ЛОГАРИФМЫ · 2014. 11. 2. · «Логарифмы. Преобразования,...

I lllH H' | l |« НН1Ш1ИН |'ФMl IV "IImupII Nu I»

М.П. Веселова Т.И. Рыбкина

ЛОГАРИФМЫюимнии, уршшсним, нсринснства

мсiодическое пособие

I . Ьрнтск 2012

Министерство образования РФ

МОУ «Лицей № 1»

Н.П. Веселова

Т.И. Рыбкина

ЛОГАРИФМЫПреобразования, уравнения, неравенства

методическое пособие

г. Братск 2012

«Логарифмы. Преобразования, уравнении, неравенства. Методическое пособие». Н.П. Веселова, Т.И. Рыбкина г.Ьратск: МОУ «Лицей №1», 2012г. - 60 с.

Пособие содержит задания по математике, большинство ни которых

последние несколько лет были включены в экзаменационные варианты

ЕГЭ. Систематизированный материал пособия позволяет в полном

объеме повторить курс математики и подготовиться кэкзаменам.

Для учащихся старших классов средних школ, лицеев, техникумов, абитуриентов.

Рецензент: Шичкина Ю.А. к.т.н., завкафедрой «Дискретная математика» ГОУ ВПО «БрГУ»

Рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании методического объединения лицея.

Протокол №3 от 14.12.2012г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I Определение логарифма. Логарифмическая функция.

Тождественные преобразования логарифмических выражений................ 5

Глава II Логарифмические уравнения......................................................... 12

Глава III Логарифмические неравенства.....................................................26

Задания для самостоятельной работы......................................................... 33

Список литературы....................................................................................... 60

ВВЕДЕНИЕ

Потребности школьной подготовки к итоговым экзаменам

вызвали необходимость создания данного пособия. В нём содержится

достаточно большой объём различных заданий. Данное методическое

пособие можно использовать для проведения консультаций с

учащимися разного уровня подготовки, для проведения контрольных и

проверочных работ, для проведения коллоквиумов и зачётов. Данное

пособие даёт возможность учителю сделать для каждого учащегося

такую подборку заданий, которая позволит ему достойно

подготовиться к экзамену.

Чтобы соответствовать целям современного обучения и для более

глубокой дифференциации обучения, упражнения в пособии снабжены

дополнительными заданиями. В ходе их решения ученик проводит

необходимые математические рассуждения, основываясь на своём

опыте, разрешает проблемные ситуации, использует графические

подходы к решению.

Данное методическое пособие предназначено для работы в классах с углублённым изучением математики. Оно будет также

полезным для учеников и для учителей школ города на практических

занятиях по темам «Логарифмические преобразования»,

«Логарифмические уравнения», «Логарифмические неравенства».

Настоящее пособие по теме «Логарифмы» можно использовать

как дополнительные дидактические материалы. Успешная сдача

выпускного экзамена по математике учащимися лицея подтверждает

правильность выбранной методики.

4

ГЛАВАI ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМА. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

Определение логарифмаЛогарифмом числа b по данному основанию а называется

показатель степени с, в которую необходимо возвести а,_чтобы

получить Ь. Из записи logа Ъ = с следует, что а с = Ъ где с € R, Ь—

логарифмируемое число (Ь>0), а — основание логарифма (а > 0, аФ

1 ).Из определения логарифма вытекает равенствоаюдаь _ ь (а > о, Ь > 0 , а * 1), которое называется основным

логарифмическим тождеством.

Пример 1. log3 27 = 3, так как З3 = 27.

Пример 2. logo,s 16 = —4, так как - 16.

Пример 3. Найти log8 2 л/2.Решение. Пусть значение данного логарифма равно х, тогда

4 4 __ 48х = 2 42, 23х = 2з, следовательно Зх — р х —

Значит log8 2\f2 — %

4Ответ: ~

Пример 4. Найти х, если log* = -0 ,8 .,

Решение. По определению логарифма х 0,8 = обе части5

5 ( ——\ 4 —последнего равенства возведем в степень - получим х = [2 з) = 2 з.

Ответ: 2Щ .

Вычислить:

а) 9 1о8з4 = (3 iog34-j2 _ 42 _ 1 6

б ) 4 l°gl6 25 _ ( 1 6 log1625)0S _ 5

в) 9 Io f y 3 2 + lo & 7 8 _ ^ logV32j _ (271об27 8)з z= 24 • 83 = 24 ■ 22 = 2б =

= 26 = 64.

Пример 5. Решить уравнение х 2 + 2 - 3 log3* - 3 = 0 .

Решение. Область определения уравнения задается неравенством

х > 0, т.к. 3,0°з* = х , то х 2 + 2 х - 3 = 0, откуда * = 1 и* = - 3 . Второй

корень является посторонним для нашего уравнения.

Ответ: 1.

Пример 6 . Решить уравнение * Iogv*(*~2)2 = 81.

Решение: Область определения уравнения задается неравенствами х ^ 0 j х ^ 1 ; х ^ 2 .

Тогда ^ 1о8л(ДГ_2)2) = 81, (х - 2 ) 4 = 81, тогда (х - 2) 2 = 9

(уравнение (х - 2) 2 = - 9 корней не имеет). Решая последнее

уравнение, находим х — 2 = 3 или х — 2 = —3 , поэтому х = 5 ;

х = — 1 — посторонний корень, а > 0, а Ф 1

Ответ: 5.

Так, как при а > 0, а Ф 1 logfln ат = — , то71

можно легко находить логарифмы вида:

6

10

l)log8 23V 2 = J 2)log3 2 7 V 3 = f = Ц.2

Теоремы о логарифмах

Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен

сумме логарифмов этих чисел:

logc ab = logc а + logc b, (а > 0 , b > 0 , с > 0, сФ 1).

Теорема 2. Логарифм частного двух положительных чисел равен

разности логарифмов делимого и делителя:

logс ^ = logc а — logc b, (а > 0, b > 0, с > 0, с Ф 1).

Теорема 3. Логарифм степени с положительным основанием равен

произведению показателя степени на логарифм основания:

logc а к — к logc а , (а > 0, с > 0, с Ф 1) .

Следствие 1. logc ab = logcIa| 4* Iogc|fc|, (ab > 0, с > 0, с Ф 1).

Следствие 2. . logc ^ = logc|a | — logc|b |, (ab > 0, с > 0, с Ф 1).

Следствие 3. log^a* = к Iogc| a | , (а Ф 0, с > 0, сФ 1, к = 2п, пЕ Z)

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму

по другому основанию

loga b = , (а > 0, b > 0, с > 0 , а Ф 1, с Ф 1). logc а

Следствие 1. logb b = 1, ( b > 0, Ъ Ф 1).

loga Ъ = ( а > 0, b > 0, а Ф 1, Ъ Ф 1).logъ а

Следствие 2. Logttn bm = ^ loga b ,

(a > 0 , b > 0 , a * 1 , b Ф 1 , n * 0);

logan6 = i loga b , (a > 0, b > 0, а Ф 1, n * 0 ).

Следствие 3. logn a logm b = logm a logn b

Полезные логарифмические тождества (на области определения):

1. а]°ёхЬ = biogxa

2. a l08*b = bloSab

Пример 1. Вычислить log §12 — log 26 — log2 9 .

Решение:

1 способ.

1од2 12 = 1од2 4 + 1од2 3 = 2 + 1од2 3 ;

1од2 6 = 1од2 2 + 1од2 3 = 1 + 1од2 3 ;

log 112 - log \b - 1од2 9 = (2 + log2 З) 2 - (1 + 1од2 3) 2 - 2 1од2 3

4 + 4 1од2 3 + log 23 — 1 — 2 3 — log 23 — 2 1од2 3 = 32 способ

log |12 - log - 1од2 9 = (1од2 12 - 1од2 6 ) (/о^212 + 1од2 6 ) -

— 1од2 9 = 1од2 2 • 1од2 72 — 1од2 9 = 1од2 п\ - 1од2 8 = 3.Ответ: 3.

i/5 8Пример 2. Вычислить log5 — ■ log2 -щ .

Решение. Применим теоремы 2 и 3

( logs VS - log5 125)(log28 - log2 V2)=

8 _ 17 _ _ 6 8

3 6 9 ‘

^ 68 Ответ: - —

_____ I g l 6 + l g 9Пример 3, Вычислить l o g 6 4 + lg 2 7

Ig l6 + lg 9 _ 2 lg 4 + 2 lg 3 _ 2 l g l 2 _ 2Решение. 1 способ. ]g64+lg27 - 3 ig4+3 ig3 3 igi2 з '

l g l 6 + lg 9 _ 1g(16-9) = l8 (4 3 )2 _ 2 2 СПОСОб. lg 6 4 + ig27 lg (6 4 -2 7 ) lg (4 '3)3 3

^ 2 Ответ: ~

П р и м е р 4. Пусть известно, что * = ■ Н а и т и я х .

Решение: Упростим выражение, считая, что

аз >/Г a 3ft0S _ a2-2St)0Sа > 0 , Ь > O . s i n a > 0 : X = “ a°-7Ssm a sina

Применяя далее теоремы 1 — 3 , получим

lgx = 2.25 -loga +0.5 ■ lgb - lg s in a .

Переход от равенства логарифмов, к равенству, не содержащему их,

называют потенцированием. Помним при этом, что если равны

логарифмы по равным основаниям, то равны и выражения, стоящие под

логарифмами.

