1 תיראניל הרבגלאmath.huji.ac.il/~nachi/files/linearit1.pdf · 2019-01-29 · 1...

1אלגברה לינארית

1

2112-2112

1אלגברה לינארית יבגני סטרחוב' פרופ פי הרצאות-על

.נחי א: סיכום

,(43108קורס )למתמטיקאים 1הסיכום נכתב במתכונת הקורס אלגברה לינארית

2312-2310, האוניברסיטה העברית

כל מי ששלח לזאת אני רוצה להודות עם ו, סטרחוב והוא לא מוגה' אישור פרופלא עבר את סיכוםה

:ל דמיוחבו ,הערות ותיקונים

.עות שאבוור מאיה לשקוביץ, זהר כהן, רון הברמן, הדר גורודיסקי ,אייל גור ,נעמה בויאר

[email protected]: להערות

2

:תוכן עניינים

2עמוד .........................................................................................................................................שדות: 1פרק

11 עמוד.......................................................................................................... ............מרחבים וקטוריים: 2פרק

11 עמוד.......................................................................................................................העתקות לינאריות: 2פרק

11 עמוד.........................................................................................................מערכות משוואות ומטריצות: 1פרק

41 עמוד..............................................................................................................................דטרמיננטות: 1פרק

0

שדות – 1ק רפ

שדה

:ומתקיימים הכללים הבאים, מוגדרות בה" כפל"ו" חיבור"כאשר פעולות , "שדה"קבוצה נקראת

:תכונות של פעולת החיבור .א

a. אם,a b , אז קייםc כך שמתקיים , יחידa b c

b. לכל (: חילופיות)קומוטטיביות,a b מתקייםa b b a

c. לכל (: קיבוציות)אסוציאטיביות, ,a b c מתקיים a b c a b c

d. כך שלכל , 0קיים איבר : קיום איבר האפסa 0מתקייםa a

e. לכל : קיום איבר נגדיa קיים איברa , כך שמתקיים 0a a

:תכונות של פעולת הכפל .ב

f. לכל,a b קיים איברc כך שמתקיים , יחידab c

g. לכל : קומוטטיביות,a b מתקייםab ba

h. לכל : אסוציאטיביות, ,a b c מתקיים ab c a bc

i. 1קיים איבר : קיום איבר היחידה , כך שלכלa 1מתקייםa a

j. אם : קיום איבר הופכיa ,0a , 1אז קיים איברa , כך שמתקיים1 1aa

,לכל : דיסטריבוטיביות .ג ,a b c מתקיים a b c ab ac

תכונות השדה

.שדה כלשהו יהי

הוא יחיד 0 .1

הוא יחיד 1 .2

0. 1a הוא יחיד

, 0בשלילה שקיימים נניח(: 1של תכונה ) הוכחה .ושניהם אפס של השדה , שונים 0'

: נכתוב

'

' '

0 0 0

0 0 0

בגלל הקומוטטיביות ניתן להסיק

' ' '0 0 0 0 0 0

8

.ושניהם איברי יחידה של השדה , שונים 1', 1נניח בשלילה שקיימים (: 2של תכונה ) הוכחה

:נכתוב

'

' '

1 1 1

1 1 1

בגלל הקומוטטיביות של הכפל ניתן להסיק

' ' '1 1 1 1 1 1

.באופן דומה 0ההוכחה של תכונה

:טענה

0, שדה כלשהו יהי , אזי לכלa 0מתקיים 0a .

השדה עולה כי ניתן לכתוב מאקסיומות: הוכחה 0 0 0 0 0a a a a .

0aנשתמש בנגדי של 0 :ונקבל 0 0 0 0 0 0a a a a a a

:טענה

0ונניח כי , שדה כלשהו יהי 1 , מקיים תמיד אזי 0 1 .

.יש איבר יחיד -ל, כלומר

0-כך ש, aמכיל גם את האיבר נניח בשלילה שהשדה : הוכחה 1a .

0מאקסיומות השדה עולה כי 0a ,1a a . 0נתון כי 1 , 0 ולכן נסיקa .

שדה המספרים המרוכבים -

: הקבוצה תוגדר כך , ,x y x y , כאשר ,x y כלומר. הם זוג סדור , , ,x y y x.

" שוויון" 1 1 2 2, ,x y x y מתקיים כאשר1 2x x וגם

1 2y y

: יוגדר כך" חיבור" 1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y

: יוגדר כך" כפל" 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1, , ,x y x y x x y y x y x y

5

טענה:

.מהווה שדה ,שמוגדרות עליה הפעולות , הקבוצה

:הוכחה

:נוודא שמתקיימים התנאים שמגדירים שדה, להוכיח שזה שדה כדי

החיבור בממשיים ידי פעולת-מכיוון שהיא מוגדרת על, מוגדרת היטב ובאופן יחיד פעולת החיבור a.א

,שמוגדרת היטב ובאופן יחיד.

: קומוטטיביות מתקיימת b.א

1 1 2 2 1 2 1 2

2 2 1 1 2 1 2 1

, , ,

, , ,

x y x y x x y y

x y x y x x y y

.התוצאות זהות, מכיוון שפעולת החיבור קומוטטיבית בשדה הממשי

: אסוציאטיביות מתקיימת c.א

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3

, , , , , ,

, , , , , ,

x y x y x y x x y y x y x x x y y y

x y x y x y x y x x y y x x x y y y

.התוצאות זהות, אסוציאטיבית בשדה הממשימכיוון שפעולת החיבור

: נגדיר את איבר האפס באופן הבא d.א 0 0,0

, 0,0 0, 0 ,x y x y x y

: נגדיר את האיבר הנגדי באופן הבא e.א , ,x y x y

, , , , , 0,0x y x y x y x y x x y y

, ידי פעולת הכפל בממשיים -מכיוון שהיא מוגדרת על, מוגדרת היטב ובאופן יחיד פעולת הכפל a.ב

.שמוגדרת היטב ובאופן יחיד

: קומוטטיביות מתקיימת b.ב

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1

2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2

, , ,

, , ,

x y x y x x y y x y x y

x y x y x x y y x y x y

.התוצאות זהות, מכיוון שפעולות החיבור והכפל קומוטטיביות בשדה הממשי

6

: אסוציאטיביות מתקיימת c.ב

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3

1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 1

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 2 3 3 2

1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 2 3 2 3 1

, , , , ,

,

, , , , ,

,

x y x y x y x x y y x y x y x y

x x y y x x y x y y x x y y y x x y x y

x y x y x y x y x x y y x y x y

x x x y y y x y x y x x y x y x x y y y

התוצאות , האסוציאטיביות והדיסטריבוטיביות של הכפל והחיבור בשדה הממשי, בגלל הקומוטטיביות

.זהות

: נגדיר את איבר היחידה באופן הבא d.ב 1 1,0

1,0 , 1 0 ,1 0 ,x y x y y x x y

:נגדיר את האיבר ההופכי באופן הבא e.ב

אם , 0x y אז גם2 2 0x y , ולכן ניתן להגדיר

1

2 2 2 2, ,

x yx y

x y x y

-נבדוק את קיום תכונת איבר היחידה

1

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

, , , ,

,

, 1,0

x yx y x y x y

x y x y

x yx y xy

x y x y x y x y

x y xy xy

x y x y x y

:דיסטריבוטיביות מתקיימת. ג

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 1 3 3, , , ,

ba

x y x y x y x y x y x y x y

:נבדוק כל אחד מהצדדים ונראה כי התוצאות זהות

1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 3 1

1 1 2 2 1 1 3 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 1 3 1 3 3 1

1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 2

, , ,

,

,

, , , ,

,

a x y x y x y x y x x y y

x x x y y y x y y x x y

x x x x y y y y x y x y x y x y

b x y x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x y

x x y y x x y y x y x y

1 1 3 3 1x y x y

.התוצאות זהות, האסוציאטיביות והדיסטריבוטיביות של הכפל והחיבור בשדה הממשי, בגלל הקומוטטיביות

7

טענה:

: קבוצה של השדה המרוכב-השדה הממשי מהווה תת

: נתבונן בקבוצה הבאה: נימוק * ,0def

x x

.עצמו הוא איבר בשדה המרוכב 0-מכיוון ש, קבוצה של -קבוצה זו היא תת

:נבדוק את הגדרות החיבור והכפל בקבוצה זו

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

,0 ,0 ,0

,0 ,0 0, 0 0 ,0

x x x x

x x x x x x x x

:ת בפעולות החיבור והכפל מוגדרות בדיוק כמו שהן מוגדרות בשדה הממשיקיבלנו שהתוצאות שמתקבלו

1 2 1 2

1 2 1 2

,0 ,0

,0 ,0

x x x x

x x x x

.שדה של השדה המרוכב-השדה הממשי הוא תת: מסקנה

המספר i

נגדיר 0,1def

i 2ונחשב את ערך הביטוי

def

i i i :

2 0,1 0,1 0 0 1 1,0 1 0 1 1,0i

2נוכל לבטא , שדה של השדה המרוכב-בהתאם למסקנה הקודמת כי השדה הממשי הוא תת 1i .

הצגות שונות של מספרים מרוכבים

הצגה אלגברית של מספרים מרוכבים

ניתן להציג כל מספר ,z x y ,z ,באופן הבא : ,0 ,0z x i y

:נימוק

,0 ,0 ,0 0,1 ,0

,0 0 1 0,0 0 1 ,0 0, ,

x i y x y

x y y x y x y z

4

:בהתאם למסקנה הזו נבחן את הפולינום הבא

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1x iy x iy x x y y i x y x y

התקבל ביטוי מהצורה ,0 ,0z x i y , שמייצג את המספר המרוכב 1 2 1 2 1 2 2 1,x x y y x y x y .

: מכאן שמספרים מרוכבים ניתנים להצגה אלגברית באופן הבא ,z x y x iy

הצגה גאומטרית של מספרים מרוכבים

.נצייר מערכת צירים קרטזית שמייצגת את המישור המרוכב

נגדיר כי ציר ה-x מייצג את החלק הממשי של המספר המרוכב-

נגדיר כי ציר ה-y מייצג את החלק המדומה של המספר המרוכב- I

נגדיר כי2 2z x y

הרכיב הממשי הוא סכום , כלומר. חיבור גאומטרי של מספרים מרוכבים מתבצע כמו חיבור וקטורים

.והרכיב המדומה הוא סכום הרכיבים המדומים, הרכיבים הממשיים

הצגה פולארית של מספרים מרוכבים

נגדיר אתr נגדיר את , להיות הגודל של הוקטור להיות הזווית שבין ציר ה-x ונגדיר כי , לבין הוקטור

0, 2 .

:לפיכך ניתן לכתוב את השוויונים הבאים

cos

sin

cos sin cos sin

x r

y r

z r ir r i

סימון :cos sini

def

e i ( 1נניח בינתיים כי הגודל של הווקטור הוא.)

טענה א' : 1 21 2

ii ie e e

:הוכחה

1 2

1 2

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

cos sin cos sin

cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin

i i

i

e e i i

i i

i e

טענה ב' :

1

1 2

2

ii

i

ee

e

9

ראשית נבדוק את הביטוי : הוכחה2

1ie

–

2

1 2 22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2

cos sin1cos sin cos sin

cos sin cos sinii i i

e

-נציב את התוצאה ונחשב

1

2

1 2

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

1cos sin cos sin

cos cos sin sin sin cos sin cos

cos sin

i

i

i

e i ie

i i

i e

טענה ג' : cos sin cos sinn

i n i n

-את המסקנה הבאה ' ניתן להסיק מטענה א :הוכחה

1 21 22

...i i i ni i i i i i i

n

e e e e e e e e e e

– לפיכך נסיק

cos sin cos sin cos sin ... cos sin ...

n i ni i i

nn

i i i i e e e e

מסקנה כללית : cos sin cos sinnn n nz r i r n i n

כדי לבדוק יחסים בין מספרים מרוכבים יש לבדוק את היחס לפי הערך המוחלט שלהם כפי : 'טענה ד

שהגדרנו 2 2z x y .1, כלומר 2z z.

1להסיק מההצגה הגאומטרית של המספרים המרוכבים ניתן, כהמשך לטענה זו 2 1 2z z z z .

1 -ולכן גם 2 1 2... ...n nz z z z z z .

שדות עם מספר סופי של איברים

סימון והגדרות בסיסיות -

קבוצת המספרים הטבעיים היא 1,2,3,... ,היא 0-וקבוצת המספרים השלמים שגדולים או שווים ל

0 0,1, 2,... .

: נסמן את הקבוצה הבאה 0,1,2,..., 1n n

, nכאשר , n-ב mנגדיר פעולה שהתוצאה שלה היא שארית החלוקה של 0m .

: נסמן אותה באופן הבא nR m .לדוגמה : 5 12 2R

13

הפעולות המדולריות -

,נגדיר פעולות חיבור וכפל מודולריות עבור nk m באופן הבא :

n nn n

def def

k m R k m k m R k m

: דוגמאות 3 23 27 8 56 2 5 7 12 0R R

:טענה -

יש קבוצה n

.שאינה שדה, כלשהו nעבור ,

4nנבחר למשל : הוכחה ,ונבדוק את פעולות החיבור והכפל המודולריות.

4 40 1 2 3 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 0

1 1 2 3 0 1 0 1 2 3

2 2 3 0 1 2 0 2 0 2

3 3 0 1 2 3 0 3 2 1

.ות לשדהוהתוצאות שלהן שייכ, אם כך מצאנו שפעולות החיבור והכפל מוגדרות היטב

: איבר האפס מוגדר היטב4

0 0.

4: האיבר הנגדי מוגדר היטב 4 4 40 0 1 3 2 2 3 1

: איבר היחידה מוגדר היטב4

1 1

: 2-כי אין בטבלה איבר הופכי ל, איבר הופכי אינו מוגדר היטב4

1

42 2 1 1

הקבוצה : מסקנה4

.אינה שדה 4 ,4עם הפעולות ,

משפט:

, ראשוני nלכל n

,4 ,4 מהווה שדה.

.עזר שתסייע בחלקים מסוימים מההוכחה-נשתמש בטענת, לפני ההוכחה עצמה: הוכחה

נגדיר 0

,0,k m , ונשים לב כי ניתן לבטא

0

0

n

n

m A n R m A

k B n R k B

לכל : (א)ה טענ0

,0,k m , מתקיים n n nn n

bydef

m k R m k R m R k

11

: הוכחה

n n n nn

n n n n nn

m k R m k R A n R m B n R k

R R m R k R m R k

Aהמעבר השלישי מבוסס על העובדה שהביטויים n ,B n שכן הם כפולות , אינם תורמים לשארית

.nשלמות וחיוביות של

לכל : (ב)ה טענ0

,0,k m , מתקיים n n nn n

bydef

m k R m k R m R k

: הוכחה

2

n n n nn

n n n n n

n n n n nn

m k R m k R A n R m B n R k

R ABn A n R k R m B n R m R k

R R m R k R m R k

2ABn ,המעבר הרביעי מבוסס על העובדה שהביטויים nA n R k , nR m B n אינם תורמים

.nשכן הם כפולות שלמות וחיוביות של , לשארית

–קיבלנו שתי נוסחאות מעבר עבור חיבור וכפל מודולריים : מסקנה

n nn n

n nn n

m k R m R k

m k R m R k

:ההוכחה עצמה

.השדה ונוודא שהן מתקיימותאקסיומות 11כדי להוכיח את המשפט נעבור על

,חיבור מוגדר היטב ובאופן יחיד עבור . 1 nk m ,כך : n nnm k R m k

: מתקיימת קומוטטיביות של החיבור. 2 n nn nm k R m k R k m k m

,עבור : מתקיימת אסוציאטיביות של החיבור. 0 , nk m l ,ם מתקיי–

n n n n nn n n n n

n n nn n

n n

m k l R m R k l R m R R k l

R m R k l m k l R m k l

R m k l m k l

.המעבר הראשון מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל

.המעבר השלישי מבוסס על כך ששארית של שארית היא בדיוק השארית

.המעבר הרביעי מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל

0איבר אפס יוגדר . 8 0n

def

.נבדוק שמתקיימת ההגדרה:

0 0n nnm R m R m m

12

nאיבר נגדי יוגדר . 5

def

m n m .נבדוק שמתקיימת ההגדרה:

0nnm n m R m n m R n

,כפל מוגדר היטב ובאופן יחיד עבור . 6 nk m ,כך : n nnm k R m k

: מתקיימת קומוטטיביות של הכפל. 7 n nn nm k R m k R k m k m

,עבור : מתקיימת אסוציאטיביות של הכפל. 4 , nk m l , מתקיים–

n n n n nn n n n n

n n n nn n

n n n n nn n n

n nn n n n

m k l R m R k l R m R R k l

R m R k l m k l R m kl R mk l

m k l R m k R l R R m k R l

R m k R l m k l



.שהוכחנו לעילהמעבר הרביעי מבוסס על הנוסחה

.המעבר השישי מבוסס על האסוציאטיביות של הכפל בשדה הממשי

.המעבר השמיני מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל

.המעבר התשיעי מבוסס על כך ששארית של שארית היא בדיוק השארית

.המעבר העשירי מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל

1איבר היחידה יוגדר . 9 1n .נבדוק שמתקיימת ההגדרה:

1 1n nm R m R m m

.אולם נוכיח את הקיום שלו, לא נמצא נוסחה למציאת האיבר ההופכי. איבר הופכי קיים. 13

תהי 0 0,1,2,..., 1n n ,נרצה להוכיח שעבור כל האיברים של הקבוצה 1, 2,..., 1k n קיים1k

,

כך שמתקיים 1 1nk k ( .לאיבר האפס אין הופכי ולכן הוא לא נכלל ב-k.)

10

:מתווה ההוכחה לקיום איבר הופכי

: נתבונן בקבוצה הבאה 0 ,1 ,2 ,..., 1n n n nk k k n k

כמו הקבוצה , איברים nה מכיל הקבוצה 0n

.כפי שנובע מהגדרתה,

שייכים לקבוצה כל איברי הקבוצה 0n

והשארית תמיד , מכיוון שמוגדרת עליהם פעולת כפל מודולרי,

שייכת לקבוצה 0n

.

.כפי שנוכיח מיד, שונים כל איברי הקבוצה

. 1בהכרח שבדיוק אחד מהאיברים הוא , n-איברים שונים שכולם קטנים מ nקיימים בדיוק אם בקבוצה

1קיים איבר , כלומר

0nk

כך ש- 1 1 1nk k .

:iiiנוכיח את עובדה

מספרים 2נניח בשלילה שקיימים 0, nl m ,0 1l m n , כך שעבור,n nl k m k מתקיים

n nl k m k .

l,מהשוויון נובע שלמספרים m יש את אותה השארית( כך מוגדרת הפעולהn) , ולכן את שניהם ניתן לבטא

l: באופן הבא k A n g ,m k B n g .

l m l k m k A n g B n g

A n g A n B n g B n

l k A n m k B n

m lB n A n m k l k n k

B A

אם כך הוכחנו כי m l

n k n B A k m lB A

.ההגדרה של מספר ראשוני היא שלא ניתן לבטא אותו כמכפלה של שני מספרים טבעיים

B,מההגדרה של A וכן, עולה כי הם שלמיםm l B A , 1מכאן שבהכרחB A .

אם n B A k m l . , וגםn הרי ש, ראשוני-n גורם שלk או שלm l , אך נתון כי גםk n וגם

m l n ,ולכן הגענו לסתירה.

nראשוני יתקיים כי nלא ייתכן שעבור : מסקנה nl k m k . לכן בהכרח קיים1k

-כך ש 1 1 1nk k .

יהיו : מתקיימת דיסטריבוטיביות. 11 , , 0,1,..., 1m l k n .

18

n n n n nn n n n n

n n n nn n

n nn n n n n

m l k R m R l k R m R R l k

R m R l k m l k R m l k R ml mk

ml mk R ml R mk m l m k



.המעבר הרביעי מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל

.המעבר השישי מבוסס על הדיסטריבוטיביות של השדה הממשי

.השמיני מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעילהמעבר

משפט:

אזי , מספר פריק nיהי , ,n n n אינו שדה.

.זה מהווה שדה, פריק n-אף ש-נניח בשלילה על: הוכחה

n -פריק נובע שניתן לבטא אותו כך n-מהעובדה ש k m , כאשר מתקיים, nk m ,, 1n

k m ,

, 0n

k m

.1kאיבר הופכי k-מההנחה שמדובר בשדה נובע שקיים ל

-בונן בביטוי הבא נת

1 1 1 1

1 1

0 0

1n

n nn n n n n

n n n n n

k k m k R k m k R n k

k k m k k m m m

, פריק nולכן בהכרח אם , הגענו לסתירה , ,n n n אינו שדה.

ראשוני n: משני המשפטים האחרונים עולה: מסקנה כללית , ,n n n מהווה שדה.

המציין של השדה


1שעבורו מתקיים , mהוא המספר המינימלי המציין של השדה 1 ...1 0

n

15

1מתקיים kכלומר לכל , המקיים את זה mאם אין 1 ...1 0

k

, מוגדר אזי המציין של השדה

.0להיות

נכתוב , הוא המציין של השדה mאם : נסמן char m( .characteristic)

המציין של השדה : דוגמה , ,n n n הואn.

- נימוק

1 1 2 2

1 1 1 3 3

1 1 ... 1 0

nn

nn n

nn n n

n

R

R

R n

טענה:

1, שדה כלשהו יהי 0 , אזי מתקיים תמיד 0char n char ,n ראשוני.

