1.1.2 分类计数原理

与分步计数原理 ( 二)

一、复习回顾 :•两个计数原理的内容是什么 ?

•解决两个计数原理问题需要注意什么问题 ?有哪些技巧 ?

(2) 他们争夺这三科竞赛的冠军 ( 没有并列冠军 ) ，有多少种不同结果？

解：（ 1 ） 4 名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有 3 种报名方法， 4 名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为 3×3×3×3 =81种 .（ 2 ）每一科只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中

的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有 4 种故有 n=4×4×4=64 种 .

例 1. 有 4 名学生报名参加数学 , 物理 , 化学竞赛， (1) 每人限报一科，有多少种不同的报名方法 ？

(3) 要求每位学生最多参加一科竞赛，且每项竞赛只允许有一名学生参加，可能有多少种不同结果？

例 2 用 0,1,2,3,4 这五个数字 ,

(1) 可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

(2) 可以组成多少个没有重复数字的三位奇数 ?

(3) 可以组成多少个没有重复数字且不小于 200的三位偶数 ?

一、排数字问题

二、映射个数问题 :

•例 2 设 A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z}, 从 A 到 B 共有多少种不同的映射 ?

例 3 如图 , 要给地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必须涂不同的颜色 , 不同的涂色方案有多少种？

三、染色问题 :

解 : 按地图 A 、 B 、 C 、 D 四个区域依次分四步完成 , 第一步 , m1 = 3 种 , 第二步 , m2 = 2 种 , 第三步 , m3 = 1 种 , 第四步 , m4 = 1 种 ,所以根据乘法原理 , 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。

练习 有 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色 , 要求在 A 、 B 、 C 、 D 四个区域中相邻 ( 有公共边界 ) 区域中不用同一种颜色 .

(1) 若 n=6, 为①着色时共有多少种方法 ?

(2) 若为②着色时共有 120 种不同方法 , 求 n.

A C A 　 D C D

B B ① ②

例 5. 给程序模块命名，需要用 3 个字符，其中首个字符要求用字母 A~G 或 U~Z ，后两个要求用数字1 ～ 9 ，问最多可以给多少个程序命名？

分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。

解：首字符共有 7+6＝ 13种不同的选法，

答：最多可以给 1053 个程序命名。

　中间字符和末位字符各有 9种不同的选法根据分步加法计数原理 ,最多可以有 13×9×9＝ 1053种不同的选法

例 7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有 0或 1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问（ 1）一个字节（ 8位）最多可以表示多少个不同的字符？（ 2）计算机汉字国标码（ GB码）包含了 6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？

第 1位 第 2位 第 3位 第 8位

2种 2种 2种 2种

……如 00000000 ， 10000000 ，

11111111.

例 9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照 ?

课堂练习课堂练习

1 、乘积

展开后共有几项？

))()(( 54321321321 cccccbbbaaa 教材教材 1010页 练习页 练习 11 ，， 22 ，， 33 ，，44

作业作业

教材 12页 A 组 1 ， 2 ， 3 ，4 ， 5教材 13页 B 组 1 ， 2

教材 6页练习 1 ， 2 ，3