13 .5 趋势型序列的预测

13 - 13 - 11

统计学统计学STATISTICSSTATISTICS

((第三版第三版 ))

作者：贾俊平，中国人民大学统计学院作者：贾俊平，中国人民大学统计学院

1313.5 .5 趋势型序列的预测趋势型序列的预测

13.5.1 13.5.1 线性趋势预测线性趋势预测13.5.2 13.5.2 非线性趋势预测非线性趋势预测

13 - 13 - 22




趋势序列及其预测方法趋势序列及其预测方法

1.1. 趋势趋势 ((trendtrend)) 持续向上或持续下降的状态或规律持续向上或持续下降的状态或规律

2.2. 有线性趋势和非线性趋势有线性趋势和非线性趋势3.3. 方法主要有方法主要有

线性趋势预测线性趋势预测非线性趋势预测非线性趋势预测自回归模型预测自回归模型预测

13 - 13 - 33




线性趋势预测线性趋势预测

13 - 13 - 44




线性趋势线性趋势((linear trendlinear trend))

1.1. 现象现象随着时间的推移而呈随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降的线现出稳定增长或下降的线性变化规律性变化规律

2.2. 由影响时间序列的基本因由影响时间序列的基本因素作用形成素作用形成

3.3. 时间序列的成分之一时间序列的成分之一4.4. 预测方法：线性模型法预测方法：线性模型法

13 - 13 - 55




线性模型法线性模型法(( 线性趋势方程线性趋势方程 ))

线性方程的形式为线性方程的形式为

tbbYt 10ˆ tbbYt 10ˆ

— — 时间序列的预测值时间序列的预测值 t t —— 时间标号时间标号 bb00—— 趋势线在趋势线在 Y Y 轴上的截距轴上的截距 bb11—— 趋势线的斜率，表示时间趋势线的斜率，表示时间 tt 变动一个变动一个单位时观察值的平均变动数量单位时观察值的平均变动数量

tYtY

13 - 13 - 66




线性模型法线性模型法((a a 和和 b b 的求解方程的求解方程 ))

1.1. 根据最小二乘法得到求解根据最小二乘法得到求解 bb00 和和 bb11 的标准方程的标准方程为为

210

10

tbtbtY

tbnbY

210

10

tbtbtY

tbnbY解得解得解得解得

tbYb

ttn

YttYnb

10

221

tbYb

ttn

YttYnb

10

221

2.2. 预测误差可用估计标准误差来衡量预测误差可用估计标准误差来衡量

mn

YYs

n

iii

Y

1

2)ˆ(

mn

YYs

n

iii

Y

1

2)ˆ(

mm 为趋势方程中待确定的未知常为趋势方程中待确定的未知常数的个数数的个数

13 - 13 - 77




线性模型法线性模型法(( 例题分析例题分析 ))

【例】【例】根据人均根据人均 GDPGDP 数据，根据最小二乘法确定直线数据，根据最小二乘法确定直线趋势方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测趋势方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测 20052005年的人均年的人均 GDPGDP ，并将原序列和各期的预测值序列绘制，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较成图形进行比较

1.1. 线性线性趋势方程趋势方程：：

2.2. 预测的预测的 RR22 和估计和估计标准误差标准误差：： RR22=0.9806 =0.9806

3.3. 20052005 年人口自然增长率的年人口自然增长率的预测值预测值

tYt 93.59945.842ˆ tYt 93.59945.842ˆ 06.932Ys 06.932Ys

33.104411693.59945.8422005 Y

13 - 13 - 88




线性模型法线性模型法(( 例题分析例题分析 ))

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

年份

GDP(

)人均

元

GDP人均

预测值

13 - 13 - 99




非线性趋势预测非线性趋势预测

13 - 13 - 1010




1.1. 时间序列以几何级数递增或递减时间序列以几何级数递增或递减2.2. 一般形式为一般形式为

指数曲线指数曲线(exponential curve) (exponential curve)

bb00 ，， bb11 为待定系数为待定系数若若 bb11 >1>1 ，增长率随着时间，增长率随着时间 tt 的增加而增加的增加而增加若若 bb11 <1<1 ，增长率随着时间，增长率随着时间 tt 的增加而降低的增加而降低若若 bb00>0>0 ，， bb11<1<1 ，趋势值逐渐降低到以，趋势值逐渐降低到以 00 为极为极

限限

tt bbY 10ˆ tt bbY 10ˆ

13 - 13 - 1111




指数曲线指数曲线((aa ，， b b 的求解方法的求解方法 ) )

