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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 1
Grundlagen der Messtechnik
Theorie 2. Teil
Studiengang Elektrotechnik, 1. SemesterHerbst 2011
Martin Schlup & Franz Baumgartner
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 2
Was wird von einem Messergebnis erwartet?
• (gegebenenfalls gemittelter) Messwert (korrigiert um die systematischen Fehler): 9.20 V
• Messunsicherheit: ± 0.03 V
• Vertrauensbereich: Der gesuchte Wert befindet sich mit 95%-iger Wahrschein-lichkeit im Bereich 9.20 V ± 0.03 V
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 3
Systematische Abweichungen
Jede Messung ist mit systematischen und zufälligen Abweichungen verbunden.
Systematische Abweichungen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie identifiziert und bestimmt werden können, bzw. hinsichtlich Betrag und Vorzeichen bekannt sind. Die Messergebnisse können also um die bekannten systematischen Abweichungen korrigiert werden.
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 4
Zufällige Abweichungen
Zufällige Abweichungen können weder betrags- noch vorzeichenmässig bestimmt werden. Allein deren statistischen Eigenschaften wie z.B. ihre Standardabweichung können bestimmt werden.
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 5
Grundsätzliche Ursachen für die Mess-unsicherheit
• Unsicherheiten vom Typ A: Der Messwert schwankt, da externe Störungen den Wert einmal erhöhen im nächsten Moment wieder verringern. Die Ablesewerte schwanken um einen mittleren Wert.
• Unsicherheiten vom Typ B: Das eingesetzte Messgerät stimmt nicht exakt. Auch wenn der Messwert nicht schwankt, kann eine Abweichung zu einem noch genaueren Messgerät auftreten.
Es wird dabei angenommen, dass die beiden Fehlerquellen voneinander unabhängig sind.
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 6
Histogramm (Häufigkeitsverteilung) der Ergebnisse wiederholter Messungen
Abszisse (x-Achse):Messwerte
Ordinate (y-Achse): dieauf die Anzahl Messungennormierte Häufigkeiten
m Mittelwerts Standardabweichung m-s m m+s
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 7
Statistisches Modell der Ursachen der Messunsicherheit vom Typ A
• Gauss- oder Normal-Verteilung
Dichtefunktion
(Häufigkeitsdichte)
Verteilungsfunktion
(Summenhäufigkeit)
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 8
Eigenschaften der Gauss-Verteilung
• Parameter: Mittelwert = µ, Streuung =
• Normierung:
• Wahrscheinlichkeit
a b P{a≤x<b}
µ– µ+ 68.27%
µ–2 µ+2 95.45%
µ–3 µ+3 99.73%
µ–4 µ+4 99.9937%
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 9
Eigenschaften der Gauss-Verteilung
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 10
Statistik der Mittelwertschätzung
• Mittelwert
(Schätzung für Erwartungswert)
Stichprobenumfang: N
• Empirische Standardabweichung
(Schätzung für Streuung)
• Schätzung für Streuung des Mittelwerts
t-Faktor: Student-Verteilung
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 11
Schwankungsbreite des Mittelwertes
Häufigkeitsverteilung der Stichprobem: Mittelwerts: empirische Standardabweichung
Häufigkeitsverteilungder 50 Mittelwerte
m+s-s
Häufiger messen reduziert die Schwankung des Mittelwertes!
Stichprobenumfang:50 x 20 Messungen
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 12
Typ B Unsicherheit: Herstellerangaben
0.05%v.M. + 3 Digits (3 x Auflösung)
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 13
Zusammensetzung der Standardunsicherheit Typ B bei einem DMM
Die Standardunsicherheit Typ B besteht auszwei Unsicherheitstermen (Bsp. METRA HIT 23 S):
• Empfindlichkeit
• Nullpunktabgleich
Zusammen
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 14
Standardabweichung einer gleichverteilten Zufallsvariablen
Standardabweichung (Streuung) (grauer Bereich: ±)
Bsp: Standardunsicherheit Typ B:
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 15
Kombinierte Standardunsicherheit Typ C
• Da beide Standardunsicherheiten (Typen A und B) gleichzeitig aber unabhängig voneinander „wirken“, ist die resultierende Unsicherheit entsprechend der folgenden Formel grösser:
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 16
Vertrauensbereich
• Die bis jetzt betrachteten Standardunsicherheiten beziehen sich auf einen geschätzten Vertrauensbereich von ca. 68%, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Bereich m ± uC liegt, beträgt 0,68.
• Soll für die Wahrscheinlichkeit ein andrer Wert gelten, so muss die erweiterte Unsicherheit U mit einem Faktor k bestimmt werden:
m ± U = m ± k uC
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 17
Wahl von k für die erweiterte Unsicherheit
Grad des
Vertrauenserweiterte
Unsicherheit U Anwendungsgebiet
68.27% 1·uC• Physik und Vermessungswesen
• physikalische Naturkonstanten
95.00%(95.45%)
1.96·uC
(2·uC )
• industrielle Messtechnik
• Basis aller ASTM Standards
99.73% 3·uC• Biologie
99.993% 4·uCSicherheitsrelevante Anwendungen, z. B.:
• Bremse in Kraftfahrzeug
• Luft- und Raumfahrttechnik
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 18
Überblick: Unsicherheiten nach GUM
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 19
Vorgehen nach GUM
1. Systematische Abweichungen
2. Bester Schätzwert des Messergebnisses
3. Standardunsicherheit Typ A
4. Standardunsicherheit Typ B
5. Kombinierte Standardunsicherheit Typ C
6. Erweitere Unsicherheit basierend auf gewünschtem Vertrauensniveau
7. Vollständiges Messergebnis angeben
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 20
Vorgehen nach GUM: Tabelle
K1.1-S7
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 23
Optimale Messunsicherheit uA, uB
• Wie könnte bei gleichen Messgeräten die Unsicherheit von Einführungsbeispiel 1 optimiert werden. Wo liegt die Grenze?
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf/spma 25
Temperatursensor
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf / spma 26
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11. Sept. 2013 ZHaW - SoE - bauf / spma 27
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