12.1.2. cilindro circular rectolibreriaonline.org.pe/previews/geometria_np_unidad_12_1.pdf · 2016....

749748 Und. 12 – Cuerpos RedondosGeometría

Se dice que Galileo Galilei dejó caer dos bolasde cañón de diferente masa desde lo alto de laTorre de Pisa para demostrar que la velocidadde descenso era independiente de la masa. Lahistoria, aunque descrita por un estudiante delpropio Galileo, se considera un mito.

Pocos años después de finalizada la torre eldaño en su estructura se hizo manifiesto y mu-chos de los elementos de piedra originales rea-lizados en mármol de San Giuliano fueron sus-tituidos, cambiándose por mármol blanco deCarrara pero sin perder la forma de cilindro.

12.1.1. Superficie de Revolución

12.1.1A. DefiniciónSe llama superficie de revolución a aquella superficie engen-drada por la rotación de alguna línea. La línea que al girarengendra una superficie de revolución se llama generatriz dedicha superficie. La recta respecto de la cual se realiza el girose llama eje de rotación o eje de giro.Cada punto de la generatriz describe una circunferencia si-tuada en un plano perpendicular al eje de rotación. Estas cir-cunferencias se llaman paralelos de la superficie y puedenconsiderarse como secciones producidas en la superficie porplanos perpendiculares al eje de giro. Los meridianos son to-das las secciones producidas por planos que pasan por el eje.

12.1.1B. Superficie cilíndrica de revoluciónSe llama superficie cilíndrica de revolución, a la superficie engendrada por la rotación deuna recta paralela al eje.

En general, si una recta se traslada continuamente en forma paralela a su posición inicial, alo largo de una curva plana, se genera una superficie llamada superficie cilíndrica.

En la figura (b) a la recta se le denomina generatriz y a la curva plana BDE se le llamadirectriz.

Si la directriz es una circunferencia la superficie engendrada se llama superficie cilíndricacircular.

La superficie cilíndrica es, en rigor, ilimitada porque también lo es la recta generatriz que logenera. Si queremos limitar con ella un cuerpo, es preciso trazar otras superficies.

12.1.2. Cilindro Circular Recto

12.1.2A. CilindroEl cilindro es el cuerpo geométrico que se determina al intersectar la superficie cilíndrica,con dos planos paralelos entre sí.

Las secciones determinadas por los planos paralelosen la superficie cilíndrica se llaman bases del cilin-dro y los segmentos determinados, que son parte delas generatrices de la superficie cilíndrica, son las ge-neratrices del cilindro.

Un cilindro se llama cilindro recto si sus generatrices son perpendiculares a sus bases comose observa en la figura (a) y si las generatrices son oblicuas con relación a las bases, elcilindro se llama cilindro oblicuo, tal como la figura (b).

12.1.2B. DefiniciónSe llama Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución al cuerpo geométrico limitadopor una superficie de revolución circular y dos planos perpendiculares a su eje.

En un cilindro circular recto las bases son círculos y las generatrices son perpendiculares asus correspondientes bases. Fig. (a)

En un cilindro circular recto la sección producida por un plano secante y no paralelo a susbases se llama Elipse que en la figura está representado por S. Fig. (b)

Un plano P es tangente al cilindro si éste contiene a la generatriz . El eje del cilindrorecto u oblicuo es el segmento OO' que une los centros de sus bases.

751750 Und. 12 – Cuerpos RedondosGeometría

La sección axial del cilindro recto es el rectángulo ABCD y si éste es un cuadrado entoncesel cilindro se llama equilátero.

12.1.3. Área y Volumen de un Cilindro Circular Recto

Conociendo la longitud «R» del radio básico y la longitud «g» de la generatriz, o altura delcilindro recto, se verifican las siguientes relaciones:

12.1.3A. Área lateral del cilindro recto (SL )Es igual al perímetro de la base (2R) multiplicado por su generatriz (g).

SL 2Rg

12.1.3B. Área total del cilindro recto (ST )

Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las áreas de las bases.

ST 2R(g R)

12.1.3C. Volumen del cilindro recto (V)Es igual al área de la base multiplicada por la longitud de la generatriz:

V R2g

Ejemplo.- El volumen de un cilindro circular recto es numéricamente igual al doble del árealateral. Si su altura mide 5, calculemos el área total y su volumen.

