1 slide slide 第 5 章離散機率分配. 2 slide slide 統計實例...

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第 5 章

離散機率分配

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統計實例花旗銀行是花旗集團的一員，提供多樣化的金融服務。花旗銀行在花旗卡片銀行中心內設置

了許多最先進的自動櫃員機 (ATMs) ，每週 7 天，每天 24 小時為客戶提供服務。花旗銀行的 ATM 不只是提款機，有 80% 左右的交易都是在 ATM 完成的。

因此，花旗銀行定期進行服務產能調查，以分析顧客等候時間及增設自動櫃員機的必要性。

由花旗銀行蒐集的資料顯示顧客到達的時間是一個卜瓦松分配，利用卜瓦松分配，花旗銀行可以計算任何時間到達卡片銀行中心的顧客人數的機率，以決定最適的自動櫃員機數目。

第 5 章離散機率分配第 182 頁

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離散機率分配

.10.10

.20.20

.30.30

.40.40

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

5.1 隨機變數5.2 離散機率分配5.3 期望值與變異數5.4 二項機率分配5.5 卜瓦松機率分配5.6 超幾何機率分配


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隨機變數是實驗結果的數值描述。隨機變數是實驗結果的數值描述。隨機變數是實驗結果的數值描述。隨機變數是實驗結果的數值描述。

隨機變數的可能數值若是有限個數值或一個無限的數隨機變數的可能數值若是有限個數值或一個無限的數列，如列，如 0, 1, 2, ...0, 1, 2, ... ，則稱為，則稱為離散隨機變數離散隨機變數 (discrete (discrete random variable)random variable) 。。

隨機變數的可能數值若是有限個數值或一個無限的數隨機變數的可能數值若是有限個數值或一個無限的數列，如列，如 0, 1, 2, ...0, 1, 2, ... ，則稱為，則稱為離散隨機變數離散隨機變數 (discrete (discrete random variable)random variable) 。。

可指派成一區間或數個區間內的任何數值到一隨機變可指派成一區間或數個區間內的任何數值到一隨機變數，此隨機變數稱為數，此隨機變數稱為連續隨機變數連續隨機變數 (continuous (continuous random variable)random variable) 。。

可指派成一區間或數個區間內的任何數值到一隨機變可指派成一區間或數個區間內的任何數值到一隨機變數，此隨機變數稱為數，此隨機變數稱為連續隨機變數連續隨機變數 (continuous (continuous random variable)random variable) 。。

5.1 隨機變數


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離散隨機變數實例例如，將會計師資格考試視為一個實驗，該考試分為四個項目。令離散隨機變數 x ＝已通過的會計師資格考試項目的數目，則此隨機變數的可能數值為 0, 1, 2, 3 或 4 。

將汽車到達收費站視為一個實驗，令隨機變數 x＝一天內到達收費站的車輛數，則 x 的可能值為 0, 1, 2, ... ，因此 x 為一離散隨機變數，它可能是無窮數列中的任一個值。


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連續隨機變數實例某保險公司正在觀察保戶的來電情況，令 x ＝兩通來電的時間間隔，則此一隨機變數的範圍為 x ≥ 0 。事實上， x 的可能值有無限多個，如 1.26分、 2.751 分、 4.3333 分等。

長達 90 哩的某段公路，緊急救護站位於公路一端，我們定義一隨機變數 x ＝公路上發生意外事件的位置，則 x 為一連續隨機變數，其值的範圍為0 x 90 。

第 5 章離散機率分配第 183-184 頁

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表 5.1 離散隨機變數的例子表 5.2 連續隨機變數的例子

第 5 章離散機率分配第 183.184 頁表 5.1 & 表 5.2

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評註決定隨機變數為離散或連續隨機變數的一種方法是，以一線段代表隨機變數的可能範圍，將隨機變數的可能值視為線段上的點，在線上選擇兩個表示隨機變數值的點，如果兩點間的所有點都是隨機變數的可能值，則該隨機變數為連續變數。


