127 temaiii fourier

Tema III:Anlisis de circuitos mediante

la transformada de Fourier

Planteamiento del problema .................................................................................................. 65Determinacin de los coeficientes de Fourier.................................................................... 68

Procedimiento general .......................................................................................................... 68Ejemplo ................................................................................................................................ 69Casos particulares ................................................................................................................ 70

Forma trigonomtrica de la serie de Fourier..................................................................... 72Formulacin ......................................................................................................................... 72Ejemplo de formulacin trigonomtrica................................................................................ 73Ejemplo 1 de aplicacin a un circuito ................................................................................... 74Ejemplo 2 de aplicacin a un circuito ................................................................................... 76Clculos de potencia............................................................................................................. 78

Formulacin exponencial ....................................................................................................... 79Ejemplo de formulacin exponencial.................................................................................... 79Error cuadrtico medio ......................................................................................................... 80Espectros de amplitud y fase ................................................................................................ 81

La transformada de Fourier .................................................................................................. 82Consideraciones generales ................................................................................................... 82Definicin ............................................................................................................................ 83Condiciones de existencia .................................................................................................... 84

Transformadas de Fourier...................................................................................................... 85Transformadas de Fourier de funciones elementales............................................................ 85Transformadas de Fourier operacionales.............................................................................. 86Utilizacin de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier .................... 87Propiedades de la transformada de Fourier .......................................................................... 89

Aplicacin en circuitos ............................................................................................................ 90Comparacin con la transformada de Laplace ...................................................................... 90Ejemplo 1............................................................................................................................. 91Ejemplo 2............................................................................................................................. 92

Teorema de Parseval ............................................................................................................... 93Ejemplo 1............................................................................................................................. 94Ejemplo 2............................................................................................................................. 96Ejemplo 3............................................................................................................................. 98

64 Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Dpto. Teora de la Seal y Comunicaciones. Escuela Tcnica Superior de Ing. Telecomunicacin. UNIVERSIDAD DE VIGO

Planteamiento del problemax(t) peridica x(t) = x(t + nT0) t; n: nmero entero, T0: periodo fundamental

Ejemplos de funciones peridicas

v(t)Vm

tT0 2T0 4T0 6T0

v(t)Vm

tT0 2T0 3T0

v(t)

Vm

t3T0T0 2T0

v(t)Vm

tT0 2T0 3T0

v(t)Vm

tT0 2T0 3T0

Rectificacinde onda completa

Rectificacin

de media onda

Onda cuadrada

Onda triangular

Pulso rectangular

Obtenidas

por saturacinde transistores

Proporcionadas por

generadores de ondas

Anlisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase 65


En ingeniera de circuitos tienen inters prctico muchas excitaciones peridicas

que no son sinusoidales.

Los generadores de potencia ideales tienen que proporcionar sinusoides puras.En la prctica proporcionan sinusoides distorsionadas, pero peridicas.

Las no linealidades en circuitos provocan la aparicin de funciones peridicas lineales.

El anlisis de Fourier permite tratar cualquier funcin peridicacomo una suma infinita de funciones sinusoidales relacionadas armnicamente.

Una funcin peridica puede expresarse como serie de Fourier en la forma

f(t) = av + [akcos(k0t)k=1

+ bksen(k0t)]

siendo

k: nmero natural.

av, ak, bk: coeficientes de Fourier.

0 = 2/T0: frecuencia angular fundamental.k0: frecuencia de la componente armnica de orden k.

f(t) se expresa como la suma de una componente continuay diversas componentes sinusoidales.

Si representa la excitacin de un circuito,

la salida de ste puede ser calculada aplicando el principio de superposicin.



Para que una funcin pueda ser expresada como serie de Fourier,ha de cumplir las condiciones de Dirichlet:

f(t) tiene un valor nico para cualquier valor de t.

f(t) tiene un nmero finito de discontinuidades en el intervalo de un periodo.f(t) tiene un nmero finito de mximos y mnimo en el intervalo de un periodo.

La integral f(t)dtt0

t0+T0

existe.

Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias.

No se sabe cules son las condiciones necesarias.

Una funcin puede no cumplir las condiciones de Dirichlet

y ser expresable como serie de Fourier.