В частности, например,

1 тlogа Х = 1о8 а т - 1о8 а П ' Т° loS a * ~ lo8a п * и

х = (ш > 0 , п > 0 , а > 0 а =£ 1 ). п

Пример 5. Найти х, если log3 х = -log2 л/З + -log2 6 - — log, 3 .2 3 12

Решение:

Преобразуем последовательно

logs * = log2 V3 + log2 Уб - log2 12V F = log2 ^ = log2 =

Чз-Уз-Уг 1 „ ' . 1 ЧЛГJo§2 - 4^.3^ - = Итак, log3 x = ~, Х = У З .

Ответ: Уз.

Рассмотрим несколько примеров на следствия из основных теорем. Пример 6 . Упростить выражение log2(ab) — log2(—a).

Решение. Так как аЬ > 0 , и -а > 0 , то есть а < 0 , то и Ъ < 0. Применяя следствие 1, получим

log2 |a | + log2 |fc| - Iog2(—a) = log2(—a) + Iog2(-fo) - log2 (a) = log 2(-й ).

Пример 7. Упростить выражение Iogx 2 ~ — Iogx4

Решение.

1 способ. Из условия видно, что - > 0. logvz - - log„4 — =У у у 4

-log|*||x| -~ lo g w |y| - i l o g M|x| + logw |y| = jlogW|y|.

2 способ. log,a * - log,* f 4 = log** 2 log,* f 2 = log,, g : £f) =

log*2 ( y ' f e ) = ,og*2 § 2logwlx| + i 1osm M - ji°g|*il*l = f iogM|y|.

10

Ответ: ^log\x\\y l

П р и м е р 8 . Вычислим 4 9 1~ilog7 25

Воспользовавшись тем, что 49 =72 и что при возведении степени«-,2—1027 25показатели степеней перемножаются, получаем: / 2

Показатель степени можно преобразовать следующим образом:1 49

2 — - lo g 7 25 = 2 - log75 = log7 49 — log7 5 = log7-^-.

Итак, 7 2~2log725 = 7 log7T, Но из тождества (1) следует, что 7 log7“s

у . Таким образом, 4 9 1- i log725 = 9,8.

Ответ: 9,8.

П р и м е р 2. Вычислим lg 25, если lg 2 = a

Решение. Имеем lg 25=21g 5. Выразим теперь число 5 через числа

10 и 2 (т. е. через данное основание и число, логарифм которого

известен), пользуясь операциями умножения, деления и возведения в

степень. Так как 5= у , то 21g 5=2 lgy =2 (lg 10- lg 2)=2(l-a).

Ответ: 2(1-a). v

П р и м е р 4. Вычислим log4916, если log14 28 = a.

Р е ш е н и е . >

log49 16 = log /49 V l6 = log? 4 = 2 log7 2.

Введем обозначение log7 2 = x. Тогда log49 16 = 2x. Имеем далее:

_ log7 28 _ log7(22 ■ 7) _ 2 log7 2 + Iog7 7 _ 2x + 1 logi428 j0 g7 ^ 4 log7 (2 *7 ) Iog72 + log77 x - f l '

Так как по условию logi4 28 = а, то задача сводится к решению

2х+1 а - 1уравнения —— = а, откуда находим х = — .х +1 2-а

Таким образом, log49 16 = 2х = — ~1}.2—а

Ответ: 2—а

ГЛАВА II ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Логарифмическими уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестные величины под знаком логарифма.

К таким относятся, например, уравнения log 3 х = 7,

logx(x - 6) = 2 и т.д.

Методы решения уравнений

L Простейшее логарифмическое уравнение

Простейшее логарифмическое уравнение — это уравнение вида loga х = Ь, где а > 0 , а Ф 1 .

Это уравнение при произвольном Ь имеет единственное решение

х = аь

П р и м е р 1. Решить уравнение log2 х = -0,5.■ \

Р е ш е н и е . хорнем уравнения является число х = 2 ~ 0,5 =

П р и м е р 2, Решить уравнение log4x-2 4 = 2 .6 Х - 5

12

Р е ш е н и е :

Допустимые значения х определяются условиями

(— > 0 J 6 х -5

\ 6 x - S

При этих ограничениях получаем

Это уравнение с учетом системы ОДЗ равносильно уравнению

^ 2 = 2 , которое имеет один корень: х = 1. Ответ: 16 х -5

Операция нахождения числа по известному логарифму этого числа

называется потенцированием. Поэтому часто такой метод решения

называют методом потенцирования.

2. Л о га р и ф м и ч еск и е у р а в н е н и я , с во д я щ и еся к п р о ст е й ш и м

При решении уравнений вида logaf(x) = b,

где а > 0 , a > 0 ,a = £ l ,b 6 R, также используется метод

потенцирования.Ч

П р и м е р 1. Решить уравнение log0 5 (x2 + 5х - 16) = —3.

Р е ш е н и е : По определению логарифма имеем .

х2 + 5х -1 6 = (ОД)"3.Приходим к квадратному уравнению, равносильному данному:

х2 + 5х - 24 = 0 .Его корнями являются числа -8 и 3.

Ответ: -8; 3.

13

Метод потенцирования применим и к уравнениям вида

Iogaf(x) = logah(x),

а именно, это уравнение равносильно системе

Г f(x) = h(x), lf(x) > 0 (или h(x) > 0 ) .

Не следует решать неравенство в системе. Достаточно проверить,

удовлетворяют ли ему корни уравнения системы.

П р и м е р 2. Решить уравнение

log2(2x ~ x 2 - f 3 ,5 -5 ) = log2 (2 x — 1 ,5х-1 ).

Р е ш е н и е : Запишем равносильную систему:

(2х — х2 + 3,5х - 5 = 2х - 1,5х - 1,I 2х - 1,5х - 1 > 0 .

Уравнение системы сводится к квадратному уравнению

х2 — 5х + 4 = 0 , корнями которого являются числа 1 и 4.

Ответ. 4.

Число 1 не удовлетворяет неравенству системы, а 4 - удовлетворяет.

Иногда при решении уравнений используют свойства логарифмов. В

этих случаях необходимо учитывать, что неаккуратное использование

этих свойств может приводить либс^отере корней, либо, наоборот, к

появлению посторонних корней. Если посторонние корни можно,

вообще говоря, исключить проверкой, то потерянные корни вернуть не удастся.

К потере корней могут привести следующие преобразования:

14

loga(xy) = loga Х + loga у ;

loga(x2n) = 2 n ■ loga x ;

lo g a Q = loga X -lo g a у,

справедливые только для положительных чисел х и у, в то время как

левые части имеют смысл при х < 0 и у < 0 .

Например'.

logs125 + log55 = 3 + 1=4 и logs(125 • 5) = 4;

logs((-125)(-5)) = log5625 = 4,

но log5(-125) + logs(-5) не существует.

При решении логарифмических уравнений можно использовать

следующие равенства:

logaCxy) = loga Iх! + logalyl;

10ga х2П = “ l°gaixlj

logaj = lo g ,|x |- lo g ,|y |,\

П р и м е р 3. Решить уравнение

log2(x -1) + 2 1og4(x + 1) - 3 log8 — 2У

Р е ш е н и е : Найдем область определения уравнения; если х

является корнем уравнения, то необходимо выполнение следующих

условий:

15

2) -

l°g2(* - 1) + log2(x + 1) = log2 2 ) Iog!((x _ 1)(x + 1)}

= b g2 ( | - 2 ) .

Получили уравнение, которое на области определения (х > 1) равносильно уравнению

(х — 1)(х + 2 ) = ~ — 2 , или 2 х2 — 5х + 2 = 0 .

Полученное уравнение имеет два корня х,= 0 ,5 и х2 = 2 . Первыйкорень не входит в область определения уравнения, а второй

принадлежит ей. Следовательно решением уравнения является х=2 . Ответ: 2.

П р им ер 4. Решить уравнение

(х + 1) • i0 g3 6 - logi ( г х - = х - 1 .з v 6 J

Реш ение: Находим область определения уравнения:

2 > Используя свойства логарифмов, запишем уравнение в виде

х - 1 > 0 ;

з Г 71 > 0 ; - х > 1 , Т “ 2 > 0 .

Приведем логарифмы к одинаковым основаниям. Имеем

log2(x - 1) + 2 log22(х + 1) = 3 log23 - 2 j

log2(x - 1) + 2 • - lo g 2(x + 1) = з ■ ^log2 ^ -

Отсюда следует

16

log3 6 X+1 + log3 = log3 3X 1 <=* log3 ^6X+1 • ^2X - =

= log3 3X_1.

Получаем

^6 X+1 ■ ( 2 х - = 3х"1 3х- 1 ■ З2 ■ 2X+1 ■ ( 2 х - = 3х- 1

< * 9 -2 -2 x (2x - i ) = l.

Пусть у = 2х. Тогда получаем уравнение 18у2 — Зу — 1 = 0,

корнями которого являются числа — Таким образом, данное

уравнение равносильно совокупности

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Корнем второго

является х = log2 - = -log23, которое принадлежит области определения

данного уравнений:^* > ползаем х = —log2 3. Ответ: — log2 3.

3. Метод замены переменной

Если уравнение можно привести к виду f(loga х) = 0, то, полагая

t = loga х, получим уравнение f(t) = 0 .

П р им е р L Решить уравнение log2(2 x) - log2(4x) = 31og| 0 )

Реш ение: Преобразуем уравнение, считая х > 0:

17

(log22 + log2x) ■ (log24 + log2x) = 3(21og28 - 21og2x)2.

