1

Глава 5. Производная и ее приложения

§5.1. Производная и дифференциал

Определение. Производной функции y = f(x) в точке x называют предел

xy

xxfxxf

xx ΔΔ

=Δ

−Δ+→Δ→Δ 0

00

0lim)()(lim .

Если этот предел существует и конечен, то функцию f(x) называют

дифференцируемой в точке x, при этом она непрерывна в этой точке.

Производную обозначают y′, f ′(x), ( )dx

xdfdxdy , . Нахождение производной

называют дифференцированием.

Пусть u(x) и v(x) − дифференцируемые функции, C − константа. Правила

нахождения производных приведены ниже:

1. (u ± v)' = u' ± v'.

2. (uv)' = u'v + uv'; (Cu)' = Cu'.

3. 2vvuvu

vu ′−′

=′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

Cu

Cu ′

=′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

4. f(u(x))'x = fu' ⋅ux'.

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

приведены ниже:

1. ( ) 0=′C ;

2. ( ) ( ) 21 11;

21;,

xxxxaaxx aa −=

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

′∈=

′ − R .

3. ( ) ( ) xxxx eeaaa =′

=′ ;ln .

4. ( ) ( )x

xax

xa1ln;

ln1log =′=′ .

2

5. ( ) ( ) ( ) ( )x

xx

xxxxx 22 sin1ctg;

cos1tg;sincos;cossin −=′=′−=′=′ .

6. ( ) ( ) ( ) 222 11arctg;

11arccos;

11arcsin

xx

xx

xx

+=′

−−=′

−=′ .

Особое внимание следует уделить правилу 4 дифференцирования

сложной функции. В частности, любую формулу из таблицы производных

можно переписать, заменив аргумент x на функцию u(x):

(e u)' = e u⋅u'; (u n)' = nu n−1⋅u' и т.д.

Примеры

1. xy2sin2= ; ( ) xxxy xx cossin22ln2sin2ln2

22 sin2sin ⋅⋅=′

⋅=′ .

2. y = lnarcsin(2x); ( ) ( )( ) =′⋅=′ xx

y 2arcsin2arcsin

1

( ) ( )( )xx

xxx 2arcsin41

2241

12arcsin

122 ⋅−

=′⋅−

⋅= .

3. y = x lnx.

Эту функцию нельзя дифференцировать ни как степенную, поскольку

показатель степени a = lnx не является постоянной величиной, ни как

показательную, поскольку основание степени a = x − переменная величина.

Поэтому логарифмируем обе части

lny = ln x lnx = lnx⋅lnx = ln 2x

и находим производные от обеих частей по x (y − функция от x):

xx

yy 1ln2 ⋅=′

,

откуда 1lnln ln2ln2ln2 −⋅=⋅=⋅=′ xx xxxx

xyx

xy .

Геометрический смысл. Угловой коэффициент касательной к графику

функции y = f(x) в точке x = x0 равен значению производной в этой точке. k =

tgϕ = f'(x0). Уравнение касательной в точке M0(x0, y0) имеет вид

y = y0 + f' (x0)(x − x0).

3

y

x

y0

x0

M0

α

Экономическая интерпретация. а) В микроэкономике часто

рассматривают предельные величины. Например, если C = C(q) − зависимость

издержек C произведенной продукции от ее количества q, то предельные

издержки − это издержки для дополнительно произведенной единицы

продукции: qCMC

ΔΔ

= . Предполагая, что величина q изменяется непрерывно

и устремляя Δq к нулю, получаем, что MC = Cq'.

б) При анализе ценовой политики часто применяют понятие

эластичности спроса Eq,p. Если q = f(p) − функция зависимости спроса от

цены товара, то эластичность спроса %100

%100,

⋅Δ

⋅Δ

=

pp

qq

E pq − это относительное

изменение спроса при изменении цены товара на 1%. Часто рассматривают (в

непрерывной модели) предел этой величины при Δp → 0. В этом случае

qpq

E ppq

⋅′=,

выражается через производную q'p и обладает всеми свойствами

эластичности.

Замечание. Формулу для эластичности можно записать в следующем

виде:

Eq,p = p⋅(lnq)',

откуда нетрудно вывести свойства эластичности:

pqpqPqq EEE ,,, 2121+= ;

pqpqpqq EEE ,,, 2121−= .

4

Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки x0. Если нас

интересует поведение функции f(x) при малых отклонениях аргумента x от x0,

то целесообразно ввести новые переменные: Δx = x − x0 и Δy = y − y0, где y0 =

f(x0).

Определение. Дифференциалом dy функции f(x) в точке x0 называют

выражение f '(x0)⋅Δx.

Говорят, что дифференциал − главная, линейная относительно Δx, часть

приращения Δy. Для функции f(x) = x имеем dx = x'Δx = Δx. Отсюда

dy = f '(x0)dx.

Учитывая равенство y' = f '(x) и заменяя x0 на x, получим

df(x) = f '(x)dx.

Например, для функции sinx ее дифференциал в точке x равен dsinx =

cosxdx.

