1.1 Definición de un vector en ℝ², ℝ³ y su Interpretación geométrica. 1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales. 1.3 La geometría de las operaciones vectoriales. 1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades. 1.5 Descomposición vectorial en 3 dimensiones. 1.6 Ecuaciones de rectas y planos. 1.7 Aplicaciones físicas y geométricas.

Primeramente debemos aclarar que unicamente los vectores se

pueden visualizar graficamente en estos dos casos, cuando n=2 y n=3,

pero en general los vectores se pueden denotar con la expresión ℝⁿ

donde la letra n denotara un numero natural, entonces consideremos el

conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales, que

denotaremos por ℝⁿ (y leemos "erre ene").

ℝⁿ = {(𝑥1, 𝑥2,, … , 𝑥𝑛)| 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 ∈ ℝ}

■Ejemplo 1

Un hecho de fundamental importancia en el conjunto ℝⁿ es que

podemos definir en él dos operaciones entre sus elementos, las cuales

cumplen con ciertas propiedades que veremos a continuación. Este

hecho hace que tal conjunto tenga una estructura algebraica llamada

espacio vectorial y que, por tanto, nos podamos referir a él no sólo

como el "conjunto ℝⁿ ", sino como el "espacio ℝⁿ". Las operaciones

que definimos en ℝⁿ son:

1. Suma de n-adas ordenadas. Si (𝑥1, 𝑥2,, … , 𝑥𝑛), (𝑦1, 𝑦2,, … , 𝑦𝑛)

son dos elementos de ℝⁿ, definimos su suma, denotada por

(𝑥1, 𝑥2,, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, 𝑦2,, … , 𝑦𝑛) como

(𝑥1, 𝑥2,, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, 𝑦2,, … , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)

Producto de una n-ada ordenada por un escalar. Si (𝑥1, 𝑥2,, … , 𝑥𝑛)

es un elemento de ℝⁿ, y 𝑐 es un número real (en álgebra lineal se usa la

palabra “escalar” para designar a un elemento de un campo, que en

--

nuestro caso es ℝ; siguiendo esta nomenclatura, tambien nosotros

llamaremos escalar a un número real). El producto de la n-ada

(𝑥1, 𝑥2,, … , 𝑥𝑛) por el escalar 𝑐, denotada por 𝑐(𝑥1, 𝑥2,, … , 𝑥𝑛), se

define como 𝑐(𝑥1, 𝑥2,, … , 𝑥𝑛)= (c𝑥1, c𝑥2,, … , c𝑥𝑛)

Obsérvese que, según estas definiciones, tanto la suma de n-adas

como el producto de una de ellas por un escalar, son nuevamente n-

adas del conjunto ℝⁿ. Por ello se dice que estas operaciones son

cerradas en ℝⁿ. ■Ejemplo 2 (Estas operaciones cumplen con los axiomas de espacio vectorial) Definición 1 de vector.

Definición 2 de vector.

Definición 3 de vector

Definición 4 de vector

Vectores geométricos: un vector o vector desplazamiento puede

considerarse como una flecha que conecta dos puntos A y B en el

espacio. La cola de la fecha se llama punto inicial, y la punta de la

fecha se denomina punto final.

Notación y terminología: La distancia entre los puntos inicial y final de

un vector |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| se denomina longitud, magnitud o norma del vector y

se denota mediante |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|. El negativo de unvector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, escrito − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, es

un vector que tiene la misma magnitud que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ pero la dirección

opuesta. Si k=0 es un escalar, el múltiplo escalar de un vector 𝑘𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗,

es un vector que es |k| veces la longitud de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Si k >0, entonces 𝑘𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

tiene la misma dirección que el vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗; si k<0, entonces 𝑘𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ tiene

la dirección opuesta a la de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Cuando k=0, afirmamos que 0𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ =0 es el vector cero.

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Dos vectores son paralelos si y sólo si no son múltiplos escalares uno

del otro.

Interpretación Geometrica de Suma y resta: Es posible considerar a

dos vectores con el mismo punto inicial común, tal como u=⟨2, 3⟩ y

v=⟨5, 1⟩. Si estos vectores no paralelos 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, son los lados de un

paralelogramo, se dice que el vector que está en la diagonal principal,

es la suma de u+v.

Esta suma se escribe 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗. En ciencia y en ingeniería, si dos

vectores representan fuerzas, entonces su suma se denomina la fuerza

resultante.

