10.4 Показательные уравнения и неравенства (10 ... › content ›...
TRANSCRIPT
10.4 Показательные уравнения и неравенства (10 класс).
Используемая литература: 1. Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» под редакцией
Ш.А.Алимова 2. 1. Учебник «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» под редакцией
А.Н.Колмогорова 3. Алгебраический тренажер под редакцией А.Г.Мерзляк
Теоретический материал.
Определение. Функцию вида называют показательной функцией. Основные свойства показательной функции у =аx
График функции у=ах для а> 1 изображен на рис. 201, а для 0 <а < 1 — на рис. 202. Кривую, изображенную на рис. 201 или 202, называют экспонентой. На самом деле математики экспонентой обычно .называют саму показательную функцию у=ах. Так что термин ♦экспонента» используется в двух смыслах: и для наименования показательной
функции, и для названия графика показательной функции. Обычно по смыслу бывает ясно, идет речь о показательной функции или о ее графике. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной функции у=ах: ось х является горизонтальной асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение уточняют следующим образом. Ось х является горизонтальной асимптотой графика функции
10.4.1 Тема « Показательные уравнения» (п.36)
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида 𝒂𝒙 = 𝒂𝒃, где 𝒂 > 0,𝒂 ≠ 𝟏, x – неизвестное.
Решение заданий обязательного уровня.
1. Простейшие уравнения 𝟒 ∙ 𝟐𝒙 = 𝟏.
Решение Пояснения 4 ∙ 2𝑥 = 1 4 = 22 , по свойству степени левая
часть уравнения принимает вид 2𝑥+2 = 1 1 = 20 поэтому правая часть
уравнения принимает вид 2𝑥+2 = 20 Так как равны степени числа 2, то
равны и показатели степеней. X+2=0 X=-2
Ответ: -2.
𝟐𝟑𝒙 ∙ 𝟑𝒙 = 𝟓𝟕𝟔 Решение Пояснения
23𝑥 ∙ 3𝑥 = 576
Так как 23𝑥 = 8𝑥 , 576 = 242,
то уравнение можно записать в виде 8𝑥 ∙ 3𝑥 = 242
применив свойство степени 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛,получим
24𝑥 = 242 откуда X=2
Ответ: 2. 2. Уравнения, решаемые их преобразованием
𝟑𝒙+𝟏 − 𝟐 ∙ 𝟑𝒙−𝟐 = 𝟐𝟓
Решение Пояснения 𝟑𝒙+𝟏 − 𝟐 ∙ 𝟑𝒙−𝟐 = 𝟐𝟓
применив свойство степени 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚, и вынося общий множитель 3𝑥−2 за скобки,получим
3𝑥−2(33 − 2) = 25
3𝑥−2 ∙ 25 = 25
Разделим обе части уравнения на 25
3𝑥−2 = 1
1 = 30 поэтому правая часть уравнения принимает вид
3𝑥−2 = 30
откуда
x-2=0 X=2
Ответ: 2. Вынесение общего множителя за скобки можно использовать и при решении уравнений, содержащих степени с двумя разными основаниями.
𝟗𝒙 − 𝟐𝒙+𝟕𝟐 = 𝟐𝒙+
𝟏𝟐 − 𝟑𝟐𝒙−𝟏
Решение Пояснения
𝟗𝒙 − 𝟐𝒙+𝟕𝟐 = 𝟐𝒙+
𝟏𝟐 − 𝟑𝟐𝒙−𝟏
Сгруппируем члены уравнения, содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2,- в правой.
9𝑥 + 32𝑥−1 = 2𝑥+12 + 2𝑥+
72 В левой части вынесем за скобки
общий множитель 32𝑥−1, в правой –
общий множитель 2𝑥+12
32𝑥−1(3 + 1) = 2𝑥+12(1 + 23) Преобразуем левые и правые части
уравнения
32𝑥−1 ∙ 4 = 2𝑥+12 ∙ 9
32𝑥−1 ∙ 22 = 2𝑥+12 ∙ 32
Разделим обе части уравнения на правую часть (очевидно, она не равна нулю)
32𝑥−1 ∙ 22
2𝑥+12 ∙ 32
= 1
9𝑥−32
2𝑥−32
= 1
�92�𝑥−32
= �92�0
Так как равны степени числа 9
2, то
равны и показатели степеней
𝑥 −32
= 0
X=32
Ответ: 32.
3. Уравнения, решаемые разложением на множители.
2𝑥+1 ∙ 32𝑥−1 ∙ 5𝑥 = 5400
Решение Пояснения 2𝑥+1 ∙ 32𝑥−1 ∙ 5𝑥 = 23 ∙ 33 ∙ 52
Число 5400 разложим на простые множители, тогда уравнение имеет вид
2𝑥+1 ∙ 32𝑥−1 ∙ 5𝑥
23 ∙ 33 ∙ 52= 1
Разделим обе части уравнения на его правую часть
2𝑥−2 ∙ 32𝑥−4 ∙ 5𝑥−2 = 1 Применяя свойства степеней, получим
(2 ∙ 32 ∙ 5)𝑥−2 = 1 90𝑥−2 = 900
x-2=0 𝑥 = 2
Ответ: 2. Разложение на множители также используется и в уравнениях, содержащих помимо показательных функций другие функции.
