1 szilárdságtan-1munkaközijegyzetszt.bme.hu/phocadownload/tantargyak anyagai/2-1... · 1.fejezet...

1

Szilárdságtan-1 munkaközi jegyzetver. 1.0.

Dr. Domokos Gábor előadásjegyzetei alapjánösszeállította Dr. Sipos András Árpád.

Az ábrákat tajzolta: Domokos Réka és Kapsza Enikő.

BME Szilárdságtani és Tartószerkezeti TanszékBudapest, 2007

Tartalomjegyzék

1. Célkitűzések és alapfogalmak 51.1. Szerkezetek modellezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Alapfogalmak intuitív beveztése . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Az anyagegyenlet és a σ − ε diagram . . . . . . . . . . . . . . 101.4. A feszültség általános meghatározása . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Kitérő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1. Síkbeli feszültség állapot . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2. A feszültségi tenzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.3. A T tenzor tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Feszültségek számítása a rúdmodellben 192.1. A rúdmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Központos húzás - rugalmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Központos húzás - képlékeny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Tiszta nyírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5. Ferde metszeteken fellépő feszültségek . . . . . . . . . . . . . . 252.6. Tiszta hajlítás rugalmas alapon . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.1. Egyenes hajlítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6.2. Ferde hajlítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7. Másodrendű nyomatékok tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . 322.7.1. Tengely áthelyezés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7.2. Példa inercia-nyomaték kiszámítására . . . . . . . . . . 352.7.3. Példa σ kiszámítására . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8. A ferde hajlítás összefüggéseinek értelmezése . . . . . . . . . . 362.9. Feszültségábra ferde hajlítás esetén . . . . . . . . . . . . . . . 392.10. Képlékeny hajlítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.10.1. Rugalmas-képlékeny átmenet egyenes hajlítás esetén . . 412.10.2. Rugalmas-képlékeny átmenet a tartó szempontjából . . 41

2.11. Hajlítással egyidejű nyírás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.11.1. Példák a nyírófeszültség számítására . . . . . . . . . . 462.11.2. Nyírási középpont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3

4 TARTALOMJEGYZÉK

2.12. Hajlítás - összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.13. Lineáris szuperpozició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.14. Lineáris szuperpozició elvének alkalmazása . . . . . . . . . . . 512.15. A keresztmetszet pontjainak osztályozása . . . . . . . . . . . . 54

2.15.1. A magidom gyakorlati jelentősége . . . . . . . . . . . . 542.16. Csavarás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1. fejezet

Célkitűzések és alapfogalmak

1.1. Szerkezetek modellezése

A statika tantárgyban csak merev testekből álló szerkezetekről volt szó, ez aközelítés bizonyos esetekben elfogadható, például statikailag határozott szer-kezetek kapcsolati- és belsőerőinek számítására (1.1. ábra), amit a további-akban A típusú feladatnak nevezünk. Más feladatok megoldására azonbanalkalmatlan, ilyen feladat lehet egy statikailag határozott szerkezet elmozdu-lásainak számítása (B típusú feladat), vagy statikailag határozatlan szerke-zetek kapcsolati- és belsőerőinek meghatározása (C típusú feladat). Előfor-dulhat, hogy A típusú feladat esetén a biztonság rovására közelít a modell(A* típusú feladat).

Célunk a modell finomítása annak érdekében, hogy B és C típusú felada-tokat is meg tudjunk oldani és az A* típusú felatatnál korrigálni tudjuk azelemi statikai számítást.

1.2. Alapfogalmak intuitív beveztése

A merev test alakját erő hatására nem változtatja meg. A szilárdságtanbanmerev test helyett szilárd testet vizsgálunk, amelynek ugyan van alakja, de azerő hatására változik. A 1.5. ábrán látható rudat F erővel húzva a rúd meg-nyúlik, a végpont elmozdulását jelölje ∆L! Az összetartozó erő és elmozdulásértékekeket egy grafikonon szoktuk ábrázolni, ezen erő-elmozdulás (F −∆L)diagramok segítségével a szilárd testeket típusokba soroljuk. Rugalmas az atest, melynél az erőhatás elmúltával a deformáció is megszűnik. Képlékenytestnél a deformáció teljes mértékben megmarad, rugalmas-képlékeny esetbenpedig részben megmarad (1.6. ábra). Egyelőre a rugalmas esettel foglalko-zunk, ezen belül is a lineárisan rugalmas testekkel (1.7. ábra). A probléma

5

6 1. FEJEZET. CÉLKITŰZÉSEK ÉS ALAPFOGALMAK

1.1. ábra. A típusú feladat

1.2. ábra. B típusú feladat

1.3. ábra. C típusú feladat

1.2. ALAPFOGALMAK INTUITÍV BEVEZTÉSE 7

1.4. ábra. A* típusú feladat

az, hogy az F−∆L diagram nem az anyagra, hanem a testre jellemző. Célunka rúd hosszának és keresztmetszeti jellemzőinek kiküszöbölése.

1.5. ábra.

1.6. ábra.

Vizsgáljuk meg a lineáris rugót (1.8. ábra)! Jelölje c a rúgó merevségét,ez azt az erőt jelenti, amelynek hatására 1 cm-rel nyúlik meg a rugó:


1.7. ábra.

c = tgα =F

∆L.

1.8. ábra.

Hogyan függ a c rugómerevség a rugó hosszától? Az 1.9. ábra alapjána rövidebb rugó merevebb. A rugó anyagára az ún. fajlagos rugómerevségjellemző, azaz

c = cL.

A c fajlagos rugómerevség az az erő, melynek hatására a rugó kétszeresérenyúlik. c fajlagos rugómerevségből tetszőleges konkrét rugó merevsége kiszá-mítható.

F = c∆L =c

L∆L = c

∆L

L= cε,

1.2. ALAPFOGALMAK INTUITÍV BEVEZTÉSE 9

1.9. ábra.

ahol ε jelöli a fajlagos megnyúlást, ε dimenzió nélküli szám. Ezzel a rúdhosszát kiküszöböltük, a keresztmetszeti jellemzők kiküszöbölése a következőmódon lehetséges.

