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2. 일차함수
2.1. 이론적 배경
(1) 함수 개념에 대한 여러 가지 해석
수학에서는 함수 개념의 뜻을 크게 두 가지 방향에서 해석하고 있다. 첫째는 역사적으로 오랜 옛날에 형성된 고전적인 것으로, 전통적으로 수학을 물리학이나 공학에 응용할 때 생긴 ‘변량(변수)‘의 개념을 사용하는 것이다. 둘째는 현대적인 것으로 전혀 ‘변량’의 개념을 사용하지 않고 관계나 대응을 사용하여 수는 물론 수 이외에도 넓은 범위의 대상을 취급하는 경우이다.(1)고전적 의미① 함수를 변량 자체로 해석하는 경우: 학교 수학에서 전통적으로 사용해 온 방법으로 ‘어떤 변량의 값이 다른 변량에 의존하여 변할 때, 처음 변량을 종속변수 또는 함수라고 한다.’로 보는 것이다.② 함수를 종속변수의 값이 독립변수의 값에 의존하는 규칙으로 해석하는 경우: 즉, ‘독립변수의 값에 종속변수의 값이 대응하는 규칙(법칙)을 함수라고 한다.’로 보는 것이다.(2) 현대적 의미① 함수를 한 집합의 각 원소에 다른 집합의 원소를 대응시키는 규칙으로 보는 경우: 이 경우 ‘규칙’ 또는 ‘법칙’이라는 용어가 사용된다. 이때에는 알고리즘이라는 개념을 사용하여 내용을 정밀화시킬 수 있으나 모든 함수가 계산적인 함수가 될 우려가 있다.② 함수를 대응으로 보는 경우: 가장 일반적인 뜻은 ‘함수란 어떤 집합 X의 각 원소 x에 다른 집합 Y의 단 하나의 원소 y를 대응시키는 대응을 말한다.’이다. 이는 상당히 정리된 방법으로 직관적으로 쉽게 이해시킬 수 있다.③ 함수를 순서쌍의 관계로 보는 경우: 이 경우는 집합 F를 두 집합 X와 Y의 곱집합 X✕Y의 부분집합으로 보고, F가 ∀ ∀ ∈ ⇒ 를 만족시킬 때, F를 함수라고 보는 경우이다.
(2) 일차함수의 역사적 개관
함수의 개념에 대한 자각은 대체로 여러 가지 운동에 대한 연구로부터 시작되었다. 갈릴레오가 ‘함수’라는 용어를 최초로 사용한 사람은 아니지만, 그는 ‘비례’라는 단어를 사용해서 이 함수의 개념을 표현하고 있었다. 그는 등가속도 운동을 하는 물체의 이동 거리는 출발하는 순간부터 시간이 지남에 따라 증가한다는 물리적인 실재와 같은 현상을 함수와 연결 지었다. 거리와 시간이 모두 변하기 때문에 이 둘은 변하는 물리적 실재가 되고, 오늘날 이들을 수학적으로는 변수라고 부른다. 즉, 변수들 사이의 어떤 수학적 관계를 찾고자 변수에 수치를 관련시킴으로써 함수 개념을 산술화 시키려고 노력했다. 그런데 함수의 개념을 산술화하기 위해서는 먼저 물리적인 실재가 측정이 가능해야만 했다. 이러한 입장에서 갈릴레오는 자연 현상에서 측정 가능한 면을 분리하고자 노력했고, 그러한 목적을 위해 시간과 공간 속에서 움직이는 물체에 주목했다. 그 결과 갈릴레오는 측정 가능하고 그래서 수학적 식으로 나타낼 수 있
는 운동하는 물체의 특성으로 시간, 무게, 속도, 가속도, 관성, 힘, 운동량 등을 선택했다. 이와 같은 것들이 수학적 식에서 변수가 된다. 갈릴레오의 관찰에 따르면, 높이가 같고 기울기가 다른 경사면을 따라 어떤 물체가 내려올 때 걸리는 시간은 경사면의 길이에 비례한다. 이러한 진술을 오늘날의 기호로 표현하면 시간을 t, 경사면의 길이를 l이라 할 때, t=kl로 나타낼 수 있다. 이것이 바로 일차함수의 실제적 표현이다.
(3) 등속도 운동을 하는 물체에 대한 탐구와 일차함수
속력과 방향이 변하지 않는 물체의 운동을 등속 직선 운동이라고 한다. 등속 직선 운동을 하는 물체의 속력은 시간에 관계없이 항상 일정하고, 물체의 이동거리는 시간에 비례하므로 다음과 같은 그래프로 그릴 수 있다.<이동 거리 - 시간 그래프> <속력- 시간 그래프>
시간
이
동
거
리
기울기=속력
시간
속
력기울기=0
넓이=이동거리
물체의 운동을 방해하는 힘이 없다면 물체는 등속 직선 운동을 할 수 있다. 그러나 일상적인 상황에서는 마찰이 거의 없는 경우를 찾기 어렵다. 아무리 매끄러운 바닥 위를 미끄러지는 물체라도 마찰력이 작용하기 때문에 어느 순간 물체는 멈춰 버린다. 이러한 주변의 물리적인 상황을 고려하였음에도 등속 직선 운동을 하는 실생활 예로는 에스컬레이터를 들 수 있다.
2.2. 교육과정 및 교과서 내용
일차함수와 그래프
① 일차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.