При малых Δx для дифференцируемых функций справедливы

приближенные формулы:

Δy ≈ dy, f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + f '(x0)Δx.

При этом абсолютная погрешность |Δy − dy|, при Δx → 0, является

бесконечно малой более высокого порядка, чем Δx. Если x0 = 0, то Δx = x и

f(x) ≈ f(0) + f '(0)⋅x

при малых |x|.

В частности, для основных элементарных функций получаем

приближенные равенства:

(1 + x)m ≈ 1 + mx, ln(1 + x) ≈ x, e x ≈ 1 + x, sinx ≈ x, tgx ≈ x,

где |x| − достаточно малая величина.

Примеры

1. Если величина |x| недостаточно мала, чтобы применить приближенное

равенство (1 + x) m ≈ 1 + mx, то иногда можно добиться желаемого путем

алгебраических преобразований.

5

Например, 05,501,1502,1502,1255,25 =⋅≈=⋅= .

2. Пусть q = 1 + i − множитель наращения вклада за один год при ставке

процента i, q = (1 + i) t − множитель наращения за t лет. При малых i имеем

ln(1 + i) ≈ i, а так как ( )iqt+

=1ln

ln , то iqt ln

≈ .

3. Пусть h − ежедневный темп инфляции. Это означает, что ежедневно

все цены в среднем увеличиваются в 1 + h раз. Следовательно, за год, при

сохранении инфляции на постоянном уровне, все цены увеличатся в (1 + h) 365

раз. Так как величина h мала, ln(1 + h) ≈ h. Следовательно,

(1 + h) 365 = e 365ln(1 + h) ≈ e 365h.

Если величина h настолько мала, что малой является и величина 365h, то

e 365h ≈ 1 + 365h. Пусть, например, h = 10 −3 (в этом случае 365h = 0,365 не

является малым), тогда 1,001 365 = 1,44025…, e 0,365 = 1,44051…, в то время как

1 + 365h = 1,365, что существенно отличается от первых двух чисел.

4. Распределение налогового бремени. Пусть p − цена продукции, S(p) −

предложение при цене p, D(p) − спрос. Равновесная цена p0 определяется

уравнением

S(p0) = D(p0).

Предположим, что вводится дополнительный налог с производителей в

размере t для каждой единицы продукции. Обозначим Δp = pt − p0 −

изменение равновесной цены, вызванное введением дополнительного налога.

Тогда

( )( ) ( )00

0

pDpSpStp

′−′′

=Δ ,

и затраты потребителя на приобретение единицы продукции увеличатся на

Δp, а доход производителя уменьшится на величину

( )( ) ( )00

0

pDpSpDtpt

′−′′−

=Δ− .

6

Следовательно, налоговое бремя распределится между потребителем и

производителем в отношении ( ) ( )[ ]00 : pDpS ′−′ .

Упражнения

Найти производные следующих функций:

5.1. 4223

35 23 −+−= xxxy .

5.2. ( )2

12 2−=

xy .

5.3. 2

3

xxxy −

= .

5.4. 4

5 2x

xxy += .

5.5. ( )22−= xy .

5.6. ( )33 1+= xy .

5.7. 12 +

=x

xy .

5.8. 11

2

2

−+

=xxy .

5.9. ( )222 +−= xxey x

5.10. xexy 22 −= .

5.11. ( )xxey x cossin −= − .

5.12. 2xey −= .

5.13. xxxy −= ln .

5.14. x

xy ln1+= .

5.15. ( )xy sin1ln += .

5.16. xxy 2sin21sinln −= .

5.17. xxy

2121ln

−+

= .

7

5.18. ( )24ln xxy ++= .

5.19. 21arccos

xxy

−= .

5.20. 21 arctg

xxy

+= .

5.21. xxy 33 cossin += .

5.22. xxxy 3tg3tg3 +−= .

5.23. xx

xy 1arcsin12

+−

= .

5.24. xx

xy coslntg2

+= .

5.25. ( ) xxxxy 44ln4 2 −++−= .

5.26. 14arctg14 −+−= xxy .

5.27. xxy1

= .

5.28. xxy sin= .

5.29. 212log xy

x += .

5.30. xy x tglogsin= .

Решить задачи, используя интерпретацию производной:

5.31. Определить, под каким углом парабола y = x 2 − x пересекает ось

абсцисс.

5.32. Определить, под каким углом кривая 11

2 +−

=xxy пересекает ось ординат.

5.33. Определить, в какой точке касательная к параболе y = x 2 + 3x − 5

параллельна прямой 7x − y + 3 = 0.

5.34. Для функции 243 xxy −+−= найти уравнения односторонних

касательных в угловой точке x = 1 и найти угол между ними.

5.35. Для функции xy 2sin1−= найти уравнения односторонних

касательных в угловой точке x = 0 и найти угол между ними.

8

5.36. Пусть функция себестоимости произведенной продукции имеет вид:

( ) 10002425

2

+++

=q

qqqC . Вычислить предельную себестоимость для q = 2 и

q = 8. Найти lim С' при q → ∞.

5.37. Та же задача для функции ( ) 1000048100

2

+++

=q

qqqC .

