1 ליגרת - 2 תיראניל הרבגלא...

1תרגיל - 2אלגברה לינארית 20.2.05

5S(4 2 5 3 1), (3 2 1 5 4), (1 3 5 2 4): -ת הבאות ב ומצא את הסימן של התמור. א 1.

π = σ τ= =1 1, , ,

τ .וכן חשב את סימנם, חשב א. ב σת π σ τ σ− − ⋅ ⋅

1 2 3 4 5 2 1 3 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3 4 52 3 1 5 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(1 2 6)(1 2 3 4 5)(1 6 2)(1 2)(2 3)(3 4)....( 1 )n n−

5(1 2 3 4 5)(1 2)(3 4 5)(1 2)(3 5 4)

nS

.2 : זריםמחזוריםכתבו את התמורות הבאות כמכפלת

.א5

. ב

.3 :חשבו את המכפלות הבאות

. א . ב . ג . ד

: המוגדרת בצורה הבאהתהי . ובעלת התכתהי .הראה . עבור כל

4. σ ∈n n )ונה )σ =* 1nSσ −∈*( ) ( )x xσ σ=11,...,x n= )*כי − ) ( )sign signσ σ=

:(4,4), (5,4), (2,8)A B C= = =

nS

.חשב את שטח המקבילית ששלושה מקודקודיה הן .5

: כלומר עוברת על כאשר עוברת על הראה כי , תהי .

σ τ σ⋅nS τ ∈nS{ :

6. }n nS Sτ σ σ= ⋅ ∈

nS

τ. כך קיימת תמורה הראה כי לכל תמורה : הדרכה nS π ∈σ σש -∋ π⋅ =

פתרון-1תרגיל - 2אלגברה לינארית 20.2.05

5S(4 2 5 3 1), (3 2 1 5 4), (1 3 5 2 4): -ת הבאות ב ומצא את הסימן של התמור. א 1.

π = σ τ= =1, 1, 1Sign Sign Sign

τ: פתרון = σ π= =

1 1, , ,

τ .וכן חשב את סימנם, חשב א. ב σת π σ τ σ− − ⋅ ⋅τ: פתרון ⋅, , (1 2 3 4 5)σ =(1 3 5 2 4)π σ⋅ =

2 3 4 5)=1 (1 4 2 5 3)τ − =-1 11, 1, Sign 1, 1Sign Sign Signτ σ π σ σ τ −

1σ −, . (1⋅ = ⋅ = =

1 2 3 4 5 2 1 3 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3 4 52 3 1 5 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3)(2)(1 2 3 )(4 5)

(1 2 6)(1 2 3 4 5)(1 6 2)(1)(2 6 3 4 5)

(1 2)(2 3)(3 4)....( 1 )n n−(1 2 3 4 ,..., n-1 n)

5(1 2 3 4 5)

(1 2)(3 4 5)(1 2)(3 5 4))

nS

=

.2 : זריםמחזוריםכתבו את התמורות הבאות כמכפלת

.א5

. ב

. ב . 4 5 1). א: פתרון

.3 :חשבו את המכפלות הבאות . א

.: פתרון . ב

.: פתרון . ג

.ת הזהותורמת: פתרון . ד

.מורת הזהות ת5)(4)(3) (2)(1): פתרון

: המוגדרת בצורה הבאהתהי . ובעלת התכתהי .אה הר. עבור כל

4. σ ∈n n )ונה )σ =* 1nSσ −∈*( ) ( )x xσ σ=11,...,x n= )*כי − ) ( )sign signσ σ=

{( , ) : ( ) ( ) & , 1,..., , j=1,...,n}j i j i j i n

Tתהי : פתרון i) קבוצת כל ההיפוכים ב- (

σ σ= > < =σ

) -ש . לכן לכולמכיוון )n nσ =T ( , )i j ∈ j n≠) נקבל שכל היפוך)מהגדרת ו(בתוצאה מכך לכן . ולהיפך - הוא היפוך ב,

.

* *σ )i j T∈σ*( ) (n sign )sig σ σ=

:(4,4), (5,4), (2,8)A B C= = =

.חשב את שטח המקבילית ששלושה מקודקודיה .5 הן מהוקטורים רי שנפחית הווקטו"אנו נזיז את המשולש לראשית ע: פתרון

שווה לשטח ברור כי שטח המ. וי הקודקודים "כי המשולשים דומים ועל כן שטח המקבילית המוגדרת ע, המשול

.ל היא"הנ

A, ,A B C:' (0,0), ' (1,0), ' ( 2,4)A B C= =נקבל = −( )S ABC

( ' ' ')S A B Cשולש

ש

:1 0

4 0 ( 2)2 4

4= − ⋅ − =−

: כלומר עוברת על כאשר עוברת על הראה כי , תהי .

σ τ σ⋅nS nSτ ∈nS{ :

6. }n nS Sτ σ σ= ⋅ ∈

nS

τ . כך קיימת תמורה הראה כי לכל תמורה : הדרכה nS π ∈σ σש -∋ π⋅ =

nS, , nS כלומר לכל , היא פעולה אסוציאטיבית -רות בונוכיח כי הרכבה של תמ: פתרון, פונקציותשלדרת הרכבה ג מהכי לכל : זה אכן נכון. מתקיי

מתקיים

π τ ∈( ) ( )

σx σ ⋅ πם τ σ π τ⋅ = ⋅ ⋅1,...,n=

( ( ))) ( ( ( )))( ( )) ( ( )

x xx x

)( ) ()

xσ π τ σ π τ σ π τσ π τ σ π τ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

nS

n nS S

=

היא בפרט -ו, בחבורהתזו תכונה שמתקיימ: הערה (ולכן ההרכבה היא פעולה אסוציאטיביות .)חבורה

τ .כעת הרכבה של תמורה היא תמורה ⋅ ⊂

nSולכן

- כך ש קיימת תמורה לכול תמורה ש כלומר נראה , הכלה בכיוון השניכעת נראה.

π ∈nSσ ∈τ σ π⋅ =nS .על . ונקב אזי נגד אכן תהי π יר ∋

1σ τ π−= )1ל ⋅ )τ σ τ τ π π−⋅ = ⋅ ⋅ nכן = nS Sτ ⋅ =

��

�� "!$#%�"&('"&)�+*

, -�.0/2143656.8797:.�@BADC�EF-�.0/�GIHJ>�@BK�HJLNM�OPH4QRMTSUHJOPK�OWV%@BX�Y[Z\>6]_^J`a@Bb�OPc�M�>�dIeTf�g�AhHJ>�@BLiekj HJ>�l�mnH, b�M�LiopbrqBOPLiOPL4>�Ls@Bb�theI@BOWK�dRZ\@BX�b+ouHiA�t�>�H�M"OPH4eI@B>�@BLseTb+ovHJb�Xat�H�Y[>�@BdRAhHJe(CaLwj HJ>�l�mnH, x4HJOW>�cyMz@i{�e(b�CaXaH�M�OWH|x~}{� OP>adj QIOPX�@BbOWc�eb�Xat�LJthe@BM�AH|e@B>�@BLieH|e(Mw@BmnOPK�H,

E5.��.�@BLieH e(M4@BmnOPK�H, l@BC�o[OFo�@BMwHsl�OWcyOzb� Z\HHJb�Xat�LiHQIM�HN, @BVRHJ>�@BLie b+o�QIOPX�@Bb�OWc4b+ov>�e@BOHJ>�K�dTHJb�Xat�LJt HJmK�HNqBOWMz@iQROWX�@Bb�OPc¡�b+o,E5.��.�K�@BOPHHiVI6>�@BM�A e@BbX6t�L

, OWb�OPb+ovqBLsOWYuQIC2OPK�cy@sOWA@BOWc�qBLsOWYuQIC2e@B>�@BLse(HJLOPK�c4f g A�ou@BcyOWt@BH, ¢QIOPOWdRe(L|£|1�f�grHJ>�@BLse b+t�b¤OFt~@BcyOWt@BH, ¥

£�EF-¦§.¨7:79.-n©�G�£ª ¦ EW£~EF-¦8Gy.8797:.£�EW-%©GG

, «_¬p@s«_p ®kb�C6L¯°± 5²5³55´µ5¶²·

¸8¹º 1h»N¼½b�ovH�](Z\Z\OWLs>a]l�H4eMw@BA�o[c, ¾

>�@9](dp@@p¿ÁÀÂ>6o[M"tNÃ_¿§À½Ä¿+Å�Æ À9Ç On C�ÃÈ1 »Ng½EPÉ$GHJOWK�]@BLs>�X�e(K�OP>6](Lk>aO0l�mnZh, £1Tf�g4M�HJe@[@BH�o[b+t|Hil�oÊÉËM�HJO, Ì>�@9](dp@@BH�CaOWX�@BL�HJK�OP>a](LiH�b+o -"Hil�@BLsC6A�e@B>�cM�QROWb�OPLiAh, 5_@9t�>�Co -"QR@BdRLib$](>aX¤ÍÎQRH�@BOFt�>�Cb+t�o OF](>�l�Z0](YwHsl�@BLiC, Ï6¿ÁÐ�EWÃ?GTÑ¨-0Ò�;¤EW£"GIo�@BcOWt@BHN, ¿+Å�Æ À9Ç