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隨機變數的機率分配隨機變數的機率分配 (probability distribution)(probability distribution) 描述描述不同隨機變數值的機率分配狀況。不同隨機變數值的機率分配狀況。隨機變數的機率分配隨機變數的機率分配 (probability distribution)(probability distribution) 描述描述不同隨機變數值的機率分配狀況。不同隨機變數值的機率分配狀況。

離散隨機變數離散隨機變數 xx 的機率分配是由機率函數的機率分配是由機率函數(probability function)(probability function) 來定義的。來定義的。離散隨機變數離散隨機變數 xx 的機率分配是由機率函數的機率分配是由機率函數(probability function)(probability function) 來定義的。來定義的。


5.2 離散機率分配

1010 1010 SlideSlide

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機率函數記作機率函數記作 ff((xx)) ，機率函數讓我們知道各隨機變數值，機率函數讓我們知道各隨機變數值的出現機率。的出現機率。機率函數記作機率函數記作 ff((xx)) ，機率函數讓我們知道各隨機變數值，機率函數讓我們知道各隨機變數值的出現機率。的出現機率。

離散機率函數的必要條件離散機率函數的必要條件 ::離散機率函數的必要條件離散機率函數的必要條件 ::

ff((xx) ) >> 0 0ff((xx) ) >> 0 0

ff((xx) = 1) = 1ff((xx) = 1) = 1

離散機率分配

第 5 章離散機率分配第 185.186 頁


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離散機率分配實例 DiCarlo 汽車公司根據過去 300 天的銷售狀況得知，有

54 天沒有賣出任何汽車，有 117 天賣出 1 輛汽車，有72 天賣出 2 輛，有 42 天賣出 3 輛，有 12 天賣出4 輛，有 3 天賣出 5 輛。

表 5.3 所示該汽車銷售公司每天銷售汽車數的機率分配。

第 5 章離散機率分配第 185.186 頁表 5.3


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離散機率分配實例機率函數也可以用圖形的方式來表達。圖 5.1 中隨機變數

x 的值列於橫軸，相對應的機率值列於縱軸。

第 5 章離散機率分配第 186 頁圖 5.1


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除了表格和圖形之外，離散隨機變數的機率函數除了表格和圖形之外，離散隨機變數的機率函數 f f ((xx) ) 常用公式來表達。最簡單的例子是離散型均勻機率常用公式來表達。最簡單的例子是離散型均勻機率分配分配 (discrete uniform probability distribution)(discrete uniform probability distribution) 。。

除了表格和圖形之外，離散隨機變數的機率函數除了表格和圖形之外，離散隨機變數的機率函數 f f ((xx) ) 常用公式來表達。最簡單的例子是離散型均勻機率常用公式來表達。最簡單的例子是離散型均勻機率分配分配 (discrete uniform probability distribution)(discrete uniform probability distribution) 。。

離散型均勻機率分配離散型均勻機率分配離散型均勻機率分配離散型均勻機率分配

ff((xx) = 1/) = 1/nnff((xx) = 1/) = 1/nn

其中其中 ::nn = = 隨機變數的可能值個數隨機變數的可能值個數

離散型均勻機率分配



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離散型均勻機率分配實例以丟擲骰子的實驗為例，定義隨機變數 x 為丟擲一骰子

之後出現的點數。因此， n＝ 6 代表可能出現 6 種隨機變數值， x ＝ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ，可定義此隨機變數的機率函數為：

f(x)＝ 1 / 6 　　　 x＝ 1, 2, 3, 4, 5, 6

以下為隨機變數 x 的可能值及其對應的機率。 x f x f ((xx))

1 1/61 1/62 1/62 1/63 1/63 1/64 1/64 1/65 1/65 1/66 1/66 1/6

x f x f ((xx))

1 1/61 1/62 1/62 1/63 1/63 1/64 1/64 1/65 1/65 1/66 1/66 1/6



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離散型均勻機率分配實例另一個例子，假設隨機變數 x 及其離散機率分配如下表所示。

上表的機率分配亦可由如下的公式來定義。

x f x f ((xx))

1 1/101 1/102 2/102 2/103 3/103 3/104 4/104 4/10

x f x f ((xx))