Tekintsünk a rúd egy szeletét (1.10. ábra), a rudat elemi szálak nyalábja-ként képzeljük el, minden szál egy lineáris rugó. Feltételezzük, hogy az elemiszálak azonos módon nyúlnak meg. Ekkor az

1.10. ábra.

F = cε


egyenlet mindkét oldalát a keresztmetszet A területével osztva kapjukF

A=

c

Aε,

σ = Eε,

ahol σ a FESZÜLTSÉG, E a RUGALMASSÁGI MODULUS, vagy más névenYoung-modulus. A feszültség és a rugalmassági modulus mértékegysége lehetpéldául kN/cm2, N/mm2=MPa, kN/mm2=GPa, ...stb. Ha a feszültséget amegnyúlás függvényében ábrázoljuk (1.11. ábra), akkor egy anyagra jellemződiagramot kapunk. A lineárisan rugalmas anyag egyetlen számadattal (E)jellemezhető, például Eacel=190 - 210 GPa.

1.11. ábra.

1.3. Az anyagegyenlet és a σ − ε diagramA σ = Eε összefüggést nevezzük Hooke-törvénynek1. Nevével ellentétbenez egy axióma, amely valós anyagokra csak korlátozott tartományban és kö-zelítőleg teljesül. A σ − ε összefüggést más axiómákkal is leírhatjuk (pl.:képlékeny viselkedés, lásd később). A σ−ε összefüggést leíró axiómát anyag-egyenletnek, vagy anyagtörvénynek szokták nevezni. Valóságos anyagok σ−εdiagramja zárt alakban (σ = f(ε)) nem adható meg, az ilyen kísérleti diag-ramokat nevezetes pontjaival írjuk le (1.12. ábra).

A Hooke-törvényt jó közelítéssel az Rp arányosági határig lehet használni.Más anyagoknál kevésbé egyértelmű a helyzet, például egy közepes szilárd-ságú beton esetét szemlélteti a 1.13. ábra. Ekkor az I. egyeneshez tartozóE0 kezdeti rugalmassági modulus csak nagyon rövid szakaszon közelíti jólaz anyag viselkedését. Nagyobb intervallumban kapunk jó közelítést, ha ahúrhoz (II. egyenes) tartozó rugalmassági modulust (E) használjuk.

1Robert Hooke, 1653-1703, geometria professzor, Anglia

1.4. A FESZÜLTSÉG ÁLTALÁNOS MEGHATÁROZÁSA 11

1.12. ábra.

1.13. ábra.

A szerkezeti anyagok σ − ε diagramját az 1.14. ábrához hasonlóan más-más tartományban más-más anyagegyenlettel közelíthetjük

1.4. A feszültség általános meghatározása

Az eddigiekben használt feszültség-fogalom nem eléggé általános, hiszen felté-teleztük, hogy a feszültségek egyenletesen oszlanak el a rúd keresztmetszeté-ben és más - hallgatólagos - közelítéseket is tettünk.

Tekintsünk egy rugalmas testet, az egyszerűség kedvéért legyen 2 dimen-ziós (pl.: gumi lepedő) és terheljük egyensúlyi erőrendszerrel (1.15. ábra)!A testet egységnyi vastagságúnak képzeljük. Messünk bele a testbe egy vá-lasztott P pontban egy választott t tengely mentén, ∆A hosszúságban! Ametszet szélei eltávolodnak egymástól, ennek megszüntetésére ∆F erőre van


1.14. ábra.

1.15. ábra.

szükség (1.16. ábra).A tapasztalat azt mutatja , hogy ha ∆A → 0, akkor ∆F → 0, de

∆F

∆A→ ρ,

vagyis a hányados határértéke nem zérus. Ezt a (vektor!) határértéket nevez-zük a P pontban a t irányú metszeten ébredő feszültségnek. A ρ feszültséget- más vektorokhoz hasonlóan - komponensekre bonthatjuk. Nevezetesen a t-vel párhuzamos komponenst nyírófeszültségnek nevezzük és τ -val jelöljük, a

1.5. KITÉRŐ 13

1.16. ábra.

merőleges komponenst normálfeszültségnek nevezzük és σ-val jelöljük (1.17.ábra).

1.17. ábra.

Megjegyzések a feszültség-definícióhoz:

1. A definíció három-dimenziós esetben teljesen analóg, csak nehezebbenszemléltethető.

2. Vegyük észre, hogy ρ a P pont helyzetétől és a t egyenes irányátólegyaránt függ! Egy pontot az ott áthaladó összes irányhoz tartozó ρfeszültségek megadásával lehet jellemezni. Ennek legegyszerűbb módjaegy ρ(n) függvény megadása, ahol n a t irányt jellemző egységnyinormál-vektor. A későbbiekben részletesen tárgyaljuk ezt a függvényt.

3. A 2. megjegyzést jól illusztrálhatjuk a már vizsgált, központosan hú-zott rúd példáján (1.18. ábra).

1.5. Kitérő

1.5.1. Síkbeli feszültség állapot

A 2. megjegyzés szerint a sík egy pontját egy ρ(n) függvénnyel lehet jel-lemzni, ahol

n a vizsgált irány (egység) normálisa,ρ a vizsgált irányú metszeten ébredő feszültség.


1.18. ábra.

A ρ(n) függvény vektor-vektor függvény, ennek legegyszerűbb típusa a ho-mogén lineáris vektor-vektor függvény. Két dimenzióban így néz ki:

a = T · b,ahol T a homogén lineáris vektor-vektor függvény, azaz egy tenzor. Az előzőegyenlet kifejtve

[a1

a2

]=

[t11 t12

t21 t22

] [b1

b2

],

ami a következő egyenletrendszernek felel meg:

a1 = t11b1 + t12b2,

a2 = t21b1 + t22b2.

Hasonlóan a vektorokhoz, a tenzor is megadható koordinátákkal, a tenzorkoordinátái egy mátrixban írhatók le. Ha megváltoztatjuk a koordináta-rendszert, akkor (a vektor koordinátákhoz hasonlóan) a tenzor mátrixa isváltozik, a fizikai tartalom azonban ugyanaz marad.