��

!#"$"�%�&('�)+*-,. /�0214365�798;:=@?@8BACAD8FE�GIH$JLKNM�OP798;:�QSRTH$JLU$RTVXW�Y2R�Z[W]\^RTY2U$Y`_4JLa�bdceH@f+gTh�JLi#Y2j�W�H�kSl]m�n�KoRTH$JLVplrq RTH$s$t6R. i#W�VpuvixwLY2VpY2V�H�VyJLi#zolSJLYÙ$k[ceJLa{i|u}RpK�z�H�R�W�Y2R�lSJLH�JLVyl]i|u~RTi#a�z�R�bdH�JLk[KoRTlM�Vq RTH$s$t6R. �RTY`H�j(WJp�li#M�a�R�W�Y`R�{ Y2H�k

q ZSY2a�JLiY`j�li#a�z�VTzolJLW�KRlJLH$JLVplRlWJLt6Y2U$R. O6?@8�8F�8F�Q�-O?8F�Q(O6?@8F�Q(O?@8Q\^Wdg.O6?@8F@Q(OF?89Q(O`8@Q(OPN8F@QSi#KNkScH$JL_ej(VXi|zoi|u}Z[Y`kvJLH�a�R�H$JCudH�u~Y MO?@8$8@QOPN8F8Q\^Kyg.O?8F�Q(O?@8@Q(O2$89Q(O;$8F�QSZSY2H�_Z[ceY`WXZ[Y`H$JL_ej(VpR�uvzZ[tSi$ c2zO?@8$8@QO2�8F8Q\^tBgO?89$8F�QO28Q(O;$8�8@QO6?@8F�Q�O6?@8Q(O2�89Q(O`8@Q(O28Q\sTg

q 7yo:(-?ZSY2VpY2Y`k[VTu OP798e:�QSRTH$JLU$RTV¡ZSY2a�JLiY`j�li#a�z�VTzolJLW�KRlJLH$JLVplRlWJLt6Y2U$R. ¢O6?@8F@QBO2�8�Q O2�8F@Q(O?89Q(O`8�Q(O;�8F@Q\^WdgO?8F8�8Q-O`�89$89$8B?£QO2�8F�Q�O6?@8Q(O2�8F�Q(OPN8@Q(O28�Q\^KygO?8F8@QNOe$89Q O`�89$89$8B?£Q� O2�8�8B?8@Q�-O;$8@Q(O2�8B?£Q(O;�8Q O2�8F@Q(O;$8¤?¥Q(OPN8@Q�O`8�Q(O;$8@Q(O`8�Q(O`N8Q\^tBgO;$8@Q(O6?@8$8@Q(O;$8@Q-O?8F8@Q� O`8�8B?¥Q-O28B?¥Q(O2�89Q-O;$8@Q(O2�8B?£Q�O2�8F@Q(O`89Q(O`8�Q(O`N8Q\sTgO2798;:�Q[lW¦i#KNkScS7d§¡:xi|z�i{wCz�iJvO`7�¨©?@87¨Q�O`7987(¨]?¥Q(O27(¨]?8F7¨QvO`7987(¨¡@Qvi#Kk[cSxRTi#W�uaN Moq H�KbdRkvJLH�aoY`H�j(W]wCz�iJd.O`7�¨¡ª�87¨ª«¨©?£QQ¬RTH$JLU$RTVZ[Yà$JLi#Y2j(K�ZSY2VpM�aokSY2a�bdVwLY`VpY2VyJ�i#W�VTudVi#a�z�Y6 M�O`798F7¨©?£QdV. ludkvJLKVpRRpH�JLU$RpVXZSY2a$JLi#Y`j(i®RT_wLa$JLW�Kok[JLH�a�R�lW¡H�Y`VyRTi=wLlY`cZSR�udi|zoZ[Yà$JLi#Y`j(i

qLOF?8F76QRTH$JLU$RTV¡ZSY2a�JLiY`j(KokSH�JCudVyludRXZSM�a�RpJ�¯Rpi#W�u~i#M{JLH�_ej . °O6?@8F@QBO2�8�Q O6?@8F@Q(O?89Q(O6?@8�Q(O?@8Q\^WdgO6?@8F8$89Q�-O?89Q(O6?@8@Q(O?@8F@Q\^KygO?@8F�89QO2�8@QO6?@8@Q�O6?@8F@Q(O?89Q(O6?@8@Q(O?@8Q\^tBgO2�8@Q(O6?89$8@Q(O2�8@Q� O6?@8�8$8@Q�-O?8@Q(O6?@8@Q(O?@8Q\sTgwLlY`c[ZSR�udi|z�Z[Yà$JLi#Y2j(i=k[JLH�a�Y`H�j(WwCz�iJvOF?8F74Q(O?8e:�QTO6?8F76QSOP798e:�Qdi#Kk[cZ[Y`c4JCu�78e:=i|z�i{®RTi#W�uaN Moq H�KbdRJLceY2Wyu-JLR�udi|z�H�JL_ej(Vpi�lJCudM@i{H@uda�W¦RTVyJs�kSY2H�f}. ludk[JLKNVpRRTH$JLU$RTV¡Z[Yà$JLi#Y2ji�RT_[wLa$JLW�K�kvJLH�a�R¡lW¦H�Y2VpRTi. H$JLH�KluvkvJLKVyRRTH$JLU$RTVZ[Yà$JLi#Y`j(i®kvJLH�a�R�_eWr?lWi#YPz�VwCz{WJLRZ[WJ?lWi#YPz�V

Rpi#a�z�V�H�VyJLi|zo. H�lSJLY`K=RTH�U$k[Ro±@H$s$K=Z[Yà$JLi#Y`j{li#a�z�VTz�O?89$8F�QO28Q(O;$8�8@Q s²h@Y2M@b}?dRTi#W�udV�RTH$JLVplRlW�JLt6Y2U$R. ³sJLM�udYPu�JLWRys$Y`j(Yi$ ceRRTi#a�z�VpR¡ZSW�RX. JL_[RTH$JLVpl©i|u�ZSY2a$JLi#Y`j�i|u~H�lJLYRTH�U$k]RTi#a�z�VTzRTtU$RXwLY`WJpZ[Yà$JLi#Y2jª{i|u.O?89$8F�Q(O`8Q(O;$8�8@QlWlJLH�U�JLY2RRp_S±@H�JLW�KlJLia@z�Vq wJLH�laO?8@Q(O6?@8@Q(O28Q(O2�89Q(O`8@QOF?8F�Q(O6?@8Q(O;$89Q

?

Y`z�H�lJLY`K�RTH�U$k[R¡RTia@z�VyRY2Ws�JJLKJL_². \{RTi#W�u Y M�JLWrRTH�YPudYSRpkSY;s$K�Y M�JLWdg¬O2�89Q(O`8@Q(O28Q´µO;$89Q¬u wJJLYPzY`zpgh�JLi#Y`jXRpc;Y2W]JL_¬RTH$JLVpl�Y`z�lY2H@uda�W]W�i?²i@s�JLt6K�RTi#a�z�VyJSlY2H@uda�W]W�i�i@s�JLt6K�RTi#a�z�V©wCz�iJ¬¶?²RTH$JLVplR¦wLVyY`bu~wJJLYPzoRps$Y2j(Y�W�i®RTi#a�z�VyRX. \Ò;�8$8�8¤?¥QH$JL_ej(Vpi=RpJJCuJL_RTH$JLVylO?8�8F�QNO;�89Q(O;$8F8@Q�-O?@8�8$8@Q�OF?89Q(O6?@8@Q(O6?8@Q

. Yì#Y2i|u~wLVyY`b}ZSM=Y2U$j(JyY`KJLY`j�wLVyY`b}ZSM=lJLH$JLVylRTV¡Y2U$j�m n K�u}JLj(Y`zJLR. ·h�JLi#Y2jo¸�H$JLKM=. RTVyU$M@i®m n V\î$ M�j(j�gNi#M�J�MN j(j{W�Y`R�¹º¶OP»yQS©¸²e»�RTk[lM@RpR�¸

��! #" �%$'&�(

) *,+.-0/21�*3+.4�57698;:�1@8;ABAB57:%6C83D!1#*;-E+./!>GFIHKJLNM OPPQ

RTS UTVVXWZYTWSZ[XW Y\]R \^Y_�``acb M

OPPQ\dW U]YVeW S \YT[ZYTVV \^Y \

_�``agf M OQ Y S�h \Vjikh S \iGh Y V?hG-0*;-+.-�4�:I r{�9�9o�9t 1

º.575{4�= ,6 1�*35®!/´+.F+.1@> ² 578 � >G:�F 57+.1�=��C6�+.4�º.57-I º+K!Au-�= +.-Iº+K!A�1�64�¹/´+.A��H�� ² *3+.-) *;5D�¥¦A,-0:%¥�+Do+.AB*E11�8;AAB5{:

��! !��#"$&%�%('�) �+*-,/.0 13254�68791325:�;=A@+7�BDCE7�>AFGFH;=@I3K�7L1A4M2568CONQP R

SUT VWWXY[Z \[]]_â`[^Zab_^ `cdY ce`

f�ggh7�A79Ak7�B#B?K�1CoFk25

S T

Y_Z \_]]^ `_^Z[b[â`ceY c` T#� ]

Y[Z \ c]_^ `[]Zab[^[`cdY c` T# ]

^ cd\ cà`[` ]Zab_^ `cdY ce` T# ^ ^ c\Zab[^cdY c

T# ^ ` c[Z` cc Y c T ^

c_Z c T o^mc-�]J\& T Z?]1A;=t?;=68

0 ��

T,�

-� �

��

` c�� %

'&)(� � ��

` c�� %

'&)(� � ��

` c�� %

'&)(� � ��

�� ce` ` ` �� `

0(Bu68kF=CEK�t�}5w�254M2513254�6 µ ;~Co@IFT �

-� �

��

` c�� !� ` c�� !� ` c�� !� �� c` ` ` �� `

T,�

-� �

�� ´ �� 0 }nx(B P ;G �I!7�AtJ@IB��¢!B£7I22nC/25H7�7IK(25@ItJ7¡P 7�F!2nCo4�

�� c^ ce]]_Z c`�� T ] §4� VX c`[^ c][] c`Y_Z ] c

fh T Z §6� VX cd]_Z^ Y_b\_¿[

fh T ] *�m;�*25O;=4��9;lx�N¨;lFHF � S T S��

%

& � T �I�2 �

2 בלינארית 4תרגיל

בדקו את ( כדי לחשב את adהשתמשו במטריצת ה )1

.!)תשובתכם

1A− כאשר intjo13 7 123 2 36 3 6

A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 61 3 2 132 4 1 13

xyz

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

:T V V→1,...., k

.השתמשו בנוסחת קרמר כדי לפתור )2 את המערכת

ויהיו ) מרחב וקטורי כמובן )3 V λ( העתקה לינארית תהי λ{ | ( ) iV T v vλ

כל ערכיה העצמיים Vהשונים v {נסמן .

i= λ∈ =i וראיתם כי זהו תת מרחב λזהו המרחב העצמי של .

dim נסמן iלכל . וקטוריii

d V= . ויהיוu u בסיס של V 1 2 ,...., ii i idui ,λ. λ}הוכיחו כי הקב .א ע "ע המתאימים לע"הוכחתם כי ו: רמז. (ל" בת|

).ל"שונים הם בת1וצה ,1 }ij iu i k j d≤ ≤ ≤ ≤

1

dimk

ii

d V=

=

2 2: →7 2

4 2

T .ב ) בסיס זה מלוכסנת לפי כלומר קיים בסיס כך שהמטריצה המייצגת את ( לכסינה

∑.T הוכיחו כי

ם "אמ

. המייצגת אותה יחידה לכסינה אזי המטריצה המלוכסנת .ג T הוכיחו כי אם

T העתקה לינארית הנתונה ע".x

י תהי x y

T 4( y x y

+⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝

1,P P−1PAP B− =

2 י"22

⎞⎟⎠

T . .א של ) ע"ע(מצאו את הערכים העצמיים .ע שמצאתם מצאו בסיס למרחב העצמי שלו"לכל ע .ב.נמקו את התשובה ואם היא חיובית עברו לסעיף הבא? לכסינה .ג T האם

מצאו מטריצות הפיכות . לפי הבסיס הסטנדרטי T כך ש המטריצה המייצגת את כאשר

A תהי .ד .T המטריצה המלכסנת את B

.T הנתונה ע לגבי הה4סעיפי שאלה x

T:עתקה →x y

y y+⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3:T →3

22

x xy z

z y z

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 3 23 2 1x x x

5(

T לגבי הה4סעיפי שאלה y. עתקה )6

+לינום מעל בפולינום בצעו חלוקה עם שארית של הפו )7 + +3 1x +RR3 2( ) 7 15 9x x x= − + −

5( ) x= −( ), ( )p x q x( ) ( ) ( ) ( ) (q x a x p x b x d x

.a שמ" את הממ בעזרת אלגוריתם אוקלידסמצאו x ו

b x כך ש כלומר מצאו ( ואת הצגתו .