1 1/101 1/102 2/102 2/103 3/103 3/104 4/104 4/10



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5.3 期望值與變異數

隨機變數的期望值隨機變數的期望值 (expected value)(expected value) 或平均數來衡量隨或平均數來衡量隨機變數的中央位置機變數的中央位置 (central location)(central location)隨機變數的期望值隨機變數的期望值 (expected value)(expected value) 或平均數來衡量隨或平均數來衡量隨機變數的中央位置機變數的中央位置 (central location)(central location)

變異數變異數 (variance)(variance) 表示一組資料的分散程度表示一組資料的分散程度變異數變異數 (variance)(variance) 表示一組資料的分散程度表示一組資料的分散程度

標準差標準差 (standard deviation)(standard deviation) 定義為變異數的正平方定義為變異數的正平方根，記作根，記作 σσ 。。標準差標準差 (standard deviation)(standard deviation) 定義為變異數的正平方定義為變異數的正平方根，記作根，記作 σσ 。。

Var(x) = 2 = (x - )2f(x)Var(x) = 2 = (x - )2f(x)

E(x) = = xf(x)E(x) = = xf(x)

第 5 章離散機率分配第 190.191 頁


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期望值與變異數實例以 5.2節 DiCarlo 汽車銷售公司為例，我們來看看汽車銷售數量的期望值是如何計算出來的。

第 5 章離散機率分配第 190 頁表 5.5


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期望值與變異數實例表 5.5 中 xf(x)欄的加總是 1.50 輛。因此可知，雖然每個營業日的汽車銷售量可能是 0, 1, 2, 3, 4 或 5 輛，但長期而言， DiCarlo 汽車公司可以預期每天平均銷售 1.50 輛車。假設該公司每月營業 30 天，則可預期每月平均銷售量為 30 (1.50)＝ 45 輛。

表 5.6 是 DiCarlo 汽車公司日銷售量之機率分配的變異數計算過程。由該表可知其變異數為 1.25 。118.125.1



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期望值與變異數實例



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5.4 二項機率分配二項實驗 (binomial experiment)具有以下四個特性。

3.3. 成功的機率為成功的機率為 pp ，失敗的機率為，失敗的機率為 11－－ pp 。每一試驗的。每一試驗的成功和失敗機率皆維持不變。成功和失敗機率皆維持不變。

3.3. 成功的機率為成功的機率為 pp ，失敗的機率為，失敗的機率為 11－－ pp 。每一試驗的。每一試驗的成功和失敗機率皆維持不變。成功和失敗機率皆維持不變。

4.4. 每一試驗皆獨立。每一試驗皆獨立。4.4. 每一試驗皆獨立。每一試驗皆獨立。

2.2. 每一試驗有兩種可能的結果，我們常以成功每一試驗有兩種可能的結果，我們常以成功(success) (success) 和失敗和失敗 (failure) (failure) 稱之。稱之。

2.2. 每一試驗有兩種可能的結果，我們常以成功每一試驗有兩種可能的結果，我們常以成功(success) (success) 和失敗和失敗 (failure) (failure) 稱之。稱之。

1.1. 由由 nn 個相同的試驗個相同的試驗 (trials) (trials) 所構成的實驗。所構成的實驗。1.1. 由由 nn 個相同的試驗個相同的試驗 (trials) (trials) 所構成的實驗。所構成的實驗。



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二項實驗實例圖 5.2 表示一個包含 8 個試驗的二項實驗的可能結果之一。此圖顯示的是成功 5 次、失敗 3 次的情形。



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二項實驗實例在二項實驗中，我們有興趣的是 n 次試驗中成功的次數。令 x 代表成功的次數， x 的可能值為 0, 1, 2, 3, ... , n 。由於 x 的可能值為有限個，因此 x 為一離散隨機變數。此隨機變數的機率分配稱為二項機率分配 (binomial probability distribution) 。



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二項實驗實例1. 此實驗有 3 個相同的試驗，每一試驗為顧客進入馬丁服飾店。