2 ∙ 5𝑥 sin 𝑥 + 1 = 2 sin 𝑥 + 5𝑥
Решение Пояснения
2 ∙ 5𝑥 sin 𝑥 + 1 = 2 sin 𝑥 + 5𝑥
Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки.
2 ∙ 5𝑥 sin 𝑥 + 1 − 2 sin 𝑥 − 5𝑥 = 0
(2 ∙ 5𝑥 sin 𝑥 − 2 sin 𝑥) + (1 − 5𝑥) = 0
Так как произведение двух множителей равно нулю, тогда и только тогда, когда хотя бы один их них равен нулю, имеем
а)5𝑥 − 1 = 0 б)2 sin 𝑥 − 1 = 0
5𝑥 = 50 X=0 sin 𝑥 =
12
𝑥 = (−1)𝑛𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛12
+ 𝜋𝑛
𝑥 = (−1)𝑛 ∙𝜋6
+ 𝜋𝑛,𝑛 𝜖𝑍
Ответ: 0; (−1)𝑛 ∙ 𝜋6
+ 𝜋𝑛,𝑛 𝜖𝑍 4. Уравнения, решаемые с помощью замены неизвестной.
3𝑥+1 − 8 = 31−𝑥 Решение Пояснения
3𝑥+1 − 8 = 31−𝑥
Применяя свойства степени, преобразуем левую часть уравнения
3 ∙ 3𝑥 − 8 =3
3𝑥 Введем новую переменную
𝑡 = 3𝑥 , где 𝑡 > 0
3𝑡 − 8 =3𝑡
Так как t≠ 0, имеем
3𝑡2 − 8𝑡 − 3 = 0 Найдем корни этого уравнения
𝑡1 = 3, 𝑡2 = −13
Так как 𝑡 > 0, то 𝑡 = −1
3 не подходит
3𝑥 = 3 Получаем простейшее показательное уравнение
𝑥 = 1 Ответ: 1.
32(𝑥+6) + 3𝑥2 − 2 ∙ 3𝑥2+𝑥+6 = 0 Решение Пояснения
(3𝑥+6)2 + �3𝑥2�2− 2 ∙ 3𝑥+6 ∙ 3𝑥2 = 0 Применяя свойства степени,
преобразуем левую часть уравнения
Введем две новые переменные 𝑎 = 3𝑥+6 и 𝑏 = 3𝑥2.
Получаем однородное уравнение 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 = 0
(𝑎 − 𝑏)2 = 0 a-b=0 a=b
3𝑥+6 = 3𝑥2 Вернемся к старой неизвестной x.
𝑥 + 6 = 𝑥2 Решая квадратное уравнение, получаем его корни
𝑥1 = −2 и 𝑥2 = 3 Ответ: -2; 3.
4. Уравнения, решаемые с помощью их специфики. 7𝑥 + 24𝑥 = 25
Решение Пояснения
7𝑥 + 24𝑥 = 25
Легко угадать корень уравнения x=2.
�7
25�𝑥
+ �2425�𝑥
= 2 Покажем, что других решений уравнение не имеет. Разделим все члены уравнения на его правую часть
Очевидно, что функции � 725�𝑥
и �2425�𝑥
убывающие, т.к. их основания меньше 1. Сумма этих функций также является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне уравнение � 725�𝑥
+ �2425�𝑥
= 2 корней не имеет. Тогда исходное уравнение
7𝑥 + 24𝑥 = 25 имеет единственный корень X=2.
Ответ: 2.
5. Уравнения, решаемые графически.
3𝑥−1 =6𝑥
Построим графики функций 𝑦 = 3𝑥−1 и 𝑦 = 6𝑥
.
Видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке, абсцисса которой x=2 является решением данного уравнения.
x0
y
1
2
Задания для самостоятельной работы.
=⋅
=⋅
=−=⋅
=⋅−
−=
−=
=++−
=−⋅−
⋅=⋅
=−
=⋅+⋅+⋅
=−−+
=
⋅=⋅+
=
=
=
−−
++++
−
−
−−
+++−
−−
−−
−
−
+
2025955625253
.16
397223
.15
2274.14
22.13575.12
02332.110543759.10
27338.9067.8
037515259.7
13041
21)
21(2.6
)285()
528.(5
27252.45
55.3
222.2
)74()
1649.(1
23
937393103
1
2
221
212
5431
1275528
51
43 32
1
91
22
yx
yx
xy
xx
x
x
xx
xxxx
xx
xx
xx
xxx
xxxx
xx
xx
x
x
x
xy
x
x
10.4.2 Показательные неравенства.
