www.syriamath.netالموقع اإللكتروني : سیریا ماث 1

الثانیةالسنة : جامعة دمشق –كلیة العلوم قسم الریاضیات

األول الفصل : )3تحلیل ( المقرر :

2013/11/11 التاریخ : ) 11( المحاضرة :

> :1مبرھنة <

푓}لتكن (푥)} متتالیة توابع معرفة ومستمرة على مجال مغلق مثل퐼 = [푎, 푏] : حیث−∞ < 푎 < +∞ قابال 푓(푥).. عندئذ : یكون التابع 퐼على 푓(푥)ولنفرض أن ھذه المتتالیة تتقارب بانتظام من تابع مثل

ویتحقق اآلتي : 퐼للمكاملة على المجال

lim⟶

푓 (푥). 푑푥 = lim⟶

푓 (푥) 푑푥 = 푓(푥) . 푑푥

اإلثبات :

퐼قابال للمكاملة على المجال 푓(푥).. ومنھ یكون 퐼على المجال مستمر 푓(푥)بحسب الفرضیات نستنتج أن :

εلیكن > عندئذ : 0( )

> 푓}.. وبما أن 0 (푥)} متقاربة بانتظام من푓(푥) على퐼 : فإنھ

푁یوجد ≠ 푓|بحیث یكون : 0 (푥) − 푓(푥)| <( )

푛عندما ≥ 푁 ومن أجل جمیع قیم푥 من퐼 .

ومنھ :

∫ 푓 (푥). 푑푥 − ∫ 푓(푥). 푑푥حسبخواصالتكامل

= ∫ [푓 (푥) − 푓(푥)]. 푑푥

ة المطلقة للتابع )) متكامل القی أصغر أو تساوي ومن خواص التكامل أیضا : (( القیمة المطلقة لتكامل تابع

⟹ [푓 (푥) − 푓(푥)]. 푑푥 ≤ |[푓 (푥) − 푓(푥)]|. 푑푥

푛ومنھ : بفرض ≥ 푁 : نجد مایلي

푓 (푥). 푑푥 − 푓(푥). 푑푥 ≤ 휀

2(푏 − 푎). 푑푥 =

휀2(푏 − 푎)

. (푏 − 푎) =휀2< 휀

εإذا من أجل > 푁یوجد 0 ≠ بحیث یكون : 0

[푓 (푥) − 푓(푥)]. 푑푥 < ε,푛 ≥ 푁 عندما

)11المحاضرة (

www.syriamath.net الموقع اإللكتروني : سیریا ماث 2

وھذا یعني أن :

lim⟶

푓 (푥) 푑푥 = 푓(푥) . 푑푥

ولكن :

lim⟶

푓 (푥) = 푓(푥)

إذا تم المطلوب إثباتھ .

مالحظة :

نطرح فیھ إن الشروط المذكورة في المبرھنة السابقة ھي شروط كافیة وغیر الزمة وسنضرب مثاال یبین ذلك . متتالیة توابع لیست متقاربة بانتظام ولكن تحقق أن (( تكامل النھایة یساوي نھایة التكامل ))

مثال :

푓لیة التي حدھا العام لنأخذ المتتا (푥) 퐼والتي حدودھا معرفة على المجال = = فتكون [0,1] وذلك بمالحظة اآلتي : 퐼منتظم على المجال غیرھذه المتتالیة متقاربة من تابع النھایة لھا بشكل

푓(푥) = lim⟶

푓 (푥) = lim⟶

푛푥1 + 푛 푥

= 0

푓(푥)لنفرض مؤقتا أن ھذه المتتالیة تتقارب بانتظام من = 퐼على المجال 0 = [0,1] ε∀عندئذ : > 푁فإنھ یوجد 0 ≠ 푓| بحیث یكون 0 (푥) − 0| < 휀

푛 عندما ≥ 푁 و∀푥휖퐼 ..

εلنأخذ اآلن 푁عندئذ : یوجد = ≠ 푓بحیث یكون : 0 (푥) < |푓 (푥)| = 푛 عندما ≥ 푁 و∀푥휖퐼 ..

푛ثم لناخذ ≩ 푁 فیكون푛 > 푁(( ألن 1 ≥ )) ومنھ : 10 < < 1 ⟹ 휖퐼 = وبالتالي نجد أن : [0,1]

12> 푓

1푛

=푛. 1푛

1 + 푛 . 1푛

=1

1 + 1=12

퐼إذا فالتقارب لھذه المتتالیة غیر منتظم على المجال وھذا مستحیل .. < أي أن : = [0,1] ..