1.5.2. A feszültségi tenzor

A feszültségi tenzor az [xy] koordináta-rendszerben a következő mátrixszalrendelkezik:

T =

[σx τxy

τyx σy

],

1.5. KITÉRŐ 15

1.19. ábra.

ahol σx, σy az x, illetve y normálisú metszeten ébredő normálfeszültségek,τxy = τyx pedig a nyírófeszültség. Ezek szerint ha bármely, egymásra me-rőleges két metszeten ismertek a feszültségek, akkor tetszőleges irányban kitudom számítani:

ρt= T · nt

.

1.20. ábra.

1.5.3. A T tenzor tulajdonságai

Minden tenzor rendelkezik főirányokkal. A főirányba eső bemenő (n) vek-torhoz tartozó kimenő (ρ) vektor egymással párhuzamos, vagyis ezekben azirányokban a tenzor nem forgat, csak nyújt vagy zsugorít. A főirányokba esőkimenő (ρ) vektorok abszolút értéke a legkisebb, illetve a legnagyobb (1.21.ábra).


1.21. ábra.

A korábbiak szerint a főirányokban τxy = 0 és | σ | a szélső értékeit veszifel. A szélsőértékek közül a nagyobbat σ1-nek, a kisebbet σ2-nek nevezzük. Atenzor működése szemléltethető azáltal, hogy lerajzoljuk az egységkör képét:

1.22. ábra.

A főfeszültségek segítségével megállapítható az anyagban keletkező legna-gyobb igénybevétel. Azokat a görbéket, amelyeknek a főtengelyek az érintői,főfeszültségi trajektóriáknak nevezzük. Egyenletes teherrel terhelt gerenda-tartó esetén például így néznek ki:

1.5. KITÉRŐ 17

1.23. ábra.

2. fejezet

Feszültségek számítása arúdmodellben

2.1. A rúdmodell

A feszültségek meghatározása egy általános test belsejében igen nehéz fel-adat, ezzel a kontinuummechanika foglalkozik. Céljainknak -egyelőre- egyjóval egyszerűbb eset vizsgálata is megfelel. A rúd olyan test, melynek kétmérete elhanyagolható a harmadik mellett. A rúd következő modelljét fog-juk vizsgálni: a rudat merev lapok sorozatának képzeljük (2.1-2.2. ábra).Ez a feltételezés azzal egyenértékű, hogy a rúdtengelyre merőleges metsze-tek síkok maradnak a deformáció után is (Bernoulli-Navier hipotézis). ABernoulli-Navier hipotézis (a Hooke törvényhez hasonlóan) axióma, amelybizonyos határok között jól közelíti a kísérleti méréseket (2.3. ábra).

2.1. ábra.

19

20 2. FEJEZET. FESZÜLTSÉGEK SZÁMÍTÁSA A RÚDMODELLBEN

2.2. ábra.

2.3. ábra.

Szemléltetés:Rugalmas anyag esetén a Bernoulli-Navier rúdmodellt így is elképzelhetjük:

2.4. ábra.

2.2. KÖZPONTOS HÚZÁS - RUGALMAS 21

Feszültségek számításakor egy keresztmetszet-párt vizsgálunk. Háromtípusú egyenletet írhatunk fel:

1. Egyensúlyi egyenlet: a feszültségek (elemi kis rugók) egyensúlyt tarta-nak az igénybevételekkel:

(a)∫

AσdA = F ,

(b)∫

AσdAy = M .

2. Geometriai egyenlet: Bernoulli-Navier hipotézis következtében a ke-resztmetszet sík (2.5. ábra).

2.5. ábra.

Síkbeli esetben: ε = ay + b,Térbeli esetben: ε = ay + bx + c.

3. Anyagegyenlet: a Hooke törvény, azaz σ = Eε.

2.2. Feszültségek számítása központos húzás e-setén

Egyenletek:

1. Egyensúlyi:

(a)∫

AσdA = F ,

(b)∫

AσydA = 0.

2. Geometriai: ε = ay + b.

3. Anyagegyenlet: σ = Eε.


2.6. ábra.

2.7. ábra.

Ismeretlenek: a,b.

Megoldás: Az 1.(a) egyenletbe 3., majd a 2. egyenletet helyettesítve kap-juk:

F =

∫

A

σdA = E

∫

A

εdA = E

∫

A

(ay + b)dA

Átrendezve:

F

E= a

∫

A

ydA + b

∫

A

dA = aSx + bA

Mivel a súlyponti tengelyre a statikai nyomaték zérus (Sx = 0), ezért

F

E= bA, → b =

F

EA

2.3. KÖZPONTOS HÚZÁS - KÉPLÉKENY 23

2.8. ábra.

Az 1.(b) egyenletbe 3., majd a 2. egyenletet helyettesítve kapjuk:

∫

A

σydA = E

∫

A

εydA = E

∫

A

(ay + b)ydA = 0

E

∫

A

ay2dA + E

∫

A

bydA = 0

a

∫

A

y2dA = 0 → a = 0.

Visszahelyetessítéssel:

ε = b =F

EA, σ =

F

A.

Ezt az eredményt korábban már jóval egyszerűbben is felírtuk. Miértjobb ez a bonyolult levezetés? Mert egy MODELL-ből vezettük le, világosanmegfogalmaztuk, hogy melyek az AXIÓMÁK (egyensúly, Bernoulli-Navierhipotézis, Hooke törvény), és ezekből pontos matematikai úton kaptuk a vég-eredményt. Bonyolultabb igénybevételek esetén ugyanezen módszert fogjukhasználni.

2.3. Képlékeny határerő számítása központoshúzás esetén

Képlékeny viselkedés esetén nem a feszültséget keressük (σ = fd mindenütt),hanem a határ-igénybevételt, jelen esetben ez FRd,pl.Egyenletek:

1. Egyensúlyi:

(a)∫

AσdA = FRd,pl,


(b)∫

AσydA = 0.

2. Geometriai: ε = ay + b.

3. Anyagegyenlet: σ = konst! = fd.

Megoldás:∫

A

σdA = fd

∫

A

dA = fdA = FRd,pl.