5.38. Пусть дана функция среднего дохода ( )qqRAR = , AR = 200 − q. Найти

зависимость дохода от количества реализованной продукции R = R(q) и

функцию предельного дохода MR(q) = R'(q).

5.39. Сохраняя условия предыдущей задачи, положить

2

2

12

qqAR

+= .

5.40. Функция долговременного спроса на мировом рынке нефти имеет вид:

qd = 25,2 − 1,8p, долговременного предложения qs = 15,6 + 0,6p. Найти

эластичность спроса в точке рыночного равновесия.

5.41. Пусть функция кратковременного спроса имеет вид: qd = 18,9 − 0,225p

и кратковременного предложения: qs = 17,4 + 0,15p. Найти эластичность

кратковременного спроса в точке рыночного равновесия.

5.42. Предположим, что ОПЕК принимает решение снизить производство

нефти на 3 млрд баррелей в год. Как изменятся равновесные цены и

эластичности кратковременного и долговременного спроса?

Решить задачи на эластичность и ее свойства:

5.43. Для дифференцируемой функции y = f(x) проведем касательную в

данной точке M(x0, y0). Пусть A − точка пересечения касательной и оси

абсцисс, O − начало координат. Обозначим через α (соответственно β) −

острый угол, образуемый касательной AM (соответственно OM) с осью

Ox. Показать, что данная функция эластична (не эластична) в точке M

тогда и только тогда, когда α > β (α < β).

9

5.44. Показать, что функция y = x2 эластична во всех точках. Чему равна ее

эластичность?

5.45. Показать, что степенная функция y = xa эластична в своей области

определения для |a| > 1 и не эластична для |a| <1. Чему равна ее

эластичность?

5.46. Для функции y = x2 − 6x найти все значения аргумента, при которых

она является эластичной.

5.47. Для функции y = ex найти все значения аргумента, при которых она

является эластичной.

5.48. Найти связь между эластичностями двух взаимно обратных функций.

5.49. Используя результаты задачей 47, 48, найти все точки эластичности

функции y = lnx.

5.50. Показать, что функция y = sinx не является эластичной на интервале

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2,

2ππ .

5.51. Показать, что любая выпуклая функция, график которой проходит

через начало координат, является эластичной.

5.52. Показать, что любая вогнутая функция, график которой проходит через

начало координат, не является эластичной.

Решить задачи на дифференциал и приближенные вычисления:

5.53. Обосновать "правило 70": если ежегодно вклад увеличивается на i%, то

время, необходимое для его удвоения, приближенно равно i70 .

5.54. Вычислить приближенно с помощью дифференциала: а) 08,4 ;б)

3 012,8 ; в) 94,8 ; г) sin(π + 0,01); д) ln 0,99; е) e 0,02.

5.55. На сколько процентов увеличится y = x 0,75, если x = 1 увеличится на

2%?

10

5.56. В каком отношении распределится налоговое бремя между

потребителем и производителем, если ( )p

pD 4= , S(p) = 2p − 2, а величина

дополнительного налога мала по сравнению с равновесной ценой?

5.57. В каком отношении распределится налоговое бремя между

потребителем и производителем, если ED (ES) − эластичность спроса

(предложения) при равновесной цене? Как и в предыдущей задаче

предполагается, что дополнительный налог невелик.

5.58. Пусть xa – корень уравнения x 3 + x = a. На сколько увеличится xa, если

a увеличится от 2 до 2,04?

5.59. Пусть y = 3 − 2x – уравнение касательной к графику y = f(x) в точке x0.

Найти дифференциал df(x) в точке x0, если dx = 1.

5.60. Известно, что x ≈ x0 и x 3 − x ≈ 0. С какой точностью выполняется

приближенное равенство x ≈ x0, если равенство x 3 − x ≈ 0 выполняется с

точностью 10−3 и дополнительно известно, что а) x0 = 0; б) x0 = 1.

§5.2. Правило Лопиталя и формула Тейлора

Теорема. Если ( ) ( )lim limx a x a

f x g x→ →

= = 0 или ( ) ( )lim limx a x a

f x g x→ →

= = ∞ , то

( )( )

( )( )

lim limx a x a

f xg x

f xg x→ →

=′′

,

когда последний предел существует.

Это утверждение называется правилом Лопиталя.

Примеры

а) limsin

limcosx

x

x

xex

ex→ →

−= =

0

3

0

312

32 2

32

.

б) lim cos lim sin lim cosx x x

xx

xx

x→ → →

−= = =

0 2 0 0

12 2

12

.

в) 01

1

lim1lnlimlnlim

2000

=−

==→→→

x

x

x

xxxxxx

.

11

г) 01lim

1

limlnlim 1 ===∞→−∞→∞→ axaxax axax

xx

x , a > 0.

д) lim limx x x x

xe e→∞ →∞

= =1 0 .

Приведенные выше примеры демонстрируют применение правила

Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 00

0, ,∞∞

⋅ ∞ . Для раскрытия

неопределенностей вида 1 ∞, 0 0, ∞0 их следует предварительно

прологарифмировать.