Elaboramos un esquema en el cual indicamos el dato:

De la condición planteamos que: V = 2SL · R2 · 5 = 2 · 2 · R · 5 R = 4

Luego el área total (ST) estará dado por:

ST 2 · 4(5 4) ST 72

Finalmente el volumen (V) será: V · 42 · 5

V 80

12.1.4. Desarrollo del Cilindro Recto

El desarrollo del cilindro recto está compuesto de un rectángulo y dos círculos.

La base de este rectángulo es la circunferencia de la base del cilindro y su altura es igual a lageneratriz o altura del cilindro.

12.1.5. Tronco de Cilindro Recto

Si conocemos el radio «R» de la base circular, la generatriz media o longitud del eje «g», lageneratriz mayor g1 y la generatriz menor g2 , como se muestra en la figura, se cumplirá que:

g = g g1 22

A1. Área Lateral (AL )

AL 2Rg

A2. Volumen (V)

V R2g

Ejemplo.- En un tronco de cilindro circular recto se cumple que la generatriz mayor mide eltriple de la generatriz menor y el radio de la base circular mide 4. Si el volumen mide 96,calculemos el área lateral.

Sean «x» y «3x» las longitudes de la generatriz menor y la mayor respectivamente.

De la condición tenemos que: V 96

2 34 962x x 2x 6 x 3

Luego el área lateral (AL) se rá: L 32 4 2x xAReemplazando: AL 8(6) AL 48

752 Geometría 753Und. 12 – Cuerpos Redondos

01.- Completar las siguientes proposiciones:a. Un cilindro puede ser .................. u ..................

b. Las bases de un cilindro circular recto son......................................................................

c. Las generatrices de un cono circular recto son......................................................................

d. La sección producida en una esfera, por unplano secante es un ....................................

02.- Para un cilindro circular recto, complete elsiguiente cuadro:

03.- En el gráfico se muestra una esfera inscritaen un cilindro circular.

Según esto, correlacione las columnas coheren-temente.

a. Volumen de la esfera . ( ) 2

b. Área de la superficie de la esfera. ( ) 43

c. Volumen del cilindro. ( ) 8

d. Área total del cilindro. ( ) 4

04.- El gráfico muestra un cilindro circular recto yel desarrollo de su superficie lateral.

De acuerdo a esto, complete el siguente cuadro:

05.- Se sabe que dos cilindros de revolución sonsemejantes, cuando sus radios y alturas están enla misma proporción.

En el gráfico se muestran dos cilindros semejantes:

Completar la siguiente tabla:

12.1.6. Cilindro Oblicuo

Se llama cilindro oblicuo a aquel cuyas bases son Elipsesy sus generatrices no son perpendiculares a sus basescomo el mostrado en la figura. En un cilindro oblicuoes fácil notar que la altura «h» es menor que la gene-ratriz y que la sección axial es un paralelogramo talcomo ABCD.

En el cilindro oblicuo la sección producida por unplano perpendicular a sus generatrices es un círculollamado Sección Recta.

Asimismo debemos notar que la inclinación del cilindro viene dado por el ángulo queforman su generatriz CD con el plano de la base.

Cumpliéndose que: h g sen

Además en una elipse como se muestra en la figura adjunta se verifica que:a Longitud del semieje mayorb Longitud del semieje menor

Área de la Región Elíptica ab

12.1.7. Área y Volumen de un Cilindro Oblicuo

Siendo «g» y «h» las longitudes de la generatriz y la altura del cilindrooblicuo mostrado a continuación y «S» el área de su base elíptica severifican las siguientes relaciones.

12.1.7A. Área de la Superficie Lateral (SL )Es igual al perímetro de la sección recta multiplicado por la longitudde la generatriz.

SL 2Rg

12.1.7B. Área de la Superficie Total (ST )Es igual al área de la superficie lateral más la suma de las áreas de sus bases.

ST 2Rg 2S

12.1.7C. Volumen (V)Es igual al área «S» de la base multiplicada por la longitud de su altura «h» o el área de lasección recta multiplicada por la longitud de la generatriz.

V S · h R2g


06.- En el gráfico se muestra un cilindro de revo-lución, en el cual su base está contenido en elplano «P» y «C» pertenece al plano.

«L» es una recta secante al cilindro en los puntosde «A» y «B».

