1. ПРОИЗВОДНАЯ Определение...
TRANSCRIPT
3
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПРОИЗВОДНАЯ
1.1. Определение производной
1.2. Дифференцирование неявных функций
1.3. Логарифмическое дифференцирование
1.4. Производные высших порядков
1.5. Дифференцирование функции, заданной параметрически
1.6. Уравнение касательной и нормали
2… ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ
2.1. Возрастание и убывание функции
2.2. Максимум и минимум функции
2.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
2.4. Асимптоты
3. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА
ОТРЕЗКЕ
4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
Литература
4
1. ПРОИЗВОДНАЯ
1.1. Определение производной
Пусть на открытом множестве X задана функция xfy . Фиксируем
точку Xx и задаем приращение аргумента x , таким малым, чтобы
Xxx . Тогда функция получит приращение xfxxfy .
Если существует предел
x
xfxxf
x
yxf
x
limlim
0, 0x
то он называется производной функции xf в точке x .
Существуют и другие обозначения производной: y , dx
dy, '
xf .
Функция xf , имеющая производную в каждой точке множества X
называется дифференцируемой на этом множестве, операция вычисления
производной функции называется дифференцированием.
Прежде чем воспользоваться таблицами производных, надо установить,
является функция простой или сложной.
Функция ufy называется сложной, если u есть функция от x :
xuu , т. е. xufy .
Производная сложной функции вычисляется по формуле
)())(()( '' xuxufxy xu , (1)
т. е. сначала вычисляется производная функции uf по переменной u , и
затем она умножается на производную функции xu по переменной x .
Правила дифференцирования
1. 0c (c – const)
2. xfxfxfxf 2121
3. xfxfxfxfxfxf 212121
3а. xfcxcf
4.
xf
xfxfxfxf
xf
xf2
2
2121
2
1
( 02 xf )
5. xux ufy ' , если ufy , xuu .
Разумеется, что для справедливости этих правил необходимо
существование производных xf1 , xf2 , xf , xu .
Таблица производных )(xuu , штрих означает производную по переменной x
5
1. unuu nn 1 ( Rn ) 2. u
uu
2
11
3. uu
u
2
1 , 0u 4. uuu
cossin
5. uuu
sincos 6. uu
u
2cos
1tg
7. uu
u
2sin
1ctg , kxu )( 8. u
uu
21
1arcsin , 1u
9. uu
u
21
1arccos , 1u 10. u
uu
21
1arctg
11. uu
u
21
1arcctg 12. uaaa uu
ln , ,consta 0a
13. uee uu )'( 14. uau
ua
ln
1log , ,consta 0a , 1a
15. uu
u 1
ln , 0u
Пример 1. Найти производные функций:
а) xxy 3cos ; б) xxy sinln2 ; в) x
xxy
tg
2 .
Решение. а) Функция )(xy – это произведение двух функций xxf cos)(1
и xxf 3)(2 , поэтому по третьему правилу дифференцирования:
xxx xxxy 3cos3cos3cos .
Из таблицы производных находим, что xx sincos , 3ln33 xx
.
Значит, xxxxy xxx sincos3ln33ln3cos3sin .
б)
xx
xxxxxxy cos1
2sinln2sinln2sinln2
xx
cos2 .
в)
x
xxxxxx
x
xxy
2
222
tg
tgtg
tg
x
xxxx
xx
2
2
2
tg
cos
1tg
2
12
.
Пример 2. Найти производные функций:
а) xy 2ctg ; б) xy 5sin3 ; в) 3
1
1
x
x
e
ey .
6
Решение. а) Функция y – это сложная функция xu ctg , 2uy . Тогда
по формуле 1 таблицы производных xxuuyx ctgctg22 , а по формуле 5
x
x2sin
1ctg
.Таким образом,
xxy
2sin
1ctg2 .
б) Используем правило дифференцирования 3а:
xxy 55 sin3sin3 .
Функция x5sin – сложная xu sin , 5)( uuf . Поэтому
xcosxsin15xsinxsin15uu53y 444
.
в)
1
1
1
1
3
1
1
1
1
11
3
1
3
1
3x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
e
ey
2
3
2
1
1111
1
1
3
1
x
xxxx
x
x
e
eeee
e
e
2
3
2
2
3
2
1
11
1
1
3
1
1
11
1
1
3
1
x
xxx
x
x
x
xxxx
x
x
e
eee
e
e
e
eeee
e
e
3
4
3
2
113
2
xx
x
ee
e.