2. 每一試驗有 2 個實驗結果：顧客購買 ( 成功 ) 或顧客不購買 (失敗 ) 。

3. 每一顧客購買或不購買的機率 (0.3 及 0.7) 假設皆相同。

4. 顧客間買與不買的決策是獨立的。因此，符合二項實驗的特性。



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二項實驗實例例如擲一枚硬幣 5 次，觀察總共出現幾次正面

1. 此實驗包含 5 個相同的試驗，每一試驗為擲一枚硬幣。2. 每一試驗有兩個可能的結果：正面或反面。我們可以定義

正面表示成功，反面表示失敗。3. 對每個試驗而言，出現正面的機率是 p ＝ 0.5 ，出現反面的機率也是 1－ p＝ 0.5 。

4. 每一試驗或丟擲皆彼此獨立，因為每一試驗彼此互不影響。因此，滿足二項實驗的特性。而我們有興趣的隨機變數

x＝ 5 次試驗中正面出現的次數，在本例中， x 的可能值為 0, 1, 2, 3, 4 或 5 。



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二項實驗實例有一保險業務員隨機拜訪 10 個家庭，若該家庭購買保

險，則視為成功事件，不購買保險則視為失敗。依據過去的經驗顯示，家庭會購買保險的機率是 0.10 ，現在看看這是否為二項實驗。我們觀察到：1. 這個實驗含 10 個相同的試驗，每拜訪一個家庭視為一試

驗。2. 每一試驗有兩個可能的結果：家庭會購買保險或不購買

(購買保險為成功，不購買保險為失敗 ) 。3. 對每一家庭而言，購買的機率可假設相同，不購買的機率亦然。購買的機率為 p＝ 0.10 ，而不購買的機率為 1－p＝ 0.90 。

4. 每一試驗彼此隨機獨立，因為被拜訪的家庭是隨機選取的。



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二項實驗實例由於符合二項實驗的特性，故此例是二項實驗。隨機變數

x 為 10 個受訪家庭中購買保險的家庭數，所以 x 的可能值為 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10 。

二項實驗的第 3 個特性又稱為穩定性假設 (stationarity assumption) ，很容易與第 4 個特性 ( 試驗的獨立性 ) 相混淆。我們特別說明如下：以前述的保險業務員為例，若業務員工作了一整天，由於身心相當疲憊，因此拜訪最後一個家庭時，該家庭購買保險的機率降為 0.05 。此時第 3 個特性 (穩定性 ) 將不成立，因此這不是一個二項實驗，但此實驗仍符合第 4 個特性，因為對每一家庭而言，買不買保險是獨立的。



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二項實驗實例在應用二項實驗時，有一數學公式，稱為二項機率函數 (binomial probability function) 。該函數可用來計算 n 次試驗中成功次數 x 的機率，利用第 4 章的機率觀念，我們將以一範例來說明此公式的意義。



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二項實驗實例假設有 3 位顧客走進馬丁服飾店，根據過去的經驗，店經理估計每位顧客購買服飾的機率是 0.30 。那麼請問 3 人中有 2 人會購買的機率是多少？

利用樹狀圖 (見圖 5.3) ，此實驗因每一顧客的決策為買與不買，所以實驗結果有 8 個。令 S 表成功 (購買 )， F 表失敗 ( 不購買 ) ，而我們有興趣的是 3 人中有 2 人購買的實驗結果。接下來檢驗此實驗是否為二項實驗，看看二項實驗的 4 個要求條件是否皆滿足。



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圖 5.3 馬丁服飾店問題的樹狀圖



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二項分配

我們有興趣的是在我們有興趣的是在 n n 次試驗中所發生成功的次數。次試驗中所發生成功的次數。我們有興趣的是在我們有興趣的是在 n n 次試驗中所發生成功的次數。次試驗中所發生成功的次數。

令令 nn 次試驗中有次試驗中有 xx 次成功的實驗結果次數。次成功的實驗結果次數。令令 nn 次試驗中有次試驗中有 xx 次成功的實驗結果次數。次成功的實驗結果次數。



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二項機率分配二項機率函數

其中 : f(x) = n次試驗中 x次成功的機率 n = 試驗的次數 p = 任何一個試驗成功的機率 1－ p = 任何一個試驗失敗的機率

nxppn

xxf xnx ,.....2,1,0,)1()( )(

nxpp

n

xxf xnx ,.....2,1,0,)1()( )(


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( )!( ) (1 )