Пусть t = log2x. Тогда получим уравнение (l+t)(2+t)=3(6-2t)2'53корнями которого являются числа t = 2 и t = —. Таким образом,

приходим к совокупности

log2 х = 2 ,, 53log2x = Tj

5 3

и в результате получаем: 4; 2и.5 3

Ответ: 4; 2 и.

П р им ер 2. Решить уравнение logx(3x — 2) + log3x_ 2 х =

Решение: Находим ОДЗ уравнения:

■ x e ( | ; l ) u ( l ; + o o ) ,X Ф 1,

< Зх — 2 Ф 1.

Пусть t = logx(3x — 2). Тогда приходим к уравнению

* + t == г' коРнями которого являются t=0,5; t = 2 .

Далее: logx(3x - 2) = 0,5

Положим у = л/х, где у > 0, тогда с учетом области определения Зу2 —

у — 2 = 0, отсюда следует, что у = 1; у = — Второй корень не

удовлетворяет условию у < 0. Значит у = 1.

л/х = 1 => х = 1. Но х = 1 не входит в ОДЗ.

1°ёх(3х — 2) = 2 х2 — Зх — 2 . Отсюда хг = 1 или х2 = 2.

Первый корень не входит в ОДЗ, а второй принадлежит этой области.

Окончательно получаем, что х = 2 . Ответ: 2.

18

4. Метод логарифмирования

Этот метод основан на следующем утверждении: если функции f(x)

и h(x) принимают положительные значения на О Д З и а > 0 ,

а Ф 1, то уравнение f(x) = h(x) равносильно уравнению logaf(x) =

logah(x) на ОДЗ.

П р и м е р . Решить уравнение x 1~l9X=0,0L

Решение: Область определения уравнения х>0. В этой области выражения, содержащиеся в обеих частях уравнения, принимают только положительные значения, а тогда логарифмы этих выражений

существуют. Взяв логарифмы от обеих частей уравнения по основанию

10 , получим уравнение

lgx1”*1® ^ lg 0,01 или (l-lgx)lgx-” -2 .

Положив u = lg х, придем к уравнению и2 - и -2=0, откуда

щ = —1>и2 — 2. Таким образом, задача свелась к решению следующей

совокупности уравнений:

Igx = —1 ; lgx = 2 .\

Из этой совокупности находим х± = ОД и х2 = 100.

Проверка. Оба найденных значения х принадлежат области

определения уравнения (этой областью является луч х>0 ), и, таким

образом, хг = ОД и х2 = 100— корня уравнения.

Ответ: 0,1; 100.

19

5. Метод разложения на множители

П р и м е р . Решить уравнение

logf(x2 - 4х - 7) - 3 log7(x2 - 4х - 7) • log7(x - 1) +

2 log2(x — 1 ) = О

Р е ш е н и е . ОДЗ уравнения определяется системой неравенств

Гх2 - 4х - 7 > О,I х —1 > О

Пусть а = log7 (x2 - 4х - 7); b = log7(x - 1).

Получим уравнение а2 — ЗаЬ + 2Ь2 = 0 , которое является однородным и

преобразуется к виду (а — Ь)(а — 2 Ь) = 0 .

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности

Г а = Ь, Г log7(x2 - 4 х - 7) - Iog7(x - 1), la = 2b; Uog7(x2 — 4x — 7) = 2 log7(x — 1).

В результате получаем x = 6,

Ответ: 6.

6. Использование монотонности логарифмической функции

П р и м е р : Решить уравнение

lo g 2 ( 5 + cos 2 х) = 1 + lo g 2 ( 2 — тс2 + 4 тсх — 4 х 2).

Реш ение: Запишем уравнение в виде

5 + cos 2 х log2 ----- 2----- = 1о8 2 (2 ~ (it - 2х)2),

20

^ - 5+cos 2х _ пТеперь заметим, что при всех х дробь — — > 2 ,

т.к. cos2x > — 1 .

С другой стороны, разность 2 (я- 2х)2 < 2 . Рассматривая только те

значения х, при которых 0 < 2 - (я - 2х)2 < 2 , используя монотонность

функции Iogj?, приходим к неравенствам

5 + cos 2 х log2 2----- -- 1;

log2(2 - ( T t - 2 х)2) < 1 ,

из которых следует, что равенство левой и правой частей уравнения

выполняется только в том случае, когда

5 + cos 2х--------= ?2 ' <=>

[2 — (тт — 2х) 2 = 2 ;

cos 2 х = — 1 ,IX

X = —.

Так как число х = ~ удовлетворяет первому уравнению системы, то

оно является решением данного уравнения.

Ответ: - .2

\Рассмотрим примеры решения уравнений вида

loga /(* ) = l°ga 5 WП р и м е р 1. Решим уравнение

log3(7 - 2х) = log3(x2 - Зх - 5).

Р е ш е н и е : Перейдем от этого уравнения к уравнению

7 — 2х = х2 — Зх — 5.

21

Далее получаем уравнение х2 — х—12 = 0, откуда хг = 4 ,х2 = -3 . Так

как уравнение х2—х—1 2 = 0 является следствием заданного уравнения,

то найденные корни необходимо проверить.

П р о в е р к а . Подставляя хг = 4 в левую часть заданного

уравнения, получаем 7—2хх<0. Это значит, что log3 (7 — 2хх) не

существует, т. е. хг = 4 — посторонний корень.

Далее, log3(7 - 2х2) = log3 13 и Iog3 (x22 - Зх2 - 5) = log3 13 .

Таким образом, х = - 3 является корнем заданного уравнения.Ответ: -3.

П р и м е р 2. Решим уравнение

lg (х + 4) + lg (2x+3)=lg (1 -2х).

Р е ш е н и е : Преобразуем уравнение к следующему виду: lg((x+4)(2x + 3))=lg(l-2x).

От этого уравнения перейдем к уравнению

(х + 4) (2х + 3) = ( 1-2х) и далее 2х2+13х+11=0, откуда хг = -1 ,

х2 = —5,5. Так как найденные значения х— это корни уравнения,

являющегося следствием исходного уравнения, то их необходимо проверить.

П р о в е р к а . ОДЗ уравнения задается системой неравенств' х + 4 > 0,2х + 3 > 0 ,1 - 2 х > 0 .

Подставляем хг = —1 , а затем х2 = —5,5 в неравенства этой системы,

убеждаемся, что при хг = — 1 все неравенства выполняются, а при

х2 = —5,5 не выполняется, например, первое неравенство этой системы.

Таким образом, только х = — 1 является корнем уравнения.

Ответ: -1.

22

П р и м е р 3. Решим уравнение

lg2x + l gx + 1

1д10

Реш ение: Так как lg ^ = lg x - 1, то заданное уравнение можно

переписать следующим образом:

1д‘ х + 1дх + 1 = ^ 1 -

7Положив lgx, получим уравнение и2 + и + 1 = — , откуда на

ходим и = 2. Из уравнения lgx = 2 находим х= 100.П р о в е р к а : Подставив х= 100, например, в систему

х > 0 , llg х 1 Ф 0 ,

с помощью, которой записывается ОДЗ уравнения, убеждаемся, что

х^ЮО является корнем заданного уравнения.

Ответ: 100.

Решение уравнений вида loga(х) / (дс) = loga(*) g(x)

и уравнений, сводящихся к этому виду.

При решении уравнений вида\

loga(x) f(x) = bgaOO g(>0

и уравнений, сводящихся к этому виду, следует учесть, что к

неравенствам, с помощью которых записывается ОДЗ, необходимо

добавить еще условия а(х) > 0 и а(х) Ф 1.

7

23

Таким образом, при решении уравнений из корней уравнения

отбирают лишь те, которые удовлетворяют следующей системе:

/ / (* ) > О, д(х) > О, а(х) > О,

<а(х) *= 1 .

П р им е р 6. Решим уравнение

log*+4 ( * 2 ~ 1) = logx+4(5 - х).

Р е ш е н и е : Найдем корни уравнения х 2 — 1 = 5 — х.

Получаем хг = 2, х2 = —3. Проверим эти корни.

П р о в е р к а . Значение хг = 2 удовлетворяет одновременно ус

ловиям х 2 — 1 > 0,5 — х > О, л: + 4 > О и * + 4 =* 1.

Значит, хг = 2 является корнем заданного уравнения.

Значение х2 = - 3 не удовлетворяет условию х + 4 Ф 1.

Таким образом, х2 = —3 не является корнем заданного уравнения. Итак,

корнем заданного уравнения является только х = 2.

Ответ: 2.

Системы логарифмических уравнений

При решении систем логарифмических уравнений применяются

все известные в алгебре способы решения, логарифмирование, потенцирование.

Особое внимание следует уделять нахождению области опреде

ления системы, иногда можно обращаться и к прямой проверке выполнения уравнений системы.

( ху ■ у х = х 4 Пример 1. Решить систему уравнений j ? , 1 „V.Z log* у т* log у X —

24

Решение: Область определения системы уравнений:

х > 0, у > 0, х Ф 1, у Ф 1.Прологарифмируем первое уравнение по основанию х, получим

y + x\ogx y = 4 (*). Во втором уравнении заменим logy x на и

сделаем замену log* у = z, тогда 2 z2 — 3z + 1 = 0 ;

z=1,h z=0,5.

log* у = 1, x -y и уравнение (*) примет вид х + у — 4.

{х — у }

х + у = 4 Решением которой является

пара (2 : 2).