Determinacin de los coeficientes de Fourier

Procedimiento general

av = 1

T0f(t)dt

t0

t0+T0

ak = 2

T0f(t)cos(k0t)dt

t0

t0+T0

bk = 2

T0f(t)sen(k0t)dt

t0

t0+T0

t0 es cualquier valor del tiempo elegido arbitrariamente.

Obsrvese que av es el valor medio de f(t) en un periodo,lo cual proporciona un medio alternativo de calcular este coeficiente.



Ejemplo

v(t)

Vm

Vm/3

2T0/3 T0 4T0/3 2T00 t

Vm = 9 V

Se desea obtener los coeficientes de Fourier

de la expansin en serie de Fourierde la tensin mostrada en la figura adjunta.

Suponiendo que T0 = 125.66 ms,se desea obtener los cinco primeros trminos

de la citada expansin.

La tensin representada en la figura puede ser expresada matemticamente como

v(t) = Vm t t0 t 2T0/3 v(t) = Vm/3 t t0 + 2T0/3 t T0

Haciendo t0 = 0 s, y utilizando las expresiones generales y el valor de Vm, se tiene

av = 1

T0v(t)dt =

0

T0

1T0

Vmdt0

2T0/3

+ 1T0

Vm3

dt2T0/3

T0

= 7 V

ak = 2T0v(t)cos 2kt

T0dt =

0

T0

2T0

Vmcos 2ktT0dt

0

2T0/3

+ 2T0

Vm3

cos 2ktT0

dt

2T0/3

T0

= 6k

sen 4k3

V

bk = 2T0v(t)sen 2kt

T0dt =

0

T0

2T0

Vmsen 2ktT0dt

0

2T0/3

+ 2T0

Vm3

sen 2ktT0

dt

2T0/3

T0

= 6k

1 - cos 4k3

V

Utilizando estas expresiones y el valor de T0, la serie queda

v(t) = 7 - 5.2cos(50t) + 9sen(50t) + 2.6cos(100t) + 4.5sen(100t) + ... V



Casos particulares

Simetra par

f(t) = f(-t) T0

T0/20 t

-T0/2

-T0

A

-A

f(t) av = 2

T0f(t)dt

0

T0/2

ak = 4

T0f(t)cos(k0t)dt

0

T0/2

bk = 0

Simetra imparf(t) = - f(-t)

T0

0 t-T0/2

-T0

A

-A

f(t)

T0/2

av = 0

ak = 0

bk = 4

T0f(t)sen(k0t)dt

0

T0/2

A una funcin peridica dada se la puede dotar de simetra par o imparcon slo elegir adecuadamente el origen de tiempos.



Simetra

de media ondaf(t) = - f(t - T0/2)

T0

T0/20 t

-T0/2

-T0

A

-A

f(t)av = 0

k par ak = 0 = bk

k impar

ak = 4T0f(t)cos(k0t)dt

0

T0/2

bk = 4T0f(t)sen(k0t)dt

0

T0/2

Simetra

de cuarto de onday funcin par

(simetra en tornoal punto medio

de cadasemiciclo)

av = 0

k par ak = 0

k impar ak = 8T0f(t)cos(k0t)dt

0

T0/4

bk = 0

Simetrade cuarto de onda

y funcin impar(simetra en torno

al punto mediode cada

semiciclo)

av = 0

ak = 0

k par bk = 0

k impar bk = 8T0f(t)sen(k0t)dt

0

T0/4



Forma trigonomtrica de la serie de Fourier

Formulacin

Definiendo

zk = ak - jbk Ak = zk = ak2 + bk

2 k = arctgbkak

puede establecerse que

f(t) = av + [akcos(k0t)k=1

+ bksen(k0t)] = av + Akcos(k0t - k)

k=1

Es decir, los trminos en seno y coseno de cada armnico de la seriese combinan en un nico trmino de tipo sinusoidal,

lo cual permite tratar la funcin como una superposicinde una componente continua y una suma se seales sinusoidales de distintas frecuencias.

