10.1 立體圖形的對稱性質

3B_Ch10(1)

3B_Ch10(2)

10.1 立體圖形的對稱性質

反射對稱A

旋轉對稱B

目錄

3B_Ch10(3)

同一立體的不同摺紙圖樣A

判斷立體的摺紙圖樣B

10.2 立體圖形的摺紙圖樣

目錄

3B_Ch10(4)

從不同角度觀察立體A

根據平面圖像識別立體圖形B

10.3 進一步認識立體的平面圖像

目錄

3B_Ch10(5)

點與線之間的距離A

兩線之間的關係B

兩平面之間的關係C

10.4 立體圖形中的點、線和面

直線與平面之間的關係D

目錄

3B_Ch10(6)

尤拉公式A

正多面體的認識B

10.5 美麗的多面體

目錄

3B_Ch10(7)

A) 反射對稱

目錄 10.1

例題演示


‧ 如果一個立體被一個平面分成兩個部分後，每個部分的形狀和大小都相同，且彼此互為鏡像，則該立體稱為具反射對稱性質，而該平面稱為反射平面。

目錄

3B_Ch10(8)

試畫出右方立體的反射平面。

重點理解 10.1.1 目錄


3B_Ch10(9)

B) 旋轉對稱

例題演示

‧ 如果一個立體繞某一固定直線旋轉 360° ，而重複出現了 n 次 (n > 1) 與原本圖形重合的圖形，則該立體具 n 重旋轉對稱性質（或 n 折式旋轉對稱性質），即它的旋轉對稱次數是 n 。該直線稱為旋轉對稱軸。

目錄 10.1 目錄


3B_Ch10(10)

試畫出右方立體的任何一條旋轉對稱軸。



3B_Ch10(11)

A) 同一立體的不同摺紙圖樣

例題演示


‧ 一個立體可以由不同的摺紙圖樣製作而成。

例如：

目錄 10.2 目錄

3B_Ch10(12)

請指出下列哪個摺紙圖樣（ A 及 B ）可以摺成右方的立體圖形？

重點理解 10.2.1

A B

B

目錄


3B_Ch10(13)

B) 判斷立體的摺紙圖樣

例題演示

‧ 根據一個摺紙圖樣，我們可以想像所摺成的立體中各點、各線、各面之間的關係。

目錄 10.2 目錄


3B_Ch10(14)

圖中所示的摺紙圖樣可摺成一枚骰子。

A 的對面是 E 那面。即在骰子底部那面出現的字母是「 E 」。

習題目標根據已知摺紙圖樣，判斷對應的立體。

如果將骰子投擲，而字母「 A 」顯示在頂部，在底部那面出現的是甚麼字母？

目錄


3B_Ch10(15)

如左圖所示，子華在一個正四面體摺紙圖樣的四個三角形上分別填上藍、黃、橙及綠色。如果將完成後的正四面體如右圖所示平放在桌面上，它貼着桌面的那面是甚麼顏色？

目錄


3B_Ch10(16)

將 PA 和 PB 貼合，使藍、橙兩面相連。

∵ 藍、橙、黃三面相遇於 P 點，即右圖的背面是黃色面。

∴ 它貼着桌面那面是綠色。

習題目標根據已知摺紙圖樣，判斷對應的立體。

返回問題



3B_Ch10(17)

A) 從不同角度觀察立體

‧ 我們可以繪畫立體的正面、背面、頂部、左側和右側平面圖像來描述和理解該立體的形狀。


目錄

3B_Ch10(18)

A) 從不同角度觀察立體例如：右圖所示為左圖中立體的平面圖像。

目錄 10.3

例題演示

目錄


正面圖像背面圖像頂部圖像

右側圖像左側圖像

背面

右側

頂部

左側

正側

3B_Ch10(19)

試畫出右方立體圖的平面圖像。

重點理解 10.3.1

頂部

正面側面

正面頂部背面

目錄


3B_Ch10(20)


‧ 要由平面圖像識別或繪畫出對應的立體圖形，通常需要最少三個平面圖像，包括頂部、側面及正面圖像。

目錄


3B_Ch10(21)


例題演示

例如：由左圖可識別出右圖中的立體。

目錄 10.3

目錄


3B_Ch10(22)

試繪畫具有以下三個平面圖像的立體圖形。

目錄


3B_Ch10(23)

