אלגברה אלגברה --44שיעורשיעורלינאריתלינארית

לינארית1 משוואות מערכת פתירת ,פתירת מערכת משוואות לינארית1.כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים

הנעלמים ממספר קטן המשוואות מספר .וכאשר ם .וכאשר מספר המשוואות קטן ממספר הנעלמ.נורמה של ווקטור2..דטרמיננטה של מטריצה ריבועית3..דרגת מטריצה4..ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים5.מטריצות6 של פונקציות .פונקציות של מטריצות6..תרגיל כיתה7.

מערכת משוואות לינאריתמערכת משוואות לינארית מערכת היא משתנים n בעלת לינאריות משוואות m של מערכת:מהצורה משוואות

a x a x a x b+ + + =⎧ 11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

......

n n

n n

a x a x a x ba x a x a x b

+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨

21 1 22 2 2 2n n

b

⎪⎨⎪⎪

1 1 2 2 ...m m mn n ma x a x a x b⎪ + + + =⎩

1 -ו המערכת מקדמי הם כאשר 1 1 2 1, , , na a a…1 2, , , nx x x…

אלגברה לינארית 2

.הקבועים הם - ו )הנעלמים או( המשתנים הם 1 2, , , mb b b…

מערכת משוואות לינארית המיוצגת בצורה מטריציוניתמערכת משוואות לינארית המיוצגת בצורה מטריציונית:המקדמים במטריצת המקדמים את נרשום

11 12 1a a a⎡ ⎤…11 12 1

21 22 2

n

n

a a aa a a

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥

……

1 2m m mna a a⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦…

הנעלמים ווקטור הנעלמים וקטור

⎣ ⎦

1x⎡ ⎤⎢ ⎥

1b⎡ ⎤⎢ ⎥

1

xx

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

bb

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

בצורה לכתיבה ניתנת הקודם מהשקף המשוואות מערכת ,ולכן:מטריציונית

nx⎢ ⎥⎣ ⎦nb⎢ ⎥⎣ ⎦

אלגברה לינארית 3

ת ונ צ :מטרA x b⋅ =

– – פתירת מערכת משוואות לינארית פתירת מערכת משוואות לינארית מספר המשוואות שווה למספר הנעלמיםמספר המשוואות שווה למספר הנעלמים

m ,הנעלמיםלמספרשווה המשוואותמספרשבובמקרה = n, .ריבועית מטריצה היא A אזיפתרוןמתקבלאזי)סינגולאריתלא(הפיכהמטריצההיאAאם פתרון מתקבלאזי,)סינגולאריתלא(הפיכהמטריצההיאAאם1x:י"ע שניתן למשוואה יחיד A b−= ⋅

:י"ע יתבצע הפתרון , ריבועי הלא המקרה עבור( )m n≠

1( ) 1' 'x A A A b−

= ⋅ ⋅ ⋅

:הבא באופן ,inv פונקצית י"ע ,matlab -ובx = inv(A)*b;

אלגברה לינארית 4

x inv(A) b;X = inv(A’*A)*A’*b

– – פתירת מערכת משוואות לינארית פתירת מערכת משוואות לינארית מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים

המשךהמשךי"עהינההמשוואותמערכתלפתירתעדיפהדרך

המשךהמשך- - פהדרך רתעד נההמשוואותמערכת לפת ע ה

:הבא באופן \ באופרטור שימוש

x = A \ b;x A \ b;

מהר יותר 3 עד 2 פי תוצאות מניב \ באופרטור שימוש.invבפונקציתמשימוש

אלגברה לינארית 5

מוש תמש .invבפונקצ

– – פתירת מערכת משוואות לינארית פתירת מערכת משוואות לינארית מספר המשוואות קטן ממספר הנעלמיםמספר המשוואות קטן ממספר הנעלמים

ל אינסוף קיימיםהנעלמיםממספרקטןהמשוואותמספרכאשר מספר שבו הפתרון את תיתן A\b החלוקה זה במקרה .פתרונותאפסיםשלמקסימלי מל םשלמקס .אפס מחשבת זו פקודה , pinv(A) בפקודה שימוש היא אחרת אפשרות.ריבועית לאמטריצהשלהפיך-פסודו ך

( )A A A A A A IRM t t RMn≡ ⋅ ⋅ ⋅ =

−1ימני ( )A A A A A A In

( )A A A A A A=ILM t t LMm≡ ⋅ ⋅ ⋅

שמאלי1− ( ) m

הנורמה בעל הפתרון הוא x=pinv(A)*b מהצורה MATLAB - ב פתרון

אלגברה לינארית 6

.ביותרהקטנה

––לינאריתלינארית משוואותמשוואות מערכתמערכת פתירתפתירת הנעלמיםהנעלמיםממספרממספרקטןקטן המשוואותהמשוואותמספרמספר