Escribe vedadero (V) o falso (F) en las siguientesproposiciones:

a.AB está incluido en el cilindro. .............. ( )

b. AB está incluido en el cilindro. ............. ( )

c. «A» pertenece a la superficie lateral del cilin-dro. ...................................................... ( )

d. AB está incluido en la superficie lateral delcilindro. ................................................ ( )

07.- En el gráfico, se muestra un cilindro de revo-lución y un cono de revolución donde «d» es ladistancia del vértice del cono a la base superiordel cilindro.

a. Si el volumen del cilindro equivale a 24 veces

el volumen del cono, ¿cuál es la relación Hd ?

......................................................................

b. Si: H = 3d y el volumen del cilindro es 72,¿cuál es el volumen del cono?

......................................................................

c. Si: 2H = 3d y el volumen del cono es 4, ¿cuáles el volumen del cilindro?

......................................................................

08.- El gráfico muestra un rectángulo de lados«a» y «b». Cuando gira en torno a

L el volumen

generado es 300 y cuando gira en torno a L 1 el

volumen generado es 720.

a. ¿Cuánto mide «a» y «b»?

......................................................................

b. ¿Qué sólido se obtiene en cada caso?

......................................................................

c. ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo?

......................................................................

Prob. 01

Calcular el área de la superficie lateral de uncilindro recto si el radio de su base mide 4 y sugeneratriz mide 8.

Graficando y considerando los datos delproblema:

Se sabe que el área de la superficie lateralSL es:

SL = 2Rg

donde: R = 4 y g = 8

Luego: SL = 2(4)(8)

SL = 64

Prob. 02

Calcular el volumen de un cilindro equiláterocuyo radio básico es 2.

Esquematizando el problema construimoseste gráfico:

En el cilindro equilátero se cumple que:

g = 2R = 2(2) g = 4

Luego su volumen V = R2g será:

V = · 22· 4 V = 16

Prob. 03

Un cilindro de revolución está circunscrito auna esfera cuyo radio mide «R». Calcular elvolumen del cilindro.

Al circunscribir el cilindro reconocemosque este es equilátero.

Sea «V» el volumen del cilindro, luego:

V = R2g

Como: g = 2R V = 2R3

757756 Geometría Und. 12 – Cuerpos Redondos

Prob. 04

El desarrollo de la superficie lateral de un cilin-dro circular recto es una región rectangular cu-yas dimensiones son 4 y 8. Calcule el área dela superficie del cilindro.

Graficando y considerando datos:

Se sabe que el área de la superficie lateral(SL) del cilindro es igual al área de la re-gión rectangular (S) es decir:

SL = S SL = 4· 8

SL = 32

Prob. 05

En un tronco de cilindro recto, sus generatricesmiden 10 y 6. Calcular su volumen si sus ba-ses forman un diedro de 45º.

Elaboramos un gráfico adecuado en don-de trazamos DE AB .

Luego: BE = CD = 6 y ED = 2R

En el AED de 45º: 2R = 4 R = 2

Luego el volumen del tronco será:

2T 10 62V R VT = (2)

2· 8

VT = 32

Prob. 06

Calcular el área de la superficie lateral de uncilindro de revolución, si el área de la regiónrectangular que lo genera es 20.

Graficando el cilindro y su rectángulo ge-nerador, tenemos:

Se sabe que: SL = 2Rg . . . (1)

Por dato: gR = 20 . . . (2)

Sustituyendo (2) en (1): SL = 2(20)

SL = 40

Prob. 07

El desarrollo de la superficie lateral de un cilin-dro circular recto, es una región rectangularcuya diagonal mide 10. Si la altura del cilindroes 6, calcular su volumen.

Elaborando el gráfico correspondiente a lascondiciones del problema, tenemos:

Del ABC: 2R = 8 4R

Luego el volumen del cilindro será:

4 6V V 96= Prob. 08

Calcular el área de la superficie lateral del cilin-dro, si «O» es centro y OB = 8.

En primer lugar, trazamos el radio OC(OC = R)

En el triángulo rectángulo OCB de 15º y75º la altura CH es la cuarta parte de OBes decir:

OBCH 24

Además por relaciones métricas:

gR = (8)(2)

gR = 16

Nos piden: SL = 2Rg = 2(16)

SL = 32

Prob. 09

El área total de un cilindro recto es 60 y la sumade las inversas del radio básico y de su gene-ratriz es 1/4. Calcular el volumen del cilindro.