נניח שמתקיים : הוכחה char n ,n 0, פריקn .

1אזי , הוא המציין של השדה nאם 1 ... 1 0

n

nפריק עולה כי ניתן לכתוב n-מהנתון ש k m ,,k m . ולכן נבטא זאת כך-

1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1

1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1

nk m

k m nm m

k

נסמן 1 1 ... 1

k

a , 1 1 ... 1

m

b

1מהנתון כי 1 ... 1 0

n

, נקבל את הביטוי הבא-

1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 0

nk m

a b

0aאם כך מתקיים b ,ומכיוון ש-,k m n ,בסתירה להנחה , אחד מהם הוא המציין של השדה

.הוא המציין של השדה n-ש

16

טענה:

1, שדה סופי כלשהו יהי 0 .הוא -מספר האיברים בn.

a ,0aאם אזי מתקיים תמיד -1

2

1 2

2n

na

a n

:הוכחה

2nאם - ,בהכרח מתקיים , הוא שדה -אזי מכיוון ש 0 ,1 .0-מהנתון שa נובע כי

1a .

לא ייתכן שמתקיים 1 0a , כי אז

1 0a a וגם1 1a a , 1בסתירה להנחה 0 , ולכן

1 1a .

2nאם - , נתבונן בקבוצה הבאה- 1 2 1, ,..., nB b b b , קבוצה זו מוגדרת לכלול את איבריה של

.ולכן כל איבריה שונים, 0למעט ,

-נתבונן בקבוצה נוספת 1 2 1' , ,..., nB a b a b a b ,a.

התוצאה של , פי הגדרת שדה-מכיוון שעל, כוללות את אותם האיברים, B,'B, שתי הקבוצות הללו

.כפל שמבוצע בתוך השדה מוגדרת גם היא על ידי איבר בשדה

.שונים B'לכן גם כל איברי

– נסיק מכך את הביטוי הבא

1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1

00

1

1 2 1 1 2 1

1 2 2 1

' , ,..., , ,...,

,..., ...

,..., ,...,

1 1

n n

n n

n

n n

n n n

B B b b b a b a b a b

b b b a b a b a b

b b b a b b b

a a a a a

נבחר את השדה : דוגמה 5 0,1, 2,3, 4 ,5n . 3נבחר למצוא את ההופכי שלa .

לפי המשפט האחרון מתקיים 1 2 1 5 2 1 3 13 3 3 3 3 3 3 3na a .

נבדוק שאכן הביטוי 1 3 3 3a 3הוא ההופכי שלa , כלומר נוודא כי

1 1a a :

5 5 53 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 4 3 3 2 3 2 1R R R

17

מרחבים וקטוריים: 2פרק

מרחב וקטורי

1, שדה יהי 0F F . הקבוצהV אם" מרחב וקטורי מעל לשדה "נקראת:

.משמעי-ובאופן חד, מוגדרות בתוכה" כפל בסקלר"הפעולת החיבור ופעולת .א

vהיא פעולה בין " כפל בסקלר"כאשר V כלשהו ובין כלשהו.

עשרת התנאים הבאים מתקיימים לכל .ב1 2 3, ,v v v V ולכל, :

i. סגירות של החיבור :1 2v v v V ,v יחיד.

ii. קומוטטיביות של החיבור :1 2 2 1v v v v

iii. אסוציאטיביות של החיבור : 1 2 3 1 2 3v v v v v v

iv. 0קיים איבר : קיום איבר האפסv V , כך שמתקיים1 10vv v

v. קיים איבר : קיום איבר נגדיv V , כך שמתקיים 1 1 0vv v

vi. סגירות של הכפל בסקלר :1v v V

vii. אסוציאטיביות של כפל בסקלר : v v

viii. דיסטריבוטיביות של וקטורים : 1 2 1 2v v v v

ix. דיסטריבוטיביות של סקלרים : v v v

x. 1קיים : קיום איבר היחידה F , 1כך שמתקיים v v

כך . בהגדרת המרחב הווקטורי מופיעים לעתים סימנים שנראים זהים אך מוגדרים באופן שונה

מופיע הביטוי viiלדוגמה בתנאי לצד הביטוי v . הכפל בביטוי הראשון מוגדרת על ידי

Vאילו הכפל בביטוי השני מוגדר על ידי פעולת הכפל במרחב הווקטורי ו, פעולת הכפל בשדה

(.כפל בסקלר)

כי , היא מוגדרת על ידי הפעולות בשדה , לבין כאשר מבוצעת פעולה כלשהי בין , כלומר

, . לעומת זאת כאשר מבוצעת פעולה כלשהי ביןv לבין ( או) , היא מוגדרת על ידי

vכי , Vהפעולות במרחב הווקטורי V , ובהגדרת המרחב הווקטורי דרשנו את הקיום של הפעולות

.הייחודיות למרחב הווקטורי

14

דוגמאות למרחבים וקטוריים חשובים:

1דוגמה

והקבוצה יהיו השדה 0V .

1: נגדיר את פעולת החיבור 2 1 2

def

v v v v 1: נגדיר את פעולת הכפל בסקלר 1

def

v v

.עם הפעולות הללו מהווה מרחב וקטורי Vהקבוצה :טענה -

.נעבור על עשרת התנאים של מרחב וקטורי ונוודא שהם מתקיימים: הוכחה -

i. 1: סגירות של החיבור 2 1 2v v v v

ii. 1: קומוטטיביות של החיבור 2 1 2 2 1 2 1v v v v v v v v

iii. אסוציאטיביות של החיבור :

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

v v v v v v v v v

v v v v v v v v v

iv. 0נגדיר : קיום איבר האפס 1v

def

, 1ומתקיים 1 1 10 1 1vv v v v

v. 1נגדיר : קיום איבר נגדי

def

v v , כך שמתקיים 1

1 1 1 1

1

1 1 1 0V

v v v v

v v

vi. סגירות של הכפל בסקלר :1 1

1

0,v v

v

vii. אסוציאטיביות של כפל בסקלר :

v v v

v v

viii. דיסטריבוטיביות של וקטורים :

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

v v v v

v v v v v v

v v

ix. דיסטריבוטיביות של סקלרים :

v v v v

v v v v

x. 1נגדיר : קיום איבר היחידה 1F , כך שמתקיים11 1F v v v v

2דוגמה

19


P:להיות הפונקציה " פולינום מעל לשדה "נגדיר י הבאשמוגדרת על ידי הביטו :

0 1 2

0 1 2 ... n

np x a x a x a x a x , כאשרn , 0 1, ,..., na a a .

ונסמן אותה , נתבונן בקבוצת כל הפולינומים שמעל לשדה .

, קבוצת כל הפולינומים שמעל לשדה : טענה , מהווה מרחב וקטורי מעל לשדה.

:הוכחה

- נבדוק את פעולת החיבור. א

נבחן את 1

p x , 2

p x כאשר :

1 1 1 1 10 1 2

0 1 2

2 2 2 2 20 1 2

0 1 2

...

...

n

n

m

m

p x a x a x a x a x

p x a x a x a x a x

1 2 1 1 1 1 2 2 2 20 1 2 0 1 2

0 1 2 0 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 20 1 2

0 0 1 1 2 2

... ...

... ...

n m

n m

m n

m m n n

p x p x a x a x a x a x a x a x a x a x

a a x a a x a a x a a x a a x

וקיבלנו, השתמשנו בתכונות הקומוטטיביות והדיסטריבוטיביות של המרחב הווקטורי

.מפעולת החיבור ביטוי שמורכב מאיברים שמקיימים הגדרה של פולינום מעל לשדה

- נבדוק את פעולת הכפל בסקלר. ב

0 1 2 0 1 2

0 1 2 0 1 2... ...n n

n np x a x a x a x a x a x a x a x a x

וקיבלנו מפעולת הכפל בסקלר, השתמשנו בתכונת הדיסטריבוטיביות של המרחב הווקטורי

.ביטוי שמורכב מאיברים שמקיימים הגדרה של פולינום מעל לשדה

: מסקנה מהווה מרחב וקטורי מעל לשדה.

:0דוגמה

,Vיהיו .

.מהווה מרחב וקטורי מעל לשדה הקבוצה : טענה

-פעולת החיבור מוגדרת היטב : נימוק1 2 1 2,z z z z

z, -פעולת הכפל מוגדרת היטב z

23

תכונות של מרחבים וקטוריים

vאזי לכל . מרחב וקטורי מעל לשדה Vיהי V מתקיים –

0Vאיבר האפס .1 הוא יחיד

הוא יחיד vהאיבר הנגדי .2

0מתקיים כי .0 0Vv

,0מתקיים כי לכל .8 0Vv

מתקיים כי .5 1v v

:הוכחות

0Vנניח שקיימים .1 ,0 'V

.Vששניהם איברי האפס של המרחב הווקטורי

0 0 0 ' 0 ' 0 0 'V V V V V V

vששניהם איברים נגדיים של v ,'vנניח שקיימים .2 V.

0 ' 0 ' 'v v v v v v v v v v

-מהגדרת איבר האפס נובע כי .0

0 0 0 0 0 0 0 0 0v v v v v v v v v

0מכיוון שהאיבר v V , מתקיים כי 0 0 0Vv v

0לכן ניתן להסיק כי 0V v

8. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0V V V V V V V V V V

5. 1 1 1 1 1 0 0 0Vv v v v v v

21

מרחב וקטורי-תת

.מרחב וקטורי מעל Vיהי

U מרחב וקטורי של המרחב הווקטורי -היא תתV , אם מתקיימים שני תנאים-

1. U V.

2. U היא מרחב וקטורי מעל.

מרחב וקטורי-אפיון שקול של תת

– שקולות B-ו Aהטענות

A. U V היא תת מרחב וקטורי שלV מעל השדה

B. שלושת התנאים הבאים מתקיימים-

1. 0V U

2. 1 2 1 2,u U u u U u u U

0. u U u U

B: )הוכחה A)

Uנניח כי V היא תת מרחב וקטורי שלV מעל השדה.

0Uנובע כי הוא מרחב וקטורי מעל U-כי מהנתון ש, מתקיים 1תנאי u u . נסיק כי

0 0 0 0V U V Uu u , 0ולכן נובע מידית כיV U.

.כמרחב וקטורי מעל מתקיימים באופן טריוויאלי מעצם ההגדרה של 0ותנאי 2תנאי

A: )הוכחה B)

-התנאים 0נניח כי מתקיימים

1. 0V U

2. 1 2 1 2,u u U u u U

0. u U u U

נובעות מהתנאים הללו , אסוציאטיביות ודיסטריבוטיביות, קומוטטיביות, סגירות לחיבור ולכפל בסקלר

.Vקבוצה של -מוגדרת להיות תת U-ומכך ש

.1קיום איבר האפס נובע מתנאי

uנתון כי : 0י קיום איבר נגדי נובע מתנא U לכל . 1נבחר , ונקבל כיu U .

. 0תנאי איבר היחידה נובע מידית מתנאי

22

ונגדיר מרחב וקטורי , נגדיר שדה : דוגמה 4

1 2 3 4 1,2,3,4, , ,V x x x x x .

V - קבוצה של -להיות תת Uנגדיר את 1 2 3 4 1,2,3,4 3 4, , , 5U x x x x x x x b

0bמ "אמ Vמרחב וקטורי של -היא תת Uנוכיח כי .

(של הגרירה' צד א: )הוכחה

.Vמרחב וקטורי של -היא תת Uנניח כי

0Vמרחבים וקטוריים נובע כי -מהמשפט אודות תת U.

0 0,0,0,0V . מהדרישה3 45x x b בקבוצהU , 0נובע כי 5 0 0b b .

(של הגרירה' בצד : )הוכחה

0bנניח כי . מרחב וקטורי -התנאים ששקולים להגדרת תת 0נוכיח כי מתקיימים-

0Vנבדוק שמתקיים התנאי הראשון שקובע .1 U.

0b-מכיוון ש , ניתן להסיק כי3 4 3 45 0 5x x b b x x .

האיבר 0 0,0,0,0V מקיים את הדרישה3 45x x , 0ולכן מתקייםV U.

נבדוק שמתקיים התנאי השני שקובע .21 2u u U .

-נגדיר איברים 1 1 1 1 1

1 2 3 4, , ,u x x x x , 2 2 2 2 2

1 2 3 4, , ,u x x x x.

-נגדיר את הסכום של שני האיברים

1 1 1 1 2 2 2 2

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , , , , ,def

z z z z z x x x x x x x x

נוכיח שמתקיים התנאי 3 45z z -

נשתמש בהגדרה 1 2

3 3 3z x x , 1 2

4 4 45 5z x x , כי מתקיים ונקבל

1 1 2 2 1 2 1 2

3 4 3 4 3 3 4 45 5 5x x x x x x x x

uנבדוק שמתקיים התנאי השלישי שקובע .0 U .

1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,x x x x x x x x

מהנתון 3 45x x נובע גם כי 3 45x x , ולכןu U .

20

מרחב מינימלי-תת

מרחב -היא תת Uנאמר כי . Vמרחב של -תת Uותהי , מרחב וקטורי מעל השדה Vיהי

U'מתקיים Vמרחב וקטורי של -שמהווה תת U'אם לכל , Vמינימלי של U.

Span

.מרחב וקטורי מעל השדה Vיהי

תהי 1 2, ,..., nv v v V קבוצת וקטורים סופית.

תהי 1 2, ,..., n קבוצת סקלרים סופית.

Span של הקבוצה 1 2, ,..., nv v v הוא קבוצת כל האיברים שמתקבלת על ידי צירופים לינאריים של

1 2, ,..., nv v v.

הוא סכום של וקטורים " צירוף לינארי" 1 2, ,..., nv v v מוכפלים בסקלרים 1 2, ,..., n .

-כלומר 1 2 1 1 2 2, ,..span ., ...n n n

def

v v v u u v v v

-או באופן שקול 2 1 2

1

1, ,..., , ,...an ,sp ,n

n i i i i

d

n

ef i

v v v v vu v vv

של קבוצת שני הווקטורים Span: לדוגמה 1 2,v v שנמצאים במישור2

הוא המישור

2, ,0 ,x y x y .

משפט

ותהי , מרחב וקטורי מעל השדה Vיהי 1 2, ,..., nv v v V קבוצת וקטורים סופית.

-נגדיר 1 2, ,...,span nU v v v , אזי-

1. U מרחב וקטורי של -היא תתV

2. U מרחב וקטורי המינימלי שמכיל את -היא תת 1 2, ,..., nv v v

0. U מרחב וקטורי המינימלי היחיד שמכיל את -היא תת 1 2, ,..., nv v v

28

– ורי מרחב וקט-תנאים שקולים להגדרה של תת 0הוכחנו כי קיימים ( 1: )הוכחה

8. 0V U

5. 1 2 1 2,u U u u U u u U

6. u U u U

– נוכיח ששלושת התנאים מתקיימים

i. מההגדרה 1 2, ,...,span nU v v v נובע כיU מכילה כל צירוף לינארי של

1 2, ,..., nv v v 0נבחר את הסקלר . עם כל סקלר , ונקבל–

1 20 0 0 ... 0V nv v v . 0ולכןV U.

ii. נניח כי1 2,u u U , מהגדרתspan נובע כי ניתן לבטא אותם כך–

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

...

...

n n

n n

u v v v

u v v v

-לבטא כצירוף לינארי נסיק כי גם את הסכום ניתן

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

... ...

...

n n n n

n n n

u u v v v v v v

v v v

ולכן 1 2u u U .

iii. מהגדרתspan נובע כי1 1 2 2 ... n nu v v v . נכפיל בסקלר -

1 1 2 2 1 1 2 2... ...n n n nu v v v v v v קיבלנו

עם הסקלר Uצירוף לינארי של איברי הקבוצה .

,מתכונת הסגירות לכפל בשדה נובע כי , ולכן גם הביטוי החדש שייך

.U-ל

-כך ש, Vמרחב של הווקטור -הוא תת U*נניח כי ( 2: )הוכחה *

1 2, ,..., nv v v U.

U*נרצה להוכיח כי U (מוכלת או שווה) , ולכןU מרחב מינימלי-תת.

מהנתון *

1 2, ,..., nv v v U ומהנתון*U נובע כי , מרחב וקטורי-הוא תת –

*

1 1 2 2 ... n nv v v U

.מרחב וקטורי הוא מרחב וקטורי ולכן הוא סגור לכפל בסקלר ולחיבור-כי כל תת

-לכן נסיק * *

1 1 2 2 1 1 2 2... ...n n n nv v v U v v v U U U .

25

שמקיים U$מרחב מינימלי -נניח בשלילה שקיים עוד תת( 0: )הוכחה $

1 2, ,..., nv v v U.

U$נרצה להוכיח כי U וכך נסיק כיU יחיד.

U$ולכן , מרחב מינימלי-הוא תת U-של המשפט נובע ש 2מחלק U.

U$ולכן , ימליהוא תת מרחב מינ U$-של המשפט נובע ש 2מחלק U.

U$: מסקנה U.

תלות לינארית


תהי 1 2, ,..., nv v v V קבוצת וקטורים סופית.

תהי 1 2, ,..., n קבוצת סקלרים סופית.

נגדיר כי הווקטורים .11 2, ,..., nv v v V אם קיימים הסקלרים , תלויים לינארית

1 2, ,..., n ,כך שמתקיים , 0-ולא כל הסקלרים שווים ל–

1 1 2 2 ... 0n n Vv v v

נגדיר כי הווקטורים .21 2, ,..., nv v v V רק, ל"אם מתקיים השוויון הנ, בלתי תלויים לינארית

.0-כאשר כל הסקלרים שווים ל

.בהכרח תלויה לינארית 0-כל קבוצה שמכילה את וקטור ה: לדוגמה

הקבוצה , כלומר 1,...,0 ,...,V nv v כי ניתן לבטא את כל איבריה באופן הבא , תלויה לינארית-

10 ... 1 0 ... 0 0V n Vv v .

קבוצת הווקטורים : לדוגמה 1,0,0 , 0,1,0 , במרחב 0,0,13

כי אם , בלתי תלויה לינארית

מתקיים 1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1 0 0,0,0V , ניתן להסיק כי –

1 1

2 2

3 3

1,0,0 0 0

0,1,0 0 0

0,0,1 0 0

.0-בניגוד לתנאי שלא כל הסקלרים שווים ל

26

-אם נוסיף לקבוצת הווקטורים וקטור כלשהו 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 , , ,x y z , הקבוצה

.תהפוך לתלויה לינארית

הסיבה לכך היא שכאשר ישנם ארבעה וקטורים במרחב 3

ניתן להציג כל וקטור כצירוף לינארי של ,

ולכן , שלושת הווקטורים האחרים4 1 1 2 2 3 3v e v e v e v .

-מכאן שניתן לבטא 4 1 1 2 2 3 31 0v e v e v e v ,בהתאם להגדרת תלות לינארית.

Linear Dependence Lemma


יהיו 1 2, ,..., nv v v V וגם מתקיים , וקטורים תלויים לינארית

1 0Vv .

– אזי

j ,2קיים אינדקס .1 j n , כך שמתקיים 1 1span ,...,j jv v v .

כמו כן מתקיים כי .2 1 1 1 1 1span ,..., span ,..., , ,...,n j j jv v v v v v

נתון כי הווקטורים ( 1: )הוכחה1 2, ,..., nv v v V משמע קיימים הסקלרים , תלויים לינארית

1 2, ,..., n , כך שמתקיים , 0לא כולם שווים1 1 2 2 ... 0n n Vv v v .

נוכיח שבקבוצת הסקלרים 2,..., n 0-לא כל האיברים שווים ל.

– אזי נקבל כי , 0-נניח בשלילה שכל האיברים שווים ל

1 1 2 2 1 1 2 1 1... 0 0 ... 0 0 0n n V n V Vv v v v v v v

מהתנאי 1 0Vv נובע כי

1 1 10 0Vv .

צאה שבה גם הסקלרים קיבלנו תו2,..., 0n וגם

1 0 , בסתירה לתנאי להגדרת תלות

.0-לינארית שלא כל הסקלרים שווים ל

נסיק כי לא כל הסקלרים 2,..., n 0-שווים ל.

.jונגדיר את האינדקס שלו להיות , 0נבחר את הסקלר בעל האינדקס המקסימלי שאינו

1נסיק כי 1 1 1 1 1... ... 0j j j j j j n n Vv v v v v .

,...,1נסיק כי jלפי הבחירה של 0j n , ולכן –

27

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

... 0 ...

... ...

j j j j V j j j j

j j j j j j j j j

v v v v v v

v v v v v v

היא spanנשים לב שההגדרה של 1 1 1 11 1 ...span ,..., j jj u u v vv v ,

ולכן אם נבחר 1 1

1 1 1 1,..., ,...,j j j j

ניתן להסיק-

1

1 1

1 1 1 11... span ,...,j j j j jj jv v v v vv

כדי להוכיח את השוויון ( 2: )הוכחה 1 1 1 1span ,..., span ,... , ,...,n j j nv v v v v v נוכיח הכלה

.הדדית

הוכחה כי .א 1 1 1 1span ,..., span ,... , ,...,n j j nv v v v v v .

נניח כי 1span ,..., nv v v . נסיק כי ניתן לבטא-

1 1 1 1 1 1... ...j j j j j j n nv v v v v v

-של המשפט כי 1ונשתמש במסקנה מחלק , של המשפט 1כמו שבחרנו בחלק jנבחר את

1 1 1 1...j j jv v v

-ולכן

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

1

1 1

... ...