У = ОД y=V*, и получаем систему

; у = V* , х = у 2

y + °L = 4 ^ (2 у + у 2 - 8 = 02

Она даст пару (4;2) (у> 0),

Ответ: (2; 2); (4; 2).fx iog2y = 1 6

Пример 2. Решить систему уравнений] i_1х3 'х1ь = 4

Решение: Область определения системы: х > 0; у > 0. Проло

гарифмируем каждое уравнение системы по основанию 2 , получим

Г log2 х • log2 4 (3 log2 х + ~ lo g 2 у = 2

Пусть log2 х = a, log2 у = Ь, получаем систему уравнений

' « { Ь “ 322' 48а ' » 12аг -8а + 1 = 0;16 (32а-48аМ = 0;

а = - и а = тогда Ь=8 и Ь=24.2 6

25

Для нахождения х и у получаем две системы: Я°®2Х г иUog2 у = 8

Г log2x = iUog2y = 24.

Ответ: (V2 ; 256); (V2; 2 24).

ГЛАВА III ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

При решении логарифмических неравенств, так же, как и при

решении показательных неравенств, нужно чётко представлять себе,

что логарифмическая и показательная функции с основанием,

большим единицы, монотонно возрастают, и с основанием,

меньшим единицы, но положительным, эти функции монотонно убывают.

Неравенство loga f { x ) > loga 9(х)

при а > 1 равносильно системе неравенств

(/СО > д(х),I д(х ) > О,

а при 0 < а < 1 — системе неравенств

(/СО < д(х),I f {x) > о.

Приведённые выше схемы решения логарифмических неравенств

можно обобщить и на логарифмические неравенства с переменным основанием.

Неравенство loga(x) f (x ) > loga(x) д(х)

26

Равносильно совокупности двух систем неравенств

'( /C 0 > s C 0 , < д(х) > 0 , ( а(х) > 1, /СО < д(х),

f i x ) > 0 , [0 < а(х) < 1 .

При решении неравенства вида x IogaJ* <Ъ (а > 0, а Ф 1) обе

части логарифмируют по основанию а , при этом знак неравен

ства не меняют при а > 1 , а при 0 < а < 1 его меняют на

противоположный. Это утверждение следует из свойств логариф

мической функции.

Неравенство /(loga х) > 0 удобно решать, сделав замену пере

менного, обозначив loga х = у, затем решить уравнение относи

тельно у t после чего решение сводится к решению элементарных

логарифмических неравенств.х~~ 3Пример 1. Решить неравенство log2 —- < 0Х+2

Решение: — > 0.Х + 2

Заменяем неравенство равносильным

. х ~ 3 , 1 \ log2 j ^ 2 <log2 l.

Так как логарифмическая функция по основанию 2 возрастает,* - 3----- о < 1-х + 2

Итак, данное неравенство равносильно системе

Ответ(3; +оо).

Пример 2 . Решить неравенство tey+ig* з2 l g X - l

Решение. Положим lg х —у, получим неравенство

У2 + У ~ 3 „ _ у 2 + у — 3 — 2 у + 1 v2 — v — 2 ~----- 1 < О <=> ——--------- ------------< о <=> -------—-----< о2у - 1 2у — 1 2у - 1

Решаем последнее неравенство методом интервалов:

Итак,у < - 1 и lg* < - 1 ,тогда 0 < х < -ОД; \ < у < 2,

и |lgar < 2 , л/1 0 “ < * < 1 0 0 .

Ответ: (0 ;0 ,1); (VlO"; 100).

Пример 3. Решить неравенство log* +1( * 3 + З* 3 + 2х) < 2.

Решение. Данное неравенство равносильно двум системам неравенства:

х + 1 > 1,* 3 + З* 2 + 2х > 0 и з . 2 1 1 t 1Л2+ З* 2 + 2х < (х + I ) 2 ^ + 2 > (* + 1) .I*3 (* + 1 ) 2

Решаем первую систему:* > 0 ,

х(х2 + Зх + 2) > 0, х 3 + 2 * 2 - 1 < 0 .

Второе неравенство выполняется при любом х > 0 .

Решаем третье неравенство системы:

х 3 + 1 + 2 * 2 - 2 < 0 ; (* + 1 ) ( * 2 - * + 1 ) + 2 (* + 1)(* - 1 ) < 0

Так как х > 0 т о 0 < д г <

Решаем вторую систему. 0 <дг< 1 ? — 1 <л: < 0.

Система решений не имеет.

Ответ: (О;

Пример 4. Решить неравенство # log3 х < 9х .

Решение. Область определения неравенства х > 0.

Логарифмируем обе его части по основанию 3, получим

log \х > 2 + log3 х или log \х — log3 х — 2 > 0 .

Полагая далее у = log3 х, получаем неравенство у2 — у — 2 > 0, решая

которое получаем у > 2 ила у < —1, тогда

log3 х > 2 или х > 9, log3 х< — 1 и 0 < х < .

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

При решении неравенств, представимых, например, в виде

/(х ) > 0 , методом интервалов, находят область определения

функции fix'), затем определяют нули функции, которые разбивают

область определения на промежутки, в каждом из которых функция

сохраняет постоянный знак.

Пример 1. Решить неравенство log3 V5 — 2х ■ log* 3 < 1.

Решение: Запишем неравенство в виде

log3 V5 — 2х • log* 3 — 1 < 0 и введем функцию

/(* ) = log3 л /5 -2 * ■ log* 3 - 1 .

Найдем ее область определения:* > 0,

ХФ1, <=> 5 — 2* > 0

' * > 0 ,\ х Ф 1, X < 2,5.

29

И т а к (0; 1) U (1; 2,5). Находим нули функции:

log3 л/5 - 2х= 1 <=> V5 — 2х = х <=> х2 + 2х — 5 = 0; х — — 1 + ^/б;log3x

х=-1--\/б — посторонний корень.

Уко ■ "5-

Для пояснения к использованию метода интервалов вычислим несколько контрольных значений используемой функции:

QV13 ,__

= “ log3 — ~ 1 < 0; /(1 ,4 ) = logli4 - 1 > р;

/ (2 ) = log3 1 ■ log2 3 - 1 < 0.

Ответ: (0; 1) U (V6 - 1; 2,5).

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Пусть fix ) = 1оез(5*+Ц _ ]log3(7 * - l ) 2

Необходимо решить неравенство f (x ) < 0.

Область определения функции f(pc) определяется системой

< 1.

5х + 1 > 0, неравенств (7х — I )2 > 0, <=>

^(7я — I )2 * 1

х > ~1'

х *~ гх * ~ ,

х & 0.

Итак, D(/): ( - ± ; о) U (o ; i ) U g ;+ ° ° ) .

30

Найдем нули функции /(я ) :

1о§з(5# + 1) = log3(7x — I )2, откуда 49х2 — 19л: = 0.

Л w 19х = 0 — посторонний корень, ^ ™ корень уравнения.

Вычислим контрольные значения функции на промежутках:

log3 2,5 — log3 1,21/ 1\4 ~ z ) <0; /(0,3) = : log3 1.21

> 0 ;

/(0 д) = tog’ ^ 0* - — < о; / ( 0,2) = log3,2 ~ 1! ? l 0,16 < 0;log3 2,89 log3 0,16

log3 0,5 - log3 2,89log32.89 < 0 -

Ответ: g ; o) U (o; 1) U g ; f ) U [ g ; + co ).

\ _2Пример 3. Решить неравенство log3x+1 > 0.

_2Решение: Для функции f(x)= log3*+1 — найдем область

х-2

х-4> 0 ,

определения, решив систему неравенств + 1 Ф 1, откуда1зх + 1 > 0,

хе ( - i ; о) U (0; 2) U (4; = °о).

31

х~ 2Найдем нули функции, решив уравнение log3jc+1 = 0;

х -2— = корней нет

Применяя метод интервалов, получим

32

Задания для самостоятельной работы.

Определение логарифма.

1.Найти: a) log3 81; б) logi 125; в) logi Щ; г) loga a2 Va;5 2

<>) logj_i V9.2 7 6

2. Найти основагщ; х лощзифм^^а) log* 32 == 5; б) log* 2л/2 —

в) log* 0,0625 = -4 .

3. Найти х, если a) log5 х = —2; б) \ogi^x=z - 4.

4.Вычислить и сделать проверку.

a) log2 8 , logg 81, logg 625, log5 3125, logV2 8, lg 100, loga a 7;

b) logi - logo.2 “ , loglf 2 7- , log7 7, logi cos f , log, x , lg 10,

log a ^ .

c) log^s 5, logs V5, logs^ 7, log7 I f f , log2( l + cos 0 ),

log2 log3 9, Iogn^a;

d) log5 V25 ,log7 7л/ Т, logs (4 + In e ) , log3 1 , log^ 1,

log4 lg 10, loga 1, loga(a3 ■ V a);4

e) 1о9бЬ. ’lo9 n 7 Г ■ l og±2 ,log0iooooi1 0 >loga^,log2 ( - l o g i 4 ) ,36 11 16 2 a \ 2 /

log i Q, f W

33

6 . Вычислить ”— 4^ lpg3V2Iog3 V8+2 l0g32

7. Вычислить log2 s in -+ log2 cos-.8 8

8 . Найти lg2, если lg5 = a.

9. Найти log3 225, если log3 5 = m.

10. Вычислить lg5 • lg20 + (lg2)2.

11. Вычислить log12 45, если log12 2 = a, log12 5 = b.12Указания: log12 3 = log12 —.