Obsrvese que

f(t) par Ak = ak, k = 0

f(t) impar Ak = bk, k = 90



Ejemplo de formulacin trigonomtrica

v(t)

Vm

Vm/3

2T0/3 T0 4T0/3 2T00 t

Vm = 9 V

Se desea expresar en forma trigonomtrica(slo tres trminos significativos)

el desarrollo en serie de Fourierde la tensin representada

en la figura adjunta.

Supngase que T0 = 125.66 ms.

Como se indic en un ejemplo anterior,

v(t) = Vm t t0 t 2T0/3 v(t) = Vm/3 t t0 + 2T0/3 t T0

con lo que

av = 7 V ak = 6ksen 4k

3 V bk =

6k

1 - cos 4k3

V

En consecuencia, es posible elaborar la siguiente tabla:

k ak (V) bk (V) Ak (V) k ()

1

2

- 5.22

2.61

9

4.5

10.4

5.2

120

60

con lo que la formulacin pedida queda en la forma

v(t) = 7 + 10.4cos(50t - 120 ) + 5.2cos(100t - 60 ) V, t en s



Ejemplo 1 de aplicacin a un circuito

R

CvG(t)

+vC(t)

-

vG(t)

t

T0

Vm

-Vm

Dado el circuito de la figura, sometido a la excitacin indicada,

se desea obtener la expresin temporal de vC(t).

La excitacin tiene simetra imparen media onda

y en cuarto de onda,con lo que

av = 0ak = 0

bk = 0, k par

bk = 8

T0Vmsen(k0t)dt

0

T0/4

= 4Vmk

, k impar

La excitacin puede ser expresada como serie de Fourier con formulacin trigonomtrica.

vG(t) = 4Vm

cos[(2i - 1)0t - 90]2i - 1

i=1

La excitacin es equivalentea un nmero infinito de fuentes sinusoidales

conectadas en serie.



Se aplica el principio de superposicin teniendo en cuenta que para cada excitacin individual y utilizando notacin fasorial se cumple

VC = VG

1 + jRC

Aplicando este resultado a cada componente de la excitacin

los fasores de las distintas respuestas individuales estn dados por

Primer armnico(i = 1)

VC1 = 4Vm

1 + (0RC)2 - 90 - 1, 1 = arctg(0RC)

Tercer armnico(i = 2)

VC3 = 4Vm

1 + (30RC)2 - 90 - 3, 3 = arctg(30RC)

Generalizando, puede deducirse que la respuesta pedida es

vC(t) = 4Vm

cos[(2i - 1)0t - 90 - 2i-1](2i - 1) 1 + [(2i - 1)0RC]2

i=1

, 2i-1 = arctg[(2i - 1)0RC]

Obsrvese que

C muy grande (cortocircuito) 2i-1 90 vC(t) - 4Vm

0RCcos[(2i - 1)0t]

(2i - 1)2i=1

Los armnicos de salida decrecen en amplitud en la proporcin 1/i2,

mientras que los de la entrada lo hacen en la proporcin 1/i(hay gran distorsin -distorsin de fase-).

C muy pequeo (circuito abierto) 2i-1 0 vC(t) vG(t)poca distorsin.



Ejemplo 2 de aplicacin a un circuito

R

CvG(t)

+v0(t)

-

LT0/2 t

vG(t)

Vm

-Vm

T0

Dado el circuito de la figura, sometido a la excitacin indicada,

se desea obtener la expresin temporal de v0(t).

La expresin matemtica de la excitacin es

vG(t) = Vm, 0 < t < T0/4 vG(t) = -Vm, T0/4 < t < 3T0/4 vG(t) = Vm, 3T0/4 < t < T0

La excitacin tiene simetra de cuarto de onda y funcin par, con lo que

av = 0 V bk = 0 V ak = 0 V, k par

k impar ak = 8T0vG(t)sen(k0t)dt

0

T0/4

= 4Vmk

sen k2

= 4Vmk

cos k2

- 90



En trminos fasoriales, la excitacin se expresa como

VGk = 4Vmk -90

= - j4Vmk

En trminos fasoriales y de impedancias, la salida del circuito es

V0k = jLVGk

R(1 - 2LC) + jL =

8LVm

RT0 1 - 2kT0

2

LC + j2kLT0

= V0k k

con lo que la expresin temporal pedida es

v0(t) = V0kcos 2ktT0 + k

k = 1, impar



Clculos de potencia media

Sea un elemento de un circuito lineal,en el que la tensin y la corriente son funciones peridicas

expresadas mediante series de Fourier.

v(t) = VDC + VKcos(k0t - vk)k=1

i(t) = IDC + IKcos(k0t - ik)k=1

Se supone que la corriente entra en el elementopor el terminal marcado como positivo para la tensin.