8( ( )d x לפולינומים 1)+ =

:4פתרונות לתרגיל

היא מטריצה intadjoמטריצת ה , כזכור) 1n n

B M×

)י " המוגדרת ע∋ 1) | |i jij jib A+

= וראינו כי −

1

| |

BA

A

−ובכן : במקרה המרתק שלפנינוintadjoנחשב את מטריצת ה . =

11 12 13

2 3 7 12 7 12det 3, det 6, det 3

3 6 3 6 2 3b b b

= = = − = − = = −

21 22 23

3 3 13 12 13 12det 0, det 6, det 3

6 6 6 6 3 3b b b

= − = = = = − = −

,

31 32 33

3 2 13 7 13 7det 3, det 3, det 5

6 3 6 3 3 2b b b

= = − = − = = =

| בנוסף | 3A =.

1לכן 3 6 3

10 6 3

33 3 5

A−

− −

= − −

....)סתם( עכשיו בואו ונבדוק את תשובתינו

k יש להציב את וקטור התשובה במקום העמודה ה kובכן לפי נוסחת קרמר כדי לחשב את הנעלם ה ) 2|את התשובה יש לחלק ב , ולחשב את הדטרמיננטהAבמטריצה |A . לכן

6 1 1 1 6 1 1 1 61 1 1

| | 4 det 13 3 2 1, det 1 13 2 2, det 1 3 13 34 4 4

13 4 1 2 13 1 2 4 13

A x y z

= − ⇒ = = = = = = − − −

נניח .א)31 1

0idk

ij ij

i j

a u= =

נסמן . ∑∑=1

id

i ij ij

j

v a u=

מרחב עצמי הוא מרחב ( iλשל ע" וivשימו לב כי , ∑=

0 או )וקטוריi

v 0 נניח בשלילה יש .=j

v מהמשוואה למעלה קיבלנו כי .≠1

0k

i

i

v=

ל של " אך זהו צ∑=

0לכן בהכרח . ל"ע שונים והוכחתם שאלו בת" של עע"וi

v אבל .i לכל =1

id

i ij ij

j

v a u=

ל " ומאחר וזה צ∑=

0ל מיידי כי "של וקטורים בתij

a . ולכן סיימנוiזה נכון לכל . j לכל =

dimV נסמן .ב n=. נניח T לכסינה ותהי

1 0

0n

a

B

a

=

O המטריצה המלכסנת אותה לפי בסיס

1,...,

nv v . שימו לב כי כל

iaע של " הינו עT כי ( )

i i i i i iT v B e a e a v= ⋅ = =)

ie הוא הייצוג של

iv לפי

לכן ). הבסיס הנתון1

{ ,..., }i k

a λ λ∈וגם ברור כל 1,...,

nv vנסמן . ע מתאים"ע של ע" הם ו

il להיות מס

ע של "הוi

λ מתוך 1,...,

nv v . ברור

i il d≤ל של "ע בת" כי זו קבוצה של ו

iλ . מצד שני

1 1

k k

i i

i i

n l d= =

= ≤∑ ∑

ולכן i i

i l d∀ לא ייתכן (=1

k

i

i

n d=

.ובזאת סיימנו הוכחת הכיוון הראשון) בגלל סעיף א∑>

נניח : כיוון שני1

k

i

i

n d=

} אז יחד עם סעיף א נובע כי הקבוצה∑= |1 ,1 }ij iu i k j d≤ ≤ ≤ V היא בסיס של ≥

. לפי בסיס זה היא אלכסוניתTוברור כי המטריצה המייצגת את פשוט מספר הפעמים ש : הוכחה. ד כדי שינוי סדר האיברים באלכסוןהמטריצה המלוכסנת יחידה ע: תיקון. ג

iλ מופיע באלכסון הוא

id.

תהי ) 51 2

0 1A

=

נחשב קודם את : ע"נמצא את הע. לפי הבסיס הסטנדרטיT המטריצה המייצגת את

2 :הפולינום האופייני1 2

( ) det ( 1)0 1

A

xf x x

x

− − = = −

− נמצא בסיס ל . 1 ויש לו שורש יחיד והוא

1V

בעצם אנו צריכים למצוא בסיס לגרעין של ): 1ע של "מ(0 2

0 0I A

− − =

ולכן 1מימד השורות הוא .

2מימד הגרעין הוא 1 1− ניקח את . =1

0

אין (ברור כי המטריצה אינה לכסינה , ע"אין יותר ע. בתור בסיס

).ל"ע בת" ו2איך להשיג

תהי ) 6

3 0 0

0 2 1

0 1 2

A

= − −

נחשב קודם : ע"נמצא את הע. לפי הבסיס הסטנדרטיT המייצגת את ה המטריצ

: את הפולינום האופייני

2

3 0 0

( ) det 0 2 1 ( 3)( 4 3) ( 3)( 1)( 3)

0 1 2

A

x

f x x x x x x x x

x

−

= − = − − + = − − − −

רשיו הם מן שו.

.ע" ולכן אלו הע1,3הסתם

נמצא בסיס ל 3

V) פשוט צריך למצוא בסיס לגרעין של ): 3ע של "המ

0 0 0

3 0 1 1

0 1 1

I A

− =

מכיוון .

ולכן גם מימד ( נובע כי מימד הגרעין 1שמימד השורות הוא 3

V ( ח למשל וניק2הוא

1 0

0 , 1

0 1

−

בתור

ושם ניקח את 1ע שלו הוא " מימד המ1ע "באותו אופן נמצא כי לע. בסיס

0

1

1

. בתור בסיס

T ב 3 ולפי 3=1+2 לכסינה כי סכום המימדים הואTאז . לכסינה

3 0 0

0 3 0

0 0 1

B

=

מטריצה המלכסנת את

T לפי הבסיס

1 0 0

0 , 1 , 1

0 1 1

−

P,1אם אנו רוצים למצוא את המטריצות . P− 1 כך שPAP B− −1P אזי =

ל לבסיס הסטנדרטי וזו פשות המטריצה עם וקטורי "צריכה להיות המטריצה שמעבירה מייצוג לפי הבסיס הנ

1: ודותבעמ" המיוחד"הבסיס 1 0 0

0 1 1

0 1 1

P−

= −

.−1Pלחשב כהופכית של עתה ניתן Pאת .

2אלגברה לינארית 5תרגיל בית מספר

)1 (תרגיל :

נתונה המטריצה

1 1

1 1

A

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

A .לכסינההוכח כי 1. A .- לדומהומטריצה אלכסונית ה אתנת סמלכהמצא מטריצה A 2.

100A .ידי שימוש בסעיף הקודם-עלחשב את 3. A . הם הערכים העצמיים היחידים שלהוכח כי: 0,nλ = .1- להדרכה

nדרA)2(תרגיל נגדיר טרנספורמציה לינארית .מעל שדה מטריצה מסתהי: n×F

:( )

n nT M MT X AX

→=

F F

n

M )מעל המרחב הוקטורי של המטריצות מסמציין את ( Fn nF × דרT. Aהוא גם ערך עצמי של הוכח כי כל ערך עצמי של

שהיא וקטור עצמי כדי לבנות מטריצה, של המתאים לערך עצמי השתמש בוקטור עצמי:הדרכה . השתמש בתכונות כפל מטריצות. Tשל המתאים לערך עצמי

vλX Aλ

)3 (תרגיל :

nהוכח כי סכום הריבויים האלגבריים של הערכים העצמיים של מטריצה מסד n קטן או שווה ל-. × nר .1n מתפרק לגורמים הפולינום האופיני של -כי במקרה וסכום הריבויים האלגבריים שווה להוכח .2

.לינארייםA

)4 (תרגיל : .ידוע כי לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופיני

?האם הטענה ההפוכה נכונה לשתי מטריצות כלליות .1 ?נה ההפוכה נכונה לשתי מטריצות לכסינותהאם הטע 2.