!( )!x n xn

f x p px n x

( )!( ) (1 )

!( )!x n xn

f x p px n x

!!( )!

nx n x

!!( )!

nx n x

( )(1 )x n xp p ( )(1 )x n xp p

n n 次試驗中有次試驗中有 xx 次成功次成功的任一實驗結果發生的機率的任一實驗結果發生的機率

n n 次試驗中有次試驗中有 xx 次成功次成功的任一實驗結果發生的機率的任一實驗結果發生的機率 n n 次試驗中恰有次試驗中恰有 x x 次成功次成功

的實驗結果數的實驗結果數n n 次試驗中恰有次試驗中恰有 x x 次成功次成功

的實驗結果數的實驗結果數

二項機率分配二項機率函數



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二項機率分配實例回到馬丁服飾店的問題，三位顧客的購買決策的例子。式 (5.6) 可來計算 3 人中有 2 人購買的實驗結果數，也就是 n ＝ 3 次試驗中，出現 x＝ 2 次成功的實驗結果共有幾種。根據式 (5.6) 可得：

式 (5.6) 表示 3 個實驗結果中有 2 次成功。從圖 5.3 中可看出這 3 個實驗結果，分別表示成 (S, S, F), (S, F, S) 及 (F, S, S) 。



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二項機率分配實例利用式 (5.6) 可以得知 3 次成功（購買）的實驗結果數為：

從圖 5.3 可知，只有一個實驗結果是 3 個都成功，以 (S, S, S) 表示。

利用式 (5.6) 可計算 n 次試驗中， x 次成功的實驗結果數。但是如果我們想瞭解 n 次試驗中 x 次成功的機率時，則必須知道每一個實驗結果出現的機率。由於二項實驗中每一個試驗間彼此獨立，因此每一實驗結果發生的機率即為該實驗中各試驗結果出現機率的乘積。



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二項機率分配實例以本例而言，前 2 位顧客購買而第 3 位顧客不購買的機率為

pp (1－ p)

已知每一試驗中購買的機率為 0.30 ，因此前 2 位購買而第 3 位不購買的機率為

(0.30)(0.30)(0.70)＝ (0.30)2(0.70)＝ 0.063其他兩種 2 個成功 1 個失敗的實驗結果發生的機率如下所示。



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二項機率分配實例

由以上可知有 2 個顧客會購買的共有 3 種實驗結果，它們出現的機率皆相同，皆為 0.063。 x 為其他值時亦有此一特點。



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二項機率分配實例在馬丁服飾店的例子中，我們可以計算沒有顧客購買、恰有 1 位購買、恰有 2 位購買，以及 3位都購買的機率，計算結果彙整於表 5.7 ，此即為購買人數的機率分配。圖 5.4 為此機率分配的圖形表示法。



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二項機率分配實例二項機率函數可以應用到任何的二項實驗中，只要符合二項實驗的特性並且知道 n、 p 及 (1－p) 的值，就可以利用式 (5.8) 計算 n 次試驗中 x 次成功的機率。

如果我們將馬丁服飾店的實驗稍做變化，如 10 位顧客而非 3 位顧客，式 (5.8) 的二項機率函數公式仍然適用。假定有一個 n＝ 10, x＝ 4 且 p＝ 0.30 的二項實驗。 10 位來店顧客中恰有 4 位購買的機率是：



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表 5.8 部分的二項機率表



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二項機率分配的期望值與變異數

EE((xx) = ) = = = npnpEE((xx) = ) = = = npnp

Var(Var(xx) = ) = 22 = = npnp(1 (1 pp))Var(Var(xx) = ) = 22 = = npnp(1 (1 pp))

期望值

變異數



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二項機率分配的期望值與變異數實例以馬丁服飾店來客數 3 人為例，我們可以利用式 (5.9) 計算顧客購買的期望人數為：