Например, предел xx

x1

lim∞→

является неопределенностью вида ∞0. Имеем

01

1

limlnlimlnlim1

===∞→∞→∞→

xxxx

xxx

x. Отсюда получим

1lim 01

==∞→

ex xx

.

Пусть j − годовая процентная ставка, m − число периодов начисления

процентов за год. Если каждый раз проценты начисляют по ставке mj , то

ставку j называют номинальной. Для номинальной ставки j множитель

наращения за t лет равен mt

mj

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +1 . Ежегодный относительный прирост,

соответствующий j, равен m

mji ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 1 − 1 и называется эффективной

процентной ставкой. Зная i, находим ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= 11

1mimj .

Для того чтобы перейти к непрерывным процентам, надо устремить

число периодов m к бесконечности и рассмотреть предел:

( )( ) ( )

( )i

m

im

m

iim

m

m

mm

m+=

−

+⋅−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

∞→∞→∞→1ln1

1ln1

lim1

11lim11lim

2

2

1

1.

12

Следовательно, j = ln(1 + i) при m → ∞. Так как ln(1 + i) ≈ i, то в первом

приближении j ≈ i.

Чтобы получить более точное представление о приближенном

соотношении между обеими ставками, найдем следующий предел по правилу

Лопиталя:

( )( )

limln

lim limi i i

i ii

ii i→ → →

− +=

−+ =

+=

0 2 0 0 21 1 1

12

12 1

12

.

Следовательно, i − j ≈ 12

2i .

При выводе данной формулы мы предположили, что m → ∞, поэтому она

дает удовлетворительный результат лишь при больших m. Например, при m =

12 (ежемесячное начисление процентов) и ставке i = 10% годовых получим

12

0 5%2i = , , тогда как точное значение i − j = 0,431…%.

Пусть f(x) − дифференцируемая функция, f '(x) − ее производная.

Производную от f '(x) обозначают f ''(x), производную от f ''(x) обозначают f

'''(x) и т.д. Результат n-кратного дифференцирования функции f(x)

обозначают f (n)(x) и называют производной порядка n.

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке x0 и некоторой ее

окрестности производные всех порядков до n + 1 включительно. Пусть x –

любое значение аргумента из указанной окрестности x ≠ x0. Тогда между

точками x и x0 найдется точка c такая, что

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )f x f x f x x

f xx

f xn

xf c

nx

nn

nn= + ′ +

′′+ + +

+

++

0 00 2 0

11

2 1Δ Δ Δ Δ

! ! !K ,

где Δx = x − x0.

При x0 = 0 получим частный случай формулы Тейлора – формулу

Маклорена:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

f x f f xf

xf

nx

f cn

xn

nn

n= + ′ +′′

+ ++

++0 0

02

01

21

1

! ! !K .

13

Примеры

1. ( )

e x x x xn

en

xxn c

n= + + + + ++

+12 6 1

2 31K

! !.

2. ( ) ( ) ( )( )( )

ln 12 3 4

1 11 1

2 3 41 2

1

1+ = − + − + + − + −+ +

+ ++

+x x x x x xn

xn c

nn

nn

nK .

3. ( ) ( ) ( ) ( )1 11

21 12+ = + +

−+ +

− − ++x mx

m mx

m m m nn

xm n

! !K

K

( ) ( )( )( ) ( ) 111

!111 +−−+

+−+−−

+ nnm xcn

nmnmmm K .

Формула Тейлора позволяет получать приближенные равенства,

обобщающие приближенные равенства, полученные с помощью

дифференциала:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x x f x f x x

f xx

f xn

xn

n0 0 0

0 2 0

2+ ≈ + ′ +

′′+ +Δ Δ Δ Δ

! !K ,

где Δx – малая величина (случай n = 1 соответствует приближенному

равенству Δy ≈ dy).

При x0 = 0 получим для малых x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f f xf

xf

nx

nn≈ + ′ +

′′+0 0

02

02

! !K .

Например, e x x x e xxc

= + + + +12 6 24

2 34 , где c находится между 0 и x.

Следовательно, e x x xx ≈ + + +12 6

2 3, а ошибка не превосходит e x

x

244 , если x >

0 и не более x 4

24, если x < 0.

Пусть i – эффективная процентная ставка, j – соответствующая

номинальная ставка при непрерывном начислении процентов. Разлагая ln(1 +

i) по формуле Маклорена, получим

( )( )

j i i i ic

= + = − ++

ln 12 3 1

2 3

3 , где 0 < c < i.

14

Отсюда вытекает полученное ранее приближенное равенство j i i≈ −

2

2.

Теперь мы можем оценить величину его ошибки: ошибка равна ( )

ic

3

33 1+, и

следовательно, не превосходит i3

3. Так как реальная процентная ставка

обычно меньше 14%, то i 3 < 3⋅10 −3 и абсолютная ошибка менее 0,001.

Следовательно, относительная ошибка равна ( )

ic

2

33 1+, что менее 1%, если i <

17%.

