학사학위논문

1·2 자유도 진자의 자기력을 이용한

강제진동 특성 확인 실험

2017년 02월

서울대학교 물리교육과

임소정

지도교수 채승철 교수님

목 차

Ⅰ. 서론 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 1

1. 연구의 필요성

2. 연구 문제

Ⅱ. 이론적 배경 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 2

1. 헬름홀츠 코일 내부에서의 자기장에 의해 자석이 받는 힘

2. 물리진자

3. 연성진자

4. 단순 감쇠 진동자의 응답과 주파수 응답

Ⅲ. 연구 방법 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 8

1. 진자 제작

2. 진동 실험

3. 분석 방법

Ⅳ. 연구 결과 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 11

1. 1자유도계 진자의 자유진동

2. 1자유도계 진자의 강제진동

3. 2자유도계 진자의 자유진동

4. 2자유도계 진자의 강제진동

Ⅴ. 결론 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 18

Ⅵ. 참고문헌 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 19

1

Ⅰ. 서론

1. 연구의 필요성

진동이란 평형점을 중심으로 하는 왕복 운동을 말한다 (Beer et al., 2007). 진동은 인간의 활동

과 관련이 있는데, 고막이 진동하여 소리를 듣거나, 후두와 혀의 진동운동을 통해 말을 하는 것

등을 예로 들 수 있다. 뿐만 아니라 진동 현상을 이용한 제품들도 주위에서 많이 볼 수 있는데,

세탁기나 전동칫솔, 치과용 드릴, 전기 마사지 장치 등이 있다. 하지만 진동 현상이 장점만 있는

것은 아니다. 기계 제품에서의 진동은 제품의 손상이나, 부품의 마모, 소음 유발, 체결 요소를 느

슨하게 하는 요인이 되기도 한다. 특히, 가진력의 진동수와 고유진동수가 일치하는 공진 현상의

경우 그 파괴력은 배가 된다. (Rao, 2012) 공진 현상의 예로, 2011년 7월에 강변테크노마트에서 건

물이 흔들리는 일이 있었다. 조사 결과 피트니스센터에서 진행된 태보 운동의 진동수가 건물 전

체의 고유 진동수와 맞아떨어져 공진 현상을 일으켰다고 결론을 내렸다 (전동혁&이새샘, 2011).

그 후 질량과 용수철로 이루어진 진동제어기를 설치하여 공진뿐만 아니라 바람에 의한 진동까지

함께 제어하는 장치를 개발하여 적용하였다 (원호섭, 2011). 이와 같은 이유로 진동 현상을 이해하

고 연구하는 것이 중요하다.

서울대학교 물리교육과의 역학 수업에서 사용하는 교재 ‘Classical dynamics of particles and

systems (Marion)’를 보면 3장에서 1자유도계 선형 진동, 4장에서 비선형 진동, 12장에서 다자유

도계 진동, 13장에서 연속계 진동에 대해 다루고 있다. 교육과정 상에서 2학년 1학기 역학 및 교

육 1 에서는 단순조화진동, 감쇠진동, 사인파 형태의 외부 힘이 가해질 때 진동에 대해 배우고, 2

학년 2 학기 역학 및 교육 2 에서는 2 자유도계 진동과 이를 일반화시킨 다자유도계 운동, 연속계

인 실의 진동과 파동방정식에 대해 배우게 된다.

1자유도계와 2자유도계의 공진현상을 직접 관찰하면 학생들이 진동 현상을 이해하는데 도움

이 될 것으로 예상되어 진동실험을 제안하고자 한다. 대학교뿐만 아니라 중∙고등학교 현장에서도

쉽게 설치하고 직관적으로 관찰할 수 있도록 작은 규모의 진동실험을 제안하기에 앞서 실험 결과

가 타당한지 확인하고자 한다.

2. 연구 문제

자기력을 이용한 강제진동실험장치를 구성하고, 1 자유도계와 2 자유도계의 진동에 대해 관찰

한다. 사인파 형태의 가진력에서 진동수를 바꾸면서 가진을 할 때 진동 현상이 어떻게 변하는지

관찰하고, 1자유도계의 경우 주파수 응답 함수를 구한다. 특히, 계의 고유진동수를 계산하여 가진

력의 진동수를 고유진동수로 맞췄을 때 어떤 현상이 일어나는지 관찰한다.