Graficando y considerando los datos delproblema:

El área total (ST) está dado por:

ST = 60 = 2R(g + R) . . . (1)

Por condición del problema:

1 1 14R g

4Rgg R . . . (2)


Sustituyendo (2) en (1):

60 2 4RgR

R2g = 120

Como el volumen: V = R2g

V = 120

Prob. 10

Calcular el volumen de un cilindro circular rec-to, cuyo desarrollo de su superficie lateral esun cuadrado de lado «a».

Graficando y considerando que: g = a y2R = a, se tiene:

De la igualdad: 2R = a

2aR

Como el volumen «V» del cilindro es:

V = R2g

Luego, reemplazando valores, tenemos:

22aV a Desarrollando:

2

24aV a

3

4aV

Prob. 11

Un recipiente cilíndrico de radio básico 2, seencuentra con cierta cantidad de agua. Se in-troduce, en dicho recipiente, un bloque de vo-lumen «Vx» y el nivel de agua se incrementa en2. Calcular «Vx».

Graficando y considerando datos:

Ya que el bloque de volumen «Vx» despla-za agua hacia la parte superior tomandoésta la forma de un cilindro de radio 2 ygeneratriz 2 se tiene:

Vx = (2)2· 2 Vx = 8

Prob. 12

Se tienen dos cilindros circulares rectos seme-jantes, los cuales tienen por áreas totales 18 y 50 respectivamente.

a) Calcular la razón en que se encuentran susradios.

b) Calcular la razón en que se encuentran susvolúmenes.

Esquematizando las condiciones del pro-blema se tiene:

a) Como los cilindros son semejantes, en-tonces:

h rH R . . . (1)

Del dato: 2r(h + r) = 18 . . . (2)

También: 2R(H + R) = 50 . . . (3)

Dividimos (2) y (3):

( ) 925( )

r h rR H R . . . (*)

De (1) hacemos: h = rK H = RK

Luego reemplazamos en (*):

2

2(K 1) 9

25(K 1)rR

De donde: 35rR . . . (4)

b) Sean V1 y V2 los volúmenes de los cilin-dros, se tiene:

2 21 2V r h V R H

Dividimos: 212

V r hV R H

Reemplazamos (1) y (4) en esta última ex-presión:

312

35

VV

1

2

V 27=V 125

Prob. 13

En un cilindro circular recto, se cumple que elárea de la sección axial es «K» veces el área dela base. Si el radio de la base es «r».

a) Calcular la altura del cilindro en términos de«K» y «r».

b) Calcular el volumen del cilindro en términosde «K» y «r».

Graficando y ubicando los datos corres-pondientes, tenemos:

a) La sección axial de un cilindro se deter-mina al trazar un plano perpendicular ala base y que contenga a uno de sus diáme-tros: como ABCD.

Por dato: A(ABCD) = KA(Base)

H· (2r) = K· r2

K2

rH . . . (1)

b) El volumen del cilindro (V) está dadopor:

V = r2· g V = r2· H

Reemplazando (1): 2 · 2K rV r

2 3

2r KV


Prob. 14

En un cilindro de revolución, la longitud de lageneratriz es el triple de la longitud del radiode la base. En una de las bases se traza la cuer-da AB de 2 3 cm de longitud y dista delcentro de dicha base 3 cm.

a) Calcular el radio de la base del cilindro.

b) Calcular el área de la superficie total del ci-lindro.

c) Calcular el volumen del cilindro.

Construimos el gráfico y ubicamos los da-tos del problema:

a) En la base inferior trazamos la cuerda AB .

Por el dato: AB 2 3

También del dato: OM = 3Como «M» es punto medio, entonces:

AM MB 3

En el AMO: 22 2(AO) 3 3

AO 2 3

Es decir: 2 3R

b) Por otro lado por condición del proble-ma, tenemos:

AC = 3R AC 6 3

El área total (ST) está dado por:

ST = 2R(g + R)

T 2 (2 3)(8 3)S

ST = 96 cm2

c) El volumen (V) está dado por:

V = R2 · g 2(2 3) · 6 3V372 3 cmV

Prob. 15

Un cilindro recto se encuentra inscrito en unprisma recto de base cuadrada, cuyas basesestán contenidas en las bases del prisma. Si laaltura del prisma mide 10 y la diagonal de labase mide 12 2 .

a) Calcular el radio de la base del cilindro.

b) Calcular el volumen del cilindro.