... ... ...

s

... ...

pan ,... , ,...,

j j j j j j n n

j j j j j j j n n

j j j j j

j

j j j n n

j n

v v v v v v

v

v v v v

v v v v v v

v v v v v v v v

v

נזכור כי הנחת המוצא של ההוכחה הייתה כי 1span ,..., nv v v , ולכן מהמסקנה עולה כי

- 1 1 1 1span ,..., span ,... , ,...,n j j nv v v v v v v v

מגרירה זו נובע כי 1 1 1 1span ,..., span ,... , ,...,n j j nv v v v v v .

–באופן טריוויאלי ניתן להסיק מהגדרת הקבוצות כי מתקיים .ב

1 1 1 1span ,... , ,..., span ,...,j j n nv v v v v v

:מסקנה 1 1 1 1 1span ,..., span ,... , ,...,j j j nv v v v v v

24

סופית-מרחב וקטורי נוצר

ויהיו , מרחב וקטורי מעל השדה Vיהי 1,..., nv v V מספר סופי של וקטורים.

אם מתקיים 1,s .an .,p . nV v v ,נאמר ש-V "סופית-מרחב וקטורי נוצר."

דוגמאות

3V. א , . תמיד מתקיים כי span 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1V , ולכן המרחב

3Vהווקטורי סופית-נוצר.

. ב V P x . כי לא ניתן , סופית-כלשהו אינה מרחב וקטורי נוצר קבוצת הפולינומים מעל לשדה

.של מספר סופי של וקטורים spanבאמצעות Vלהציג את כל המרחב הווקטורי

לה שניתן להציג נניח בשלי: נימוק 1span ,..., kV p p.

-כל פולינום מהמרחב הווקטורי שמעלתו גדולה מ 1max deg ,...,deg km p p ,לא שייך ל-

1span ,..., kp p , ולכן 1span ,..., kV p p.

משפט


כלומר . סופית-מרחב וקטורי נוצר Vנניח כי 1,s .an .,p . nV v v.

וקטורים מהמרחב mנבחר 1,..., mu u V.

אם 1,..., mu u אז , בלתי תלויים לינאריתm n.

3Vאת המרחב הווקטורי : המחשה] מעל לשדה ניתן להציג כ-span של שלושה

(.כמו בדוגמה א לעיל. )וקטורים

.[לא יותר משלושה איברים מהמשפט ינבע שכל קבוצת וקטורים בלתי תלויים לינארית שנבחר תכיל

:הוכחה -

נניח בשלילה שהווקטורים .11,..., mu u V ובכל זאת , בלתי תלויים לינאריתm n.

מהנתון כי .21,..., mu u V בלתי תלויים לינארית נובע בפרט

1 0Vu .

0Vהוכחנו שכל קבוצת וקטורים שמכילה את האיבר : נימוק] .[תלויה לינארית

סופית נובע כי אם -מהגדרת מרחב נוצר .01u V אזי 11 span ,..., nu v v .ניתן להציג , כלומר

את 1u כצירוף לינארי של האיברים

1,..., nv v , ולכן–

1 1 1 1 1 1... 1 ... 0n n n n Vu v v u v v

מביטוי זה נובע שהווקטורים 1 1, ,..., nu v v תלויים לינארית.

29

קיים , והראשון שונה מאפס, נשתמש במשפט שקובע כי עבור קבוצת וקטורים תלויה לינארית .8

j ,2אינדקס j n , כך שמתקיים 1 1span ,...,j jv v v .

עבור הווקטורים , נסיק כי במקרה שלנו1 1, ,..., nu v v קיים

11 j n שמקיים

1 11 1span ,...,j jv v v .

:נשים לב שממסקנה זו נובע

1 11 1 1 1 1 1 1,..., ,span span spa, n..., , ,..., , ,...,n n j j nv v u v v u v v v vV

.סופית-מרחב וקטורי נוצר V-השוויון הראשון מבוסס על ההנחה ש: נימוק]

השוויון השני מבוסס על כך שתוספת של וקטור 1u כי בין כה וכה מההנחה ש, לא משנה-V

פית מתקיים סו-מרחב נוצר 1 1span ,..., nu v vV .

-השוויון השלישי מבוסס על כך ש 1 11 1span ,...,j jv v v ,ולכן אפשר להסיר אותו].

מהנתון כי .51,..., mu u V בלתי תלויים לינארית נובע בפרט

2 0Vu ( . 2מאותו נימוק שבשלב.)

1 12 2 1 1 1 1 1 1 1,..., , ,...,span span spa , ,..., , , ,n ...n n j j nu V u v v u v v u v v v v

סופית נובע כי אם -מהגדרת מרחב נוצר2u V אזי 12 span ,..., nu v v.

כמו כן הראינו כי 1 11 2 1 1 1 12 ,..., , ,..., , ,a .. ,p n .s n j j nv v u u v v v vu .

ולכן ניתן להציג את 2u כצירוף לינארי של האיברים

1 11 1 1 1, ,..., , ,...,j j nu v v v v , ולכן–

2 0 1 1 1 2 0 1 1 1... 1 ... 0n n n n Vu u v v u u v v

מביטוי זה נובע שהווקטורים 1 12 1 1 1 1, , ,..., , ,...,j j nu u v v v v תלויים לינארית.

קיים , והראשון שונה מאפס, נשתמש שוב במשפט שקובע כי עבור קבוצת וקטורים תלויה לינארית .6

j ,2אינדקס j n , כך שמתקיים 1 1span ,...,j jv v v .

עבור הווקטורים , נסיק כי במקרה שלנו1 12 1 1 1 1, , ,..., , ,...,j j nu u v v v v קיים

21 j n

2 1j j , שמקיים 2 1 1 22 1 1 1 11, , ,...,sp ...,n ,aj j j jv u u v v v v .

: נשים לב שממסקנה זו נובע

1 1 2 2

1 2 1 1

2 1 1 1 1 1 1

,..., , , ,...,

, , ,..., , ,..., , ,..

span span

sp .,an

n n

j j j j n

v v u u v v

u u v v v v

V

v v

.סופית-מרחב וקטורי נוצר V-השוויון הראשון מבוסס על ההנחה ש: נימוק]

03

השוויון השני מבוסס על כך שתוספת של וקטורים 1 2,u u כי בין כה וכה מההנחה ש, לא משנה-

V סופית מתקיים -מרחב נוצר 1 2 1spa, ,. .,n . nVu u v v.

-השוויון השלישי מבוסס על כך ש 1 11 1span ,...,j jv v v ועל כך ש-

2 21 1span ,...,j jv v v ,

.[ולכן אפשר להסיר אותם

mרק בגלל שהנחנו בשלילה כי .7 n , נובע שניתן לחזור על התהליך הזהn פעמים ועבור כלv

-כך ש, uלקבל

1 1,..., ,..span span .,n nV u uV v v

mאם : נימוק] n , כאשר נגיע להחלפה מספרm לא נוכל להמשיך].

נבחר .4mu V.

נובע כי 7משלב 1 1,...span spa , . ,n, . .m m n m nu V u v v u u u .

ניתן לבטא את , כלומרmu באופן הבא-

0 1

0 1

...

1 ... 0

nm n

m n n V

u u

u

u

u u

מכאן נובע כי 1,..., mu u בסתירה להנחה שהם בלתי תלויים לינארית, תלויים לינארית.

m: מסקנה n.

משפט


כלומר . סופית-מרחב וקטורי נוצר Vנניח כי 1,s .an .,p . nV v v.

.Vתת מרחב וקטורי של Uיהי

.סופית-מרחב וקטורי נוצר Uאזי

:הוכחה -

אם .א 0VU

כי תמיד , המשפט מתקיים באופן טריוויאלי sp 0n0 aV V

.

אם .ב 0VU , אזי קיים1u U , כך שמתקיים

1 0Vu .

a. אם 1spanU u סופית-המשפט מתקיים מהגדרת מרחב נוצר.

b. אם 1spanU u אזי קיים2u U , כך שמתקיים 12 spanu u.

ניתן להסיק כי הווקטורים 1 2,u u תלויים לינאריתבלתי.

01

נניח בשלילה כי : נימוק]1 2,u u משמע קיימים . תלויים לינארית

1 2, ,לא שניהם אפס ,

כך שמתקיים 1 1 2 2 0Vu u .

נבחר 2 0V , 1ונקבל כי

1 1 2 2 2 1

2

0Vu u u u

.

בסתירה לטענה כי 12 spanu u].

i. אם 1 2span ,uU u סופית-המשפט מתקיים מהגדרת מרחב נוצר.

ii. אם 1 2span ,uU u אזי קיים3u U , כך שמתקיים 13 2span ,uu u.

באותו אופן ניתן להסיק שהווקטורים 1 2 3, ,u u u בלתי תלויים לינארית.

.מהמשפט הקודם נובע שהתהליך מסתיים אחרי מספר סופי של שלבים .ג

גדול mנקבל כי קיים מספר , נניח שהתהליך לא מסתיים אחרי מספר סופי של שלבים: נימוק]

.[בסתירה למשפט הקודם, של וקטורים שהם בלתי תלויים לינארית, n-יותר מ

בסיסים

ויהיו , מרחב וקטורי מעל השדה Vיהי 1,..., nv v V מספר סופי של וקטורים.

הרשימה 1,..., nv v של " בסיס"נקראתV , אם –

כלומר מתקיים , סופית-מרחב וקטורי נוצר V .א 1,s .an .,p . nV v v,

הווקטורים .ב1,..., nv v V בלתי תלויים לינארית,

: היא איברים סדורים" רשימה]" 1 1 1 1,..., ,..., ,...,n n n nu u v v u v u v ].

nVעבור המרחב הווקטורי : למשל ,הרשימה הבאה מהווה בסיס סטנדרטי:

1,0,...,0 , 0,1,0,...,0 ,..., 0,...0,1

n n n

n

02

יחידות ההצגה

1,..., nv v V הם בסיס שלV ,מ לכל וקטור "אמv V קיימת הצגה יחידה1 1 ... n nv v v ,

1,..., n .

: )הוכחה -1,..., nv v V בסיס קיימת הצגה יחידה)

מהנתון כי 1,..., nv v V מהווים בסיס נובע כי מתקיים 1,s .an .,p . nV v v ,ן עבור כל וקטור ולכ

v V קיימת הצגה1 1 ... n nv v v .

vנניח בשלילה שקיימת הצגה נוספת של V ,כך ש-1 1 ... n nv v v .

-נקבל כי מתקיים

1 1 1 1 1 1 1 10 ... ... ...V n n n n n nv v v v v v v v

מהנתון כי 1,..., nv v V ולכן בהכרח מתקיים , מהווים בסיס נובע כי הם בלתי תלויים לינארית

1 1,..., n n .קיימת הצגה יחידה, כלומר.

קיימת הצגה יחידה : )הוכחה -1,..., nv v V בסיס)

: נוכיח שמתקיים התנאי הראשון של בסיס 1,s .an .,p . nV v v.

מצד אחד 1,..., nv v V ולכן מתקיים כי 1,...,span nv v V( .כיspan הוא הכפלה בסקלרים

(.ומרחב וקטורי לפי הגדרתו סגור לפעולות הללו, וחיבור של וקטורים

vמצד שני נתון כי עבור כל וקטור V קיימת הצגה1 1 ... n nv v v , ולכן כל וקטור מקיים

1,s .an .,p . nv v v .כלומר , 1,s .an .,p . nV v v.

נסיק באופן כללי כי 1 1 1,..., ,..., ,span span s . ,p .n .an n nv v V V Vv v v v

: נוכיח שמתקיים התנאי השני של בסיס1,..., nv v V בלתי תלויים לינארית.

נניח בשלילה שהווקטורים 1,..., nv v כלומר. תלויים לינארית ,

1 10 ...V n nv v .

ידוע גם כי 10 0 ... 0V nv v . מיחידות ההצגה נסיק כי

1 0 ,..., 0n .כלומר ,

1,..., nv v ם לינאריתבלתי תלויי.

00

בניית בסיס באמצעות השמטת וקטורים תלויים

נניח גם כי מתקיים . מרחב וקטורי מעל Vיהי 1,s .an .,p . nV v v , אך 1,..., nv v אינה בסיס

, כלומר) Vשל 1,..., nv v תלויים לינארית.)

ניתן להשמיט מהקבוצה 1,..., nv v וקטור אחד או יותר כך שיתקבל בסיס שלV.

:הוכחה -

שמכילה את הווקטורים , Bנבנה קבוצה חדשה 1,..., nv v , באופן הבא-

אם .11 0Vv ,נשמיט אותו מהקבוצה.

אם 1 0Vv ,נשאיר אותו בקבוצה.

j ,2וכך הלאה עבור אינדקס כלשהו .2 j n -

אם 1 1,..sp .,anj jv v v ,נשמיט אותו מהקבוצה.

אם 1 1,..sp .,anj jv v v ,נשאיר אותו בקבוצה.

בלתי תלויה לינארית וגם Bצעדים נקבל שהקבוצה nאחרי .0 spanV B.

רית אז לפי משפט קודם קיים כי אם היא הייתה תלויה לינא, בלתי תלויה לינארית B: נימוק]

j ,2אינדקס j n ,כך ש- 1 1,..sp .,anj jv v v . אולם הסרנו את כל הווקטורים

.שמקיימים את זה

spanV B כי הסרנו רק את הווקטורים שמתקבלים על ידיspan ולכן , של הקודמים להם

.[של המרחב הווקטורי span-לפי אותו משפט קודם אפשר להשמיט אותם מה

כלומר . סופית מעל -מרחב וקטורי נוצר Vאם : מסקנה מהמשפט 1,s .an .,p . nV v v . אזי

.בסיס V-קיים ל

יחידות גודל הבסיס

.סופית מעל -מרחב וקטורי נוצר Vיהי

יהיו 1B ,

2B בסיסים שלV ,כך ש- 11 span ,..., nB v v , * *

12 ,...,span mB v v.

nאזי m.

08

:הוכחה -

ידוע כי .1 1,s .an .,p . nV v v , כי1B בסיס שלV.

ידוע גם כי * *

1 ,..., mv v כי , בלתי תלויים לינארית2B בסיס שלV.

nמכאן נובע לפי משפט קודם שמתקיים m.

ידוע כי .2 * *

1 ,..span ., mV v v , כי2B בסיס שלV.

ידוע גם כי 1,..., nv v כי , בלתי תלויים לינארית

1B בסיס שלV.

nמכאן נובע לפי משפט קודם שמתקיים m.

n: מסקנה .0 m n m n m

פורשתבניית בסיס באמצעות השלמה לקבוצה

, סופית מעל -מרחב וקטורי נוצר Vיהי 1,s .an .,p . nV v v.

תהי 1,..., muU u ,כך ש, ל"קבוצה בת-U V , וגםU אינה בסיס שלV.

. Vלהיות בסיס של Uאזי ניתן להשלים את הקבוצה

m,...,1קיימים הווקטורים , כלומר m pu u V , כך שמתקיים שהקבוצה

1 1,..., , ,...,m m m pu u u uU V מהווה בסיס שלV.

:הוכחה -

נגדיר .1 1

0,..., muB u.

אם .2 0

1 spanv B , נגדיר 1 0

B B.

אם 0

1 spanv B , נגדיר 1 0

1B B v .

נקבל כי בכל מקרה 1

1 spanv B.

: למה 1

B בלתי תלויה לינארית.

נניח בשלילה כי : הוכחה 1

B ממשפט קודם נובע שאחד מהווקטורים הבאים . תלויה לינארית

2 1,..., ,mu u v מהווה צירוף לינארי של קודמיו.

05

אולם גם הווקטור 1v כי , אינו צירוף לינארי של קודמיו

0

1 spanv B.

וכן גם אף אחד מהווקטורים 2 ,..., mu u כי הם בלתי תלויים , אינו צירוף לינארי של קודמיו

.לינארית

צעדים נקבל קבוצה nלאחר .0 n

B וגם , בלתי תלויה לינארית 1,... s, pann

nv v B.

8.

11 1

1

span span

span sp

,...,

an span

...

,...,

n

n

n

n

n

n n

nB B

B

v v v v

v V Bv

הקבוצה spann

B כולה מורכבת מווקטורים ששייכים ל-V ,משמע , ולכן הוכחנו הכלה הדדית

spann

V B.

מד מ(dimension) של מרחב וקטורי

.מרחב וקטורי מעל Vיהי

אם .א 0VV , נגדירdim 0def

V .

אם .ב 0VV .

a. אםV לפי מסקנה ממשפט קודם יש לו בסיס, סופית-מרחב וקטורי נוצר 1,..., nv v .

dimנגדיר def

V n.

b. אםV נגדיר , סופית-מרחב וקטורי שאינו נוצרdimdef

V .

nVאם : למשל , אזdimV n . אם V P x , אזdimV .

משפט

dimאזי , Vמרחב וקטורי של -תת Uותהי , סופית-מרחב וקטורי נוצר Vיהי dimU V.

:הוכחה -

יש בסיס V-סופית נובע כי ל-נוצר V-מהנתון ש .11,..., nv v.

U-מהנתון ש .2 V עולה כי גםU ולכן ל, סופית-נוצר-U יש בסיס1,..., mu u.

הווקטורים .0 1,..., nu u ולכן ממשפט קודם נובע כי , בלתי תלויים לינארית כי הם בסיסm n.

06

משפט

dimV. סופית-מרחב וקטורי נוצר Vיהי n.

אם 1,..., nv v V אזי , היא קבוצה בלתי תלויה לינארית 1,..., nv v מהווה בסיס.

:הוכחה -

נניח בשלילה כי 1,..., nv v אינה בסיס.

ונקבל כי, ממשפט קודם ניתן להסיק כי אפשר להשלים לבסיס 1 1,..., , ,...,n n tv v v v בבסיס . בסיס

tזה n , כלומרdimV t , בסתירה להנחהdimV n.

משפט

dimV. סופית-מרחב וקטורי נוצר Vיהי n.

אם .א 1,s .an .,p . nV v v , אזי 1,..., nv v מהווה בסיס.

אם .ב 1,..., nv v אזי , בלתי תלויה לינארית 1,..., nv v מהווה בסיס.

(א: )הוכחה -

נניח בשלילה כי 1,..., nv v אינה בסיס.

dimVונקבל כי , ממשפט קודם נובע שניתן להשמיט ממנה וקטור אחד או יותר ולקבל בסיס n

.בסתירה להנחה

(ב: )הוכחה -

נניח בשלילה כי 1,..., nv v והיא אינה בסיס, בלתי תלויה לינארית.

dimVונקבל כי , משפט קודם נובע שניתן להשלים אותה ולקבל בסיס n בסתירה להנחה.

משפט

Uויהי , סופית-מרחב וקטורי נוצר Vיהי V מרחב וקטורי של -תתV.

dimאם dimV U אזיV U.

:הוכחה -

1. U כלומר ל. סופית-מרחב וקטורי נוצר-U יש בסיס1,..., nu u.

1,s .an .,p . nU u u , ולכןdimU n.

07

הווקטורים .2 1,..., nu u של המשפט האחרון ' ולפי סעיף ב, בלתי תלויים לינארית כי הם בסיס

נובע כי 1,..., nu u מהווים בסיס שלV.

0. 1,..sp .,an n VuU u .

.Vמרחבים של -שני תתי U,Wוכי , סופית-מרחב וקטורי נוצר Vכי נניח: הערה -

dim dim

dim dim

dim dim

V U V U

V W V W

U W U W

מרחבים-של תתי סכום

.V מרחבים של-תתי U,W ויהיו, סופית-מרחב וקטורי נוצר Vיהי

-סכום תתי המרחבים מוגדר כך , ,def

U W v v u w u U w W .

מרחבים-חיתוך של תתי

.Vמרחבים של -תתי U,Wויהיו , סופית-מרחב וקטורי נוצר Vיהי

-חיתוך תתי המרחבים מוגדר כך def

U W v v U v W .

משפט

Uהקבוצה W מרחב של -היא תתV.

:הוכחה -

– מרחב וקטורי -נוודא שמתקיימים שלושת התנאים ששקולים להגדרת תת

0Vנבדוק .1 U W .

0Vנובע כי Vמרחבים של -תתי U,Wמהנתון כי U ,0V W.

0מתקיים גם כי 0 0V V V , 0ולכן לפי ההגדרהV U W .

.נבדוק סגירות לחיבור .2

נניח כי 1 2,v v U W . מתקיים כי

1 1 1 1v U W v u w וגם

2 2 2 2v U W v u w , ולכן- 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2v v u w u w u u w w .

-הרי ש Vמרחבים של -תתי U,W-מכיוון ש1 2u u U וגם

1 2w w W , ולכן

1 2v v U W .

04

.נבדוק סגירות לכפל בסקלר .0

vנניח כי U W .

מתקיים כי v u w v u w u w .

u-מכיוון ש U וגםw W ,הרי ש-v U W .

משפט

Uהקבוצה W מרחב של -היא תתV.

:הוכחה -

– מרחב וקטורי -נוודא שמתקיימים שלושת התנאים ששקולים להגדרת תת

0Vנבדוק .1 U W .

0נובע Vמרחבים של -תתי U,Wמהנתון כי 0 0V V VU W U W

.נבדוק סגירות לחיבור .2

נניח כי 1 2,v v U W . מתקיים כי

1 1 1v U W v U v W , וגם מתקיים כי

2 2 2v U W v U v W .

-ולכן 1 2 1 2 1 2v v U v v W v v U W .