◦ 일차함수의 의미를 이해하게 한다.
가 에 관한 일차식 ≠ 이고, , 는 상수)로 나타내어지는 함수가 일차함수임을 알게 한
다.
달리고 있는 두 고속 열차가 매초 m씩 서로 가까워지고 있다. 현재 두 고속 열차 사이의 거리가
m일 때, 다음을 알아보자.
➊ 초 경과하였을 때, 두 고속 열차가 가까워진 거리를 m , 두 고속 열차 사이의 거리를 cm라고
하자. 이때, 다음 표를 완성해 보자.
(초) 0 1 2 3 4 5 (m) 0 160 (m) 800 640
➋ 와 사이의 관계를 식으로 나타내어 보자.
◦ 표를 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴 수 있게 한다.
값의 변화를 나타낸 표를 이용하여 두 일차함수 , ≠ 의 그래프를 그리도록
하되, 일차함수 의 그래프를 그려서 그 그래프는 원점을 지나는 직선임을 알게 한다. 그리고 일차함수
≠ 의 그래프는 일차함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것임을 이
해하게 한다.
일차함수 에 대하여 다음 표를 완성해 보자.
0 2 4 6 8
➊ 위에서 구한 개의 순서쌍을 오른쪽 좌표평면 위에 점으로 나타내어
보자.
➋ 같은 좌표평면 위에 함수 의 그래프를 그리고 이 그래프 위에
일 때의 점을 나타내어 보자.
➌ 일 때, 위의 ➊, ➋에서 나타낸 점들의 위치는 각각 어떤 관계가 있는지 말해 보
자.
◦ 기울기, 절편, 절편의 뜻을 이해하게 하고, 이를 구할 수 있게 한다.
일차함수 의 그래프에서 의 값의 증가량에 대한 의 값의 증가량의 비율은 항상 일정함을 알
게 하고, 이를 기울기라고 함을 알게 한다. 또, 그 값은 의 계수 와 같음을 알게 한다. 절편과 절편의 뜻
을 이해하게 하고, 절편, 절편을 구하는 방법을 알게 한다.
휠체어를 탄 장애인이나 노약자를 위해 만든 경사로의 경사도
는 최대
이라고 한다.
이때, 경사로의 경사도는 오른쪽 그림과 같이 수평 거리에 대한
수직 거리의 비로 정해진다.
➊ 다음의 세 경사로에 대하여 경사도를 각각 구해 보자.
➋ 경사도가 커질수록 경사로는 어떻게 변하는지 이야기해 보자.
법으로 정한 경사로의 기울기는?우리 주변에는 인위적으로 만들어 놓은 여러 가지 경사로나 경사면을 볼 수 있다. 장애인이 휠체어를 타고 다닐 수 있는 경사로, 지하 주차장이나 주차 건물 등에서 볼 수 있는 경사
로 등이 대표적인 예이다. 우리나라의 법에서는 이들 경사로의 기울기를 어떻게 정하고 있을까? 다음은 우리나라의 법에서 정한 최대 기울기 규정이다.
：지하 주차장 또는 주차 건물의 경사로 기울기
：장애인 통행용 경사로 기울기
：건물의 외부에서 그 건물의 주 출입구에 이르는 장애인 접근로 기울기
：수평한 것과 동일한 것으로 인정되는 보도의 기울기
：보행자의 통행에 어려움이 없도록 정한 보도의 좌우 기울기
：장애인용 주차장 바닥의 기울기
：철도 역사의 승강장 바닥의 기울기
② 일차함수의 그래프의 성질을 이해한다.
◦ 일차함수의 그래프의 성질을 이해하게 한다.
기울기 가 양수이면 일차함수의 그래프는 오른쪽 위로 향하고, 가 음수이면 일차함수의 그래프는 오른쪽
아래로 향하는 직선임을 알게 한다. 또한, 기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하거나 일치하며,
서로 평행한 두 일차함수의 그래프의 기울기는 서로 같음을 구체적인 예를 통하여 이해하게 한다.
◦ 주어진 조건에 맞는 일차함수의 그래프를 그릴 수 있게 한다.
기울기, 절편, 절편 등을 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴 수 있게 한다.
③ 일차함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다.
◦ 일차함수로 나타낼 수 있는 상황에서 그 관계식을 구하고 이를 활용할 수 있게 한다.
여러 가지 실험 또는 관측을 통하여 두 변수 사이의 관계가 일차함수로 나타내어지는 경우를 살펴보
고, 이들을 관계식으로 나타낼 수 있게 한다. 그리고 구해진 관계식을 이용하여 실측되지 않은 의 대응
값을 찾아보게 하여 여러 가지 상황에서 일차함수를 활용할 수 있게 한다.
섭씨온도와 화씨온도우리나라를 비롯한 대부분의 나라가 섭씨온도(攝氏溫度)를 사용하는 반면에 미국을 비롯한 극소
수의 국가에서는 화씨온도(華氏溫度)를 사용하고 있다. 섭씨온도는 1기압일 때, 물의 어는점과 끓는점을 각각 ℃와 ℃로 정하고 그 사이를 100등
분한 온도 체계로서 1742년 스웨덴의 천문학자 셀시우스(Celsius, A)에 의해 제안되었다. ‘섭씨’라는 이름은 셀시우스의 중국어 표기인 攝爾思(섭이사)에서 유래한다.
