1 tangent and velocity problems

El Problema de la Tangente yel Problema de la Velocidad Instantanea

MSc. Daniel G. Camacho

Facultad de IngenierıaUniversidad de Piura

Agosto 2015

I T A S S T U D I O

P I U R E N S I S

MSc. Daniel G. Camacho (Universidad de Piura) Analisis Matematico I (A1) Agosto 2015 1 / 29

I En esta seccion estudiaremos dos problemas que se plantearon losmatematicos y cuya solucion condujo al concepto de lımite.

I El primer problema fue definir cual es la recta tangente a la grafica deuna funcion en un punto dado.

I El segundo problema fue definir que es la velocidad instantanea deun punto con movimiento no uniforme.

Contenido

1 El problema de la tangente

2 El problema de la velocidad

El problema es el siguiente:

El problema de la tangente

Dada una curva como la grafica de una funcion f : R → R, cuya ecuaciones y = f (x), encontrar la ecuacion de la recta tangente a dicha curva en unpunto especificado.

I La ecuacion de la recta tangente queda definida si tenemos un puntode paso de la recta y su pendiente.

I Ya tenemos el punto de paso, ası que el problema es establecer lapendiente.

I Si la curva fuera una circunferencia simplemente trazarıamos laperpendicular al radio. Esto no funciona en una curva arbitraria.

I Podemos considerar que la tangente en un punto de la circunferenciaes la posicion lımite de la secante a traves del punto dado y otropunto que se desplaza sobre dicha circunferencia y se acerca alpunto de tangencia.

Esta es la idea que utilizo Leibniz para definir la recta tangente en un puntodado de una curva arbitraria.

Ejemplo 1

Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la parabola y = x2 en elpunto P(1, 1).

Solucion:

I Tan pronto conozcamos la pendiente m de la recta podremosdeterminar su ecuacion.

I El problema esta en que solo conocemos un punto de paso de larecta.

I Siguiendo la idea planteada anteriormente, escogemos un puntoQ(x, x2) sobre la parabola y calculamos la pendiente de la secanteque pasa por P y Q.

Ejemplo 1

Solucion:

Ejemplo 1

Solucion:

I La pendiente de la secante que pasa por P y Q es

mPQ =x2 − 1x − 1

I La pendiente m de la recta tangente es el lımite de las pendientes delas rectas secantes

m = lımQ→P

mPQ lımx→1

x2 − 1x − 1

I La ecuacion de la recta tangente es entonces

y − 1 = 2(x − 1) o y = 2x − 1.

mPQ =x2 − 1x − 1

m = lımQ→P

mPQ lımx→1

x2 − 1x − 1

y − 1 = 2(x − 1) o y = 2x − 1.

mPQ =x2 − 1x − 1

m = lımQ→P

mPQ lımx→1

x2 − 1x − 1

y − 1 = 2(x − 1) o y = 2x − 1.

Muchas funciones que se encuentran en las ciencias no se describenmediante una ecuacion explıcita; se definen mediante informacionexperimental. En el siguiente ejemplo se indica como estimar la pendientede la recta tangente a la grafica de este tipo de funciones.

Ejemplo 2La unidad de destello (flash) de una camara funciona por elalmacenamiento de carga en un capacitor y su liberacion repentina aldisparar la unidad. Los datos que se muestran describen la carga Q queresta en el capacitor (medida en microcoulombios) en el tiempo t (medidoen segundos despues de que la unidad de destello ha sido apagada). Uselos datos para dibujar la grafica de esta funcion y estime la pendiente dela recta tangente en el punto donde t = 0.04. (La pendiente de la rectatangente representa la corriente electrica que circula del capacitor albulbo del flash (medida en microamperes).)

0.00 100.000.02 81.870.04 67.030.06 54.880.08 44.930.10 36.76

icrocoulombios)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12t (segundos)

I A partir de los puntos P(0.04, 67.03) y R(0.00, 100.00) de la grafica, lapendiente de la recta secante es

mPR =100.00 − 67.03

0.00 − 0.04= −824.25

I La siguiente tabla presenta los resultados para las pendientes deotras secantes.