Megjegyzések. A 2. (geometriai) egyenletet nem használtuk a megoldássorán, hiszen 3. szerint a nyúlások és feszültségek függetlenek. Mindazonáltala Beroulli-Navier hipotézis képlékeny állapotban is érvényes. Hasonló módonnem volt szükségünk az 1.b.) egyenletre, azonban behlyettesítéssel ellenőriz-hető, hogy az a feltétel teljesül. A megoldás szemléltetésére használatos azún. feszültési test, ennek két mérete hosszúság, például [cm] dimenziójú,harmadik mérete [kN/cm2], így térfogata erő, jelen példában [kN] dimenzi-ójú (2.9. ábra).

2.9. ábra.

2.4. Feszültségek számítása tiszta nyírás eseténA tiszta nyírás a hajlítás nélküli nyírást jelenti, például egy szegecs-kötésben(2.10. ábra). A rúdmodell viselkedését a 2.11. ábra szemlélteti. Az anyag-egyenlet nyírási deformációra a Hooke-törvény analógiájára:

τ = Gγ,

ahol G a nyírási rugalmassági modulus. Az összefüggés G és E között

G =E

2 (1 + υ)

alakú, ahol υ a Poisson szám.

Egyenletek:

2.5. FERDE METSZETEKEN FELLÉPŐ FESZÜLTSÉGEK 25

2.10. ábra.

2.11. ábra.

1. Egyensúlyi:∫

AτdA = V .

2. Geometriai: γ = konst! = a.

3. Anyagegyenlet: τ = Gγ.

Megoldás:

V =

∫

A

τdA =

∫

A

GγdA = G

∫

A

adA = aG

∫

A

dA = aGA.

Azaz

a =V

AG= γ es τ =

V

A.

2.5. Ferde metszeteken fellépő feszültségekCsak központos húzás esetén igaz, hogy ha a rúdtengelyre merőleges met-szetek síkok maradnak, akkor a ferde metszetek is síkok maradnak. Ekkortehát alkalmazható a 2.13. ábrán látható modell is. Jelölje A a ferde metszetterületét, azaz

A =A

cos α.


2.12. ábra.

2.13. ábra.

Számítsuk ki a feszültségeket központos húzás esetén az eddigi módszerrel!Egyenletek:

1. Egyensúlyi:

(a) keresztmetszet síkjára merőleges:∫

AσdA = F cos α

(b) keresztmetszet síkjával párhuzamos:∫

AτdA = F sin α

(c) nyomaték:∫

AσudA = 0

2. Geometriai:

(a) ε = au + b

(b) γ = c

3. Anyagegyenlet

(a) σ = Eε

(b) τ = Gγ

2.5. FERDE METSZETEKEN FELLÉPŐ FESZÜLTSÉGEK 27

2.14. ábra.

Megoldás: Az 1.(a), 1.(b) és 1.(c) egyenltekbe rendre a 3., majd a 2. egyen-letek megfelelő tagját helyettesítjük:

F cos α =

∫

A

σdA = E

∫

A

εdA = E

∫

A

(au + b)dA =

= Ea

∫

A

udA + Eb

∫

A

dA = EbA → b =F cos α

EA∫

A

σudA = E

∫

A

εudA = E

∫

A

(au + b)udA =

= Ea

∫

A

u2dA + Eb

∫

A

udA = 0 → a = 0

F sin α =

∫

A

τdA = G

∫

A

γdA = Gc

∫

A

dA =

= GcA → c =F sin α

GA

Visszahelyetessítéssel:

σ =F cos α

A=

F

Acos2 α,

τ =F

Acos α sin α,

tan β =τ

σ=

sin α

cos α= tan α,


vagyis ρ párhuzamos a rúdtengellyel! Hogyan függ σ és τ α értékétől? Ezmár a feszültségi állapot vizsgálata. A normálfeszültségek esetében

dσ

dα=

F

A2 cos α sin α,

dσ

dα= 0 ha α = k

Π

2,

ahol k nemnegatív egész szám. Ez azt jelenti, hogy

ha α = 0◦, akkor σ =F

A,

ha α = 90◦, akkor σ = 0.

A nyírófeszültségekre pedig

dτ

dα= u′v − v′u =

(cos2 α− sin2 α

) F

A,

dτ

dα= 0 ha sin2 α = cos2 α

2 cos2 α = 1 → cos α = +− 1√2

→ α =Π

4+−k

Π

2

ahol k nemnegatív egész szám. Ez azt jelenti, hogy

ha α = 45◦, akkor τ =F

2A,

ha α = −45◦, akkor τ = − F

2A,

ha α = 0◦, akkor τ = 0,

ha α = 90◦, akkor τ = 0.

Figyeljük meg, hogy α = 90◦ esetén σ = τ = 0! Ez egy feszültségmentessík, ρ a rúdtengellyel párhuzamos, a σ és a τ feszültségek a 2.15. ábra szerintváltoznak az α szög függvényében.

Példa gyakorlati hasznosításra: Húzott elem toldásakor, ha ferdén tol-dunk, akkor σ < F/A, tehát a kapcsoló anyag lehet gyengébb az alapanyag-nál. Ugyanakkor nyírásra is méretezni kell (2.16. ábra)!

2.6. Tiszta hajlítás rugalmas alapon

2.6.1. Egyenes hajlítás

Egyenletek:

2.6. TISZTA HAJLÍTÁS RUGALMAS ALAPON 29

2.15. ábra.

2.16. ábra.

2.17. ábra.


2.18. ábra.

1. Egyensúlyi:

(a)∫

AσdA = 0

(b)∫

AσydA = M

2. Geometriai: ε = ay + b

3. Anyagegyenlet: σ = Eε

Megoldás:

∫

A

σdA = E

∫

A

εdA = E

∫

A

(ay + b)dA =

= Ea

∫

A

ydA + Eb

∫

A

dA = EaSx + EbA = EbA = 0 → b = 0,∫

A

σydA = E

∫

A

εydA = E

∫

A

(ay + b)dA =

= Ea

∫

A

y2dA + Eb

∫

A

ydA = Ea

∫

A

y2dA = M → a =M

E∫

Ay2dA

ahol∫

Ay2dA = Ix az inercianyomaték. Így

ε =My

E∫

Ay2dA

, es σ =My∫

Ay2dA

=M

Ix

y.

