3

1. ПРОИЗВОДНАЯ, ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ

И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Приращением функции y = f(x) называется разность

,xfxxfy

где x - приращение аргумента x. Из рис. 1 видно, что

.tgx

y

(1)

Рис. 1

Производной функции y = f(x) в точке x называется конечный

предел отношения приращения функции к приращению аргумента,

когда последнее стремится к нулю:

x

xfxxf

x

yxfy

xx

00limlim (2)

Если указанный предел в формуле (2) существует, то функцию f(x)

называют дифференцируемой в точке x, а операцию нахождения

производной y - дифференцированием.

Пример 1. Найти производную функции y = x2 в точке x = 3.

Решение. При любом приращении x имеем:

,6

932933333

2

222

xx

xxxfxfy

.66lim6

lim6

lim300

2

0

x

x

xx

x

xxf

xxx

Касательной называется прямая к которой стремится секущая

при стремлении второй точки секущей М1(x1, f(x1)) к первой М0(x0,

f(x0)).

4

Рис. 2

Запишем уравнение секущей

y f xf x f x

x xx x

0

1 0

1 0

0

и устремим вторую точку секущей к первой, тогда поскольку

0

01

01

01

lim xfxx

xfxf

xx

,

то вычисление предела дает

y f x f x x x 0 0 0

- (3)

уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке М0(x0, f(x0)), где

угловой коэффициент касательной

kкас = tg = f(x0).

Производная в точке x0 равна тангенсу угла наклона

касательной, проведенной в точке М0(x0, f(x0)), к графику функции

y = f(x).

Получим уравнение нормали. Нормалью называется прямая,

проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.

y f x k x x 0 0норм

,

где

.

11

2 0

норм’xftg

ctgtgk

Уравнение нормали к кривой y = f(x) в точке М0(x0, f(x0)):

.0 1

00

0

0

xfxxxf

xfy (4)

При f (x0) = 0 уравнение нормали имеет вид x = x0.

Пример 2. Найти уравнение касательной и нормали для

функции f (x) = x2 в точке x0 = 3.

5

Решение. Используя результат примера 1 и (3)-(4), имеем

f (3) = 6, f (3) = 32 = 9,

.2

19

6

1 96

36

19 369

нормкас

нормкас

xyxy

xyxy

Предположим, что функция S = S(t) описывает закон

движения материальной точки М по прямой линии. Средней

скоростью движения за время t называют V =S

tср

, а предел

отношения

S

t при t0 определяет мгновенную скорость точки в

момент времени t

.limlim00

р– tSt

SVtV

tt

Если скорость движения V не постоянна и сама изменяется с

течением времени t: V = f(t), то рассматривают ускорение -

«скорость изменения скорости». Именно если приращение времени

t отвечает приращению скорости V, то отношение aV

tср

выразит среднее ускорение за промежуток времени t, а предел его

даст ускорение движения в данный момент времени:

tVt

Vaa

tt

00limlim р– .

Таким образом, ускорение есть производная от скорости по

времени.

2. ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Если С - постоянная, u = u(x), v(x) - некоторые дифферен-

цируемые функции, то справедливы следующие правила дифферен-

цирования:

1) 0)( c

2) ;1/x

3) u v u v /

;

4) сu cu/

;

5) ;/

vuvuuv

6

6) ;0 2

/

v

v

vuvu

v

u

7) .0 2

/

v

v

vc

v

c

8) если y = f(u), u = (x), т. е. y = f( (x)) - сложная функция,

составленная из дифференцируемых функций, то

y y ux u x

.

На основании определения производной и правил

дифференцирования можно составить таблицу производных

основных элементарных функций:

I. u nu u n Rn n/

; 1 X. ;cossin/

uuu

II. ;2

/

u

uu

XI. ;

1

1arccos

2

/u

uu

III. ;1

2

/

u

u

u

XII. ;

1

1

2

/u

uarctgu

IV. ;ln/

uaaa uu XIII. ;sin

12

/u

uctgu

V. ;sincos/

uuu XIV. ;1

1

2

/u

uarcctgu

;cos

12

/u

utgu XV. u

uu

2

/

1

1arcsin

.