假設下個月馬丁服飾店的來客數為 1,000 人，則會購買的人數期望值是 μ＝ np＝ (1000)(0.3)＝300 。因此，要增加購買人數的期望值，馬丁服飾店必須設法增加來客數和／或增加來店顧客購買的機率。

EE((xx) = ) = μμ = 3(0.30) = 0.9 = 3(0.30) = 0.9EE((xx) = ) = μμ = 3(0.30) = 0.9 = 3(0.30) = 0.9



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二項機率分配的期望值與變異數實例再以馬丁服飾店為例，若來客數為 3 人，則購買人數的變異數及標準差為：

若來客數為 1,000 人時，則購買人數的變異數與標準差分別為



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評註1. 附錄 B 的二項機率表中， p 值都在 0.50 以下，當 p 值超過 0.50 時即無表可查。然而，我們可以利用 n－ x 個失敗取代 x 個成功，以失敗的機率 1－ p 取代 p 值計算二項機率值。

2. 某些二項機率表是以累積機率的形式表示，使用此種表格時，必須採減法運算以求出所需的機率，如 f (2)＝ P(x ≤ 2)－ P(x ≤ 1) 。在本書中我們直接列出 f (2) 的機率值，因此，如果要計算累積機率值時，必須採加法方式加以處理，如 P(x ≤ 2)＝ f (0)＋ f (1)＋ f (2) 。



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卜瓦松機率分配常用來估計某特定區間或卜瓦松機率分配常用來估計某特定區間或特定空間中，發生某特定事件的次數。特定空間中，發生某特定事件的次數。卜瓦松機率分配常用來估計某特定區間或卜瓦松機率分配常用來估計某特定區間或特定空間中，發生某特定事件的次數。特定空間中，發生某特定事件的次數。

xx 為一離散隨機變數，其可能值為無限數列為一離散隨機變數，其可能值為無限數列( ( xx ＝＝ 0, 1, 2, ... )0, 1, 2, ... ) 。。xx 為一離散隨機變數，其可能值為無限數列為一離散隨機變數，其可能值為無限數列( ( xx ＝＝ 0, 1, 2, ... )0, 1, 2, ... ) 。。

5.5 卜瓦松機率分配



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符合卜瓦松機率分配的隨機變數符合卜瓦松機率分配的隨機變數符合卜瓦松機率分配的隨機變數符合卜瓦松機率分配的隨機變數

洗車場每小時車輛到達的次數洗車場每小時車輛到達的次數洗車場每小時車輛到達的次數洗車場每小時車輛到達的次數

高速公路每高速公路每 1010 哩需要維修的數目；哩需要維修的數目；或每或每 100100 哩管線破損的數目。哩管線破損的數目。高速公路每高速公路每 1010 哩需要維修的數目；哩需要維修的數目；或每或每 100100 哩管線破損的數目。哩管線破損的數目。

卜瓦松機率分配



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2.2. 各區間發生或不發生某特定事件是彼此獨立的。各區間發生或不發生某特定事件是彼此獨立的。2.2. 各區間發生或不發生某特定事件是彼此獨立的。各區間發生或不發生某特定事件是彼此獨立的。

1.1. 任意兩個等長的區間發生特定事件的機率皆相同。任意兩個等長的區間發生特定事件的機率皆相同。1.1. 任意兩個等長的區間發生特定事件的機率皆相同。任意兩個等長的區間發生特定事件的機率皆相同。

卜瓦松機率分配卜瓦松實驗的特性



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卜瓦松機率分配卜瓦松機率函數

f xex

x( )

!

f x

ex

x( )

!

其中： f(x) = 一區間中發生 x 次的機率 μ = 一區間中發生次數的期望值或平均數

e = 2.71828



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卜瓦松分配

尖峰時間發生車禍的機率分配

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

x 發生車禍的次數

f （x ）

4 卜瓦松泊松分配 8

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

f （x ）

x 發生車禍的次數

卜瓦松泊松分配


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卜瓦松機率分配實例假設我們有興趣的是銀行在正常上班時間中，每

15 分鐘駛入汽車櫃員窗口的車輛數。假設在任何相同的時間區間中，車輛到達的機率皆相同且車輛到達與否為獨立事件。在這種情況下便可以應用卜瓦松機率分配。若根據歷史資料發現， 15 分鐘內車輛的平均到達數為 10 輛，則可應用下列機率函數。

隨機變數 x = 15 分鐘內的來車數。!