한편, 화씨온도는 1기압일 때, 물의 어는점과 끓는점을 각각 ℉와 ℉로 정하고 그 사이를 180등분 한 온도 체계로서 1724년 독일의 물리학자 파렌하이트(Fahrenheit, D)에 의해 제안되었다. ‘화씨’라는 이름은 파렌하이트의 중국어 표기인 華倫海(화륜해)에서 유래한다.
섭씨온도로 ℃일 때의 화씨온도를 ℉라고 하면 와 사이의 관계는
와 같이 는 에 대한 일차함수로 나타난다.
일차함수와 일차방정식의 관계
① 일차함수와 미지수가 2개인 일차방정식의 관계를 이해한다.
◦ 미지수가 2개인 일차방정식 (단,≠ ≠ )과 일차함수의 관계를 이해하게
한다.
미지수가 2개인 일차방정식 (단,≠ ≠ )의 해를 좌표평면 위에 나타내어 보게 하는
활동을 통하여 그 결과가 직선이 됨을 이해하게 한다. 또 이 직선은 이 방정식을 변형하여 얻은 일차함수
의 그래프인 직선과 같음을 알도록 한다.
➊ 일차방정식 의 해에 대하여 다음을 알아보자.
⑴ 가 5 이하의 자연수일 때, 방정식의 해 , 에 대하여 다음 표를 완성해 보자. 1 2 3 4 5 2
(1, 2)⑵ 위의 ⑴에서 구한 5개의 순서쌍을 오른쪽 좌표평면 위에 나타내
어 보자. ➋ 일차함수 의 그래프를 오른쪽 좌표평면 위에 나타내어 보자.
➌ 일차방정식 의 해 전체의 집합과 일차함수 의 그래프 사이의 관계에 대하여
토론해 보자.
◦ 일차방정식 의 그래프를 이해하게 한다.
일차방정식 를 미지수가 2개인 일차방정식 꼴로 나타내어 그 그래프의 모
양을 관찰하게 함으로써 각각이 좌표축에 평행한 직선이 됨을 알고, 직선의 방정식의 뜻을 이해하게 한다.
② 두 일차함수의 그래프를 통하여 연립일차방정식의 해를 이해한다.
◦ 연립일차방정식의 해는 두 일차함수의 그래프의 교점임을 이해하게 한다.
연립일차방정식에서 두 일차방정식을 각각 일차함수로 나타내어 보고, 두 함수의 그래프의 교점이 연립방
정식의 해가 됨을 이해하게 한다. 두 일차함수의 그래프를 통한 연립일차방정식의 해에 대한 지도는 연립일차
방정식의 해가 두 직선의 교점임을 이해하는 정도로 다룬다. 곧, 두 직선의 위치관계는 한 점에서 만나거나 만
나지 않거나 일치하는 세 가지 경우가 있으므로 그 교점을 확인해 봄으로써 연립일차방정식의 해는 한 개 있
거나 전혀 없거나 무수히 많음을 알게 하는 정도로 다루되 학생의 수준에 따라 그 정도를 달리 할 수 있다.
이 경우 일차함수로 나타낼 수 없는 연립일차방정식은 다루지 않는다.
오른쪽 그림은 두 직선
,
를 같은 좌표평면 위에 나타낸 것이다.
➊ 두 직선의 교점의 좌표를 말해 보자.
➋ , 는 연립방정식 의 해가 되는지 확인해보자.
➌ 두 직선의 교점과 위 ➋의 연립방정식의 해의 관계에 대하여 토론해 보자.
다음 글은 소설 “콩쥐팥쥐”의 일부이다.
위의 글에서 콩쥐가 시간 동안 항아리에 채워 넣은 물
의 양을 L라고 할 때, 와 사이의 관계를 그래프로
나타내면 오른쪽 그림과 같다고 하자.
1. 두꺼비가 항아리의 구멍을 막은 것은 물을 채우기 시
작한 지 몇 시간 후인가?
2. 의 값의 범위가 ≤ ≤ 일 때, 와 사이의 관계식을 구하여라.
3. 물을 채우기 시작한 지 3시간 후에 항아리에 채워 넣은 물의 양을 구하여라.
컴퓨터 소프트웨어를 이용하여 일차방정식의 그래프를 그려 보자.
컴퓨터 소프트웨어의 초기 화면에서 다음 순서에 따라 활동하여 보자.
❶ 메뉴 아래의 빈칸에 을 입력하고
[enter]를 누르면 일차함수 의 그래
프가 그려진다.
❷ 메뉴 아래에서 절편을 나타내는 아이콘을 선
택한 후, 마우스로 그래프가 축과 만나는 부분을 ‘끌기’ 하면 그래프 위에 절편이 점으로 표시되고
그 값이 [Log] 창에 나타난다.
❸ ❷와 같은 방법으로 절편을 구한다.
❹ 일차함수 의 그래프를 그려서 ❷와
같은 방법으로 두 직선의 교점의 좌표를 구한다.
컴퓨터 소프트웨어를 이용하여 연립방정식 의 해를 구하여라.
컴퓨터 소프트웨어는 다음 사이트에서 무료로 내려 받을 수 있다.