12. Упростить A/log2 6 * log2 3 + log2 4321.

13. Прологарифмировать данные выражения по основанию 10:

a) х = т 2л/п;

b) л: = ЗЬ2Ща. т 3п 2

^ Х = ~ЫЪ>

14. Произвести потенцирование:

a) lg* = ~ lg l 6 — lg5 + lg3;

b) log3 x = i (2 log3 2 - 3 log3 6 );

c) log0 5 x = a log2(m + n) - ^log2(m - n) + log2 p ;

d) log3 x = 2 log3 a + 1 log3 b - log3 c.

15.Найти д:, если lgx = lg tg 1° + lg tg 2° H----- h lgtg 8 8 ° + lg tg 89°.

ИТОГОВЫЙ ТЕСТОпределение и свойства логарифмов

1. Вычислить ]og27 logs р Щ .

1)1; 2 ) - i ; 3 ) - | 4 )i; 5)±

2. Вычислить log32(41og2 2,5 - loga2 16).

1)0,2; 2)2; 3)0,4 4)4; 5)10

3. Вычислить -— — — -— + l o g 0,5.logs 0,75 log6 0,75

1)3; 2) -3; 3)0,5; 4)1,5; 5)-l

4. Вычислить log0 01125 ■ log02 10000.

1)6; 2)J; 3)-6; 4)12; 5)4

5. Вычислить (log5 324 — 4 log25 2) • log3^ 125.

1)12; 2)2; 3)6; 4)18; 5)1

6. Вычислить (^ + log8 9) ■ log2 8 .

1 ) |; 2)6; 3)8; 4 ) J 5)43 1 - 2

7. Вычислить (64l0g2 V3 + 91°g4 3)lag6 o,04

1)36; 2 ) i ; 3 )i; 4)6; 5)V6

8. Вычислить 8 log64 27"“log°'00110.

1) 3V2; 2) 1,5V3; 3) 6л/3; 4) 6 ; 5) 9

9. Вычислить (VTT)l0g 9~logl2181.

1)6; 2 ) ™, 3)8; 4)^1; 5)4

10. Вычислить 81log27 5‘log54.

1) Щ; 2) 2 V4; 3) 4V4; 4) 4; 5) 8

35

Тождественные преобразования логарифмических выражений

Вариант №1

1. Вычислите: у^ 2* 10 3- 1 10

2. Найдите значение выражения: logg7 +

3. Вычислите х, если log5x=log^(cos^)+5log2s4

4. Найдите значение функции f(x)=x2+logx22+eIn3npH x=V35. Найдите значение выражения при х=14°:

log2( 1 +tg2x)+log2( 1 +ctg2x)+21og2<sin2x)6. Упростите выражение и вычислите его значение при а=7; Ь=3:

2 ( l ° g a b + l o g a 9 ) :(3 lo g a 2 - l o g a 8 b )

7. Найдите значение выражения In — , если loge2a = 2, log^b = 4

8 . BU™ T e : V l 3 'OB“ <27- 0Vi5 + ^ ," ' H,t6JS

Вариант №2

1. Вычислите: З108^ 4- 1 2"10 5

2 . Найдите значение выражения: Iog23 +

3. Найдите значение х, если log4x=4log6427- log3(V3*ctg-)

4. Найдите значение функции f(x)=x3x2~logx2(2x2) + 2 logs27 при х=>/2

5. Найдите значение выражения 31og3(3+tg2x)-log3(3-ctg2x)+21og3Cos23x при х= ~

6 . Найдите значение выражения 5 (logb+i(a-2) - 21oga-2(b+l)):(2logb(a-l)-logbCa+3)) при 3= 5 ^=2

З а to7. Найдите значение выражения log 4 — ,если log2a=3; log2b= 2

о л г 1о§ 7 ( 2 1 -1 2 > /3 ) /тг1оё з (1 3 + 4 л /3 )8 . Вычислите: у 7 - V3

36

Вариант №3

1. Найдите значение выражения: 2521ogs2+1+lg25 -21g0,52. Вычислите: log7(6V2 + 11) + 21og7(3 - V2) + log^g —

ac23. Найдите значение выражения: lg— если logi = — 1 ; log7

b 3

log0,7c = \

4. Найдите f(2), если f(x)= eInx2 — 5xlog327x+ log^x^ 14*2” 5

5. Найдите x, если log2x == log12144tg4 + lllogVii cos2i2+sin2i2

6 . Вычислите: — log510Iog35 log25

7. Найдите значение выражения: logt n27cosS -f- logrt n9sin«

8 . Вычислить: 1001-ig2 + 3log!)2S — 49 **

Вариант №4

\l°gs 71. Вычислите: (log6 9 + log6 4 + 2,7log2-73)~ TT u lo g 3 2 1 6 lo g 3 2 42. Наидите значение выражения: ---------- т-22—

* lo g 8 3 lo g 7 2 3

3. Вычислите x, если log15x = logi ( l — cos~) + logi ^1 -f cos^)

4. Найдите значение функции при х = - , если

f(x)=x3+Iog3X - 13logl33”2

5. Упростите выражение: 13logVi34 + log2 — — — log i (2 — V3)\ 4 vf

/ lo 6 2 7 k i o g 2 7 k \ 3 lo g a b 26 * Упростите выражение I а 1о£з* ■ b J и вычислите

значение при а=4,3; Ъ=7.

7. Найдите значение выражения log^z если log^b3 =

1о8 ^ а3 = 128 . Упростите выражение и вычислите его значение при х = - 0,81 :

2 lo g 4 ( x - 2 V x + T + 2 ) 5 lo g 2 s ( x + 2 V x + T + 2 )

его

= 2;

37

со I с

г

Вариант №5

1 .Вычислите: Iog2 л/З + ~ log2

2.Вычислите: log4 ОД + log2

3 .Вычислите: Iog4 5 * Iog5 6 * log6 7 * log7 8 .

4.Вычислите:-° ez2 6+1062 6+1°?2 3~? lo3?l llog2 6+2 log2 3

lo g 2 5 i5.Вычислите: ( 2 i0£s2 — 5 f0 s2 + 8 *0<Sf23y°g275.6.Вычислите: ( log3 2 + log2 3 + 2)(log3 2 — log6 2) log2 3 — log3 2.

7.Найдите значение выражения: loga ~ -f log*, если Ioga b = 4.

8 .Найдите значение выражения: logaib ~ + log^Jb если loga b = ^

Вариант № 6

1. Вычислите:(к^ 13 52 — log13 4 + 7,8log7‘85) log65О TT - log345 log3 152. Наидите значение выражения: --------- ------- .r logs з log is3

3. Вычислите x, если log i x = log2>/3 ^2 s in ^ + log2>/3 cosf-12 з з

4. Найдите значение функции при х = если f ( x ) = X 6 ~“lo g 5 * _ y l o g 7 5 " 16

5.Упростите выражение: 3 log4>/3 3 + log5 ■— — log i (л/8 — л/3).25 Vs

10g8 b

6 . Упростите выражение и вычислите при а =0,5; b = 0,2: (а1о%*ь * logs а

£ l o g 2 a ^ 3 l o g a 2>5

к57. Найдите значение выражения:к^ 4 — , если log^ а = log^ Ъ = 1.8 . Найдите значение выражения:5log2S( +4V =2+2) + 4log16(x-4VF:2+2)IIpH ^ = 3 Д

38

Вариант №7

1. Вычислите: (log14 7 4- log14 2 + 3,5log3'5 6) Iog7 3,2. Найдите значение выражения:-” - 36 —

Г 10g4 3 10g12 3

3. Вычислите х,если71 • 7Гч 1 ✓ п - Кlog12x = logi(cos- - s in -) + logi(cos7 + sm~).

2 0 О 2 0 О

4. Найдите значение функции f(x)= x 5+log2* — 15logl22 4 при х=~

5. Упростите выражение: l l logvn 2 + }0 g3 — log i (Уз — V2).9 V3

6 . Упростите выражение и вычислите при m = 7, n =0,2:IOg4 Tl lo g 4 ?l lo g 2 n * 7^1og2 n ^ 2 lo g m n 3

cLb7. Найдите значение вы р аж ен и я :^ ^ — ),если

log^ Va = log„ 2 b = 1 .8 . Найдите значение выражения: з1оВ9<х+2 х-2_:1) + 7 iog4,(x-2Vx 2-i) при х= 2 ,0 1 .

Вариант № 8

1. Вычислите: (log48 6 + log48 8 + л/2°8 10)logn 5.л тт « lo g 2 9 6 lo g 2 32. Наидите значение выражения: ----- ———.

I ° g i 2 2 lo g 3 8 4 2

3. Вычислите х,если log5 x=5logs 2+1°So,2 ю q ^ * 5 iog2s4

4. Найдите значение функцииJL 1

f(x)= log2 3 + 2*e* * 4^* log2 384 при x = 8 .5. Вычислите: lgt# l°*lgt# 2°*lgt# 3°*.....**\gtg 8 8 ° * lgt:g 89°.6 . Вычислите значение выр;шения bloga a -- alogb ьа при a = 2; b = 3.

r77. Найдите значение Iogc— -,если logc2 a = logc3 fe = 1 .8 . Найдите значение выражения

4 l o g 2 ( 6 ~ V F : 5 ) + 3 ^ 1 o g 6 ( 3 + 2 \ 'x = 5 ) П р И х = у

39

Вариант №91. Вычислите: (lg 2 + 3log3? + Ig5)log23.гч т т ^ lo g s 2 5 0 lo g s 5 02 . Найдите значение выражения : ------ —.