10)(

10

x

exf

x

!

10)(

10

x

exf

x



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卜瓦松機率分配實例若管理者想要瞭解 15 分鐘內恰有 5 輛車到達的機率，則此時 x＝ 5 可得：

上述機率值是將 μ ＝ 10, x＝ 5 代入式 (5.11) 中計算而得。



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卜瓦松機率分配實例計算每 3 分鐘 1 輛來車的機率。由於 15 分鐘內平均來車數為 10 輛，因此每分鐘平均來車數為 10/15 ＝ 2/3 輛，而每 3 分鐘平均來車為 μ＝ (2/3)(3 分鐘 )＝ 2 輛。因此，3 分鐘內來車 x 輛的機率為

欲求 3 分鐘內 1 輛來車的機率，可利用上述公式



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表 5.9 部分的卜瓦松機率表



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一個包含長度或距離區間的例子假如我們有興趣的是某一段高速公路路段，經重新舖設路面一個月後，發現重要瑕疵的數量。假設在此路段的任何兩個區間中，發現一個瑕疵的機率皆相同，且各區間發現瑕疵與否為獨立事件。因此可以應用卜瓦松分配。

假設每哩在重新舖設路面一個月後，發現重大瑕疵的平均數目為 2 個，則在 3 哩內沒有發現重大瑕疵的機率為何？因為我們有興趣的長度區間為 3 哩，因此 3 哩的平均瑕疵數為 μ ＝ (2 個 /哩 )(3 哩 )＝ 6 個，利用式 (5.11)，f (0)＝ 60e － 6＝ 0.0025 ，可得 3 哩內沒有重大瑕疵數的機率為 0.0025 ，表示在 3 哩內沒有重大瑕疵的可能性非常小。事實上，在 3 哩長的路段裡至少有 1 個重大瑕疵的機率為 1－ 0.0025 ＝ 0.9975 。



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超幾何機率分配超幾何機率分配 (hypergeometric probability (hypergeometric probability distribution)distribution) 與二項機率分配關係相當密切。與二項機率分配關係相當密切。超幾何機率分配超幾何機率分配 (hypergeometric probability (hypergeometric probability distribution)distribution) 與二項機率分配關係相當密切。與二項機率分配關係相當密切。

兩者主要的差別有二，兩者主要的差別有二，兩者主要的差別有二，兩者主要的差別有二，

超幾何分配的各試驗並不獨立超幾何分配的各試驗並不獨立。。超幾何分配的各試驗並不獨立超幾何分配的各試驗並不獨立。。

超幾何分配成功的機率隨試驗而有不同。超幾何分配成功的機率隨試驗而有不同。超幾何分配成功的機率隨試驗而有不同。超幾何分配成功的機率隨試驗而有不同。


5.6 超幾何機率分配


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超幾何實驗

N 母體元素總數隨機抽取 n 樣本數

K 成功的次數 x 成功的次數

N K 失敗的次數抽出不放回 n x 失敗的次數


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超幾何機率分配超幾何機率函數

},min{0,)( nKx

n

N

xn

KN

x

K

xf

},min{0,)( nKx

n

N

xn

KN

x

K

xf

其中：　　 f(x) = n次試驗中 x次成功的機率

n = 試驗的次數 N = 母體大小 K = 母體中成功的個數



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表示從母體總失敗個表示從母體總失敗個數數 NN－－ KK 中，選出中，選出 nn－－ xx 個失敗個失敗

