1.1.- suma y resta de nÚmeros enteros. 1.2

1 NÚMEROS ENTEROS

1.1.- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS.

1.2.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

1.3.- POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS.

1.4.- JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.

1.5.- DIVISIBILIDAD ENTRE NÚMEROS ENTEROS.

1 NÚMEROS ENTEROS 2º E.S.O.

1.1.- SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS.

El conjunto de los números enteros es : ℤ = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Para sumar dos números enteros:- Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo.- Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos (el mayor menos el menor) y se pone el signo del mayor. Signo del mayor mismo signo Ejemplo : - 6 + 5 = - 1 - 4 - 6 = - 10 6 – 5 = 1 4 + 6 = 10

1 Calcula:

a) - 8 - 6 = b) 2 + (-7) = c) - 12 + 9 =

d) - 4 + (- 7) = e) - 3 - (- 6) = f) 21 - 7 =

Para sumar o restar mas de dos números, se suman los positivos por un lado, los negativos por otro y después se restan los resultados.Ejemplo : 4 − 3 2 − 8 − 6 9 = 4 2 9

positivos

− 3 8 6negativos

= 15− 17 =−2

2 Calcula:

a) 8 – 3 + 6 – 1 – 4 =

b) 3 + 4 – 9 – 7 + 2 =

c) – 5 – 12 + 20 + 1 – 13 – 24 + 29 =

Si la expresión tiene paréntesis, podemos:- Operar primero los paréntesis. Por ejemplo : 10 – (8 – 5) + (3 + 2 – 7) = 10 – 3 + (5 – 7) = 10 – 3 + (-2) = 10 – 3 – 2 = 10 – 5 = 5- Quitar los paréntesis. En este caso, si va precedido de signo – , se cambian los signos de los sumandos interiores; si el paréntesis va precedido de signo + , los signos de los sumandos interiores se dejan como estaban. Por ejemplo : 10 – (8 – 5) + (3 + 2 – 7) = 10 – 8 + 5 + 3 + 2 – 7 = (10 + 5 + 3 + 2) – (8 + 7) = 20 – 15 = 5

3 Calcula operando primero los paréntesis :

a) 11 – ( 9 – 13 + 7 - 12) =

b) (4 – 15) – (– 8 – 9) + ( 16 – 21) =

c) – 15 – [ 5 – (11 – 9) – ( 12 – 18)] = – 15 – [5 – 2 – (- 6)] =

d) 16 – [4 + (6 – 7 + 5) – ( - 11 + 9)] =


e) (11 – 15) – [9 – (8 – 6 + 4) + (9 – 12)] =

4 Calcula quitando paréntesis :

a) 14 + (– 3 – 12 + 21 – 7) – (16 – 11 + 13) =

b) (17 – 8 + 9) + (6 – 13) – (– 4 – 19) =

c) 25 + (17 – 13) – ( 22 + 16 – 6) =

d) 28 – [14 + (11 – 6) – (– 18 – 3 + 13)] = 28 – [14 + 11 – 6 + 18 + 3 – 13] =

e) (15 – 32) – [14 – (16 + 22) + (– 14 – 25)] =

1.2.- MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.

Cuando se multiplican dos números enteros con el mismo signo, el resultado es positivo. Si tienen distinto signo, el resultado es negativo. La misma regla de los signos vale para la división.Ejemplo : (- 5) . 2 = -10 (- 3) . (- 4) = + 12 12 : (- 6) = - 2 (- 4) : (- 2) = + 2

5 Calcula :

a) (- 6) . (- 7) = b) (- 9) . 8 = c) 10 . (- 5) =

d) 25 : (- 5) = e) (- 54) : (- 9) = f) (- 56) : 7 =

6 Calcula :

a) (- 6) . 5 . (- 3) = b) (- 24) : (- 6) . (- 9) =

c) 125 : (- 5) : 5 = d) 5 . (- 12) : (- 4) =

e) 125 : [(- 5) : 5] = f) 5 . [(- 12) : (- 4)] =

g) 60 : (- 15) . (- 2) = h) 60 : [(- 15) . (- 2)] =


1.3.- POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS.

En una potencia de base negativa, si el exponente es par el resultado es positivo, si el exponente es impar, el resultado es negativo.Ejemplo : (- 5)2 = 25 (- 4)3 = - 64La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones. La raíz cuadrada de un número negativo no existe.

Ejemplo : 4= 2

−2porque 22 = 4 y (-2)2 = 4 ; −9 no existe

7 Calcula :

a) (- 5)3 + 42 = = b) (- 2)4 - 33 = =

c) 25 - (- 4)3 = = d) (- 3)2 + 23 = =

e) 144= f) −64= g) 0=

Recuerda que : am . an = am+n ; am : an = am-n ; (an)m = anm ; (a . b)n = an . bn y (a : b)n = an : bn

Ejemplo : (-3)2 . (-3)3 = (-3)5 = - 243 ; (-2)8 : (-2)6 = (-2)2= 4 ; (22)3 = 26 = 64

25 . 55 = 1054 = 100000 ; 324 : 164 = 24 = 16

8 Expresa como una sola potencia y calcula :

a) (-26)8 : (-13)8 = = b) 42 . 43 = = c) ((-3)3)2 = =

d) (-2)3 . 33 = = e) 68 : 66 = = f) (-2)5 . (-2)2 . (-2)3 = =

1.4.- JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES.

El orden de las operaciones será : primero los paréntesis, después potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas. Ejemplo :

5 – (4 – 8 . 2 + 10) + 36 : 32 = 5 – (4 – 16 + 10) + 36 : 32 = 5 – (14 – 16) + 36 : 32 = 5 – (-2) + 36 : 9 = 5 + 2 + 4 = 11

9 Calcula :

a) (- 5) . (- 6) - 12 . 4 + 6 . (- 2) =

b) (- 48) : 4 + 3 . 8 + (- 15) : (- 5) =

c) (- 7) . (25 - 12 + 7) - (19 + 6 - 5) : (- 6 + 11) =

d) - (8 + 6 - 12) . (- 14 + 16 - 5) : (12 - 7 - 2) =


10 Calcula :

a) - 4 . [35 - (- 5) - 6 . 25 ] + (-23 + 17)2 : 3 =

b) (- 8) . 121 - (18 -14 - 6)3 .5 + 10 =

c) (-9)4 . (-9)5 : (-9)7 + (-1)17 =

d) (- 5)14 : [(- 5)4 . (- 5)3 . (- 5)6] - (- 5)7 : (- 5)6 =

e) (-4)5 : 25 - 40 : 5 + (12 . 5 - 81 . 23) =

1.5.- DIVISIVISIBILIDAD ENTRE NÚMEROS ENTEROS.

Un número positivo es primo, si sus únicos divisores son él mismo y la unidad. Descomponer un número en factores primos consiste en escribirlo como producto de números primos elevados a las correspondientes potencias. Si el número a descompone, es negativo, se hace la descomposición de su valor absoluto y se multiplica por (-1) el resultado. Ejemplo : descomponer en factores primos 20 y -12.

20 2 12 2

10 2 Por tanto 20 = 22 . 5 6 2 Por tanto - 12 = - 22 . 3

5 5 3 3

1 1

11 Descompón en factores primos :

a) 88 88 = b) - 270 - 270 =

12 Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones factoriales:

a) - 22 . 3 . 5 = b) 23 . 3 . 5 = c) - 32 . 5 . 11 =


El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números enteros, es el menor número entero positivo que es múltiplo de todos ellos. Para obtenerlo, se descomponen los números en factores primos y se multiplican los factores primos obtenidos (comunes y no comunes), elevados al mayor de los exponentes con que aparecen.

El máximo común divisor (M.C.D.) de varios números enteros, es el mayor número entero positivo que es divisor de todos ellos. Para obtenerlo, se descomponen los números en factores primos y se multiplican los factores primos comunes, elevados al menor de sus exponentes.

Ejemplo : m.c.m.(-12, - 50) = 22 . 3 . 52 = 300 M.C.D.(12, - 24, 50) = 2

12 = 22 . 3 50 = 2 . 52 12 = 22 . 3 24 = 23 . 3 50 = 2 . 52

13 Calcula :

a) m.c.m.(- 30, 50) = = b) m.c.m.(18, - 36, - 27) = =

30 50

30 =

50 =

c) M.C.D.(60, - 72) = = d) M.C.D.(- 84, - 105, - 98) = =

14 Queremos repartir 300 cl. de refresco de naranja y 160 cl. de refresco de limón sin mezclar,

en vasos que contengan la misma cantidad, y del mayor tamaño posible. ¿Cuántos cl. de

refresco echaremos en cada vaso?

Solución :

15 La línea 1 del autobús urbano pasa por la parada X, cada 12 minutos, y la línea 2 cada 20

minutos. Cada cuanto tiempo coinciden en la parada los autobuses de las dos líneas?

Solución :

2 FRACCIONES

2.1.- INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES. FRACCIONES EQUIVALENTES.

2.2.- COMPARACIÓN DE FRACCIONES. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR.

2.3.- OPERACIONES CON FRACCIONES (I)

2.4.- OPERACIONES CON FRACCIONES (II)

2.5.- PROBLEMAS CON FRACCIONES.

2 FRACCIONES 2º E.S.O.

2.1.- INTRODUCCIÓN A LAS FRACCIONES. FRACCIONES EQUIVALENTES.

Una fracción es una expresión de la forma b

a donde a y b son dos números enteros y b ≠ 0 que se denominan:

b

a

FRACCIONES CON SIGNO NEGATIVO: Recuerda que b-

a

b

-a ==−

b

a, aunque la última forma solo se puede

admitir como válida en un paso intermedio dentro de un ejercicio de operaciones con fracciones y nunca en un resultado final, en ese caso o bien se saca el signo negativo fuera de fracción (primera forma) o bien se le pone al numerador (segunda forma).