2

Ⅱ. 이론적 배경

1. 헬름홀츠 코일 내부에서의 자기장에 의해 자석이 받는 힘

헬름홀츠 코일은 동일한 두 개의 코일이 반지름만큼 떨어져있는 코일을 말한다. 헬름홀츠 코

일은 실험실 내에서 상대적으로 균일한 자기장을 만드는 쉬운 방법 중 하나이다. 그림 1 은 헬름

홀츠 코일의 도식과 전류가 흐를 때 생기는 자기장을 보여준다. 헬름홀츠 코일의 중심에서의 자

기장은 비오-사바르 법칙을 통해 구할 수 있으며 식 (1)과 같다.

B = �45�3/2 𝜇𝜇0𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑅𝑅 (1)

𝜇𝜇0는 진공의 투자율, 𝑛𝑛은 코일을 감은 횟수, 𝐼𝐼는 코일에 흐르는 전류, 𝑅𝑅은 코일의 반지름을 의미

한다.

그림 1 헬름홀츠 코일의 도식과 코일 내부의 자기장 (위키백과, 2016)

이상적인 자기 쌍극자가 있을 때, 자기 쌍극자 방향에서의 자기장은 다음과 같다.

Bdip(𝑟𝑟) = 𝜇𝜇04𝜋𝜋

2𝑚𝑚𝑟𝑟3

(2)

자기 쌍극자가 자기장 내에 놓였을 때 자기 쌍극자가 받는 힘은 다음과 같다.

𝐅𝐅 = ∇(𝐦𝐦 ∙ 𝐁𝐁) (3)

헬름홀츠 코일 내부에 이상적인 자기 쌍극자가 놓여있다고 가정한다면, 자기장의 방향은 자기 쌍

극자의 방향과 동일하고 자기장의 크기는 일정하므로 자기 쌍극자가 받는 힘을 다음과 같이 계산

할 수 있다 (Griffiths, 2013).

F = 𝜇𝜇02𝑚𝑚𝐵𝐵04𝜋𝜋

∇ � 1𝑟𝑟3� = −3𝜇𝜇0𝑚𝑚𝐵𝐵0

2𝜋𝜋1𝑟𝑟4

(4)

3

2. 물리진자

그림 2와 같은 물리진자의 운동 방정식을 세우면 다음과 같다. 이 때 감쇠 항은 고려하지 않

는다.

𝐼𝐼𝑂𝑂�̈�𝜃 = −𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 sin𝜃𝜃 (5)

작은 각도 범위에서는 sin θ을 𝜃𝜃로 근사할 수 있으며, 단순 조화 진동자의 운동 방정식으로 나타

낼 수 있다.

I𝑂𝑂�̈�𝜃 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜃𝜃 = 0 (6)

이 시스템의 고유진동수는

ωn = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛𝑂𝑂

(7)

으로 진자의 질량과 관성 모멘트, 회전 중심과 질량 중심 사이의 길이와 관련이 있다.

그림 2 물리진자에 작용하는 힘

3. 연성진자

물리진자 2 개를 용수철로 연결하여 연성진자를 만들면 그림 3 과 같다. 진자의 각도가 작아

선형으로 근사가 가능하며 감쇠 항이 없을 때 각 진자에서의 운동 방정식은 다음과 같다.

1: 𝐼𝐼1𝜃𝜃1̈ = −𝑚𝑚1𝑚𝑚𝑚𝑚1𝜃𝜃1 − 𝑘𝑘𝑙𝑙2(𝜃𝜃1 − 𝜃𝜃2) (8)

2: 𝐼𝐼1𝜃𝜃2̈ = −𝑚𝑚2𝑚𝑚𝑚𝑚2𝜃𝜃2 − 𝑘𝑘𝑙𝑙2(𝜃𝜃2 − 𝜃𝜃1) (9)

4

두 식을 행렬을 이용하여 나타낸다.

�𝐼𝐼1 00 𝐼𝐼2

� �𝜃𝜃1̈𝜃𝜃2̈�+ �𝑚𝑚1𝑚𝑚𝑚𝑚1 + 𝑘𝑘𝑙𝑙2 −𝑘𝑘𝑙𝑙2

−𝑘𝑘𝑙𝑙2 𝑚𝑚2𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 𝑘𝑘𝑙𝑙2� �𝜃𝜃1𝜃𝜃2

� = 0 (10)

고유진동수를 결정하는 행렬

�𝑚𝑚1𝑚𝑚𝑚𝑚1 + 𝑘𝑘𝑙𝑙2 − 𝐼𝐼1𝜔𝜔2 −𝑘𝑘𝑙𝑙2

−𝑘𝑘𝑙𝑙2 𝑚𝑚2𝑚𝑚𝑚𝑚2 + 𝑘𝑘𝑙𝑙2 − 𝐼𝐼2𝜔𝜔2� = 0 (11)

을 이용하여 고유진동수를 계산할 수 있다.