Construimos el gráfico según condicionesdel problema:

a) Como la base del prisma recto es un cua-drado y su diagonal mide 12 2 , entoncesdeducimos que: L = 12.Sea «R» el radio de la base del cilindro,entonces:

2LR 12 62R

b) Como sabemos que el volumen del cilin-dro (V) está dado por:

2V R g 2(6) 10V

= 360V

Prob. 16

Un cilindro de 30 cm de radio y 50 cm de alturaestá completamente lleno de agua si dentro deél se introduce un trozo de madera labrado enforma de prisma de base cuadrada de 10 cm delado y cuya altura es de 20 cm, el agua se de-rrama. Calcular la cantidad de agua que se que-da en el recipiente.

Sea: 2H O

V el volumen de agua, luego:

2H O CILINDRO PRISMAV V V

2

2 2 3H O (30) 50 10 20 139,372 cmV

1 Lt = 1000 cm3

2H O

139,372V L

Prob. 17

Se tiene un tronco de cilindro de revolucióncuyas generatrices mínima y máxima miden 2 y8, que está circunscrita a una esfera.

a) Calcular el radio de la base del tronco.

b) Calcular el volumen del cilindro.

Graficamos el tronco del cilindro e inscri-bimos en él la esfera:

a) Sea «R» el radio de la base del tronco decilindro.

En el ABCD, por el teorema de Pitot:

AB + CD = BC + AD

2 + 8 = BC + 2R BC = 10 – 2R

Trazamos BE CD BE = 2R y CE = 6

En el BCE: (10 – 2R)2 = (2R)2 + 62

Efectuando: 85R

b) El volumen del tronco (VT) está dado por:

TV R2 AB CD2 TV28 2 8·5 2

T645V

Prob. 18

En la figura mostrada se tiene un prisma rectoABC-A’B’C’ cuyas bases son triángulos rec-tángulos rectos en B y B’. El semicilindro estáinscrito en el prisma, siendo O y O’ los centrosde las bases. Si: AB = 3, BG = 4 y OO’= 7.

a) Calcular el radio de la base del semicilindro.

b) Calcular el volumen del semicilindro.


Consideremos que sea «O» el centro de labase semicircular:

a) En la base superior ABC trazamos:

ON BC y OM AB

Como: BC = 4 y AB = 3 (Dato)

mCAB = 53º

Sea: ON = OM = R, entonces: AM = 3 – R

En el AMO: 4 123 3 7R RR

b) Sea «V» el volumen del semicilindro, en-tonces:

21 (AA')2

V R

21 12· · 72 7V

727V

Prob. 19

La curva de longitud mínima trazada entre «A»y «B» (sobre una misma generatriz) que da unavuelta completa en torno a un cilindro recto deradio 1 y de altura 2, tiene por medida «L».Calcular su longitud.

Graficamos el cilindro recto y su desarro-llo lateral:

Al desarrollar la superficie lateral del ci-lindro se obtiene el rectángulo ADBC, don-de la diagonal AB = L, es la mínima longi-tud de la curva AB.

En el ACB: L = 24 4

22 1L

Prob. 20

Se tiene un cilindro de resolución cuyo radiode la base mide 40 cm y la altura es de 30 cm. Setraza un plano paralelo al eje y que pasa a24 cm del eje.a) ¿Qué figura es la sección obtenida por di-

cho plano?b) Calcular el área de la sección obtenida.

Elaboremos el gráfico que represente lascondiciones del problema:

a) La sección determina la cuerda AD enel círculo de la base y como es perpendicu-lar a dicha base, entonces:

CD AD

Análogamente AB AD , y como AB = CD,entonces la figura ABCD será un rectángulo.

b) Por dato OM = 24 (Distancia del eje a lasección).

En el AMO: (AM)2 + 242 = 402

AM = 32

Pero sabemos que: AM = MD

AD = 64

Finalmente: ( ABCD) 64 30A2

( ABCD) 1920 cmA

Prob. 21

Una población tiene 5000 habitantes que con-sumen en promedio por persona 12 litros deH2O diariamente, determinar el radio de la basede un pozo cilíndrico que abastezca a la pobla-ción y que tenga además capacidad para unareserva de 25% del consumo diario y tal que laaltura sea 4 veces el diámetro.