.נבדוק סגירות לכפל בסקלר .0

vנניח כי U W . תקיים כי מv U v W v U v W v U W .

משפט

.Vמרחבים של -תתי U,Wויהיו , סופית-מרחב וקטורי נוצר Vיהי

אזי מתקיים dim dim dim dimU W U W U W

:הוכחה -

Uהוכחנו קודם כי .1 W ,U W הם תת מרחבים וקטוריים שלV.

2. U W ולכן קיים עבורה בסיס , סופית-מרחב וקטורי נוצר 1,..., kN N.

0. U W U , ולכןU W מרחב של -תתU ( כיU היא מרחב וקטורי.)

U W W , ולכןU W מרחב של -תתW ( כיW היא מרחב וקטורי.)

09

.לכל מרחב וקטורי נוצר סופית קיים בסיס, לפי משפט קודם .8

נשלים את 1,..., kN N להיות בסיס שלU : 1 1,..., , ,...,k mN N u u

נשלים את 1,..., kN N להיות בסיס שלW : 1 1,..., , ,...,k nN N w w

נוכיח שמתקיים .5 1 1 1,..., , ,..., , ,.s ..,pan k m nU W N N u u w w .

נסמן 1 1 1,..., , ,..., , ,...,k m nB N N u u w w , ונראה כיB בסיס שלU W.

נוכיח כי .א spanu w B .

vעבור U W מתקייםv u w , כאשרu U ,w W.

-נסיק שמתקיים 1 1

1 1 1 1

,..., , ,...,

... ...

span k m

k k m m

u U u N N u u

u N N c u c u

-וכן מתקיים 1 1

1 1 1 1

,..., , ,...,

... ...

span k m

k k n m

w W w N N w w

w N N d w d w

– משתי המסקנות נובע שמתקיים

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

... ... ... ...

... .

span span

..

k k m m k k n m

k k k m m n m

v u w N N c u c u N N d w d w

v N N c u c u d

B u w B

w d w

V

נוכיח כי .ב span B u w .

עבור spanv B מתקיים כי –

1 1 1 1 1 1... ... ...k k m m n m

U W

v N N u u c w c w

, כלומר 1 2v v v , כאשר

1v U ,2v W.

נסיק כי spanv B מתקייםv U W , ולכן span B U W .

: מסקנה כללית span B U W .

.בלתי תלויה לינארית Bנראה כי .6

נוכיח שאם 1 1 1 1 1 1... ... ... 0k k m m n m VN N u u c w c w מתקיים

1 1 1... ... ... 0k m nc c .

83

-הבסיס ראשית נשים לב כי הווקטור שמהווה את הצירוף הלינארי הבא של אברי

1 1 1 1 1 1... ... ...k k m m n mN N u u c w c w ,שייך גם ל-U וגם ל-W , כי הוא

.Wואת הבסיס של Uמכיל את הבסיס של

, כלומר1 1 1 1... ...k k n mN N c w c w W , וגם

1 1 1 1... ...k k m mN N u u U .

-שנית נשים לב כי אם מתקיים

1 1 1 1 1 1... ... ... 0k k m m n m VN N u u c w c w , נוכל להסיק כי

1 1 1 1 1 1... ... ...k k m m n mN N u u c w c w , ומביטוי זה נובע

1 1 ... n mc w c w U , וגם1 1 1 1... ...k k m mN N u u W

-נסיק באופן כללי כי 1 1 ... n mc w c w U W , וגם

1 1 1 1... ...k k m mN N u u U W .

o אם1 1 ... n mc w c w U W , משמע שבאמצעות 1,..., kN N שהיא הבסיס של

U W , ניתן לבטא1 1 1 1... ...n m k kc w c w d N d N .

-נסיק 1 1 1 1... ... 0n m k k Vc w c w d N d N .

נשים לב כי הקבוצה 1 1,..., , ,...,k nN N w w היא הבסיס שלW , ולכן היא בלתי תלויה

–משמע . לינארית

1 1 1 1 1 1... ... 0 ... ... 0n m k k V n k Vc w c w d N d N c c d d

o אם , באותו אופן1 1 1 1... ...k k m mN N u u U W , משמע שבאמצעות

1,..., kN N שהיא הבסיס שלU W , ניתן לבטא

1 1 1 1 1 1... ... ...k k m m k kN N u u b N b N

-נסיק 1 1 1 1 1 1... ... ... 0k k m m k k VN N u u b N b N

נשים לב גם כי הקבוצה 1 1,..., , ,...,k mN N u u היא הבסיס שלU , ולכן היא בלתי

– משמע . תלויה לינארית

1 1 1 1 1 1

1 1

... ... ... 0

... ... ... 0

k k m m k k V

k m k V

N N u u N N

:מסקנה .7

dim

dim dim dim

U W k m n k m k n k

U W U W

81

העתקות לינאריות: 3פרק

העתקה לינארית

. שניהם מעל אותו שדה, לא בהכרח סופי, שני מרחבים וקטוריים ממימד כלשהו V,Wיהיו

T:פונקציה Tתהי V W.

T אם מתקיימים שני תנאים" העתקה ליניארית"נקראת:

1. 1 2, 1 2 1 2v v V T v v T v T v

2. v V T v T v

– שני התנאים להגדרת העתקה לינארית שקולים לתנאי הבא : הערה -

1 1 2 2 1 1 2 2v V T v v T v T v

-באחד מהסימונים הבאים Wלמרחב Vנסמן את קבוצת כל ההעתקות הלינאריות ממרחב : סימון -

hom ,V W , £ ,V W.

דוגמאות

:1דוגמה -

מרחב וקטורי נגדיר 2 ,x

V x yy

2ונעסוק בפונקציה כלשהי , 2:T .

נגדיר העתקה מסוימת , ,def

T x y y x .באמצעות , נוכיח שהעתקה זו היא העתקה לינארית

:וידוא ששני התנאים שמגדירים העתקה לינארית מתקיימים

1.

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

, , , ,

, , , ,

T x y x y T x x y y y y x x

y x y x T x y T x y

2. , , , , ,T x y T x y y x y x T x y

:2דוגמה -

מרחב וקטורי נגדיר 2 ,x

V x yy

ונעסוק בפונקציה כלשהי ,

2 2:T .

82

נגדיר העתקה מסוימת 2 2, ,def

T x y x y .כי לא , נוכיח שהעתקה זו אינה העתקה לינארית

:מתקיים בה התנאי השני

2 2 2 2 2 2, , , , , ,T x y T x y y x y x T x y T x y

:0דוגמה -

1rraxהיא ( איברים ממשיים ,r, משתנה ממשי x) raxנגזרת של הביטוי : הערה] ].

:שני מרחבים וקטוריים נגדיר

1 1

, 0 1 1... n n

n n n kV x a a x a x a x a

1 1

1, 0 1 1... n

n n kW x a a x a x a

T:נעסוק בפונקציה כלשהי V W.

נגדיר העתקה מסוימת 1 1 1

0 1 1 1 1... ...n n n

n n n

def

T a a x a x a x a a x

.

נוכיח שהעתקה זו היא העתקה . של פולינום כלשהו מעבירה אותו לנגזרת שלו Tההעתקה , כלומר

:באמצעות וידוא ששני התנאים שמגדירים העתקה לינארית מתקיימים, לינארית

1.

1 1

0 1 1 0 1 1

1

0 0 1 1 1 1

2 1

1 1 1 1

2 2 1 1

1 1 1 1 1

1

... ...

...

... 1

... 1 1

...

n n n n

n n n n

n n

n n n n

n n

n n n n

n n n n

n n n

T a a x a x a x b b x b x b x

T a b a b x a b x a b x

a b n a b x n a b x

a b n a x n b x na x nb x

a n

2 1 2 1

1 1 1

1 1

0 1 1 0 1 1

1 ... 1

... ...

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

a x na x b n b x nb x

T a a x a x a x T b b x b x b x

2.

1 1 1 1

0 1 1 0 1 1

2 1 2 1

1 1 1 1

1 1

0 1 1

... ...

... 1 ... 1

...

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

n n

n n

T a a x a x a x T a a x a x a x

a n a x n a x a n a x na x

T a a x a x a x

80

גרעין של העתקה לינארית

תהי hom ,T V W.

להיות Tנגדיר את הגרעין של , 0W

def

Null T v v V T v .

:1דוגמה -

V ,:T .

-נגדיר העתקה לינארית באופן הבא 1 2 3 2 3, , ... , ...def

T x x x x x.

מתקיים כי ,0,0,...Null T x x .

:2דוגמה -

2V ,2 2:T .

-נגדיר העתקה לינארית באופן הבא , ,def

T x y y x.

מתקיים כי 0,0Null T (הגרעין מכיל איבר יחיד.)

משפט

. שניהם מעל אותו שדהשני מרחבים וקטוריים V,Wיהיו

T:תהי V W , ונניח hom ,T V W.

אזי Null T מרחב וקטורי של -מהווה תתV.

:הוכחה -

.מרחב וקטורי-ששקולים להגדרת תתנוכיח שמתקיימים שלושת התנאים

1. 0V Null T.

-מתקיים כי 0 0 0 0 0 0 0V V V WT T T .

2.

1 21 2,v v Null T

v v Null T

.

מההגדרת של גרעין נובע כי 1 2 1 2, 0 0W Wv v Null T T v T v .

-לפיכך מתקיים כי 1 2 1 2 0 0 0W W WT v v T v T v .

88

0. v Null T

v Null T .

-מתקיים כי 0 0W WT v T v .

חד ערכית-העתקה חד


תהי hom ,T V W.

T חד ערכית אם מתקיים -נקראת העתקה חד 1 2 1 2T v T v v v .

משפט



:אזי התנאים הבאים שקולים

1. T חד ערכית-היא העתקה חד.

2. 0VNull T

( 2 1: )הוכחה -

הראינו קודם כי .א 0V Null T , ולכן מהגדרת גרעין נובע כי 0 0V WT .

vחד ערכית נובע שאין -חד Tמהנתון כי .ב V ,0Vv כך ש- 0WT v , ולכן

0VNull T .

( 1 2: )הוכחה -

נניח בשלילה כי מתקיים .א 0VNull T , ובכל זאתT כלומר. חד ערכית-אינה חד ,

קיימים 1 2,v v V ,

1 2v v , 1 2T v T v.

.ב

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

0 1 0

0 0

0

W W

W W

W

T v T v T v T v T v T v

T v T v T v v v v Null T

v v v v

בסתירה להנחה 1 2v v.

85

תמונה



-כך Tשל ( Rangeאו )נגדיר תמונה , ,Range T w w W w T v v V .

:1דוגמה -

מרחב וקטורי נגדיר V P x , ונעסוק בפונקציה כלשהי:D V V.

נגדיר העתקה מסוימת 1 1

0 1 1... ...n n

n n

def

D a a x a x a na x .

מתקיים כי : טענה Range D P x.

-ולכן קבוצת האיברים שמתקבלים מ, ניתן להציג כנגזרת של פולינום אחרכל פולינום : נימוק

Range D היא העתקה לינארית.

:2דוגמה -

מרחב וקטורי נגדיר V P x , ונעסוק בפונקציה כלשהי:T V V.

נגדיר העתקה מסוימת 2

def

T p x x p x.

מתקיים כי 2

2

2... m

m

mRange D a x a x

a

.

.x-לא ניתן לקבל באמצעות ההעתקה פולינום שמכיל איבר חופשי ו, כלומר

משפט



אזי Range T היא מרחב וקטורי מעלW.

86

:הוכחה -

Range T קבוצה של -היא תתW , מרחב וקטורי -נוכיח ששלושת התנאים לקיום של תתולכן

.מתקיימים

.מרחב וקטורי-נוכיח שמתקיימים שלושת התנאים ששקולים להגדרת תת

-הוכחנו קודם ש .8 0 0V WT , ולכן 0W Range T.

צריך להוכיח כי .5

1 21 2, Range T

Range T

.

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2T v T v T v T v T v v

ידוע כי 1 2v v V , ולכן מתקיים 1 2 1 2T v v Range T .

צריך להוכיח כי .6 Range T

Range T

.

T v T v T v .

vידוע כי V , ולכן מתקיים T v Range T .

משפט המימדים

.סופית-נוצר Vנניח גם כי , שניהם מעל אותו שדהשני מרחבים וקטוריים V,Wיהיו


-אזי dim dim dimV Null T Range T

:הוכחה -

הוכחנו כי .1 Null T מרחב מעל -הוא תתV.

לכן בהכרח גם תת המרחב שלו , סופית-נוצר Vנתון כי Null T סופית-נוצר.

אם Null T נוצר סופית אזי יש לו בסיס.

נסמן את הבסיס של .2 Null T כך- 1,..., mu u.

הקבוצה .0 1,..., mu u היא בסיס של Null T ,קבוצה בלתי תלויה לינארית של -ולכן היא תת

V.

.Vאם היא בלתי תלויה לינארית ניתן להשלים אותה לבסיס של

87

-כך Vנסמן את הבסיס של 1 1,..., , ,...,m nu u v v.

נבנה את הבסיס של .8 Range T.

-נתבונן בקבוצה הבאה 1 ,..., nT v T v.

קבוצה של -קבוצה זו היא תת Range T.

: למה .5 1 ,..., nT v T v היא בסיס של Range T.

צריך להוכיח שמתקיים : נימוק 1span ,..., nRange T T v T v , וגם כי

1 ,..., nT v T v בלתי תלויה לינארית.

כדי להוכיח את השוויון .6 1span ,..., nRange T T v T vכיוונית-נוכיח הכלה דו.

o צד א '-

נתבונן בווקטור 1 1 ... n nT v T v ,ששייך ל- 1 ,..span ., nT v T v.

– זו העתקה לינארית ולכן מתקיים

1 1 1 1 1 1... ...n n n n n nT v T v T v v W v v Range T

נסיק כי כל וקטור 1 1 ... n nT v T v ששייך ל- 1 ,..span ., nT v T v , שייך גם

-ל Range T , ולכן 1 ,...,span nT v T v Range T.

o צד ב ' –

-ששייך ל נתבונן בווקטור כלשהו Range T.

-שייך ל אם Range T , משמע T v .

מצד שני הגדרנו את הקבוצה 1 1,..., , ,...,m nu u v v להיות בסיס שלV , ולכן נסיק

-שמתקיים 1 1 1 1... ...m m n nv u u v v .

-ולכן 1 1 1 1... ...m m n nT v T u u v v .

-בגלל שזו העתקה לינארית מתקיים כי

1 1 1 1... ...m m n nT v T u u T v T v

נזכור שהגדרנו כי 1,..., mu u בסיס של Null T ולכן 1 1 ... m m WT u u o .

-ולכן 1 1 1span... ,...,n n nT v T v T v T v T v T v

84

-ששייך ל נסיק כי כל וקטור Range T שייך גם ל- 1 ,..span ., nT v T v ולכן

1span ,..., nRange T T v T v

הוכחנו ' בצד א: מסקנה .7 1 ,...,span nT v T v Range T

הוכחנו ' בצד ב,

1span ,..., nRange T T v T v– ולכן ,

1span ,..., nRange T T v T v

נוכיח כי .4 1 ,..., nT v T v קבוצה בלתי תלויה לינארית.

-תלות לינארית נבחן את הצירוף הלינארי הבא -כדי להוכיח אי

1 1 ... 0n n VT v T v , ונוכיח שמתקיים לכל המקדמים שלו1,..., 0n V .

– בגלל שזו העתקה לינארית ניתן להסיק כי

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

... 0 ... 0

... ... ...

... ... 0

n n V n n V

n n n n m m

n n m m V

T v T v T v v

v v Null T v v u u

v v u u

המעבר הרביעי מתבסס על כך שהגדרנו ] 1,..., mu u בסיס של Null T].

נזכור שהגדרנו את 1 1,..., , ,...,m nu u v v להיות בסיס שלV , ולכן זו קבוצה בלתי תלויה

.לינארית

-משמע 1 1 1 1

1 1

... ... 0

... ... 0

n n m m V

n m

v v u u

ולכן 1 ,..., nT v T v קבוצה בלתי תלויה לינארית.

( 2מסעיף ) .9 1,..., mu u היא בסיס של Null T ולכן Null T m.

( 5מסעיף ) 1 ,..., nT v T v היא בסיס של Range T ולכן dim Range T n.

( 0מסעיף ) 1 1,..., , ,...,m nu u v v היא בסיס שלV , ולכןdimV n m .

: מסקנה כללית dim dim dimV n m Null T Range T

89

מסקנה ממשפט הממדים:

-נניח גם כי שניהם מרחבים נוצרים, שדה שניהם מעל אותושני מרחבים וקטוריים V,Wיהיו

.סופית


dimאם dimW V אזיT חד ערכית-אינה חד.

o נימוק:

i. כדי להראות ש-T מספיק להוכיח ש, חד ערכית-אינה חד- 0VNull T , כי הוכחנו במשפט

.קודם שקיימת שקילות בין הטענות הללו

ii. כדי להוכיח ש- 0VNull T ,מספיק להוכיח ש- dim 0Null T .

כי אם ] 0VNull T אזי dim 0Null T ].

iii. Range Tמרחב וקטורי של -היא תתW , ולכן dim dimRange T W.

iv. מהמשפט שהוכחנו dim dim dimV Null T Range T , נסיק באמצעות העברת

אגפים כי dim dim dimNull T V Range T .

-מכאן נובע ש dim dim dimNull T V W .

v. הנחנו כיdim dimW V , ולכן dim dim dim 0Null T V W , כלומר

dim 0Null T , כמו שרצינו להוכיח בסעיףii.

על"העתקה"

. מעל אותו שדהשניהם שני מרחבים וקטוריים V,Wיהיו


אם Range T W אזיT על"היא העתקה."

מסקנה נוספת מהמשפט הקודם:

-נניח גם כי שניהם מרחבים נוצרים, שניהם מעל אותו שדהשני מרחבים וקטוריים V,Wיהיו

.סופית

T:תהי V W , ונניח hom ,T V W . אםdim dimV W אזיT אינה על.

53

:נימוק

מהמשפט שהוכחנו dim dim dimV Null T Range T , נסיק באמצעות העברת אגפים

כי dim dim dimRange T V Null T .

בכל מקרה מתקיים dim 0Null T , ולכן dim dimRange T V.

כלומר , היא העתקה על Tנניח בשלילה כי Range T W ולכן נוכל להסיק כי מתקיים

dim dim dimW Range T V .

dimוזאת בסתירה לנתון dimV W.

51

מערכות משוואות ומטריצות: 4פרק

מערכת משוואות לינאריות

– מערכת משוואות לינאריות היא קבוצה של משוואות מהצורה הבאה

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x c

a x a x a x c

a x a x a x c

ic ,1 ic m

ija ,1 i m ,1 j n

השאלה הבסיסית שבודקים במערכות משוואות לינאריות היא האם קיימים 1 2, ,..., nx x x , כך שאם

.ואם כן מהם, נציב אותם במערכת השוויון יתקיים

כל 1 2, ,..., nx x x של המערכת" פתרון"כזה שמקיים את השוויון נקרא.

תמערכת משוואות לינאריות כהעתקה לינארי

.ניתן להתייחס למערכת משוואות לינארית כאל העתקה

ההעתקה מקבלת את הווקטורים , כלומר 1 2, ,..., nx x x מהמרחבn

, ומחזירה מערכת לינארית,

שהיא למעשה וקטור מהמרחב m

.

:נגדיר את ההעתקה n mT בצורה הבאה –

1,1 1 1,2 2 1, 2,1 1 2,2 2 2, ,1 1 ,2 2 ,

1 2 1, 2, ,

1 1 1

... ... ...

, ,...,, , ,

n n n n m m m n n

n n n

n j j j j m j j

j j j

a x a x a x a x a x a x a x a x a x

T x x x a x a x a x

.קל לוודא שהעתקה מסוג כזה היא העתקה לינארית

הערה

יהיוnV ,

mW ותהי , מרחבים:T V W ית שמחזירה מערכת משוואותהעתקה לינאר.

– התנאים הבאים שקולים

עבור .א 1 2, ,..., m

mc c c קיים פתרון 1 2, ,..., nx x x של מערכת המשוואות.

.ב 1 2, ,..., mc c c Range T

52

-טענה זו נובעת מכך שהמשמעות ש 1 2, ,..., nx x x היא שהפעלה , הוא פתרון למערכת המשוואות

של ההעתקה הלינארית 1 2, ,..., nT x x x תחזיר את 1 2, ,..., mc c c , ולכן לפי ההגדרה של

תמונה מתקיים 1 2, ,..., mc c c Range T.

:מסקנה -

יהיו nV ,

mW ותהי , מרחבים וקטוריים:T V W העתקה לינארית שמחזירה מערכת

.משוואות לינארית

dimWמתקיים m ,dimV n.

nאם ידוע כי m , ניתן להסיק כי Range T W , ולכן ההעתקהT אינה על.

קיימים וקטורים , כלומר 1 2, ,..., mc c c W שעבורם אין פתרונות של מערכת המשוואות.

מטריצה של העתקה לינארית

.שניהם מעל לשדה , מרחבים וקטוריים נוצרים סופית V,Wיהיו

T:תהי V W , hom ,T V W.

V סופית ולכן קיים לו בסיס -נוצר 1,...,V nB v v ,( כלומרdimV n.)

W סופית ולכן קיים לו בסיס -נוצר 1,...,W mB ,( כלומרdimW m.)