1.2. Дифференцирование неявных функций
Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой
уравнением
0),( yxF (2)
Если функция )(xfy , определенная на некотором интервале ),( ba , такова,
что уравнение (2) при подстановке в него вместо y выражения
)(xf обращается в тождество относительно x , то функция )(xfy обращается
в тождество относительно x , то функция )(xfy есть неявная функция,
определенная уравнением (2).
Например, уравнение 122 yx неявно задает функцию 21 xy (а
также функцию 21 xy ).
Покажем на примере способ нахождения производных от неявной
функции.
Пример 3. Найти производную функции 0sin 23 yexy
x xy .
Решение. Дифференцируем по x все члены этого равенства, помня, что
y есть функция от x :
023cos 2
2
yyyxyex
y
yxy
y
x xy .
7
Слагаемые, содержащие y , переносим в левую часть, а все остальное в
правую:
xyxy yexy
x
yyxe
y
x
y
xy
2
23cos
12cos ,
Выразим y :
yxey
x
y
x
yexy
x
yy
xy
xy
2cos
3cos1
2
2
.
Производная найдена.
1.3. Логарифмическое дифференцирование
Довольно часто возникает необходимость вычисления производной
функции 2
1
yyy , где 011 xyy , xyy 22 – дифференцируемые
функции. В этом случае поступим следующим образом: логарифмируем y –
yyy lnln 2 ,
продифференцируем это равенство по x –
yyy lnln2
, 1
2212 ln
y
yyyy
y
y
.
Отсюда имеем:
1
12121
1
1212 lnln 2
y
yyyyy
y
yyyyyy
y .
Нет необходимости запоминать эту формулу. Достаточно понять идею
– функцию сначала логарифмируем, затем дифференцируем полученное
равенство и находим производную.
Пример 4. Найти производную функции 2arcsin
xxy .
Решение. Логарифмируем функцию y :
xxy arcsinln2ln .
Дифференцируем это равенство по x :
xxxxy
yarcsinln2arcsinln2
2arcsinln2
1arcsinln2 xx
xxx
xx
xxxx
x
arcsin1
12arcsinln
2
1
arcsin
arcsin2
.
Поэтому
xx
x
x
xxy
x
arcsin1
2
2
arcsinlnarcsin
2
2.
8
1.4. Производные высших порядков
Если производная xf функции xfy определена в некоторой
окрестности точки 0x и имеет в этой точке производную, то эта производная
от xf называется второй производной (или производной второго порядка)
функции xfy в точке 0x и обозначается одним из следующих символов:
0xf , 0
2 xf , 0xy , 0
2 xy , 02
2
xdx
yd, 02
2
xdx
fd xxy .
Третья производная определяется как производная от второй
производной и т. д. Если уже введено понятие 1n -й производной и если
1n -я производная имеет производную в точке 0x , то указанная
производная называется n -й производной (или производной n -го порядка) и
обозначается
0xf n , 0xyn или 0xdx
fdn
n
, 0xdx
ydn
n
.
Таким образом, производные высших порядков определяются
индуктивно по формуле:
xyxy nn 1 .
Пример 5. Найти 2
2
dx
yd функции xey arcsin .
Решение.
x
xx
x
x
e
ee
ee
dx
dyy
22 11
1arcsin
x
xxxx
x
x
e
eeee
e
e
dx
yd
dx
yd2
22
22
2
1
11
1
222
2
22
11
11
x
x
x
x
xxx x
e
e
e
e
eeee
.
Пример 6. Найти 2
2
dx
yd, если xxy .
Решение. Находим dx
dy.
1ln 1ln lnln lnln
xxyxy
yxxyyxy x
.
Теперь найдем вторую производную 2
2
dx
yd. Имеем
dx
yd
dx
yd2
2
12' 1ln)1(ln1ln1ln
xxxxx xxxxxxxxx .
1.5. Дифференцирование функции, заданной параметрически
9
Пусть даны две функции
ty
tx
, (3)
где 21;ttt назовем параметром. Причем t имеет обратную функцию
xt 1 . Тогда из (1) xfxy 1 , т. е. y является функцией от x .
Задание функции xfy через
ty
tx
называется параметрическим.