ω1,22 = 1

2[{𝑘𝑘𝑙𝑙2 �1

𝑛𝑛1+ 1

𝑛𝑛2� + (𝑚𝑚1𝑚𝑚1

𝑛𝑛1+ 𝑚𝑚2𝑚𝑚2

𝑛𝑛2)} ±

��𝑘𝑘𝑙𝑙2 �1𝑛𝑛1

+ 1𝑛𝑛2� + �𝑚𝑚1𝑚𝑚1

𝑛𝑛1+ 𝑚𝑚2𝑚𝑚2

𝑛𝑛2��

2− 4{𝑚𝑚1𝑚𝑚2𝑚𝑚2𝑚𝑚1𝑚𝑚2+𝑘𝑘𝑙𝑙2(𝑚𝑚1𝑚𝑚1+𝑚𝑚2𝑚𝑚2)𝑚𝑚}

𝑛𝑛1𝑛𝑛2] (12)

그림 3 연성진자에 작용하는 힘

2 자유도 연성진자에는 2개의 진동 모드가 존재한다. 그림 4의 왼쪽은 대칭인 경우, 오른쪽은 비

대칭인 경우 진자의 운동을 나타낸다.

그림 4 2자유도 연성진자에서의 진동 모드 (Marion, 2013)

5

4. 단순 감쇠 진동자의 응답과 주파수 응답

단순 감쇠 진동자에 조화 형태의 외부 힘을 가한 경우 운동 방정식은 다음과 같다.

m�̈�𝑥 + 𝑐𝑐�̇�𝑥 + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 𝐹𝐹0 sin𝜔𝜔𝜔𝜔 (13)

부족 감쇠계의 과도응답은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x(t) = e−𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡(𝑐𝑐1 cos𝜔𝜔𝑑𝑑𝜔𝜔 + 𝑐𝑐2 sin𝜔𝜔𝑑𝑑𝜔𝜔) (14)

ζ(= c/2√𝑚𝑚𝑘𝑘)는 감쇠비, ωd(= �1 − 𝜁𝜁2𝜔𝜔𝑛𝑛)는 감쇠 고유진동수를 의미한다. c1과 c2는 초기조건에

의해 결정되는 상수이다. 정상 상태 응답을 구하기 위해 힘을 복소수로 나타낸다. 그리고 조화 형

태의 힘이 가해졌으므로 변위 또한 조화 함수 형태가 되므로 힘과 변위를 운동 방정식에 대입한

후 정리하면

(k − mω2 + 𝑐𝑐𝜔𝜔𝑐𝑐)𝑋𝑋𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡 = 𝐹𝐹0𝑒𝑒𝑖𝑖𝜔𝜔𝑡𝑡 (15)

이므로 진폭은 다음과 같다.

|𝑋𝑋| = 𝐹𝐹0�(𝑘𝑘−𝑚𝑚𝜔𝜔2)2+(𝑐𝑐𝜔𝜔)2

= 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠�(1−𝑟𝑟2)2+(2𝜁𝜁𝑟𝑟)2

(16)

여기서 𝑟𝑟(= 𝜔𝜔/𝜔𝜔𝑛𝑛) 은 가진주파수와 고유진동수의 비, 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑡𝑡(= F0/𝑘𝑘)는 정적 변위를 의미한다. 위상

각이 tan𝜓𝜓 = 2𝜁𝜁𝑟𝑟/(1 − 𝑟𝑟2)이라고 하면 정상 상태의 응답은 다음과 같다.

𝑥𝑥𝑠𝑠(𝜔𝜔) = 𝑋𝑋cos(ωt − ψ) (17)

전체 응답은 과도 응답과 정상상태 응답의 합의 형태로 나타난다.

𝑥𝑥(𝜔𝜔) = 𝑥𝑥𝑡𝑡(𝑥𝑥) + 𝑥𝑥𝑠𝑠(𝜔𝜔) = e−𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛𝑡𝑡(𝑐𝑐1 cos𝜔𝜔𝑑𝑑𝜔𝜔 + 𝑐𝑐2 sin𝜔𝜔𝑑𝑑𝜔𝜔) + Xcos(ωt− ψ) (18)

초기조건을 𝑥𝑥(0) = 𝑥𝑥0, �̇�𝑥(0) = 𝑥𝑥0̇라고 두면 c1과 c2을 구할 수 있다 (부경대학교 기계자동차공학과,

2010).