נוכל להסיק כי , יש בסיס W-ובגלל של, W-ומחזירה וקטור מ V-מקבלת וקטור מ T-נשים לב ש

–מתקיים

1 21 1, 1 2, 1 , 1

1 22 1, 2 2, 2 , 2

1 21, 2, ,

...

...

...

mm

mm

mn n n m n

T v a a a

T v a a a

T v a a a

,i ja ,1

1

i m

j n

ביחס לבסיסים Tעל העתקה , Mנגדיר מטריצה VB,

WB -

50

1,1 1,2 1,

2,1 2,2 2,

,1 ,2 ,

, ,

n

n

V W

def

m m m n

a a a

a a aM T B B

a a a

.בשורות של המטריצה מופיעים הסקלרים שבעמודות של מערכת המשוואות: הסבר

.בעמודות של המטריצה מופיעים הסקלרים שבשורות של מערכת המשוואות -או באופן זהה

דוגמה

נגדיר ,nV P x , , 1nW P x מעל שדה( . מרחבי הפולינומים ממעלהn וממעלה

1n.)

–נבחר בבסיסים סטנדרטיים

1 2

1 , ,..., dim 1n

n

V

v v v

B x x V n

,

1 2 1

11 , ,..., dimn

n

WB x x W n

D:נגדיר העתקה V W באופן הבא –

2 3 2 1

0 1 2 3 1 2 3... 2 3 ...n n

n nD a a x a x a x a x a a x a x na x

(D מחזירה את מרחב הנגזרות.)

ביחס לבסיסים Dנחשב את המטריצה על ההעתקה VB,

WB –

2 3 1

2 3 1

2 2 3 1

3 2 2 3 1

1 2 3 1

1 0 0 1 0 0 0 ... 0

1 1 1 0 0 0 ... 0

2 0 1 2 0 0 ... 0

3 0 1 0 3 0 ... 0

0 1 0 0 0 ...

n

n

n

n

n n n

D x x x x

D x x x x x

D x x x x x x

D x x x x x x

D x nx x x x n x

- המטריצה שקיבלנו נבטא את

dim

dim 1

0 1 0 0 0

0 0 2 0 0

, , 0 0 0 3 0

0 0 0 0

W nV W

V n

M D B B

n

58

סכום של העתקות לינאריות

-סכום של העתקות מוגדר כך 1 2 1 2

def

T T v T v T v

מטריצה על סכום של העתקות

.שניהם נוצרים סופית ,מרחבים וקטוריים מעל V,Wיהיו

נסמן 1,...,V nB v v , 1,...,W mB .

יהיו 1T,2T העתקות לינאריות.

-יהיו המטריצות הבאות מוגדרות על ההעתקות הלינאריות

1,1 1,

1

,1 ,

, ,

n

V W

m m n

a a

M T B B

a a

, 1,1 1,

2

,1 ,

, ,

n

V W

m m n

b b

M T B B

b b

– אזי

.א 1 2 hom ,T T V W

.ב 1,1 1,1 1, 1,

1 2

,1 ,1 , ,

, ,

n n

V W

m m m n m n

a b a b

M T T B B

a b a b

('א: )הוכחה -

נראה כי 1 2T T מקיימת את ההגדרה של העתקה לינארית.

-חיבור

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2

T T v v T v v T v v T v T v T v T v

T v T v T v T v T T v T T v

-כפל בסקלר

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

T T v T v T v T v T v

T v T v T T v

55

('ב): הוכחה -

1 2 1 1 1 2 1 ,1 ,1 ,1 ,1

1 1 1

1 2 2 1 2 2 2 ,2 ,2 ,2 ,2

1 1 1

1 2 1 2 , , , ,

1 1 1

m m m

j j j j j j j

j j j

m m m

j j j j j j j

j j j

m m m

n n n j n j j n j j n j n j

j j j

T T v T v T v a b a b



– ולכן נסיק

1 2 1 ,1 ,1 1,1 1,1 1 2,1 2,1 2 ,1 ,1

1

1 2 2 ,2 ,2 1,2 1,2 1 2,2 2,2 2 ,2 ,2

1

1 2 , , 1, 1, 1 2, 2, 2 , ,

1

...

...

...

m

j j j m m m

j

m

j j j m m m

j

m

n j n j n j n n n n m n m n m

j

T T v a b a b a b a b



כמו שטענו , אם נבנה את המטריצה של מערכת המשוואות הזו נקבל מטריצה של סכומי המקדמים

.במשפט

סכום של מטריצות

מסיבה זו . ראינו שמטריצה על סכום של העתקות מוגדרת כסכום של כל המקדמים של ההעתקות

.היה נוח להגדיר כך גם סכום של מטריצותי

-יהיו שתי מטריצות

1,1 1,

,1 ,

n

m m n

a a

A

a a

,

1,1 1,

,1 ,

n

m m n

b b

B

b b

-סכום של שתיהן מוגדר כך

1,1 1,1 1, 1,

,1 ,1 , ,

n n

m m m n m n

a b a b

A B

a b a b

56

כפל של העתקה לינארית בסקלר

-כפל של העתקה לינארית בסקלר מוגדר כך def

T v T v

מטריצה על כפל של העתקה בסקלר

ניתן להוכיח כי מטריצה על כפל של , באותו אופן שהוכחנו עבור מטריצה על סכום של העתקות

-העתקה לינארית בסקלר היא 1,1 1,

,1 ,

, ,

n

V W

m m n

a a

M T B B

a a

כפל מטריצה בסקלר

. המקדמים של ההעתקותראינו שמטריצה על כפל של העתקה בסקלר מוגדרת ככפל בסקלר של כל

.מסיבה זו יהיה נוח להגדיר כך גם כפל של מטריצה בסקלר

-תהי המטריצה

1,1 1,

,1 ,

n

m m n

a a

A

a a

ויהי ,

-כפל של המטריצה בסקלר מוגדר כך

1,1 1,

,1 ,

n

m m n

a a

A

a a

הרכבה של העתקות לינאריות

,יהיו ,V W U כולם מעל אותו שדה , מרחבים וקטוריים.

T,יהיו S כך ש, העתקות לינאריות- :S W U,:T V W.

T,נגדיר הרכבה של S שנסמןS T באופן הבא –

def

S T v S T v S u

(.Wדרך ) U-ל V-נשים לב שקיבלנו העתקה מ

57

מטריצה של הרכבה

,יהיו ,V W U כולם מעל אותו שדה , סופית-מרחבים וקטוריים נוצרים.

יהיו 1,...,V nB v v , 1,...,W mB , 1,...,U kB u u.

T,יהיו S כך ש, העתקות לינאריות- :S W U , :T V W.

11 1

1

, ,

n

V W ij

m mn

a a

M T B B a

a a

,(1 i m ,1 j n )

11 1

1

, ,

m

W U sl

k km

b b

M S B B b

b b

,(1 l m ,1 s k )

עבור מטריצה של הרכבת ההעתקות , ,V U ijM S T B B c , מתקיים שהאינדקסים הם

1 j n ( המימד שלV )1 i k ( המימד שלU ) ומתקיים כי הנוסחה עבור כל איברijc היא

1

m

ij il lj

l

c b a

.

:הוכחה -

1 1 1 1 1 1 1

lj

def

m m m k k m k

j j ij i ij i ij li l li ij l lj l

i i i l l i l

c

S T v S T v S a a S a b u b a u c u

– ולכן מתקיים , העתקה לינארית S-השוויון השלישי מבוסס על הנתון ש

1 1 2 2

1

1 1 2 2

1 1 2 2

1

...

...

...

k

ij i j j kj k

i

j j kj k

k

j j kj k ij i

i

S a S a a a

S a S a S a

a S a S a S a S

54

:נרשום את הנוסחה כמטריצה מפורשת

–נתונות המטריצת הבאות

11 12 1

21 22 2

1 2

, ,

n

n

V W

m m mn

a a a

a a aM T B B

a a a

,

11 12 1

21 22 2

1 2

, ,

m

m

W U

k k km

b b b

b b bM S B B

b b b

.

-אז מטריצת ההרכבה שלהם תהיה

1 1 1 2 1

1 1 1

2 1 2 2 2

1 1 1

1 2

1 1 1

, ,

m m m

i i i i i in

i i i

m m m

i i i i i in

i i iV U

m m m

ki i ki i ki in

i i i

b a b a b a

b a b a b aM S T B B

b a b a b a

מכפלת מטריצות

ראינו שמחישוב מטריצה על הרכבה של העתקות לינאריות עולה כי היא סכום על מכפלות הסקלרים

.מסיבה זו יהיה נוח להגדיר כך גם מכפלה של מטריצות. של שתי ההעתקות

–אם נתונות שתי מטריצות

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

,

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

k k km

b b b

b b bB

b b b

,

-אז המכפלה שלהן תהיה lj

def

A B c , 1כאשר l k ,1 j n .

כלשהו היא ljcכאשר הנוסחה עבור 1

m

lj li ij

i

c b a

.

( mידי האינדקס -שמסומן על) B-ניתן להגדיר כפל מטריצות רק כאשר מספר העמודות ב: 1 הערה -

בכדי אחרת אין מספיק איברים(. mידי האינדקס -שמסומן גם הוא על) A-שווה למספר השורות ב

.לבצע את ההכפלה של כל העמדה בכל השורה

Aבכפל מטריצות : 2הערה - B B A .

59

דוגמאות

-נתונות המטריצות הבאות .א11 12 13

21 22 23

b b bB

b b b

,

11 12

21 22

31 32

a a

A a a

a a

.

-המכפלה היא 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32

21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32

b a b a b a b a b a b aB A

b a b a b a b a b a b a

(היחידההכפלה במטריצת : )דוגמה נוספת .ב

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

11 21 31 12 22 32 13 23 33 14 24 34

11 21 31 12 22 32 13 23 33 14 24

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a

34

11 21 31 12 22 32 13 23 33 14 24 34

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

a

a a a a a a a a a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

(המטריצה נשארה ללא שינוי לאחר ההכפלה)

מטריצה של וקטור

.סופית מעל השדה -מרחב וקטורי נוצר Vיהי

נניח כי 1,...,V nB v v , ולכן לכל וקטור מתקיים- 1 1 ... n nv v v .

בבסיס vנגדיר מטריצה עבור וקטור VB כך-

1

, V

n

a

M v B

a

.

משפט

V,יהיו W כולם מעל אותו שדה , סופית-מרחבים וקטוריים נוצרים.

יהיו 1,...,V nB v v , 1,...,W mB . תהי:T V W העתקה לינארית.

vאזי לכל V מתקיים- , , , ,W V W VM T v B M T B B M v B .

63

:הוכחה -

1. 1

1 1 ... ,n n V

n

a

v v v M v B

a

2.

1 1

1

1 1 1 1 1

...n

n n j j

j

n n m m n

j j j kj k kl j k

j j k k j

T v T v v T a v

a T v a b b a

נסמן .01

n

kl j k

j

b a c

, נשים לב כי

1 11 1 1

1 1 1...

n n

m m m n

c b a b a

c b a b a

.

-נסיק כי מתקיים .8

1 11 1 1

1

,, , , VV V W

n

m m mn n

M v BM T v B M T B B

c b b a

c b b a

.

העתקה הפוכה

T:תהי . מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה V,Wיהיו V W העתקה לינארית.

S:אם קיימת העתקה W V כך ש- WT S T S I , VS T S T v I

.היא העתקה הפיכה Tוכי , T-היא העתקה הפוכה ל Sאז נאמר כי

, כלומר. היא העתקת הזהותI (Identity )העתקה : הערה] VI v v].

תכונה של העתקה הפוכה

T:ותהי , מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה V,Wיהיו V W העתקה לינארית הפיכה ,

S:שההעתקה ההפוכה שלה היא W V.

.היא העתקה לינארית Sאזי

61

:הוכחה -

.שבהגדרת העתקה לינארית מתקיימיםכדי להראות שמדובר בהעתקה לינארית נוכיח ששני התנאים

יהיו .11 2, W . נגדיר את הווקטורים

1 2,v v V ,כך ש- 1 1S v , 2 2S v .

מהגדרת העתקה הפוכה עולה 1 1 1T v T S , 2 2 2T v T S .

-לכן נוכל להסיק

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2V

S S T v T v S T v v

S T v v I v v v v S S

.העתקה לינארית T-השוויון השני מבוסס על כך ש: נימוק]

.[פונקציה הפוכה S-השוויון הרביעי מבוסס על הנתון ש

vנגדיר את הווקטור . W ,יהיו .2 Vש כך- S v .

-לפי הגדרת העתקה הפוכה מתקיים , כלומר T v T S

-לכן VS S T v S T v S T v I v v S

משפט

.מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה V,Wיהיו

T:תהי V W העתקה לינארית.

– אזי התנאים הבאים שקולים

הפיכה T .א

חד ערכית ועל-חד T .ב

חד ערכית אם -היא העתקה חדT : ע"העתקה חח] 1 2 1 2T v T v v v ].

אם " על"היא העתקה T: העתקה על] Range T W].

(ב א : )הוכחה -

.ע"העתקה חח Tנוכיח כי .1

יהיו 1 2,v v V , ונניח כי 1 2T v T v.

-ולכן מתקיים , הפיכה Tידוע כי 1 1S T v v , 2 2S T v v.

62

-נסיק כי 1 2 1 2 1 2T v T v S T v S T v v v .

.העתקה על Tנוכיח כי .2

vנבחר . Wיהי V כך ש- S v .

הפיכה עולה כי T-נשים לב שמהנתון ש T v T S T S .

vשנקבל ניתן למצוא Wלכל , כלומר V כך ש- T v .

(א ב : )הוכחה -

vקיים Wולכן לכל וקטור , העתקה על Tנתון כי .1 V כך ש- T v .

vולכן הווקטור , ע"העתקה חח Tנתון כי V יחיד.

S:נגדיר העתקה חדשה .2 W V באופן הבא- def

S v .

.משמעי-נובע כי העתקה זו מוגדרת באופן חד 1מסעיף

-נסיק שמתקיימת העתקה הפוכה .0

W

V

T S T S T v I

S T v S T v S v I

יחידות ההעתקה ההפוכה

T:ותהי , דה מרחבים וקטוריים מעל אותו ש V,Wיהיו V W העתקה לינארית הפיכה ,

S:שההעתקה ההפוכה שלה היא W V.

.יחידה Sאזי

:הוכחה -

.Tהעתקות הפוכות של S,'Sנניח כי

– מהגדרת העתקה הפוכה עולה כי מתקיים עבור כל אחת מההעתקות ההפוכות

V

W

S T I

T S I

'

'

V

W

S T I

T S I

–נסיק מכך

'

' ' ' '

W W

V V

S S I S I S T S

S T S I S I S S

60

נזכיר שוב כי בהעתקת הזהות מתקיים : נימוק] VI v v.

-הרביעי מוצדק כי השוויון ' ' ' ' 'S T S S T S S T S S T S S T S ].

משפט

T:ותהי , סופית מעל השדה -מרחב וקטורי נוצר Vיהי V V העתקה לינארית.


הפיכה T .א

ע"חח T .ב

על T .ג

(.גב) במשפט קודם הוכחנו כי לכל העתקה לינארית מתקיים כי א

ונוכל להסיק שמתקיימת גרירה בין כל שלוש , ג לכן מספיק להוכיח במקרה הזה שמתקיים ב

.ג ב א -הטענות

T:לצורך ההוכחה נזכור משפט שהוכחנו לגבי כל העתקה לינארית V W , לפיו התנאים הבאים

-שקולים

0. T חד ערכית-היא העתקה חד

8. 0VNull T

(ג ב : )הוכחה -

ולכן , ע"חח Tנתון כי 0VNull T .

ממשפט המימדים נובע כי dim dim dimV Null T Range T , מכיוון שובמקרה שלנו-

0VNull T , נסיק כי מתקיים dim dimV Range T.

T:נשים לב כי V V ולכן Range T V.

-במשפט קודם הוכחנו ש Range T מרחב של -היא תתV.

אז המרחב , במשפט קודם נוסף הוכחנו כי אם המימד של המרחב והמימד של תת המרחב שווים

.שווה לתת המרחב

נסיק כי מכיוון שמתקיים dim dimV Range T , אזי V Range T.

68

(ב ג : )הוכחה -

ולכן , העתקה על Tנתון כי Range T V.

אם Range T V משמע מתקיים dim dimRange T V.

ממשפט המימדים נובע כי dim dim dimV Null T Range T .

ולכן נסיק כי 0VNull T .

, כאמור 0VNull T היא טענה שקולה לטענה כיT ע"חח.

םאיזומורפיז

T:ותהי , מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה V,Wיהיו V W העתקה לינארית הפיכה.

.מרחבים איזומורפיים V,Wאזי

משפט

.סופית מעל אותו שדה -מרחבים וקטוריים נוצרים V,Wיהיו

– הטענות הבאות שקולות

מרחבים איזומורפיים V,W .א

dim .ב dimV W

(ב א : )הוכחה -

T:ולכן קיימת העתקה לינארית הפיכה , איזומורפיים V,Wנתון כי .1 V W.

(.כפי שהוכחנו במשפט קודם)ע ועל "היא העתקה חח Tולכן , סופית-נוצרים V,Wנתון כי .2

0. T ולכן לפי ההגדרה מתקיים כי , העתקה על Range T W.

8. T ולכן לפי ההגדרה מתקיים כי , ע"העתקה חח 0VNull T .

ממשפט המימדים עולה כי .5 dim dim dimV Null T Range T , ולכן נוכל

-להסיק dim dim dim dimV Null T Range T W .

65

(א ב : )הוכחה -

T:צריך להראות שקיימת העתקה לינארית V W שהיא הפיכה.

1. V,W סופית וגם -נוצריםdim dimV W , ולכן קיימים הבסיסים 1,...,V nB v v ,

1,...,W nB .

T:נגדיר העתקה .2 V W באופן הבא- 1 1 ... n n

def

T v

– שהגדרנו היא העתקה לינארית Tההעתקה

נשים לב שמתקיים ]1 1 ...v V n nv v v ].

-' תנאי א

* * *

1 1 1 1

* * * *

1 1 1 1 1 1

* * *

1 1 1 1

... ...

... ...

... ...

n n n n

n n n n n n

n n n n

T v v T v v v v

T v v

T v T v

-' תנאי ב

1 1 1 1

1 1 1 1

... ...

... ...

n n n n

n n n n

T v T v v T v v

T v

.שהגדרנו היא העתקה על Tנוכיח שההעתקה .0

W ולכן עבור כל וקטור , סופית-נוצרW מתקיים1 1 ... n n .

vנשים לב כי אם נבחר וקטור V ,כך ש-1 1 ... n nv v v , נקבל לפי ההעתקהT

שהגדרנו שמתקיים T v .

vקיים וקטור Wלכל וקטור : לכן מתקיימת ההגדרה של העתקה על V כך ש-

T v .

.ע"שהגדרנו היא העתקה חח Tנוכיח שההעתקה .8

vיהיו V ,*v V . צריך להראות כי * *T v T v v v .

– מתקיים Tנשים לב שלפי ההגדרה של ההעתקה

1 1 1 1

* * * * * *

1 1 1 1

... ...

... ...

n n n n

n n n n

v v v T v

v v v T v

ולכן אם *T v T v נוכל להסיק –

66

* * * * * *

1 1 1 1 1 1... ... ,...,n n n n n nT v T v v v

ל "ה של כל וקטור באמצעות צהגרירה השנייה מבוססת על כך שקיימת הצגה יחיד: נימוקים]

.של וקטורי הבסיס

-הגרירה השלישית נובעת מכך ש1 1 ... n nv v v ,

* * *

1 1 ... n nv v v ].

5. T משמע , (לפי משפט קודם)ע ועל ולכן הפיכה "העתקה חחV,W איזומורפיים.

dimV-כך ש, סופית מעל -מרחב וקטורי נוצר Vאם : מסקנה - n , אזיV תמיד איזומורפי

למרחב הווקטורי n

.

ההעתקות ושל מרחב המטריצותאיזומורפיזם של מרחב

:מונחיםהגדרות

T:ותהי , סופית מעל אותו שדה -מרחבים וקטוריים נוצרים V,Wיהיו .א V W

dimVנניח כי n כך ש- 1,...,V nB v v.

dimWנניח כי m כך ש- 1,...,W nB .

.W-ל V-נתייחס למרחב הווקטורי שכולל את כל ההעתקות הלינאריות מ .ב

נסמן אותו hom ,V W.

n-שורות ו mשהן בעלות , מעל השדה נתייחס למרחב הווקטורי שכולל את כל המטריצות

נסמן אותו .עמודות , ,MAT m n.

-קל לבדוק ש: הערה] hom ,V W ו- , ,MAT m n הם מרחבים וקטוריים].

מהמרחב הווקטורי של ההעתקות הלינאריות למרחב הווקטורי , נגדיר העתקה לינארית חדשה .ג

-כלומר . של המטריצות : hom , , ,V W MAT m n .

-באופן הבא נגדיר את הפעולה של ההעתקה , ,V W

def

T M T B B

.ומחזירה את המטריצה שלה, Tמקבלת העתקה ההעתקה , כלומר

טענה : היא העתקה לינארית הפיכה.

המרחבים הווקטוריים : במילים אחרות hom ,V W , , ,MAT m n איזומורפיים.