La diferencia de dos vectores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ se define mediante

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗+ (−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗). Como se observa en la siguiente figura, la

diferencia 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ puede interpretarse como la diagonal principal del

paralelogramo con lados 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Sin embargo, como muestra la siguiente figura la misma diferencia

vectorial también puede interpretarse como el tercer lado de un

triángulo con los lados 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y −𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Aritmetica de componentes: Sean a=⟨𝑎1, 𝑎2⟩ y b=⟨𝑏1, 𝑏2⟩ vectores en

el espacio bidimensional.

i) Adición: a + b = ⟨𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2⟩ (1)

ii) Multiplicación escalar: k a = ⟨𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2⟩ (2) Igualdad: a=b si y sólo si 𝑎1 = 𝑏1, 𝑎2 = 𝑏2 (3)

Suma de vectores

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--

--

Introducción a los Campos Escalares y Vectoriales: El movimiento

del viento o el flujo de fluidos pueden describirse mediante un campo

de velocidades en el que es posible asignar un vector en cada punto

representando la velocidad de una partícula en el punto.

Esta figura muestra el flujo de aire alrededor de un ala de avión en

donde |𝑉𝑎|> |𝑉𝑏|

Otro ejemplo muy sencillo de observar es el de las corrientes

oceánicas, pero en general, un campo vectorial es una función cuyo

dominio es un conjunto de puntos en ℝ² o bien en ℝ³, y cuyo rango es

un conjunto de vectores en 𝑉2 o en 𝑉3.

Definición 1: Sea D un conjunto (una región plana) en ℝ². Un campo

vectorial sobre ℝ² es una función F que asigna a cada punto (x, y) en D

un vector bidimensional F(x,y). De manera similar, Sea E un

subconjunto de ℝ³. Un campo vectorial sobre ℝ³ es una función F que

asigna a cada punto (x, y, z) en E un vector tridimensional F(x, y, z).

Definición 2: Un campo vectorial es el espacio bidimensional en una

función de valores vectoriales. F(x, y)= P(x, y)i + Q(x, y)j que asocia

un único vector bidimensional F(x, y) con cada punto (x, y) en una

región R en el plano xy sobre el cual están definidas las funciones

componentes escalares P y Q. De manera similar, un campo vectorial

en el espacio tridimensional es una función.

F(x, y, z)=P(x, y, z)i Q(x, y, z)j R(x, y, z)k (1) que asocia un único

vector tridimensional F(x,y, z) con cada punto (x, y, z) en una región D

del espacio tridimensional con el sistema de coordenadas xyz. La mejor manera de representar un campo vectorial es dibujar la

flecha que representa al vector F(x, y) que inicie en el punto (x, y).

Naturalmente, es imposible hacerlo para todos los puntos (x, y), pero

puede conseguir una representación razonable de F trazando la flecha

para algunos puntos representativos en D como en la siguiente imagen

Puesto que F(x, y) es un vector bidimensional, puede expresarlo en

términos de sus funciones componentes P y Q como en (1) o bien,

simplificando: F=Pi + Qj + Rk. Observe que P, Q y R son funciones

escalares de tres variables y, algunas veces, se les llama campos

escalares para distinguirlos de los campos vectoriales. Un campo

Vectorial en F en ℝ³ se representa en la anterior figura:

En general, es difícil dibujar campos vectoriales a mano y por ello

debemos confiar en la tecnología. Por ejemplo a continuación se

muestra un Campo Vectorial en 3d

Campos vectoriales gradiente: La diferencia entre un campo

vectorial y uno escalar, es que el campo escalar representa en una

coordenada a un vector perteneciente al campo vectorial.

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Un gradiente es: 𝑓:U⊆ℝⁿ→ℝ una función diferenciable definida en el

conjunto U de ℝⁿ. Se define el (vector gradiente) de la función 𝑓 en el

punto 𝑥0 ∈ 𝑈, denotado por grad 𝑓(𝑥0) o ∇𝑓(𝑥0), como el vector de

ℝⁿ dado por

(1) Grad 𝑓(𝑥0) = (𝜕𝑓

𝜕𝑥1(𝑥0),

𝜕𝑓

𝜕𝑥2(𝑥0),… ,

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑛(𝑥0))

𝜕𝑓

𝜕𝑥=

𝜕(𝑥𝑦𝑧)

𝜕𝑥= 𝑦𝑧

𝜕(𝑥)

𝜕𝑥= 𝑦𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝜕(𝑥𝑦𝑧)

𝜕𝑦= 𝑥𝑧

𝜕(𝑦)

𝜕𝑦= 𝑥𝑧

𝜕𝑓

𝜕𝑧=

𝜕(𝑥𝑦𝑧)

𝜕𝑧= 𝑥𝑦

𝜕(𝑧)

𝜕𝑧= 𝑥𝑦

(2) ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝒊 + 𝑥𝑧𝒋 + 𝑥𝑦𝒌

¿Porque representar Campos Vectoriales?