𝑐𝑐1 = 𝑥𝑥0 − 𝑋𝑋 cos𝜓𝜓 , c2 = 𝑥𝑥0̇+𝜁𝜁𝜔𝜔𝑛𝑛(𝑥𝑥0−𝑋𝑋cos𝜓𝜓)−𝜔𝜔𝑋𝑋sin𝜓𝜓𝜔𝜔𝑑𝑑

(19)

주파수 응답이란 사인함수와 같이 주기적인 입력이 가해졌을 때 시스템의 응답을 의미한다.

조화 형태의 외부 힘이 가해졌을 때 정상 상태 출력을 주파수의 함수로 나타내는 것이다(Palm).

출력의 진폭과 위상을 주파수로 나타내고 x 축을 주파수로, y축을 진폭과 위상으로 나타내면 주파

수에 따른 시스템의 응답을 직관적으로 알 수 있다. 그림 5 는 �̈�𝑥 + �̇�𝑥 + 5𝑥𝑥 = sin𝜔𝜔𝜔𝜔의 주파수 응답

을 보여준다.

6

그림 5 �̈�𝒙 + �̇�𝒙 + 𝟓𝟓𝒙𝒙 = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝝎𝝎𝝎𝝎 시스템의 주파수 응답

실험에서 시간에 대한 진폭을 측정하게 된다. 이 때 주기는 각속도와 다음과 같은 관계를 가

지며 실험을 통해 측정할 수 있다.

Td = 2𝜋𝜋𝜔𝜔𝑑𝑑

(20)

시스템의 질량과 용수철 상수에 해당하는 값은 진자 설계와 용수철에 의해 결정할 수 있으나,

감쇠계수는 실험을 통해 측정해야 한다. 이 때 대수감쇠율(logarithmic decrement)을 사용한다. 대

수감쇠율은 연속된 두 진폭 비에 자연로그를 취한 값으로 다음과 같은 관계를 갖는다.

δ = ln (𝑥𝑥1𝑥𝑥2

) = 2𝜋𝜋𝜁𝜁�1−𝜁𝜁2

= 2𝜋𝜋𝜁𝜁 𝑐𝑐𝑖𝑖 𝜁𝜁 ≪ 1 (21)

대수감쇠율을 측정하면 감쇠계수를 계산할 수 있다.

ζ = 𝛿𝛿2𝜋𝜋

= 𝑐𝑐2√𝑚𝑚𝑘𝑘

⇒ 𝑐𝑐 = 𝛿𝛿√𝑚𝑚𝑘𝑘𝜋𝜋

(22)

감쇠주기와 감쇠비를 알면 고유각속도를 얻을 수 있다(김동권, 등, 공저., 2014).

ωn = 2𝜋𝜋𝑇𝑇𝑑𝑑�1−𝜁𝜁2

(23)

10 -1 10 0

Frequency (rad/s)

-200

-150

-100

-50

0

Pha

se (d

egre

es)

10 -1 10 0

Frequency (rad/s)

10 -2

10 -1

10 0

Mag

nitu

de

7

Ⅲ. 연구 방법

1. 진자 제작

본 연구에서 사용한 진자는 3D 프린팅으로 제작하였으며, 특성 값은 표 1 과 같다. 위쪽 구멍

에는 회전축이 들어가게 되고, 아래쪽에는 자석이 고정되게 된다(그림 6a). 1자유도계에서는 한 개

의 진자가 사용되고, 2 자유도계에서는 두 개의 진자가 사용한다. 2자유도계에서 하나의 진자에는

자석이 있고, 다른 진자에는 추가 있으며, 두 개의 진자가 용수철로 연결된다(그림 6b). 용수철은

용수철상수가 5.48 N/m인 용수철을 사용하였다. 이 때 추는 자석과의 상호작용이 없어야 하므로

자석과 달라붙지 않는 물질이어야 한다. 각 진자에 대해 고유진동수를 계산하기 위한 값들은 표

1에 있으며, 이를 바탕으로 계산한 고유진동수는 표 2에 있다.