VI.

VII. е e uu u/

;

VIII. ;1

ln/

uu

u

IX. ;ln

1log

/u

auua

Пример 3. Воспользовавшись определением производной (см.

формулу (2)), найти производную функции .52

13

x

xy

Решение. Дадим x приращение x, тогда y получит

приращение y:

7

.

52522

17

5252

5221352133

52

13

52

13

xxx

x

xxx

xxxxxx

x

x

xx

xxy

Так как

,

52522

17

52522

17

xxxxxxx

x

x

y

то

.

52

17

52522

17limlim

200

xxxxx

yy

xx

Следовательно, по определению производной

.

52

172

xy

Применяя формулы и правила дифференцирования, найти

производные следующих функций:

Пример 4. .17

244

8 53 x

xxy

Решение.

0478

523417

241724

583

24

85

3485

3

xxxx

xxxxxy

.28

4

51228

4

512

58 3

2583

2

xxxxxx

Пример 5. .cos3 xxy

Решение.

.sincos3

sincos3coscoscos

2

32333

xxxx

xxxxxxxxxxy

Пример 6. .2 3 xxy x

Решение. Перепишем заданную функцию в виде 34

2 xy x ,

тогда

8

.3

42ln2

3

422ln2222

431

31

34

34

34

34

xx

xxxxxy

x

xxxxx

Пример 7. .1

12

2

x

xy

Решение.

.

1

4

1

2222

1

2112

1

1111

2222

33

22

22

22

2222

x

x

x

xxxx

x

xxxx

x

xxxxy

Пример 8. .253 xxy

Решение. Обозначим uxx 23 , тогда y u 5. По правилу

дифференцирования сложной функции

.101522325

2352

243243

24355

xxxxxx

xuxxuuuy xux

Пример 9. .sin 3 xy

Решение. .cossin3sinsin3sin 223 xxxxxy

Пример 10. .3

sinln

xy

Решение. Пусть 3

sinx

u , тогда y = ln u и по правилу

восьмому (с. 6)

.33

1

3sin

3cos

3

1

33cos

3sin

1

3sin

3sin

11ln

xctg

x

x

xx

x

x

xu

uuuy xxu

Пример 11. .34 2 xy

Решение. Пусть ,34 2 xu тогда y u .

.34

48

342

134

2

1

22

2

x

xx

xx

uuuy xxu

9

Пример 12. .34 2 xarctgy

Решение.

.

3412

2

3424

4

34

4

341

134

341

1

2222

22

2

22

xx

x

xx

x

x

x

xx

x

y

Пример 13. .2log 5

3

x

x

arctgxy

Решение.

2

5

3 2logx

xarctgxxarctgx

x

arctgxy x

.3ln

2ln51

52ln23ln2

1123ln2

1

23

5

52

25

5

x

arctgx

xx

xx

arctgxx

x

x

x

x

x

3. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Логарифмической производной функции y = f(x) называется

производная от логарифма этой функции, т. е.

.lnxf

xfxf

Последовательное применение логарифмирования и

дифференцирования функций называют логарифмическим

дифференцированием. В некоторых случаях предварительное

логарифмирование функции упрощает нахождение ее производной.

Например, при нахождении производной функции y uv , где

u u x и v v x , предварительное логарифмирование приводит

к формуле

.ln 1 uvuvuuy vv

Пример 14. Найти производную функции

.3sin5cos x

xy

Решение. Логарифмируя заданную функцию, получаем

.3sinln5cosln xxy

Дифференцируем обе части последнего равенства по x:

10

.3sinln5cos3sinln5cosln

xxxxy

Отсюда

xx

xxxxy

y3sin

3sin

15cos3sinln55sin ,

.3cos3sin

15cos33sinln5sin5 x

xxxxyy

Окончательно имеем

.35cos33sinln5sin53sin5cos

xctgxxxxyx

4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ

Если зависимость между переменными x и y задана в неявном

виде уравнением F(x, y) = 0, то для нахождения производной

y yx в простейших случаях достаточно продифференцировать

обе части уравнения F(x, y) = 0, считая у функцией от x, и из

полученного уравнения, линейного относительно y, найти

производную.