由側面圖像可知該立體是一個 L 型立體。考慮頂部圖像，可知立體的底是正方形。因此，所需的立體圖形如下：

習題目標根據立體的正面、頂

部和右側圖像，繪畫對應的立體圖形。

返回問題

目錄


3B_Ch10(24)

試繪畫具有以下三個平面圖像的立體圖形。

目錄


3B_Ch10(25)

該立體圖形是：

返回問題

習題目標根據立體的正面、頂部和右側圖像，

繪畫對應的立體圖形。目錄


[ 左側圖形是個半圓形，因此該立體的頂部及正面都是曲面。此外，從頂部圖像，可知它的底是長方形。 ]

3B_Ch10(26)

一些大小相同的正方體堆砌成一個立體。下圖所示為該立體的三個不同平面圖像。

(a) 繪畫具有這些圖像的立體圖形。

(b) 該立體共有多少個正方體？

目錄


3B_Ch10(27)

(a) [ 從正面 ( 或側面 ) 圖像，可知該立體有 2 層正方體；從頂部圖像，可知它最長是 3 單位而最闊是 2 單位。 ]

我們可先考慮由 3 2 2 個正方體所堆砌的長方體，逐步推論出立體的圖形：

返回問題

目錄


3 2 2 個正立方體

要符合正面圖像，須移去 4 個正方體。

要符合頂部圖像，須移去 2 個正方體。

要符合右側圖像，須移去 1 個正方體。

3B_Ch10(28)

(a) 因此該立體圖形是：

(b) 該立體共有 5 個正方體。

重點理解 10.3.2

習題目標根據立體的正面、頂部和右側圖像，繪畫對

應的立體圖形。

目錄


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3B_Ch10(29)

A) 點與線之間的距離

目錄 10.4


‧ 在下圖中， PP’ 垂直於。我們說 P 點與直線之間的（最短）距離是 PP’ ，即是 P 點與直線之間的垂直距離。

例題演示

目錄

3B_Ch10(30)

試找出以下之間的距離：

(a) 頂點 A 與直線 BC ，

(b) 頂點 D 與直線 FE 。

重點理解 10.4.1

(a) 頂點 A 與直線 BC 之間的距離

(b) 頂點 D 與直線 FE 之間的距離

= AB

= 5 cm

= DE

= 10 cm目錄


3B_Ch10(31)

B) 兩線之間的關係1. 兩條直線可以位於同一平面上，也可以不在同

一平面上。

例題演示

目錄 10.4 目錄


2. 如果在同一平面上兩條直線並不平行，它們會相交於一點，稱為交點。兩線所形成的角稱為該兩線的交角。

3B_Ch10(32)

考慮右圖的正方體。請找出與以下有關係的線：

重點理解 10.4.2

(a) 與 BC 互相平行，(b) 與 DE 互相垂直。

(a) AD, FE, GH

(b) AD, FE, CD, EH

目錄


3B_Ch10(33)

C) 兩平面之間的關係1. 兩個不相交的平面互相平行

目錄


3B_Ch10(34)

C) 兩平面之間的關係

目錄


2. 兩個不平行的平面會相交於一條直線，稱為兩個平面的交線。在右圖中， AB 是平面與的交線。

3B_Ch10(35)

例題演示

目錄 10.4

C) 兩平面之間的關係3. 在右圖中， M 是平面、的交線 AB 上的一

點。 XM 、 YM 分別是兩個平面上的線，且 XM

和 YM 都垂直於交線 AB 。 XM 和 YM 所形成的角 x 稱為平面與的交角。

目錄


3B_Ch10(36)

考慮圖中長方體的兩個相交平面 ADEF 和 AGHD 。試找出它們的交線和交角。

平面 ADEF 與 AGHD 的交線是 AD 。

由於 FA AD 及 GA AD ，所以平面 ADEF 與 AGHD 的交角是 x 。

目錄


3B_Ch10(37)

圖中是一個正四面體。 M 和 N 分別是 AB 和 VA 的中點。

(a) 試在圖中標明平面 VAB 與 CAB 的交角。

(b) BNC 是該四面體的兩個平面的交角。試寫出它們的名稱。

目錄


3B_Ch10(38)