2.6. TISZTA HAJLÍTÁS RUGALMAS ALAPON 31

2.6.2. Ferde hajlítás

2.19. ábra.

Egyenletek:

1. Egyensúlyi:

(a)∫

AσdA = 0

(b)∫

AσydA = Mx

(c)∫

AσxdA = My

2. Geometriai: ε = ax + by + c

3. Anyagegyenlet: σ = Eε

Megoldás:

∫

A

σdA = Ea

∫

A

xdA + Eb

∫

A

ydA + Ec

∫

A

dA =

= EaSx + EbSy + EcA = EcA = 0 → c = 0

∫

A

σydA = Ea

∫

A

xydA + Eb

∫

A

y2dA + Ec

∫

A

dA =

= EaDxy + EbIx = Mx (2.1)

∫

A

σxdA = Ea

∫

A

x2dA + Eb

∫

A

xydA + Ec

∫

A

dA =

= EaIy + EbDxy = My (2.2)


ahol∫

AxydA = Dxy a deviációs, vagy más néven terelőnyomaték. Az a és b

tényezők meghatározásához a 2.1-2.2 egyenleteket kell megoldani:

a =1

E

−MxDxy + MyIx

IxIy −D2xy

,

b =1

E

MxIy −MxDxy

IxIy −D2xy

.

A feszültségek meghatározására a következő adódik:

σ =−MxDxy + MyIx

IxIy −D2xy

x +MxIy −MxDxy

IxIy −D2xy

y (2.3)

Ha My = 0 és Dxy = 0, akkor σ =Mx

Ix

y, az előző eset.

2.7. Másodrendű nyomatékok tulajdonságai ésszamításuk

Definíció: Ix =∫

Ay2dA, Iy =

∫A

x2dA, Dxy =∫

AxydA.

A definició alapján Ix, Iy > 0, inercianyomaték csak zérus méretű (pont)keresztmetszet esetén lehet zérus.

2.7.1. Tengely áthelyezés

Feladat: Iu meghatározása Ix és A ismeretében.

2.20. ábra.

Megoldás:

2.7. MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK TULAJDONSÁGAI 33

Iu =

∫

A

v2dA =

∫

A

(y − t)2dA =

∫

A

y2dA +

∫

A

t2dA− 2

∫

A

2ytdA =

Ix + t2A− 2tSx = Ix + t2A,

hiszen a súlyponti tengelyre Sx = 0. Átrendezve:

Ix = Iu − t2A.

A Steiner tétel szerint párhuzamos tengelyek közül mindig a súlypontitengelyre a legkisebb az inercianyomaték (2.21. ábra).

2.21. ábra.

2.22. ábra.

Ha nem súlyponti tengelyről (vagy tengelyre) térünk át, akkor 3 tagbóláll az összefüggés(2.22. ábra)!

Iu2 = Iu1 − t21A + t22A = Iu1 + A(t22 − t21

),

azaz ha t1 = t2 akkor Iu1 = Iu2.


A Steiner tétel a deviációs nyomaték (2.23. ábra) esetére:

u = x− x0 v = y − y0∫

A

uvdA =

∫

A

(x− x0)(y − y0)dA =

=

∫

A

xydA− x0

∫

A

ydA− y0

∫

A

xdA + x0y0

∫

A

dA =

= Dxy − x0Sx − y0Sy + x0y0A = Dxy + x0y0A,

hiszen a súlyponti tengelyre Sx = Sy = 0.

2.23. ábra.

2.24. ábra.

A 2.24. ábra alapján Dxy = −Duv = Dξη. A 2.25. ábra alapján szimmet-rikus keresztmetszet esetén:

x1 = −x2 y1 = y2 x1y1 = −x2y2,

dA1x1y1 + dA2x2y2 = 0,

Dxy = 0.

2.7. MÁSODRENDŰ NYOMATÉKOK TULAJDONSÁGAI 35

2.25. ábra.

2.26. ábra.

2.7.2. Példa inercia-nyomaték kiszámítására

Iu =

∫

A

v2dA = b

∫ h

0

v2dv = b

[v3

3

]h

0

=bh3

3,

Ix = Iu − bhh

2

2

=bh3

12,

Iy =hb3

12.


2.7.3. Példa σ kiszámítására

MEd =qdl

2

8=

2 · 48

= 1 kNm = 100 kNcm

Ix =10 · 203

12=

80000

12= 6666, 67 cm4

σmax =100

666610 = 0, 15 kN/cm2

σ(y) =100

6666y = 0, 015y

2.27. ábra.

2.8. A ferde hajlítás összefüggéseinek értelme-zése

A 2.6.2 alpontban szereplő 2.1-2.2 egyenletek az alábbi formában is irhatóak:

EI n = M,

aholE a rugalmassági modulus (skalár),

I a keresztmetszet[

Ix Dxy

Dxy Iy

]tehetetlenségi mátrixa,

n a semleges tengely[

ab

]normálvektora,

2.8. A FERDE HAJLÍTÁS ÖSSZEFÜGGÉSEINEK ÉRTELMEZÉSE 37

M a hajlítónyomaték[

Mx

My

]vektora.

Ezek szerint a ferde hajlítás (lineárisan rugalmas esetben) felfogható egylineáris vektor-vektor függvényként, mely egy n normálvektorhoz egy M nyo-matékvektort rendel hozzá. (A σ-ra vonatkozó képletek bonyolultsága abbólered, hogy bennünket ezen függvény inverze érdekel, amely egy M vektorhozadja meg a semleges tengely n normálisát.) Minden lineáris vektor-vektorfüggvény (tenzor) rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal (lásd még: 1.5.3.alpont):

1. Létezik 2, egymásra merőleges irány, amelyben a tenzor csak a bemenővektor hosszát változtatja meg, irányát nem. Ebből következik, hogy

van olyan [1, 2] koordináta-rendszer, ahol az I mátrix[

I1 00 I2

]alakú.