(http://www.tmath.or.kr/ → [자료실] → [수학프로그램] → [함수와 그래프 관련 프로그램] → [Equation
grapher])
2.3. 교수학습 참고자료
여러 가지 함수∙ 함수(function) : 함수 f : A→B에 대하여 f는 A에서 B로의 함수라고 한다. (Principle of real analysis, Rudin)∙ 사상(mapping) : f가 A에서 B로의 함수일 때, 이를 A에서 B로의 사상(mapping)이라고 한다. (Principle of real analysis, Rudin)∙ 변환(transformation) : ℝ에서 ℝ으로의 변환 T는 함수 T가 ℝ에 속하는 각각의 벡터 v를 ℝ에 속하는 유일한 벡터 T(v)에 대응하는 규칙일 때, 이 함수를 변환이라 하고 기호로 T :ℝ→ℝ로 나타낸다.(linear AlgeraL Davic Poole)∙ 범함수(fuctional) : 범함수란 벡터공간 V위에서 정의된 실함수로 함수의 한 종류로 범함수 F를 F : V→ℝ로 표현할 수 있다.(Wolfram)∙ 확률변수(random variable) : 어떤 시행의 표본공간 에서 실수 전체의 집합 로의 함수 →를 확률변수라고 한다.(미적분과 통계기본, 이준열)
과학에서 일차함수의 활용
중력이 작용하는 곳에 물체가 있을 때 기준점으로 부터의 물체의 위치에 따라 정의되는 에너지를 중력에 의한 ‘위치
에너지‘라고 한다.
높은 곳에 있는 물체가 가지는 중력에 의한 위치 에너지는 그 높이까지 물체를 들어올리기 위하여 중력에 대하여 한
일과 같다. 그러므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
중력에 의한 위치 에너지() = 중력에 대하여 한 일
= 중력 ✕ 높이 = 무게✕ 높이
= ( 9.8 ✕ 질량) ✕ 높이
= 9.8mh
일정한 무게를 갖는 물체의 위치에너지는 높이에 비례하므로 엘리베이터가 높은 층으로 이동할수록 엘리베이터의 위치
에너지는 증가한다.
3. 이차함수
3.1. 이론적 배경
(1) 이차함수와 포물선
두 집합 X와 Y에 대하여 집합 X의 각 원소에 대하여 집합 Y의 원소가 하나씩 대응될 때, 이것을 집합 X에서 Y로의 함수라 하고, 기호로 f : X→Y로 나타내며, 대응 규칙을 y=f(x)와 같이 나타낸다. 일반적으로 y가 x에 관한 이차식으로 다음과 같이 표현될 때, y를 x에 관한 이차함수라고 한다. (a, b, c는 상수, a≠) 이차함수의 그래프가 나타내는 모양을 포물선이라고 한다. 이차함수 는 의 꼴로 나타낼 수 있고, 이를 통해 이차함수 의 특징을 알아보면 다음과 같다. ① 꼭짓점의 좌표는 (p, q)이다. ② 직선 x=p에 대하여 대칭이다. ③ a>0이면 최솟값은 x=p일 때 q이고, 최댓값은 없다. 반면, a<0이면 최댓값은 x=p일 때 q이고, 최솟값은 없다. ④
이고, 이다.
해석 기하학에서 포물선의 정의는 한 정점 F로부터의 거리와 고정된 한 직선 L(준선)로부터의 거리가 같은 점 P들의 자취이다. 이때, 준선과 수직이면서 초점을 지나는 직선을 포물선의 축이라고 한다. 또한, 포물선의 축과 만나는 포물선의 한 점을 포물선의 꼭짓점이라고 한다. 초점 F(0, p), 준선의 방정식을 y=-p라고 할 때, 포물선의 한 점을 P(x, y)라고 하면 이다. 이로부터 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. → → → 위 식 를 포물선의 표준형이라고 한다. 이때, x와 y의 역할이 바뀐 의 그래프도 포물선이 되며 x축이 포물선의 축이 되고, 초점은 (p, 0), 준선의 방정식은 x=-p가 된다.
(2) 이차곡선으로서의 포물선
해석 기하학에서 다음과 같은 이차방정식으로 나타나는 곡선을 이차곡선이라고 한다. (a, h,b, f, g, c는 실수, ≠)위 방정식에서 계수가 취하는 값에 따라 포물선, 타원, 원, 쌍곡선과 같은 도형이 되고 특히, ab- = 0일 때 곡선의 방정식은 이 되어 ≠이면 포물선, P=0이면 평행한 두 직선이거나 일치하는 두 직선이 된다. 또한, 이차곡선은 모두 원뿔의 단면이 되므로 이 때문에 원뿔곡선이라고도 한다. 예를 들어 오른쪽 원뿔에서와 같이 모선과 평행한 평면에 의해 잘린 단면은 그림과 같이 포물선이 된다.
(3) 이차함수의 활용
(가) 낙하하는 물체에 대한 탐구와 이차함수
갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564-1642)는 1564년 2월 15일 피사에서 태어나, 1589년 피사 대학의 수학 교수가 되었다. 그는 경사면을 이용하여 낙하하는 물체의 운동에 대한 실험을 했다. 그의 저서 ‘대화’에서 갈릴레이는 운동의 과학을 도입하였고, 이 내용은 다음과 같다.