Si una persona consume 12 litros diarios,entonces 5000 personas consumirán:

5000· 12 = 60000 litros

El 25% de 60000 es: 25 60 000 15000100L

Luego el pozo deberá tener un volumen de:

V = 60000 + 15000

Donde: V = 75000 L

Como: V = R2 . 8R = 8R3

8R3 = 75000 L = 75 m3

31 75 m2R

Nota.- 1000 L = 1 m3

Prob. 22

En un cilindro de revolución se encuentra ins-crito un hexaedro regular, calcular el volumendel cilindro; si la distancia del punto medio deuna de la generatrices que pertenece al hexae-dro hacia la diagonal de dicho hexaedro queno se intersecta con dicha generatriz es 2.


Sean R y h; el radio de la base y la alturadel cilindro, veamos en el gráfico:

Entonces el volumen del cilindro:

VC = R2h . . . (1)

Del gráfico se observa que:

MN = AO = R

Por dato: MN = 2

R = 2

En el cuadrado ABCD: AD = R 2

Es decir: AD = 2

Además: h = AD = 2

Reemplazando en (1): VC = ( 2 )2· 2

VC = 4

Prob. 23

Un octaedro regular está inscrito en un cilindrode revolución; de tal manera que dos de suscaras opuestas están inscritas en las circunfe-rencias que limitan las bases del cilindro, calcu-lar la razón de volumen de ambos sólidos.

Sea «a» la arista del octaedro y «R» el ra-dio de la base del cilindro.

Sabemos que: OB = 36a = PQ

También: AQ = 33a

AP = AQ – PQ

De donde: AP = 36a

En el APB:

22

2 2 3AB AP 32 6a ah

63

ah

Luego el volumen del octaedro es:3

o2 3

aV

Y el volumen del cilindro es:2 32

c3 6 6

3 3 9a a aV R H

= oc

3

VV

Prob. 24

En un octaedro circular recto regular E-ABCD-F;se inscribe un cilindro circular recto de modoque sus bases estén contenidas en dos carasopuestas del octaedro. Si la arista del octaedroes «L», calcular el volumen del tronco de cilin-dro que determina el plano BED.

La arista del octaedro es «L», entonces por

propiedad; OQ = 63L , ya que «O» y «Q»

son centros de dos caras opuestas.

Luego por la simetría de la figura a partirdel plano diagonal BEDF, deducimos que:

OP = PQ = 66L

Ahora en el ABF equilátero:

AF = 2R 3

L = 2R 3

R = 2 3L

Luego el volumen del tronco de cilindro:

VTC = R2· OP

Reemplazando: 3

TC 12 6LV

Prob. 25

En un vaso que tiene la forma de un cilindrorecto de revolución, la altura es el doble deldiámetro de la base; si el vaso contiene unlíquido que ocupa las 3/4 partes de su capaci-dad. Determinar el ángulo que debe inclinarsedesde su posición normal hasta el instante enque el líquido esté por derramarse.

Asumiendo que el diámetro es 2R, enton-ces la altura será: 4R.

La parte no ocupada por H2O es: V/4

Y al ser inclinado el cilindro «» la parteno ocupada por H2O toma la forma de untronco de cilindro recto.

Luego: 24 2V aR

Pero: V =R2· 4R = 4R3

Luego: 34

4R =

2

2R a

Simplificando: a = 2R

Finalmente en el ABC, como:

AB = BC

= 45º


01.- Calcular el área de la superficie lateral deun cilindro recto cuyo radio básico mide 4 y sualtura 6.

A) 48 B) 84 C) 72 D) 81 E) 100

02.- Calcular el área total y volumen de un cilin-dro recto de 15 de radio y 45 de altura.

A) 900; 10125 B) 1800; 9125

C) 1800; 10125 D) 900; 528

E) 1800; 8125

03.- De la figura: AB es diámetro de la base delcilindro de revolución que mide 10 y su gene-ratriz mide 8. Calcular el área lateral del cilindro.

A) 40

B) 160

C) 20

D) 80

E) 100

04.- Calcular el volumen de un cilindro recto, sisu generatriz es el doble del radio de la basesiendo éste de longitud 3.

A) 52 B) 54 C) 60 D) 64 E) 72

05.- El radio de la base de un cilindro circularrecto mide 2 y es la tercera parte de la medidade su altura. Calcular el volumen del cilindro.

A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36

06.- Calcular el volumen del cilindro mostrado,si: AB 2 2 .

A)

B) 2/

C) 2

D) 2/3

E) 3

07.- De la figura, calcular el volumen del cilin-dro de revolución, si: 1OO 10 3 , AB esdiámetro de la base.