Ezeket az [1, 2] irányokat főirányoknak nevezzük, az I1, I2 inerciákatpedig főinerciáknak. A főirányok [1, 2] koordináta-rendszerében a terelőnyomaték D12 = 0.

2. Vagy 2 főirány van, vagy végtelen.

Korábban megállapítottuk, hogy szimmetria-tengellyel egybeeső koordináta-rendszerben Dxy = 0. Ezek szerint ez egyben főtengely-koordináta-rendszer.Ha a keresztmetszetnek van 2 olyan szimmetria tengelye, melyek egymásranem merőlegesek, akkor ebből 4 főirány létezése következne, a b.) tulaj-donság alapján azonban akkor minden irány főirány. Ilyen keresztmetszetpéldául minden szabályos poligon (2.28. ábra).

2.28. ábra.

Megjegyzés: Ezek szerint például a négyzet inercianyomatéka mindentengelyre azonos. Ez nem azt jelenti, hogy egy négyzet keresztmetszetű rudategyformán nehéz a 2.29. ábra szerinti a és b tengely körül hajlítani, hanemazt, hogy az általunk használt modell (Bernoulli-Navier hipotézis, Hooke-törvény) nem tud különbséget tenni a szabályos sokszögek és a kör között.

A főtengelyek további tulajdonságai:Az I inercia felírható egy α szög I(α) függvényeként, 2.30. ábra alapján azI(α) függvény a főirányokban veszi fel szélsőértékeit. Mivel a főirányokban


2.29. ábra.

Dxy = 0, ezért a σ-ra levezetett 2.3 képlet jelentősen leegyszerűsödik ilyenkoordináta-rendszerben:

2.30. ábra.

σ =My

Iy

x +Mx

Ix

y,

ami nem más, mint két egyenes hajlítás egymásrahalmozása. Ezek szerintáltalános (ferde) hajlítás esetén két út követhető:

1. Ha a keresztmetszet szimmetrikus, akkor a főirányok ismertek. Cél-szerű az M vektort ebben a koordináta-rendszerben felbontani és afeszültségeket 2 egyenes hajlítás egymásrahalmozásával számolni.

2. Ha a keresztmetszet nem szimmetrikus, és a főirányok más forrásbólnem ismertek, akkor célszerű a 2.3 képletet alkalmazni.

A főirányok helyzete mindig meghatározható a

tan 2ϕ0 =−2Dxy

Ix − Iy

2.9. FESZÜLTSÉGÁBRA FERDE HAJLÍTÁS ESETÉN 39

képletből, amelyben ϕ0 a nagyobbik inerciához tartozó tengely és az 1. fő-tengely közötti szöget jelöli. (Az eredeti tengelyt óramutatóval ellentétesenkell ϕ0-lal elforgatni.)

2.9. Feszültségábra ferde hajlítás eseténTegyük fel, hogy a főtengelyek ismertek. A semleges tengely egyenlete:

Mx

Ix

y +My

Iy

x = 0 → y = −IxMy

IyMx

x

2.31. ábra.

A semleges tengely a feszültségi sík és a keresztmetszet síkjának áthatása(2.31. ábra), ezért a semleges tengelyre merőlegesen vetítve a σ-ábra egyetlenvonal (2.32. ábra). Mivel a súlypontban σ = 0, ezért elvileg elegendő egyetlenσ érték kiszámítása, a többinek illeszkednie kell az egyenesre.

2.10. Képlékeny hajlításEgyenletek:

1. Egyensúlyi:

(a)∫

AσdA = 0

(b)∫

AσydA = Mx

(c)∫

AσxdA = My


2.32. ábra.

2. Geometriai: ε = ax + by + c

3. Anyagegyenlet: σ = sgn(ε)fd

Megoldás: az ún. határvonal egyenlete a 2. egyenletből:

ε = 0 → y = −a

bx− c

b.

Ez egy egyenes, amely nem megy át feltétlenül a súlyponton (2.33. ábra).

2.33. ábra.

Az egyenes egyik oldalán ε > 0, másik oldalán ε < 0, tehát az 1.a és 3.egyenletek felhasználásával

2.10. KÉPLÉKENY HAJLÍTÁS 41

∫

A1

σHdA +

∫

A2

−σHdA = 0

∫

A1

dA +

∫

A2

−dA = 0

A1 = A2

Tehát a határvonal területfelező. A határvonal helyét 1.b és 2. egyenleteksegítségével lehet meghatározni.

2.10.1. Rugalmas-képlékeny átmenet egyenes hajlítás e-setén

Az átmenetet a 2.34. ábra mutatja, a képlékeny tartalék:

100

(MRd,pl

MRd,el

− 1

),

két jellemző keresztmetszet képélkeny tartalékára mutat példát a 2.35.ábra.

2.10.2. Rugalmas-képlékeny átmenet a tartó szempont-jából

Statikailag határozott szerkezet (pl. 2.36. ábra) esetében amennyiben egykeresztmetszet (jelen esetben ez a középső keresztmetszet) teljesen megfolyik,azaz ott képlékeny csukló alakul ki, a szerkezet leszakad.

Statikailag határozatlan szerkezet esetében a 2.37. ábra szerint az n-szerhatározatlan szerkezet állékony maradhat n csukló keletkezéséig.


2.34. ábra.

2.35. ábra.

2.11. Hajlítással egyidejű nyírásNyírás hatására a kezdetben sík keresztmetszetek torzulnak, a Bernoulli-Navier hipotézis nem érvényes. A σ feszültségeket a Bernoulli-Navier mo-

2.11. HAJLÍTÁSSAL EGYIDEJŰ NYÍRÁS 43

2.36. ábra.

2.37. ábra.

dellből vesszük át, ami ellentmondás, a számítás nem "konzisztens". Azértcsínáljuk mégis így, mert más modell alkalmazása lényegesen bonyolultabblenne.

Ha a keresztmetszet nem sík, akkor nincs geometriai egyenlet, nem egykeresztmetszetet vizsgálunk, hanem csak egy elemi hasábot (2.39. ábra).


2.38. ábra.

2.39. ábra.