)5 (תרגיל :

A, .מסנתונות שתי מטריצות ריבועיות Bn n× דרn .עצמיים שונים ערכים יש- לוכי, )מתחלפות בכפל (נתו A ABן כי BA=,A B

B . אותה מטריצה מלכסנת-ולויש ל, לכסינההוכח כי במקרה זה גם A B הוא וקטור עצמי הסק מכאן כימתקהראה כי לכל וקטור עצמי של: הדרכה

. שלBv Aיים( ) ( )A Bv Bv= λ

A

שאינה עושה תן הוכחה לכך . פולינום אופיניעם לכסינה מסתהא: )6 (תרגיל .המילטון-שימוש במשפט קייליAדרn n×( )p t-( ) 0p A = ש

2אלגברה�לינארית��5תרגיל�בית�מספר�פתרון�

��:)�1(תרגיל

�nמסדרנתונה�המטריצה n×��

� �

1 1

1 1

A

=

L L

M M

M M

L L

��

��.לכסינהAהוכח�כי .1��.A-��לדומהומטריצה�אלכסונית�ה�Aאתנת�סמלכהמצא�מטריצה� .2��.ידי�שימוש�בסעיף�הקודם-על100Aחשב�את .3

nλ,0הוכח�כי:�.1-�להדרכה ��.�Aהם�הערכים�העצמיים�היחידים�של=� �

��:פתרוןnλ,0נשתמש�בהדרכה�ונוכיח�כי .1 .Aצמיים�היחידים�של��הם�שני�הערכים�הע=

��0λ det(0-�הינו�ערך�עצמי�משום�ש = ) det( ) 0I A A− = − 0λ,�כלומר, = הוא�שורש� =

��.Aהפולינום�האופייני�של�של��nλ ��-�הינו�ערך�עצמי�משום�ש =

� �

0 0 1 1

0

0

0 0 1 1

1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

0 0 0

1 1 1 1

1 1

1 1 1

1 12

det( ) det

det

det

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

nR R Ri

i

nI A

− − − − − − − − − −

− − − − − − − − −

→ + ∑=

− = −

=

=

L L L

O M M M

M O M M

L L L

L

O M

M O

L

L

M O

L

0

=

��

nλ,�כלומר ��.�Aשל�הוא�שורש�של�הפולינום�האופייני =��

ממדי�המרחבים�העצמיים�של�הערכים�העצמיים�שווים�לממדי�מרחבי�הפתרונות�של�Iהמטריצות Aλ ��ולכן�מקיימים,�−

0dim ( ) 1

dim 1n

V n rank A n

V

λ

λ

=

=

= − = −

≥��

-�מכאן�ש0

dim dim nV V nλ λ= =+ ≥.��

מיד�מתקיים�כיאולם�ת0

dim dim nV V nλ λ= =+ ≤.

לכן�בהכרח0

dim dim nV V nλ λ= =+ =.

,0מכאן�נובע�כי nλ ��.��לכסינהA-�וAהם�הערכים�העצמיים�היחידים�של�=��

��היא�מטריצת�המעבר�מן�הבסיס�המורכב�מן�הוקטורים�Aהמטריצה�המלכסנת�את� .2

.Aנמצא�בסיס�של�וקטורים�עצמיים�של�.�דרטי�לבסיס�הסטנAהעצמיים�של��

��.Aנמצא�את�המרחבים�העצמיים�של�הערכים�העצמיים�של�לשם�כך��

0λעבור =:��

{ }0

1 1 01 1

1 1 0

10

1

0

(1,0,0, ,0, 1) , (0,1,0, ,0, 1)t t

x x

x xn n

x

x xnxn

V v Av

span

λ =

=

+ + =

= =

=

=

= − −

L

M M M M M

L

M K

K K{ }, , (0,0,0, ,1, 1)t−K K

��

��nλעבור =:��

{ }

1 2

1 2

1 11 1 1

1 1

(1 ) 0

(1 ) 0

1

(1, ,

n

n

n

x x x

n

x x xn n n

n x x x

x x n x

x

xn

V v Av nv

span

λ =

=

− + + + =

+ + + − =

= =

=

=

=

L

M M M M M

L

K

M M M

K

M

K{ }1)t

��

��ידי-�נתון�עלAבסיס�של�וקטורים�עצמיים�של�

{ }(1,0,0, ,0, 1) , (0,1,0, ,0, 1) , , (0,0,0, ,1, 1) , (1, ,1)t t t tspan − − −K K K K K��היא�מטריצת�המעבר�מן�הבסיס�המורכב�מן�הוקטורים�,�המטריצה�המלכסנת,�Pאם

��לבסיס�הסטנדרטי�אזי�Aהעצמיים�של�

1

1 0 0 1

0 1 1

0 0

0

0 0 1 1

1 1 1 1

P

− − − −

=

L L

M

M M

M M M

L L

��

��

��ידי-והמטריצה�האלכסונית�נתונה�על

0 0 0

0 0

0 0

0 0

D

n

=

L

O M

M O

L

��

��

1Aיםמתקי .3 P DP−=. ��

באמצעות�הסעיף�הקודם�נוכל�לחשב�100 1 100 1 100

( )A P DP P D P− −

= =

1נחשב�את 100P D P−��

( )

( )

( )

( )

100

1 100 1

1

100

1 99

99 1

99 1

99

99

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

P D P P P

n

P P

n

P n I P

n

n I P P

n

n I P DP

n I A

n A

− −

−

−

−

−

=

=

=

=

=

=

=��

� ��

100וקיבלנו�כי 99A n A=�,1ובאופן�כללי�מתקייםn nA n A−=.��

��nמטריצה�מסדרAתהי:�)2(תרגיל� n×מעל�שדה�F.נגדיר�טרנספורמציה�לינארית��

� �:

( )

n nT M M

T X AX

→

=

F F

��

)nMFהמרחב�הוקטורי�של�המטריצות�מסדרמציין�את�n n×מעל�F(��

��.Tהוא�גם�ערך�עצמי�של�Aהוכח�כי�כל�ערך�עצמי�של�Xכדי�לבנות�מטריצה,�Aשל��λהמתאים�לערך�עצמי�vהשתמש�בוקטור�עצמי:הדרכה

��.��השתמש�בתכונות�כפל�מטריצות.�Tשל�λשהיא�וקטור�עצמי�המתאים�לערך�עצמי��

nvויהא,��Aערך�עצמי�של�λיהא:�פתרון ∈ Fקטור�עצמי�המתאים�לוו�.��

Xנגדיר�מטריצהλ

��להיות

� �

0 0

0 0

X vλ

=

M M��

�X,כלומרλ

��.�אפסים–�וכל�יתר�העמודות��vשווה�היא�מטריצה�שעמודתה�הראשונה

0Xנשים�לב�כיλ

0v-�משום�ש≠ ��).מעצם�היותו�וקטור�עצמי�(≠��

)נחשב�את )T Xλ

��

� �

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

( )

Av

v

v

v

T X AX

A

X

λ λ

λ

λ

λ

λ

=

=

=

=

=

=

M M

M M

M M

M M

��

X-�מכאן�שλ

��.�λהמתאים�לערך�העצמי�Tהיא�וקטור�עצמי��

בבסיס�הסטנדרטי��(�Tהמטריצה�המיצגת�של�הטרנספורמציהאינה�A-חשוב�לשים�לב�לכך�ש��.��ואי�אפשר�להשתמש�בעובדה�זו�לצורך�פתרון�התרגיל,�)או�בכל�בסיס�אחר

��

��:)�3(תרגיל

nמסדר�הוכח�כי�סכום�הריבויים�האלגבריים�של�הערכים�העצמיים�של�מטריצה� .1 n×��.n-�קטן�או�שווה�ל

��Aהפולינום�האופיני�של�n-�הוכח�כי�במקרה�וסכום�הריבויים�האלגבריים�שווה�ל .2�.מתפרק�לגורמים�לינאריים

��:�פתרון

-נסמן�ב .11 2, , , kλ λ λKאת�השורשים�השונים�של�הפולינום�האופייני�של��A,( )p t�,מעל�

ראינו�בתרגול�כי�.�השדה�הנתון

� � ( ) ( )ii t p tλ∀ −��

��-כך�ש)�החיובית(�את�החזקה�המקסימלית�ir-נסמן�ב

( ) ( )ir

it p tλ−

��שונים�מתקיים�כיiλ-משום�ש

1 2

1 2( ) ( ) ( ) ( )k

rr r

kt t t p tλ λ λ− − −L��

�לכן�נוכל�לרשום ��

� �1 21 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )krr r

kp t t t t q tλ λ λ= − − −L��

כאשר1 2, , , kλ λ λKהם�הערכים�העצמיים�של��A�,1-ו 2, , , kr r rKפי�ההגדרה�-��הם�על

).ים�המתאימיםהריבויים�האלגברי )q tשאין�לו�שורשים�מעל�השדה�הוא�פולינום��.��

( )p tהוא�פולינום�ממעלה�nולכן��

1 2deg( )kn r r r q= + + + +K��

��ובפרט

1 2 kr r r n+ + + ≤K��.והוכחנו�את�מה�שרצינו

��השיוויון�האחרון�מחייב�-דיון�בסעיף�הקודם�אנו�לומדים�כי�שיוויון�באימן�ה .2

)degכי ) 0q =.��

פולינום�שהמקדם�של�החזקה�הגבוהה�(משום�שהפולינום�האופייני�הוא�פולינום�מתוקן�)אנו�יכולים�לקבוע�כי�למעשה,�)�1שווהשלו� ) 1q t ≡.��

�-מכאן�נקבל�ש1 2

1 2( ) ( ) ( ) ( ) k

rr r

kp t t t tλ λ λ= − − −L��.�כפי�שרצינו�להוכיחהפולינום�האופייני�מתפרק�לגורמים�לינארייםו��

��:�)�4(תרגיל

��.ידוע�כי�לשתי�מטריצות�דומות�יש�אותו�פולינום�אופיני ?האם�הטענה�ההפוכה�נכונה�לשתי�מטריצות�כלליות .1 ?האם�הטענה�ההפוכה�נכונה�לשתי�מטריצות�לכסינות .2��

��:ןפתרו .אינה�נכונה�לשתי�מטריצות�כלליותהטענה�ההפוכה� .1

��נקח�שתי�מטריצות:�דוגמא�נגדית

1 0 1 1,

0 1 0 1A B

= =

��

)2-�הפולינום�האופייני�של�שתיהן�שווה�ל 1)t −.��

��).כל�מטריצה�אלכסונית�היא�בפרט�לכסינה(�לכסינה�Aהמטריצה�1λב�העצמי�של�הערך�העצמי�היחידממד�המרח(�אינה�לכסינה�Bהמטריצה� ��).�1שווה�=

��.מכאן�ששתי�המטריצות�הללו�אינן�דומות

.פוכה�נכונה�לשתי�מטריצות�לכסינותהטענה�הה .2��

�םאזי�יש�להן�אות.��שתי�מטריצות�לכסינות�עם�אותו�פולינום�אופייניA,Bתהינה�:�הוכחהמכאן�שלשתיהן�מתאימה�אותה�.�ם�בהתאמהערכים�עצמיים�ואותם�ריבויים�אלגבריי

��.�Dמטריצה�אלכסונית��

1D-�כך�ש�Pמתאימה�מטריצה�מלכסנתAלמטריצה� PAP−=.