Если функции tx , ty имеют производные 0 t и t , то
функция xfy также имеет производную, вычисляемую по формуле
t
tx
x
y
t
ty
dx
dy
. (4)
Вторая производная вычисляется по формуле
32
2
t
tttty
dx
ydxx
. (5)
Пример 7. Функция y задана параметрически: tx 4cos , tty ln2 ,
t0 . Найти xy и xxy .
Решение. Найдем 44sin4cos
tttxt
t
tttyt
21ln2
.
Тогда по формуле (2) tt
t
t
tyx4sin4
2
4sin4
21
.
Для вычисления xxy найдем 2
2 212
21
tt
tt
.
tttt 4cos1644cos44sin4
.
Подставим в формулу (3):
3
2
4sin4
4cos162
14sin42
t
tt
tt
yxx
332
2
32
2
4sin4
4cos224sin8
4sin4
4cos162
14sin8
tt
tttt
tt
tt
tt
tt
tttt
4sin8
4cos424sin32
2 .
1.6. Уравнение касательной и нормали
Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат, то
уравнения касательной и нормали к ней в точке )( 00 yxМ имеет вид:
000 xxxfyy , где 00 xfy .
10
0
0
0
1xx
xfyy
.
Пример 8. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой
xxxf 42 в точке 10 x . Сделать чертеж.
Решение. 34114112
f
42 xxf , 2424121 f .
Уравнение касательной: 123 xy 12 xy .
Уравнение нормали: 12
13 xy ; 5,35,0 xy .
Сделаем чертеж. xxy 42 – парабола, ветви направлены вниз.
Вершина a
bx
20 , 2
2
40
x , 4840 y .
Точки пересечения с осью OX :
042 xx
04 xx
01 x , 42 x
12 xy 5,35,0 xy
x 0 1 x 0 1
y 1 -1 y 3,5 4
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Изучение количественной стороны различных явлений природы
приводит к установлению и изучению функциональной зависимости между
участвующими в данном явлении величинами. Если такую функциональную
зависимость можно выразить аналитически, то есть в виде одной или
нескольких формул, то мы получаем возможность исследовать эту
функциональную зависимость средствами математического анализа.
Установим общие приемы исследования поведения функции.
2.1. Возрастание и убывание функции
Дадим некоторые определения.
Определение. Если функция xfy такова, что большему значению
аргумента x соответствует большее значение функции, то функция xfy
называется возрастающей. Если же большему значению аргумента x
соответствует меньшее значение функции, то функция xfy называется
убывающей.
-4 -1 0 х
у
11
Пример 9. Функция 2 RQ при R0 есть возрастающая
функция, так как большему значению R соответствует большее значение Q .
Применим понятие производной для исследования возрастания и
убывания функции.
Теорема 1. Если функция xf , имеющая производную на отрезке
ba, , возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке ba, не
отрицательна, то есть 0 xf .
Теорема 2. Если функция xf непрерывна на ba, и
дифференцируема в промежутке ba, , причем 0 xf для bxa , то эта
функция возрастает на отрезке ba, .
Геометрически: если на ba, функция xf возрастает, то касательная
к кривой xfy в каждой точке на этом отрезке образует с осью Ox угол
: 0tg xf . Если xf убывает на отрезке ba, , то угол наклона
касательной – тупой.
2.2. Максимум и минимум функций
Определение максимума. Функция xf в точке 1x имеет максимум,
если значение функции xf в точке 1x больше, чем ее значение во всех
точках некоторого интервала, содержащего точку 1x . Иначе: функция xf
имеет максимум при 1xx , если 11 xfxxf при любых x
(положительных и отрицательных), достаточно малых по абсолютной
величине.
Определение минимума. Функция xf имеет минимум при 2xx , если
22 xfxxf при любых x – как положительных, так и
отрицательных, достаточно малых по абсолютной величине.
Сформулируем необходимое условие существования экстремума.
Если дифференцируемая функция xfy имеет в точке 1xx
максимум или минимум, то ее производная обращается в нуль в этой точке,
то есть 01 xf . Функция может иметь экстремум (максимум или
минимум) лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная
существует и равна нулю, либо в тех точках, где производная не существует
или бесконечна. Значения аргумента, при которых производная обращается в
нуль, бесконечность или не существует, называются критическими точками.
Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Для
отыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят
все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую
точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции.
Исследование функций в критических точках опирается на следующие
теоремы.
Теорема 3. Достаточные условия существования экстремума.