個數的可能組合個數的可能組合

表示從母體總失敗個表示從母體總失敗個數數 NN－－ KK 中，選出中，選出 nn－－ xx 個失敗個失敗

個數的可能組合個數的可能組合表示從母體總成功個表示從母體總成功個數數 KK 中，選出中，選出 xx 個成功個個成功個

數的可能組合數的可能組合表示從母體大小為表示從母體大小為 NN 中，中，選出選出 nn 個樣本的可能組合個樣本的可能組合


超幾何機率分配超幾何機率函數

},min{0,)( nKx

n

N

xn

KN

x

K

xf

},min{0,)( nKx

n

N

xn

KN

x

K

xf


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超幾何機率分配實例品管的例子某家公司生產燈絲， 12 個燈絲包裝成一盒。品管檢驗員隨機從一盒產品中抽出 3 個檢驗。假定該盒恰有 5 個瑕疵品，檢驗員抽出的 3 個燈絲中恰有 1 個是瑕疵品的機率為何？在此例中，n＝ 3且 N＝ 12 ，每盒裡有 r＝ 5 個瑕疪品，要計算抽出的瑕疵品個數 x＝ 1 的機率，計算公式為：

4773.220

)21)(5(

!9!3

!12!5!2

!7

!4!1

!5

3

12

2

7

1

5

)1(

f 4773.220

)21)(5(

!9!3

!12!5!2

!7

!4!1

!5

3

12

2

7

1

5

)1(

f



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超幾何機率分配實例假定我們想知道至少有 1 個瑕疵品的機率。最簡單的方式是先算出沒有瑕疵品的機率， x＝ 0 的機率是

已知沒有瑕疵品的機率 f (0)＝ 0.1591 ，可以求出至少有 1 個瑕疵品的機率是 1－ 0.1591＝0.8409 。因此，至少發現 1 個瑕疵品的機率很高。

1591.220

)35)(1(

!9!3

!12!4!3

!7

!5!0

!5

3

12

3

7

0

5

)0(

f 1591.220

)35)(1(

!9!3

!12!4!3

!7

!5!0

!5

3

12

3

7

0

5

)0(

f



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平均數

變異數

超幾何分配


N

KnXE )(

N

KnXE )(

1)(

N

nN

N

KN

N

KnXVar


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超幾何分配實例燈絲的例子中 n＝ 3, r＝ 5且 N＝ 12 ，所以瑕疵品的平均數及變異數是

標準差是 σ ＝ 0.770.60



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以以 nn 個試驗的超幾何分配而言，令個試驗的超幾何分配而言，令 pp＝＝ ((rr / / NN)) 表示第一次表示第一次試驗的成功機率。試驗的成功機率。以以 nn 個試驗的超幾何分配而言，令個試驗的超幾何分配而言，令 pp＝＝ ((rr / / NN)) 表示第一次表示第一次試驗的成功機率。試驗的成功機率。

如果母體很大，式如果母體很大，式 (5.14)(5.14) 中的中的 ((NN－－ nn)/()/(NN－－ 1)1) 會接近會接近 11 。。如果母體很大，式如果母體很大，式 (5.14)(5.14) 中的中的 ((NN－－ nn)/()/(NN－－ 1)1) 會接近會接近 11 。。

期望值與變異數可以寫成期望值與變異數可以寫成 EE((xx) = ) = npnp, , VarVar((xx) = ) = npnp(1 – (1 – pp)) 。。期望值與變異數可以寫成期望值與變異數可以寫成 EE((xx) = ) = npnp, , VarVar((xx) = ) = npnp(1 – (1 – pp)) 。。

這也是二項分配的期望值與變異數公式。這也是二項分配的期望值與變異數公式。這也是二項分配的期望值與變異數公式。這也是二項分配的期望值與變異數公式。

continued

超幾何分配



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在母體很大時，可以用在母體很大時，可以用 n n 次試驗，每次成功機率次試驗，每次成功機率pp ＝＝ ((rr / / NN) ) 的二項分配來求得超幾何分配的近似值。的二項分配來求得超幾何分配的近似值。在母體很大時，可以用在母體很大時，可以用 n n 次試驗，每次成功機率次試驗，每次成功機率pp ＝＝ ((rr / / NN) ) 的二項分配來求得超幾何分配的近似值。的二項分配來求得超幾何分配的近似值。

超幾何分配



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各分配理論上要求之條件

分配關係圖


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各分配實務上要求之條件

分配關係圖


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End of Chapter 5

1 slide slide 第 5 章 離散機率分配. 2 slide slide 統計實例...

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