67

:הוכחה -

.היא העתקה לינארית נוכיח כי .1

- ' תנאי א

1 2 1 2

1 2 1 2

, ,

, , , ,

V W

V W V W

T T M T T B B

M T B B M T B B T T

-' תנאי ב , , , ,V W V WT M T B B M T B B T

.קיימת העתקה הופכית -נוכיח כי ל .2

.ע ועל"י קיום העתקה הופכית שקול לקיום התכונות חחהוכחנו במשפט קודם כ

.ע ועל"העתקה חח לכן נוכיח כי

i. הוכחה ש- ע"העתקה חח:

ע לבין הטענה כי "הוכחנו במשפט קודם שמתקיימת שקילות בין התכונה של חח

hom ,0

V WNull .

ולכן כדי לדעת מהו , מחזירה מטריצה נשים לב כי ההעתקה Null נבדוק מתי

-מתקיים hom , , ,

0 0

0 0

0 0V W

mV W M T B B

n

T

.

– כדי לקבל את מטריצת האפס מוכרח להתקיים , לפי ההגדרה של מטריצה

1 1

1

0 ... 0 0

0 ... 0 0

m W

n m W

T v

T v

לכן הווקטור היחיד שייתן לנו את מטריצת האפס הוא ההעתקה 0WT v .

נסיק כי hom ,0

V WNull , ולכן ע"חח.

ii. הוכחה ש- העתקה על:

-נתבונן במטריצה כללית כלשהי

11 12 1

21 22 2

1 2

, ,

n

n

V W

m m mn

a a a

a a aM T B B

a a a

64

נקבל שאם נפעיל עליה את ההעתקה , Tנרצה להראות שתמיד קיימת העתקה

.את המטריצה

תהי ההעתקה T v , כך שאם נפעיל אותה עלv כלשהו נקבל –

1 1 1 1... ...n n n n

def

T v T v v T v T v

- נגדיר את פעולת ההעתקה על איברי הבסיס

1 11 1 1

1 1

...

...

m m

n n mn m

T v

T v

.שהמטריצה שלה היא בדיוק כפי שדרשנו מלכתחילה, התקבלה העתקה כלשהי

אם כך מצאנו שלכל מטריצה , , , ,V WM T B B MAT m n קיימת העתקה

hom ,T V W ,כך ש- , ,V WT M T B B , ולכן העתקה על.

י העתקה הלינארית הוכחנו כ: מסקנה .0 : hom , , ,V W MAT m n ע ועל"היא חח ,

.וממשפט קודם נסיק כי היא הופכית

המרחבים הווקטוריים , כלומר hom ,V W , , ,MAT m n איזומורפיים.

:מסקנה מהמשפט -

מהנתון כי hom ,V W , , ,MAT m n ניתן להסיק על פי משפט , מרחבים וקטוריים איזומורפיים

קודם שמתקיים dim hom , dim , ,V W MAT m n.

נשים לב כי dim , ,MAT m n הוא מספר הווקטורים שצריך כדי לפרוש מטריצה בעלתm

nמספר זה הוא בדיוק . עמודות n-שורות ו m.

לכן נסיק כי מרחב ההעתקות הלינאריות hom ,V W ים מתקיוכי , סופית-הוא מרחב וקטורי נוצר

dim hom ,V W n m .

מטריצת מעבר בסיס

.סופית מעל אותו שדה -מרחבים וקטוריים נוצרים V,Wיהיו

נניח כי 1,...,V nB v v וכי 1,...,W mB .

T:תהי ההעתקה V W , שהמטריצה שלה היא , ,V WM T B B.

שנסמן , V,Wכעת נבחר בסיסים חדשים של * * *

1 ,...,V nB v v , * * *

1 ,...,W nB .

69

קיבלנו מטריצה חדשה * *, ,V WM T B B.

.ונבנה נוסחת מעבר ביניהן, ננסה לאפיין את הקשר בין המטריצות הללו

– נסמן את ההעתקות הבאות

o *:WI W W ( כאשר

*W הואW בבסיס*

WB)

o :T V W (ללא שינוי)

o *:VI V V ( כאשר

*V הואV בבסיס*

VB)

לבין Vאין כל הבדל בין , נפרשים על ידי שני הבסיסים V,Wנשים לב שמכיוון שהמרחבים *V , ובין

W לבין*W .במילים אחרות : * *

1 1span ,..., span ,...,n nv v v v V .

-נשים לב כי W W W V W VT v I I T v I T I v I T I v , ולכן

-מתקיים W VT I T I.

-נסיק משוויון זה * * * *, , , ,V W W V V WM T B B M I T I B B.

–נסיק כי , מתכונות כפל מטריצות ומהאופן שהגדרנו את ההעתקות הללו לעיל

* * * *, , , , , , , ,W V V W W W W V W V V VM I T I B B M I B B M T B B M I B B

ושרת בין המטריצה קיבלנו נוסחה שק , ,V WM T B B למטריצה * *, ,V WM T B B -

* * * *, , , , , , , ,V W W W W V W V V VM T B B M I B B M T B B M I B B

:נציג את הנוסחה באמצעות מטריצות מפורשות -

T:נניח .א V W וקיימים הבסיסים הבאים , העתקה לינארית–

1

* * *

1

,...,

,...,

V n

V n

B v v

B v v

1

* * *

1

,...,

,...,

W m

W m

B

B

נרצה למצוא את הקשר בין המטריצות .ב , ,V WM T B B ו- * *, ,V WM T B B.

-נשתמש בנוסחה שפיתחנו

* * * *, , , , , , , ,V W W W W V W V V VM T B B M I B B M T B B M I B B

נבנה את המטריצה .ג *, ,W W WM I B B:

73

נתון 1

m

W j j ij i

i

I b

, ולכן

11 12 1

21 22 2*

1 2

, ,

m

mmW W W

m m mm

m

b b b

b b bM I B B

b b b

נבנה את המטריצה .ד *, ,V V VM I B B:

נתון *

1

n

V j j ij i

i

I v v a v

, ולכן

11 12 1

21 22 2*

1 2

, ,

n

nnV V V

n n nn

n

a a a

a a aM I B B

a a a

-נציב בנוסחה .ה

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2* *

1 2 1 2

, , , ,

m n

m n

V W V W

m m mm n n nn

b b b a a a

b b b a a aM T B B M T B B

b b b a a a

:דוגמה -

יהי 2V ותהי , מרחב וקטורי:T V V העתקה לינארית.

כסיבוב בזווית של Tנגדיר את ההעתקה 4

.נגד כיוון השעון

– נבחר את שני הבסיסים הבאים

,0 , 0,VB k k , * 0, , ,0VB k k , כאשרk קבוע.

– עבור הבסיס הראשון Tנבנה את המטריצה של

1 1

,0 ,0 0,2 2

T k k k , 1 1

, ,0 0,2 2

T o k k k .

-ולכן

1 1

2 2, ,

1 1

2 2

V VM T B B

71

– עבור הבסיס השני Tנבנה את המטריצה של

1 1

0, 0, ,02 2

T k k k , 1 1

,0 0, ,02 2

T k k k .

-ולכן * *

1 1

2 2, ,

1 1

2 2

V VM T B B

-כעת נרצה לאפיין את הקשר בין המטריצות באמצעות הנוסחה שפיתחנו

* * * *, , , , , , , ,V V V V V V V V V VM T B B M I B B M T B B M I B B

T:נשים לב כי ] V V].

לשם כך נגדיר את המטריצות *, ,V V VM I B B , *, ,V V VM I B B.

מתקיים כי

,0 ,0 0 0, 1 ,0

0, 0, 1 0, 0 ,0

V

V

I k k k k

I k k k k

ולכן נסיק *0 1

, ,1 0

V V VM I B B

מתקיים כי

0, 0, 0 ,0 1 0,

,0 ,0 1 ,0 0 0,

V

V

I k k k k

I k k k k

ולכן נסיק *0 1

, ,1 0

V V VM I B B

– נציב בנוסחה הכללית

* * * *

1 11 1 0 1 0 1

2 22 2 1 0 1 01 11 1

2 22 2

, , , , , , , ,V V V V V V V V V VM T B B M I B B M T B B M I B B

נחשב את המכפלה של המטריצות ונקבל שהתוצאה היא אכן

1 1

2 2

1 1

2 2

.

72

פתרונות של מערכת משוואות

נתונה מערכת המשוואות הלינארית

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x bA

a x a x a x b

-נסמן Aאת המטריצה של המערכת .1

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

.

-את וקטור המשתנים נסמן .2

1

2

def

n

x

xx

x

–את וקטור העמודות של המקדמים הסקלריים נסמן .0

11 1

21 2

1

1

, ,

n

n

n

m mn

a a

a aa a

a a

-את וקטור המקדמים החופשיים נסמן .8

1

2

def

m

b

bb

b

.

-נגדיר מטריצה חדשה .5

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA b

a a a b

-נגדיר עוד .6 1rank dim span ,...,c n

def

A a a

– סימון אלה מתקבל כי -נשים לב שלפי כללי

-כולה מסומנת כך Aמערכת המשוואות - A x b

70

המטריצה - A מסומנת כך- 1,..., nA a a

,...,1 -המטריצה החדשה שהגדרנו מסומנת כך - ,nA b a a b

קיום ומספר הפתרונות של מערכת משוואות לינאריות

0A x

A x b

אפשרות שלא תיתכן

אין פתרון rank rankc cA A b

* יש פתרון יחיד יש פתרון יחיד rankc A n

rank =rankc cA A b

יש יותר

מפתרון אחדיש יותר מפתרון

אחד* rankc A n

*n הוא מספר המשתנים במערכת המשוואות

:משפטים 0נוכיח את הטענות שבטבלה באמצעות

תחילה נוכיח כי ממד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית 0A x

, שווה לביטוי

rankcn A , ומזה נסיק כי כאשר rankc A n וכאשר , קיים פתרון יחיד rankc A n יש

.יותר מפתרון אחד

בשלב השני נוכיח כי קיום פתרון עבור מערכת A x b

שקול לכך ש- rank rankc cA A b

.ומזה נסיק את התנאי הכללי שמופיע בטבלה

לבסוף נרחיב את המסקנה של המשפט הראשון שממד מרחב הפתרונות שווה לביטוי rankcn A

גם עבור מערכת לא הומוגנית מהצורה A x b

, ונקבל את התנאי השני גם עבור מערכת לא

.הומוגנית

משפט

ממד מרחב הפתרונות של המערכת 0A x

, שווה לביטוי rankcn A.

.הוא מספר המשתנים במערכת המשוואות nכאשר

78

.[היא מרחב וקטורי Aלא קשה לבדוק שקבוצת הפתרונות של : הערה]

:הוכחה -

:לינארית נגדיר העתקה .1 n m

AT ,כך ש- A

def

T v A v .

-מההגדרה של גרעין נובע מידית ש ANull T הוא מרחב הפתרונות של 0A x

.

.[לא קשה לבדוק שזו העתקה לינארית: הערה]

: למה .2 1span ,...,A nRange T a a

(הוכחת הלמה בסוף ההוכחה.)

, נשתמש במשפט הממדים .0 dim dim dimV Null T Range T .

dimVבמקרה הנוכחי n ( כי הגדרנו: n m

AT .)

-לכן נסיק 1dim dim span ,..., nn Null T a a

.

הגדרנו 1rank dim span ,...,c nA a a

-ולכן dim rankcn Null AT .

:הוכחת הלמה

o כי נוכיח: צד ראשון 1span ,...,A nRange T a a

נניח Au Range T , אזיmu , וקיים וקטור

nv ,כך ש- AT v u.

-נשים לב שבגלל שnv , נוכל לייצג אותו עם הבסיס הסטנדרטי של

n -

1 2

1 0 0

0 1 0...

0 0 1

nv c c c

–ולכן באופן כללי נסיק כי

1 2 1 2

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0... ...

0 0 1 0 0 1

A A n A A n AT v T c c c c T c T c T

75

לפיכך מהגדרת ההעתקה AT נסיק שמתקיים-

1 2

11 1 11 1 11 1

1 2

1 1 1

1 0 0

0 1 0...

0 0 1

1 0

0 1...

0 0

A n

n n n

n

m mn m mn m mn

T v c A c A c A

a a a a a a

c c c

a a a a a a

111 12

221 22

1 2 1 1 2 2 1

1 2

0

0

1

... ... span ,...,

n

n

n n n n

m m mn

aa a

aa a

c c c c a c a c a a a

a a a

.[השוויון השלישי מבוסס על כללי כפל מטריצות]

נסיק כי 1span ,...,A nT v a a

, ולכן 1span ,...,A nu T v u a a

.

o נוכיח כי : ניצד ש 1span ,..., n Aa a Range T

נניח כי 1span ,..., nv a a

.כלומר ,1 1 2 2 ... n nv c a c a c a

.

-בסעיף קודם הוכחנו 1 1 2 2 1 2

1 0 0

0 1 0... ...

0 0 1

n n A nc a c a c a T c c c

-נסיק כי

1

2

1 2

1 0 0

0 1 0...

0 0 1

A n A A

n

c

cv T c c c T Range T

c

(1'שורה ב', עמודה א: )מסקנה -

אם rankcn A , אזי dim 0Null T .

76

, כלומר Null T שמהווה את מרחב הפתרונות של 0A x

מכיל רק את הפתרון הטריוויאלי

0

0

0

x

(2'שורה ב', עמודה א: )מסקנה -

אם rankc A n , אזי dim 0Null T .

, כלומר Null T שמהווה את מרחב הפתרונות של 0A x

מכיל יותר מאשר הפתרון

הטריוויאלי

0

0

0

x

קפלי-משפט קרונקר


למערכת משוואות .א A x b

קיים פתרון

.ב rank rankc cA A b

('ב ' א: )הוכחה -

cנניח כי הווקטור

הוא פתרון של מערכת המשוואות A x b

.כלומר , A c b

.

-נכתוב את זה באופן מפורש 11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n m

a a a c b

a a a c b

a a a c b

– נשים לב

77

11 12 1 1 1 11 2 12 1

21 22 2 2 1 21 2 22 2

1 2 1 1 2 2

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

...

n n n

n n n

m m mn n m m n mn

n

n

n

m m mn

a a a c c a c a c a

a a a c c a c a c a

a a a c c a c a c a

a a a

a a ac c c

a a a

1 1 2 2 ... n nc a c a c a

נסיק כי 1 1 2 2 1 2... span , ,...,n n nb c a c a c a b a a a

.

b-מכאן ש

תלוי לינארית בקבוצה 1 2, ,..., na a a

– ולכן מתקיים ,

1 2 1 2dim span , ,..., dim span , ,..., , rank rankn n c ca a a a a a b A A b

.

('א ' ב: )הוכחה -

נשים לב שמתקיים כי .1 1 2span , ,..., na a a

מרחב של -הוא תת 1 2span , ,..., ,na a a b

נתון כי 1 2 1 2dim span , ,..., dim span , ,..., ,n na a a a a a b

ולכן נסיק ממשפט קודם ,

.בהכרח הם שווים, מרחב שווה לממד של המרחב-כי אם הממד של תת

-ברור כי .2 1 2span , ,..., ,nb a a a b

, נובע 1ולכן מסעיף 1 2span , ,..., nb a a a

.

b, כלומר

מהווה צירוף לינארי של 1 2, ,..., na a a

.

קיימים , משמע 1 2, ,..., nc c c כך ש- 1 1 2 2 ... n nc a c a c a b

.

-נסיק 1 1 2 2 ... n nc a c a c a b A c b

, כלומר- c

.הוא פתרון

74

משפט


למערכת יחידקיים פתרון .א A x b

.ב rankcn A

('ב ' א: )הוכחה -

מהמשפט הקודם עולה כי מכיוון שקיים פתרון עבור המערכת .1 A x b

, ניתן להסיק כי-

rank rankc cA A b

.

נתון כי הפתרון עבור .2 A x b

הוא יחיד.

נניח בשלילה כי rankc A n.

הוכחנו כי עבור המערכת .0 0A x

, אם rankc A n קיימים שני פתרונות.

נסמן פתרון אחד 0A y

, ופתרון שני 0A z

.

-נסמן ב0x

את הפתרון של המערכת A x b

.

-נגדיר את הביטויים הבאים .8 01x x y

, 02x x z

.

נשים לב כי מתקיים ניתן למצוא שני פתרונות שונים עבור המערכת A x b

-

0 01

0 02

0

0

A x A x y A x A y b b

A x A x z A x A z b b

י למערכת בסתירה להנחה כ A x b

קיים פתרון יחיד.

79

('א ' ב: )הוכחה -

נניח כי .1 rankcn A , ונניח בשלילה שלמערכת A x b

קיימים שני פתרונות.

נסמן 1A c b

, 2A c b

.

-נתבונן בביטוי הבא .2 1 2 1 2 0A c c A c A c b b

.

הווקטור , כלומר1 2c c

הוא פתרון עבור המערכת 0A x

.

הוכחנו כי אם .0 rankcn A , למערכת 0A x

0, יש פתרון יחיד

ולכן בהכרח ,

1 2 1 20c c c c

.

משפט

.משתנים n-משוואות ו mמערכת משוואות לינארית עם Aתהי

תהי A בעלת , המטריצה שלהm שורות ו-n עמודות.

נסמן את העמודות 1,..., na a

ואת השורות , 1,..., ma a

.

תהי דרגת מרחב העמודות 1rank dim span ,...,c nA a a

,

ותהי דרגת מרחב השורות 1rank dim span ,...,r mA a a

.

אזי rank rankc rA A.

:הוכחה -

נניח כי .1 rank r A l .קיימים , כלומרl אינדקסים11 ... lk k m , כך שהווקטורים

1,...,

lk ka a

בסיס של מהווים 1span ,..., ma a

.

–נתבונן בשתי מערכות המשוואות הבאות .2

43

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

1 1 1

2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

0

0

0l l l

k k k n n

k k k n n

k k k n n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

את המשוואות ידי כך שהסרנו ממהמערכת -מתקבלת על נשים לב כי מערכת המשוואות

המשוואות שמהוות lכוללת רק את ולכן , שמתקבלות כצירוף לינארי של משוואות אחרות

.בסיס של מערכת המשוואות

כי המשוואות הנוספות , שקול למרחב הפתרונות של מכאן שמרחב הפתרונות של

-הן רק משוואות כאלו שמהוות צירוף לינארי של משוואות שקיימות ב, -ולא ב -שקיימות ב.

היא המטריצה של מערכת המשוואות .0 A.

-נגדיר מטריצה ל

1 1 1

2 2 2

1 2

1 1

1 2l l l

k k k n

k k k n

k k k n

a a a

a a aA

a a a

ונסמן 1 ,..., nA a a

.

נשים לב כי לפי הגדרת המטריצה .8 A

1 מתקיים, ,..., n

la a

, ולכן גם

1span ,..., n

la a

מרחב של -זה תת) l

.)

נסיק כי 1dim span ,..., dimn

la a l

.

–כלומר 1rank dim span ,...,c nA a a l

ולכן נסיק כי , שקול למרחב הפתרונות של הראינו שמרחב הפתרונות של 2בסעיף

rank rankc cA A.

הגדרנו 1בסעיף rank r A l , ולכן נוכל להסיק כי rank rankc rA A

–( טרנספוזיציה)שבה נחליף את השורות עם העמודות , נגדיר מטריצה חדשה .5

11 21 1

12 22 2

1 2

m

mT

n n mn

a a a

a a aA

a a a

נסמן אותה

1

1 ,...,

T

T T T

n

T

n

a

A a a

a

.

41

נובע באופן כללי כי 8מסעיף .6 rank rankc rA A , נסיק כי גם עבור מטריצה זו מתקיים

rank rankT T

c rA A .

נשים לב כי מהגדרת המטריצה TA נובע כי מתקיימים שני השוויונים-

1 1rank dim span ,..., dim span ,..., rankT T T

c n m rA a a a a A

1 1rank dim span ,..., dim span ,..., rankT T T

r m n cA a a a a A

rankולכן אם rankT T

c rA A ,הרי ש- rank rankr cA A.

נסיק כי 6ומאי השוויון בסעיף 8מאי השוויון בסעיף .7 rank =rankc rA A

שיטת החילוץ של גאוס –דירוג מטריצות

היא שיטה למציאת הפתרונות של מערכת משוואות , ו שיטת החילוץ של גאוסדירוג מטריצות א .לינאריות

תהי מערכת המשוואות

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x bA

a x a x a x b

-כך ש

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

-ו, היא מטריצת המקדמים הסקלריים

1

2

m

b

bb

b

היא מטריצת

.המקדמים החופשיים

:פעולות אלמנטריות -

– במהלך הפעלת האלגוריתם נבצע את הפעולות הבאות

של שתי שורות החלפת סדר -" החלפת שורות" .א

(ששונה מאפס)כפל של שורה בסקלר .ב

הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת .ג

אך מרחב הפתרונות של מערכות , פעולות אלה משנות את הצורה בלבד של מערכת המשוואות .המשוואות החדשות שמתקבלות שקול למרחב הפתרון של המערכת המקורית

הוא אינדקס j, הוא סימון לעמודה C. דקס השורותהוא אינ i, הוא סימון לשורה R: סימונים

.העמודות

42

:האלגוריתם -

3. 1iR R (שורות )1jC C (עמודות)

-נבצע את הפעולה הבאה ijaעבור המקדם .1

a. 0אםija , נחליף אתi i kR R .

i k 0מסמן את האינדקס של השורה הראשונה הבאה שבהila .

b. 0אםija לכלiR , 1אזj jC C .

1ijaאם .2 , אז1

i i

ij

R Ra

.