Además, una fracción puede …

– Ser entendida como una parte de la unidad: En b

a el denominador “b” representa el número de partes

en las que ha quedado dividida la unidad y el numerador “a” nos muestras cuántas de dichas partes debemos tomar.

– Ser considerada como un cociente indicado. Para conocer el verdadero valor de una fracción será preciso realizar dicha división.

– Ser utilizada como un operador sobre un número: Para calcular una fracción de un número únicamente necesitaremos multiplicar dicho número por el numerador de la fracción dividiéndolo después por el mismo denominador.

1 Completa cada recuadro con la fracción que explique la situación que aparece en dicho apartado:

a) Solo cinco de los sesenta participantes en la fase comarcal de la XX Olimpiada Matemática

lograron pasar a la siguiente fase → de los asistentes se clasificaron para la siguiente

ronda.

b) Hoy es Jueves. → Ha transcurrido partes de la semana.

c) En la clase de 2º de ESO A hay 24 alumnos de los que 14 son chicas. → En 2º de ESO A

de la clase son chicos.

2 Realiza a continuación los cálculos necesarios para completar las siguientes apartados:

a) 400 de 5

2 =

b) 630 de 7

3 =

c) 124 de 4

1 =

d) 1200 de 8

1 =

e) 420 de 6

5 =

f) 1000 de 10

3 =

Numerador

Denominador


Dos fracciones b

a y

d

c se dicen equivalentes si db ca ⋅=⋅ . En ese caso se escribirá

d

c=b

a.

Para obtener fracciones equivalentes a partir de una dada basta con:

✔ Amplificar la fracción que consiste en obtener una fracción equivalente a la dada multiplicando numerador y denominador por un mismo número:

nb

na

b

a

⋅⋅=

✔ Simplificar la fracción que consiste en crear una fracción equivalente a la inicial dividiendo numerador y denominado por un mismo número

n:b

n:a

b

a =

Una fracción es irreducible si no se puede simplificar más.

3 Comprueba si son equivalentes estos pares de fracciones y marca la opción adecuada:

32

24y

4

3

200

160 -y

5

4 −

11

12y

3

7

21

24y

7

8 −

Son equivalentesNo son equivalentes




4 Realiza las operaciones que sean necesarias y completa la siguiente tabla marcando con una cruz la casilla que corresponda en cada caso:

FRACCIÓNES EQUIVALENTES NO EQUIVALENTES

40

30y

28

21 ,

4

3

90

60y

6

4 ,

18

12

10

25 -y

3

5 ,

30

125 −−

12

20y

3

5 ,

6

10 ,

24

40

5 Completa cada recuadro para que obtengas pres de fracciones equivalentes:

12

3

2 =21

5

3 =48

8

6 =


6 Completa teniendo en cuenta que se trata de fracciones equivalentes:

24

30

10

27

8

9

3

2 ======

7 Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones:

64

120 = 50

75 = 48

42 =

2.2.- COMPARACIÓN DE FRACCIONES. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR.

Para comparar dos fracciones:– Si tienen el mismo denominador se compararán atendiendo a sus numeradores.– Si tienen distintos denominadores se redirán a común denominador, teniendo así fracciones

equivalentes a las iniciales, y se compararán como en el caso anterior.

8 Ordena los siguientes conjuntos de fracciones de menor a mayor:

a) ⇒ 7

3y

4

1 ,

5

1b) ⇒

10

11 ,

4

7 ,

2

3c) ⇒

63

41y

9

4 ,

7

5 ,

3

2

9 Ordena los siguientes conjuntos de fracciones de mayor a menor:

a) ⇒ 16

5y

4

1b) ⇒

3

2y

7

5 ,

6

5 ,

4

3c) ⇒

2

3y

5

7 ,

3

4 ,

30

33

2.3.- OPERACIONES CON FRACCIONES (I)

Para sumar o restar fracciones:– Si tienen el mismo denominador se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.– Si tienen distinto denominador se reducirán a común denominador para después sumar o restar los

numeradores.IMPORTANTE: No olvides simplificar al final de cada ejercicio.

10 Realiza estas sumas y restas de fracciones:

a) =+ 4

5

4

1

b) =− 3

2

3

7

c) =+++ 5

8

5

1

5

7

5

9

d) =−−+ 3

8

3

7

3

2

3

1


e) =−−− 8

3

8

1

8

11

8

9 f) =++

11

1

11

8

11

2


a) =++ 8

1

4

3

2

2

b) =+ 6

1

9

7 -

3

9

c) =−+− 12

5

6

5

3

7

2

1

d) =−− 12

5

6

5

2

9 -

4

1


a) =−+ 2

3

3

7

5

1

b) =+−++ 5

7

4

5

3

3

2

1 1

c) =−+− 15

2

3

5

5

2

9

1

d) =−− 15

1

3

7

5

9

Para sumar o restar un número entero con una fracción podemos unificar el proceso en un solo paso:✔ NUMERADOR: Multiplicamos el número entero por el denominador de la fracción para sumarle

(restarle) el numerador de la fracción.✔ DENOMINADOR: El mismo que tenga la fracción que interviene en la operación.

Ejemplos:

2

7

2

123

2

1 3 =+⋅=+

5

7

5

3-52

5

3 2 =⋅=−

13 Realiza las siguientes operaciones con números mixtos:

a) =+ 9

8 1

b) =+ 5

8 1

c) =+ 3

10 2-

d) =− 2

11 3

e) =− 2

1 4 -

f) =+ 3

1 1-


Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores en el numerador y se multiplican los denominadores en el denominador:

db

ca

d

c

b

a

⋅⋅=⋅

Para dividir fracciones multiplicaremos en cruz, es decir:

db

da

d

c :

b

a

⋅⋅=

La fracción inversa de b

a es

a

b; es decir,

a

b

b

a1

=

−

POTENCIA DE UNA FRACCIÓN: .27

8

3

2

3

2 :ejemploPor .

b

a

b

a3

33

n

n

==

=

n

RAÍZ DE UNA FRACCIÓN: .3

2

9

4

9

4 :ejemploPor .

b

a

b

a ===

IMPORTANTE: No olvides simplificar al final de cada ejercicio.

14 Realiza estas operaciones:

a) =⋅ 5

3

2

1

b) =⋅ 4

1

7

2

c) =⋅ 8

9

3

2

d) =⋅ 3

4

5

11

e) =⋅ 3

10

5

6

f) =⋅ 20

6

3

5


a) = 7

3 :

3

2

b) = 5

2 :

3

11

c) =⋅ 6

5 :

3

10

d) = 15

2 :

5

4

e) = 3

2 :

4

3

f) = 8

7 :

8

7


a) =⋅⋅ 4

1

3

1

2

1

b) =⋅⋅ 2

3

5

4

3

2

c) = 3

8 :

4

3 :

2

1

d) =⋅ 3

10 :

6

4

3

5


2.4.- OPERACIONES CON FRACCIONES (II)

Para realizar operaciones combinadas con fracciones debes respetar la jerarquía de las operaciones:PRIMERO: Potencias y raíces.SEGUNDO: Paréntesis y corchetes.TERCERO: Productos y divisiones (de izquierda a derecha)CUARTO: Sumas y restas.

IMPORTANTE: No olvides simplificar al final de cada ejercicio.


a) =

−

2

3 :

4

1

5

2

b) =

⋅−

2

3

3

5

10

3 :

5

2

c) =

⋅

⋅

3

10

5

6 :

3

1

4

3

d) =

+⋅

2

3

4

1

4

1


a) =−

⋅

3

1

10

3 :

5

2

2

1

b) =

⋅

2

3

3

5 :

10

3 :

5

2

c) =

−

⋅

2

3 :

3

5

5

1 3

d) =

+⋅

−

2

3 2

2

13


a) =−⋅10

6 :

5

3

4

1

3

2

b) =−

⋅

4

3

10

3 :

5

2

2

12

c) =⋅

⋅+

⋅

3

5

4

1 - 2

3

1

2

1 - 3

d) =

−⋅

+

5

2 :

2

1 3

3

1 2


a) =⋅

+−+

−⋅

4

1

3

12

4

32

2

1-1

b) 3

11

5

2:

3

2

2

112 =

−−−+

−+


2.5.- PROBLEMAS CON FRACCIONES.

Para resolver un problema con fracciones debes seguir los siguientes pasos:

- Leer el problema cuidadosamente.

- Tomar nota de los datos más relevantes del enunciado.

- Realizar las operaciones oportunas para hallar la solución.

- Responder al problema.

TIPO I: Problemas sobre comparación de fracciones.

21 En el turno diurno del IES Santa Eulalia hay 3

1 de los alumnos en el

primer ciclo de la ESO,7

3 en el segundo ciclo de la ESO y

21

11 en

Bachillerato. ¿Cuál de los 3 ciclo es el más numeroso?

SOLUCIÓN:

22 5

2 de los turistas que visitaron Mérida el pasado año procedían

de nuestro país, 3

1 llegaron desde Portugal y

15

4 viajaron desde el

resto de Europa. ¿Podrías ordenar los 3 grupos de turistas en orden decreciente?

SOLUCIÓN:

TIPO II: Problemas en los que hay que calcular una parte del total

23 En una carrera popular celebrada en el circo romano de

Mérida participaron 300 atletas de los cuales 5

3 fueron chicos y el

resto chicas. ¿Qué fracción representaría la cantidad de chicas que participaron? ¿Cuántas chicas exactamente corrieron?