‘무거운 물체가 자유롭게 떨어질 때 계속해서 가속된다는 등의 몇 가지
외적인 관찰이 이루어졌다. 그러나 이 가속이 얼마만큼 일어나는지는 아직 밝
혀지지 않았다. 내가 알고 잇는 한 아무도 이것을 지적하지 않았는데, 정지해
있던 물체가 자유롭게 떨어질 때 같은 시간 간격 동안 이동한 거리는 1로부터
시작하는 홀수와 같은 비율을 나타낸다.
날아가는 무기나 투사체는 곡선 경로를 그린다는 것이 관찰되었다. 그러나
이 경로가 포물선이라는 것은 아무도 지적하지 않았다. 나는 알아볼 가치가 있고 수적으
로도 적지 않은 이런 저런 사실들을 증명하는데 성공하였다. ... (중략) 이 논의는 세부분
으로 구분된다. 첫 번째는 안정적이고 균일한 운동을 다룬다. 두 번째는 자연적으로 가속
되는 운동이다. 세 번째는 소위 가제된 운동과 투사체의 운동이다.‘
갈릴레이는 일정하게 가속되는 운동인 자유 낙하하는 물체의 가속도에 대하여 같은 시간 간격 동안 같은 정도의 속력이 증가한다고 제안하였다. 속력의 변화 는 경과된 시간의 변화 와 비례한다. 즉, =(상수)이다. 여기서 중요한 통찰은 시간에 대한 생각이다. 오늘날 용어로는 시간 간격을 독립변수로 높은 것이다. 따라서 위치는 , 속력은 v=v(t)이며, 둘 다 시간에 대한 함수가 되었다.
시간
가
속
도
기울기 일정
넓이=속력
시간
속
력
이동
거리 2
1
시간
따라서 그는 경사각과 경사면의 길이를 변화시키면서 수백 번의 실험을 하였고, 갈릴레이는 공의 최종 속도는 경사각의 크기가 아니라 경사면의 높이에 따라 변하지만, 경사면을 따라 내려간 거리는 언제나 그
시간의 제곱과 매우 긴밀하게 변화한다는 것을 발견하였다. 당시에는 정확한 시계가 없었으므로 시간 간격은 큰 물통에 든 물이 바닥에 뚫린 작은 구멍을 통하여 흘러나온 양으로 측정하였다. 이처럼 투박한 실험기구를 사용하여 대단히 많은 유용한 데이터를 얻어내는 상상력과 실행 능력에 갈릴레이의 위대함이 있다.
위 실험 결과는 이동한 거리 x는 시간 t의 제곱에 비례한다(∝)는 결론으로 요약될 수 있다. 물론 물체가 경사면의 꼭대기에서 정지 상태에서 출발한다고 가정한다.
(나) 투사체의 운동에 대한 탐구와 이차함수
일정한 아래 방향의 가속도와 일정한 수평 방향의 속력을 갖는 물체의 운동을 투사체 운동이라고 한다. 갈릴레이는 이 운동의 수직과 수평 성분을 독립적으로 다룬 후에 이것을 결합하여 궤도, 즉 투사체의 경로를 알아냈다. 다시 말하면, 그는 수직운동과 수평운동을 독립적으로 다루는 가정이 관찰과 일치하는 결과를 이끈다는 사실을 알았다. 수평 좌표를 x라 하고 수직 좌표를 y라 하며 투사체가 운동을 시작하는 점을 원점으로 선택하여 아래 방향을 y좌표가 증가하는 방향이라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. x= ,
이때, g는 중력가속도를 나타내는 기호이고, 오른쪽 그림은 투사체의 궤도를 나타내고 있다. 위의 두 식으로부터 t를 소거하면 다음과 같이 곡선 y=f(x)에 대한 식을 얻을 수 있다.
이것은 포물선의 방정식이고, 이는 앞의 3에서 언급한 갈릴레이의 주장이 옳음을 확인해 준다.
(다) 비스듬히 위로 던진 물체의 운동
수평면과 각 의 각도로 처음 속도 로 던진 물체는 수평방향으로는 힘이 작용하지 않아 등속도 운동을 하고, 연직 방향으로는 중력이 작용하여 등가속도 운동을 한다.
이러한 운동을 하는 물체의 시간 t초 후의 속도는 다음과 같이 구할 수 있다.
① 처음 순간의 속도 : cos sin ② 시간 t초 후의 속도 : cos sin t초 후의 속도 또한, 시간 t초 후의 위치(x(t), t(t))를 가로의 위치 x(t) 세로의 위치 y(t)를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. x(t)= cos∙, y=sin∙
위 두 식에서 t를 소거하면 운동 경로의 식은 다음과 같고 이는 포물선의 방정식이 된다. tan ∙
cos
t초 후의 높이를 나타내는 식 y=sin∙ 로부터 y의 값이 최대가 되는 시간 t를 구하면
sin
이다. 따라서 물체가 최고점까지 올라가는 데 걸리는 시간과 최고점의 높이, 그 때의 수평 도달 거리는 다음과 같다.① 최고점까지 올라가는데 걸리는 시간 :
sin
② 최고점의 높이 : sin
③ 수평 도달 거리 : R=cos × cos ∙sin
즉, sin 에서 는 일 때 최댓값이므로, 각 가 일 때 수평 도달 거리가 최대이다.