12
Пусть функция xf непрерывна в некотором интервале, содержащем
критическую точку 1x , и дифференцируема во всех точках этого интервала
(кроме, может быть, самой точки 1x ). Если при переходе слева направо через
эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при 1xx функция
имеет максимум. Если же при переходе через точку 1x слева направо
производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке
минимум.
Правило исследования на экстремум функции xfy :
1. Находим область определения функции.
2. Ищем первую производную функции, т. е. xf .
3. Находим критические значения аргумента x :
а) приравниваем первую производную нулю и находим действительные
корни уравнения 0 xf ;
б) находим значения x , при которых производная xf терпит разрыв.
4. Проверяем, входит ли критическая точка в область определения функции.
5. Исследуем знак производной слева и справа от критической точки.
6. Вычисляем значение функции xf при каждом критическом значении
аргумента.
Исследование на экстремум можно провести с помощью второй
производной.
Теорема 4. Пусть функция xfy определена в некоторой
окрестности точки 0xx , причем 00 xf и выполняется условие: xf
существует и непрерывна в окрестности точки 0xx и 00 xf . Тогда
функция xf имеет в точке 0xx экстремум: если 00 xf , то 0x
является точкой минимума функции, если 00 xf – точка 0x является
точкой максимума функции xf .
Пример 10. Исследовать на максимум и минимум функцию
321 xy .
Решение. 1. Находим область определения функции: 321 xy –
определена на всей числовой оси.
2. Находим первую производную функции:
222232 162131 xxxxxy
.
3. Находим критические значения аргумента x : 0y или
01622 xx ; 01 x ; 12 x ; 13 x .
13
Функция 321 xy определена на всей числовой оси, поэтому точки
1x , 2x , 3x являются критическими, других критических точек нет, так как y
существует всюду.
5. Исследуем знак производной слева и справа от критических точек.
Критические точки делят область определения на интервалы. Проверяем знак
xf в каждом интервале и изображаем схематически:
y + + - -
y
1 0 1 x max
Исследуемая функция имеет одну точку экстремума – точку максимума
0x .
5. Вычислим значение в точке 0x , 10 y . В интервале 0,
функция возрастает, а в интервале ,0 функция убывает.
2.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Введем декартову прямоугольную систему координат и рассмотрим в
ней график кривой заданной функцией xf .
Определение. Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на
интервале ba, , рис. 2, если все точки кривой лежат ниже любой ее
касательной на этом интервале; кривая обращена выпуклостью вниз на
интервале cb, , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на
этом интервале. y
0 a cx b c x
Рис. 2
Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а
обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.
Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее
формы.
Установим признаки, по которым можно было бы судить о
направлении выпуклости графика функции xfy на различных
интервалах.
14
Теорема 5. Если во всех точках интервала ba, вторая производная
функции xfy отрицательна, то есть 0 xf , то кривая xfy на этом
интервале обращена выпуклостью вверх (кривая выпукла).
Теорема 6. Если во всех точках интервала cb, 0 xf , то кривая
xfy на этом интервале обращена выпуклостью вниз (кривая вогнута).
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой
от вогнутой, называется точкой перегиба кривой.
Теорема 7. (Достаточные условия того, что данная точка кривой
является точкой перегиба).
Пусть кривая определяется уравнением xfy . Если 0 af или
af не существует и при переходе через значение ax производная xf
меняет знак, то точка кривой с абсциссой ax есть точка перегиба.
Правило исследования на выпуклость, вогнутость, точку перегиба:
1. Находим область определения функции xf .
2. Находим xf .
3. Находим xf .
4. Приравниваем xf к нулю и определяем, где она не существует
или равна . Находим критические точки второго рода.
5. Проверяем, принадлежат ли эти точки области определения
функции, если нет, то их отбрасываем.
6. Проверяем знак xf левее и правее критической точки второго
рода. Если знаки разные, то это точка перегиба. По знаку xf
определяем интервалы выпуклости и вогнутости.
Пример 11. Исследовать на выпуклость, вогнутость, точку перегиба
функцию 31
1
xy .
Решение. 1. Находим область определения функции: 1x , т. е.
,11,x .
2.
46
2
31
3
1
13
1
1
xx
x
xxf .
3.
58
3
41
12
1
134
1
3
xx
x
xxf .
4. 51
12
xxf не может обращаться в ноль, а в точке х = -1
xf .
5. Точка 1x не принадлежит области определения функции, и
поэтому она не может быть точкой перегиба.
Точка 1x делит область определения функции на два интервала:
1, и ,1 .