표 1 진자의 특성 값

진자 1 (자석) 진자 2 (추)

질량 (g) 10.7 9.78

회전중심에서 질량중심까지 길이 (mm) 116 114

회전중심에서의 관성모멘트 (g·mm^2) 168000 149000

회전중심에서 용수철까지 길이 (mm) 105 105

표 2 1자유도계 진자와 2자유도계 진자의 고유진동수

1 자유도 진자 2자유도 진자

고유진동수 (Hz) 1.35 1.36

4.61

2. 진동 실험

진자는 3D 프린팅으로 제작한 진자에 원형 막대를 끼워 스탠드에 고정시킨다. 강제진동을 하

기 위해서는 외력이 필요하다. 이번 실험에서는 자석이 자기장 내에서 받는 자기력이 외력에 해

당한다. 자기장은 헬름홀츠 코일에 전류를 흘려 만드는데, 함수발생기를 이용하여 사인 형태의 전

류를 흘려주어 사인 가진력을 만든다. 헬름홀츠 코일 사이에 진자를 위치시키고 함수발생기의 전

원을 켜서 진자에 외력을 가했을 때 운동을 확인한다. 전체 실험 장치는 그림 6 과 같다. 진자에

마커를 붙여 진자의 운동을 동영상으로 촬영하고 Tracker라는 운동 분석 프로그램을 이용하여 진

자의 진폭을 그래프로 나타낸다.

8

그림 6 전체 실험 장치 (a) 1자유도계 (b) 2자유도계 진자

먼저, 진자에서 감쇠계수를 계산하고, 실험적인 고유진동수를 측정하기 위해 자유진동을 하는

진자의 진폭을 측정한다. 다음으로 강제진동특성을 확인하기 위해 함수발생기의 진폭은 동일하게

유지하면서 진동수를 바꾸면서 실험을 진행한다. 1 자유도계 실험에서 설정한 외력의 진동수는 0.5,

0.8, 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2.0, 2.5, 3.0Hz이다. 2자유도계 실험에서 설정한 외력의

진동수는 1.0, 1.36, 2.0, 4.4, 5.0이다. 정확한 진동수로 설정하기 위해 멀티미터로 진동수를 확인한

다.

1 자유도계 실험에서는 헬름홀츠 코일 사이에 하나의 진자를 놓고, 2 자유도계 실험에서는 두

개의 진자를 용수철로 연결하여 코일 사이에 놓는다. 1자유도계에서 운동 분석을 통해 외력의 진

동수에 따른 진자의 진동수와 진폭을 계산하고 진동수에 따른 진폭을 확인한다. 2자유도계에서는

두 개의 고유진동수와 그 외의 진동수로 가진을 했을 때 진자의 운동을 비교한다. 또한 각 진자

의 진동수와 진폭을 계산하고 진동수에 따른 진폭을 확인한다.

3. 분석 방법

진자의 운동 분석은 Tracker라는 운동분석프로그램을 사용한다. Tracker에서 축과 교정을 위한

길이를 설정하고, 마커를 질점으로 지정한다. 자동찾기를 시작하면 마커의 색을 인식하여 마커를

트래킹하여 질점의 위치를 측정하게 된다. 비디오의 프레임 속도는 29.98 /s 이며, 프레임 간격은

0.033 s이다. 따라서 프레임 간격인 0.033 초마다 마커의 위치를 측정하게 된다.

(a) (b)

9

그림 7 운동분석프로그램(Tracker)를 이용한 진자의 진폭 분석

진자의 위치 정보를 얻었다면, 진동수와 진폭을 계산해야 한다. 이 때 Matlab의 Curve Fitting

Tool 을 사용한다. 사인 형태의 외력을 가한다면 사인 형태의 응답이 나온다고 예상할 수

있으므로, Curve Fitting Tool에서 피팅할 함수로 사인 함수를 설정하면 진폭과 각속도를 계산할 수

있다.

그림 8 Matlab Curve Fitting Tool을 이용하여 진폭과 진동수 계산

10

Ⅳ. 연구 결과

1. 1자유도계 진자의 자유진동

1 자유도계 진자의 자유진동을 분석하여 시스템의 고유진동수와 감쇠계수를 계산한 결과는

표 3이다. 감쇠계수는 대수감쇠율을 이용해 계산할 수 있으며 (21), (22) 식을 이용하여 계산할 수

있다. 그림 9a 에서 주기를 계산하면 고유 주기가 아닌 고유 감쇠 주기이다. 따라서 고유 진동수

를 계산하기 위해서는 고유 감쇠 주기에 감쇠계수까지 고려를 해야 하며, 식 (23)으로 계산할 수

있다.

자유진동의 주파수 성분을 분석하기 위해 푸리에 변환을 한 결과가 그림 9 b이다. 1과 2 사

이 주파수에서 피크를 찍는 곳의 성분이 가장 많다고 생각할 수 있는데, 피크를 찍는 곳이 감쇠

고유 진동수라고 할 수 있다.