3.2. 교육과정 및 교과서 내용
이차함수와 그래프
번지 점프, 새로운 극한 스포츠 남태평양 바누아투(Vanuatu)의 원주민들은 성인식에서 소년들이 나무줄기로 발목을 묶고 높은 곳에서
뛰어내리게 하는 의식을 치렀다고 한다. 이 의식에서 유래한 번지 점프는 1979년 영국 옥스퍼드 대학교의
모험 스포츠 클럽 회원 4명이 샌프란시스코의 금문교에서 뛰어내리면서 스포츠로 자리 잡게 되었다.
고무로 만든 긴 줄을 이용하여 안전하게 즐길 수 있는 현대식 번지 점프는 1988년에 뉴질랜드 카와라우
강의 43 m 높이의 다리에서 해킷(Hackett)이 처음으로 선보였다. 이때, 번지 점프에서 떨어진 거리(m)는
떨어진 시간(초)의 제곱의 5배 정도였다고 한다.
생각해 봅시다➊ 해킷이 카와라우 강 다리에서 점프하여 처음 1초 동안 떨어진 거리는 얼마였을까? ➋ 해킷이 카와라우 강 다리에서 점프한 지 몇 초 후에 20 m를 떨어졌을까? ① 이차함수의 의미를 이해하고, 그 그래프를 그릴 수 있다.
◦ 이차함수의 의미를 이해하게 한다.
가 에 관한 이차식 ≠ 이고, , , 는 상수)로 나타내어지는 함수가 이차함수임
을 알게 한다. 교사는 구체적인 예를 통하여 학생들이 이차함수의 의미를 이해하게 한다.
오른쪽 그림은 둥근 돌이 굴러 내려오는 순간의 위치를 1
초 간격으로 나타낸 것이다.
➊ 구슬이 초 동안 m를 내려온다고 할 때, 다음 표를 완성해 보자.
(초) 0 1 2 3 4 5
m 0 1
➋ 와 사이의 관계를 식으로 나타내어 보자.
➌ 가 음이 아닌 실수일 때, 위의 ➋에서 구한 관계식에 의하여 는 의 함수가 됨을 설명해 보자.
값의 변화를 나타낸 표를 이용하여 이차함수 의 그래프를 그려 봄으로써 의 그래프의
성질을 이해하게 한다. 이 때 의 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하고, 축을 축으로 하는 포물선임을 알
게 한다. 또, 변화표 등을 이용하여 이차함수 과 이차함수 의 그래프를 함께 봄으로서
의 그래프가 의 그래프와 축에 대하여 대칭임을 이해하게 한다.
② 이차함수의 그래프의 성질을 이해한다.
◦ 이차함수 의 그래프를 그리고, 그 성질을 이해하게 한다.
이차함수 ,
등의 그래프를 그려 보게 함으
로써, 이차함수 의 그래프의 성질을 귀납적으로 이해하게 한다. 의 그래프는 모든 이차함수
의 그래프의 기본이므로, 이에 대한 지도가 철저히 이루어지도록 한다.
◦ 이차함수 의 그래프를 그리고, 그 성질을 이해하게 한다.
변화표 등을 이용하여 과 의 그래프를 함께 그려봄으로써, 의 그래프를 축
의 방향으로 만큼 평행이동하여 의 그래프를 얻게 됨을 이해하게 한다.
◦ 이차함수 의 그래프를 그리고, 그 성질을 이해하게 한다.
변화표 등을 이용하여 과 의 그래프를 함께 그려봄으로써, 의 그래프를
축의 방향으로 만큼 평행이동하여 의 그래프를 얻게 됨을 이해하게 한다.
◦ 이차함수 의 그래프를 그리고, 그 성질을 이해하게 한다.
변화표 등을 이용하여 , , 의 그래프를 함께 그려봄으로써,
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하여 의 그
래프를 얻게 됨을 이해하게 한다.
◦ 이차함수 를 의 꼴로 고쳐 그 그래프를 그릴 수 있게 한다.
를 의 꼴로 고쳐 이 그래프의 꼭짓점의 좌표, 축, 절편과 절편을
구할 수 있게 하며, 이차함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있게 한다.
◦ 이차함수의 최댓값, 최솟값을 구할 수 있게 한다.
함수의 정의역의 모든 원소에 대한 함숫값 중에서 가장 큰 값을 최댓값, 가장 작은 값을 최솟값이라 함을
알게 하고, 이차함수는 꼭짓점에서 최댓값이나 최솟값을 가진다는 것을 그래프를 통하여 이해하게 한다. 이차
함수 를 의 꼴로 고쳐 의 부호에 따라 일 때 최댓값 또는 최솟값
를 가지게 됨을 알게 한다. 이차함수에서 최댓값과 최솟값은 정의역을 제한하지 않고 실수 전체인 경우만 다
룬다.
나이에 따른 혈압
혈압은 혈액이 혈관 벽에 미치는 압력을 말한다. 일반인의 정상 수축기 혈압은 mmHg이고 확장
기 혈압은 mmHg이지만 식사 후나 운동 상태 등에 따라 변하고 특히 나이에 따라 크게 변한다.
일반적으로 나이가 세인 건강한 여성과 남성의 정상 수축기 혈압 mmHg는 각각
이라고 한다.
1. 컴퓨터 프로그램을 이용하여 건강한 여성과 남성의 정상 수축기 혈 압에 대한 그래프를 그려라.
2. 세의 건강한 여성과 남성의 정상 수축기 혈압의 차를 구하여라.