La potencia media en el elemento est dada por

P = 1T0

v(t)i(t)dtt0

t0+T0

= V DCIDC + V KIKcos(vk - ik)

2k=1

Es decir, en el caso de una interaccin entre una tensin peridica

y la correspondiente corriente peridica,la potencia media total es la suma de las potencias medias

originadas por corrientes y tensiones de la misma frecuencia.

Las corrientes y tensiones de distintas frecuencias no interaccionanpara dar lugar a potencia media.



Formulacin exponencial

Una funcin peridica tambin puede desarrollarse en serie de Fourier mediante la expresin

f(t) = Ckejk0t

-

siendo

Ck = 1

T0f(t)e-jk0tdt

t0

t0+T0

= ak - jbk

2 =

Ak2 -k

, Ak = ak2 + bk

2 , k = arctgbkak

Ejemplo de formulacin exponencial

v(t)Vm

tT0T0-/2-/2 /20

Se desea expresar

la tensin indicada en la figura adjunta como serie de Fourier

con formulacin exponencial.

Ck = 1

T0Vme

-jk0tdt-/2

/2

= VmT

e-jk0t

-jk0 -/2

/2

= Vm

T sen(k0/2)

k0/2

v(t) = Vm

sen(k0/2)k0/2

k = -

ejk0t



Error cuadrtico medio

En aplicaciones prcticas, al utilizar una serie de Fourier

para representar una funcin peridica es preciso truncar la serie,

ya que no es posible trabajar con un nmero infinito de trminos.

As, se supone que la funcin ideal f(t) es aproximada por la funcin prctica fN(t).

f(t) fN(t) = Ckej0tk= -N

N

con lo que se comete un error dado por

(t) = f(t) - fN(t)

de modo que el error cuadrtico medio de la aproximacin es

2 = 1T0

2(t)dtt0

t0+T0

f(t) tambin puede ser expresada mediante otras series trigonomtricasen las que los coeficientes son distintos de los correspondientes a la serie de Fourier.

Puede demostrarse que el error cuadrtico medio es mnimoprecisamente cuando los coeficientes son los de la serie de Fourier.



Espectros de amplitud y fase

Conocidos los coeficientes de Fourier y el periodo de una funcin,en teora es posible reconstruir dicha funcin.

Ocurre lo mismo si se conocen las amplitudes y las fases

de la formulacin exponencial.

Sin embargo, ello requiere una gran potencia de clculo (series infinitas).

Una alternativa (simplemente indicativa) consiste en representarlas amplitudes y las fases de la formulacin exponencial,

como se muestra en las figuras adjuntas.

k, 0

Ck

Esp

ectr

ode

am

plitu

dE

spec

tro

de f

ase

k, 0

k

fase

= 0

fase

= 0

fase

= 0

fase

= 0

fases no definidaspor ser nulas

las amplitudes

Si se desplaza la funcinun intervalo temporal,

f(t - t0) = Ckejk0(t - t0)

k = -

=

= (Cke-jk0t0)ejk0t

k = -

el espectro de amplitud no cambia,el espectro de fase s cambia.



La transformada de Fourier

Consideraciones generales

La serie de Fourier permite describir una funcin peridica del tiempoen el dominio de la frecuencia por medio de los atributos de amplitud y fase.

La transformada de Fourier permite extender esta idea a funciones no peridicas.

Esto ya est cubierto por la transformada de Laplace.

La transformada de Fourier es un caso particular (parte real de la frecuencia compleja, s, nula) de la transformada de Laplace bilateral.

Sin embargo, la transformada de Fourier tiene una interpretacin fsica ms sencilla.



Definicin

Dada una funcin peridica f(t), de periodo T0, a medida que ste se hace ms grandese verifica (como puede comprobarse a partir de las expresiones de la serie de Fourier)

f(t) va convirtindose en no peridica.