При решении простейших показательных неравенств 𝒂𝒇(𝒙) ≤ 𝒃, 𝒂𝒇(𝒙) ≥ 𝒃, используется монотонность показательной функции: при 0 < 𝑎 < 1 функция убывающая, при 𝑎 > 1 – возрастающая. Поэтому при рассмотрении показателей степеней в первом случае знак неравенства меняется на противоположный, а во втором – сохраняется.
1. Решение простейших показательных неравенств 𝟑𝒙 < 81
Решение Пояснения 𝟑𝒙 < 81
преобразуем правую часть неравенства
𝟑𝒙 < 𝟑𝟒
Так как 3>1, то функция 𝑦 = 3𝑥является возрастающей, значит знак неравенства сохраняется.
X<4 Ответ: 𝑥 ∈ (−∞; 4)
2. �𝟏𝟐�𝒙
> √𝟖
Решение Пояснения
�𝟏𝟐�𝒙
> √𝟖
преобразуем правую часть неравенства
�𝟏𝟐�𝒙
> 𝟐𝟑𝟐
Используя свойство степени 𝑎−𝑛 = �1𝑎�𝑛
имеем
�𝟏𝟐�𝒙
> �𝟏𝟐�−𝟑𝟐
Так как функция 𝑦 = �12�𝑥
- убывающая, то знак неравенства меняется
𝒙 < −𝟑𝟐
Ответ: 𝑥 ∈ �−∞; −32�.
𝟑𝒙𝟐−𝒙 < 9
3. Решение Пояснения 𝟑𝒙𝟐−𝒙 < 9
преобразуем правую часть неравенства
𝟑𝒙𝟐−𝒙 < 𝟑𝟐
Так как 3>1 ,то
𝑥2 − 𝑥 < 2 𝑥2 − 𝑥 − 2 < 0 Решим квадратное неравенство
-1 2
Ответ: 𝑥 ∈ (−1; 2)
4. Решение показательных неравенств заменой переменной 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 > 0
Решение Пояснения 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟐 > 0
Пусть 4𝑥 = 𝑡 , t>0.
𝑡2 + 𝑡 − 2 > 0 Получим квадратное неравенство Решим квадратное неравенство
Решение Пояснения 4𝑥 < −2 и 4𝑥 > 1 Так как 4𝑥 = 𝑡, то получим два
неравенства 4𝑥 < −2
Не имеет решений, т.к. 4𝑥 > 0,при всех 𝑥 ∈ 𝑅
4𝑥 > 1 4𝑥 > 40 𝑥 > 0
Ответ: 𝑥 ∈ (0; +∞)
5. Графическое решение показательных неравенств
�13�𝑥
= 𝑥 −23
Построим графики функций 𝑦 = �13�𝑥
и 𝑦 = 𝑥 − 23
𝑦 = �13�𝑥
𝑦 = 𝑥 − 23
-2 1 t
0
1
3
y
1 x
Из рисунка видно, что графики функций пересекаются в точке с абсциссой x ≈1. Проверка показывает, что x=1 – корень данного уравнения.
�13�1
=13
и 1 −23
= 1
Покажем, что других корней нет.
Функция 𝑦 = �13�𝑥
убывающая, а функция 𝑦 = 𝑥 − 23. – возрастающая. Значит,
при x>1 значения первой функции меньше 13, а второй больше 1
3;
при x<1 значения первой функции больше 13 ; а второй меньше 1
3.
Геометрически это означает, что графики этих функций при x<1 и x>1
«расходятся» и поэтому не могут иметь точек пересечения при 𝑥 ≠ 1.
Ответ: 1.
6. �𝟐𝟓�√𝟐−𝒙
> �𝟐𝟓�𝒙
.
Решение Пояснения
�𝟐𝟓�√𝟐−𝒙
> �𝟐𝟓�𝒙
.
Так как 0 < 2
5< 1, то
данное неравенство равносильно
неравенству √2 − 𝑥 < 𝑥 Область определения этого неравенства
𝑥 ≤ 2. При 𝑥 ≤ 0 оно не имеет решений, так как
√2 − 𝑥 ≥ 0 Решения неравенства, содержатся в промежутке 0 < 𝑥 ≤ 2.
√2 − 𝑥 < 𝑥 Возведем неравенство в квадрат, получим 𝟐 − 𝒙 < 𝒙𝟐 𝒙𝟐+x-2>0 Решим квадратное неравенство
Ответ: 𝑥 ∈ (1�; 2]
Задание для самостоятельного решения.
Решите неравенство:
2 1 -2 0
( )
01232.80)433(3.7
61
6.6
425
52.5
6427
43.4
42
2.3
15,0.2
323.1
112
1
1
5256
106
5,02
2
25,0
1
2
2
<+⋅−
<−+
>+
>
<
≤−
<−
<−
−−
−
−
+−
−+
−
−
−
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
Найдите наибольшее целое х, удовлетворяющее неравенству:
( )1
11
32
5815653.12
33.11
++−+ <⋅+⋅
<
xxx
x
322 2151111152.1022.9
+
−
⋅−<⋅−
<xxxx
x