עבור כל שורה .0iR שאחרי השורה

1R , נבצע את הפעולה הבאה–

a. 1אםij ja a , אז1i iR R R

b. עד שמקבלים שהעמודהjC 0וכל השאר , בראשה 1מכילה.

c. 1j jC C , 1וחזרה לשלב.

ביניים הסבר:

ולא מתייחסים אליהן כחלק , אנחנו מתעלמים מהשורות ומהעמודות שבהן כל האיברים הם אפס .מהמטריצה

. שבה כל האיברים שמתחת לאלכסון הראשי שווים לאפס, בשלב הזה תתקבל מטריצת מדרגות

jלכל , כלומר i 0מתקייםija .

iלכל , כלומר. האיברים שעל האלכסון שווים אחד או אפס, כן-כמו j 0מתקיים 1ija .

. אין לנו מידע, לגבי האיברים שמעל לאלכסון

8. 1jC C ,1iR R.

עבור השורה .5iR נבצע את הפעולה הבאה–

a. 1 אם, 1 , 1i j i ja a , 1אז 1 , 1i i i jR R a .

b. 1i i iR R R

c. 2אם, 2 , 2i j i ja a , 2אז 2 , 2i i i jR R a

40

d. 2i i iR R R

e. 2אם, 2 1, 2i j i ja a , אז2 2 1, 2i i i jR R a

f. 1 1 2i i iR R R

את : כך שמחסרים כל שורה מכל השורות שמעליה, חוזרים על התהליך הזה באופן איטרטיביאת הרביעית מהראשונה , כך מהשנייה-את השלישית מהראשונה ואחר, השנייה מהראשונה

.וכן הלאה, כך מהשלישית-כך מהשנייה ואחר-ואחר

קבל כי בשלב הזה נ: הסבר-

שנייה מהראשונה מאפס את המשתנה השני בראשונהשורה ההחיסור של ה

שלישית מהראשונה מאפס את המשתנה השלישי בראשונהשורה ההחיסור של ה

י בשנייהליששלישית מהשנייה מאפס את המשתנה השהשורה החיסור של ה

הרביעית מהראשונה מאפס את המשתנה הרביעי בראשונה החיסור של השורה

הרביעית מהשנייה מאפס את המשתנה הרביעי בשנייה החיסור של השורה

הרביעית מהשלישית מאפס את המשתנה הרביעי בשלישית החיסור של השורה

...וכן הלאה

– מה שמתקבל מזה הוא

בשורה הראשונה כל המקדמים מתאפסים למעט הראשון

בשורה השנייה כל המקדמים מתאפסים למעט השני

השלישית כל המקדמים מתאפסים למעט השלישיבשורה

...וכן הלאה

.התקבל פתרון עבור כל אחד מהמשתנים במערכת

48

תדטרמיננטו: 5פרק

תמורה

תהי 1,2,...,n קבוצה סופית של מספרים טבעיים.

ההעתקה : 1, 2,..., 1, 2,...,n n חד ערכית-אם היא העתקה חד, "תמורה"נקראת.

.n!איברים הוא nקל לראות שמספר התמורות האפשריות של קבוצה בעלת : הערה

1n-האיבר השני יכול להיות מועתק ל, איברים n-האיבר הראשון יכול להיות מועתק ל: נימוק

וכן , (ולכן האיבר שבחרנו עבור האיבר הראשון כבר תפוס, חד ערכית-כי זו העתקה חד)איברים

.הלאה

של הקבוצה תמורה : סימון - 1,2,...,n נסמן כך-

1 2

1 2

n

n

-איברים nנסמן את קבוצת כל התמורות של קבוצות בעלות S n.

מההערה לעיל נובע כי כלומר !S n n.

דוגמה -

תהי הקבוצה 1,2,3 . נראה שמתקיים 3 3! 6S .

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

3 , , , , ,1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 1 2 2 3 1 3 2 1

S

כפל תמורות

תהי הקבוצה 1,2,...,n , ויהיו התמורות , S n .

-כלומר . נגדיר כפל של תמורות כמו הרכבה של העתקות

k k , 1,2,...,k k n .

:אופן מפורשנכתוב ב

אם נתונות 1,2,..., 1 , 2 ,...,n n

, 1,2,..., 1 , 2 ,...,n n

,

45

אז התמורה היא העתקה מהצורה הבאה–

1,2,..., 1 , 2 ,..., 1 , 2 ,...,n n n

תמורה טריוויאלית

תהי הקבוצה 1,2,...,n , ותהי S n .

אם מתקיים , נקראת תמורה טריוויאלית התמורה 1,2,...,k n

k k

.

תמורה הופכית

תהי הקבוצה 1,2,...,n , ותהי התמורה S n .

אם מתקיים כי , נקראת תמורה הופכית לתמורה התמורה .

.ההרכבה שלהן היא התמורה הטריוויאלית, כלומר

1באמצעות נסמן את התמורה ההופכית של .

מציאת תמורה הופכית

-כך ש, נניח כי נתונה התמורה

1 2

1 2

n

n

.

–נוסיף בסוף את התמורה הטריוויאלית 1

1 2)

1 2)

1 2

n

n

n

.

המעבר מהשורה הראשונה , נשים לב כי המעבר מהשורה הראשונה לשנייה הוא התמורה

ולכן המעבר מהשורה השנייה לשלישית הוא התמורה ההופכית , הוא התמורה הטריוויאליתלשלישית

.של

46

תכונות של קבוצת התמורות S n

כלומר . כפל של תמורות מקיים אסוציאטיביות לכפל .א .

מההנחה שלכל קבוצה .ב 1,2,...,n ניתן להסיק מהאופן שבו הסברנו , קיימת תמורה טריוויאלית

.שלכל תמורה יש תמורה הופכית, לעיל כיצד למצוא תמורה הופכית

מחזור (cycle)

-הוא תמורה מהצורה " מחזור"1 1

1 2

k k k m k m

k k k m k

שיכולה להיות שקולה או חלקית לקבוצה )המחזור מקבל קבוצה של איברים : כלומר 1,2,...,n) ,

.לאיבר הבא אחריווהוא מעביר כל איבר ממנה

.המחזור מעתיק לאיבר הראשון בקבוצה, את האיבר האחרון באיברי הקבוצה

נתונה הקבוצה , למשל 1, 2,3, המחזור . 4,5,6 345 מקיים 345 453 , ונקבל כי הפעלת

המחזור 345 על 1, 2,3, יתן לנו את , 4,5,6 1, 2, 4,5,3,6.

טרנספוזיציה

" טרנספוזיציה" pq , היא החלפה בין שני האיבריםp ו-q -

1 2 1 1 1 1

1 2 1 1 1 1

p p q q n

p p q q n

ppq

q

הפעלת הטרנספוזיציה, למשל 35 על 12345 תיתן את 12543.

.בסימון הטרנספוזיציה מתעלמים מהאיברים שהטרנספוזיציה לא משנה אותם: הערה

:לביטוי של תמורה כמכפלת טרנספוזיציות דוגמה -

התמורה -1 2 3 4 5

2 5 4 3 1

שקולה להפעלת כפל הטרנספוזיציות 12 15 על 34

1, 2,3, -כלומר . 4,5

1 2 3 4 5) 12 21

2 1 3 4 5) 15 51 12 15 34

2 5 3 4 1) 34 43

2 5 4 3 1

47

משפט

2nעבור ,כל תמורה ניתנת להצגה ככפל של טרנספוזיציות.

(באינדוקציה): הוכחה -

2nעבור .1 מתקיים 2! 2S n , ולכן קיימות שתי תמורות- 1 2 1 2

,1 2 2 1

.

לתמורה הראשונה מתקיים 1 2

12 121 2

ולשנייה מתקיים ,

1 212

2 1

.

נניח כי כל תמורה .2 1n , כלומר תמורה של 1,2,..., 1n , ניתנת להצגה כמכפלת

.טרנספוזיציות

נרצה להוכיח כי גם תמורה n , כלומר תמורה של 1,2,...,n תינתן להצגה כמכפלת


:בשני מקריםנדון .0

a. אם n n , אז מתקיים באופן טבעי כי 1n n nn . מהנתון כי

1n נקבל כי גם , ניתנת להצגה כמכפלת טרנספוזיציות n היא מכפלת


b. אם n k ,k n , נקבל תמורה מהצורה הבאה–

1 2

1 2

m n

n k

.[n-שצריך לעבור ל, m, ולכן קיים איזשהו איבר אחר, k-עובר ל n: נימוק]

נגדיר טרנספוזיציה חדשה def

nk , ונפעיל אותה על התמורה –

1 21 2

1 21 2

1 2

m nm n

nk n kn k

k n

נשים לב כי אם מרכיבים על התמורה n k את הטרנספוזיציה nk מקבלים תמורה

שעבורה n n ,שהיא ניתנת לביטוי כמכפלה של ' ולגביה הוכחנו בסעיף א

ולכן התמורה , טרנספוזיציות n k מהווה כפל של מכפלת הטרנספוזיציות של

n k יה עם הטרנספוזיצ nk.

44

זוגיות של תמורה

תהי הקבוצה 1,2,...,n , והתמורה S n .

-נסמן . הוכחנו שכל תמורה ניתנת לביטוי כמכפלה של טרנספוזיציות1 2 ... m .

-נגדיר sgn 1m

def

יחידות הזוגיות

תהי S n , ונניח כי1 2 ... s ,

' ' '

1 2 ... m הם שני פירוקים שונים של

.למכפלות של טרנספוזיציות

אזי 1 1m s

.כלומר , sgn משמעי לכל תמורה-מוגדרת באופן חד.

:הוכחה -

-נגדיר את הפולינום הבא .1 1

1

,..., n i j

def i j n

V t t t t

-למשל . מכל איבר מפחיתים כל אחד מהאיברים בעלי אינדקס גבוה יותר

1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 4

, , , i j

i j

V t t t t t t t t t t t t t t t t t t

V - עם נגדיר מכפלה של .2 1 11

,..., ,...,n n i jdef i j n

V t t V t t t t

ניתן לראות שמתקיים תמיד 1 1,..., ,...,n nV t t V t t

נשים לב לשקילות : נימוק] 1,2,..., 1 ,...,n n .

לכן ההבדל בין . שקילות זו נובעת מכך שתמורה משנה את סדר האיברים ולא את שיוכם לקבוצה

V לביןV הוא רק סדר הסכימה בתוך איברי המכפלה].

1עבור : למה .0 k l n , טרנספוזיציה בעלת החלפה אחת מהצורה kl משנה את סימן

כלומר . הפולינום 1 1,..., ,...,n nkl V t t V t t ( .הוכחת הלמה בסוף ההוכחה.)

אם .81 ... s אז 1 1 1 1,..., ... ,..., 1 ,...,

s

n s n nV t t V t t V t t

אם 1 ... m אז 1 1 1 1,..., ... ,..., 1 ,...,

m

n m n nV t t V t t V t t

נקבל כי 1 11 ,..., 1 ,...,m s

n nV t t V t t , ולכן 1 1m s

.

49

:הוכחת הלמה -

נתבונן בפולינום הבא 1,..., ,..., ,...,k l nV t t t t.

כי רק עליהן הטרנספוזיציה , lאו את kנכתוב את המכפלות שכוללות את kl משפיעה –

i.

1 2 1 3 1

2 3 2 4 2

1

...

...

k

k

k k

t t t t t t

t t t t t t

t t

ii. k lt t

iii. 1 1...k k k lt t t t

iv. 1 ...k l k nt t t t

v. 1 2 1... k lt t t t

vi. 1 1...k l l lt t t t

vii. 1 ...l l l nt t t t

נבדוק את השפעת הטרנספוזיציה kl על כל אחת מהמכפלות –

i. kl i נותן אתv

ii. kl ii נותן את-ii

iii. kl iii נותן את 1

vi , כאשר הוא מספר האיברים ב-vi

iv. kl iv נותן אתvii

v. kl v נותן אתi

vi. kl vi נותן את 1

iii , כאשר הוא מספר האיברים ב-iii

vii. kl vii נותן אתiv

, -שהסימן שלהן תלוי ב, vi-ו iiiלמעט מכפלות , נשים לב שכל המכפלות הללו נשארות בעלות אותו סימן

.שמשנה סימן iiומכפלה

.ולכן נותר סימן שלילי יחיד, ולכן מכפלת שתיהן חיובית, שווה vi-ו iiiמספר האיברים במכפלות

93

דטרמיננטה

תהי המטריצה

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

מעל לשדה .( מספר העמודות שווה למספר השורות)

1nאם נגדיר את הדטרמיננטה 11detdef

A a

2nאם נגדיר את הדטרמיננטה

1 1 2 2det sgn ...

n ndef S n

A a a a

חישוב דטרמיננטות קטנות

1מטריצה דטרמיננטה של - 1 : לפי הגדרה 11det A a.

2דטרמיננטה של מטריצה - 2 : 11 12

21 22

a aA

a a

. 1 2 1 2

2 ,1 2 2 1

S

.

1 2 1 2

12 12 sgn 11 2 1 2

1 2 1 212 sgn 1

2 1 2 1

-ולכן

11 22 12 211 1 2 22

det sgn 1 1S

A a a a a a a

3דטרמיננטה של מטריצה - 3 : 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

.

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

, , , , ,1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 2 1 3 1 2

3S

.

– נחשב את הסימן של כל התמורות

91

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 312 12 sgn 1 12 sgn 1

1 2 3 1 2 3 2 1 3 2 1 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 323 sgn 1 13 sgn 1

1 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1

1 2 3 1 2 312 23 sgn

3 1 2 3 1 2

1 2 3 1 2 31 12 13 sgn 1

2 3 1 2 3 1

– נקבל את הדטרמיננטה הבאה

1 1 2 2 3 33

11 22 33 12 21 33 11 23 32

13 22 31 13 21 32 12 23 31

det sgn

1 1 1

1 1 1

S

A a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

משפט


11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

.כלשהו מעל לשדה

נגדיר מטריצה כטרנספוזיציה של A באופן הבא-

11 21 1

12 22 2

1 2

n

nT

n n nn

a a a

a a aA

a a a

(החלפת השורות והעמודות)

אזי det det TA A

:הוכחה -

-נסמן את המטריצה כך .1 T

ijA b ,1 ,i j n .

ij -נשים לב שמתקיימת הנוסחה הבאה jib a.

92

-נציב בדטרמיננטה .2

1 1 2 2

1 1 2 2

det sgn ...

sgn ...

T

n nS n

n nS n

A b b b

a a a

מהגדרת תמורה נובע שקיימים .0 1 2, ,..., 1, 2,...,nk k k n , כך שמתקיים כי–

1 21, 2,..., nk k k n

-ולכן מתקיים , ידוע שלכל תמורה קיימת תמורה הפוכה

1

1

1

2

1

1 1

2 2

n

k

k

k n n

–כך 2נובע שניתן לכתוב את הדטרמיננטה שקיבלנו בסעיף 0מסעיף .8

1 1 2 2

1 1 1

1 1 2 2

1 1 2 2

sgn ... sgn ...

sgn ...

n nn n k k k k k kS n S n

n nS n

a a a a a a

a a a

.[נשים לב שרק החלפנו את סדר האיברים במכפלה]

נסמן לכל .5 S n את התמורה ההופכית שלו- 1 .

מתקיים כי 1 1 1

-ונקבל , 8נציב את מה שסימנו בדטרמיננטה שקיבלנו בסעיף

1

1 1 2 2det sgn ...T

n nS n

A a a a

.

detלכן מתקיים כי הסקלרים של TA שווים לסקלרים של det A , אולם איננו יודעים

מהו הערך של 1sgn .

: למה .6 1sgn sgn .

כי מהלמה נסיק 1sgn sgn ) , ולכן det detTA A .

-מתקיים כי , מכיוון שכל תמורה ניתנת להצגה כמכפלה של טרנספוזיציות: נימוק

90

1

1 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2 1

1 2 2 1

... ...

... ...

... ... ...

s s s s

s s s s

s s s s s s

1לכן מספר הטרנספוזיציות של ו של ולכן , שווים 1sgn sgn .

:דוגמה מספרית -

2מטריצה נזכור שהראינו קודם שמבנה הדטרמיננטה של 2 הוא מהצורה –

11 22 12 211 1 2 22

det sgn 1 1S

A a a a a a a

o 1 2

det 1 1 4 1 2 3 23 4

A A

o 1 3

det 1 1 4 1 3 2 22 4

T TA A

98

משפט


11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

.(מספר העמודות שווה למספר השורות)

: נסמן את המטריצה לפי שורות

1

1

1

1

1

1

i

i

i

j

j

j

a

a

a

a

A

a

a

a

a

: נגדיר

1

1

1

*

1

1

1

i

j

i

j

i

j

a

a

a

a

A

a

a

a

a

החלפה של )ia

ja-ב

)

אזי *det detA A .

:הוכחה -

נכתוב את הדטרמיננטה של .1*A -

* * * * * * * * *

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1det sgn ... ... ...

i i j j i i j j i i j j n nS n

A a a a a a a a a

i,נשים לב שמכיוון שההחלפה התבצעה עבור האינדקסים .2 j , באופן כללי מתקיים עבור

-כלשהם lkאינדקסים *

,lk

lk jk

ik

a l i k i

a a l i

a l j

ולכן נסיק כי

*

i i j ia a

,

*

j j i ja a

.

95

– 2נרשום את הדטרמיננטה שהתקבלה לאחר השינוי שבסעיף .0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1det * sgn ... ... ...

i i i j i i j j j i j j n nS n

A a a a a a a a a

להיות נגדיר טרנספוזיציה .8 ij . כלומר למעט , לא מחליפה אף אינדקס,i j.

עם כאשר האינדקסים כולם מהווים הרכבה של , 8נרשום את הדטרמיננטה שקיבלנו בסעיף .5

( .נשים לב שעבור כל האינדקסים ששונים מ-,i j אין כל שינוי.)

*

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

det

sgn ... ... ...i i i i i i j j j j j j n n

S n

A

a a a a a a a a

נגדיר לכל תמורה .6 S n תמורה חדשה , .

-נשים לב כי

.

- הפעם באמצעות התמורה , נכתוב שוב את הדטרמיננטה .7

*

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1det sgn ... ... ...

i i i i i i j j j j j j n nS n

A a a a a a a a a

נשים לב כי sgn sgn ,כי הפעלנו עוד טרנספוזיציה אחת בדיוק.

–לכן נסיק .4

*

1 1det sgn ... det

n nS n

A a a A

,כמבוקש.

משפט


11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

.(מספר העמודות שווה למספר השורות)

: נסמן את המטריצה לפי עמודות 1 1 1 1 1,..., , , ,..., , , ,...,i i i j j j nA a a a a a a a a

: נגדיר,

*

1 1 1 1 1,..., , , ,..., , , ,...,i j i j i j nA a a a a a a a a

החלפה של . )

ia

ja-ב

)

אזי *det detA A .

96

:הוכחה -

במשפט קודם הראינו כי det det TA A , כאשרTA מוגדרת כמטריצה שבה מחליפים את

.השורות בעמודות

-נכתוב את המטריצה

111 21 1

12 22 22

1 2

T

n

TnT

n n nnT

n

aa a a

a a a aA

a a aa

,1

T

i i nia a a

.

כך נוכל להציג את המטריצה -אם*TA באמצעות עמודות–

1

1

1

*

1

1

1

i

j

i

T

j

i

j

a

a

a

a

A

a

a

a

a

.

מכיוון שמתקיים * *det detTA A , נסיק מהמשפט הקודם *det detA A .

אם במטריצה : מסקנה - A אז , יש שתי שורות זהות או שתי עמודות זהות det 0A .

ונקבל כי מתקיים , ניתן להחליף בין שתי השורות הזהות או בין שתי העמודות הזהות: נימוק

det detA A , משמע det 0A .

97

משפט

תהי מטריצה מהצורה

1

1

1

1

i

m

k k

k

i

n

a

a

bA

a

a

כאשר 1,...,k k knb b b

, 1ולכן 2

1 1 1 1

...m m m m

k k k k k k k kn

k k k k

b b b b

.

-אזי מתקיים כי

1

1

1

1

det det

im

kk

k

i

n

a

a

A b

a

a

:הוכחה -

לצורך הנוחות נסמן .11

m

k k i

k

b a

, ונכתוב את הדטרמיננטה-

1 1 1 1 1 1det sgn ... ...

i i i i i i n nS n

A a a a a a

נשים לב כי לפי ההגדרה מתקיים .21

m

il k kl

k

a b

, ולכן 1

m

ki i k ik

a b

, ולכן נוכל לכתוב

–את הדטרמיננטה באופן הבא

94

1 1 1 1 1 11

11 1

11 1

11 1 1 1 1 11

11 1

1

det sgn ... ...

sgn ... ... det

m

ki i k i i i n nS n k

n

i i nm

k k k kni i k i i i n nk S n

i i n

n nn

A a a b a a

a a

a a

a a b a a b b

a a

a a

1

m

k

מומלץ לבדוק שהוא מתקיים באמצעות כתיבת המטריצה . השוויון האחרון אינו טריוויאלי]

.[ולראות כיצד מתקבלת הדטרמיננטה, שמופיעה בסוף

תהי המטריצה : מסקנות - n n

A

.

-אם ב .א A או עמודה שהיא צירוף לינארי של , קיימת שורה שהיא צירוף לינארי של שורה אחרת

אזי , עמודה אחרת det 0A .