A) 150

B) 1000 3

C) 400

D) 250 3

E) 200 3

08.- Calcular el volumen de un cilindro equilá-tero de altura «a».

A) 3

2a B)

3

3a C)

3

4a D)

3

5a E)

3

6a

09.- De la figura, calcular el volumen del cilin-dro de revolución, si AB y CD son diámetrosde las bases del cilindro, OC 5 2 .

A) 125

B) 250

C) 100

D) 100 2

E) 50 2


23.- Un vaso cilíndrico de diámetro «d» y altu-ra «h» está lleno de agua. Si se vierte esta aguaen otro vaso de diámetro «2d», ¿hasta qué al-tura «H» subirá el agua?

A) 2h B) 6

h C) 4h D) 12

h E) 16h

24.- Calcule el área de la superficie lateral delcilindro mostrado.

A) a2 B) 2

2a C)

2

3a D)

2

4a E)

2

16a

25.- Calcular (en u3) el volumen de un cilindrorecto de revolución de 64 u2 de área total si:1 1 1

4r h , siendo r: radio de la base y h: altura

A) 100 B) 112 C) 128 D) 136 E) 140

26.- En la figura se muestra un cilindro dondeAB es su generatriz. «O» es el centro de la base.AC = 17 y AO 241 . Calcular el área totaldel cilindro.

A) 148

B) 144

C) 146

D) 150

E) 152

27.- Se tienen dos cilindros circulares rectossemejantes, los cuales tienen por volúmenes:54 y 128. Calcular la relación en que se en-cuentran sus áreas laterales.

A) 94 B) 34 C)

916 D)

97 E)

316

28.- En el cilindro de revolución mostrado1BO 101 cm, 2O M 26 cm, PM = MQ.

Calcular el volumen del cilindro.

A) 4cm3

B) 10cm3

C) 6cm3

D) 18cm3

E) 20cm3

29.- En un cilindro de revolución las genera-trices AB y CD son diametralmente opues-tas (B y C en una misma base), en el arco BC seubica el punto «P». Si: 2(AB)2 + (BC)2 = 20,calcule: (AP)2 + (PD)2

A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

30.- En el gráfico se muestra un cilindro de re-volución. Si se cumple: AH = 2(HB) = 6u, ade-más. EB = BC, calcular el volumen del cilindro.

A) 381 3 u

B) 360 3 u

C) 350 3 u

D) 330 3 u

E) 320 3 u

31.- En un cilindro de revolución se inscribe unprisma cuadrangular regular. Calcular la razónde volúmenes de dichos sólidos.

A) 2 B) 3 C)

4 D)

5 E)

7

32.- Un cilindro circular recto está inscrito enun prisma triangular regular. ¿Qué relación exis-te entre las áreas de las superficies laterales dedichos sólidos?

A) 9 3 B) 2 2

C) 3 3 D) 6 3 E)

3 32

10.- El desarrollo de la superficie lateral de uncilindro circular recto es un rectángulo de di-mensiones 4 y 6. Calcular el área lateral delcilindro.

A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

11.- El desarrollo de la superficie lateral de uncilindro recto es un cuadrado de diagonal 4 2.Calcular el área lateral del cilindro

A) 8 B) 16 C) 32 D) 24 E) 64

12.- Calcular el área lateral de un cilindro recto,si el área de su rectángulo generador es «A».

A) 2A B) A C) 12A D) 3A E) 13 A

13.- Calcular el volumen de un cilindro circularrecto; de altura «h» y la longitud de la circunfe-rencia de la base «L».

A) 2

L h B)

2

2L h C)

2

3L h D)

2

4L h E)

2

5L h

14.- Calcular el volumen de un cilindro recto enel cual la longitud de su circunferencia es «L»y el área del rectángulo generador es «S».

A) S · L B) 3S L C)

2S L D)

4S L E)

5S L

15.- De la figura, evaluar el área de la superficielateral del cilindro de revolución, si su gene-ratriz mide 8 y AC = 3. ( AB es diámetro de subase).

A) 8 3

B) 16 3

C) 24 3

D) 32 3

E) 12 3

16.- Calcular el área total del cilindro de revolu-ción, si: AC = 4, OO1 = 6 («O» y «O1» soncentros de su base).

A) 8( 3 2)

B) 8( 2 3)

C) 8(2 3 3)

D) 8(3 2 2)

E) 8( 5 1)

17.- ¿Qué volumen de tierra tendrá que extraersepara hacer un túnel de 100 m de largo, siendo susección recta un semicírculo de diámetro 10 m?