SOLUCIÓN:

24 El puente romano de Mérida tiene 792 metros de longitud. Tras recorrer la tercera parte del mismo decidí parar y observar el río Guadiana. Continué con mi paseo recorriendo una cuarta parte del puente. ¿Qué fracción me queda aún por completar? ¿Cuántos metros recorrí en cada parte?

SOLUCIÓN:


TIPO III: Problemas en los que hay que hallar el total conocida una de las partes.

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

TIPO IV: Problemas en los que aparece una fracción de otra fracción.

27 La mitad de los 44400 visitantes que tuvo la ciudad e Badajoz en el año 2009 lo hicieron en los cuatro primeros meses del año. De ellos, la quinta parte reconoció no haber visitado la emblemática Plaza Alta de esta localidad. ¿Qué fracción de visitantes no conocen la Plaza Alta? ¿Cuántos son exactamente?

SOLUCIÓN:

SOLUCIÓN:

28 Comió la mitad de una pizza y al no quedarse satisfecho comió también dos quintas partes de lo que le quedó. ¿Qué fracción de pizza se comió en segundo lugar? ¿Qué fracción de la pizza dejó de sobra? ¿Qué fracción de pizza se comió en total?

25 Las dos quintas partes de los alumnos que estudian secundaria en un Instituto de la localidad cursan 2º de ESO. Si esta cifra resulta ser 120, ¿Cuántos alumnos hay en total en la ESO de ese centro educativo?

26 La doceava parte de los asistentes a un concierto de Música accedieron al recinto sin entrada. Si sabemos que fueron 2400 personas, ¿Cuántas personas asistieron al concierto?

3 LOS NÚMEROS DECIMALES

3.2- OPERACIONES CON DECIMALES 3.3- RAÍZ CUADRADA 3.4.- APROXIMACIÓN Y ESTIMACIÓN 3.5.- PROBLEMAS CON DECIMALES 3.1.- NÚMEROS DECIMALES. CLASES. COMPARACIÓN

3 LOS NÚMEROS DECIMALES 2º E.S.O.

3.1.- NÚMEROS DECIMALES. CLASES. COMPARACIÓN

Los números decimales pueden ser: Exactos: si tienen una cantidad finita de cifras. Periódicos: si tienen una cantidad infinita de cifras y un grupo seguido de ellas se repite indfinidadmente. (se llman periódicos puros si el grupo de cifras que se repite empieza tras la coma; en caso contrario son periódicos mixtos). No exactos ni periódicos: si tienen una cantidad infinita de cifras y no hay ningún período.

1 Clasifica los siguientes números decimales e indica el período:

a) 2,0313131 _________________________________________________

b) 34,28 _________________________________________________

c) 1,245245245 _________________________________________________

d) 5,12131313 _________________________________________________

Toda fracción da lugar a un número decimal al dividir el numerador entre el denominador. Pueden ocurrir tres cosas: • El numerador es múltiplo del denominador: en ese caso obtenemos un número entero. • Si tras simplificar la fracción, el denominador sólo tiene como factores 2 y 5, obtenemos un decimal exacto. • Si tras simplificar la fracción, el denominador tiene factores distintos del 2 y el 5, obtenemos un decimal

periódico. Con las siguientes fracciones, intenta saber a simple vista qué tipo de decimal obtendrás.

A continuación, expresa las fracciones como decimal y comprueba tu predicción. 2

a) 1825

=

b) 1011

=

c) 3215

=

(Haz aquí las operaciones)

d) 1000250

=


3 Escribre tres fracciones con denominadores superiores a 10 y que den lugar a:

a) Números enteros:

b) Números decimales exactos:

c) Números decimales periódicos:

d) Números decimales no exactos y no periódicos:

Entre dos números decimales cualequiera puedes situar ordenadamente tantos números decimales como desees. Por ejemplo, vamos a situar cuatro decimales ordenadamente entre 3,27 y 3,56. En este caso es fácil; por ejemplo: 3,27 < 3,28 < 3,33 < 3,40 < 3,51 < 3,56 . Hemos “jugado” con las centésimas. Ahora un caso más difícil: situaremos cuatro decimales entre 3,27 y 3,28. Necesitamos un orden más de las cifras, jugaremos con las mílésimas: 3,270 < 3,273 < 3,275 < 3,276 < 3,279 < 3,280

4 Sitúa ordenadamente cuatro números decimales entre 1,56 y 1,57

1,56 < < <

1,57 < <

Recuerda: todo número decimal puede expresarse en forma de fracción decimal. Por ejemplo:

25 1 284 71 572 2860,25 ; 2,84 ; 57,2100 4 100 25 10 5

= = = = = =

Fíjate que, siempre que se pueda, debemos simplificar la fracción (ten en cuenta que las fracciones decimales sólo pueden simplificarse por 2 y por 5).

5 Pasa a fracción decimal y si es posible simplifica:

a) 5,16 = b) 3,429 = c) 0,04 =

d) 230,02 = e) 11,111 = f) 0,640 =

6 Pasa a decimal:

a) 45

1000 = b) =100

8 c)

3410

=

d) 3

1000 = e)

35100

= f) 25710

=


3.2- OPERACIONES CON DECIMALES

Completa la siguiente tabla:

+ 6,231 12,025 2,89

34,8

921,123

57,301

Realiza aquí las operaciones

7

8 Completa la siguiente tabla:

× 10 12,75 2,89

34,8

1,123

100



9 Realiza las siguientes operaciones con decimales:

a) (901,23 − 1,234) + 7,01 = b) 628,51 − (284 + 6,28) =


c) (951,7 − 5,04) − (28,406+3,45) = d) 628 − (0,62 + 84,5147) =



10 Realiza las siguientes operaciones con decimales:

a) 3,6 · (234,75 – 21,296) + (1,7 + 45,642) : 3,9 =

b) 234,003 − (2,3 · 5,25 + 7,1) − 8,505 : 2,43 =



3.3- RAÍZ CUADRADA

Recuerda que elevar un número al cuadrado es multiplicar ese número por sí mismo.

Así: 52=25 , 102=100 , 122=144.

Pues bien, la RAÍZ CUADRADA de un número es aquel número que tengo que elevar al cuadrado para obtener el primero.

Así: 25 5 ; 100 10 ; 144 12= = = .

La raíz cuadrada de la mayoría de los números no es un número entero. Por eso haremos:

• RAÍZ CUADRADA ENTERA: 32 5 7y resto= (Porque 32 = 52+7)

• RAÍZ CUADRADA DECIMAL: 32 5,65685...=

11 Halla las raíces enteras y el resto:

a) 24 b) 35

c) 51 d) 79

e) 106 f) 180

12 Halla las raíces con un decimal y comprueba el resultado:

a) 244 b) 3541

c) 5698 d) 6952



3.4.- APROXIMACIÓN Y ESTIMACIÓN

Podemos aproximar el valor de un número decimal por redondeo y por truncamiento.

Ejemplo de REDONDEO: el número 45,3461 puede ser redondeado a la cifra de las centésimas así: 45,35 (fíjate que a las centésimas les hemos sumado 1 dado que en las milésimas hay una cifra superior a 4).

Ejemplo de TRUNCAMIENTO: el número 45,3461 puede ser truncado a la cifra de las centésimas así: 45,34 (fíjate que simplemente eliminamos el resto de cifras, sin más).

ESTIMAR un valor es calcularlo utilizando las operaciones con números aproximados.

ERROR es la dieferencia positiva entre el valor exacto y el valor estimado de un número.

13 Aproxima por redondeo y por truncamiento, a las centésimas, los decimales siguientes:

a) 8,345 b) 23,5534 c) 0,297 d) 4,191

a) Redondeo: Truncamiento:

b) Redondeo: Truncamiento:

c) Redondeo: Truncamiento:

d) Redondeo: Truncamiento:

14 Estima el valor de la siguiente operación redondeando los números a las décimas:

13,456 − 3,2 * 4,31

15 Si aproximo el valor de 3,4 · 2,7 por el valor 9,1 ¿qué error estoy cometiendo?

Si truncas cada decimal a las centésimas, ¿qué error cometerías en la estimación de la

siguiente operación?

16

32,93865 − 3,02034 + 12,349


3.5.- PROBLEMAS CON DECIMALES

17 La abuela reparte entre sus cinco nietos 36,75€. ¿Cuánto le toca a cada uno?

Juana compró 20 chicles y 34 palotes. Cada chicle le cuesta 5 céntimos y cada palote

0,12€. Al pagar le da al señor de la tienda un billete de 10€. ¿Cuánto dinero le devuelven?

18

¿Cuántos kilos de azúcar hay en 1100 sobrecillos si en cada sobrecillo hay 26 gramos de

azúcar?

19

Un coche consume una media de 5,34 litros de gasolina cada 100 km. Tiene el depósito

lleno y son 61 litros. Recorre 234 km. ¿Cuántos litros de gasolina quedan, aproximadamente, en el

depósito?

20

21 Un paquete de 500 folios pesa 2620 g. ¿Cuántos kg pesa un folio?


El tamaño de un folio A4 es de 21x29,7 cm2. Si el folio A4 estándar para fotocopiadora pesa

80g por m2, ¿cuánto pesa en gramos un solo folio de ese tipo?

22

En una caja hay 36 caramelos iguales y pesa 0,432kg. La caja vacía pesa 25g. Si nos

comemos 12 caramelos, ¿qué pesará ahora la caja con los caramelos restantes?

23

24 Los siete botones que necesito para una chaqueta pesan 112g. ¿Cuántos botones

contiene una caja que llena pesa 4,05Kg y vacía pesa 50g?

4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4.1.- LENGUAJE ALGEBRAICO.

4.2.- VALOR NUMÉRICO.

4.3.- MONOMIOS. OPERACIONES.

4.4.- POLINOMIOS. OPERACIONES.

4.5.- FACTOR COMÚN.