(0.00, 100.00) −824.25(0.02, 81.87) −742.00(0.06, 54.88) −607.50(0.08, 44.93) −552.50(0.10, 36.76) −504.50

I A partir de los puntos P(0.04, 67.03) y R(0.00, 100.00) de la grafica, lapendiente de la recta secante es

mPR =100.00 − 67.03

0.00 − 0.04= −824.25

I La siguiente tabla presenta los resultados para las pendientes deotras secantes.

(0.00, 100.00) −824.25(0.02, 81.87) −742.00(0.06, 54.88) −607.50(0.08, 44.93) −552.50(0.10, 36.76) −504.50

I En base a esta tabla podemos afirmar que la pendiente de la rectatangente en t = 0.04 se encuentra entre -742 y -607.50.

I Una aproximacion a la pendiente de la recta tangente la obtenemospromediando las pendientes de las secantes mas proximas

m ≈12

(−742 − 607.5) = −674.75

I Otro metodo es trazar una aproximacion a la recta tangente en Pformar un triangulo, medir sus lados y estimar la pendiente.

m ≈12

(−742 − 607.5) = −674.75

m ≈12

(−742 − 607.5) = −674.75

Contenido

1 El problema de la tangente

2 El problema de la velocidad

I Vamos a investigar la celeridad de un objeto en movimiento.I ¿Como podemos ver con claridad que esta haciendo un objeto en

movimiento?I Podrıamos hacer una “pelıcula” del objeto moviendose, supongamos,

a lo largo de una recta.I Supongamos que la camara toma una foto cada decima de segundo.I Supongamos que lo que vemos es lo que se muestra en la figura

Figura

I Podemos decir que cada decima de segundo el objeto se muevehacia arriba una pulgada. Aparentemente el objeto se mueve a unaceleridad constante de 10 pulgadas por segundo.

I En otra ocasion podrıamos obtener lo que se muestra en la figurasiguiente.

I Podemos decir que cada decima de segundo el objeto se muevehacia arriba una pulgada. Aparentemente el objeto se mueve a unaceleridad constante de 10 pulgadas por segundo.

I En otra ocasion podrıamos obtener lo que se muestra en la figurasiguiente.

Figura

I Ahora el objeto avanza 2 pulgadas entre cada foto. El objeto tieneuna celeridad constante de 20 pulgadas por segundo.

I ¿Que verıamos si el objeto se mueve con una celeridad variable?, esdecir, el objeto esta acelerado.

I La siguiente figura muestra este caso.

Figura

I Entre la primera y segunda fotografıa el objeto subio una pulgada.Entre la segunda y tercera fotografıa subio 2 pulgadas. Entre latercera y cuarta fotografıa subio 3 pulgadas.

I Podemos observar que cuando la velocidad es constante los puntoscaen sobre una recta mientras que cuando hay aceleracion lospuntos caen sobre una curva.

I Entre la primera y segunda fotografıa el objeto subio una pulgada.Entre la segunda y tercera fotografıa subio 2 pulgadas. Entre latercera y cuarta fotografıa subio 3 pulgadas.

I Podemos observar que cuando la velocidad es constante los puntoscaen sobre una recta mientras que cuando hay aceleracion lospuntos caen sobre una curva.

Pregunta 3Las dos primeras figuras representan objetos moviendose conceleridades constantes. ¿Como podrıa decir, examinando estas figuras,cual objeto se movıa mas rapido? No es necesario utilizar numeros. ¿Esposible decir, a simple vista, cual objeto se mueve mas rapido? Explique.

I Podemos hacer que el objeto registre su propio movimiento. En lasiguiente figura el objeto se mueve hacia arriba y hacia abajo a lolargo de la lınea PQ. Un papel pasa debajo de derecha a izquierda avelocidad constante. El objeto tiene tinta y deja una marca en elpapel. Si el objeto tiene velocidad constante la marca sera una lınearecta.

Figura

Pregunta 4Emparejar las descripciones con los esquemas de la siguiente figura.

(a) Movimiento rapido hacia arriba.

(b) Movimiento lento hacia arriba.

(c) Reposo.

(d) Movimiento lento hacia abajo.

(e) Movimiento rapido hacia abajo.