Предположим, что в банк m раз в течение года через равные интервалы

времени (в конце интервала) вносят равные суммы mR (руб.). Таким образом,

всего за год вносится сумма R. Однако с учетом нарастающих процентов

сумма вклада станет больше чем R. Найдем накопленную к концу года

сумму, считая, что проценты начисляются по номинальной ставке j также m

раз в год. Искомая сумма равна

=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

11

11111

21

mj

mj

mR

mR

mj

mR

mj

mR

mj

mR

m

mm

K

jm

m

kRj

mj

R ,

11⋅=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= ,

где j

mj

k

m

jm

11,

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= - коэффициент наращения. Так как jm

me

mj

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→1lim ,

то предельный коэффициент наращения k ejj

j

∞ =−

,1 (непрерывное

15

поступление взносов и непрерывное начисление процентов). Применяя

приближенное равенство e j j jj ≈ + + +12 6

2 3, получим

k j jj∞ ≈ + +, 1

2 6

2.

Упражнения

5.61. Пусть j – номинальная процентная ставка, m – число периодов

начисления процентов за 1 год, t – время в годах. Тогда mt

mj

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +1 −

множитель наращения за время t. Применяя правило Лопиталя, найти mt

m mj

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→1lim .

Применяя правило Лопиталя, найти пределы:

5.62. 11lim

4

3

1 −−

→ xx

x.

5.63. ( )( )xxxx

ln2lnlim −+∞→

.

5.64. ( )xxxx

arctg2 arctglim −∞→

.

5.65. 2100lim x

xex −

∞→.

5.66. ( ) 21

0coslim x

xx

→.

5.67. x

xx

0lim

→.

5.68. ( )20

1lnlimx

xxx

−+→

.

5.69. 30

sinlimx

xxx

−→

.

5.70. ( )3ln23lim 2

3

2 −−−

→ xxx

x.

5.71. xxx

lnlim 2

0⋅

→.

5.72. xxxx

x sinsintglim

0 −−

→.

16

5.73. ( ) x

xx tg

0sinlim

→.

5.74. 11

1lim −

+

→

xx

xx .

5.75. ( )xe x

x +−

→ 1ln1lim

3

0.

Доказать, что при 0→x следующие бесконечно малые величины

эквивалентны:

5.76. 2

81

2111 xxx −≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+ .

5.77. 62

132 xxxex ≈−−− .

5.78. ( )32

1ln32 xxxx ≈+−+ .

5.79. 6

sin3xxx −≈− .

5.80. 242

cos142 xxx −≈−− .

5.81. Пусть j – номинальная процентная ставка, i – соответствующая

эффективная процентная ставка, m – число периодов начисления

процентов за год. Разлагая функцию 11 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

m

mji по формуле Тейлора в

точке j0 = 0, получить приближенное равенство i ≈ I3(j), где I3(j) –

многочлен третьей степени по j.

5.82. Разлагая по формуле Тейлора функцию ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= 11

1mimj в точке i0 = 0,

получить приближенное равенство j ≈ J3(i), где J3(i) – многочлен третьей

степени по i.

5.83. Продолжение предыдущей задачи. При m = 4 обосновать

приближенное равенство 2

83 iij −≈ .

17

5.84. Обычно в банках за время T от 5 до 20 лет происходит реальное

удвоение первоначального вклада. Разлагая по степеням T1 функцию

TT e2ln

2 = ,

а) получить для процентной ставки i приближенную формулу

2

%%Tm

Tli +≈ ;

б) оценить ее ошибку ( ) 23 Tm

TliTR −−= .

5.85. Разложить в ряд по степеням x до x3 включительно функции: а) xx

−+

11ln ;

б) ( )232ln xx +− ; в) ( )21ln xx ++ ; г) 21

1x−

; д) 211x+

; е) arcsinx; ж) arctgx.

5.86. Разлагая функцию sinx по формуле Маклорена, оценить

относительную ошибку в приближенном равенстве sinx ≈ x, если известно,

что |x| < 0,1.

§5.3. Исследование функции с помощью производной

Возрастание и убывание функции

Определение. а) Функция y = f(x), определенная на интервале (a, b),

возрастает на (a, b), если большему значению аргумента соответствует

большее значение функции. Более точно: для любых x1, x2 ∈ (a, b) из

неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1).

б) y = f(x) убывает на (a, b), если для любых x1, x2 ∈ (a, b) из неравенства

x2 > x1 следует неравенство f(x2) < f(x1) (т.е. большему значению аргумента

соответствует меньшее значение функции).

Теорема. Для того, чтобы дифференцируемая функция f(x) была

возрастающей (убывающей) на интервале (a, b), достаточно, чтобы во всех

точках (a, b) было f '(x) > 0 (f '(x) < 0).

Примеры

1. Исследовать на возрастание и убывание функцию y = x 2e −x.

18

Имеем y' = 2xe −x − x 2e −x = (2x − x 2) e −x. Поскольку e −x > 0 для всех x, то

знак производной y' определяется только первым множителем.

Приравняем производную нулю и найдем ее корни: x1 = 0, x2 = 2.

Полученные корни разбивают ось Ox на три интервала, в каждом из которых

производная сохраняет неизменный знак. Распределение знаков y' показано

на рисунке. Поэтому данная функция убывает на интервалах (−∞, 0) и (2, ∞) и

возрастает на интервале (0; 2).

