偏微分したものを成分に持つベクトル量。

(2) div（発散：divergence）の定義x 成分、y 成分、z 成分を有するベクトルVを

とするとき、Vの発散の定義：発散は実数（スカラ量）。

• grad（勾配）の定義• div（発散）の定義と意味（イメージ）• rot（回転）の定義と意味（イメージ）

https://mathwords.net/graddivrot

ベクトル解析のgrad、div、rot について説明(2)

(3) rot（回転：rotation, curl）の定義x 成分、y 成分、z 成分を有するベクトルVを

とするとき、Vの回転の定義：回転はベクトル量。

• grad（勾配）の定義• div（発散）の定義と意味（イメージ）• rot（回転）の定義と意味（イメージ）

https://mathwords.net/graddivrot

ベクトル解析のgrad、div、rot について説明(3)

div（発散）の意味（イメージ）

divV を単位体積当たりで周囲に対し、どの程度「溢れ出ているか」を示す「量」を表現している・・イメージ・・と捉える

ベクトル解析のgrad、div、rot について説明(4)

rot（回転）の意味（イメージ）

rot V を考える際に、 x 成分、y 成分、z 成分を有するベクトルなので、まずz 成分に着目し、「 z軸の向きに右ねじを置いたときに、どれくらいねじを回そうとするかを表す量」と捉え、 x 成分、y 成分についても同様に考える。

z軸の向き

y軸の正の向きx軸の負の向き

ベクトル解析の∇の使い方について説明

(1)∇の使い方１：勾配

• ∇の使い方１：勾配• ∇の使い方２：発散• ∇の使い方３：回転

https://mathwords.net/nabla

ベクトル解析の∇の使い方について説明(2)(2)∇の使い方２：発散

(3)∇の使い方３：回転

電気磁気学の偉人達(その１)(1)ファラデー：Michael Faraday (1791.09.22-1867.08.25) was an English scientist who contributed to the study of electromagnetism(電磁気) and electrochemistry(電気化学). His main discoveries include the principles underlying electromagnetic

induction(電磁誘導), diamagnetism(反磁性) and electrolysis(電気分解).Although Faraday received little formal education, he was one of the most

influential scientists in history. It was by his research on the magnetic field around a

conductor carrying a direct current that Faraday established the basis for the

concept of the electromagnetic field in physics. Faraday also established that

magnetism could affect rays of light and that there was an underlying relationship between the two phenomena.

He similarly discovered the principles of electromagnetic induction and

diamagnetism, and the laws of electrolysis. His inventions of electromagnetic rotary

devices formed the foundation of electric motor technology, and it was largely due

to his efforts that electricity became practical for use in technology. The SI unit(国際単位系、フランス語：Le Systeme International d'Unites) of capacitance is named in his honour: the farad.

電気磁気学の偉人達(その２)(2)マクスウェル： James Clerk Maxwell (1831.06.13 – 1879.11.05) was a Scottish scientist in the field of mathematical physics. His most notable achievement was to

formulate the classical theory of electromagnetic radiation (電磁放射), bringing together for the first time electricity, magnetism, and light as different manifestations

of the same phenomenon. Maxwell's equations for electromagnetism have been

called the "second great unification in physics" where the first one had been realised

by Isaac Newton.

With the publication of “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” in 1865,

Maxwell demonstrated that electric and magnetic fields travel through space as

waves moving at the speed of light. He proposed that light is an undulation(波動) in the same medium that is the cause of electric and magnetic phenomena. The

unification of light and electrical phenomena led his prediction of the existence of

radio waves. Maxwell is also regarded as a founder of the modern field of electrical

engineering.

He helped develop the Maxwell–Boltzmann distribution, a statistical means of

describing aspects of the kinetic theory of gases(気体分子運動論). He is also known for

presenting the first durable colour photograph (光三原色フィルタで撮影した3枚の写真を重ね、史上初のカラー写真撮影に成功) in 1861and for his foundational work on analysingthe rigidity of rod-and-joint frameworks (trusses) like those in many bridges.

電気磁気学の偉人達(その3)(3)アンペール： André-Marie Ampère (1775.01.20 – 1836.06.10) was a French physicist and mathematician who was one of the founders of the science of

classical electromagnetism, which he referred to as "electrodynamics". He is also

the inventor of numerous applications, such as the solenoid (a term coined by

him) and the electrical telegraph. The SI unit of measurement of electric current,

the ampere, is named after him.

In September 1820, Ampère's friend reported the surprising discovery of Danish

physicist Hans Christian Ørsted that a magnetic needle is deflected by an

adjacent electric current. Ampère began developing a mathematical and physical theory to understand the relationship between electricity and

magnetism. Furthering Ørsted's experimental work, Ampère showed that two

parallel wires carrying electric currents attract or repel each other, depending

on whether the currents flow in the same or opposite directions, respectively - this

laid the foundation of electrodynamics. He also applied mathematics in

generalizing physical laws from these experimental results. The most important of

these was the principle that came to be called Ampère's law. Ampère also

applied this same principle to magnetism, showing the harmony between his law

and French physicist Charles Augustin de Coulomb's law of magnetic action

電気磁気学の偉人達(その4)(4)ガウス： Johann Carl Friedrich Gauss (Gauß: 1777.04.30 - 1855.02.23) was a German mathematician and physicist who made significant contributions to many fields in science

and mathematics. Sometimes referred to as the "Princeps mathematicorum" (Latin for "the foremost of mathematicians") and "the greatest mathematician since antiquity", Gauss had

an exceptional influence in many fields of science and mathematics, and is ranked among

history's most influential mathematicians.

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) is the eponym of all of the topics listed below. There are over 100 topics all named after this German mathematician and scientist, all in the fields of

mathematics, physics, and astronomy.

When Gauss was barely three years old he corrected a math error his father made; and

when he was seven, he confidently solved an arithmetic series problem (commonly said to

be 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100) faster than anyone else in his class of 100 students. Many

versions of this story have been retold since that time with various details regarding what the

series was – the most frequent being the classical problem of adding all the integers from 1

to 100.