* log2 5 log1 0 5

3. Найдите значение х,если Iog3 х = 2 log*9 — 0,5 Iog8 16-1-5 log2i6 6 .4. Найдите значение функции

1f(x)=21og3 7 + 2'°825* — log3 147 при х = 4.

5. Вычислите значение выраженияIog7n2 *logn 2 + lgn + lg5

log2(n - 4) + log7 16 ПрИ П6 . Упростите выражение и вычислите при а =0,5; Ь=3:

lo g 9 25( a log3 125 * £log273yogai)(2a+3b)3

7. Найдите значение выражения(2a2 + b - 4)lg(5a2“b), если loga 3 = 2; log2 b = 3.

8 . Найдите значение выражения2

2l°gi6(*+2—2^ + 1) _ 3log9(*+4V*+l+5) П р И ^ _ 0/2.

Вариант №101. Вычислите: (log12 3 + log12 3 + 7 iog74yogsiiо тт - log2 56 Iog2 72. Наидите значение выражения : — ----- -—~ —.

log28 2 log224 23. Вычислите х,если log7 х = 4 °'5 iog4 9-o,5 iog2 5 + q 2 * 3 ^ 9 4

4. Найдите значение функции1 1

f(x) =log5 2 + 3!s* * 2Jg* — logs 250 при х = 6 .5. Вычислите значение выражения при х=30:

log2 х * log3 х + log5 х * log2 x + log3 x * log5 xlog2 x * log3 X * logs X

6 . Упростите выражение и вычислите при а =2;Ь=0,01;1°8юо а 1°8юо Ь

(Ь lg a * a ~ l g b )2 l o g ab(a + b )

7. Найдите значение выражения

l0 §e2 еСЛИ l0Se3 b = 1оёе3 £ =8 . Найдите значение выражения

51ов2з(ДС-2л/^=1) + 8 log64(3-4VJ=I+x) п р и х _ 2Д .

40

Логарифмические уравнения

Решить уравнения:

I . log2(x2- X" 2 ) = 2 .16 = 2 .

3. log(x-2)(x3 - 14) = 3.4. logx+i(x + 2) = -1.5. log3( 12 — 3*) = х-1.6 . lo g 2 (4“ 2 )= х.7. (х - 2)lg(l- х2) = 0.8 . logics* 2 = 2 .9. log3 (3* — 8 ) = 2 — х.Ю. log|x_1,(2 jc - l ) 2 = 2 .

I I . logCOS3C- = 2 .

12. (log3 x)loS2(*-« = 1 .13. logsin*(l - cosx) = 2.14. logv2cOS* (3 “ c o s * ) = 2 -15. log2(21og3( l - 2x))=l-1 6 . l o g o ,5( x 3 + З х 2 + X + 1 ) = l o g o ,5( x 3 + 5 ) .

17. log6(x + 4) = loge(2x2 - 5) log«x.18. 2(lg 2 - 1) + lg (5 ^ + l ) = lg(51-^ + 5).

19. ilog 3(2x - 3) + 2^ = log3(6 x + 9).20. lg(3* + x - 17) = x l g 3 0 - x .21. lg(10x+1 - 9 ) = 2x.2 2 . |log2 x - 1 | + |log4 x\ = 0,5.23. lg(6 • 5* + 25 ■ 2 0 *) = x + lg25.

24. log|(x + 1) - (1 + log2 x)2 = log2 ( ^ ) .

Решить уравнения.

Вариант № 1lOgj. 4

1. Решить уравнение log3(x2 + Зх) = 7 7 .В ответ запишите корень

уравнения или сумму корней, если их несколько.4х~ 12. Решите уравнение log2 (~j~) + log2 х = 0. В ответе запишите

наименьший корень этого уравнения.

3. Сколько корней имеет уравнение

log7(x + 1) - log7(7 — х) + log7(x + 2) = 0

4. Решите уравнение logs(x + 3) + log0 6(2х — 1) = 1. В ответе запишите3

корень уравнения или произведение его корней, если их несколько.

5. Найдите наибольший корень уравнения 3 log8x + 5 log8 х = 2.

6 . Найдите среднее арифметическое корней уравнения

log4 log3 3* +2 + Iog4 log2 4 4~* = 2.

7. Решите уравнение —-------- -- -■■■—■— = 1. В ответе запишите кореньl+log2x 3+log2;c *уравнения или произведение его корней, если их несколько.

8 . Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их

несколько: 42x2 5х Н- 2 ■ log(x + 1) = 0 ,

Вариант№2

1. Укажите наименьший корень уравнения 2 logfjt — log4 х 13 = 7.

2. Найди корень уравнения log5 logi log9 х = 0.2

3. Найдите сумму корней уравнения log* + log(4x - 1) = log(5x - 2).

4. Сколько корней имеет уравнение log8 (3# — 5) = — log8 х.

42

5. Укажите наименьший корень уравнения 2 log5 cos х = log0 2 4,

принадлежащий промежутку [—90°; 90°].

6 . Найдите сумму корней уравнения log (х — 9) — 1 — log*.

7. Найдите произведение корней уравнения V5х ~~ х 2 ■ 1п(х — 1) = 0.

8. Найдите наименьший корень уравнения log3 З3х+5 + 5 logs = х 2

Вариант №31. Найдите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько:

In (5 — х) = In — .4 У 2-Х2 . Найдите корень уравнения или произведение всех корней, если их

несколько: log(x + 1.4) = log 6 — log 5х.ylogy (*2-4X+4).(*_25)

3. Сколько корней имеет уравнение------- - — --------= 0?

4. Найдите корень уравнения или среднее арифметическое его корней,

если их несколько log3(3* — Зл/З) + log3(3* + 3л/3~) = log3 (6 • 3х).

5. Найдите произведение корней уравнения

5 2(iog2* )2 _ 2 6 - 5(iog2 * )2 + 2 5 = 0 .

6 . Укажите наименьший корень уравнения 3 log4 х ~ х log4 х — х — 3.

7. Решите уравнение /(х ) = / (§ + 2), если f ( x ) = log а(6 л: — 1).

8 . Найдите среднее арифметическое корней уравнения

(х2 - 49) log5 (6 - *) = 0.

Вариант№4

1. Найдите сумму корней уравнения log2(x2 + 3) — log2 х = 2.

2 . Решите уравнение log5*

43


Iog2(* - 2 ) 2 + log2|* - 2 | = 6 .

4 . Решите уравнение log2 х + log2 \fx + log2 Ух = 5,5.

5. Найдите нецелый корень уравнения

21og5(2 x + 3) = 1 + log5 (2x + 1 ,8 ).6 . Найдите сумму квадратов корней уравнения

log2 х + 3 log2 х + logi х = 2 .V 2

3 log2 x _ log2 x -27. Найдите наименьшим корень уравнения ]og2~ - }og2% •

8 . Найдите произведение корней уравнения 41og* 3 - 3 log3* 3 = 1.

Вариант№5

1. Найдите сумму корней In = 1п(х + 6 ).

2. Найдите произведение корней уравнения In 0 + х) = 1п| + 1пК

3. Сколько корней имеет уравнение------------ 2-iog3*---------------

4. Решите уравнение log3 (5x — 5) = log3(24 * 5*) — log3(5* — 5). Если корней больше одного, то в ответе запишите их среднее

арифметическое.5. Найдите произведение целых корней уравнения

3 2 iog22х _ 3 2 . 3 l°g22^ + 81 = 0 .

6 . Укажите больший корень уравнения х log3 х — 2 log3 х = л: — 2.

7. Решите уравнение /( я ) = / + l ) > если /(х ) = log6(3x). Если

корней больше одного, то в ответе запишите их среднее

арифметическое.8 . Найдите сумму корней уравнения (х + 2) log4(x — 3) = 0.

44

Вариант№ 6

1. Найдите сумму корней уравнения = Ы(х + 4 ).

2 . Найдите произведение корней уравнения log ( j + *) = log - — log(x),

о гу ~ 51о ^5((.х -6)(-х + 9)).(х_ 7)3. Сколько корней имеет уравнение------------------- = О7

l-log7x

4. Решите уравнение log2(2* - 4) + log2(2x + 4 ) = log2( 6 ■ 2х). Если

корней больше одного, то в ответе запишите их среднее арифметическое.

5. Найдите произведение корней уравнения2 2(1оё5х )2 _ 15 . 2 Gogsх)2 - 16 = 0.

6 . Укажите наименьший корень уравнения х log2 х + Iog2 х = х + 1 .

7. Решите уравнение /О ) = / (“ + 3 j , если f ( x ) = logs(4 x).

Если корней больше одного, то в ответе запишите их среднее арифметическое.

8 . Найди сумму корней уравнения (х — 3 ) log3(x — 7 ) = 0.

Вариант№7

1. Найдите корень уравнения logx2 81 + log3jc 27 = 2, принадлежащие отрезку [2 *^1 0 ].

2 . Найдите наименьший корень уравнения---- -•----=log4(x+l) 0,5

3. Решите уравнение In (J + 2х - 10) = х(1пп - 1). Если корней больше

одного, то в ответе запишите их сумму.

4. Решите уравнение 52(log5*)2 -f 5 ^°*5*)2 — 2 = 0 .


3 log(4x2) - 2 log2(—2дг) = 4.