표 3 시스템의 특성 – 감쇠계수와 고유진동수

Td (s) δ ζ c (J ∙ s) fn (Hz)

0.741 0.173 0.0276 7.91 × 10−5 1.35

그림 9 1자유도계 진자의 자유진동 (a) 진폭 (b) 푸리에 변환을 통한 주파수 성분 분석

(a)

(b)

11

2. 1자유도계 진자의 강제진동

1 자유도계 진자의 강제진동의 이론적인 해와 실험 결과를 비교하기 위해 가진력의 진동수가

1.2 Hz 일 때 초기조건을 x0 = 0,𝑥𝑥0̇ = 0로 두고 그래프로 나타낸 것이 그림 10 이다. 식 (18)과

(19)를 통해 계산한 이론적인 해 와 실험 결과가 비슷한 경향을 나타내는 것을 볼 수 있다. 실

험적인 해가 약간의 지연을 보이는데, 그 이유는 함수 발생기가 헬름홀츠 코일에 들어갈 때 위

상 차가 생기기 때문이다. 그림 10 을 보면 진자 운동 초기에는 초기조건의 영향을 많이 받는

것을 볼 수 있다. 시간이 지나면서 과도 응답이 0 으로 수렴하고 정상 응답이 주 응답이 된다.

강제 진동에 의한 영향을 알아보기 위해서는 정상 응답을 분석해야 하므로, 시간이 충분히 지

나 과도 응답이 없다고 생각될 때 운동 분석을 해야 한다.

그림 10 1자유도계 진자 강제진동의 이론적인 해와 실험적인 응답 비교

진자의 초기조건을 x0 = 0, 𝑥𝑥0̇ = 0 로 두고 함수발생기의 전원을 킨 뒤 동영상을 2 분간

촬영하였고, 운동 분석은 1 분 30 초에서 10 초간의 운동을 분석하였다. 시간에 대한 진폭 자료를

얻은 뒤 Matlab Curve Fitting Tool을 이용하여 진폭과 진동수를 계산한다. 사인 힘이 가해졌을 때

선형 시스템이라면 사인 응답이 나온다는 것은 이미 알고 있는 것이다. 따라서 모든 진동수에

대해 시간에 대한 진폭을 그리는 것은 무의미하다. 대신 진동수에 따른 진폭과 위상을 그래프로

나타내면 시스템의 특성을 한 눈에 볼 수 있다. 하나의 외력 진동수 당 3개의 비디오를 촬영하고

분석하여 평균을 구해 진동수에 따른 진폭을 그래프로 나타낸 것이 그림 11 이다. 응답의

진동수를 계산하면 외력의 진동수와 동일하다는 것을 확인할 수 있으므로 이 시스템은 선형

12

시스템이다. 그래프를 보면 외력의 진동수가 증가할 때 진폭이 증가하다 감소한다. 외력의

진동수가 1.4 Hz 일 때 진폭이 최대가 되는 것을 볼 수 있는데, 그 근방에 고유 진동수가 있다는

것을 알 수 있다.