−

2

− x+

0

2. Рассмотрим зависимость между эластичностью спроса и доходом от

продажи товара.

Совокупный доход R, получаемый фирмой, равен цене товара p,

умноженной на количество реализованного товара q: R(q) = p⋅q. Если цена

товара есть функция от количества, то R(q) = p(q)⋅q. Производная R'(q)

показывает возрастание или убывание дохода при увеличении количества

продаваемого товара.

Рассмотрим частный случай функции p(q), а именно, p = 6 − q. Тогда

R(q) = (6 − q)q = 6q − q 2.

Функция эластичности спроса имеет в этом случае вид:

Ep,q(q) = ( )( )qq

qq

q 61661−=

−=

−− .

Поэтому |Ep,q(q)| > 1, т.е. спрос эластичен, когда 0 < q < 3, и |Ep,q(q)| < 1,

т.е. спрос неэластичен, когда 3 < q ≤ 6.

Имеем R'(q) = 6 − 2q. На интервале (0; 3) R'(q) > 0, т.е. при эластичном

спросе доход растет при снижении цен и продаже дополнительного товара, а

на интервале (3; 6) R'(q) < 0, т.е. при неэластичном спросе при увеличении

продажи товара доход уменьшается.

19

Экстремумы функции

Определение. Точку x0 называют точкой локального максимума

(минимума) функции y = f(x), если существует некоторая окрестность этой

точки, в которой для всех x выполняется неравенство:

f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)).

Точки локального максимума и точки локального минимума называют

точками экстремума.

Теорема (необходимый признак экстремума). Пусть x = x0 − точка

экстремума функции y = f(x), дифференцируемой в некоторой окрестности

точки x0. Тогда f '(x0) = 0.

Определение. Точки, в которых производная обращается в нуль или не

существует, называют критическими точками функции.

Теорема (достаточный признак экстремума). Пусть функция y = f(x)

дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, за исключением, быть

может, самой точки x0, в которой функция определена и непрерывна. Если f

'(x) меняет свой знак при переходе точки x0 с плюса на минус (с минуса на

плюс), то x = x0 − точка локального максимума (минимума) функции f(x).

Примеры

1. Исследовать на экстремум функцию ( )34 xxy −= .

Найдем производную данной функции

3 23 23

344

34

xx

xxxy −

=−

+=′ .

Приравнивая числитель и знаменатель нулю, найдем критические точки

функции: x = 1 и x = 0. Распределение знаков производной показано на

рисунке. Поэтому x = 1 является точкой минимума, а x = 0 не является

экстремумом функции.

−

1

+ x −

0

20

2. Пусть даны функция дохода R(q) = 1000q − q 2 и функция затрат

C(q) = q 3 − 196q 2 + 5248q + 5000,

зависящие от q − количества товара. Найти максимум функции прибыли π(q).

Решение. В курсе микроэкономики формулируют следующее

утверждение: "Для максимизации прибыли необходимо, чтобы предельный

доход равнялся предельным издержкам". Действительно, функция прибыли

равна разности функций дохода и издержек: π(q) = R(q) − C(q). Из

необходимого условия экстремума π '(q) = 0, т.е. R'(q) − C'(q) = 0 или R'(q) =

C'(q).

В нашем случае π(q) = −q 3 + 195q 2 − 4248q − 5000. Ее производная равна

π '(q) = −3q 2 + 390q − 4248. Критические точки: q1=12, q2=118. Легко видеть,

что q1 − точка локального минимума, а q2 − точка максимума, причем π(q1) =

−29624, π(q2) = 565884. Отрицательная прибыль в точке минимума

объясняется тем, что в начале выпуска товаров доход от их продажи бывает

меньше затрат на их производство, включающих капитальные затраты.

3. Оптимизация налогообложения предприятий

Пусть R(q) = 36q − q 2 − доходы, а C(q) = q 2 − 4q + 4 − затраты в

зависимости от количества q товаров. Предположим, что государство вводит

налог t на каждую единицу товара. Каким должен быть этот налог, чтобы

максимизировать налог T со всей реализуемой продукции?

Прибыль после введения налога будет составлять

π(q) = R(q) − C(q) − tq, т.е. π(q) = 40q − 2q 2 −4 − tq.

Для максимизации прибыли должно выполняться необходимое условие

экстремума, т.е. производная функции прибыли по q равна нулю: π'(q) = 0

или 40 − 4q − t = 0. Отсюда t = 40 − 4q. Величина всего налога будет

составлять T = tq = 40q − 4q 2.

Найдем максимум функции T(q). Необходимое условие экстремума T'(q)

= 0, откуда 40 − 8q = 0. Следовательно, q = 5, поэтому t = 20.

21

Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Определение. Функцию f(x) называют выпуклой на промежутке X, если

для любых точек a, b ∈ X и для любого α ∈ [0; 1] выполняется неравенство

f(c) ≤ αf(a) + (1 − α)f(b),

где c = αa + (1 − α)b.