1D-�כך�ש�Qמתאימה�מטריצה�מלכסנתBלמטריצה QBQ−=. ��

��נוכל�כעת�לרשום

� �( ) ( )

1 1

11 1

PAP QBQ

A P Q B P Q

− −

−− −

=

⇒ =��

��.ריצות�דומותטולכן�המ��

��

��

��:)�5(תרגילA,נתונות�שתי�מטריצות�ריבועיות Bמסדרn n×.��

ABנתון�כי BA=)�,A Bלוכי,�)מתחלפות�בכפל��-Aיש�nעצמיים�שונים�ערכים�.��.�אותה�מטריצה�מלכסנתB-ולAויש�ל,�לכסינהBהוכח�כי�במקרה�זה�גם

)מתקייםAוקטור�עצמי�שלהראה�כי�לכל�:�הדרכה ) ( )A Bv Bvλ=הסק�מכאן�כי�Bvהוא��

��.�Aעצמי�שלבמרחב�הוקטור��

��.��Aשל��iλוקטור�עצמי�המתאים�לערך�עצמיivיהא:�פתרון��

��כימן�הנתון�מתקיים

� �i i i i i iABv BAv B v Bvλ λ= = =

��:נתיחס�לשני�מקרים�נפרדים

�0iBv-�מקרה�ראשון� ≠��

0iBv-�מקרה�שני� =�

��.iλלערך�העצמיגם�כן�המתאים��Aהוא�וקטור�עצמי�שלiBvנסיק�כיבמקרה�הראשון��.Bשל�אפס��הוא�וקטור�עצמי�המתאים�לערך�עצמיivבמקרה�השני�נסיק�כי

��

בשני�המקרים�נוכל�לרשום�כי�בוודאותii

Bv Vλ

∈.��

,עצמיים�שונים�ערכים��nישA-נתון�כי�ל1 2, , , nλ λ λK�,1עם�ריבויים�אלגבריים� 2, , , kr r rK�

��.�בהתאמה��

��כפי�שכבר�ציינו�הריבוי�האלגברי�גדול�או�שווה�לריבוי�הגיאומטרי�ולכן

� �1 1

dim dimn n

V V r r nλ λ

+ + ≤ + + ≤K K��

��ים�עצמיים�ולכן�בהכרח�הם�ערכiλאולם

dim 1i

i Vλ

∀ ≥

��-ומכאן�ש

1dim dim

nV V n

λ λ+ + ≥K

��לכן�נקבל�כי

1dim dim

nV V n

λ λ+ + =K

��וגם

dim 1i

i Vλ

∀ =

��

{ },i iv Bvב�וקטורים��הם-iVλ)ולכן,�)1מרחב�מממד��{ },i iv Bvתלויים�לינארית��.��

iלכן�נקבל�כי i iBv vα=עבור�סקלרים�iα0כאשר�אנו�משתמשים�בעובדה�כי�(�כלשהםiv ≠(.��

}לכן }1 2, , , nv v vKהוא�גם�בסיס�של�וקטורים�עצמיים�של��B�.��

��.ויש�לה�אותה�מטריצה�מלכסנת,�נה�לכסיBלכן��

��nלכסינה�מסדרAתהא:�)�6(תרגיל n×פולינום�אופיניעם��( )p t�.תן�הוכחה�לכך�ש-

( ) 0p A ��.המילטון-��שאינה�עושה�שימוש�במשפט�קיילי=��

1A-��כך�ש�Dומטריצה�אלכסונית�Pלכסינה�עם�מטריצה�מלכסנתAתהא�:�וןפתר P DP−=.��

1ידי-��נתון�עלAהפולינום�האופייני�של�1 1 0

( )n n

np t t a t a t a−

−= + + + +K.��

��)נחשב�את )p A��

( ) ( ) ( )

( )

1

1 1 0

11 1 1

1 1 0

1 1 1 1

1 1 0

1 1

1 1 0

( )n n

n

n n

n

n n

n

n n

n

p A A a A a A a I

P DP a P DP a P DP a I

P D P a P D P a P DP a I

P D a D a D a I P

−

−

−− − −

−

− − − −

−

− −

−

= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + +

K

K

K

K

��

��ידי-��נתונה�עלDהמטריצה�האלכסונית

� �

0 01

02

0

0 0 n

D

λ

λ

λ

=

L

O M

M O

L

��

��ידי-�והחזקות�שלה�נתונות�על

0 01

02

0

0 0

k

k

k

k

n

D

λ

λ

λ

=

L

O M

M O

L

� ��

��בפולינוםנציב�אותן

11 1 1 1 1 0

12 1 2

10 0 0 0 0 01 1 1

1 01 0 0 22 21 1 000 0

0 010 0 0 0

0 0

1 0

( )

nn

nn

n n

n n

n

n n nn n

n a a a

n a

p A P a a a I P

P

λ λ λ

λλ λ

λλ λ

λ λ λ

λ λ

−

−

−

−

− − − − −

+ + + +

− + +

= + + + +

=

L L L

MM M

M OM O M O

LL L

K L

K

K

1 2 0

11 1 0

1

2

0

0 0

( ) 0 0

1 0 ( )

0

0 0 ( )

0 0 0

1 0 0

0

0 0 0

0

nn n n n

n

a a

n a a a

p

p

p

P

P P

P P

λ

λ λ λ

λ

λ

λ

−

−

+ + + + + +

−

−

=

=

=

M

M O

L K

L

M

M O

L

L

M

M O

L

)וקיבלנו�כי ) 0p A ��.�כפי�שרצינו�להוכיח=

6תרגיל -) 2(אלגברה ליניארית

:1שאלה

פולינום ל שווה A-1 -מנת להוכיח ש- המילטון על-השתמשו במשפט קיילי. n מטריצה הפיכה מסדר Aתהי

.(n-1) - שמעלתו קטנה או שווה לA-ב

:2שאלה

. An=0: הוכיחו כי. Ak=0 - טבעי כך שkנניח שקיים . n מטריצה ריבועית מסדר Aתהא

). מקיימתA-מצאו את הפולינום המינימלי ש: הדרכה(

:3שאלה

:י מטריצת הסיבוב"המיוצג ע, θ אופרטור הסיבוב במישור בזוית T:R2�R2יהי

−=

)cos()sin(

)sin()cos(

θθ

θθA

מהם ). שלםθ=πk) k -מקרה שב אין ערכים עצמיים ממשיים מלבד Aהראו כי למטריצת הסיבוב .א ?המרחבים העצמיים במקרה זה

Dמצאו את המטריצה האלכסונית . לכסינה מעל המספרים המרוכביםAכי המטריצה הוכיחו .ב

.P-1AP=D המקיימת Pומטריצה מלכסנת , A-הדומה ל

: המטריצות הבאותשתי נתונות :4שאלה

=

=

1000

1100

0010

0011

1000

0100

0010

0011

BA

.B ושל A והפולינום המינימלי של חשבו את הפולינום האופייני .א

את המרחבים העצמיים המתאימים , צאו את הערכים העצמיים מB- וAאחת מהמטריצות -לכל .ב .וקבעו האם היא לכסינה, את הריבוי האלגברי והגיאומטרי של כל ערך עצמי, להם

).B-I - וA-Iהתבוננו במטריצות : הדרכה (. טענתכםהוכיחו? דומותB- וAהאם .ג

:5שאלה

: כלומר, בלוקיםk-המורכבת מ, מטריצת בלוקים אלכסוניתAתהא

=

kA

A

A

A

0

0

2

1

O.

: אז, פולינום(P(tהוכיחו כי אם .א

=

)(0

)(

0)(

)(2

1

kAP

AP

AP

APO

,

.לבצע על כל בלוק לחוד ניתן A-כלומר חישוב פולינום ב

: כלומר.A1,…,Akפלת הפולינומים האופייניים של כ שווה למAהוכיחו כי הפולינום האופייני של .ב

PA(t)=P1(t)P2(t)…Pk(t) , כאשרPA הפולינום האופייני של A ,ו-Pi הפולינום האופייני של Ai.

הוא הפולינום A של (mA(tהוכיחו כי הפולינום המינימלי . Ai הפולינום המינימלי של (mi(tיהי .ג

הוא המכפלה המשותפת הקטנה (mA(t: כלומר. i לכל (mi(t -מהמעלה הנמוכה ביותר המתחלק ב

.(m1(t),…,mk(tביותר של

).'סעיף ה, 6שאלה , 3היעזרו בתרגיל (

:6שאלה

: n מסדר חשבו את הפולינום האופייני ואת הפולינום המינימלי של המטריצה הבאה .א

)1,(0,1,,

0

1

01

,1,,+≠===

=+

iijaaaA jiiiii λ

λ

λ

λ

O

O

.ורדן'בלוק זל נקראת "מטריצה כנ: הערה

ם חשבו את הפולינום האופייני והפולינום המינימלי של מטריצת בלוקי5באמצעות שאלה .ב

:הוא) nrמסדר ( שלה r-אלכסונית שהבלוק ה

)1,(0,1,,

0

1

01

,1,,+≠===

=+

iijaaaA jiiirii

r

r

r

r λ

λ

λ

λ

O

O

! זה מזהים אינם בהכרח שונים-rλ -שימו לב שה

.ורדן'מטריצה בצורת זל נקראת "מטריצה כנ: הערה

1

6תרגיל פתרון ל –) 2(אלגברה ליניארית

:1שאלה

p(t) = tn + an-1tיהי ו, n מטריצה הפיכה מסדר Aתהי n-1

+ … + a1t + a0 הפולינום האופייני של A . לפי :המילטון-משפט קיילי

p(A) = An + an-1A

n-1 + … + a1A + a0I = 0

(a0=(-1, הפיכהA-משום שndet(A)≠0 , קבלללחלק בו ולכן ניתן:

A ((-1/a0) An-1

+ (-an-1/a0)An-2

+ … + (-a1/a0) I) = I

A-1 = (-1/a0) A: כלומר, A-1ולכן בסוגריים רשומה המטריצה n-1

+ (-an-1/a0)An-2

+ … + (-a1/a0) I.