210

10

lglglg

lglglg

tbtbYt

tbbnY

210

10

lglglg

lglglg

tbtbYt

tbbnY

1.1. 采取“线性化”手段将其化为对数直线形式采取“线性化”手段将其化为对数直线形式2.2. 根据最小二乘法，得到求解根据最小二乘法，得到求解 lglgbb00 、、 lglgbb11 的的

标准方程为标准方程为

3.3. 求出求出 lglgbb00 和和 lglgbb11 后，再取其反对数，即得后，再取其反对数，即得算术形式的算术形式的 bb00 和和 bb11

13 - 13 - 1212




指数曲线指数曲线(( 例题分析例题分析 ) )

【【例例】】根据轿车产量数据，确定指数曲线方程，计根据轿车产量数据，确定指数曲线方程，计算出各期的预测值和预测误差，预测算出各期的预测值和预测误差，预测 20052005 年的轿年的轿车产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图车产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较形进行比较 1.1. 指数曲线指数曲线趋势方程趋势方程：：

2.2. 预测的估计预测的估计标准误差标准误差：：

3.3. 20052005 年轿车产量的年轿车产量的预测值预测值

303Ys 303Ys

ttY 27286.174637.5ˆ

82.27227286.174637.5ˆ 162005 Y

13 - 13 - 1313




指数曲线指数曲线 (( 例题分析例题分析 ))

0

50

100

150

200

250

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

年份

()

轿车产量万辆

轿车产量

预测值

13 - 13 - 1414




指数曲线与直线的比较指数曲线与直线的比较

1.1. 比一般的趋势直线有着更广泛的应用比一般的趋势直线有着更广泛的应用2.2. 可以反应现象的相对发展变化程度可以反应现象的相对发展变化程度

上例中，上例中， bb11=1.27286=1.27286 表示表示 1990—20041990—2004 年年轿车产量的年平均增长率为轿车产量的年平均增长率为 27.286%27.286%

3.3. 不同序列的指数曲线可以进行比较不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度比较分析相对增长程度

13 - 13 - 1515




1.1. 在一般指数曲线的方程上增加一个常数项在一般指数曲线的方程上增加一个常数项 KK2.2. 一般形式为一般形式为

修正指数曲线修正指数曲线(modified exponential curve) (modified exponential curve)

KK ，， bb00 ，， bb11 为为待定系数待定系数 K K > 0> 0 ，， bb00 ≠ 0≠ 0 ，， 0 < 0 < bb11 ≠ 1≠ 1

3.3. 用于描述的现象：初期增长迅速，随后用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以增长率逐渐降低，最终则以 KK 为增长极为增长极限限

tt bbKY 10ˆ tt bbKY 10ˆ

13 - 13 - 1616




修正指数曲线修正指数曲线(( 求求解解 kk ，， bb00 ，， bb11 的三和的三和法法 ))

1.1. 趋势值趋势值 KK 无法事先确定时采用无法事先确定时采用

2.2. 将时间序列观察值等分为三个部分，每部将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有分有 mm 个时期个时期

3.3. 令预测值的三个局部总和分别等于原序列令预测值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和观察值的三个局部总和

13 - 13 - 1717




修正指数曲线修正指数曲线(( 求求解解 kk ，， bb00 ，， bb11 的三和的三和法法 ))

2.2. 根据三和法求得根据三和法求得

1.1. 设观察值的三设观察值的三个局部总和分别为个局部总和分别为 SS11 ，， SS22 ，， SS33

m

mtt

m

mtt

m

tt YSYSYS

3

123

2

12

11 ,,

m

mtt

m

mtt

m

tt YSYSYS

3

123

2

12

11 ,,

1

11

1

1

1

1101

2

11

1120

1

12

231

b

bbbS

mK

bb

bSSb

SS

SSb

m

m

m

1

11

1

1

1

1101

2

11

1120

1

12

231

b

bbbS

mK

bb

bSSb

SS

SSb

m

m

m

13 - 13 - 1818




修正指数曲线修正指数曲线(( 例题分析例题分析 ) )

【【例例】】我国我国 1990—21990—2004004 年城镇新建住宅年城镇新建住宅面积数据如右表所示面积数据如右表所示。试确定修正指数曲。试确定修正指数曲线方程，计算出各期线方程，计算出各期的预测值和预测误差的预测值和预测误差，预测，预测 20052005 年的城年的城镇新建住宅面积，并镇新建住宅面积，并将原序列和各期的预将原序列和各期的预测值序列绘制成图形测值序列绘制成图形进行比较进行比较