4.6.- IDENTIDADES NOTABLES.

4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2º E.S.O.

4.1.- LENGUAJE ALGEBRAICO

El triple de un número más cinco → 3 · x + 5

1 Si la edad de mi padre es x años, expresa en lenguaje algebraico:

Solución

a) la edad que tenía hace 8 años

b) La edad que tendrá dentro de 20 años

c) Los años que le faltan para jubilarse a los 67 años

d) Los años que tenía cuando tenía la mitad de los años que tiene ahora

e) Los años que tenía cuando mi hermana, que tiene 10 años, nació.

2 Halla la expresión algebraica que se corresponde con los siguientes enunciados:

Solución

a) El área de un cuadrado de lado l cm →

b) El perímetro de un triángulo equilátero de lado x cm →

c) El coste de z paquetes de caramelos que cuestan 60 céntimos cada una →

d) El área de un rectángulo de altura h y base 2 cm más que la altura →

e) El dividendo de una división e la que el resto es 1, el cociente 7 y el divisor x →

4.2.- VALOR NUMÉRICO

3 Calcula el valor de las expresiones, según el valor de x.

Operaciones Valor Numérico

P(x) = 5x + 2 , si x = 3

Q(x) = 7x – 2x2 , si x = 2

R(x) = (x2 − 1)2, si x = −2


4.3.- MONOMIOS. OPERACIONES.

Un monomio consta de un número y una o varias letras.• El número, incluido el signo, se llama coeficiente.• La letra o letras que lo acompañan, con sus exponentes, se denomina parte literal.

Llamamos grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que lo forman.Ej:

Monomio Coeficiente Parte Literal Grado

25x2y3 25 x2y3 5

4 Completa la tabla indicando el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio:

Monomio Coeficiente Parte Literal Grado

8x4 y3

– 2 y z3

42

6

5yx−

– 3,5x3yz5

La suma (resta) de monomios semejantes, monomios con la misma parte literal,se realiza sumando ( restando) los coeficientes y se deja la misma parte literal.Ej: 8 xy + 13 xy = 21 xy 15 a b2 – 32 a b2 = – 17 a b2

5 Calcula:

a) 3 x2 + 13 x2 + 4 x2 = b) 8 yx2 – 3 yx2 = c) 7 x2y2 + 12 x2y2 = d) 18 a2b5 – 25 a2b5 =

Multiplicación de monomios: se multiplican por un lado los coeficientes de éstos y por otro sus partes literales. Ej: 3 x2y2 · (– 3 yx2) = – 9 x4y3

6 Halla las multiplicaciones:

a) 8 yx2 · (– 4 y3x) = b) 3 x2 · 4 x5 = c) 8 a3b4 · 5 a2b5 =


División de monomios: Se dividen por un lado los coeficientes y por otro sus partes literales.Ej: 8 yx2 : 4 yx = 2 x

7 Halla las divisiones:

a) 18 y5 x3 : 3 y2 x2 =

b) 10 y5 : 5 y3 =

4.4.- POLINOMIOS. OPERACIONES.

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o la resta de dos o más monomios no semejantes. Cada monomio que forma parte del polinomio se llama término; el monomio que no tiene parte literal se denomina término independiente.

Suma de polinomios, se suman sus monomios semejantes, dejando indicada la suma de los no semejantes. Para restarlos se suma al primero el opuesto del segundo.Ej: 3x2 – 7x + 5 + Si haces (4x2 – 5x + 1) – ( 2x4+ 6x – 7) : 4x2 – 5x + 1 2x 4 + x 2 + 6x – 7 – 2x 4 – 6x + 7 2x4+ 4x2 – 1x – 2 – 2x4 – 11x + 8

8 Dados los polinomios:

P (x) = 2x4+ 4x2 – 1x – 2 , Q(x) = – 6x + 7 y R(x) = 3x2 – 5x + 1Halla:a) P(x) + Q(x) =b) R(x) – Q(x) =c) P(x) + R(x) =d) P(x) + Q(x) + R(x) =

Producto de dos polinomios, se halla multiplicando cada uno de los términos de uno de los polinomios por el otro, y sumando después los polinomios obtenidos en las multiplicaciones.

9 Dados los polinomios:

P (x) = 2x4+ 4x2 – 1x – 2 , Q(x) = – 6x + 7 y R(x) = 3x2 – 5x + 1

Halla:a) P(x) · Q(x) =b) R(x) · Q(x) =c) P(x) · R(x) =


4.5.- FACTOR COMÚN.

Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma oresta en producto.Ej: 3x + 3y = 3 (x + y)

10 Extrae factor común, cuando sea posible, de las siguientes expresiones:

a) 7 xy – 21 yb) 5 x3 + 10 xc) 16 x – 4 yd) 15 x3 + 10 x2 – 5

4.6.- IDENTIDADES NOTABLES.

Cuadrado de una suma : ( a + b )2 = a2 + 2 ab + b2

Cuadrado de una diferencia : ( a – b )2 = a2 – 2 ab + b2

Diferencia de cuadrados: (a + b ) · ( a – b ) = a2 – b2

11 Calcula:

a) ( 3x + 2y )2 =

b) ( 5x – 2 )2

c) ( x – 2y )2

d) ( 2 + x ) ( 2 – x ) =

e) ( 7 – 2x ) ( 7 + 2x ) =

f) ( 7x + 2 )2

5 ECUACIONES DE PRIMER GRADO

5.1.- IDENTIDADES Y ECUACIONES.

5.2.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS.

5.3.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS.

5.4.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES.

5.5.- PROBLEMAS CON ECUACIONES.

5 ECUACIONES DE PRIMER GRADO 2º E.S.O.

5.1.- IDENTIDADES Y ECUACIONES.

Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=). Son de dos tipos:

– Identidades: cuando siempre la igualdad es verdadera.– Ecuaciones: cuando la igualdad es cierta sólo para algunos valores de las letras.

1 Indica si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones:

a) x + 3x = 4x

b) 8x – 1 = 10

c) x : 3 = - 5

d) 3x – 5x = - 2x

e) 2 ( x + 1 ) = 2x +1

f) 3 ( x + 2 ) + x = 4x + 6

2 Di si las siguientes ecuaciones se convierten en identidades para los valores que se indican en cada caso:

a) 2x + 3 = - 1 para x = - 2.

b) x : 2 – 2x = - 6 para x = 4.

c) – 3x + 5x = 2x para x = - 1.

d) 3x – 8x + 1 = 3 para x = 0. e) 2 ( x + 2 ) = - 2 para x = - 3.

f) 3x : 2 + 3 = 5x para x = 6.


5.2.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS.

Resolver una ecuación es, encontrar los valores de las letras (habitualmente utilizamos la x); que la convierten en una identidad. Para ello se agrupan todos los términos que contengan la x a un lado y todos los números al otro lado. Para ello, se siguen las siguientes reglas:

– Si un término está en un miembro de la ecuación sumando, pasa al otro restando ( y viceversa).– Si un término está multiplicando en un miembro de la ecuación, pasa al otro dividiendo (y viceversa).

Ejemplo: resolver: 3x + 1 = - 5x + 9 ; 3x + 5x = 9 – 1 ; 8x = 8 ; x = 8:8; x = 1

3 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x + 4 = 16

b) 7x + 8 = 57

c) x + 2 = 16 – 6x

d) x – 1 = 9 – x

e) 5x – 5 = 25

f ) 3x – 2 = 4 + x

g ) x : 3 + 1 = 10

h) 3x – 1 = 5x + 7


5.3.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS.

Si tenemos que resolver una ecuación en la que aparezca uno o más paréntesis; el primer paso a realizar es eliminalos. Para ello, multiplicamos el interior de los mismos, por el número que aparezca delante de ellos en cada caso (incluido el signo). Después se resuelve la ecuación resultante de la manera ya comentada en el apartado anterior.Ejemplo: para resolver -3 ( x+ 2) = 5 el primer paso es desarrollar el paréntesis como -3x -6 = 5 y después se resuelve de forma sencilla.

4 Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis: a) 5 ( x – 1 ) - 6x = 3x – 9

b) 3x + 4 = 2 ( x + 4 )

c) 4 ( x – 2 ) + 2x = -3 ( x + 1 ) + 4

d) x – 5 ( x + 1 ) = 2x - ( 3x + 5 )

e) 3x - 2 ( x – 3 ) = 4 ( 2x + 1 ) - 6x

f) - 2 ( x + 1 ) - ( 3x – 2 ) = 3 ( x – 3 ) + 1.


5.4.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES.

Si las ecuaciones a resolver tienen denominadores; hay que hacer el mcm de todos ellos y obtener las fracciones equivalentes ( el mcm obtenido se divide entre el denominador y el resultado se multiplica por el numerador). Así eliminamos los denominadores y nos quedamos con una ecuación con paréntesis, que ya sabemos resolver.

5 Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores:

1 7

5 2 5

x x+ − =

40

3 9

x x +− =

33 1

4 2

x x ++ − =

2 3 4 2

3 2 5

x x x− − −− =

2 1 2 1

2 4 6

x x x+ − −− =


5.5.- PROBLEMAS CON ECUACIONES.

En primer lugar, hay que expresar el enunciado del problema utilizando expresiones algebraicas. Después, se resuelve la ecuación obtenida, por el método más conveniente. 6 Calcula dos números consecutivos tales que el triple del primero, menos el doble del segundo, sea 9.

7 Halla dos números pares consecutivos cuya suma sea 10.

8 Un matrimonio y sus 3 hijos, realizan un viaje en autobús. Se sabe que el billete del adulto vale el doble que el de niño. Si han pagado 8`75 euros, ¿cuánto cuesta cada billete?.

9 En una chocolatería hay 900 bombones, en cajas de 6 y de 12 unidades. Si en total hay 125 cajas, ¿cuántas hay de cada tipo?.