그림 11 1자유도계 진자의 주파수 응답 함수

시스템에 가해지는 외력의 크기, 고유진동수가 다르기 때문에 그림 11 과 같은 주파수 응답

함수로는 시스템을 직접적으로 비교할 수 없다. 따라서 진폭과 진동수를 무차원화를 할 필요가

있다. 진폭은 정적 변위로 나누어서 무차원화를 하여 외력의 진동수가 0일 때 진폭이 1이 되도록

한다. 진동수는 외력 진동수를 고유 진동수로 나누어 무차원화를 하고, 고유진동수일 때 진동수

비가 1 이 되도록 한다. 이번 연구에서 진폭을 무차원화할 때 사용한 정적 변위를 두 가지

방법으로 구하였다. 첫 번째는 헬름홀츠 코일에 의해 의한 자기장의 세기를 계산하고 자석을

이상적인 자기 쌍극자로 생각하여 자기 쌍극자 모멘트를 계산하여 (식 (2), 표 4) 자기장 내에서

자기 쌍극자 모멘트가 받는 힘을 계산한다 (식 (4), 표 5). 두 번째는 각 외력 진동수에서 이론적인

무차원화된 주파수 응답함수와 실험적인 진폭을 통해 정적 변위를 계산하고 그 평균을 정적

변위로 사용한다 (표 6). 이론적인 무차원화된 주파수 응답 함수, 계산을 통해 구한 정적 변위로

나눈 주파수 응답 함수, 실험적인 정적 변위로 나눈 주파수 응답함수를 그래프로 나타낸 것이

그림 12 이다. 이론적인 주파수 응답 함수를 보면 고유 진동수에 해당하는 주파수비가 1 인

13

지점에서 최대 진폭인 것을 볼 수 있다. 또한 실험적인 정적 변위로 구한 주파수 응답 함수가

계산을 통해 구한 주파수 응답 함수보다 이론 값에 더 가까운 것을 볼 수 있다. 즉, 자석이 받는

힘을 계산하는 과정에서 오차가 생겼다고 추측할 수 있다. 자석을 이상적인 자기 쌍극자로

가정하였지만 자기 쌍극자에 의한 자기장과 실제 자석에 의한 자기장에는 차이가 있다. 또한

자기력을 계산할 때 자석의 중심을 원점으로 두고 자석의 끝인 0.5 cm 에서 받는 힘을

계산하였는데 자기력 계산에서 거리를 무엇으로 두어야 하는지 생각해 볼 필요가 있다.

그림 12 11자유도계 진자의 무차원화된 주파수 응답 함수

표 4 자석의 자기 쌍극자 모멘트

거리 (cm) 자기장 (mT) 자기 쌍극자 모멘트 (J/T)

1 78.4 0.392

2 15.4 0.616

3 4.59 0.620

평균 자기 쌍극자 모멘트 (J/T) 0.543

표 5 헬름홀츠 코일이 만드는 자기장과 자석이 자기장 내에서 받는 힘

I (mA) N R (cm) B (mT) r (cm) FB (N) δst (mm)

181.4 200 10 0.326 0.5 0.170 2.06

14

표 6 가진력의 진동수에 대한 실험적인 정적 변위와 자석이 받는 힘

Frequency (Hz) δst (mm) FB (N) Frequency (Hz) δst (mm) FB (N)

0.5 4.19 0.356 1.6 3.94 0.325

0.8 3.78 0.312 1.7 3.99 0.329

1.0 3.75 0.309 1.8 3.92 0.323

1.1 3.89 0.321 1.9 3.97 0.327

1.2 3.87 0.319 2.0 4.07 0.336

1.3 3.67 0.303 2.5 4.10 0.338

1.5 3.84 0.317 3.0 4.09 0.337

평균 δst (mm) 3.93 평균 FB (N) 0.324

3. 2자유도계 진자의 자유진동

2자유도계 진자의 자유 진동을 푸리에 변환하면 그림 13과 같다. 1 자유도계와 달리 진자 1

과 2 에서 모두 두 개의 피크가 존재하는 것을 볼 수 있는데, 이는 시스템이 두 개의 고유진동수

를 가지고 있음을 의미한다. 첫 번째 피크가 첫 번째 감쇠 고유 진동수, 두 번째 피크가 두 번째

감쇠 고유진동수이다.

그림 13 1자유도계 진자의 자유진동 (a) 진폭 (b) 푸리에 변환을 통한 주파수 성분 분석

(a) (b)

15

4. 2자유도계 진자의 강제진동

그림 14 는 2 자유도계 진자의 강제 진동을 나타낸다. 1 자유도계와 동일하게 과도 응답에 의

한 영향이 사라지도록 충분한 시간이 지난 뒤 운동 분석을 한다. 왼쪽 그래프는 동일한 축에 대

한 응답을 나타낸 것이며, 오른쪽 그래프는 두 진자의 운동을 잘 비교하기 위해 오프셋만큼 빼서

나타냈다. 두 개의 진자가 첫 번째 고유 진동수 부근에서 가진을 하면 같은 위상이고, 두 번째 고

유진동수 부근에서 가진을 하면 다른 위상인 것을 볼 수 있다.

2 자유도계의 주파수 응답 함수를 그리면 그림 15 와 같다. 진자 1 과 2 에서 표 6 에서 구한

자석이 받는 힘으로 계산한 이론적인 해와 실험 결과를 하나의 그래프로 나타내었다. 진동수가

증가할 때 첫 번째 고유진동수에서 최대 진폭을 가지고 감소하다가 두 번째 고유 진동수까지 증

가하고 다시 감소하게 된다. 진자 1과 2의 질량과 무게중심을 비슷하게 두었기 때문에 두 진자의

응답이 비슷하게 나오는 것을 볼 수 있다. 이론적인 해와 실험 결과에서 차이가 나는 이유 중 하

나로 용수철 상수의 부정확성이다. 용수철에 추를 달면서 늘어난 길이를 이용하여 용수철 상수를

계산하였지만 용수철이 매우 민감하여 진자에 고정되는 방법 등에 따라 실험 도중 바뀔 가능성이

있다. 또한 1 자유도계에서와 마찬가지로 자기력을 계산하는 과정에서 오차가 생길 수 있다.