Геометрический смысл данного неравенства состоит в том, что любая

точка (c, f(c)) графика функции f(x) лежит не выше соответствующей точки

отрезка, соединяющего точки (a, f(a)) и (b, f(b)). Иными словами, график

выпуклой функции расположен не выше отрезка, соединяющего любые две

точки графика. Еще говорят, что график выпуклой функции имеет U-

образную форму.

Функцию f(x) называют вогнутой на промежутке X, если функция −f(x)

является выпуклой на X.

Теорема. Дифференцируемая функция y = f(x) является выпуклой

(вогнутой) на интервале (a, b), если для каждой точки x0 этого интервала ее

график расположен выше (ниже) касательной, проведенной в точке с

абсциссой x0.

Теорема (достаточное условие выпуклости). Пусть функция y = f(x)

определена и дважды дифференцируема на интервале (a, b). Тогда если f ''(x)

>0 (f ''(x) < 0) во всех точках (a, b), то функция y = f(x) является выпуклой

(вогнутой) на этом интервале.

Примеры

1. Исследовать на выпуклость функцию 2

2x

ey−

= .

Находим последовательно первую и вторую производные данной

функции: 2

2x

xey−

−=′ , ( ) 22222

222

1xxx

exexey−−−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=′′ . Поскольку знак второй

производной определяется только первым множителем, то распределение

знаков будет таким, как оно показано на рисунке.

22

+

1

+ x −

−1

Поэтому функция является выпуклой на интервалах (−∞, −1) и (1, ∞) и

вогнутой на интервале (−1; 1).

Определение. Точку (x0, f(x0)) называют точкой перегиба функции y =

f(x), если в этой точке выпуклость меняется на вогнутость или наоборот.

В рассмотренном примере такими точками являются точки с абсциссами

x = −1 и x = 1.

2. Пусть 1001100

+−+= Ke

V − функция, выражающая зависимость объема

произведенной продукции от капитальных затрат K. Найдем точки перегиба

этой функции.

Для этого дифференцируем дважды данную функцию.

( )2100

100

1100

+−

+−

+=′

K

K

eeV .

( ) ( )( ) =

+

+⋅++−=′′

+−

+−+−+−+−+−

4100

1001001002100100

1121100

K

KKKKK

eeeeeeV

( )( )

( )( )3100

100100

3100

100100100

11100

112100

+−

+−+−

+−

+−+−+−

+

−=

+

−−=

K

KK

K

KKK

eee

eeee .

Очевидно, что V'' = 0 только, когда K = 100. При этом V'' > 0 при

K ∈ [0; 100) и V'' < 0 при K ∈ (100; ∞). График функции V = V(K) представлен

ниже на рисунке.

23

V

100

K100O

Точка перегиба K = 100 разбивает график функции на две части: слева от

этой точки функция является выпуклой и дополнительные капитальные

затраты приводят к все возрастающему приросту объема выпуска продукции.

Справа же функция является вогнутой и следовательно, каждый

дополнительный рубль капиталовложений будет приводить к все меньшей

отдаче. В этом состоит закон убывающей эффективности

капиталовложений. График такой функции представляет так называемую S-

образную кривую, которая адекватно отражает процессы экономической

динамики для кумулятивных величин.

Общая схема исследования функции

Схема исследования функции и построения ее графика состоит из

следующих основных пунктов:

1. Область определения функции, поведение функции на границе области

определения. Асимптоты. Точки пересечения с осями.

2. Четность, нечетность. Периодичность.

3. Монотонность и экстремумы функции.

4. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

5. График функции с обозначением всех найденных точек и асимптот.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график:

112

−−+

=x

xxy .

24

1. Область определения: x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, ∞). Поведение на границе

области определения:

−∞=−

−+−→ 1

1lim2

01 xxx

x, +∞=

−−+

+→ 11lim

2

01 xxx

x.

Таким образом, x = 1 – вертикальная асимптота. Найдем наклонную

асимптоту. Запишем ее уравнение y = kx + b. Найдем последовательно

неизвестные k и b.

( )( ) 1

11limlim

2

=−

+−==

∞→∞→ xxxx

xxfk

xx.

( )( ) 21

1lim1

1limlim222

=−

+−−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+

=−=∞→∞→∞→ x

xxxxxx

xxkxxfbxxx

.

Таким образом, y = x + 2 – уравнение наклонной асимптоты.

Находим точки пересечения с осями графика данной функции.

Если x = 0, то y = 1. Если же y = 0, то x 2 + x − 1 = 0, так что

{ }6,0;6,12

512,1 −≈

±−=x .

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

3. Находим производную данной функции

( )( ) ( )( ) ( )2

2

2

2

12

11112

−−

=−

−+−−+=′

xxx

xxxxxy .

Находим критические точки x = 0, x =2, затем распределение знаков

первой производной и интервалы возрастания и убывания (см. рисунок).

+

1

+ x−

0 2

−

Таким образом, функция возрастает на интервалах (−∞, 2) ∪ (2, ∞),

убывает на интервалах (0; 1) ∪ (1; 2). Максимум функции: max y(0) = 1 и

минимум: min y(2) = 5.