:2שאלה

. An=0: ל"צ. Ak=0 - טבעי כך שkנניח שקיים . n מטריצה ריבועית מסדר Aתהא

.k>n -לכן נניח ש. ה אז הטענה ברורk≤nאם

מכאן . (q(tמחלק את Aולכן הפולינום המינימלי של , q(t)=tk מאפסת את הפולינום A, לפי הנתון

כיוון שמעלת הפולינום המינימלי קטנה או שווה ,j=0,…,n לאיזה m(t)=tjהוא שהפולינום המינימלי

.An = AjAn-j = 0לכן ו, Aj=0לכן , מאפסת את הפולינום המינימלי שלהA. לסדר המטריצה

:3שאלה

:י מטריצת הסיבוב"המיוצג ע, θ אופרטור הסיבוב במישור בזוית T:R2�R2יהי

−=

)cos()sin(

)sin()cos(

θθ

θθA

cos(2(1: הפולינום האופייני. א)cos()sin(

)sin()cos()det(

2+−=

−−

−=− θ

θθ

θθt

t

tAtI . הדיסקרימיננטה

θ=πk: כלומר, sin(θ)=0ע ממשיים רק כאשר " יש עA-לכן ל. 4cos2(θ)-4 = -4sin2(θ) ≤ 0 - שלו שווה ל

)kשלם .(

. R2והוא מתאים למרחב העצמי , λ=1 הוא Aשל היחיד ע "הע, A=Iכאשר . A = -I או A = I, במקרה זה

. R2מתאים למרחב העצמי שוב והוא , λ=-1 הוא Aשל היחיד ע "הע, A=-Iכאשר

λ1,2=cos(θ)+isin(θ) = e: שורשים שונים2 יש ולינום האופיינילפ, מעל למרוכבים. ב±iθ .לכן :

=

− θ

θ

i

i

e

eD

0

0 מתאים הוקטור העצמי eiθלערך העצמי .

i

1 מתאים הוקטור e-iθולערך העצמי ,

העצמי

1

i: לכן, )ע שונים"כי הם מתאימים לע(ל "אלו הם וקטורים בת,

=

1

1

i

iP. כי וניתן לוודא

:אכן

De

e

i

i

i

i

APPi

i

=

=

−

−

−

=−

−

θ

θ

θθ

θθ

0

0

1

1

)cos()sin(

)sin()cos(

2

1

2

22

1

1

2

: נתונות שתי המטריצות הבאות:4שאלה

=

=

1000

1100

0010

0011

1000

0100

0010

0011

BA

A B

t-1)4 (t-1)4) פולינום אופייני

t-1)2 (t-1)2) פולינום מינימלי

1 1 ערכים עצמיים

: מרחב הפתרונות של )1ע "של הע (מרחב עצמי

−

=−

0000

0000

0000

0010

AI

: כלומר

Sp{(1,0,0,0)t, (0,0,1,0)

t,

(0,0,0,1)t}

:מרחב הפתרונות של

−

−

=−

0000

1000

0000

0010

BI

:כלומר

Sp{(1,0,0,0)t, (0,0,1,0)

t}

4 4 )1ע "של הע(ריבוי אלגברי

2 3 )1ע "של הע(ריבוי גיאומטרי

לא לכסינהB לא לכסינהA לכסינות

:ז גםא, B=PAP-1 - כך שP נניח בשלילה כי יש מטריצה . אינן דומותB- וAנוכיח כי

P(A-I)P-1

= PAP-1

– PIP-1

= B-I

ולכן , לכן אינן יכולות להיות דומות, rank(B-I)=2 בעוד rank(A-I)=1אך . דומותB-I - וA-Iגם , כלומר

. אינן דומותB- וAגם

:5שאלה

: כלומר, בלוקיםk-המורכבת מ, מטריצת בלוקים אלכסוניתAתהא

=

kA

A

A

A

0

0

2

1

O.

: אז, פולינום(P(t כי אם ל"צ .א

=

)(0

)(

0)(

)(2

1

kAP

AP

AP

APO

.

3

:אז, גודל- עם בלוקים שווי, מטריצות בלוקיםשתי B- וAנבחין כי אם , ראשית

+

+

+

=+

=

kkkk BA

BA

BA

BA

BA

BA

BA

AB

0

0

0

0

22

11

22

11

OO

P(x) = anxאם : לכןn + an-1x

n-1 + … + a1x + a0 ,אז:

=+

++

+

=

−

−Ia

A

A

A

a

A

A

A

a

A

A

A

aAP

k

n

k

n

n

k

n 0

2

1

1

1

2

1

1

2

1

0

0

0

0

0

0

)(O

LOO

=+

++

+

=

−

−

−

−Ia

A

A

A

a

A

A

A

a

A

A

A

a

k

n

k

n

n

n

n

k

n

n

n 0

2

1

1

1

1

2

1

1

1

2

1

0

0

0

0

0

0

OL

OO

=

)(0

)(

0)(

2

1

kAP

AP

AP

O

: 'ה- 6שאלה , 3תרגיל לפי ו 'לפי סעיף א, Aנחשב את הפולינום האופייני של .ב

∏ ∏= =

=−=

−

−

−

=−=

k

i

k

i

ii

k

A tPAtI

AtI

AtI

AtI

AtItP1 1

2

1

)()det(

0

0

det)det()(O

: 'לפי סעיף א. פולינום כלשהו(Q(tיהי .ג

=

)(0

)(

0)(

)(2

1

kAQ

AQ

AQ

AQO

Q(A)=0לכן .

ל ש(mi(t מתחלק בפולינום המינימלי (Q(tשהפולינום , מכאן נובע. i=1,..,k לכל Q(Ai)=0ם "אם

Ai , ולכןQ(t) מתחלק גם בכפולה המשותפת המינימלית של m1(t),…,mk(t) .הפולינום , לכן

הוא הכפולה המשותפת i=1,…,k לכל (mi(t -המתוקן מן המעלה הנמוכה ביותר המתחלק ב

.Aוזהו הפולינום המינימלי של , (m1(t),…,mk(tהמינימלית של

4

:6שאלה

.t-λ)n): הפולינום המינימלי, t-λ)n): הפולינום האופייני .א

(t-λ1): נום האופייניהפולי .בn1(t-λ2)

n2…(t-λk)nk.

, {i=1,..,s :Ni = max{nj: λj=µi ונגדיר לכל ,השונים את הערכים העצמיים µ1,…, µs -נסמן ב

(t-µ1)אז הפולינום המינימלי הוא N1(t-µ2)

N2…(t-µs)Ns.

עד כדי סדר (ורדן ושצורה זו יחידה'בהמשך הקורס תלמדו שכל מטריצה דומה למטריצה בצורת ז: הערהאלגוריתם יעיל לחישוב הפולינום האופייני והפולינום למעשה שאלה זו נותנת לכם , לכן). הבלוקים

. שהיאהמינימלי של כל מטריצה

��

��-��/4�� !�� !��!��"��"��"��!��

!��!�� "��!��

��[ ]t��!��!��!��!�� #$��

( ) [ ] [ ], : t t× → �� "�%1

N

l ll

a b=�&�

1 1

,n m

i ji j

i j

a x b x= =

� �� '��max( , )N m n=��0ia =�

��i n>��0jb =� ��j n>��( ),��$�� !�� (��!�� 2 3( ) 1p x x x= + +��

��

�� V��!��" ( ),��v V∈��'��)��:vf V V→��:vg V V→��"��( )( ) ,vf w w v=��( )( ) ,vg w v w=��vf��vg��"��

��

�� "��V�� :V +→ ��%��

.1��%0v =� ��0v = ⇔��

*��v vα α=� � ��α∀ ∈��

+��%v w v w+ ≤ +��

��!��

�� V��!��" ( ),��%)( ,v v v=��'��

��!��%Re( )z z

��[ ]t�!��!��!��!�� #$��[ ]t��

��!1

( )n

ii

i

p x a x=

=��1

( )n

jj

j

q t b x=

=��!�� n��2 21 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b= = =

≤ ∗� � ��

��

��!��V��$�� n��1 ,..., nv v�$�$��11 1

1

n

n nn

a a

A

a a

� �� = � ��

�

� � �

�

��"��

( ), ,i j i ja v v=�'��( ),��"��$��)��

��!��1

n

i ii

v vα=

=��1

n

i ii

w vβ=

=�!��%( ) ( ) ( )1 1, ... ...T

n nv w Aα α β β=��%��

( ) ( )111 1

1

1

, ...n

n

n nn n

ba a

v w a a

a a b

� �� = � ��

� ��

�

� � � �

�

��

��

��$�A��$�$��'��$�$��1 ,..., nw w��V�

��P��!�$�$��!�11 1

1

n

n nn

b b

B

b b

� �� = � ��

�

� � �

�

��"��( ), ,i j i jb w w=�

��!��TB P AP=�)��

��

��

��[ ]t��

��

( ) [ ] [ ], : t t× → �� 1

N

l ll

a b=��

1 1

,n m

i ji j

i j

a x b x= =

� �� max( , )N m n=��

��( ),�� 2 3( ) 1p x x x= + +��

��

��1 1

N N

l l l ll l

a b b a= =

=� �!��max( , ) max( , )n m m n=�"��

��1

( )n

ii

i

p x a x=

=��( ) 21 1 1

( ), ( ) ,n n n

i ii i i

i j i

p x p x a x a x a= = =

� �= =� ��

��#2

1

n

ii

a=��2 0ia =��i�#

��0ia =��i�#��( ) 0p x ≡��

�� 1

ni

ii

a x=��#

1

kl

ll

c x=��#

1

mj

jj

b x=��max( , )M n k=��max( , )N M m=��

��1 1 1 1 1 1 1

, , ( )n k m M m N N

i l j i i ji l j i i j l l l l l l l

i l j i j l l

a x c x b x a x c x b x a c b a b c b= = = = = = =

� � � �+ = + = + = + =� � � �

� � � ��

1 1 1 1 1 1

, ,N N n m k m

i j l jl l l l i j l j

l l i j l j

a b c b a x b x c x b x= = = = = =

� � � �+ = +� � � �

� � � ��

��α ∋ ��#��

1 1 1 1 1 1 1 1

, ( ) , ,n m n m N N n m

i j i j i ji j i j l l l l i j

i j i j l l i j

a x b x a x b x a b a b a x b xα α α α α= = = = = = = =

� � � � � �= = = =� � � � � �

� � � � � ��

��

��1 1

n mi j

i ji j

a x b x= =

⊥� ��1 1 1

, 0n m N

i ji j l l

i j l

a x b x a b= = =

� �= =� �

� ��

��

��2 3( ) 1p x x x= + +��2( ) 1q x x= −��

��V��( ),��v V∈��!��"�#��:vf V V→��:vg V V→��( )( ) ,vf w w v=��( )( ) ,vg w v w=��vf��vg��

��

��vf��

��vg��

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) , , , , , ( ) ( )v v vg w w v w w v w v w v w v w g w g w∗+ = + = + = + = +��( ) ( ) ( )( ) , , , ( )v vg w v w v w v w g wα α α α α α∗= = = =��

!��$��

��%��"��

��V��:V +→ ��

.1��0v =� ��0v = ⇔��

&��v vα α=� � ��α∀ ∈��

'��v w v w+ ≤ +��

��

��V��( ),��)( ,v v v=��!��

��"��

��

��

0v =��)( , 0v v =!��"��0v =��)( )( )( )(2, , , ,v v v v v v v v v vα α α αα α α α= = = = =� � � ��

��

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 22Re , 2 ,v w v v w w v v w w v v w w v w+ = + + ≤ + + ≤ + + = +��Re( )z z

��'��

[ ]0,1��)��

��

��[ ]t��

��#��[ ]t��

��1

( )n

ii

i

p x a x=

=��1

( )n

jj

j

q t b x=

=��n�#��

2 2

1 1 1

n n n

i i i ji i j

a b a b= = =

≤ ∗� � ��

��

��)(1

0

, ( ) ( )f g f x g x dx= ��'��)(1

2

0

, ( )f f f f x dx= = ��

��1 1 1

2 2 2

0 0 0

( ( ) ( )) ( ) ( )f g f x g x dx f x dx g x dx+ = + ≤ +� � ��

��)��1

2

0

( , ) ( ( ) ( ))d f g f g f x g x dx= − = −��

��1 1 1

2 2 2

0 0 0

( , ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( , ) ( , )d f h f x h x dx f x g x dx g x h x dx d f g d g h= − ≤ − + − = +� � ��

��

��(��1

N

l ll

a b=��

1 1

,n m

i ji j

i j

a x b x= =

� �� !��max( , )N m n="��

2

1 1 1 1

,n n n n

i i ii i i i

i i i i

a x a x a x a= = = =

� �= =� ��

� � � ��

��

1 1 1 1 1 1

, ( ) ( )n m n m N N

i j i j li j i j l l l l

i j i j l l

d a x b x a x b x a b x a b= = = = = =

� �= − = − = −� �

� ��

��%��

2 2

1 1 1 1 1 1 1

, *n n n n n n n

i j i ji i i j i j i j

i i j i j i j

a b a x b x a x b x a b= = = = = = =

� �= ≤ = ∗� �

� ��

��

��V�

��n��1 ,..., nv v��11 1

1

n

n nn

a a

A

a a

� �� = � ��

�

� � �

�

�

��( ), ,i j i ja v v=!��( ),��"��

��1

n

i ii

v vα=

=��1

n

i ii

w vβ=

=��( ) ( ) ( )1 1, ... ...T

n nv w Aα α β β=��

( ) ( )111 1

1

1

, ...n

n

n nn n

a a

v w

a a

βα α

β

� �� = � ��

� ��

�

� � � �

�

��

��

��A��!��1 ,..., nw w��V��

��P��11 1

1

n

n nn

b b

B

b b

� �� = � ��

�

� � �

�

��( ), ,i j i jb w w=��

��TB P AP=�"��

��

��

�� ( ) ( )1111 1

1 1

1

... ...j jn

n n i ij ji j

n nn n nj j

aa a

a

a a a

ββα α α α α β

β β

� �� = = =� ��

� � � ��

��

�

�

� � � � �

�

��

��

( ) ( ) ( ), , , , ,i i j j i i j j i i j j i i j ji j i j i j i j

v v v v v v v v v wα β α β α β α β� � � �

= = = =� � � ��

��

��

��1 ,..., nw w��V�#��P��*��( )0...1...0 TiP��iw��1 ,..., nv v��j ij i

i

w p v=��

( ) ( ) ( ), , 0...1...0 0...1...0 TTi j i j i jb w w P AP= =��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,0...1...0 0...1...0 0...1...0 0...1...0 ,TT TT

Ti j i ji j i j

P AP P A P w w b� �� = = =� � � �

� � � ��

��TP AP B=�#��

2 תליניארי אלגברה – 9 תרגיל

עבור הוקטורים . עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית 3ℝיהא המרחב הוקטורי .1

{(1,1,1), (1, 2,1), (1, .3ℝשמידט וקבלו בסיס אורתונורמלי ל - השתמשו בתהליך גרם−{(2,3

את נגדיר . V תת מרחב של U ויהא כלשהואמרחב מכפלה פנימית ממימד סופי מעל שדה Vיהא .2

} להיות Uהתת מרחב הניצב ל }:( , ) 0U v V v u u U⊥ = ∈ = ∀ רי אוסף כל הווקטורים ק∋ :הוכיחו. Uהניצבים ל

a. U U V⊥ ⊕ =

b. dim dim dimU U V⊥+ =

c. ( )U U⊥⊥ =

)נתון בסיס .3 ) ( )1 22,1 , 1,3v v= 2V ל = = ℝ.

a. מצאו את הבסיס הדואלי ל{ }1 2,v v ב *V .1 מצאו קרי 2,ϕ ϕ כך ש

( ) 10

i j

i jv

i jϕ

==

≠)כלומר מצאו במפורש את . ),i x yϕ.

b. 2ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית עלℝ מצאו את הבסיס הדואלי ל { }1 2,ϕ ϕ ב V .קרי מצאו שני וקטורים

1 2,u u שמקיימים ( ) ( ), ,i iv u v v V iϕ = ∀ ∈ ∀.

4. V פ מעל "מכמרחבℂ .0ל "נתונה טT TTכלומר (עצמו לV נורמלית מ ≠ T T∗ הוכיחו . )=∗0nT כך ש nנילפוטנטית אם קיים נקראת Tכזכור ( לא נילפוטנטיתTש =(.

2ל "טנתונה .5 2:T →ℝ ℝי " ע( ) ( ), 5 8 , 3 4T x y x y x y= + − פ הסנדרטית על " ונתונה המכ+2ℝ . יהא הבסיס( ) ( ){ }1,1 , 0, 2A .2ℝ ל =

a. חשבו אתT ∗.

b. חשבו את[ ]AA

T.

c. חשבו אתA

AT∗ .

d. שני הסעיפים הקודמים עבור רו על חז( ) ( ){ }1,1 , 1, 1A′ = −.

e. הסבירו מדוע[ ]( ) AAA AT T∗ ′′ ∗

′ ′ = אבל [ ]( )

AA

A AT T

∗∗ ≠ .

f. אם קיים בסיסA שעבורו [ ]AA

T אוניטרית האם בהכרח לכל בסיס A′ מתקיים ש [ ]AA

T′

′

?אוניטרית

2 תליניארי אלגברה – 9 תרגיל

פתרון

עבור הוקטורים . עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית 3ℝיהא המרחב הוקטורי .1

{(1,1,1), (1, 2,1), (1, .3ℝשמידט וקבלו בסיס אורתונורמלי ל - השתמשו בתהליך גרם−{(2,3 :פתרון

ווקטורים משמאל לימין ונקבל נבצע גרם שמידט על ה1 1 1

{ (1,1,1), (1, 2,1), ( 1,0,1)}3 6 2

− −.

את נגדיר . V תת מרחב של U ויהא כלשהוא מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי מעל שדה Vיהא .2

} להיות Uהתת מרחב הניצב ל }:( , ) 0U v V v u u U⊥ = ∈ = ∀ רי אוסף כל הווקטורים ק∋ :הוכיחו. Uהניצבים ל

a. U U V⊥ ⊕ = :פתרון

vאם U U ⊥∈ ) אז ∩ ), 0v v 0v ולכן = }יהא . = }1

k

i iε

= ונשלים אותו Uנ ל " בסיס א

}נ "לבסיס א }1

n

i iε

=vאזי כל איבר . V לכל המרחב V∈ הוא מהצורה

1 1 1

n k n

i i i i i i

i i i k

a a aε ε ε= = = +

= +∑ ∑ 1k והסכום מ Uהוא ב k כשהסכום עד ∑ U הוא ב + ⊥ . .ל"מש

b. dim dim dimU U V⊥+ =. :פתרון

Wבאופן כללי U V⊕ dim גורר ש= dim dimU W V+ כיוון ש איחוד הבסיסים = .למרחב כולוהוא בסיס

c. ( )U U⊥⊥ = :פתרון

)לפי הגדרה )U U . ומצד שני מסעיף קודם נובע שהם שווי מימד ולכן יש שוויון⊇⊥⊥

)נתון בסיס .3 ) ( )1 22,1 , 1,3v v= 2V ל = = ℝ.

a. מצאו את הבסיס הדואלי ל{ }1 2,v v ב *V .1 מצאו קרי 2,ϕ ϕ כך ש

( ) 10

i j

i jv

i jϕ

==

≠)כלומר מצאו במפורש את . ),i x yϕ.

:פתרון

}לפי הבסיס }1 2,v v ב V ו { ] נקבלℝ ב 1{ ] ( ) [ ] ( )1 21,0 , 0,1ϕ ϕ= מטריצת =

}המעבר מ }1 2,v v לבסיס הסטנטרטי 2 1

1 3

ולהיפך 3 11

1 25

− −

ולכן אם נתרגם

את ייצוג הפונקציונאלים לבסיס הסנדרטי נקבל באופן מפורש

( ) ( )1 23 1 1 2

, , ,5 5 5 5

x y x y x y x yϕ ϕ= − = − +

b. 2ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית עלℝ מצאו את הבסיס הדואלי ל { }1 2,ϕ ϕ ב V .קרי מצאו שני וקטורים

1 2,u u שמקיימים ( ) ( ), ,i iv u v v V iϕ = ∀ ∈ ∀.

:פתרון1 2

3 1 1 2, , ,

5 5 5 5u u

= − = −

4. V פ מעל "מכמרחבℂ .0ל "נתונה טT TTכלומר (עצמו לV נורמלית מ ≠ T T∗ הוכיחו . )=∗0nT כך ש nנילפוטנטית אם קיים נקראת Tכזכור ( לא נילפוטנטיתTש =(.