45

6 . При каком целом х значение функции

у — 0,5(х + з)1ов(*+3) равно 5?7. Найдите значение Зхо, если х0 — наименьший корень уравнения

/ 0 0 = / ( f + 1) ' если = 1о8 з0 с2 + 2)-

8 . Найдите сумму корней уравнения (4* + 3) log3(4* + 5) = 0.

Различные приемы при решении логарифмических уравнений

Вариант 1/ 'л п \ 91. Решите уравнение: (log3x — 5) = ]о — -

2.. Найдите больший корень уравненияlogi(l-x)

log|x + 21og2x + х + 0 .2 s = 4 .3. Найдите все значения х, при которых значения функций

у = logs ( l + ; ) И g= 4 - 31og5 совпадают.


log4 x - 2 = 3 logx 45. Найдите наименьший корень уравнения

log8(x2 - 3) + logx l = 0 .

6 . Решите уравнение:

logi3 X • log2(x - 2 ) - log13 х3 = 0 .7. Найдите корни уравнения

log(x+3)2(2x2 + 5х + 3) = 1.

8 . Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций

у = log7( l — 6 • 7х) и g = 2х + 1

46

Вариант 2

1. Решите уравнение: (2 - log2x) 2 = 8log4*4log4X2

lOg22 . Решите уравнение: log§x - 31ogsx+x+0.4 s 3-*5 = 7 .

3. Найдите все значения х, при которых значения функции

у = log2 ( 2 + ~) и У = 1 - 21og2 совпадают.

4. Решите уравнение: log7x • log2(2x — 5 ) = log7xs.

5. Решите уравнение: log2(x + 1) — 2 = 41ogx+14. Если уравнение

имеет более одного решении!, в ответе запишите произведение его решений.

6 . Решить уравнение log(x+1 2(2x2 + 4х — 2 ) = 1 . Если уравнение

имеет более одного решения, в ответ запишите сумму его корней.7. Сколько точек пересечения имеют графики функций-

у = V15 — 4х и у = log2(x — 3) ?

8 .Решите уравнение: logsinx(sin2x + 3cos2x + sin2) = 0.

Вариант 3

1о8*+1 811. Решите уравнение: ( log4 2х + 2 ) 2 = ----- г—.

2 . Найдите наибольший корень уравнения_ , -> lo g i(2 6 -2 x )3 log 27 X - 4 log27 X + 2х + 0,5 2 2 5 .

3. Найдите все значения х, при которых функция у = log3( l - i)

и у = 6 + log3 принимают равные значения.

47

4. Найдите произведение корней уравнения 2 log7 х + 1 = log* 7.

5. Найдите наименьший корень уравнения

log7 (x 2 - 8 ) - logx2 1 = 0 .

6 . Решите уравнение: Iog17 х • log3(2x — 3) — log17 х4 = 0.

7. Найдите корни уравнения log(*_2)2(2x2 — Зх — 8 ) = 1.


f { x ) = log4 (4* - 1) и д(х) - 2 х - 1 .

Вариант 4

1 . Решите уравнение: Iog23 х — log3 х — 3 = (V3 — х 2) 2 + х 2.

2. Найдите наибольший корень уравнения1 2 1 о -2л/х-5log2 х — log2 X — 8 = — = = - .

3. Найдите все значения х, при которых выполняется равенство

3М 2 + ^ ) = 21°8*<2 - ^ + 8 -4. Найдите корень уравнения 2logs* + 3 • x logs 2 = 8 .


log22(;t + 3) + у/(х + 3)(х + 2 ) = 0 .

6 . Найдите наименьший корень уравнения х1оШг*~4 =

7. Найдите сумму корней уравнения

(х2 + 2х - 8 ) log5 (7 ~ х 2 - 5х) = 0.

8 . Найдите все значения х, которые обращают в нуль производные

функций

у = log3(x2 — 4х + 4) и у = tg(2nx).

43

Вариант 5

1. Решите уравнение: log9(;t + 8 ) Iog*+2 3 = 1.

2. Найдите наибольший корень уравнения log21 25х + log5(— х 2) =5 125

8.

3. Найдите все значения х, при которых значения функций

у = 4 log3*+1(x 3) 4 и у — Iog^ 3(3x + 1) совпадают.

4. Найдите х, при котором 21дх — 16 равно (—х 1д2).

5. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,

если их несколько: log2 х + 2 log2x (~) = 1 -

6 . Решите уравнение: l o g ^ O 2 - вх + 5) 2 = 2. Найдите 2хг - хг,

если хг, х2 — корни этого уравнения и хг < х2-

7. Найдите произведение корней уравнения log* 3 - log9 х + ~ = 0 .


у = logs(25* - 20 * 5х) и у = х + 1.

Вариант 6

1. Решите уравнение: (в^/х)1084* =

2. Найдите все значения х, при которых пересекаются графики функций \

У = l°g2(25*+3 - 1) и у = log2(5*+3 + 1) + 2 .3. Найдите сумму корней уравнения

logo,sx^ + log- 2x 0,5 = 1.

4. Найдите корни уравнения log5(—20 + 5х) = 3 — х.

5. Решите уравнение: 1 + log(*_2) 2 ■ log2(2x - 1) = 2 log(*_2) 3.

49

6 . Найдите произведение корней уравнения2 lo g 7 x 2 + ^ 2 y o g 7 2 _ 4 ,

7. Найдите наименьший корень уравнения

— 1— + — 5— = 1.log3 х -6 Iog3 х+2

3^1 S - X8 . Решите уравнение: 2 log 9 х - 5 log9 х = *^|=г-

Решить системы уравнений:

г 3Х. 2 (у+1) = 288,' llog4(y - х) = 0,5;

Гу'я* = 1 0 0 ,‘ W =

5.

7.

Ху = 1 0 0 0 ;

По82(х + у) = у,оеу3,I ху = 7;

riog2( x - y ) + log2x = 2 ,I х + у = 2 ;

rlog2x + log4 y = 1 ,14 = Х2 + 491о87л/У;

(2 • 31-у + log0j5 х = 0 , ' (ЗУ+2 - 11 + 81og2x;

(ху = 5 + у2, I logx 9 = у;

fx + 1ду - 3, - { у* = ЮО;

6 . {,

*• I

Г 21о84У = у/х,Uog3 х ■ log3 у = 4;

у — х = 30, log4x + log4y = 3;

log2(x + у) = 3, log2 х + log2 у = 2 + log2 3;

1П flog3 y + 3 2x = 4,I 9-x -log3 y = 3;

1 2 ( l o g x У - l o g y x = 1.5, I xy = 8 ;

14-{:log2(x2 + y2) = 3,

2 log4(-x ) + log2y = 2 ;

50

(Igx4 ■ Ige2 = QlgS,I xy = 50;

|lo g 2 x - 21og2 ( y - i ) = 0, [log2(x + 1) = log2 (y + i ) .

1 Q 2 ^ logy 2 ,I x 2 — 4y 2 = 0.

21 |з ^2 logy2 x - logi y j = 1 0 ,

( xy - 81

16. f lo g 3( 6 x - y > = 1, 1(18* — 3 y ) ■ 91_y = 1.

18 ((V s),e* =( yVx = 2 0 .

2 0 По85* + 31о8зУ = 7, I x > - 512.

Тест Логарифмические уравнения и системы

рГ Если к - число корней, а Хо - отрицательный корень уравнения

log5-x(2x2-12x+17)=2, то (Зкн-1)-Хоравно:

1)1; 2)175; 3) -1; 4) -1,75; 5)0,9

|Т | Если к - число корней, а Хо- отрицательный корень уравнения

logio-3x(10x2-61x^94)=2? то 2к+х0 равно: 1)-2; 2)0; 3)5; 4) -1; 5)3

рГ| Найти сумму корней (или корень, если он один) уравнения

log2(2x- 1 )-logo,5(2 +x)= 1 +21og23 .

1) 4; 2) 6,5; 3) -1,5; 4) 2,5; 5) нет решений

Если к - число корней, а х0 - положительный корень уравнения

51

log3(x3-7x)+ logi/3x=2, то k-xo равно: 1) 4; 2) 12; 3) 8; 4) 6; 5) нет

решений

j~5~j Сумма корней уравнения (log2(x-4)+log2(x+10)-5)-(x2+ x -3 0 )-0

равна: V У 11’’ 3> 6; 4> '7: 5)17

6 Если хо- корень уравнения (х+1)1о82<х+1)'2- ^ ^ + i ’то 2 х °+3

равно: V 7; 2) 8; 3) 9; 4) 10; 5) 4

р7~| Произведение корней уравнения х4-г°ЯзХ = 9 равно:

1)84; 2)27; 3)81; 4)3; 5)9

1Г Если XI - корень уравнения 5lgx = 10 - xlg5, то выражение

2 2 ig ( 3 3 + x 1) i g - 12 2 равно; 1) 2) 43; 3) lg44; 4) lg43; 5) 44

91 2 х I | 2 Х_ 1

Произведение корней уравнения log ш ^ -iog ш3 1

равно: 1)27; 2)9; 3 )± f 4) \ fS)3

10 Частное от деления большего корня на меньший корень

lg2(100x)+lg(j)2=lg^~^ равно: 1) 2; 2) л/10; 3) 100; 4) 10; 5) 0,1

И 8 XСумма корней уравнения logsxj+^^g ' 1 равна:

0 ^ 2 ) ^ ; 3 ) ^ ; 4) 9; 5)8

122 1

Сумма корней уравнения logo,4x~_rioa^20 4=1 равна:

1)7,65; 2) 6,65; 3)13,3; 4)14,4; 5)5,65

52

13 Найти сумму корней (или корень, если он один) уравнения

J logxV2x + = 0 , 1) 0,25; 2) 1,25; 3) 4; 4) 4,25; 5) нет pent.