10 En un parking hay 100 vehículos, entre coches y motos. Si en total hay 370 ruedas, ¿cuántos coches y motos hay?.

6 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

6.1.- RAZÓN Y PROPORCIÓN.

6.2.- MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE

PROPORCIONALES.

6.3.- REGLAS DE TRES SIMPLES DIRECTAS.

6.4.- REGLAS DE TRES SIMPLES INVERSAS.

6.5.- PROBLEMAS CON PORCENTAJES.

6 PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA 2º E.S.O.

6.1.- RAZÓN Y PROPORCIÓN.

La razón entre dos magnitudes, a y b, es la relación que existe entre ellas, expresada en forma de fracción. También se puede dividir el numerador entre el denominador y expresarla en forma decimal. Ejemplo: Ramón ha encestado 5 canastas de 8 intentos; eso se expresaría en forma de razón con el número decimal 0'625 o con la fracción:

1 Expresa las siguientes relaciones en forma de razón:

a) De los 25 alumnos de la clase, 7 llevan gafas.

b) Un vehículo ha recorrido la quinta parte del viaje.

c) Andrés ha acertado 6 de las 10 preguntas del exámen.

d) En una caja de 20 bombones, 3 son de café.

Se llama proporción a la igualdad entre dos razones; es decir, son dos fracciones igualadas. En toda proporción se verifica que “el producto de medios es igual al producto de extremos”; es decir, que al multiplicar dichas fracciones en cruz, nos da lo mismo.Ejemplo: comprobamos que las siguientes razones forman proporción:

si porque al multiplicar en cruz nos queda: 6 · 5 = 3 · 10.

2 Comprueba si las siguientes igualdades forman proporción:

3 Calcula el valor de x para que las siguientes igualdades formen proporción:

x = x = x = x =

5

8

5 10

3 6=

5 10

2 4=

9 27

5 15= 6 66

2 22=

6 18

7 14=

2 5

4 x=

5

6 18

x=30

8 80

x =1 13

26x=


6.2.- MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES.

Dos magnitudes, se dice que son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellas por un numero cualquiera, la otra queda multiplicada (dividida) por dicho número. Es decir, a mayor valor de una de ellas, le corresponde mayor valor de la otra y viceversa. Dos magnitudes se dice que son inversamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de ellaspor un número, la otra queda dividida (multiplicada) por dicho número. Es decir, a mayor valor de una de ellas, le corresponde menor valor de la otra y viceversa.

4 Indica cuales de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales y cuales son inversamente proporcionales: a) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer un recorrido.

b) La longitud del lado de un triángulo equilátero y su área.

c) La velocidad de un vehículo y Km que puede recorrer en cierto tiempo.

d) Caudal de un grifo y tiempo que tarda en llenar una bañera.

e) El número de folios de un documento y su grosor. f) El número de socios de un club y el dinero recaudado por sus cuotas.

g) Número de amigos que hacen un regalo y dinero que pone cada uno.

h) Consumo de energía eléctrica y horas de luz solar.

5 Completa las siguientes tablas sabiendo que la primera de ellas corresponde a magnitudes directamente proporcionales y la segunda a magnitudes inversamente proporcionales.

Magnitud A 3 9 6 30

Magnitud B 5

Magnitud A 6 30 12 18

Magnitud B 90


6.3.- REGLAS DE TRES SIMPLES DIRECTAS.

Las reglas de tres simples directas, se utilizan para resolver problemas en los que aparezcan implicadas dos magnitudes directamente proporcionales. Dado el valor de una de ellas, se pedirá uno o varios valores de la otra. Ejemplo: Elena pagó 60 céntimos por 5 chicles, ¿cuánto le habrían costado 8?. 5 chicles 60 céntimos como son magnitudes directamente proporcionales, se plantea la 8 chicles x céntimos proporción que le corresponde y de ella se despeja la x multiplicando en cruz:

5 · x = 60 · 8

6 Cinco libros iguales nos han costado 60€. ¿Cuánto pagaremos por 3 libros?. ¿Cuántos libros podremos comprar con 120€?.

7 Con un grifo se ha llenado en 10 min, un depósito de 150 litros. ¿Cuánto tardará en llenarse un depósito de 450 litros?. ¿Cuántos litros arrojará el grifo en 1 hora?.

8 Enrique ha pagado 1080€ por el alquiler de un trimestre. ¿Cuánto pagará por su alquiler en 7 meses?. ¿A cuánto asciende la cuota mensual?.

9 Para elaborar un postre para 6 personas, se necesitan 240 g de harina. ¿Qué cantidad de harina necesitamos si son 8 personas?. Si disponemos de 400 g, ¿cuantas personas pueden tomar postre?.

5 60

8 x= 60·8

965

x cts= =


6.4.- REGLAS DE TRES SIMPLES INVERSAS.

Las reglas de tres simples inversas, se utilizan para resolver problemas en los que aparezcan implicadas dos magnitudes inversamente proporcionales. Dado el valor de una de ellas, se pedirá uno o varios valores de la otra. Ejemplo: Un cohe que circula a 75 Km/h tarda 2 horas en realizar un trayecto. ¿Cuánto tarda si va a 100 Km/h?. 75 Km/h 2 horas como son magnitudes inversamente proporcionales, se plantea la 100 Km/h x horas proporción dando la vuelta a una de las fracciones y de ella se despeja la x multiplicando en cruz:

75 · 2 = 100 · x

10 Para reparar una avería se necesitan 6 obreros trabajando durante 4 días. ¿Cuánto tiempo tardarán 8 obreros trabajando al mismo ritmo?.

11 Para montar un espectáculo, se necesitan 20 personas trabajando 10 horas diarias. ¿Cuántas personas se necesitarán si trabajan durante 8 horas diarias?.

12 Con el dinero que tiene Juan en la hucha, puede gastar 15€ diarios durante 6 días. ¿Cuánto podrá gastar si quiere que le dure 9 días?.

13 Eva pintó su habitación con 6 botes de pintura de 4 Kg cada uno. Ahora quiere volver a pintarla pero sólo venden botes de 3 Kg de pintura. ¿Cuántos botes necesita comprar?.

75

100 2

x= 75·21.5

100x horas= =


6.5.- PROBLEMAS CON PORCENTAJES.

Otra de las aplicaciones de las reglas de 3, es su uso en la resolución de problemas con porcentajes ya que siempre se pueden calcular los datos desconocidos planteando una regla de 3 simple. Es decir, podemos calcular un aumento o una disminución porcentual, o una parte conocido el total... Sólo hay que tener presente que el total de lo que nos den es el 100%.Ejemplo: En una clase hay 13 niñas; lo que representa el 50% del total de los alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en el aula?.13 alumnas 50% y se resuelve como regla de 3 simple directa. x alumnos 100%

14 Luis se ha comprado un coche de 18000€ y le han hecho un descuento de 1260€. ¿Qué porcentaje le han descontado?.

15 Irene se ha comprado un vestido en rebajas. Sabiendo que le han descontado 6€ correspondientes a un descuento del 15%; ¿cuánto costaba el vestido inicialmente?.

16 El precio de la luz ha subido un 3%. Si antes pagábamos una factura media de 95€ mensuales. ¿Cuánto pagaremos ahora por una factura como esa?.

17 Miguel paga de impuestos un 18% de su salario. Si cobra 1400€ mensuales, ¿cuánto deberá pagar de impuestos?.

18 Amelia se ha comprado un frigorífico que costaba 975€ con un descuento del 10%. ¿Cuánto ha pagado finalmente con el frigorífico?.

19 En una fiesta se marchan 30 personas a la misma hora; lo que supone el 20% de los asistentes. ¿Cuántas personas habia en la fiesta?.

7 FIGURAS PLANAS. ÁREAS

7.1.- EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

7.2.- ÁREAS DE FIGURAS POLIGONALES.

7.3.- ÁREAS DE FIGURAS POLIGONALES. CONTINUACIÓN

7.4.- LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA Y ARCOS.

7.5.- ÁREAS DE CÍRCULOS Y SECTORES CIRCULARES.

7.6.- ÁNGULOS EN UN POLÍGONO.

7 FIGURAS PLANAS. ÁREAS. 2º E.S.O.

7.1.- EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Recuerda el teorema de Pitágoras: en todo triángulo rectángulo:

2 2 2c a b= + (la hipotenusa al cuadrado es la suma de los catetos al cuadrado)

2 2 2a c b= − (Un cateto al cuadrado es hipotenusa al cuadrado menos el otro

cateto al cuadrado)

1 Halla la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 5cm.

2 Halla el lado de un rombo de diagonales 8cm y 4cm.

3 ¿Es rectángulo un triángulo cuyos lados miden 16cm, 63cm y 65cm.?

4 Halla la altura de un triángulo isósceles con un lado desigual de 4cm y dos lados iguales de

6cm

ca

b

h


7.2.- ÁREAS DE FIGURAS POLIGONALES.

Vamos a repasar las áreas de los polígonos de 3 y 4 lados.

• Triángulo: ÁREA = (BASE x ALTURA)/2

• Rectángulo: ÁREA = BASE x ALTURA

• Cuadrado: ÁREA = LADO x LADO

• Rombo: ÁREA = (DIAGONAL MAYOR x DIAGONAL MENOR) / 2

• Romboide: ÁREA = BASE x ALTURA

• Trapecio: ÁREA = (Base Mayor+base menor) · h / 2

5 Determina el área de un triángulo cuya base es 4 cm y cuya altura es 6 cm.

6 Halla el área de un triángulo equilátero de lado 7 cm.

7 Halla el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 4 cm y la hipotenusa de 5 cm.

8 Halla el área de un rectángulo de altura 4 cm y base 9 cm.

9 Halla el área de un rectángulo de altura 14 cm y diagonal 21cm.

14,3 cm


10 Halla el área de un cuadrado de 2 metros de diagonal.

11 ¿Cómo se llama la figura representada? Halla su área.