La frecuencia pasa de ser una variable discreta (k0)a ser una variable continua ().

Los espectros de amplitud y fase dejan de ser representaciones discretas de lneaspara convertirse en las envolventes de las lneas que los constituyen.

Para contemplar estas circunstancias se define la transformada de Fourier

de la funcin f(t), no necesariamente peridica, mediante la expresin

F() = F{f(t)} = f(t)e-jtdt -

f(t) = 12

F()ejtdt-

dominiode la frecuencia

dominiodel tiempo



Condiciones de existencia

f(t) tiene transformada de Fourier si converge la integral que la define.

f(t) converge si es una funcin bien condicionada que difiere de 0 en un intervalo finito.

f(t) est bien condicionada si hay un solo valor de f para cada valor de t,y define un rea finita en el intervalo de integracin.

Si f(t) es distinta de 0 en un intervalo infinito, hay convergencia si

Hay un solo valor de f para cada valor de t.

Tiene un nmero finito de discontinuidades.

La integral f(t)dt-

existe.

Hay funciones de inters prctico que carecen de transformada de Fourier.

En un caso de ese tipo se crea una funcin en el dominio del tiempoque s tenga transformada

y que est tan arbitrariamente prxima a la original como se desee,y se asume que la transformada de Fourier de la funcin original

coincide con la de la funcin creada.



Transformadas de Fourier

Transformadas de Fourier de funciones elementales

Funcin matemtica Transformadade Fourier

Delta de Dirac (impulso unitario)

Escaln unitario

Constante

Signo (-1 para todo t < 0, 1 para todo t > 0)

Seno

Coseno

Exponencial positiva

Exponencial negativa

Exponencial positiva-negativa

Exponencial compleja

(t)

u(t)

A

sgn(t)

sen(0t)

cos(0t)

e-atu(t), a > 0

eatu(-t), a > 0

e-amod(t), a > 0mod: mdulo

ej0t

1

() + 1j

2A()

2j

j[( + 0) - ( - 0)]

[( + 0) + ( - 0)]

1a + j

1a - j

2aa2 + 2

2( - 0)



Transformadas de Fourier operacionales

Operacin matemtica Transformadade Fourier

Multiplicacinpor una constante

Suma

Derivada

Integral

Escalado

Desplazamiento

Convolucin

Kf(t)

f1(t) + f2(t) + f3(t) + ...

dnf(t)dtn

f()d-

t

f(at), a > 0

f(t - t0)

ej0tf(t)

f(t)cos(0t)

x()h(t - )d-

f1(t)f2(t)

tnf(t)

KF()

F1() + F2() + F3() + ...

(j)nF()

F()j

1aF

a

e-jt0F()

F( - 0)

F(0 - ) + F( + 0)2

X()H()

12

F1(u)F2( - u)du-

jndnF()dn



Utilizacin de transformadas de Laplacepara hallar transformadas de Fourier

Pueden utilizarse transformadas de Laplace unilaterales

para hallar las correspondientes transformadas de Fourier que converjan.

La integral que define la transformada de Fourier

converge si todos los polos de F(s) estn en el semiplano izquierdo.Si hay polos en el semiplano derecho o a lo largo del eje imaginario

no se cumple la condicin relativa a la integralque figura en las condiciones de existencia.

f(t) es una funcin positiva en el tiempo F{f(t)} = L{f(t)}s=j

Ejemplo

f(t) = 0 t 0-

f(t) = e-atcos(0t) t 0- F{f(t)} = s + a

(s + a)2 + 02 s=j = j + a

(j + a)2 + 02



f(t) es una funcin negativa en el tiempo F{f(t)} = L{f(-t)}s= -j

Ejemplo

f(t) = 0 t 0+

f(t) = eatcos(0t) t 0-

F{f(t)} = L {f(-t)}s = -j =

= s + a(s + a)2 + 02 s=j

= - j + a(- j + a)2 + 02

f(t) es una funcin distinta de cero

f+(t) = f(t) t > 0f-(t) = f(t) t < 0

F{f(t)} = L{f+(t)}s=j + L{f-(-t)}s=-jf(t) par F{f(t)} = L{f(t)}s=j + L{f(t)}s= -j

f(t) impar F{f(t)} = L{f(t)}s=j - L{f(t)}s= -j

Ejemplo

f+(t) = e-at

f-(t) = eat

L{f+(t)} = 1s + a, L{f-(-t)} = 1s + a

F{e-amod(t)} = 1s + a s=j + 1

s + a s= -j = 2a2 + a2



Propiedades de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier de una funcin es una magnitud compleja y puede expresarse como