σ(z) =M(z)

Ix

y

H =

∫

A

σ(z)dA =M(z)

Ix

∫

A

ydA

H + dH =

∫

A

σ(z + dz)dA =M(z + dz)

Ix

∫

A

ydA∫

A

ydA = Sx

dE = τbdz = H + dH −H =Sx

Ix

(M (z + dz)−M(z))

τ =Sx

bIx

M (z + dz)−M(z)

dz=

Sx

bIx

dM

dz=

SxV

bIx

,

ahol τ a vízszintes metszeten fellépő csúsztatófeszültség kN/cm2. Ezt a kép-


letet Zsuravszkij vezette le. A csúsztatóerő:

dE = τbdz =SxV

Ix

dz

E =Sx

Ix

∫

A

V dz

A fajlagos csúsztatóerő:

dE

dz=

SxV

Ix

.

Példa: 2.40. ábrán látható fogazott gerenda egy fogára jutó csusztatóerő:

2.40. ábra.

Efog =

∫ z2

z1

V dzSx

Ix

Melyik keresztmetszet-rész statikai nyomatéka Sx? A 2.41. ábra szerintaz elcsúszni akaró keresztmetszet rész statikai nyomatékát jelöli.

Függőleges metszeten ébredő τ feszültségek.

τyzdzdy = τzydydz

τyz = τzy,

ez a nyírófeszültségek dualitása.V

Ix

konstans a keresztmetszetben, így

τ(y) =V

Ix

Sx(y)

b(y).

Ha b is konstans, akkor τmax Sx,max helyén, azaz a súlypontban ébred.


2.41. ábra.

2.42. ábra.

2.11.1. Példák a nyírófeszültség számítására

• Téglalap:

τ(y) =V

IxbSx(y) = const · b(h− y)

y + h

2= c2 − c1y

2

τmax = c2 =3V

2bh=

3

2τatlag

2.43. ábra.


• Háromszög:

τmax =3V

ch=

3

2τatlag

2.44. ábra.

• Kör:

τmax =4

3

V

r2π=

4

3τatlag

2.45. ábra.

• Összetett szelvények: A τ(y) ábra bármely oldalról (alulról, vagy felül-ről) rajzolható, a megrajzolt szakasz független a továbbiaktól (kivéve asúlypont helyzetét).

• Vékonyfalú szelvények: A τ nyírófeszültség mindig párhuzamos a szel-vény középvonalával.


2.46. ábra.

2.47. ábra.

2.11.2. Nyírási középpont

Nem szimmetrikus keresztmetszeteknél a nyírófeszültségek eredője a kereszt-metszet súlypontjára csavarónyomatékot fejt ki. A nyírási középpont a nyí-rófeszültségek eredőjének helye.

2.48. ábra.

2.12. HAJLÍTÁS - ÖSSZEFOGLALÁS 49

2.12. Hajlítás - összefoglalás

2.49. ábra.


2.13. Lineáris szuperpozició

Legyen y = f(x) = ax, ekkor f(x1)+ f(x2) = f(x1 +x2), hiszen ax1 + ax2 =a(x1 + x2). Ez akkor is igaz, ha a és x vektorok (y skalár):

a =

[a1

a2

]x =

[x1

x2

]y = a · x = a1x1 + a2x2

f(x1) + f(x2) = a1x11 + a2x

12 + a1x

21 + a2x

22 =

= a1

(x1

1 + x21

)+ a2

(x1

2 + x22

)=

=

[a1

a2

] [x1

1 + x21

x12 + x2

2

]= a (x1 + x2) = f (x1 + x2)

Ez a lineáris szuperpozició elve.Példa:

2.50. ábra.

Mk =2F1

3

L

3=

2F1L

9

a =

2

9L

1

9L

x =

[F1

F2

]y = Mk x1 =

[F1

0

]x2 =

[0F2

]

f(x1) + f(x2) = l9(2F1 + F2) = f(x1 + x2)

2.51. ábra.

2.14. LINEÁRIS SZUPERPOZICIÓ ELVÉNEK ALKALMAZÁSA 51

2.14. A lineáris szuperpozició elvének alkalma-zása rugalmas feszültségek számításakor

Eddigi eredmények:

1. σ =F

Aközpontos húzás / nyomás

2. σ =Mx

Ix

y egyenes hajlítás

(σ =Mx

Ix

y +My

Iy

x ferde hajlítás)

Az iménti jelölésekkel:

y = σ a =

1

Ay

Ix

x =

[FM

]x1 =

[F1

0

]x2 =

[0M

]

Így

f(x1

)= ax1,

f(x2

)= ax2.

A feszültségek számítása külpontos húzás/nyomás esetén (egyirányú külpon-tosság):

σ = f(x1 + x2

)= f

(x1

)+ f

(x2

)=

F

A+

Mx

Ix

y.

2.52. ábra.


A semleges tengely egyenlete:

σ = F

(1

A+

ey

Ix

)= 0

1

A= −ey0

Ix

y0 = − Ix

Ae= −i2x

e,

ahol ix jelöli az inerciasugarat. A 2.53. ábra szerint ix =√

y0e. Szélsőesetben y0 = 0 → e = ∞ → F = 0 → tiszta hajlítás. Másik lehetőség,hogy e = 0 → y0 = ∞ → központos húzás/nyomás.

2.53. ábra.

Kétirányú (ferde) külpontosság: σ =F

Aσ =

Mx

Ix

y σ =My

Iy

x

a =

1

Ay

Ixx

Iy

x =

FMx

My

x1 =

F00

x2 =

0Mx

0

x3 =

00

My

2.14. LINEÁRIS SZUPERPOZICIÓ ELVÉNEK ALKALMAZÁSA 53

f (x1) + f (x2) + f (x3) = f (x1 + x2 + x3) =F

A+

Mx

Ix

y +My

Iy

x =

= F

(1

A+

eyy

Ix

+exx

Iy

)

A semleges tengely:

1

A+

eyy

Ix

+exx

Iy

= 0,

tengelymetszetek:

2.54. ábra.

y0 = 0 → xex = −i2y, x0 = 0 → yey = −i2x.