Figura

Emparejar las descripciones con los esquemas de la siguiente figura.

(a) Parte del reposo y gradualmente adquiere celeridad hacia arriba.

(b) Sube rapidamente inicialmente y gradualmente disminuye suceleridad hasta alcanzar el reposo.

(c) Parte del reposo y gradualmente adquiere celeridad hacia abajo.

(d) Desciende rapidamente al inicio y gradualmente alcanza el reposo.

Figura

I No se requiere un equipo especial si se quiere establecer la conexionentre las curvas y el movimiento.

I Lo mas simple es dibujar primero la curva y luego pasarla detras deuna ranura angosta. Veremos solo una pequena parte de la curva porla ranura y esto nos dara la impresion de un punto subiendo obajando.

I Esto tiene una aplicacion en la Ingenierıa. Si queremos que un objetose desplace de una manera particular podemos hacerlo por medio deuna leva de forma adecuada.

Figura

I Nos planteamos ahora la pregunta: ¿Como calculamos la velocidadde un objeto?

I Supongamos, por ejemplo, que un auto se desplaza a lo largo de uncamino recto. A las dos en punto el muestra 70 kilometros. A las 5 enpunto muestra 220 kilometros. Supongamos tambien que el autoviaja a velocidad constante.

I Podemos responder facilmente. Restamos 70 de 220 y vemos que elauto avanzo 170 kilometros. Restando 2 de 5 vemos que demoro 3horas en recorrer dicha distancia. Dividimos 150 entre 3 y obtenemos50. La velocidad es 50 kilometros por hora.

I Generalizando el problema podemos decir: “A las a horas la distanciarecorrida es p kilometros. A las b horas la distancia recorrida es qkilometros. Encontrar la velocidad 3 en kilometros por hora.”

3 =q − pb − a

I No hay que olvidar que la formula anterior nos da la velocidad si estaes constante.

I ¿Como calcular la velocidad cuando esta es variable?I Para movimientos con velocidad variable la formula anterior solo nos

da la velocidad promedio entre los instantes a y b.I Newton se planteo este problema y lo soluciono con una idea

semejante a la utilizada por Leibniz en el problema de la tangente.I Newton trato de encontrar la velocidad instantanea aproximandola

cada vez mejor mediante un proceso al lımite.

Ejemplo 5Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma de observacionde una torre a 450 m sobre el suelo. Encuentre la velocidad de la pelotadespues de 5 segundos. Se conoce que la distancia recorrida por lapelota despues de t segundos esta dada por la ecuacion

s(t) = 4.9t2.

I En la siguiente tabla se muestran los resultados de calculos develocidades promedio para periodos sucesivamente mas pequenos.

Intervalo de Velocidadtiempo promedio m/s

5 ≤ t ≤ 6 53.95 ≤ t ≤ 5.1 49.49

5 ≤ t ≤ 5.05 49.2455 ≤ t ≤ 5.01 49.0495 ≤ t ≤ 5.001 49.0049

I Existe una relacion ıntima entre el problema de la tangente y el de lavelocidad instantanea.

I Si dibujamos la grafica de la funcion que nos da la distancia recorridapor la pelota y consideramos los puntos P(a, 4.9a2) yQ(a + h, 4.9(a + h)2) de la grafica, entonces, la pendiente de lasecante PQ es

mPQ =4.9(a + h)2 − 4.9a2

(a + h) − a

que es igual a la velocidad promedio en el intervalo de tiempo[a, a + h].

I Por lo tanto la velocidad en el instante t = a debe ser igual a lapendiente de la recta tangente en P.

La resolucion del problema de la tangente y de la velocidad instantanearequiere el calculo de lımites.

mPQ =4.9(a + h)2 − 4.9a2

(a + h) − a

mPQ =4.9(a + h)2 − 4.9a2

(a + h) − a

mPQ =4.9(a + h)2 − 4.9a2

(a + h) − a

Rohde, U. L., Jain, G. C., Poddar, A. K., and Ghosh, A. K. (2012).Introduction to Differential Calculus.John Wiley.

Tarasov, L. V. (1982).Calculus. Basic Concepts for High Schools.MIR.

1 tangent and velocity problems

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