12 Halla el área de un rombo de lado 2 cm y diagonal menor 2 cm.

13 Halla el área de la figura:

5,3 cm


7.3.- ÁREAS DE FIGURAS POLIGONALES. CONTINUACIÓN

ÁREAS DE POLÍGONOS REGULARES Y DE FIGURAS POLIGONALES PLANAS GENERALES.

• Polígono regular: ÁREA = (Perímetro x Apotema)/2

• Figura plana general: Se calcula el área por descomposición en figuras planas conocidas.

14 Halla el área de un pentágono regular de lado 4 cm y apotema 3,5 cm.

15 Halla el área de un decágono regular de lado 3,5 cm y apotema 10,8 cm.

16 Halla el área de la siguiente figura:


7.4.- LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA Y ARCOS.

ARCO DE CIRCUNFERENCIA

En esta imagen tienes representado un Arco de Circunferencia

determinado por dos puntos A y B. Forma un ángulo de α grados.

• La longitud de una circunferencia de radio r viene dada por la fórmula: 2· ·L rπ=

• La longitud de un Arco de Circunferencia de α grados es: 2 · ·

360

rL

π α=

17 Halla la longitud de una circunferencia de diámetro 10 metros.

18 Halla la longitud de un arco de circunferencia de radio 5 dm y con un arco de 35°.

19 Halla el radio de la Tierra sabiendo que su circunferencia tiene aproximadamente una

longitud de 40.076 km.


7.5.- ÁREAS DE CÍRCULOS Y SECTORES CIRCULARES.

Sector circular de radio r y ángulo α. corona circular comprendida entre una

circunferencia de radio R y otra de radio r.

Vamos a repasar el áreas del círculo y del sector circular:

• Área del círculo de radio R: 2

·Rπ

• Área del sector circular de radio R y ángulo α: 2

· ·360

Rα π

• Área de la corona circular de radios R y r: ( )2 2· R rπ −

20 Halla su área de un círculo de diámetro 2,5 cm.

21 ¿Qué radio tiene un círculo de área 64 hm2?

22 Halla el área del sector circular de 6 cm de radio y un arco de 60°.

Ángulo interior

Ángulo central


7.6.- ÁNGULOS EN UN POLÍGONO.

Esta imagen representa un polígono regular con un Ángulo

Interior y un Ángulo Central.

• La suma de los Ángulos Interiores de un polígono de n lados es: ( )180 · 2n° −

• Si el polígono es regular, cada ángulo interior mide:( )180 · 2n

n

° −

• El Ángulo Central de un polígono regular mide: 360n

°

23 ¿Cuánto vale la suma de los ángulos interiores de un heptágono no regular?

24 ¿Cuánto vale el ángulo interior de un dodecágono regular?

25 ¿Cuánto vale el ángulo central de un eneágono regular?

8 PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

8.1.- TEOREMA DE THALES. APLICACIONES.

8.2.- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

8.3.- POLÍGONOS SEMEJANTES.

8.4.- APLICACIÓN DE LA SEMEJANZA A LA VIDA COTIDIANA.

8.5.- ESCALAS. APLICACIONES.

8 PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA 2º E.S.O.

8.1.- TEOREMAS DE THALES. APLICACIONES.

Teorema de TalesSi las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas, r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales:

''

''

CB

BA

BC

AB =

1 Observa la siguiente figura y calcula:

a) ¿Cuánto mide el lado AE?

c) ¿Y cuánto mide el lado AD?

2 Divide el segmento AB en cuatro partes iguales, considerando que la semirrecta AC te servirá de ayuda. Explica cómo lo has hecho.


3 Observa la siguiente figura y calcula el valor de los segmentos AB, BC y CD.

8.2.- SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.

Dos triángulos semejantes tienen:

– Sus lados proporcionales: ===''' c

c

b

b

a

a razón de semejanza

– Sus ángulos respectivamente iguales: 'ˆˆ AA = , 'ˆˆ BB = , 'ˆˆ CC =

Dos triángulos en posición de Tales son semejantes

4 ¿Qué triángulos del ejercicio 1 se encuentran en posiciónde Tales?

5 Dibuja un triángulo rectángulo de vértices A, B y C ( A = 90º) cuyos lados sean 8 cm, 6 cm y 10 cm, y después traza la altura correspondiente a la hipotenusa (AD), obteniendo dos nuevos triángulos de vértices A, D y B; y A, D y C, respectivamente.

a) ¿Cómo son los triángulos?b) ¿Son semejantes los triángulos de vértices ABC y ADB? Di el criterio utilizado.c) ¿Son semejantes los triángulos de vértices ABC y ADC? Di el criterio utilizado.d) ¿Son semejantes los triángulos de vértices ADB y ADC? Di el criterio utilizado.


8.3.- POLÍGONOS SEMEJANTES.

Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

Razón de semejanza es el cociente de la longitud de un lado de un polígono entre la longitud correspondiente del otro polígono.

6 Tenemos dos pentágonos semejantes con una razón de semejanza de 5

3. Si el área del

pentágono menor es 12,5 cm2, calcula el área del pentágono mayor

8.3.- APLICACIÓN DE LA SEMEJANZA A LA VIDA COTIDIANA.

7 Silvia mide 1,67 m y produce una sombra de 1,25 m. ¿Cuánto mide la sombra de Miguel en ese mismo instante, si su altura es 1,75 m?

8.4.- ESCALA.

Escala es el cociente entre cada longitud en la reproducción (mapa, plano o maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es decir, es la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Ej: Si el plano de una casa está a escala 1:300 significa que por cada centímetro de distancia en el plano, se corresponde con 300 centímetros en la realidad. Así pues, si en el plano medimos 2,4 cm. En la realidad tendríamos 720 cm que equivalen a 7,2 m.

8 El plano de la figura representa el salón de una casa. La escala a la que está representado es 1 : 200. ¿Cuáles son las dimensiones reales?


9 Ayudándote de la escala gráfica del siguiente mapa, calcula la distancia en línea recta

entre los puntos señalados:

M (Mérida) – O (Oviedo) M (Mérida) – Ma (Madrid) M ( Mérida) – B ( Barcelona)

9 CUERPOS GEOMÉTRICOS 2º E.S.O.

9 CUERPOS GEOMÉTRICOS

9.1.- POLIEDROS REGULARES. ELEMENTOS.

9.2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES. ÁREAS DE LOS MISMOS.

9.3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN: CILINDRO, CONO Y ESFERA.

ÁREA DEL CILINDRO.


9.1.- POLIEDROS REGULARES. ELEMENTOS

Los Poliedros Regulares son cuerpos geométricos limitados por caras poligonales y dichas caras son polígonos regulares. Sus principales elementos son las caras, las aristas y los vértices. Además, la superficie de un poliedro se puedes extender sobre un plano. Esto se llama desarrollo plano del poliedro.

Los principales poliedros regulares son: Tetraedro, Hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro

En ellos se cumple que la suma del número de caras y vértices es igual al número de aristas más dos.

1. Completa la siguiente tabla

POLIEDRO CARAS VÉRTICES ARISTAS CARAS+VERTICES ARISTAS+2 Tetraedro 4 4 6 4 + 4 = 8 6 + 2 = 8 Hexaedro Octaedro

Dodecaedro icosaedro

2. Dibuja el desarrollo plano de cada poliedro regular.


9.2.- PRISMAS Y PIRÁMIDES. ÁREAS DE LOS MISMOS

Los prismas son poliedros formados por dos bases iguales y paralelas, y sus caras laterales son paralelogramos. Según sea el polígono de las bases, los prismas serán triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc. El área de un prisma recto es la suma de las áreas de todas sus caras (área lateral), que son rectángulos más la suma de las áreas de sus dos bases iguales (área de las bases). Es decir:

AL = PB · h ; AB = donde P es el perímetro de la base y a es la apotema de la base. De este modo: A = AL + 2· AB es el área total del prisma. Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos que concurren en un vértice común. En función de la base, las pirámides serán triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc El área de una pirámide es la suma de las áreas de sus n caras (área lateral), que son triángulos más la suma del áreas de su base iguales. Es decir:

AL = n· ATriángulo ; AB = donde P es el perímetro de la base y a es la apotema de la base. De este modo: A = AL + AB es el área total de la pirámide.

1. Dibuja el desarrollo plano de las siguientes figuras:

2. En los siguientes prismas, nombra sus elementos:

a) Prisma triangular

b) Prisma hexagonal


3. Calcula el área total de un prisma de base pentagonal de 7 cm de altura y tal que el lado de la base es 3 cm y 2 cm la apotema.

4. ¿A qué figura corresponde el siguiente desarrollo plano?

5. Dibuja el desarrollo plano de una pirámide de base triangular, una pirámide de base cuadrada, una pirámide de base pentagonal y una pirámide de base hexagonal:

6. Calcula el área superficial de las siguientes figuras:

(Indicación: Utiliza el teorema de Pitágoras cuando sea necesario)

a) b) c)


9.3.- CUERPOS DE REVOLUCIÓN: CILINDRO, CONO Y ESFERA. ÁREA

DEL CILINDRO.

El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos de revolución cuyas superficies laterales son curvas. Tanto el cilindro como el cono son desarrollables, pero la esfera no. El cilindro tiene dos bases circulares iguales y una superficie lateral curva. Su área se halla: A = AL + 2·AB donde: AL=d · h; d es el diámetro de la base y h la altura del cilindro. AB = π·r2 ; r es el radio de la base El cono tiene una única base circular y una superficie lateral curva.