A képlet szimmetrikus, ey és y, illetve ex és x felcserélhetőek (2.55. ábra).

2.55. ábra.


2.15. A keresztmetszet pontjainak osztályozásaA magidom határa azon pontok mértani helye, amelyeken támadó erő eseténa semleges tengely érinti a keresztmetszet konvex burkát. A magidomon belültámadó erő esetén a keresztmetszeten csak egynemű feszültségek ébrednek.

2.56. ábra.

A magidom tulajdonságai:

1. Mindig konvex idom,

2. lehet (részben, vagy egészben) a keresztmetszeten kívül, de mindig akonvex burkon belül van (például: cső keresztmetszet, 2.57. ábra).

2.57. ábra.

Példa: téglalap keresztmetszetDualitás: magidom - határ egyenesének a konvex burok pontja, a magidom-

határ pontjának a konvex burok egyenese felel meg (2.58. ábra).

2.15.1. A magidom gyakorlati jelentősége

A magidom gyakorlati jelentősége csak nyomószilárdsággal rendelkező anya-goknál (pl.: beton, falazat) jelentkezik (2.59. ábra). Ilyen anyagnál 3 esetlehet nyomás esetén:

2.15. A KERESZTMETSZET PONTJAINAK OSZTÁLYOZÁSA 55

2.58. ábra.

2.59. ábra.

1. Ha a döféspont a magidomon belül található, akkor a teljes keresztmet-szet dolgozik, a feszültségek ugyanúgy számíthatók, mint húzó-nyomószilárdsággal egyaránt rendelkező anyagok esetén, azaz rugalmas eset-ben:

σ =Mx

Ix

y +My

Iy

x +F

A.

2. Ha döféspont a keresztmetszeten kívül található, akkor nincs egyensúly.

3. Ha a döféspont a magidomon kívül, de a keresztmetszeten belül van,akkor egy nemlineáris feladot kell megoldani (anyagegyenlet nemline-áris), ekkor nincs szuperpozició. Keressük a dolgozó keresztmetszetrészt azon feltételek mellett, hogy

∑F = 0 és

∑M = 0.

Eddig feltételeztük, hogy ismerjük az igénybevételeket és az ezekből külön-külön számított feszültségekre alkalmaztuk a lineáris szuperpozició elvét. Az


2.60. ábra.

utóbbit azért tehettük (azaz ezért voltak lineárisak az összefüggések), mertaz axiómákból (σ = Eε, ε = ax + by + c) ez következett. Képlékeny esetbenez már nem teljesül (2.61. ábra)!

2.61. ábra.

Akkor sem teljesül, ha rugalmas ugyan az anyag, de nincs húzószilárdsága,hiszen a fél egyenes nem lineáris függvény. Ugyanezért nem teljesül a lineárisszuperpozició elve magukra az igénybevételekre sem (2.62. ábra), ez utóbbivalrészletesen a Szilárdságtan 2 tantárgy foglalkozik.

2.62. ábra.

2.16. CSAVARÁS 57

2.16. Csavarás

A csavarás számítása szükséges lehet egyes szerkezetek egyensúlyának bizto-sítására, például a 2.63. ábrán látható konzol befogási nyomatékát a gerendacsavarási merevsége biztosítja. Általában az ilyen szerkezetek tervezése kerü-lendő! Más szerkezeteknél a szerkezeti elem csavarási merevsége a szerkezetalakváltozását befolyásolja, a 2.63. ábra konzoltartójának lehajlása függ agerenda csavarási merevségétől, ebben az esetben a gerenda elcsavarodásátólaz épület nem szakad le!

2.63. ábra.

Gátolt csavarásról beszélünk, ha külső kényszerek (pl.: megtámasztás)biztosítják a keresztmetszetek sík voltát, gátolatlan csavarás esetén a ke-resztmetszet szabadon kitérhet a síkjából. Gátolt csavarás esetén normál (σ)és nyíró (τ) feszültségek egyaránt ébrednek, gátolatlan csavarás esetén csaknyírófeszültségek ébrednek.

A csavarás esetében a Bernoulli-Navier hipotézis csak kör, vagy körgyürűkeresztmetszetek esetén ad jó közelítést.


2.64. ábra.

Egyenletek rugalmas esetben:

1. Egyensúlyi:

(a)∫

AτdA = 0

(b)∫

AτrdA = T

2. Geometriai: γ = ar.

3. Anyagegyenlet: τ = Gγ.

2.65. ábra.

Megoldás:

T =

∫

A

τrdA =

∫

A

GγrdA =

∫

A

Gγr2dA = Ga

∫

A

r2dA = GaIp

a =T

GIp

γ =Tr

GIp

τ =T

Ip

r

Tel =fv,dIp

R=

R3π

2fv,d.

2.16. CSAVARÁS 59

Az iménti levezetésben szereplő Ip az ún. poláris inercianyomaték, melyeta következő összefüggéssel is számíthatunk:

Ix + Iy =

∫

A

y2dA +

∫

A

x2dA =

∫

A

(x2 + y2

)dA =

∫

A

r2dA = Ip

Egyenletek képlékeny esetben:

1. Egyensúlyi:∫

AτrdA = T

2. Geometriai: γ = ar.

3. Anyagegyenlet: τ = fv,d.

Megoldás:

T =

∫

A

τrdA = fv,d

∫

A

rdA = fv,d

∫ R

0

(∫ 2π

0

rds

)dr =

2R3π

3fv,d.

A csavarás szemléltetésére szolgál a hártya- és a homokkupac analógia.Hártya analógia: a P pont beli esésvonal meredeksége (tan α) arányos

a P ′ pontban csavarás hatására ébredő, rugalmas alapon számított feszült-séggel (2.66. ábra).

2.66. ábra.

Homokkupac analógia: képlékeny esetben (τ = fv,d) a felület mere-deksége konstans. A 2.67. ábra alapján Tpl =

∑Tizi =

∑Aifv,dzi.


2.67. ábra.

1 szilárdságtan-1munkaközijegyzetszt.bme.hu/phocadownload/tantargyak anyagai/2-1... · 1.fejezet...

Documents