VMC 是該兩面的交角，即圖中所示的角 x 。

(a) 【 AB 是平面 VAB 與 CAB 的交線。由於 VAB 和 CAB 都是等邊三角形，且 M 是 AB 的中點，因此 VM AB 及 CM A

B 。】

返回問題

目錄


3B_Ch10(39)

返回問題

該兩個平面是 VAB 和 VAC 。

(b) 【 BN VA 及 CN VA ，其中 VA 是平面 VAB 與 VAC 的交線。】

習題目標找出立體圖形中兩個平面的交線及 / 或交

角。求立體圖形中兩個平面的交角的大小。



3B_Ch10(40)

D) 直線與平面之間的關係

1. 如果一條直線與一個平面並不相交，則平行於該平面。

2. 如果一條直線不平行於一個平面，則與該平面相交於一點，而該點就稱為直線與平面的交點。

目錄


3B_Ch10(41)

D) 直線與平面之間的關係3. 在下圖中， P 是平面以外的一點。若 P’ 是 P

點在平面上的投影，則 P 點與平面的距離是 PP’ 。

目錄


3B_Ch10(42)

D) 直線與平面之間的關係4. 在下圖中，是平面以外的一條線，且與並

不平行。連接在平面上由直線上每一點投影出的點，可形成直線 ’。直線 ’是在上的投影。

目錄


3B_Ch10(43)

D) 直線與平面之間的關係

例題演示

目錄 10.4

5. 在下圖中，直線 ’是直線在平面上的投影，且和 ’兩直線相交於平面上某點 P 。直線與它的投影 ’所形成的角 y 稱為直線與平面的交角。

目錄


3B_Ch10(44)

圖中立體的底 ABCD 是一個正方形。如果 VM 垂直於平面 ABCD ，寫出以下交角的名稱。(a) 邊 VA 與底 ABCD 。(b) 邊 VB 與底 ABCD 。

目錄


3B_Ch10(45)

∵ AM 是平面 ABCD 上一條通過 M 點的直線。

∴ VM ⊥ AM ，即 VA 在 ABCD 上的投影是 MA 。

因此邊 VA 與底 ABCD 的交角是∠ VAM 。

(a) 【已知 VM 平面 ABCD ，即 VM 垂直於該平面上任何通過 M 點的直線 ( 可參看右圖： VM ⊥ MC ， VM ⊥ MM’ 及 VM ⊥ MN’) 。】

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目錄


3B_Ch10(46)

∴ 邊 VB 與底 ABCD 的交角是∠ VBM 。

(b) VB 在 ABCD 上的投影是 MB 。

返回問題

習題目標找出立體圖形中線段與平面的交角。

目錄


3B_Ch10(47)

A) 尤拉公式

目錄 10.5

例題演示

‧ 多面體必符合尤拉公式： F + V – E = 2 ，其中F 是多面體中面的數目， V 是頂點的數目， E

是邊的數目。


目錄

3B_Ch10(48)

下圖所示為一個多面體的摺紙圖樣。

(a) 試數一數該多面體中面的數目 (F) 、頂點的數目 (V ) 和邊的數目 (E) 。

(b) 對於這個多面體，尤拉公式是否成立？

目錄


3B_Ch10(49)

(a) 由摺紙圖樣摺成的多面體是：

∴ 根據點算，

面的數目 (F)

頂點的數目 (V )

邊的數目 (E)

= 6

= 8

= 12

返回問題

目錄


3B_Ch10(50)

(b) （尤拉公式所需的關係是 F + V – E = 2 。）

這裡， 6 + 8 – 12 = 2 。

∴ 尤拉公式對這個多面體成立。

返回問題

習題目標從多面體的摺紙圖樣，找出它的面、頂點和邊的數目。

目錄


3B_Ch10(51)

B) 正多面體1. 如果一個多面體所有的面都是形狀和大小相同的

正多邊形，且每個頂點都由相同數目的面相遇而成，則該多面體稱為正多面體。

目錄


3B_Ch10(52)

B) 正多面體

目錄


2. 只有 5 種不同的正多面體存在，包括正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。

3B_Ch10(53)

B) 正多面體3. 如果一個正多面體可以放入另一個正多面體內，

使前者的頂點碰着後者的面的中心點，我們稱這兩個正多面體為對偶多面體。例如：正六面體和正八面體是一對對偶多面體。

目錄 10.5 目錄


10.1 立體圖形的對稱性質

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