15
6. В интервале 1, 0 xf , следовательно, функция 31
1
xy
выпукла вверх; в интервале ,1 0 xf , следовательно, функция
31
1
xy выпукла вниз (вогнута). Не имея точек перегиба, кривая
31
1
xy меняет направление выпуклости при переходе x через точку
разрыва 1x .
2.4. Асимптоты
Очень часто приходится исследовать форму кривой xfy , а значит,
и характер изменения соответствующей функции при неограниченном
возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной
точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. Введем понятие
асимптоты кривой.
Определение. Прямая A называется асимптотой кривой, если
расстояние от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении
точки M в бесконечность стремится к нулю.
Различают асимптоты вертикальные (то есть параллельные оси
ординат) и наклонные (то есть не параллельные оси ординат). Для отыскания
вертикальных асимптот нужно найти значения ax , при приближении к
которым функция xfy стремится к бесконечности. Тогда прямая ax
будет вертикальной асимптотой. Наклонная асимптота имеет вид bkxy ,
где x
xfk
x lim ; kxxfb
x
lim .
Пример 12. Найти асимптоты кривой 3
362
x
xxy .
Решение. 1. Прямая 3x для данной функции является вертикальной
асимптотой, так как предел функции равен бесконечности при 3x .
0
6
33
3189
3
36lim
2
3 x
xx
x.
2. Находим вертикальные асимптоты bkxy :
1
31
361
lim3
36limlim
2
2
2
2
x
xx
xx
xx
x
xfk
xxx.
3
33lim
3
336lim
3
36limlim
222
x
x
x
xxxxx
x
xxkxxfb
xxxx
16
33
1
33
lim
x
xx
.
3 xy – вертикальная асимптота. Других асимптот нет, так как при
x значения k и b будут те же самые.
Составим общий план исследования функции и построения графиков.
Для построения графиков функций находим:
1. Область определения функции, точки разрыва, вертикальные асимптоты.
2. Четность функции.
3. Точки экстремума и значения функции в этих точках, интервалы
монотонности.
4. Области выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
5. Наклонные асимптоты.
На основании проведенного исследования строим график функции.
Замечание. Функция xfy называется четной, если при смене знака
y аргумента не изменяется значение функции, то есть xfxf и
наоборот xfy называется нечетной, если при смене знака y аргумента
меняется знак функции, то есть xfxf . График четной функции
симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции
симметричен относительно начала координат.
Пример 13. Исследовать функцию 21 x
xy
и построить ее график.
Решение. 1. Область определения функции , , точек разрыва
нет, вертикальных асимптот нет. Область непрерывности совпадает с
областью определения функции.
2. xfxf – функция нечетная,
22 11 x
x
x
x – график симметричен относительно 0,0O .
3. Исследуем на экстремум:
22
2
22
2
21
1
1
21
1 x
x
x
xxx
x
xy
.
Находим критические точки:
01
122
2
x
x; 01 2 x ; 11 x ; 12 x .
y - + -
y -1 0 1 х
min max
при 1 x 0y – функция убывает,
при 11 x 0y – функция возрастает,
при x1 0y – функция убывает.
17
Находим значение функции в точке 1x и точке 1x .
2
1
11
11
y ;
2
1
11
11
y .
4. Определим области выпуклости, вогнутости и точки перегиба
кривой:
32
32
42
2222
22
2
1
422 1
1
121212
1
1
x
xxxx
x
xxxxx
x
xy
32
2
1
32
x
xx
.
01
3232
2
x
xx; 31 x ; 02 x ; 33 x .
y - + - +
y 3 0 3
при 3 x 0y – кривая выпуклая,
при 03 x 0y – кривая вогнутая,
при 30 x 0y – кривая выпуклая,
при x3 0y – кривая вогнутая.
5. Находим асимптоты кривой: bkxy .
22xx х1
1lim
xx1
xlim
x
xflimk
= 0.
01
0
11
1
lim1
limlim
2
2
x
x
x
xkxxfb
xxx.
0y – асимптота.
Строим график функции: y
2
1
3 1 0 1 3 x
2
1
18
3. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
НА ОТРЕЗКЕ
Наибольшее и наименьшее значения функции связаны с понятием
экстремума функции.
Определение. Максимумом maxy или минимумом miny функции
xfy называются такие ее значения 0xf , для которых имеют место
неравенства 00 xfhxf (для случая максимума) и 00 xfhxf (для
случая минимума) при любых значениях h , положительных и
отрицательных.