)11المحاضرة (

www.syriamath.net الموقع اإللكتروني : سیریا ماث 3

وأیضا :

푓 (푥) . 푑푥 =푛. 푥

1 + 푛 . 푥 . 푑푥 =12푛

2푛 . 푥1 + 푛 . 푥 . 푑푥

=12푛

[ln(1 + 푛 푥 )] =12푛

[ln(1 + 푛 − 0)] =ln(1 + 푛 )

2푛

فلنحسب اآلن نھایة ھذا التكامل :

lim⟶

푓 (푥) . 푑푥 = lim⟶

ln(1 + 푛 )2푛

حسبأوبیتال= lim

⟶

푛1 + 푛 = 0

ولنحسب أیضا تكامل النھایة :

lim⟶

푓 (푥) . 푑푥حسبالمبرھنة

= 푓(푥). 푑푥 = 0. 푑푥 = 0

فنجدأن lim⟶

푓 (푥) . 푑푥 = lim⟶

푓 (푥) . 푑푥 = 0

> :2مبرھنة <

푓}لتكن (푥)} متتالیة توابع معرفة على مجال مغلق مثل퐼 = [푎, 푏] .. ولنفرض أن ھذه المتتالیة تحقق الشروط اآلتیة :

. 퐼على مجال 푓(푥)ھذه المتتالیة تتقارب من تابع مثل ـ )1 . 퐼حدود ھذه المتتالیة قابلة لإلشتقاق على المجال ـ )2푓المشتقات ـ )3 (푥) : حیث(푛 = 1,2,3, …… . 퐼ھي توابع مستمرة على المجال (푓}متتالیة المشتقات ـ )4 (푥)} تتقارب بانتظام من تابع مثل푔(푥) على المجال퐼 .

.. أي أن : 푔(푥)ھو 퐼ومشتقھ على 퐼قابال لإلشتقاق على 푓(푥)عندئذ : یكون التابع 푓 (푥) = 푔(푥), ∀푥휖퐼 : ویكون أیضا

lim⟶

푓 (푥) = lim⟶

푓 (푥) = 푓 (푥)

اإلثبات :

.. 퐼مستمر على 푔(푥)) نستنتج أن 4) و (3حسب الشرطین (

퐺(푥)ولیكن 퐼.. ومنھ یوجد لھ تابع أصلي على 퐼قابال للمكاملة على 푔(푥)ومنھ یكون

)11المحاضرة (

www.syriamath.net الموقع اإللكتروني : سیریا ماث 4

퐺ومنھ : (푥) = 푔(푥) وأیضا بفرض푥휖퐼 = [푎, 푏] .. نجد أنھ وألجل푡휖퐼

퐺(푥) − 퐺(푎) = [퐺(푡)] = 푔(푡) . 푑푡 = lim⟶

푓 (푡) . 푑푡

وحسب المبرھنة السابقة :

lim⟶

푓 (푡) . 푑푡 = lim⟶

푓 (푡) . 푑푡 ⟹ = lim⟶

[푓 (푥)]

= lim⟶

[푓 (푥) − 푓 (푎)] = lim⟶

푓 (푥) − lim⟶

푓 (푎)

푓وبما أن : (푎) ⟶ 푓(푎), ∀푎휖퐼 : ألن푓 .. متتالیة عددیة

⟹= 푓(푥) − 푓(푎)

إذا :

퐺(푥) − 퐺(푎) = 푓(푥) − 푓(푎) ⟹ 푓(푥) = 퐺(푥) − 퐺(푎) + 푓(푎)

ومنھ :

푓 (푥) = 퐺 (푥) = 푔(푥) ⟹ 푔(푥) = [푓(푥)]

⟹ lim⟶

푓 (푥) = lim⟶

푓 (푥) , ∀푥휖퐼

⟹ lim⟶

[푓 (푥)] = lim⟶

푓 (푥)

وھو المطلوب ..

( ھــامة ألجل التمارین ) > :3مبرھنة <

푓}لتكن (푥)} متتالیة توابع معرفة على مجال مثل퐼 .... 퐼على مجال 푓(푥)ولنفرض أن ھذه المتتالیة تتقارب من تابع مثل عندئذ : تكون القضیتین التالیتین متكافئتین ..

푓} المتتالیة ـ )1 (푥)} تتقارب بانتظام على المجال퐼 . 푀بفرض : ـ )2 = 푠푢푝 |푓 (푥) − 푓(푥)| من أجل كل푛 : فإنھ

( lim⟶

푀 = 0)

اإلثبات : (( في المحاضرة القادمة ))

)11المحاضرة (

www.syriamath.net الموقع اإللكتروني : سیریا ماث 5

تــمــریــن :

اآلتیة :ادرس التقارب من حیث كونھ منتظما أم غیر منتظم لمتتالیات التوابع

1) 푓 (푥) = ,퐼 = [0,1]

2) 푓 (푥) = sin ,퐼 = ℛ

3) 푓 (푥) = sin ,퐼 = [0, ]

4) 푓 (푥) = , 퐼 = [0, +∞[

انتھت المحاضرة " .............................................................. "