:פתרוןהיא ℂע שלה שווים אפס וכיוון שהיא נורמלית מעל "ל נילפוטנטית אז כל הע"אם בשלילה הט

-ל אפס זהותית"לכסינה כלומר היא יש בסיס שלפיו היא מיוצגת כמטריצת האפס כלומר זו הט .סתירה

2ל "טנתונה .5 2:T →ℝ ℝי " ע( ) ( ), 5 8 , 3 4T x y x y x y= + − פ הסנדרטית על " ונתונה המכ+2ℝ . יהא הבסיס( ) ( ){ }1,1 , 0, 2A .2ℝ ל =

a. חשבו אתT ∗.

) :פתרון ) ( ), 5 3 ,8 4T x y x y x y∗ = − +

b. חשבו את[ ]AA

T.

:פתרון

[ ]13 16

6 4

A

AT

= − −

c. חשבו אתA

AT

∗ .

:פתרון

2 6

5 7

A

AT ∗

− =

d. הסעיפים הקודמים עבור רו על שני חז( ) ( ){ }1,1 , 1, 1A′ = −.

[ ]7 5

6 2

A

AT

′

′

− =

7 6

5 2

A

AT

′∗

′

= −

e. הסבירו מדוע[ ]( ) AAA AT T∗ ′′ ∗

′ ′ = אבל [ ]( )

AA

A AT T

∗∗ ≠ .

הייצוג לפי בסיס כזה -ווקטורים ניצבים שווי אורך ′Aנ ואילו " אינו בסיס אA :פתרוןל "נ והכפלת המטריצה המייצגת בסקלר שונה מאפס ואותו כנ"הוא כמו ייצוג לפי בסיס א

).עם בדיוק אותו סקלר(לצמודה

f. אם קיים בסיסA שעבורו [ ]AA

Tבסיס אוניטרית האם בהכרח לכל A′ מתקיים ש [ ]AA

T′

′

?אוניטרית :פתרון

לפי הבסיס הסטנדרטי המיוצגת ל "טהדוגמה , לא1 11

1 12

−

ולפי הבסיס

( ) ( ){ }1,1 , 1 נקבל0,2 121 2 1

− −

.

��

�! � #"%$'&)(+*-,. /10 0 2)3547698:2;4=0 0 ?�@;/10 0 2)3541698:2)A�@ B)C567@ 47

�� !�"�#%$�$�&('*),+.-0/

13254*674*698�:=?;>@BADCFE(GIHJ=?K!L M 8BN 6�OQPSRTKVU U EW;>=X;>@YE[Z]\�^_RT`>=3aTbFCFE(@3`�GIRTCFKS^�R5cdL ef R5@3HJKX`gA�E!\�Z]CFAhL ikj�=X^�`.PSlJA�mon�pq=?R5A�CrZ]=?R%cDc�\�@3KsZL t%u.vxw yz9{?|%698>}~2JL t 8 vxw u8 6�L tq>v 88f A_F;>=?;>@=?oRagCkEh@�`>GIKkCkc5a{t%uFv w y8 6�vg 2 w u8 6Wvg 2t 8Y a{t 8 Fv w u8 vg |tq a{tqFv;>=?;>@BA(Z]CkZ]E!@BZ" | 2 A�\�=XmqiF^7A(=Xj�=_R%cA_7;>=X;>@3@CFn\�Z]=X^�ar�R

m�Z]@3c�R`�=!A�@9Z`>CFACFEhlJ=?=X;>RCkK^R5c"L | 2 =Xj�=R5cDCFn\�Z]=X^aTb1 254V6_4*698 : ;>=X;>@3RCF=XmqiF=XKsZ]E!Z¡Ck=QiF=?^7moA0R�U U i¢R£`¤A�R%��^¥E=XA0CF=?R5^_m�Z]KR�U U i�R£d=QdA_CF=Q�@Z]KS=XEmgL ¦L CkZ]oR%GICF^§.§ b¨v § b § v©%CF=XR%^_m�Z]Kª�R5Z9« § b.v�} § ©5Ck=QiF=?^7moA7PS=QiFKSEWE!=?AA�E!@3AA_\�=?m�iF^_AL «Q} § 8CF=?iF=?^_moA¬�PZ!CF=?m�iF=?KsZ]E®E!=?A°¯±SE�L ¬�v²¥³ ´ ´ | µ },2 PsZJ¯¶v�·¸£¹qº"GIH»=XKL § v¬¼¯�v¯,¬½3ZR%c�CFn\�Z]=?^haI¾À¿,A�»;>=X;>@3@SE°aª¾À¿q{QÁ5Â%�vgÃÄ¾]Â¡¸ÄÁ¿PJA�E!@BAÅR�U U iFA CFE®aI¾À¿PS@�]^7;>KDL ÆCFn\�Z]=X^�aTb¾À¿ =Qcq@9Z]K[Z]CFKSA�=?ÇR%cDLÈ{XÉ¨¾È¿£*ÂËÊ7vdÃÄ¾]Âk¸Ã¿*Ê�CF^7=?=?HJ^_A¼É¨¾È¿.A_\�=?m�iF^_A�=j�==QWR%@3HJKk]E�^L aTb¾È¿ v®aB¿V¾[mo^Z]R£Éb¾È¿ vÉJ¿V¾[=Xj�=R5cÌÍÎqÌËÏFÐ®ÑÍÎ%ÒsÍÎÓ�Ð®Ñ]Ô3Õ Î£ÑÍÕÓVÒsÍÎÓ�Ð®ÑÍÕsÒsÔ�ÖÕ Î ÑÍËÎÓsÓ_Ð®ÑÍÕSÒsÔqÎVÕsÑÍËÎÓsÓ�ÐrÑÍÕSÒsÍÕÓ�ÐrÌÍÕ*ÌËÏLÈ{?Á ¾ 4VÁ ¿ Fv0{?a ¾×¾ {QÁ ¾ 4VÁ ¿ Fvx{?Á ¾ 4VaTb¾×¾ {QÁ ¿ Vkv0{?Á ¾ 4Va ¾×¾ {QÁ ¿ VFvx{?Á ¾ 4qFv(Z]^�

m�Z]CF@(A�n=X\�A�R]Ck=?Kk�R5Z7CF=XmqiF^7=?;gA�KS=?A ØWÙ¶ÚÛdÜÞÝßÝÝàÜáÝÝâÝãÜäå A�\�=Xm�iF^_A�L æL CF=XR%KsZ]n*Z]CFm�Z]E¯,PsZ�Ck=Q`>^_^CF=XKsZ];��R%E~ç�P`èp5 § vè¯¡ç�¯é L êë>{Q69»vx{?6D} ´ ì{?6D}°2 8 P § R£`g=XKS=?=?�Z]E!AÅlJZ]KS=?RqZ]"CFE°E\�^7KkCF=?`>EmL 6 v ´ 4V6 8 vx2¡P»lJ=?=X^_\�c�A¼lJ=Q�moc�AÅCkEhE!\�^_KkªU U GIEe

L �9.v��{ § } ´ ¹�[v��q{2q4Ä2q4Ä2�,P»lJ=?=X^_\�c�A¼lJ=?@BG9mo^7A¼CFE°E!\�^_KkCkc5L � 8 v��{ § }Å¹oFv��{254},254q4{2q4V�4},2�f R%@3HJKsZ7j�mooKS@l»=X;>=?;>@3A_^Åj�GIE~R£R%cikj�=X^�`.PSlJA�monJpq=?R%A_Crcq\�@BKL � 8 v�� 88 {254},254q4 �� {2q4Ä2q4Ä} ³ �� 9.v�� uu {2542542��R5Z7CF=?m�iF=XKSZ]EhA�\�=?m�iF^E!=?A¯0SE��Ù Ú�Û�� ÏÏ � �� ÏÏ � �� ä �å GIHJ=?KFCkc5

f R%@3HJKFSEhç v ¶´ µ 2 2 ]^_;>K!�#"%$_Ù&� Ö Ù Ú�Û'� �� ÏÏ � � ÏÏ �� ä �å

j�cA_j�=XGI=»E!=?A~ç L «¯é § ¯¢v±ç =?¼Z]KSEmoAhªU U j�@�=?�@3RWZ]^_=?`,©=X;>@3AÅCFmo=?GI@3@(A_=XZ]R%CkZ!A7j�=?GI=[A�KS=?Er¯¥L Z];��R%E!A=?mo@BEhm�j�;è=XZ]KS=Q`è=XjoL Z]R5E7(lJ=?@Bml»=X;>=?;>@Wl»K`>=[L l»=X=?^_\�c�A l»=X@3GImo^_RL =QiFKSE!=?m�ZZ]KS=?EFPSa�Z]KS=?AÅa{¯,VP`è]E�^Z_a{?a{¯Y*)(°a{¯,»�R5Z7a{¯,!(r¯ «À·DL *]E�^7Z[a{Q69�+a,é {S¯,,a{?a{Q6I*.v.-/+°¯0,a{Q69�+¯1,²62+a,é {¯,Y«À·S·L =?iFKSE=Xm�ZZ]K=XEFPSaèZ]KS=XA¼a,é {¯Y*P`lJ=?;>=?;>@ § ¾7v¶1qÁ ¾4353 Á ¾687 :¡Z]=?A�=Z�lJ=QiFKSE!=?m�ZZ]KS=?EFPSalJKS=?A9�B¾SPsZ:�xv 6; ¾=< �3¾I=?GI=?KSK!«À@CF\�=XmqiF^�=j�=¡R%cA�Y;>=X;>@°=XoR¼CFn*\�Z]=?^0aâL �PSR ;>=?;>@ § v?> 6¾=< § ¾ E@� ¾ PSRL lJ=?H�Z]R%@

¦

��

��

��

��

��

��:T V V→��( ),Z Tα�� !�T��Vα ∈��[ ]{ ( ) : }p T p F tα ∈��

� ��, ,V T α��W V⊂��( ),S Wα��[ ]{ : ( ) }p F t p T Wα∈ ∈��[ ]I F t⊂��"�� I�� ( )p t I∈��[ ]( )q t F t∈��( ) ( )p t q t I⋅ ∈�� ( )p t I∈��[ ]I F t⊂��( )p t��!I�� #��[ ]F t��( )p t��I�$��

��

��( ),Z Tα��!T��α��W V⊂��( ),S Wα��

��"��[ ]F t��( ),{0}S α�� ![ ]( )p t F tα ∈��T!�� α��

��

��( )p tα��r��1{ , ,..., }rT Tα α α−�� ( ),Z Tα��

1 ליגרת - 2 תיראניל הרבגלא...

Documents