F() = f(t)e-jtdt = A() + jB() = F()ej()-

, F(-) = F*()

siendo

A() = f(t)cos(t)dt-

, funcin par de

B() = f(t)sen(t)dt-

, funcin impar de

F() = A2() + B2(), funcin par de

() = arctg B()A()

, funcin impar de

F(-) = F*()

Si f(t) es una funcin par, F() es una funcin par real.

A() = 2 f(t)cos(t)dt0

, B() = 0, f(t) = 22

A()cos(t)d0

Las funciones f(t) y A() son intercambiables, salvo por un factor de escala.

Si f(t) es una funcin impar, F() es una funcin impar imaginaria.

A() = 0, B() = - 2 f(t)sen(t)dt0



Aplicacin en circuitos

Comparacin con la transformada de Laplace

Transformada de Laplace (TL) Transformada de Fourier (TF)

Converge para ms funciones de excitacin

que la TF.

Permite la inclusin directa

de condiciones iniciales.

La TL unilateral es adecuadapara tratar problemas con condiciones

iniciales que se desarrollan en t > 0.

Proporciona directamente la respuesta

en rgimen permanentea una excitacin sinusoidal.

Permite considerar funciones negativas

en el tiempo, con lo que es adecuadapara tratar eventos que comiencen

en t = - .

En anlisis de circuitos utilizando la transformada de Fourier,

los elementos pasivos tienen el mismo tratamientoque cuando se emplean fasores e impedancias.



Ejemplo 1

iG(t)

R1 R2

L

i0(t)

+v0(t)

-

Se desea obtener i0(t)utilizando transformadas de Fourier.

iG(t) = Igcos(0t), Ig = 50 A, 0 = 3 rad/s

R1 = 1 , R2 = 3 , L = 1 H

Utilizando las tablas de transformadas de Fourier,

IG(0) = F{iG(t)} = Ig[( - 0) + ( + 0)]

Observando que el circuito es un divisor de corriente

y utilizando notacin fasorial e impedancias,la funcin de transferencia es

H() = I0IG

= R1

R1 + (R2 + jL) = 1

4 + j

I0(0) = IG(0)H(0) = 50( - 0) + ( + 0)

4 + j0 A

i0(t) = F-1

{I0(0)} = 502( - 0) + ( + 0)

4 + j0ejtdt

-

=

= 25 ej0t

4 + j0 + e

-j0t

4 - j0 = 25 e

j0te -j0t

5 + e

-j0te j0t

5 = 10cos(0t - 0) A, 0 = 36.87



Ejemplo 2

iG(t)

R1 R2

L

i0(t)

+v0(t)

-

Se desea obtener v0(t)utilizando transformadas de Fourier.

iG(t) = Igsgn(t), Ig = 10 A

R1 = 4 , R2 = 1 , L = 1 H

Utilizando las tablas de transformadas de Fourier,

IG() = F{iG(t)} = 2Igj

= 20j

A

Observando que el circuito es un divisor de corriente

y utilizando notacin fasorial e impedancias,la funcin de transferencia es

H() = V0IG

= I0jL

IG = R1jL

R1 + (R2 + jL) = j4

5 + j

V0(0) = IG(0)H(0) = 805 + j0 V

v0(t) = F-1

{V0(0)} = 80e-5t V, t en s



Teorema de Parseval

JustificacinLa potencia media de seales de energa finita en el dominio del tiempo es nula.

Por tanto, para comparar seales de este tipo, se recurre a la energa de las seales.

Teorema de Parseval(se cumple si ambas integrales existen)

Las dimensiones de F() son [J/Hz] = [Js]

La energa asociada con una funcin f(t)relacionada con una resistencia de 1 es

f2(t)dt-

= 12

F() 2d-

Si se trata de una resistencia de valor R,se multiplican ambos miembros del teorema por tal valor.