그림 14 가진력의 진동수가 (a) 1 Hz (b) 1.36 Hz (c) 4.4 Hz (d) 5 Hz일 때 2자유도계 진자의

강제진동 응답

(a) (b)

(c) (d)

16

그림 15 2자유도계 진자의 주파수 응답 함수

17

Ⅴ. 결론

이번 연구에서는 1·2 자유도계 진자의 진동 특성을 확인하였다. 진자는 3D 프린팅으로 제작

하였다. 1자유도계는 진자 한 개의 운동을 분석하였고, 2자유도계는 진자 두 개 사이를 용수철로

연결하여 진자 두 개의 운동을 분석하였다. 강제진동에서 외력은 진자에 자석을 붙여 자석이 받

는 자기력으로 주었다. 자기력은 헬름홀츠 코일로 만들었으며 함수 발생기로 사인 전류를 흘려

사인 형태의 가진력을 만들었다. 분석은 Tracker 라는 프로그램으로 진자의 진폭을 찾고 Matlab

Curve Fitting Tool로 응답의 진폭과 진동수를 계산하였다. 자유진동은 외력이 없을 때 운동을 분

석하였고, 강제진동은 외력의 진동수를 바꾸면서 응답의 진폭과 진동수를 분석하였다. 자유진동을

푸리에 변환 하여 1 자유도계는 한 개의, 2 자유도계는 두 개의 고유진동수가 존재함을 확인하였

다. 1자유도계에 사인 외력을 가할 때 응답의 진동수는 외력의 진동수와 동일하다는 것을 확인하

여 선형 시스템임을 확인하였다. 외력의 진동수가 커질 때 진폭은 증가하다가 고유진동수에서 정

점을 찍고 감소하는 것을 볼 수 있다. 고유 진동수로 가진할 때 진폭이 가장 크다는 것을 알 수

있다. 2 자유도계도 외력의 진동수와 응답의 진동수가 동일한 선형 시스템이며, 진동수가 증가할

때 진폭은 증가하다 첫 번째 고유진동수에서 정점을 찍고 감소하다 다시 증가하여 두 번째 고유

진동수에서 정점을 찍고 다시 감소하는 것을 볼 수 있다. 첫 번째 고유진동수 부근에서 가진을

하면 진자 두 개의 응답이 같은 위상이지만 두 번째 고유진동수 부근에서 가진을 하면 다른 위상

인 것을 확인하였다.

이번 연구에서는 몇 가지 제한점이 있다. 먼저 운동 분석 프로그램의 한계이다. 운동 분석을

할 때 마커를 트래킹하게 되는데 마커가 유한한 면적을 가지기 때문에 마커의 색을 인식하였을

때 하나의 위치에 고정되지 않는다. 진자가 속력을 가지고 움직일 때는 대체로 하나의 위치를 인

식하지만 최대 진폭에서 속력이 작을 때는 마커 내에서 인식되는 위치가 계속 바뀌게 된다. 그림

16은 0.5 Hz로 가진할 때 진자의 운동을 분석한 것인데, 최대 진폭 부근에서 사인에서 벗어나는

운동을 볼 수 있다. 두 번째로 주파수 응답 함수를 구할 때 진폭에 대해서는 구할 수 있었지만

위상에 대한 실험은 부족하다. 외력이 가해질 때 진폭도 중요하지만 외력에 대한 응답의 위상도

중요한 정보를 갖고 있다. 따라서 위상에 대한 실험을 추가할 필요가 있다. 마지막으로 진자의 운

동방정식을 세울 때 작은 각도로 가정하여 sin𝜃𝜃를 θ로 근사하였다. 하지만 진자의 운동을 보면

각도가 클 때는 약 15 도까지 진자 운동을 한다. 이론과 실험값의 차이에서 이 가정에 의한 오차

가 생길 수 있다.

추후 연구 과제로 외력의 진동수에 따른 위상을 계산할 수 있는 실험 방법을 고안해야 한다.

또한 본 연구를 바탕으로 진동 실험 매뉴얼을 개발할 필요가 있다. 진동 실험이 학생들의 진동에

대한 이해를 높여주는지 확인하기 위해 실험을 한 학생과 하지 않은 학생을 대상으로 진동과 관

련된 문제를 푸는 방식으로 실험의 효과를 확인할 필요가 있다.

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Ⅵ. 참고문헌

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