13 - 13 - 1919




修正指数曲线修正指数曲线(( 例题分析例题分析 ) )

13 - 13 - 2020




修正指数曲线修正指数曲线 (( 例题分析例题分析 ) )

解得解得 KK ，， bb00 ，， bb11 如下如下

2344.819229.0

)19229.0(9229.01979.770.12

5

1

1979.719229.09229.0

19229.070.1211.22

9229.070.1211.22

11.2241.28

5

25

5

1

K

a

b

13 - 13 - 2121





新建住宅面积的新建住宅面积的修正指数曲线方程修正指数曲线方程

20052005 年的年的预测值预测值

预测的估计预测的估计标准误差标准误差31.0Ys 31.0Ys

ttY 9229.01979.72344.8ˆ

24.69229.01979.72344.8ˆ 16 tY

13 - 13 - 2222





0

2

4

6

8

10

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

年份

()

新建住宅面积亿平方米

新建住宅面积

预测值

K=8. 2344

13 - 13 - 2323




1.1. 以英国统计学家和数学家以英国统计学家和数学家 B·Gompertz B·Gompertz 的名字而命的名字而命名名

2.2. 一般形式为一般形式为

Gompertz Gompertz 曲线曲线(Gompertz curve) (Gompertz curve)

3.3. 描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线线

4.4. 两端都有渐近线，上渐近线为两端都有渐近线，上渐近线为 YYKK,, 下渐近线为下渐近线为 YY== 0 0

KK ，， bb00 ，， bb11 为待定系数为待定系数 K K > 0> 0 ，， 0 < 0 < bb00 ≠ 1≠ 1 ，， 0 < 0 < bb11 ≠ 1 ≠ 1

tbt KbY 1

0ˆ

tbt KbY 1

0ˆ

13 - 13 - 2424




Gompertz Gompertz 曲线曲线(( 求求解解 kk ，， bb00 ，， bb11 的三和的三和法法 ))

2.2. 仿照修正仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出指数曲线的常数确定方法，求出 lg lg bb00 、、 lg lg KK 、、bb11

3.3. 取取 lg lg bb00 、、 lg lg K K 的反对数求得的反对数求得 bb00 和和 KK

则则有：有：

01

111

2

11

1120

1

12

231

lg1

11lg

1

1lg

bb

bbS

mK

bb

bSSb

SS

SSb

m

m

m

01

111

2

11

1120

1

12

231

lg1

11lg

1

1lg

bb

bbS

mK

bb

bSSb

SS

SSb

m

m

m

tt bbKY 10 )(lglgˆlg tt bbKY 10 )(lglgˆlg 1.1. 将将其改写为对数形式：其改写为对数形式：

m

mtt

m

mtt

m

tt YSYSYS

3

123

2

12

11 lg,lg,lg

m

mtt

m

mtt

m

tt YSYSYS

3

123

2

12

11 lg,lg,lg令：令：

13 - 13 - 2525




Gompertz Gompertz 曲线曲线(( 例题分析例题分析 ) )

【【例例】】我国我国 1990—21990—2004004 年城镇新建住宅年城镇新建住宅面积数据如右表所示面积数据如右表所示。试确定修正指数曲。试确定修正指数曲线方程，计算出各期线方程，计算出各期的预测值和预测误差的预测值和预测误差，预测，预测 20052005 年的城年的城镇新建住宅面积，并镇新建住宅面积，并将原序列和各期的预将原序列和各期的预测值序列绘制成图形测值序列绘制成图形进行比较进行比较

13 - 13 - 2626




Gompertz Gompertz 曲线曲线(( 例题分析例题分析 ) )

13 - 13 - 2727




Gompertz Gompertz 曲线曲线 (( 例题分析例题分析 ) )

846991.0721926.01852283.0

)1852283.0(852283.0942778.1

5

1lg

721926.0)1852283.0(852283.0

1852283.0)942778.1204173.3(lg

852283.0942778.1204173.3

204173.3771416.3

5

250

5

1

1

K

b

b

Gompertz Gompertz 曲线计算过程曲线计算过程

13 - 13 - 2828





新建住宅面积的新建住宅面积的 GompertzGompertz 曲线方程曲线方程

20052005 年的年的预测值预测值

预测的估计预测的估计标准误差标准误差30.0Ys 30.0Ys

t

tY 030578.7189703.0852283.0ˆ

18.6189703.0852283.0ˆ 16030578.7 tY

13 - 13 - 2929





0

2

4

6

81990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

年份

()

