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CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Considere a função 𝑓 𝑥 :ℝ → ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Então:
Derivada: Mede a taxa de variação de 𝑓 em relação a variável
𝑥 que é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 𝑓.
Notação: 𝑓′ 𝑥 , 𝑓 𝑥 ′ ou 𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥
A derivada 𝑓′ 𝑎 é o coeficiente angular da reta que melhor aproxima a
função no ponto (𝑎, 𝑓 𝑎 ).
Diferencial: 𝑑𝑓 𝑥
𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 ⇒ 𝑑𝑓 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥
Vamos usar o diferencial como na definição acima.
O uso da diferencial permite resolver problemas envolvendo mudança de
variáveis (como regra de cadeia e integração) com facilidade.
CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
A integração é a operação que nos dá a função quando
conhecemos sua diferencial.
Considere:
Note que as funções acima:
Função Derivada Diferencial
𝑦 = 𝑥2 − 4 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
diferem entre si apenas no termo constante;
possuem a mesma diferencial.
CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
• Dada diferencial 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 podemos encontrar as
infinitas funções que a produziram, através da relação
inversa.
• A integral indefinida de
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
é dada por:
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶
CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
Considere:
𝑑 a relação que leva a função à sua derivada;
𝑑−1 a relação inversa de 𝑑.
então 𝑑−1 leva a derivada às infinitas funções correspondentes.
Constante de integração
(pode assumir infinitos
valores)
Integrando
INTEGRAL INDEFINIDA
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶
Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição
inicial.
𝐹 𝑥 + 𝐶 é a solução geral;
𝐹 𝑥 + 10 é uma solução particular
𝐶 = 10 é obtido pela fixação de uma condição inicial.
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C
Problema: Determine a equação da família de curvas sabendo-se
que o declive da tangente a ela em qualquer de seus pontos é o dobro
da abcissa do ponto considerado.
O declive 𝑎 da tangente à curva é a derivada da função (curva)
no ponto considerado, logo:
𝑎 =𝑑𝑦
𝑑𝑥
De acordo com o problema:
𝑎 = 2𝑥 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥
Integrando:
𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥.
Assim,
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶.
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DA CONSTANTE C
• Uma vez que
𝑦 = 𝑥2 + 𝐶
Para 𝐶 = −4, 𝑦 = 𝑥2 − 4.
Para 𝐶 = 0, 𝑦 = 𝑥2.
Para 𝐶 = 2, 𝑦 = 𝑥2 + 2.
Representação gráfica
A CONSTANTE C
A constante 𝐶 de integração é a altura onde a curva intercepta o
eixo das ordenadas.
Considerando o problema anterior, pede-se: Determine a
curva da família que passa pelo ponto 1, 3 .
A equação da família de curvas é: 𝑦 = 𝑥2 + 𝐶.
Da condição fixada, 𝑦 = 3 e 𝑥 = 1, então:
3 = 1 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 2.
Portanto a curva é a parábola:
𝑦 = 𝑥2 + 2.
PROPRIEDADES
P1: Considere 𝑎 uma constante, assim
𝑎 ∙ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Exemplo. Determine 4𝑥 𝑑𝑥.
4𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∙ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥2 + 𝐶
PROPRIEDADES
P2: A integral da soma é igual a soma das integrais.
𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 − 𝑑𝑡.
Exemplo: Determine 3𝑥2 − 4𝑥3 − 6 𝑑𝑥
3𝑥2 − 4𝑥3 − 6 𝑑𝑥 = 3𝑥2 𝑑𝑥 − 4𝑥3𝑑𝑥 − 6𝑑𝑥
= 𝑥3 + 𝐶1 + −𝑥4 + 𝐶2 + −6𝑥 + 𝐶3
= −𝑥4 + 𝑥3 − 6𝑥 + 𝐶,
sendo 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3.