מהמשפט האחרון נובע שניתן להציג את הדטרמיננטה כסכום של דטרמיננטות של כל : נימוק

.אחד מהווקטורים שמהווים את הצירוף הלינארי

וממסקנה , בל כי בכל אחת מהדטרמיננטות של הסכום קיימים שני וקטורים זהיםנק, מכיוון שכך

.של משפט קודם נובע כי הדטרמיננטה מתאפסת

אם .ב rank A n אזי det 0A .

מכיוון שכאשר : נימוק rank A n סקנה וממ, עמודות תלויה באחרת\אזי לפחות אחת השורות

.נובע שהדטרמיננטה מתאפסת' א

נוסחת קרמר

תהי מערכת המשוואות

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x bA

a x a x a x b

.

והמטריצה

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

n n nn n

a a a b

a a a bA

a a a b

.(.מספר העמודות שווה למספר השורות)

99

-נסמן את המטריצה לפי עמודות 1,..., ,nA a a b

כאשר ,

1

n

b

b

b

,

1l

l

nl

a

a

a

.

1אזי לכל i n 1 -מתקיים 1 1 1det ,..., det ,..., , , , ,i n i i nx a a a a b a a

:הוכחה -

1נשים לב כי .1 1

1

...n

n n k k

k

b x a x a x a

.

–נחשב את הדטרמיננטה .2

1 1 1

1 1 1

1

1 1 1

1

det det ,..., , , , ,

det ,..., , , , ,

det ,..., , , , ,

i i n

n

i k k i n

k

n

k i k i n

k

A a a b a a

a a x a a a

x a a a a a

(השוויון השני נובע ממשפט קודם)

1 -נתבונן בדטרמיננטה הבאה .0 1 1det ,..., , , , ,i k i na a a a a

.

kנשים לב שכאשר i ,וממשפט קודם נובע , קיימות שתי עמודות שוות בדטרמיננטה

kרק כאשר 0-לכן הערך של הדטרמיננטה שונה מ. שהדטרמיננטה מתאפסת i.

-לכן

1 1 1 1 1 1 1

1

det ,..., , , , , 0 ... det ,..., , , , , ... 0n

k i k i n i i k i n n

k

x a a a a a x x a a a a a x

1 -ונסיק 1 1 1 1 1det ,..., , , , , det ,..., , , , ,i i n i i k i na a b a a x a a a a a

.

אם : מסקנה - det 0A שנתון באמצעות נוסחת קרמר, אז קיים פתרון יחיד.

אם : נימוק det 0A אז הביטוי

1 1 1

1

det

det ,..., , , , ,

det ,...,

i i n

i

n

A

a a b a a

x

a a

.מוגדר היטב

133

פיתוח מטריצה לפי שורה


11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

-מתקיים תמיד .

11

1

1

1

det 1 detn

k

k

k

a

A a

1 1ka 1ka 1 1ka 1na

21 2 1 2k ka a a 2 1 2k na a

1 1n nk nka a a 1nk nna a

-כלומר 21 2 1 2 1 2

1

1

1

1 1 1

det 1 det

k k nnk

k

k

n nk nk nn

a a a a

A a

a a a a

– לב שהמשפט שקול לטענה הבאה נשים: הערה -

11 1 1 1

1

det 1 det

k k

nk i

ik

k

a a a

A a

1 1 1k na a

11 1 1 1i i k i ka a a 1 1 1

1

i k i n

i

a a

a

1ika ika 1ika ina

11 1 1 1i i k i ka a a 1 1 1i k i na a

1 1n nk nka a a 1nk nna a

נשים לב כי לשם כך יש לבצע . 1תעבור להיות שורה i-נבצע החלפת שורות כך שהשורה ה: נימוק

1i לכן אם נסמן את המטריצה החדשה , החלפות*A , נסיק לפי משפט קודם שמתקיים

1 *det 1 det

iA A

.

131

:הוכחה -

-נסמן מטריצה .1

11

1

22

n

k k

k

nn

a ea

a aA

a a

,0,...,0כאשר , 1 ,0,...,0k

index k

e

.

–נשים לב שעבור הדטרמיננטה מתקיים

1

1

21 2 1 2 2 1 22

2 1 1

1 1

1 1 1

0 0 1 0 0

det det det det

n

k kk

k

n nk k k n

k k

k k

n nk nk nk nn

nn

a e e

a a a a aaaA a a

a a a a aaa

1k)להיות העמודה הראשונה k-נזיז את העמודה ה ונקבל , (הזזות–

1 2 21 2 1 2 1 2

1

1

1 1 1

1 0 0 0 0

det 1 detn

k k k k n

k

k

nk n nk nk nn

a a a a aA a

a a a a a

-באופן כללי מתקיים : למה

22 2

21 22 2

2

1 2

1 0 0

det det

n

n

n nn

n n nn

c cc c c

c cc c c

.

באות , נסמן את המטריצה עליה הפעלנו את הדטרמיננטה: נימוק C.

-מהגדרת הדטרמיננטה נובע

1 1 2 2det sgn ...

n nS n

C c c c

.

נתבונן באיבר 1 1c

. עבור המטריצה C למעט כאשר , תמיד 0איבר זה שווה 111 1c c

כלומר ) 1 1 ) אז מתקיים11 1c .

-לכן

2 2

1 1

det sgn ...n n

S n

C c c

.

הדטרמיננטה מוגדרת עבור הקבוצה : כלומר 1 1S n , ששקולה לקבוצה

2,3,...,n n n , כי 1 1 ולכן אין שינוי בערך הדטרמיננטה.

132

.כמבוקש, ייה ומהעמודה השנייהמתקבלת נוסחה של דטרמיננטה מהשורה השנ

-מהמסקנה מתחילת ההוכחה בצירוף הלמה נקבל את השוויון המבוקש : מסקנה -

1 2 21 2 1 2 1 2

1

1

1 1 1

21 2 1 2 1 21

1

1

1 1 1

1 0 0 0 0

det 1 det

1 det

nk k k k n

k

k

nk n nk nk nn

k k nnk

k

k

n nk nk nn

a a a a aA a

a a a a a

a a a a

a

a a a a

מינור של מטריצה


11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

נגדיר מינור של A להיות-

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1 1,..., ,..., det

k

k

k k k k

l j l j l j

l j l j l j

k k

def

l j l j l j

a a a

a a aA l l j j

a a a

כאשר 1

1

1 ...

1 ...

k

k

l l m

j l n

kמתקבלת דטרמיננטה של מטריצה מגודל , כלומר. k.

: דוגמה

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

A

למשל . 3 5

1,2 3,5 det8 10

A

.הוא מינור

130

בסיסימינור

נאמר כי מינור 1 1,..., ,...,k kA l l j j של המטריצה m n

A

אם שני התנאים , הוא מינור בסיסי

– הבאים מתקיימים

.א 1 1,..., ,..., 0k kA l l j j

k -כל מינור מסדר גבוה יותר מ .ב k 0-שווה ל.

יחידות המינור הבסיסי-אי

.מינור בסיסי אינו בהכרח יחיד

למשל עבור המטריצה

1 1 2

1 1 2

0 1 0

A

:קיימים שני מינורים בסיסיים,

1 12,3 1,2 det 1 1 1 1 1 0 0

0 1

1 21,3 2,3 det 1 1 0 1 2 1 0

1 0

A

A

משפט

תהי המטריצה m n

A

ונניח כי , 1 1,..., ,...,k kA l l j j הוא מינור בסיסי שלה.

אזי כל עמודה במטריצה היא צירוף לינארי של עמודות המטריצה שיש להן אינדקס ששייך למינור

.בסיסי

אלא עמודות המטריצה שהאינדקס , נשים לב שאלו לא העמודות עצמן של המינור הבסיסי: הערה]

.[שלהם שייך למינור

: כלומר

1 2

1 2

1 2

1 2

11 1

22 2... ...

k

k

k

k

jj j

jj j

i j j j

mj mj mj

aa a

aa aa a a a

a a a

138

להוכיח את המשפט מספיק להוכיח אותו עבור מינור בסיסי מהצורה כדי : הקדמה להוכחה -

1,..., 1,...,k kA l j .עליון של המטריצה-מינור שממוקם בחלק השמאלי, כלומר.

ראשית נביא את המינור להיות מהצורה : נימוק - 1,..., 1,...,k kA l j באמצעות החלפת שורות

.עליון של המטריצה-עד שהמינור ממוקם בחלק השמאלי, ועמודות

נוכיח שהטענה שעמודה כלשהי היא צירוף לינארי של עמודות המטריצה שיש להן אינדקס ששייך

למינור הבסיסי 1 1,..., ,...,k kA l l j j , שקולה לטענה שעמודה כלשהי היא צירוף לינארי של עמודות

המטריצה שיש להן אינדקס ששייך למינור הבסיסי 1,..., 1,...,k kA l j.

נניח שעבור וקטור

1

2

p

a

a

a

-כלשהו מתקיים

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

1 2

...

q

q

m

p p p pq

a b b b

a b b b

a b b b

.

נגדיר תמורה כלשהי S n ,פעולה על הווקטור היא שה-

11

22

def

p p

aa

aa

a a

.

– על שני צידי המשוואה נקבל אם נפעיל את התמורה

1 1 1 1 2 1

2 2 1 2 2 2

1 2

1 2

...

q

q

m

p p p p q

a b b b

a b b b

a b b b

.לכן נסיק שהחלפת עמודות ושורות לא משנה לגבי פרישת וקטור כלשהו

:הוכחת המשפט -

נגדיר את הדטרמיננטה .1

11 1 1

1

1

...

det...

...

k s

def k kk ks

l lk ls

a a a

Da a a

a a a

כאשר , 1

1

l m

s n

.

D בתוספת שורה , היא מינור בסיסיl כלשהי למטה ועמודהs כלשהי מימין.

.הוא צירוף לינארי של איברי השורה שלו sיח שכל איבר בעמודה נוכ

0Dנוכיח כי בכל מקרה .2 :

135

1אם : מקרה ראשון .א l k ,וממשפט קודם נובע , אז יש שתי שורות שוות בדטרמיננטה

0Dכי .

kאם : מקרה שני .ב l m . 0נניח בשלילהD , נקבל שקיים מינור בסיסי מסדר גדול

kיותר מאשר k , בסתירה להנחה כי 1 1,..., ,...,k kA l l j j מינור בסיסי.

.לפי נוסחה כללית שהוכחנו במשפט קודם, lלפי השורה Dנרשום פיתוח של הדטרמיננטה .0

-היא , iהנוסחה הכללית של פיתוח דטרמיננטה לפי שורה 1

det 1 detn

k i

ik ik

k

A a c

כאשר , det ikc היא הדטרמיננטה שמתקבלת ממחיקת השורה ה-i והעמודה ה-k במטריצה.

–יראה מהצורה הבאה lהשורה פיתוח לפי , Dלכן במקרה שלנו עבור הדטרמיננטה

1 1 1 1

1

1 det 1 detk

k i k k

li li ls ls

i

D a c a c

כאשר det lic 1-היא הדטרמיננטה המתקבלת ממחיקת השורה הk במטריצה של

(.l-שבחרנו אותה להיות השורה ה) Dהדטרמיננטה

נשים לב שעבור det sc מתקיים det 1,..., 1,...,s k kc A l j , שלפי ההנחה זה מינור

נסיק כי , 0-בסיסי ולכן הוא שונה מ det 1,..., 1,..., 0s k kc A l j .

0Dהראינו כי בכל מקרה 2בסעיף .8 , ולכן נסיק–

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1

1 det ... 1 det 1 det 0

1 det ... 1 det 1 det

1 det ... 1 det

1 det

l k l k l

l l lk lk ls ls

l k l k l

l l lk lk ls ls

l k l

l l lk lk

ls k l

ls

D a c a c a c

a c a c a c

a c a ca

c

לכן כל איבר lsa שנבחר הוא צירוף לינארי של עמודות המטריצה שיש להן אינדקס ששייך למינור

.בסיסי

: מסקנה - det 0A rank A n

אם ידוע כי : נימוק] rank A n ,ולכן הסדר של , משמע יש עמודות שתלויות לינארית באחרות

.0כי כשיש עמודות תלויות לינארית הדטרמיננטה היא , n-המינור הבסיסי קטן מ

אם ידוע כי det 0A אז המינור הבסיסי חייב להיות מסדר קטן מ-n , ומהמשפט שהראינו כעת

ולכן , נובע כי שאר העמודות תלויות לינארית בעמודות של המינור הבסיסי rank A n.

136

משפט

תהי המטריצה A , ונניח כי 1,..., n

def

V span a a

.

אם 1 1,..., ,...,k kA l l j j הוא מינור בסיסי של A , אזי הקבוצה 1,...,

kj ja a

היא בסיס של

.Vהקבוצה

לכן rank A k.

:הוכחה -

במשפט קודם הוכחנו שכל עמודה במטריצה תלויה לינארית בעמודות המטריצה שיש להן אינדקס .1

לכן כדי להראות שהקבוצה . שמופיע במינור הבסיסי 1,...,

kj ja a

מספיק להראות , היא בסיס

.שהיא בלתי תלויה לינארית

נניח בשלילה שהווקטורים .2 1,...,

kj ja a

–כלומר . תלויים לינארית

מתקיים כי 11 ... 0

kj k ja a

, וגם1,..., k 0-ולם שווים ללא כ.

: נרשום במפורש את המשוואות של כל המטריצה

1

1 1 1

1

1

1 1 1

1

1

1

... 0

... 0

... 0

... 0

k

k

k k k

k

j k j

i j k i j

i j k i j

mj k mj

a a

a a

a a

a a

נתבונן בשורות 1,..., ki i , ונרשום אותן כך-

11 1

2 1 2

1

1

0

0...

0

k

k

k k k

i ji j

i j i j

k

i j i j

aa

a a

a a

הנחנו בשלילה כי 1,..., k ולכן מהתוצאה האחרונה נובע כי עמודות , 0-לא כולם שווים ל

.המינור הבסיסי תלויות לינארית

ולכן זו סתירה , 0המינור הוא, ממשפט קודם נובע כי אם במינור יש עמודות תלויות לינארית

להנחה כי 1 1,..., ,...,k kA l l j j הוא מינור בסיסי.

137

משפט

סופית שהבסיס שלו הוא -מרחב וקטורי נוצר Vיהי 1,...,V nB v v,

A:ותהי V V העתקה לינארית.


קיימת , כלומר. העתקה הפיכה A .א1A

-כך ש 1A A I .

.ב det , , 0v vm A B B

:הוכחה -

.נראה טענת עזר, לפני ההוכחה עצמה .1

.ע ואם רק אם היא על"הפיכה אם ורק אם היא חח Aהוכחנו במשפט קודם כי

vקיים Vהפיכה שקולה לכך שלכל A-לכן הטענה ש V יחיד כך ש- A v

-נסמן , סופית-נוצר V-מכיוון ש1 1

1 1

...

...

n n

n n

v v v

v v

-ולכן 1 1 1

n n n

k k k k j j

k k j

A v A v A v A v v

.

נשים לב שלכל וקטור kv מהבסיס של המרחב מתקיים

1

n

k jk j

j

A v a v

, ולפי האופן שבו

Aההעתקה הוא האיבר הכללי במטריצת jkaמתקיים כי , הגדרנו מטריצה של העתקה לינארית

-ולכן 1 1 1 1

n n n n

k k jk k j j

k k j j

A v a v

.

1לכל שורה , כלומר j n מתקיים1

n

jk k j

k

a

.

נתרגם את המשוואה A v עבור שורה , לצורתה המטריציוניתj כלשהי–

11 1 1 1

1

n

n nn n n

a a

a a

134

הראינו כי המשוואה .2 A v שקולה למטריצה

11 1 1 1

1

n

n nn n n

a a

a a

a. (א ' ב' ) שאם בכיוון אחד נסיקA ולכן למערכת ,ע ועל"העתקה הפיכה אז היא חח

A v משמע ל, פתרון יחיד-

11 1 1 1

1

n

n nn n n

a a

a a

, פתרון יחיד

כלומר rank A n ולכן det 0A .

b. (ב ' א' )אם , בכיוון ההפוך det 0A אז rank A n ,למערכת ולכן

11 1 1 1

1

n

n nn n n

a a

a a

למערכת מכאן שגםו, פתרון יחיד A v קיים

.הפיכהולכן , ע ועל"חח Aכלומר פתרון יחיד

למציאת מטריצה הפוכהנוסחה

תהי המטריצה 11 1

1

n

m mn

a a

A

a a

ונניח כי , det 0A (כלומר , A ותהי (. הפיכה

המטריצה B מטריצה הפוכה שמקיימת–

1 0 0

0 1 0

0 0 1

B A

.

במטריצה j-והעמודה ה i-השורה השבשורה ijb-אזי האיבר ה B, הבאה י הנוסחה "מתקבל ע–

det 1 deti j

ij jiA b A

detכאשר jiA היא det A לאחר מחיקת השורה ה-j והעמודה ה-i.

139

:הוכחה -

נתון כי

11 1 11 1

21 2 21 2

1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

n n

n n

n nn n nn

a a b b

a a b b

a a b b

נסמן את המשוואה 1

n

ik kj ij

k

a b

,1 ,i j n , כאשר1

0ij

i j

i j

.

–כלשהי מתקיים jנשים לב שעבור עמודה

11 1 1

1

0

1

0

n j

ind j

m mn nj

a a b

a a b

נשתמש בנוסחת קרמר כדי למצוא את הפתרון ijb ונקבל שמתקיים , של המערכת –

0

11 1 1

0

det det ,..., , , ,...,ij i i nA b a a a a

j-בשורה ה 1כאשר

–של מטריצה הפוכה יתקבל מהנוסחה הבאה ijbלכן האיבר

0

11 1 1

0

11 1 1 1 1 1

11 1 1 1 1 1

1 1 1

11 1 1 1 1 1

1

det det ,..., , , ,...,

0

0

det 1

0

ij i i n

i i n

j j i j i j n

j ji ji jn

j j i j i j n

n ni

A b a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a

11 1 1 1 1 1

11 1 1 1 1 1

1 1 1

11 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

0

0

1 1 det 1

0

0 0

j j n

j j i j i j ni j

j ji ji jn

j j i j i j n

ni nn n ni ni nn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a a a

.[i-ובעמודה ה j-האיבר שבשורה ההשוויון האחרון הוא פיתוח של הדטרמיננטה לפי ]

113

:דוגמה -

1 0

2 1A

, מטריצה det 1 1 1 1 0 2 1A ונניח כי 1 0

0 1B A

.

נחשב את המטריצה B לפי הנוסחה שפיתחנו.

1 1 1 2

11 12

2 1 2 2

21 22

1 0 1 01 det 1 1 det 0

2 1 2 1

1 0 1 01 det 2 1 det 1

2 1 2 1

b b

b b

-ולכן 1 0

2 1B

כפליות הדטרמיננטה

יהיו המטריצות ijA a , ijB b , 1כאשר ,i j n .

-אזי det det detA B A B

:הוכחה -

נסמן det detA B c , כאשר ijc c מטריצה1

n

ij ik kj

k

c a b

,1 ,i j n .

-מתקיים כי

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1

11 1 11 1

1 11 1

1

1

1 1

1

det sgn ... sgn ...

... ... sgn ...

... ... det

n n

n

n n

n

n

n

n n

n n

k nkn n k k nS n S n k k

n n

k nk k k nk k S n

k k nn n

k nk

k k

k k n

c c c a b a b

a a b b

b b

a a

b b

1 1

1

1

1

1

1 ...

1

... detn

n

n n

k k nn

k nk

k k n

k k n

b b

a a

b b

כי יש בה , ים שווים הדטרמיננטה מתאפסת-kהשוויון האחרון נובע מכך שכאשר קיימים שני : נימוק]

.[שתי שורות שוות

111

-נגדיר תמורה מהצורה הבאה 1 2

1 2

n

n

k k k

– ונקבל ,

1 1

1

1

1 1 11

1 1 11 ...

1 1

... det ... detn

n

n n

nk k nn

k nk n nk k n S n

k k n n n n

b bb b

a a a a

b b b b

נסביר למה הביטוי האחרון שקיבלנו שקול לביטוי det detA B ,כמבוקש.

-ככלל מתקיים : למה

1 1 1 11 1

11

det sgn det

n n

n nnn n n

b b b b

b b b b

:נימוק

-ספוזיציות טרנ kכמכפלה של נציג את .1 1 1 2 2 1 1...k

k k k ki j i j i j i j

-נתבונן בתמורות חלקיות ל k

ונקבל-

1

1 1 2 2 1 1

1

1 1

...k

k ki j i j i j

i j

נציג את .2 det B באופן הבא- 1 ,..., 1,...,k k

B n n .

נשים לב שאם נציג את הדטרמיננטה באמצעות התמורה 1k

-נקבל את הקשר ,

1 11 ,..., 1,..., 1 1 ,..., 1,...,

k k k kB n n B n n

, כי ההבדל בין

k לבין

1k

.הוא ביצוע של טרנספוזיציה אחת

נקבל שהקשר בין , לכן אם נמשיך את הפיתוח באותו האופן det B לבין det B לאחר

כדי הסימן -הוא שוויון עד, שהפעלנו עליה את sgn ,כמבוקש.

תהי : מסקנה - A ותהי , מטריצה1A כך ש, המטריצה ההפוכה- 1

nA A I .

ידוע כי det 1nI , ולכן- 1 1det det det det 1nI A A A A .

-או בצורה נוחה יותר

1 1det

detA

A

1 תיראניל הרבגלאmath.huji.ac.il/~nachi/files/linearit1.pdf · 2019-01-29 · 1...

Documents