3. 우리 가족의 정상 수축기 혈압을 구하여라.
(참고 자료: Berchie Holiday 외, “Algebra 1", McGraw-Hill, 2008)
뉴턴(Newton, I. ; 1642 ～1727)이 사과가 나무에서 떨어지는 것을
보고 발견하였다는 만유인력은 질량이 있는 모든 물체는 서로 끌어당
기는 힘이 있다는 것이다.
예를 들어 책상 위의 책과 연필, 사람과 사람 사이에도 서로 끌어당
기는 힘이 있다는 것이다.
만유인력을 중력이라고도 하는데, 중력으로 인하여 물체를 높은 곳에
서 떨어뜨리면 질량에 관계없이 일정한 가속도로 떨어지게 된다. 이
가속도를 중력가속도라고 한다.
지구의 중력 가속도는 ms이고, 달의 중력가속도는
ms이다. 따라서 달의 중력은 지구의
정도이다.
일반적으로 어떤 물체를 지면에 수직인 방향으로 던졌을 때 처음 높이를 , 던진 속력을 , 중력가속
도를 라고 하면 초 후의 높이 는
로 나타낼 수 있다.
질량이 같은 물체를 지상 m의 높이에서 초속 m의 속력으로 지면에 수직인 방향으로 위로 던
진다고 하자.
1. 지구와 달의 지면에서 물체의 최대 높이를 각각 구하고, 그 차를 구하여라.
2. 이 물체가 공중에서 머무는 시간을 지구와 달에서 각각 구하여라.
컴퓨터 소프트웨어를 이용하여 이차함수 의 그래프를 그리고, 축과의 교점(절편)과
최댓값, 최솟값을 구하여 보자.
컴퓨터 소프트웨어의 초기 화면에서 다음 순서에 따라 활동하여 보자.
메뉴 아래의 빈칸에 을 입력하고 [enter]를 누르면 이차
함수 의 그래프가 그려진다.
메뉴 아래에서 절편을 나타내는 아이콘을 선택한 후, 마우스로 그래프가 축과 만나는 부분을 끌기하면 그래프 위에 절편이 점으로 표시되고 그 값이 [Log] 창에 나타난다.
메뉴 아래에서 최댓값을 나타내는 아이콘을 선택한 후, 마우스로 그래
프가 있는 부 분을 끌기하면 그래프 위에 최댓값이 점으로 표시되고 그 값이 [Log] 창에 나타 난다.
과 같은 방법으로 최솟값을 구한다.
컴퓨터 소프트웨어를 이용하여 이차함수 의 그래프를 그리고, 절편과 최댓값, 최
솟값을 구하여라.
컴퓨터 소프트웨어는 다음 사이트에서 무료로 내려받을 수 있다.
(http://www.tmath.or.kr → [자료실] → [수학프로그램] → [함수와 그래프 관련 프로그램] → [Equation
grapher])
3.3. 교수학습 참고자료
우리 주변에서 볼 수 있는 현상과 이차함수 우리 주변에서 볼 수 있는 움직이는 물체와 관련된 물리적인 현상은 이차함수를 이용하여 해석할 수 있다. 1) 처음 높이 h에서 자유 낙하하는 물체의 x초 후의 높이를 y라 할 때, y=h-4.9이다.2) 처음 높이 h에서 처음 속도 로 위로 쏘아올린 물체의 x초 뒤의 높이를 y라 할 때, y=h+x-4.9이다.3) 질량이 m인 물체가 속력 x로 운동할 때 운동 에너지를 y라고 하면, y=
이다.
4) 질량이 m인 물체가 속력x로 반지름이 r인 원운동을 할 때, 구심력을 y라고 하면, y= 이다.
5) 제동 거리속력 x로 달리는 자동차의 제동거리 y는 에 비례하므로 y=a으로 표현할 수 있다.
포물선과 현수선우리 주변에는 포물선과 비슷하지만, 포물선과 다른 모양의 곡선을 하고 있는 현수선(懸垂線, catenary)이 있다. 다음
그림은 미국의 세인트루이스에 있는 세인트 루이스 게이트웨이 곡선(St. Louis Gateway arch)이고 이 또한, 현수선이 된
다.
포물선과 이차함수에 대해 심층적인 연구를 하였던, 갈릴레오는 중력에 의해 영향을 받아 등가속도 운동을 하는 투사
체의 운동 경로의 모습이 포물선임을 알았다. 하지만, 줄의 양끝을 잡았을 때, 늘어지는 곡선의 모양을 현수선이 아니라
포물선으로 착각하기도 하였다.
원뿔을 이용하여 이차곡선 그려보기]
직원뿔을 그 꼭짓점을 지나지 않는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 평면곡
선을 일컬어 원뿔곡선, 또는 원추곡선(圓錐曲線)이라고 한다. 원뿔의 축에 대한
평면의 기울기가 모선의 기울기보다 크면 타원, 작으면 포물선, 기울기가 같으면
쌍곡선이 된다.
이때, 원뿔을 자른 평면이 모선에 평행할 때는 포물선이 되며 평행하지 않을 때
는 자른 단면이 원뿔면의 한쪽에만 있으면 타원이 되고, 위 아래 양쪽에 나타나
면 쌍곡선이 된다.
종이접기로 포물선 만들기
종이를 이용하여 다음 단계에 따라 직접 포물선을 만들어 볼 수 있다.