Пример 15. .0 xyee yx

Решение. Дифференцируем обе части уравнения, считая y

функцией от x:

.0 yxyxyee yx

Отсюда находим

.0 yxyyee yx

e y x y y ey x .

y e x y ey x .

y

y e

e x

x

y.

5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производной второго порядка (второй производной) функции

y = f(x) называется производная от ее первой производной, т. е.

y f x f x .

Аналогично производная третьего порядка функции y = f(x) есть

производная от производной второго порядка:

11

y f x f x .

Вообще, производной n-го порядка от функции y = f(x)

называется производная от производной (n-1) - го порядка:

y f x f xn n n

1

.

Обозначается n-я производная одним из следующих символов: y f xn n

, .

Производные высших порядков (вторая, третья и т. д.)

вычисляются последовательным дифференцированием данной

функции.

Если S = S(t) - закон прямолинейного движения материальной

точки, то скорость v = S(t), а вторая производная пути по времени

a S t есть ускорение этого движения.

Пример 16. Найти производную третьего порядка

.ln2

1 2 xy

Решение. Находим первую производную:

.1

lnlnln22

1

xxxxy

Далее

.ln11

ln11ln

1ln

1ln

2

22

xx

x

x

xxx

xx

xxyy

.3ln211ln2211

ln12

ln11

ln11

ln11

333323

222

xxxx

x

xxxx

x

xx

xx

xx

yy

Пусть y u v , где u u x v v x , имеют производные

любого порядка. Тогда

y u v u v ,

y u v u v u v u v u v u v u v2 ,

.33

22

vuvuvuvu

vuvuvuvuvuvuy

12

....!

1...1...

...!2

1 21

nkkn

nnnnn

vuvuk

knnn

vunn

vunvuuvy

(5)

Формула (5) называется формулой Лейбница.

Пример 17. Вычислить четвертую производную функции

.sin4 xxy

Решение. Полагая u = x4 и v = sin x, найдем

.24 ,24 ,12 ,4 423 uxuxuxu .sin ,cos ,sin ,cos 4 xvxvxvxv

Подставляя найденные значения производных в формулу (5),

получим:

.sincos16sin72cos96sin24

sincos44sin126cos244

sin24!3

234

!2

344

432

432

444

xxxxxxxxx

xxxxxxxx

xvuvuvuvuvuy

6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ

ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Если зависимость функции y от аргумента x задана в

параметрическом виде уравнениями: x t y t , , то

производные y yx xx, вычисляются по формулам:

y

y

x

t

tx

t

t

, (6)

y

y

x

y

txx

x t

t

x t

. (7)

Пример 18. Найти вторую производную функции, заданной

параметрическими уравнениями: .cos2 ,sin2 33 txty

Решение. В соответствии с формулами (6) - (7) имеем:

tgtt

t

tt

tt

t

t

x

yy

t

t

t

tx

cos

sin

sincos32

cossin32

cos2

sin22

2

3

3

.

.

cossin

1

6

1

sincos6

cos

1

cos242

2

3 tttt

t

t

tgt

x

yy

t

t

t

tx

xx

13

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Найти производную функции y x , воспользовавшись

определением производной (см. формулу(2)).

2. Найти производные следующих функций:

2.1. ;1

34

4 2

xx

xxy 2.16. ;

1

13

x

xy

2.2. y x tgx x 2 73 ; 2.17. 3 45 xctgxy ;

2.3.

;2

3

2 5

x

ey

x

x

2.18. xtgy sin ;

2.4. ;1

1arccos

4

4

x

xxxy 2.19. ;1 22 xarctgy

2.5. ;222 xexxy 2.20. ;arcsin2

xarcctgxy

2.6. ;3sin3 xxy 2.21.