INTEGRAIS IMEDIATAS
1. 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶, sendo 𝑘 uma constante real
2. 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1
𝑛+1+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1
3. 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
4. 𝑑𝑥
𝑥=
1
𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶
4.1. 𝑢′𝑑𝑥
𝑢=
𝑢′
𝑢𝑑𝑥 = ln 𝑢 + 𝐶, sendo u uma função de x
5. 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑎𝑥
ln 𝑎+ C
6. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶
INTEGRAIS IMEDIATAS
7. sen 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶
8. cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶
9. sec2(𝑥) = tg(𝑥) + 𝐶
10. cossec2 𝑥 = − cotg 𝑥 + 𝐶
11. sec 𝑥 ∙ tg 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶
12. cossec 𝑥 ∙ cotg 𝑥 𝑑𝑥 = −cossec 𝑥 + 𝐶
13. 1
𝑥2+1 𝑑𝑥 = tg−1 𝑥 + 𝐶
14. 1
1−𝑥2𝑑𝑥 = sen−1 𝑥 + 𝐶
EXERCÍCIOS
Determine:
a) 2𝑥 9 𝑑𝑥
b) 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥
c) 8𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 −1
𝑥3+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥
d) 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥
e) 2𝑥 𝑑𝑥
𝑥2+1
a) 2𝑥 9 𝑑𝑥
Note que
𝑑 2𝑥
𝑑𝑥= 2 ⇒ 𝑑 2𝑥 = 2𝑑𝑥
então
2𝑥 9 𝑑𝑥 = 2𝑥 9 𝑑𝑥2
2=
1
22𝑥 9 2𝑑𝑥
2𝑥 9 𝑑𝑥 =1
2 2𝑥 9 𝑑 2𝑥 =
1
2
2𝑥 9+1
(9 + 1)+ 𝐶
∴ 2𝑥 9 𝑑𝑥 =2𝑥 10
20+ 𝐶.
𝑑 2𝑥
SOLUÇÃO EXERCÍCIO A)
SOLUÇÃO EXERCÍCIO B)
b) 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥
Note que
𝑑 3𝑥 + 1
𝑑𝑥= 3 ⇒ 𝑑 3𝑥 + 1 = 3𝑑𝑥
então
3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥3
3
3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 = 1
3 3𝑥 + 1 7 3𝑑𝑥
3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 =1
3 3𝑥 + 1 7 𝑑 3𝑥 + 1
3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 =1
3
3𝑥 + 1 8
8+ 𝐶
∴ 3𝑥 + 1 7 𝑑𝑥 =3𝑥 + 1 8
24+ 𝐶.
𝑑 3𝑥 + 1
SOLUÇÃO EXERCÍCIO C)
c) 8𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 −1
𝑥3+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥
8𝑥3 − 6𝑥2 + 5𝑥 −1
𝑥3+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥=
= 8𝑥3𝑑𝑥 − 6𝑥2 𝑑𝑥 + 5𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥−3𝑑𝑥 + 𝑥3 2 𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑥 =
= 8 𝑥3𝑑𝑥 − 6 𝑥2 𝑑𝑥 + 5 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥−3𝑑𝑥 + 𝑥3 2 𝑑𝑥 − 2 𝑑𝑥 =
= 8𝑥3+1
3+1− 6
𝑥2+1
2+1+ 5
𝑥1+1
1+1−𝑥−3+1
−3+1+𝑥(3 2)+1
3
2+1
− 2𝑥0+1
0+1+ 𝐶 =
= 8𝑥4
4− 6
𝑥3
3+ 5
𝑥2
2−𝑥−2
−2+𝑥5 2
5
2
− 2𝑥 + 𝐶
∴ 8𝑥3 − 62+ 5𝑥 −
1
𝑥3+ 𝑥 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = 2𝑥4 − 2𝑥3 +
5
2𝑥2 +
1
2𝑥2+2𝑥2 𝑥
5− 2𝑥 + 𝐶.
SOLUÇÃO EXERCÍCIO D)
d) 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥
3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 9𝑥 − 4 𝑑𝑥
= 9𝑥 𝑑𝑥 − 4𝑑𝑥
= 9 𝑥 𝑑𝑥 − 4 𝑑𝑥
= 9𝑥1+1
1 + 1 − 4
𝑥0+1
0 + 1+ 𝐶
∴ 3 𝑥 − 2 3 𝑥 + 2 𝑑𝑥 =9
2𝑥2 − 4𝑥 + 𝐶.
SOLUÇÃO EXERCÍCIO E)
e) 2𝑥 𝑑𝑥
𝑥2+1
Considere
𝑢 = 𝑥2 + 1
logo
𝑢′ = 2𝑥
então de 4.1 temos que
∴ 2𝑥 𝑑𝑥
𝑥2 + 1= ln 𝑥2 + 1 + 𝐶 .