Таким образом, в точках максимума (минимума) значение 0xf
больше (соответственно меньше) всех соседних значений функции.
В математическом анализе понятия максимума и минимума
объединяются одним словом «экстремум».
Сформулируем необходимое условие экстремума.
Если функция xfy имеет в точке 0xx максимум и минимум, то
ее производная обращается в нуль в этой точке, т. е. 00 xf .
Корни уравнения 00 xf называются критическими точками
функции xf .
Для определения экстремума в критических точках используют
достаточные условия. Подробно с достаточными признаками экстремума
можно ознакомиться в учебнике [1, с. 159 – 160]. Мы сформулируем правила
исследования на экстремум функции.
1. Находим область определения функции (ООФ).
2. Находим критические точки. Для этого первую производную
приравниваем к нулю ( 0y ) или определяем, в каких точках
производная равна или не существует.
3. Проверяем, принадлежат ли критические точки ООФ. Если нет, то их
отбрасываем.
4. Проверяем знак xy левее и правее критических точек. Если знак
меняется с плюса на минус, то в точке максимум; с минуса на плюс, то эта
точка минимума.
Пример 14. Исследовать на экстремум функцию 3211 xxy .
Решение. 1) ООФ – все действительные числа ( Rx ).
2) Находим критические точки:
15111133122223
xxxxxxxxfy ,
015112
xxx , 11 x , 12 x , 5
13 x .
3) 1x ООФ, 2x ООФ, 3x ООФ.
4) 0 xf , если 1x ; 0 xf , если 1x ;
19
0 xf , если 1x ; 0 xf , если 5
11 x ;
0 xf , если 5
11 x ; 0 xf , если 1
5
1 x .
Значит, в точке 11 x данная функция достигает минимума;
01min fy ; в точке 12 x экстремума нет; в точке 5
13 x – максимум;
3125
34561
5
11
5
1
5
132
max
fy .
Сформулируем правила для нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции xf на отрезке ba ; :
1. Находим ООФ.
2. Проверяем, принадлежат ли ba ; ООФ.
3. Находим критические точки.
4. Проверяем, принадлежат ли они ba ; .
5. Находим значения функции в критических точках, принадлежащих
отрезку ba ; , и на концах ixf , af , bf .
6. Выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Пример 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
5623
23
xxx
y на отрезке 3 ;0 .
Решение. 1) ООФ – все действительные числа;
2) 3 ;0 ООФ;
3) Находим критические точки: 62 xxy ; 062 xx ;
2
24112,1
x ; 31 x ; 22 x
4) 3 ;01x , 3 ;02 x ;
5) 3
122 y ; 50 y ;
2
13 y .
Ответ: 50 yyнаиб ; 3
122 yyнаим .
Пример 16. Тело двигалось со скоростью 1483 ttv . Найти
наибольшую и наименьшую скорость в течение 5 секунд движения.
Решение. Находим производную 483 2 tv и критические точки
4t . Значит, внутри отрезка 5 ;0 имеется только одна критическая точка
4t . При 4t функция v имеет максимум, равный 129, который и дает
наибольшее значение скорости: 129наибv см/с. Вычислим v при 0t и при
5t . Получим соответственно 1 и 116. Следовательно, наименьшее значение
скорости 1наимv см/с; такую скорость тело имеет в начальный момент 0t .
20
4. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
При вычислении предела отношения x
xf
может оказаться, что при
ax числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю или к
бесконечности, то есть являются одновременно бесконечно малыми или
бесконечно большими величинами. Говорят, что в этих случаях мы имеем
дело с неопределенностями вида
0
0 или
. Вычисление предела в этом
случае называется «раскрытием неопределенности» и производится по
правилу Лопиталя.
Правило Лопиталя. Пусть заданы две функции xf и x и
выполняются условия:
1) 0lim
xfax
и 0lim
xax или
xfax
lim и
xaxlim ;
2) они имеют первые производные в окрестности точки ax (за возможным
исключением самой точки a );
3) 0x и 0 x в окрестности точки a ;
4) существует x
xf
ax
lim , тогда существует
x
xf
ax lim и имеет место равенство
x
xf
x
xf
axax
limlim , если этот предел существует конечный или
бесконечный.