1) 종이를 직사각형으로 잘라 종이에 원하는 위치에 점을 찍는다.
2) 직사각형의 가로선을 접어 점이 처음 직사각형의 가로선 위에 놓이도록 한다. 이때, 접힌 선이 선분 PD이며, 포물선
의 접선이 된다.
3) 간격을 두면서 2)단계의 과정을 반복하여 가로선 위에 점이 놓이도록 접는다. 이때, 가능한 좁은 간격으로 2)단계의
과정을 반복하여 접어야 포물선이 정확하게 보여진다. 이와 같은 과정을 반복하면 그림과 같이 접은 선분들이 나타나고
이러한 선분들이 포물선의 접선이 된다. 이러한 접선들의 외곽선은 포물선이 되며 이 곡선을 envelope이라고 한다.
(참고문헌 : 종이접기 속에 숨겨진 수학, 남호영, 천정아, 박정숙)
이차함수 의 계수 a, p, q의 기하적 의미 이차함수 의 그래프는 이차함수 의 그래프를 x 축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동 한 것이다. 이러한 두 그래프의 관계를 알면 계수 a, p, q의 변화에 따른 그래프의 성질을 쉽게 알 수 있다.1) 계수 a의 변화에 따른 그래프의 변화 의 그래프는 이차함수 의 그래프와 다른 위치에서 같은 모양으로 그려진다. 즉, a는 그래프의 폭과 모양을 결정한다.2) 계수 p의 변화에 따른 그래프의 변화 이차함수 그래프의 축이 x=p이므로 p가 증가하고 감소함에 따라 그래프가 각각 오른쪽, 왼쪽으로 움직인다.3) 계수 p의 변화에 따른 그래프의 변화
이차함수 의 꼭짓점의 y좌표가 q이므로 q가 증가하고 감소함에 따라 그래프가 각각 위, 아래로 움직인다.
공을 가장 멀리 던지는 방법은?체육시간에 공 멀리 던지기로 수행평가를 본다고 생각해보자. 그렇다면 어떻게 던지는 것이 가장 멀리 던질 수 있는지
궁금할 것이다.
수평면과 각 의 각도로 처음 속도 로 던져진 물체의 수평거리는 다음과 같다.
cos × cos ∙
sin
위 식에서 g는 중력가속도이고 는 던져진 물체의 처음 속도이므로 상수가 된다. 즉, 위 식의 값은 오직 에 의해서
결정된다. 따라서 위로 비스듬히 던져짐 물체는 지면과 이루는 각이 일 때, 수평 도달거리가 최대가 되어 가장 멀리
까지 공이 날아갈 수 있게 된다.
생물의 개체수를 구할 때 쓰이는 이차함수(수리생물학) 일정 영역에 서식하는 생물 종의 개체 수가 변화하는 역학적인 과정을 이해하고 실질적인 예측을 하는 데 도움을 주는 여러 가지 수학적 모형이 현재 수학과 생태학 분야에서 활발하게 연구되고 있다. (수리생물학으로 불리는 학문 분야는 1920년경 Lotka의 연구에서 본격적으로 시작되어졌고, 이때부터 여러 가지 다양한 수학적 모형들이 제안되어지고 검증되어져왔으며 이를 통해 단일 생물종에 대한 개체 수의 변화를 조사할 수 있게 되었다.) 야생 동물 개체군의 밀도를 평가하는데 있어 여러 가지 표본 추출법을 사용할 수 있고, 가장 대표적인 표본 추출법의 하나가 표식법이며 그 개체수는 다음의 식으로 나타낸다. 풀어준후다시잡힌개체중표지된개체수
표지한 후 풀어준개체수 ×두번째잡힌 총개체수 이의 식을 이용하여 호숫가의 물고기의 수를 구하거나 야생의 동물의 개체수를 파악할 때 사용된다. 다음의 이차함수는 어떤 생물의 개체 수를 나타내는 모형이다.
f(x)=ax(1-0.5x)
여기서 a는 환경요인으로 결정되는 상수이고, k는 개체 수의 포화 상태를 나타내는 비율로 0과 1 사이의 값을 갖는다.
확률과 통계
4. 선생님, 질문 있어요. - 함수
1. 다음 진술에 대한 자신의 의견을 말해 보아라.
(
)는 ‘감소함수(증가함수)’이다.
2. 평행이동에 대한 학생들의 오개념 유의
(x, y) ------> (x+a, y+b)
f(x, y) ------> f(x-a, y-b)
3. 다음 진술에 대한 자신의 의견을 말하라.
(1) 일 때, ≠ 이다.
(2) 지수함수 → , 은 일대일대응이므로, 역함수 log가 존재한다.
4. 다음 진술에 대한 자신의 의견을 말하라.
정의역의 모든 원소 에 대하여 ∘ 이면, 이다.
5. 다음 진술에 대한 자신의 의견을 말하라.
(1) ,
(2) 와 그 역함수 의 교점은 와 의 교점과 같다.
6. 다음 진술에 대한 자신의 의견을 말하라.
(1) 삼차함수 의 그래프는 원점에 대하여 대칭인 점대칭도형이다.
(2) 삼차함수 의 그래프는 점대칭도형이다.
7. 좌표평면에서 원 즉, 의 그래프는 함수의 그래프인가? 아닌가?