4. Для исследования функции на выпуклость и вогнутость найдем вторую

производную.

25

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )344

22

12

112

1122122

−=

−−

=−

−−−−−=′′

xxx

xxxxxxy .

Распределение знаков второй производной показано на рисунке.

1

+ x−

Таким образом, функция является вогнутой на интервале (−∞, 1) и

выпуклой на (1, ∞). Поскольку точка x = 1, в которой вогнутость меняется на

выпуклость, не принадлежит области определения функции, то точек

перегиба нет.

5. Используя результаты исследования функции, построим ее график,

отмечая на нем все характерные точки графика и асимптоты.

-8

-6

-4

-20

2

4

6

8

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

Упражнения

Исследовать следующие функции на возрастание и убывание и найти их

экстремумы:

5.87. xxxy 44 23 +−= .

5.88. 434 xxy −= .

5.89. 3 232 xxy −= .

5.90. ( )3 23 2 8−+= xxy .

5.91. 212

xxy

+= .

26

5.92. 2

842

−+−

=x

xxy .

5.93. 4

2

1 xxy+

= .

5.94. 24 xxy −= .

5.95. 4

2 12x

xy −= .

5.96. x

eyx

= .

5.97. 2x

xey−

= .

5.98. 2

2x

ey−

= .

5.99. 21ln xy += .

5.100. xxy ln= .

5.101. x

xyln

= .

5.102. xxy cos+= .

5.103. ( )xy 2cos12 −= .

5.104. ( )π,0,3sinsin3 ∈+= xxxy .

5.105. ( )π,0,ctg2 ∈+= xxxy .

5.106. xxxy arctg22 −−= .

5.107. Для доставки продукции завода N в город A (см. рис.) строят шоссе NP,

соединяющее завод с железной дорогой AB, проходящей через город A.

Стоимость перевозок груза по шоссе вдвое больше, чем по железной

дороге. Найти угол BNP, под которым нужно провести шоссе, чтобы

общая стоимость перевозок продукции завода в город A по шоссе и по

железной дороге была наименьшей.

27

100

N

BP500

A

5.108. Прибыль от производства и реализации товара задается функцией

5001500

3

2

+=

qqP .

Найти объем производства товара q, при котором достигается максимум

прибыли.

5.109. Тот же вопрос для функции 102100q

eqP−

= .

5.110. Предположим, что винодел имеет марочное вино, которое он может

либо продать в данный момент по цене K, либо продолжать хранить и

продать в будущем по более высокой цене. Известно, что цена вина растет

по формуле tKeV = . С другой стороны, он может хранить вырученные

деньги в банке под r процентов (считается, что начисление процентов

происходит непрерывно). Найти момент времени t0, в который выгоднее

всего продать вино. Вычислить t0, если r = 10%.

5.111. Пусть цена участка кедрового леса растет с временем (в годах) по

формуле 353 tV = . Найти оптимальное время порубки, если процентная

ставка равна 8%.

5.112. Пусть ( ) 60008400211 23 ++−= qqqqC − функция полных затрат на

производство q единиц товара, ( ) 21200 qqqR −= − функция дохода от

продажи. Найти максимум прибыли.

5.113. Пусть ( ) 200041003762 23 ++−= qqqqC − функция полных затрат на

производство q единиц товара, ( ) 2500 qqqR −= − функция дохода от

продажи. Найти максимум прибыли.

5.114. Известно, что полный доход и полные издержки монополии задаются

соответственно функциями ( ) ( ) 12000360,1000 22 ++=+−= qqqCqqqR .

28

Государство собирается ввести налог на продукцию этой монополии с

целью максимизации собираемого налога в количестве t с каждой

единицы выпускаемой продукции. Найти величину t и весь

дополнительный налог. Как уменьшится количество выпускаемой

продукции?

В следующих примерах найти интервалы выпуклости и вогнутости,

точки перегиба:

5.115. 1320153 345 +++−= xxxxy .

5.116. 434 xxy += .

5.117. 4

442

2

++−

=x

xxy .

5.118. 2

542

−+−

=x

xxy .

5.119. 212

xxy

+= .

5.120. 4

4+

=x

xy .

5.121. y = x + cosx.

5.122. xeyx

22

2

+=−

.

5.123. y = ln(x 2 − 2x + 2).

Зависимость объема произведенной продукции V от капитальных затрат

K дается следующими функциями (K ≥ 0). Указать интервал изменения K, на

котором выполняется закон убывающей эффективности:

5.124. 1,0100

10−

+= K

K

eeV .

5.125. V = ln(500 + K 3).

Исследовать функции и построить их графики:

5.126. 4224 xxy −+= .

5.127. x

xy 1+= .

29

5.128. x

xy 25 2 −−= .

5.129. 2

11

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=xxy .

5.130. 1+

=xey

x

.

5.131. 2x

xey−

= .

5.132. y = ln(x 2 − 2x + 2).

5.133. ( )xxy cosln+= .

5.134. 21arctg

xxy

+= .

5.135. 21arcsin xy −= .

5.136. xy 2sin1+= .