Сущность этого правила состоит в том, что в случае
«неопределенностей» вида
0
0 или
вычисление предела отношения
функций, при соблюдении указанных требований, заменяется вычислением
предела отношения их производных, которое в большинстве случаев
оказывается проще.
В случае, когда и отношение производных приводит в
«неопределенностям» вида
0
0 или
, снова применяют правило
Лопиталя.
Пример 17. Найти 152162
825lim
234
23
1
xxxx
xxx
x.
Решение. Если в данную дробь поставить 1 вместо x , то получится
«неопределенность» вида
0
0. Применяя правило Лопиталя, получим:
152162
825lim
0
0
152162
825lim
234
23
1234
23
1xxxx
xxx
xxxx
xxx
xx
21
8
5
21321614
211013
23264
2103lim
23
2
23
2
1
xxx
xx
x.
Пример 18. Найти 2
limx
e x
x .
Решение. Здесь имеет место неопределенность
. Применяем
правило Лопиталя:
2lim
2lim
2limlimlim
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e.
В этом примере правило Лопиталя применили два раза.
Отметим, что правило Лопиталя применяется для раскрытия только
«неопределенностей» вида
0
0 и
. Все остальные виды
«неопределенностей» ( , 0 , 1 , 0 , 00 ) сначала приводятся к
«неопределенностям»
0
0 или
с помощью различных преобразований,
а затем применяется правило Лопиталя.
Раскрытие «неопределенности» :
Если
xfax
lim и
xaxlim , то для определения предела
xxfax
lim надо преобразовать разность xxf к виду
xxf
xfxxxf
1
11
, тогда
0
0
1
11
limlim
xxf
xfxxxf
axax
и раскрываем по правилу Лопиталя.
Пример 19. Найти
1
1
1
2lim
21 xxx.
Решение. Если в данную дробь поставить 1 вместо x , то получится
«неопределенность» . Выражение, стоящее в скобках, приводим к
общему знаменателю и получаем:
1x
1x2lim
1x
1x2lim)(
1x
1
1x
2lim
21x21x21x
=
1x
x1lim
21x
=
0
0=
)1x(
)x1(lim
21x
=
2
1
x2
1lim
1x
Раскрытие «неопределенности» 0 .
Пусть 0lim
xfax
,
xaxlim ;
22
x
xfxxf
1
или
xf
xxxf
1
,
тогда
xf
x
x
xfxxf
axax 1lim
1limlim
,
то есть «неопределенность» вида 0 может быть сведена к
«неопределенности» вида
0
0 или
.
Пример 20. Найти xxx
lnlim 3
0
.
Решение. При 0x xln , а 3x – величина бесконечно малая,
поэтому здесь имеет место «неопределенность» вида 0 .
0
3lim
3
1lim
1
lnlim
1
lnlim0lnlim
3
0403030
3
0
x
x
x
x
x
x
xxx
xxxxx.
«Неопределенности» вида 1 ; 0 ; 00 .
«Неопределенности» этих видов сводятся к «неопределенности» вида
0 , которая была рассмотрена выше. Это достигается с помощью
тождества.
xfxxexf ln
; ( 0xf ),
тогда xfxxfx
ax
x
ax
axeexflnlim
lnlimlim
и все сводится к нахождению
предела xfxax
lnlim .
Пример 21. Найти
x
x x
3coslim .
Решение.
1
3coslim
x
x x;
xx
x
ex
3cosln3
cos , поэтому
xx
xx
x
x
x
xeex
3coslnlim
3cosln
lim3
coslim .
Найдем
2
2
1
33sin
3cos
1
lim0
0
1
3cosln
lim03
coslnlim
x
xxx
x
x
xx
xxx
03
tglim3 xx
.
Окончательно получаем 13
coslim 0
ex
x
x.