A) 1250m3 B) 250m3 C) 2500m3

D) 5000m3 E) 500m3

18.- Calcular el volumen de un cilindro de revolu-ción si su altura mide 20 y el desarrollo de la su-perficie lateral del cilindro tiene un área de 200.

A) 250 B) 450 C) 500 D) 550 E) 600

19.- Se tiene un triángulo rectángulo cuyos ca-tetos miden 7 y 24. La circunferencia inscrita esla base de un cilindro de altura igual a la hipote-nusa del triángulo rectángulo. Calcular el volu-men del cilindro.

A) 215 B) 225 C) 220 D) 230 E) 600

20.- Un vaso cilíndrico cuyo diámetro mide 20y su altura 40, está lleno de agua. Si se vierteesta agua en otro vaso, cuyo diámetro mide 40,¿a qué altura llegará el agua?

A) 5 B) 8 C) 10 D) 20 E) 40

21.- En un recipiente cilíndrico se introduce uncuerpo y el nivel de agua que contiene se elevaen 4. Si el radio de la base del recipiente es 2,calcular el volumen del cuerpo.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

22.- Se tiene un recipiente cilíndrico, cuya basetiene un radio igual a 4 u. El recipiente tiene unacierta cantidad de agua. Al introducir un blo-que metálico se observa que el nivel del aguasube 2 u. Calcular el volumen del bloque.

A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

772 Geometría

01A

09A

17A

25C

33B

02C

10E

18C

26E

34D

03D

11B

19B

27C

35E

04B

12A

20C

28B

36D

05C

13D

21E

29D

37A

06C

14C

22E

30A

38C

07B

15B

23C

31A

08C

16D

24B

32E

CLAVES

39D

40C

33.- Calcular la relación entre los volúmenes deun cilindro de revolución y un prisma triangu-lar regular, si los desarrollos de sus superficieslaterales son congruentes.

A) 3 2 B) 3 3 C) 3 3

D) 3 E) 2 3

34.- Una población tiene 5000 habitantes queconsumen en promedio por persona 12 litrosde agua diariamente. Determinar el radio de labase de un pozo cilíndrico que abastezca a lapoblación y que tenga capacidad para una re-serva de 25% del consumo diario y tal que laaltura del pozo sea cuatro veces el diámetro dela base.

A) 3 25

B) 3 755

C) 3 75

D) 31 752 E) 31 25

2

35.- Un tanque cilíndrico cuyo diámetro mide4 3 y su altura 12, tiene sus cinco sextas par-tes con vino. Desde su posición inicial se incli-na el tanque hasta que el vino esté a punto decaer por el borde. Calcular la medida del ángulode inclinación.

A) 30º B) 45º C) 53º D) 37º E) 60º

36.- Calcular el volumen de un cilindro circularrecto circunscrito a un octoedro regular cuyaarista mide 2 . Además dos vértices opues-tos de dicho octoedro están ubicados en loscentros de las bases del cilindro.

A) B) 2 C) 3

D) 2 E) 2

37.- Un cilindro recto de radio «R» y altura «H»que contiene un líquido, se pone en posiciónhorizontal sobre el suelo. Si el líquido alcanzauna altura «h» (desde el suelo), determinar elárea de la capa superior del líquido.

A) 22 2H Rh h B) 22 2h RH h

C) 22 2h RH H D) 22 2R Hh h

E) 22 2R hH H

38.- Calcular el área de la sección recta de uncilindro oblicuo, si el área de la base es 100 y lageneratriz forma con la base un ángulo de 60º.

A) 100 B) 50 C) 50 3

D) 50 2 E) 60

39.- Un tronco de cilindro circular recto está cir-cunscrito a una esfera; si las generatrices máxi-ma y mínima miden 6 y 3 respectivamente, calcu-lar el área de la superficie lateral del tronco.

A) 24 B) 26 C) 27

D) 18 E) 36

40.- Calcular el volumen de un cilindro oblicuocuya generatriz forma un ángulo que mide 60ºcon la base y la altura mide el doble de lo quemide el radio de la sección recta, siendo esteigual a 4 3 .

A) 383 B) 400 C) 768

D) 540 E) 349

12.1.2. cilindro circular rectolibreriaonline.org.pe/previews/geometria_np_unidad_12_1.pdf · 2016....

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