Porque nos permite describir, por ejemplo, campos de velocidades:

piense en un líquido que fluya de un tubo.

El gradiente es un vector que índica como varia el vector escalar en

las proximidades de un punto

Por lo tanto se deduce que, para que exista una máxima variación del

campo, para un valor fijo |dr|, el coseno del ángulo formado por dr y el

grad V, debe ser uno y el ángulo que forman dichos vectores, nulo.

Definición de gradiente. El gradiente es un vector que tiene la

dirección de la máxima variación del campo y va en el sentido de los

valores crecientes de v. (ESTOS TEMAS SON DE LA UNIDAD IV)

--

Producto Cruz: Consideremos un

paralelepípedo en el espacio determinado

por tres vectores no coplanares �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ∈

ℝ³, como se ve en esta figura. El volumen

del paralelepípedo es,

𝑉 = |�⃗⃗� ∙ (�⃗� × 𝑣 )|=|𝑖 𝑗 𝑘𝑢1 𝑢2 𝑢3

𝑣1 𝑣2 𝑣3

| ∙ �⃗⃗�

Rectas en el espacio tridimensional: La clave para escribir la

ecuación de una recta en el plano (ℝ²) es la noción de la pendiente. La

pendiente de una recta (o su ángulo de inclinación) proporciona un

indicio de la dirección. Una recta en el plano se determina

especificando ya sea un punto y una pendiente o cualesquiera dos

puntos distintos. Básicamente lo mismo es cierto en el espacio

tridimensional (ℝ³). A continuación verá que los conceptos de vectores

son una ayuda importante en la obtención de la ecuación de una recta

en el espacio.

Ecuación vectorial: Una recta en el espacio (ℝ³) se determina

especificando un punto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) y un vector distinto de cero 𝑣. A

través del punto 𝑃0 pasa sólo una recta 𝐿 paralela al vector dado.

Suponga que 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) es cualquier punto sobre la recta. Si 𝑟 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ y

𝑟0 = 𝑂𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ son el vector posición de 𝑃 y 𝑃0, entonces debido a que

𝑟 − 𝑟0 es paralelo al vector 𝑣 existe un escalar 𝑡 tal que 𝑟 − 𝑟0 = 𝑡𝑣.

Esto proporciona una ecuación vectorial 𝑟 = 𝑟0 + 𝑡𝑣 de la recta.

Al emplear componentes, 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩, 𝑟0 = ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑧0⟩ y 𝑣 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩ advertimos que la ecuación de la recta es igual a

Ecuación vectorial ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧, ⟩ = ⟨𝑥0 + 𝑎𝑡, 𝑦0 + 𝑏𝑡, 𝑧0 + 𝑐𝑡⟩

Ecuaciones paramétricas

𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡

𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡

Ecuaciones simétricas

𝑥 − 𝑥0

𝑎=

𝑦 − 𝑦0

𝑏=

𝑧 − 𝑧0

𝑐

Rectas perpendiculares y paralelas: La siguiente definición

proporciona una manera de usar los vectores direccionales de dos

rectas para determinar si las rectas son perpendiculares o paralelas

Línea que pasa por 𝑃0 paralela a 𝑣

Dos rectas 𝐿1 y 𝐿2 con vectores direccionales 𝑣1 y 𝑣1, respectivamente, son

Perpendiculares si 𝑣1 ∙ 𝑣2 = 0

Paralelas si 𝑣2 = 𝑘𝑣1, para algún escalar 𝑘 distinto de cero

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Ecuación del plano (este

tema no existe para ℝ²,

directamente pasamos a ℝ³).

Comencemos por la idea más

simple: un plano Π en ℝ³ queda completamente determinado si se conocen:

Un punto 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) por el que pasa

Un vector normal (ortogonal), digamos 𝑛 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0