דוגמאדוגמא-- דוגמאדוגמא- - A=[ 1 4 7 2 ; 2 5 8 5 ; 3 6 0 8 ]; [ ; ; ];b=[ 366 ; 804 ; 351 ];

x=A\b xn=pinv(A)*b

x =0

xn =30.8182

-165.900099.0000168 3000

30.8182-168.981899.0000

אלגברה לינארית 7

168.3000 159.0545

קקנורמה של ווקטורנורמה של ווקטור:הווקטור שעבור א"ז ,שלו הגודל בעצם היא ווקטור של נורמה

[ ]1 2 nx x x x= …:היא הסטנדרטית הנורמה

2 2 22 2 21 2|| || nx x x x= + + +…

:י"ע מבוצע הנורמה חישוב Matlab -ב

norm(x);

אלגברה לינארית 8

.x ווקטור של האוקלידי האורך בעצם היא נורמה

המשךהמשך--נורמה של ווקטורנורמה של ווקטור ךךקק הטבעיות הדרישות את מקיים האוקלידי במרחב האורך

:הבאות )אקסיומות(

שהואהאפסוקטורשלמאורכוחוץחיוביתמידהואאורך1 שהוא ,האפסוקטורשלמאורכוחוץ,חיוביתמידהואאורך1..אפס

|| || 0 || || 0 0x if x than x≥ = = באותו האורך את גם מכפילה בסקלר הווקטור של מתיחה2.

|| || 0, || || 0 0x if x than x≥ = =

.סקלר|| || | | || ||C x C x⋅ = ⋅

.המשולש שוויון אי מתקיים3.

|| || || || || ||≤אלגברה לינארית 9

|| || || || || ||x y x y+ ≤ +

המשך לדוגמא הקודמתהמשך לדוגמא הקודמת––נורמה של ווקטורנורמה של ווקטור קקק קך ך

norm(x)

ans =256.2200256.2200

norm(xn)

ans =254.1731

אלגברה לינארית 10

254.1731

עעדטירמנטטה של מטריצה ריבועיתדטירמנטטה של מטריצה ריבועית

:A,ריבועית מטריצהשלהדטרמיננטה

AΔ =

על דטרמיננטה המבצעת הפונקציה ,Matlab -ב:detהיאריבועיתמטריצה

( )D = det(A);

אלגברה לינארית 11

דטירמנטטה של מטריצה הפיכהדטירמנטטה של מטריצה הפיכה .הפיכה מטריצה היא מאפס שונה דטרמיננטה בעלת ריבועית מטריצה:הפיכהמטריצהשלדוגמא :הפיכהמטריצהשלדוגמא

A=[1 4 3;4 5 6;7 8 9];

det(A)ans =ans

12

i (A)inv(A)

ans =ans -0.2500 -1.0000 0.75000.5000 -1.0000 0.50000 2500 1 6667 0 9167

אלגברה לינארית 12

-0.2500 1.6667 -0.9167

המשךהמשך --דטירמנטטה של מטריצה הפיכה דטירמנטטה של מטריצה הפיכה :דוגמא למטריצה לא הפיכה

A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

det(A)ans =

00

inv(A)W i M t i i l t i l b dl l dWarning: Matrix is close to singular or badly scaled.

Results may be inaccurate. RCOND = 2.203039e-018.ans =ans 1.0e+016 *0.3152 -0.6304 0.31520 6304 1 2609 0 6304

אלגברה לינארית 13

-0.6304 1.2609 -0.63040.3152 -0.6304 0.3152

דרגת המטריצהדרגת המטריצה מרחב ממד להיות מוגדרת Aמטריצה של העמודות דרגת

עמודה וקטורי של המקסימלי המספר ,כלומר ,שלה העמודותללל דרגת ,דומהבאופן.המטריצהעמודותמביןלינאריתתלוייםבלתי

.שלה השורות מרחב ממד היא שלה השורותולכןהמטריצהשלהשורותלדרגתתמידשווההעמודותדרגת ולכן ,המטריצהשלהשורותלדרגת תמידשווההעמודותדרגת.המטריצה דרגת שלהן המשותף לערך לקרוא מקובל) .min(m,n)היותר לכלהיאמטריצהשלהדרגה , ) מטריצה נקראת זה מקסימלי לערך שווה שדרגתה מטריצה .מלאה מדרגה.חסרהמדרגהמטריצהנקראת יותרנמוכהשדרגתהמטריצה:היא Matlab -ב A המטריצה דרגת

rank(A);

אלגברה לינארית 14

.הפיכה מטריצה היא מלאה דרגה בעלת ריבועית מטריצה

ערכים עצמיים ווקטורים עצמייםערכים עצמיים ווקטורים עצמייםλ1,λ2-עצמייםערכיםקיימים,Aריבועיתמטריצהלכל … λn

ע ק ע עע ק ע ע1,2nעעק,ע

v1, v2 עצמיים ווקטורים ,)המטריצה דרגת היא n כאשר( … vn :מקיימים אשר ,בהתאמה

A =v vλ⋅ ⋅:י"ע מתבצע Matlab –ב עצמיים וערכים עצמיים וקטורים חישוב

[V,D]=eig(A) ;

Vל V-מטריצת ווקטורים עצמיים מנורמלים).מטריצה מודלית )1=

nv

אלגברה לינארית 15D - מטריצת אלכסונית שאיבריה הם הערכים העצמיים שלA.

--ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

A=[4 -1 2 ; 0 -3 6 ; 0 0 8]

קקדוגמאדוגמא

A [4 1 2 ; 0 3 6 ; 0 0 8]

[V,D]=eig(A)

VV = 1.0000 0.1414 0.3041

0 0 9899 0 45620 0.9899 0.45620 0 0.8363

D = 4 0 0

0 3 0

אלגברה לינארית 16

0 -3 0 0 0 8

ןןליכסון מטריצהליכסון מטריצה

:הבאבאופןיתבצעAהמטריצהליכסון :הבאבאופן יתבצעAהמטריצה ליכסון

1Λ Α= ⋅ ⋅V V-1

:כאשרVהווקטוריםהןעמודותיה(מודליתמטריצההיא Vהווקטוריםהןעמודותיה(מודליתמטריצההיא

.)A של העצמיים הם באלכסון האיברים בה ,אלכסונית מטריצה היא

AשלהעצמיםהערכיםΛ

אלגברה לינארית 17

.Aשלהעצמיםהערכים

פונקציות של מטריצותפונקציות של מטריצות-כ מטריצה של פונקציה מוגדרת ליניארית באלגברה

קק

1

V-מודליתמטריצה

-1)(=(A) VfVf ⋅Λ⋅V-מודליתמטריצה.העצמיים הערכים הם האלכסון אברי בה אלכסונית מטריצה -

.Aשל Λ

סקלרית מבוצעת הפעולה ,אלכסונית מטריצה של פונקציה - .האלכסון מאברי אחד כל על

M tl bל

f (Λ)

Matlabבסיומתמשתמשm הפועלות מטריצהפונקציותעבור .זו בדרך

sqrtm(A)-מטריצהשלריבועישורש sqrtm(A)-בועשורש צה שלר .מטר logm(A)- מטריצה של טבעי לוגריתם.

expm(A)-מטריצהשלאקספוננט.

אלגברה לינארית 18

p ( ק(funm(A,’fun’) - כללית פונקציה חישוב fun מטריצה של.

קקאקספוננטה של מטריצהאקספוננטה של מטריצה אקספוננט מחשבת expm(A) הפונקציה ,הקודם בשקף שנכתב כפי.,מטריצהשל Ae צהשל . ,מטר

ישנם ,A ,למטריצה אם קומפלקסיות תוצאות מניבה expm הפונקציה.חיוביים- לא עצמיים ערכים

Aלל2ל

e

:A,מטריצהשלאקפוננטלחישובדרכים2-לדוגמאA=[ 1 2 ; 3 4 ];» expm(A)p ( )ans =

51.9690 74.7366112 1048 164 0738112.1048 164.0738

[V,D]=eig(A);V*diag(exp(diag(D)))/V % using array exponential ans =

51 9690 74 7366

אלגברה לינארית 19

51.9690 74.7366112.1048 164.0738

תרגיל כיתהתרגיל כיתה ובין ,ל"הנ ההגדרה לפי ,מטריצה של פונקציה בין ההבדל המחשת

המטריצהאיבריעלפונקציהאותההפעלת האותההפעלת בר עלפונקצ צהא .המטר

A=[0 pi/3 ; pi/6 pi/2 ];

» sinA=funm(A,’sin’) % function of a matrix.

sinA =-0.1200 0.60480.3024 0.7873

» cosA=funm(A,’cos’) % function of a matrix» cosA funm(A, cos ) % function of a matrix

cosA =0 7873 0 6048

אלגברה לינארית 20

0.7873 -0.6048-0.3024 -0.1200

ךךהמשךהמשך--תרגיל כיתהתרגיל כיתה» sinA^2+cosA^2 % = Identity matrixans =

1 0000 01.0000 00.0000 1.0000

» SINa=sin(A) % function of a arraySINa =

0 0.86600.5000 1.0000

» COSa=cos(A) % function of a array COSa cos(A) % function of a arrayCOSa =

1.0000 0.50000 8660 0 00000.8660 0.0000

» SINa.^2+COSa.^2 % = matrix of ones ans =

אלגברה לינארית 21

ans =1 11 1