1. Dibuja el desarrollo plano de un cilindro recto en el que el radio de la base mide 1,5 cm, y la altura, 3,5 cm. Describe el desarrollo y calcula su área.

2. ¿A qué figuras corresponden los siguientes desarrollos planos?¿Son todos cuerpos de revolución?

3. Halla el área total de un cilindro de altura 10 cm y radio de la base 3 cm. Dibújalo.


4. Halla el área total de la siguiente pieza:

5. Dibuja una esfera y señala sus elementos:

10 VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

10.1.- VOLUMEN DE UN CUERPO. VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA. DENSIDAD DE UN CUERPO.

10.2.- VOLUMEN DE UN ORTOEDRO Y DEL CUBO.

10.3.- VOLUMEN DE PRISMAS Y CILINDROS.

10.4.- VOLUMEN DE CONOS Y PIRÁMIDES.

10.5.- VOLUMEN DE LA ESFERA.

10 VOLUMEN DE CUERPOS GEOMÉTRICOS 2º E.S.O.

10.1.- VOLUMEN DE UN CUERPO.

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. La unidad de medida de volumen es el metro cúbico que se escribe m3. Los múltiplos y submúltiplos de dicha unidad de medida se resumen en:

Hm3

Dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Existe una relación entre la medida del volumen y la medida de la capacidad:

Hm3

Dam3

m3

cm3

mm3

Kl Hl Dal dl cl

Además, existe también una relación entre la masa: 1 litro de agua destilada pesa 1 Kg, luego:

1 dm3 = 1 l = 1 Kg (En el caso del agua destilada)

La densidad de un cuerpo o de una sustancia, d, es la masa de una unidad de volumen de dicho elemento. Es decir:

Volumen

Masa Densidad =

1 En la figura que aparece más abajo están dibujados un cubo de lado 1 cm y en su interior (coloreado) otro cubo de lado la décima parte del primero:

x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000

: 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000

x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000

: 1000 : 1000 : 1000 : 1000 : 1000

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10

dm3

l

1 dm3 = 1 l

Volumen Capacidad Masa

a) ¿Cuál es la medida de la arista del cubo pequeño?

b) ¿Cuántos cbos pequeños crees que caben en el cubo grande?


2 Completa:

3 Hm3 = cm3

1 m3 = Dam3

4 l = m3

0,5 cm3 = l

15000 l = m3

10000 cl = cm3

3 Expresa en dm3.

a) ⇒ l 1000

b) ⇒ Hl 250

c) ⇒ cl 5000

d) ⇒ Dam 0,01 3

4 ¿Cuánto pesan 200000 cl de agua destilada? ¿Cuál es su volumen?

5 Tenemos 2 recipientes, uno contiene 250 cl y el otro 35 cm3 . ¿Cuál de los 2 tiene mas capacidad? ¿Cuántos Kg contiene el primer recipiente?

10.2.- VOLUMEN DEL ORTOEDRO Y DEL CUBO.

c ba VOrtoedro ⋅⋅=

El volumen de un cubo de arista a es 3cubo a V =

ab

c

El volumen de un ortoedro de aristas a, b y c viene dado por esta fórmula:

PRINCIPIO DE CABALIERI: Si en 2 cuerpos de igual altura el área de las secciones producidas por planos paralelos a las bases son iguales entonces los cuerpos tienen igual volumen.


6 ¿Cuántos litros contiene una piscina con forma de ortoedro cuyas dimensiones son 5 m de ancho, 10 m de largo y 2 m de profundidad?

7 Determina el volumen, en dm3 , de un cubo cuya arista mide 2 m.

8 Determina el volumen de una habitación de 4 m de ancho, 6 m de largo y 2,5 m de alto.

10.3.- VOLUMEN DE PRISMAS Y CILINDROS

Utilizando el principio de Cabalieri se obtienen estas 2 fórmulas:

Altura A V BasePrisma ⋅= Altura A V BaseCilindro ⋅=

hrπ V 2Cilindro ⋅⋅=

9 Determina el volumen, en dm3 , de un cubo sabiendo que el perímetro de una de sus bases es 28 m.

SOLUCIÓN:

10 Halla el volumen de un prima de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 6 cm respectivamente y tiene una altura de 10 cm. ¿Cuántos litros caben en su interior?

SOLUCIÓN:


11 Un bidón con forma cilíndrica tiene una altura de 1,5 m y un diámetro en la base de 40 cm. ¿Cuántos litros caben en su interior? ( )3,14 π tomaremos cálculos los Para :NOTA ≈

SOLUCIÓN:

12 Disponemos de 3 vasijas y estamos interesados en guardar el mayor número de litros posible del aceite de oliva virgen que acabamos de comprar en a almazara. Estas vasijas son:

– Una vasija con forma de prisma de base un cuadrado de 1 m de lado y altura de 1,8 m.– Una vasija con forma cúbica de 1,5 m de arista.– Una vasija cilíndrica de 1,5 cm de altura y una base con un diámetro de 2 m.

¿Cuál de ellas será la más indicada? ( )3,14 π tomaremos cálculos los Para :NOTA ≈

SOLUCIÓN:

10.4.- VOLUMEN DE PIRÁMIDES Y CONOS

El volumen de la pirámide y del cono guardan relación con los volúmenes del prisma y del cilindro respectivamente:

contiene lo que altura y base la de PrismaPirámide V3

1 V ⋅= contiene lo que altura y base la de CilindroCono V

3

1 V ⋅=

13 Las cúpulas de 2 edificaciones tienen las siguientes características:

– Una tiene forma de pirámide de base cuadrangular de 3 m de lado y una altura de 2,5 m.– La otra tiene una forma cónica con un diámetro en su base de 3m y una altura de 2 m.

¿Cuál de ellas tiene un mayor volumen en su interior?

SOLUCIÓN:

14 Calcula el volumen de una pirámide de base triangular (triángulo rectángulo) con 5 m de hipotenusa y 3 m de cateto menor si sabemos además que tiene una altura de 20 m.

SOLUCIÓN:


10.5.- VOLUMEN DE LA ESFERA

El volumen de una esfera es:

3Esfera rπ

3

4 V ⋅⋅=

15 ¿Cuántos litros caben en el interior de una esfera de 20 dm de diámetro?( )3,14 π tomaremos cálculos los Para :NOTA ≈

SOLUCIÓN:

16 Determina el volumen, en m3, que se puede guardar en uno de los hemisferios de una esfera de radio 1 m. ( )3,14 π tomaremos cálculos los Para :NOTA ≈

SOLUCIÓN:

11 FUNCIONES

11.1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

11.2.- ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN.

11.3.- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

11.4.- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.

11 FUNCIONES 2º E.S.O.

11.1.- CONCEPTO DE FUNCIÓN. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

Una función es una relación entre dos variables x e y, que asocia a cada valor de x un único valor de y.Ejemplo : Y Y Sí es función. No es función.

A cada valor de x Al valor x=3 le le corresponde corresponden X un único valor de X infinitos valores y. de y.

Para representar gráficamente una función, construimos una tabla de valores y representamos los puntos en un sistema de ejes cartesianos. Si el contexto lo permite, se unen los puntos. YEjemplo 1 : Y Ejemplo 2 : Consideramos la Consideramos la función dada por función y = x2 la tabla :

XX En este caso no tiene sentido unir los puntos.

1 Indica si las siguientes gráficas corresponden a una función y cual es la razón : Y Y Y

X X

X

2 Representa gráficamente la función que asocia a cada número, su opuesto más una unidad. Expresión algebraica : Y Tabla de valores :

X

x -2 -1 0 1 2

y 4 1 0 1 4

x (nº de balones) 1 2 3 4

y(precio en €) 10 20 30 40

x y


11.2.- ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN.

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. En caso contrario es discontinua.Los puntos de corte con los ejes son los puntos en los que la gráfica corta a los ejes coordenados.Corte con el eje X : se calcula haciendo y=0 y despejando x. Los puntos serán de la forma (a,0).Corte con el eje Y : se calcula haciendo x=0 y despejando y. El punto será de la forma (0,b).Una función es creciente en un tramo, si al aumentar la x también aumenta la y. Si al aumentar x , disminuye y, entonces es decreciente. Los puntos en los que la función pasa de creciente a decreciente son máximos relativos. Los puntos en los que pasa de decreciente a creciente son mínimos relativos.Ejemplo : Y Es una función continua. Corta al eje Y en el punto ((0,-1) y al eje X en los puntos (-2,0), (1,0), (6,0) y (8,0). Es decreciente desde x=-3 hasta x=-1, y desde x=5 hasta x=7. Es creciente desde x=-1 hasta x=5 y desde x=7 hasta x=10. Tiene mínimos relativos en x=-1 y x=7 : (-1,-2) y (7,-4) Tiene un máximo en x=5 : (5,4) X Además tiene un mínimo absoluto en x=7, porque es donde la fun- ción toma el valor más pequeño que es y=-4 : (7,-4) Tiene un máximo absoluto en x=10 porque es donde la función al- canza el mayor valor que es y=8 : (10,8).

3 Indica si las siguientes funciones son o no continuas :

4 Dibuja una función continua que comience en (-3,2) y termine en (11,4); que tenga máximos relativos en los puntos (-2,3) y (8,5) y mínimos relativos en (2,-1) y (9,2). Además (8,5) debe ser máximo absoluto y (2,-1) mínimo absoluto.

Indica los tramos de crecimiento y decrecimiento:

¿En qué puntos corta al eje X?

¿Y al eje Y?


5 La siguiente gráfica muestra las temperaturas de una ciudad a lo largo de un día. Y ¿Es continua? Es creciente desde X Es decreciente desde Máximos relativos :

Mínimos relativos : Máximo absoluto : Mínimo absoluto : ¿A qué horas la temperatura fue de 0ºC?