23
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
I. Найти производные dy
dx данных функций:
1. а) 3
77
x
xy б)
x
xy
arctg
cos2
в) xy 6sin2
г) xxy
cos ctg д) yyx arcsin2
2. а) 4135 xxy б) xxxy ln5cos 4 в) xy ln5
г) xxy
ln cos д) yxy 2
3. а) 23
2
x
xy
б)
2
2
1
arcsin
x
xy
в) xy 2arcsin
г) xxy
sin ctg д) xey xy sin
4. а) 3
193
4
26
xxy б) 37 arctg xy в) xy 3sinln
г) 5sin
5x
xy д) y
y
x7
5. а)
52
2
1
1
x
xy
б)
xy
x
4cos
4 в)
x
xy
tg2
2cos
г) xxy
lncos д)
y
xx arctg tg
6. а) 163
122
4
xx
xy б) xey
2sin в) x
xy
5
2 arctg
г) xxy
3ln д) xyyx tg5
7. а) 3 3 1
5
x
xy б) xxexy arcsinln в)
x
xy
3sin
cos3
г) xxy
tgarcsin д) x
y
x7arcsin ctg
8. а) 11
5 4
5 5
xx
xy б) 32ln 57 xy в)
xexy 27arctg
г) xxy tg д) 2arctg yxy
9. а) 33
3
1
1
1
1
xx
xy
б) 13cos8 25 xy в) xxy lnarcsin2
г) xxy arctg д)
x
yy ctg3
24
10. а) 3
3sin
7
5xx
xy
б) xxy 2sin tg в)
x
xy
3cos
3 tg
г) xe
xy sin д) yxy ln32
II. Найти dx
dy и
2
2
dx
yd:
11. а) xy 2ctg б) 21 tx ; 12 ty
12. а) xy 5 arccos б) tex 3 ; 19 2 ty
13. а) 2
6xy б) ttx ln ; tty ln
14. а) xxy ln5 б) tx sin2 ; ty 2cos
15. а) xey arcsin б) 47 ttx ; 74ty
16. а) xey x ctg б) tex sin ; tey cos
17. а) xy arcctg б) 12 tex ; 12ln ty
18. а) xy arctg б) tx cosln ; ty sinln
19. а) 21 xxy б) 85 tx ; 85 tty
20. а) xy 3arcsin б) tx 2sin3 ; ty 3cos2
III. Найти наибольшее и наименьшее значения xf на отрезке ba ; :
21. 337 xxf 2 ;1 26. 32 24 xxxf 2 ;0
22. xxx
xf 323
23
2 ;0 27. xxxf cos ;0
23. 1273 xxxf 3 ;0 28. xxxf 42 1 ;0
24. xxxf 44 2 ;1 29. 46
2
3xxxf 0 ;2
25. xxxf2
2sin
2 ;0
30. 2
cosx
xxf
2 ;0
IV. Исследовать методами дифференциального исчисления функции
xfy ; используя результаты исследования, построить ее график:
31. а) 32 23 xxy 36. а) 34 42 xxy
32. а) 112 3 xxy 37. а) 386 xxy
33. а) 52 24 xxy 38. а) 32 23 xxy
34. а) xxxy 1292 23 39. а) 56 24 xxy
35. а) 24 8xxy 40. а) 426 xxy
25
V. Составить уравнения касательной и нормали к кривой xfy в
точке 0xx . Сделать чертеж.
41. xxy 22 , 20 x 46. 24 xxy , 30 x
42. xxy 22 , 00 x 47. 22 xxy , 10 x
43. xxy 42 , 30 x 48. 342 xxy , 10 x
44. xxy 42 , 30 x 49. 21 xy , 10 x
45. 22 xxy , 20 x 50. 342 xxy , 30 x
VI. Найти пределы функций по правилу Лопиталя:
51. а) 30
arctglim
x
xx
x
б)
xx
x
x ln
1
1lim
1
52. а) 2
2lim
33
2
x
x
x б)
xx
x
1 ctglim
0
53. а) x
e x
x sin
1lim
0
б)
xxx
2
sin
2lim
0
54. а) 20
c1lim
x
xos
x
б)
320
sin1lim
x
x
xx
55. а) x
x
x
cosln lim
0 б)
20
1
sin
1lim
xxxx
56. а) x
ee xx
x sinlim
3
0
б)
31 1
3
1
1lim
xxx
57. а) x
x
x ln
1lim
1
б)
xx
e x
x 2sin
1
2sinlim
0
58. а) xe
xex
x
x 2cos
coslim
20
б)
x
xx ctg
2sin
2lim
0
59. а) 31 1
lnlim
x
x
x б)
xxx tg
11lim
0
60. а) 1cos
1lim
2
0
x
e x
x б)
x
x
xx lnln
1lim
1
26
Литература
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.:
Наука, 1985. – 129 с.
2. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. Ефимова Л.В. и
Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1986. – 527 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г. и др. Высшая математика в упражнениях и
задачах: В 2 ч. – М.: Высш. шк., 1986. Ч. 1. – 304 с.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 644 с.
5. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк.,
1986. – 480 с.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Т. 1. – М.: Наука, 1966. – 608 с.