14 Если к - число корней, а хо - больший корень уравнения__1одх2 16 4- 1од2\х\(>4=3, то k-хо равно: 1) 4; 2) 12; 3) 10; 4) 16; 5) 8

Найти сумму числа корней и большего корня уравнения15

lo g2x 4+logjX8=log2X2-log5X2 . 1) 21; 2) 22; 3) 23; 4) 24; 5) 28

Найти сумму корней (или корень, если он один) уравнения16

41og2(x+2)3+12=3 log2(x-1 )4 1) -1; 2) -6; 3) -5; 4) 4; 5) нет реш.

Найти произведение корней (или корень, если он не один)17

41одх2_8(4 - х )6 = 1одв{4 - х)6 .

1)-60; 2)-20; 3)-320; 4)-12; 5)15


1°9х2-8*-в(* + 2)4 = 1одх+14(х+2)4

\ 1)7; 2 ) 11 ; 3)9; 4)8; 5)5

Найти сумму корней (или корень, если он один) уравнения19

log2— -— + l o g i j x - 2)2=log6|x+3|6 3 6

1)-1; 2)4; 3) 3; 4) -4; 5) нет реш.

Если х0 - корень уравнения 2^1од23 = з / 1о х-о,7Б ?20

53

то значение х02-1 равно: 1) 26; 2) 12; 3) 19; 4) 3; 5) нет решений

Если к - число корней, а Хо - положительный корень уравнения21

tyjiog'si — qy/log9i5 1од81(х2 4*) то произведение к*хо равно

1)7; 2)14; 3)9; 4 )\; 5)182

22 Укажите интервал, которому принадлежит сумма корней уравнения.

Ig2(x+12)+6Ig2x=5 lg(x+12>lgx

1) (3;4); 2) (7;8); 3) (2;3); 4) (4;5); 5) (6;7)


| Х + 2 | 1о 8 2 ( 3 + х ) = ( х + 2 )4

1)-4; 2)9; 3)12; 4)10; 5)нетреш.

{1од2х 2у 3 = 1log — = 4 ’

то сумма х0+уо равна: 1) 2,5; 2) 3; 3) 3,5; 4) 4; 5) 4,5

Сколько существует точек на плоскости, координаты которых25являются решениями системы уравнений

1 320 - х1°9зУ + 7 • v log*x = ЗТ

х У 8 “ ? 1)1: 2) 2 '> 3)4 ; 4) 6: 5) 5х ■ у = Зз

54

Решить неравенства .

1. lo g 8 (x 2 - 4 х + 3 ) < 1 .

2 . l g l g g > 0 .

- Ig2x-4lgx+S 1 21gx—3 ‘

4. logx2_x_s(x2 — 8х + 15) > 0.5 x lg(x2-6 x + 5 ) ■> J

6- logx—2 0 - 8х + 15) > 0.

7. log5V3x + 41ogx5 > 1 .

8 . logxlog2 (4x - 12) < 1.

10 . logx7^ < - .&x |x—3| 2

11 . Vxlo«2^ > 2 .

12. (0.2)1Og02x + X logo.2X > 2.5.

13. 10gx2_gx+l6(X — 16) 1°8х2+8х+1б(х2 ~ 16) ^

14. 2X3X* = 6.

15. log2log3 — < log|log|\

Решить неравенства методом интервалов.

1 . д/Igx + д/25- l g x < 7 .

2 . log2(x + 1) < 1 - 21og4x.

3. l o g ^ x - l o g ^ ^ S 2.

4. logxVx + 12 < 1 .

55

I vO

5. logx3 < log2x+39.

6. logx( l - 2x) < 1.

7 . lo g 3lo g 27lo g 2 (x 2 + x + 2 ) < - 1 .

Логарифмические уравнения, неравенства,

(итоговая контрольная работа)

1. Решите уравнение

a) log r j - x = - \ ;^7 v7 *

b) log7(x(2x — 5) + 31) = 2;

c ) ^ ( 6 4 2V 2 ^ ) = 0 ;

d)logx9 = 2.


a) log3 x + logo x + Iog27 x = 5,5;

b) log4log2 x + log2 Iog4 x = 2;

c) logx(x - 1) - log2(x + 1) - logj_(7 — x) = 1;2 V2

d) log3 x + lo g ^ x + logi x = 6 ;3


l+ lg (x -l) ____1____= 1 .} l - i a 2( x - l ) 1- I 3 (x -1)

b) 41og42(—x) +21og4 x2 + 1=0;

c) log2 x - logx4 = log2 5 -4;

систем

56

d) log 2 x 3 - lo g x + 1 = 0 ;


a) д/Iogz x + / lo g x 2 = ^ ;

b) 21og7 x - logx 49 = 3;

c) Vlog3 x9 -41oggV3x= 1;

d) log3x + log32x = 1;

5 .Решите уравнение

a)AjlogxV5x X logs x = /;

b)log(lOx) x log(0,lx) = logx3 - 3;

c)logx+i(x3 - 9x + 8 ) log,.-!(x + 1) = 3;

d)logx 3 x logx 3 + log_x_ 3 = 0;3 8 1


a ) x l 0 g 3 X - 4 = i _

7 2 7

b ) x log 2 x+2 = 2 5 6 ;

c ) x !°g298 1 4 lo82 7 = 1;

d)x21og2x = 1 0 x3.

7.Решите уравнение

a) 3* = 10 — log2 x; 6) Iog2 ( 4 - x ) =

в) Iog3 ( i “ | y “ ** |) = sin nx; r) 2 log2 g + £

x - 3 ;

I7 = - x 2 + Sx - 2 ;

57

8.Решите систему уравнений

flog4 х + log4 у = 2 , flog3 х + log3 у = 3aU 2х + у =33; Зх + у = 30,

flog3 х + log3 у = 2 + log3 7, flog4 х - log2 у - о,1 log4(x + у) = 2; I х 2 - 5у2 + 4 = 0;

9.Решите систему уравнений

flog4 у + log(lOx) = 1, _ (ЗУ log2 х - log2 х 2 = Зу,a^ l logx + log2y = 1; I 21og2x = 3 + 3y

(4 log* 8 — 2y = 1, |Iogy x + logxy = 2,1 log2 x + 3y = 7; t x 2 — у = 20;

10. Решите неравенство

a) log2(x2 - 2 x) > 3 ; 6 ) lo g i^ - j < 1 ;

в) logsjn log2 ^ < 0 ; r) logi(Vx + 1" - x) < 2 .

ll.Pemume неравенство

a) log0|5( l + 2 x) > - 1 ; 6) log2 ~ < - 1 ;

X —2

В) logj_(6 * +1 - 36*) > ~2 г) (-) < 1.V5

58


a) 2 2 loffc(*2- i ) < 1 ;

1 \ l°g 5 l°g o ,3 (* -0 ,7 )В ) ( — )

7 4 2 0 0 9 / < 1 .

6) (0,55S)l"ibr'« J г 1;

гп ' ^ - й п )')© S 1 ;


Iog3(5x + 1) l°g3(7x — l ) 2 — ’

в) log3 V5 - 2 x ■ log* 3 < 1 ;


a) b g x+1(2x2 - 3x + 1) < 2;3

®&2x—x2 ^

2 1;log» ( j + 1)

Г) log*(-+ 1) > 2;2 *

6) bg*+1(x2 + x - 6 ) 2 > 4 ;

r) log4x 4 2 (x — 2 ) 2 > 03 9~

i 5. Решите неравенство

a) 3 log3v^=l < 3 log3(x-6) + 3 .

в) *21oe* > 1 0 x;

( X ^ x - 26> У < 100:

r) log I 0 log(*2+21) > l l ogx

Список литературы*

1. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства:

учебно-методическое пособие/ П,Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков -

М.;Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2006

2. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства./ И.Т.

Бородуля- пособие для учителей. М., «Просвещение», 1990

3. Сборник упражнений по алгебре. Показательная и

логарифмическая функции / В .Я. Солодухин- М.: Школьная Пресса,

2002

4. Математика. Решение задач повышенной сложности. /

B.А. Клейменов - М.: «Интеллект-Центр», 2004

5. Алгебра и начала анализа; 500 способов и методов решении задач

по математике для школьников и поступающих в вузы. /

А.Р. Рязановский- М.: Дрофа, 2001

6 . Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных./ ,

C.В. Кравцев, Ю.Н. Макаров, М.И. Максимов и др. - М.: Экзамен,

2001

7. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа:

Метод, рекомендации и дидактические материалы: Пособие для

учителя / МЛ. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд.- 2-е

изд., дораб.- М.: Просвещение, 1990

8 . Тематические тесты по плану ЕГЭ. Математика 10-11 классы/ Ф.Ф.

Лысенко.- Ростов на Дону: Легион, 2008

9. Тренажер по математике 2: заключительный этап подготовки к

экзамену / В.В. Веременюк.- Минск; ТетраСистемс, 2009

10. Математика: тренинг решения задач. / С.А. Барвенов, Т.П.

Бахтина.- Минск: ТетраСистемс, 2009.60

■

ЛОГАРИФМЫ · 2014. 11. 2. · «Логарифмы. Преобразования,...

Documents