6 Determina los puntos de corte con los ejes de las funciones :

a) y = x - 2 b) y = 4 - 2x

Corte con el eje X: Corte con el eje Y: Corte con el eje X: Corte con el eje Y:

y = 0 x = 0

x = y =

Punto ( , ) Punto ( , ) Punto ( , ) Punto ( , )

Representa las gráficas y di si son crecientes o decrecientes : Y Y

Es Es


11.3.- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA.

Se llama función de proporcionalidad directa a la función que relaciona dos variables directamente proporcionales. La expresión algebraica es y = mx, donde m es la constante de proporcionalidad. Su representación gráfica es una recta que pasa por el punto (0,0). La constante de proporcionalidad m, se llama pendiente de la recta e indica la inclinación de la recta. Si es positiva, la función es creciente, si es negativa la función es decreciente.Ejemplo 1 : Ejemplo 2 : y = -2 x El precio de un kilo de fresas es 4 €. La función que relaciona Tabla de valores Y el peso y el precio es y = 4x Y

Tabla de valores

X

X

Pendiente = -2 Es decreciente Pendiente = 4 Es creciente

7 Representa las siguientes funciones, indica cual es su pendiente y si son crecientes o decrecientes :

a) Cada metro de cable de antena cuesta b) y = −1

2x

3 €. La expresión algebraica de la función

es : Y Y

X Pendiente X Pendiente Es Es

8 Asocia a cada gráfica su expresión algebraica :

a) y = -5x b) y = 1

3x c) y = x d) y = -x

Y Y Y Y

X X X X

x y

-1 2

0 0

1 -2

2 -4

x y

0 0

1 4

2 8

3 12

x y

x y


11.4.- FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Una función de proporcionalidad inversa es una función que relaciona dos variables inversamente

proporcionales. Su expresión algebraica es de la forma : y=k

x, siendo k la constante de

proporcionalidad inversa. Su gráfica es una curva que se llama hipérbola. Y Y Ejemplo : Una ciclista que circula a 20 km/h, tarda 0.5 h en hacer un determinado trayecto. Y La función que relaciona velocidad y tiempo empleado, es una función X X de proporcionalidad inversa en la que k = 20 x 0,5 = 10

Por tanto la expresión algebraica es

si k es positivo si k es negativo y=10

xx=velocidad y=tiempo X

9 Dada la siguiente tabla de valores inversamente proporcionales :

Y Haz la representación gráfica de la función que relaciona las dos variables. La constante de proporcionalidad inversa es : X

La expresión algebraica de la función que

relaciona las dos variables es :

10 El área de un rectángulo es 6 cm2. Si x es la base e y es la altura del rectángulo, rellena la tabla de valores, escribe la expresión algebraica y haz la representación gráfica. Y

Constante de proporcionalidad :

Expresión algebraica de la función :

X

11 Asocia a cada gráfica su expresión algebraica :

a) y = −1

x b) y =

2

x c) y =

1

x d) y = −

2

x

Y Y Y Y

X X X X

x y

1 10

5 2

10 1

x -5 -1 1 5

y 1 5 -5 -1

x 1 2 3 6

y

12 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 2º E.S.O.

12 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

12.1.- TABLAS DE FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS.

12.2.- GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

12.3.- CÁLCULO DE PROBABILIDADES. REGLA DE LAPLACE.


12.1.- TABLAS DE FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA. PARÁMETROS

ESTADÍSTICOS:

Un parámetro estadístico es un número que se obtiene a partir de los datos de una distribución estadística. Las Medidas de centralización nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos y son: La Media aritmética (La media es el valor promedio de la distribución),La Mediana (La mediana divide la serie de datos en dos partes iguales) y La Moda (La moda es el valor que más se repite en una distribución). Las medidas de dispersión nos informan sobre cuanto se alejan del centro los valores de la distribución. La Desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media

1. Para los siguientes datos, construye una tabla de frecuencias y calcula:

a) La media____________________________________________________ b) La mediana__________________________________________________ c) La moda_____________________________________________________

11, 15, 14, 11, 15, 13, 12, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 13, 14, 11, 13, 11, 12, 14

DATOS F. ABSOLUTA Productos 11 12 13 14 15

2. Halla la media, la mediana, la moda y la desviación media en el siguiente conjunto de datos: 2, 4, 4, 41, 17, 13, 24

Media=__________________________________

Mediana=________________________________

Moda=__________________________________

Desviación media=________________________

3. Halla la media, la mediana, la moda y la desviación media en el siguiente conjunto de datos: 1, 3, 8, 9, 4, 2, 8, 9, 6, 10, 6

Media=__________________________________

Mediana=________________________________

Moda=__________________________________

Desviación media=________________________

http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html





4. Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas.

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29

Realiza la tabla de frecuencias y halla la media, la mediana y la moda

DATOS F. ABSOLUTA Productos 27 28 29 30 31 33 34

Media=_________________________________________________________

Mediana=_______________________________________________________

Moda=_________________________________________________________

5. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos en una prueba han sido las que se detallan a continuación.

15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13


DATOS F. ABSOLUTA Productos 13 14 15 16 18 19 20

Media=_________________________________________________________

Mediana=_______________________________________________________

Moda=_________________________________________________________


6. El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie de números.

3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1


DATOS F. ABSOLUTA Productos 1 2 3 4

Media=_________________________________________________________

Mediana=_______________________________________________________

Moda=_________________________________________________________

7. Los resultados de una encuesta sobre el número de energías alternativas que conoce un grupo de 15 personas han sido:

0, 1, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 0, 1, 4, 1, 0, 0, 3

Construye la tabla de frecuencias absolutas y halla la media, la mediana y la moda

DATOS F. ABSOLUTA Productos 0 1 2 3 4

Media=_________________________________________________________

Mediana=_______________________________________________________

Moda=_________________________________________________________


12.2.- GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas. Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas. Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente. El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos

1. Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo Sanguíneo Frecuencias A 6 B 4

AB 1 0 9 20

Realiza el Diagrama de barras.

2. En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte. Realiza el diagrama de sectores.

3. En la siguiente tabla se expresa la frecuencia del tiempo meteorológico en una ciudad:

Grupo Sanguíneo Frecuencias Soleado 12

Sol y nubes 9 Nublado 5 Lluvia 4

30

Realiza el Diagrama de barras.

4. Se ha realizado un estudio del destino de vacaciones de los alumnos de una clase, obteniéndose los siguientes datos: 12 van a la playa, 4 a la montaña, 2 a otros países y 6 no salen de vacaciones. Realiza el diagrama de sectores.


12.3.- CÁLCULO DE PROBABILIDADES. REGLA DE LAPLACE

Según el grado de conocimiento que tengamos sobre los posibles resultados de un experimento podemos clasificarlo como determinista o aleatorio. El resultado de un experimento determinista está predeterminado antes de su realización. En cambio, en un experimento aleatorio, antes de su realización, conocemos de antemano todos sus posibles resultados, pero no el resultado concreto que vamos a obtener, aunque se observan regularidades al repetir varias veces el experimento.

El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral y normalmente se representa por E. Cualquier subconjunto del espacio muestral recibe el nombre de suceso. Los sucesos elementales son aquéllos que sólo tienen un elemento. El espacio muestral, recibe el nombre de suceso seguro y el conjunto Ø el de suceso imposible.

Para hallar la probabilidad de un suceso se utiliza la Regla de Laplace. Dado un suceso A, su probabilidad es:

P(A) =

1. Decide cuál de los siguientes experimentos son aleatorios:

a) Lanzar una moneda y ver su resultado b) Ver desde una ventana la gente qué pasa y anotar si es hombre o

mujer c) Mezclar la misma cantidad de dos líquidos y ver el color del resultado d) Sacar una bola de un urna en la que hay bolas del mismo tamaño y

distinto color y ver de qué color es la bola extraída

2. De una baraja española se extrae una carta. Hallar la probabilidad de que la carta extraída sea:

a) Un oro _____________________________________________________ b) Un caballo__________________________________________________ c) El as de copas_______________________________________________

3. Una bolsa contiene 12 bolas rojas y 8 azules. En otra bolsa hay 18 bolas rojas y 12 azules. ¿En qué bolsa hay mayor probabilidad de sacar una bola roja?

4. En un sobre hay 9 tarjetas iguales numeradas del 1 al 9. Al sacar una tarjeta al azar, escribe los números que forman los siguientes sucesos y halla su probabilidad:

a) Sacar el número 6_____________________________________________ b) Sacar un número mayor que 5__________________________________ c) Sacar un número impar________________________________________ d) Sacar un número par menor que 7_______________________________


5. En el juego del dominó de 28 fichas elegimos una ficha al azar. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Elegir la ficha del 5 doble_______________________________________ b) Elegir una ficha que tenga un 2__________________________________ c) Elegir una ficha cuyos números sumen 7_________________________

6. En una clase de 1º de ESO hay 12 chicos y 15 chicas y van de excursión acompañados por 2 profesores y una profesora. Se elige una persona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea alumno ni alumna?

7. En una urna hay 10 bolas rojas, 12 azules y 8 verdes. Al extraer una bola al azar, halla la probabilidad de que la bola sea:

a) Roja________________________________________________________ b) Azul________________________________________________________ c) Verde_______________________________________________________

8. En un mercadillo hay una caja con guantes del mismo tamaño. Hay 70 guantes de la mano derecha y 45 de la mano izquierda. Si sacamos de la caja un guante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la mano derecha?

9. Al extraer una carta de una baraja española, calcula el suceso más probable: Sacar un oro o sacar un múltiplo de cinco.

1.1.- suma y resta de nÚmeros enteros. 1.2

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