;42

5

3cos

x

ey

x

2.7. ;1

sin3

2

x

xy 2.22. ;arccos1

3xxy

2.8. ;1 2xy 2.23. ;742

75

xctg

x

xy

2.9. ;43ln 2 xxy 2.24.

;53lg

23 7

x

xy

2.10. ;32

arcsin 22 xx

xy 2.25. ;ln33 xexy x

2.11. ;lnsin xy 2.26. ;3 142 xarctgy

2.12. ;3

cos2

xy 2.27. ;

1

cos

ctgx

xy

2.13. ;21ln xxearctgy 2.28. ;5

cos13 5 xexy x

2.14. ;sinlog 2

2 xy 2. 29. ;1cosln 2xxy

2.15. xxey cos5 ; 2.30. .2

2ln

x

x

ex

xy

3. Применяя метод логарифмического дифференцирования, найти

производные функций:

14

3.1. ;2xxy

3.2. ;ln xxy

3.3. ;7sin x

xtgy

3.4. y x x arccos ;4

3.5. .cosx

xy

4. Найти производные yx от неявных функций:

4.1. ;arccosyxy

4.2. ;37sin yxy

4.3. ;0 x

y

ex

y

4.4. ;ln2

x

yxy

4.5. ctgyxy ;

4.6. 5sin2 xyy ;

4.7. 082 x

ytgxy ;

4.8. 018 xyy

x;

4.9. 42 x

ytg .

5. Найти y и y.

5.1. x t

y t

3

7;

5.2. .

ty

tx2cos

2sin;

5.3.

21

arcsin

ty

tx ;

5.4. x e

y e

t

t

5

3;

5.5.

tty

tx

ln

ln2

4

.

15

6. Найти уравнение касательной и уравнение нормали к кривой в

точке М0(x0, y0):

6.1. ;1 ,2 ,1 0

2 Мxtgy

6.2. ;3 ;0 ,83 0

2 Mxxy

6.3. ;91 ;4 ,83 0

2 Mxxy

6.4. .1 ;1 ,ln1 0

3 Mxy

7.1. Закон движения материальной точки .2751123

1 23 tttS В

какой момент времени скорость ее движения будет равна 10 м/с?

7.2. Закон движения материальной точки .3 3ttS Найти

ускорение ее движения в момент времени t = 2 c.

7.3. По оси Ох движутся две материальные точки, законы движения

которых .4143

5 и 7622 2323 ttttttx В какой

момент их скорости будут равными.

8. Записать формулу для производной n-го порядка указанной

функции:

8.1. ;1

xy

8.2. ;xxey

8.3. ;3xy

8.4. ;2

1ln

xy

8.5. .1 xy

Список литературы

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления

(для втузов): В 2 т. М.: Наука, 1978. Т. 1. 456 с.

2. Данко П. Е. и др. Высшая математика в упражнениях и

задачах:Учеб. пособие для втузов: В 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г.

Попов, Т. Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1980. Ч. I. 446 c.

3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб.

пособие для вузов: В 3 ч. / Под общ. ред. А. П. Рябушко. Минск:

Вышэйш. шк., 1991. Ч. 1. 272 с.

16

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Методические указания и задания

к самостоятельной работе для студентов 1-го курса

Елена Николаевна Ломакина

Татьяна Яковлевна Меженова

Главный редактор Л. А. Суевалова

Редактор Е. Н. Ярулина

Компьютерная верстка Т. Б. Дамбаевой

Лицензия на издательскую деятельность

ЛР № 020526 от 23.04.97

Подписано в печать 26.06.01. Формат 6084 1/16.

Бумага писчая. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,9.

Уч.-изд. л. 0,8. Тираж 480 экз. Заказ С 82.

Издательство Хабаровского государственного технического университета.

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.

Отдел оперативной полиграфии издательства

Хабаровского государственного технического университета.

680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136.