La energa de la seal, referida a 1 , en un intervalo de frecuencias es

1 F()

2d 1

2

Interpretracin grfica

F()2

1 2-1-2

W1 = 1 F()

2d 1

2

=

= 12 F()

2d1

2

+ 12 F()

2d 1

2

El teorema de Parseval permite calcular la energa disponible a la salida de un filtrosin necesidad de determinar la expresin temporal de la tensin en dicha salida.



Ejemplo 1

Un circuito (un filtro paso banda ideal) es tal que la salida reproduce exactamente la entrada para todas las frecuencias comprendidas entre 1 y 2y no deja pasar ninguna frecuencia fuera de ese intervalo (banda de paso).

Se desea obtener una representacin grfica cualitativa de mod2[V()] y mod2[V0()],siendo v(t) y v0(t) las seales de entrada y salida, respectivamente,

y calcular el porcentaje del contenido de energa total referido a una resistencia de 1 de la seal de entrada que est disponible a la salida.

v(t) = Ae-atu(t), A = 120 V, a = 24 s-1, 1 = 24 rad/s, 1 = 48 rad/s

v(t) = Ae-atu(t)

V() = Aa + j

V()2 = A2

a2 + 2

1 2-1-2

V()2

La salida es igual a la entrada

en la banda de pasoy nula para cualquier otra frecuencia

1 2-1-2

V0()2



Energa total disponible a la entrada:

Wi = 1

A2

a2 + 2d

0

= A2

1aarctg

a 0

= 300 J

Energa disponible a la salida:

W0 = 1

A2

a2 + 2d

1

2

= A2

1aarctg

a 1

2 = 61.45 J

Porcentaje de energa disponible a la salida:

W0Wi

= 20.48 %



Ejemplo 2

R

C

+vi(t)

-

+v0(t)

-

Dado el circuito de la figura, se desea determinar el porcentaje

de la energa asociada a una resistencia de 1 disponible en la seal de entrada

que est disponible a la salida, y el porcentaje de energa de la seal de salida

que est comprendida en el rango 0 < < 0.

vi(t) = Ae-atu(t), A = 15 V, a = 5 s-1, 0 = 10 rad/sR = 10 k, C = 10 F

vi(t) = Ae-atu(t) Vi() = Aa + j

Vi() 2 = A2

a2 + 2

Energa total disponible a la entrada: Wi = 1

A2

a2 + 2d

0

= A2

1aarctg

a 0

= 22.5 J

Funcin de transferencia (divisor de tensin): H() = 1/(jC)R + 1/(jC)

Transformada de Fourier

de la seal de salida:V0() = Vi()H() =

1/(RC)[1/(RC) + j]

A2

(a2 + 2)

Energa disponible a la salida W0 = 1 V0()

2d0

= 15 J

Porcentaje de energa disponible a la salida:W0Wi

= 66.67 %



Energa disponible a la salida

en el intervalo 0 - 0:W0-0 =

1 V0()

2d0

0

= 13.64 J

Porcentaje de energa disponible a la salida

en el intervalo 0 - 0:W0-0

W0 = 90.97 %



Ejemplo 3

Sea un pulso rectangular de tensincomo el indicado en la figura

v(t) Vm

t0-/2 /2

Su transformada de Fourier es de la formaindicada en la figura siguiente

0

V() Vm

-4/

-2/ 2/

4/

Cuanto ms estrecho es el pulso,mayor es el intervalo dominantede frecuencias.

Para transmitirlo, el ancho de banda del sistemadebe ser suficiente para incluir al menosla parte dominante del espectro;es decir, la dada por la relacin

0 2

Teniendo en cuentaque la transformada de Fourier del pulsoest dada por

V() = Vmsen(/2)/2

la energa contenida en la parte dominante es

W = 1 V()2d =

0

2/

(utilizando una tabla de integrales)

= 2Vm

2 (1.41815)

La energa total del pulso es

Wt = 1 V()

2d =0

Vm2

En consecuencia, la fraccin de energa total del pulso contenida en la parte dominante es

WWt

= 90.28 %



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