新建住宅面积亿平方米

新建住宅面积

预测值

K=7. 030578

13 - 13 - 3030




1.1. 有些现象的变化形态比较复杂，它们不是按照某种有些现象的变化形态比较复杂，它们不是按照某种固定的形态变化，而是有升有降，在变化过程中可固定的形态变化，而是有升有降，在变化过程中可能有几个拐点。这时就需要拟合多项式函数能有几个拐点。这时就需要拟合多项式函数

2.2. 当只有一个拐点时，可以拟合二阶曲线，即抛物线；当只有一个拐点时，可以拟合二阶曲线，即抛物线；当有两个拐点时，需要拟合三阶曲线；当有当有两个拐点时，需要拟合三阶曲线；当有 k-1k-1 个拐个拐点时，需要拟合点时，需要拟合 kk 阶曲线阶曲线

3.3. kk 阶曲线函数的一般形式为阶曲线函数的一般形式为

4.4. 线性化后，根线性化后，根据最小二乘法求据最小二乘法求

多阶曲线多阶曲线

kkt tbtbtbbY 2

210ˆ

kbbbb ,,,, 210

13 - 13 - 3131




多阶曲线多阶曲线(( 例题分析例题分析 ) )

【【例例】】根据的金属切削机床产量数据，拟合适当的趋势根据的金属切削机床产量数据，拟合适当的趋势曲线，计算出各期的预测值和预测误差，预测曲线，计算出各期的预测值和预测误差，预测 20052005 年年的金属切削机床产量，并将原序列和各期的预测值序列的金属切削机床产量，并将原序列和各期的预测值序列绘制成图形进行比较绘制成图形进行比较 1.1. 三阶曲线三阶曲线方程方程：：

2.2. 20052005 年的年的预测预测值值

3.3. 预测的估计预测的估计标准误差标准误差：： 33.3Ys 33.3Ys

32 0605.02448.12507.75360.8ˆ tttYt

69.53160605.0162448.1162507.75360.8ˆ 322005 Y

13 - 13 - 3232




多阶曲线多阶曲线(( 例题分析例题分析 ))

0

10

20

30

40

50

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

年份

()

机床产量万台

金属切削机床产量

预测值

13 - 13 - 3333




趋势线的选择趋势线的选择

1.1. 观察散点图观察散点图2.2. 根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线

一次差大体相同，配合直线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合对数一次差的环比值大体相同，配合 GompertzGompertz 曲线曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合倒数一次差的环比值大体相同，配合 LogisticLogistic 曲线曲线

3. 3. 比较估计标准误差比较估计标准误差

13 - 13 - 3434




1313.6 .6 复合型序列的分解预测复合型序列的分解预测

13.6.1 13.6.1 确定并分离季节成分确定并分离季节成分13.6.2 13.6.2 建立预测模型并进行预测建立预测模型并进行预测13.6.3 13.6.3 计算最后的预测值计算最后的预测值

13 - 13 - 3535




预测步骤预测步骤

1.1. 确定并分离季节成分确定并分离季节成分计算季节指数，以确定时间序列中的季节成分计算季节指数，以确定时间序列中的季节成分将季节成分从时间序列中分离出去，即用每一个观将季节成分从时间序列中分离出去，即用每一个观

测值除以相应的季节指数，以消除季节性测值除以相应的季节指数，以消除季节性2.2. 建立预测模型并进行预测建立预测模型并进行预测

对消除季节成分的序列建立适当的预测模型，并根对消除季节成分的序列建立适当的预测模型，并根据这一模型进行预测据这一模型进行预测

3.3. 计算出最后的预测值计算出最后的预测值用预测值乘以相应的季节指数，得到最终的预测值用预测值乘以相应的季节指数，得到最终的预测值

13 - 13 - 3636




确定并分离季节成分确定并分离季节成分

13 - 13 - 3737




季节指数季节指数((例题分析例题分析 ))

【例】【例】下表是一家啤酒生产企业下表是一家啤酒生产企业 20002000——20052005 年各季年各季度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节指数度的啤酒销售量数据。试计算各季的季节指数

BEER

朝日朝日

BEER

朝日朝日

BEER

朝日朝日

13 - 13 - 3838




图形描述图形描述

0

10

20

30

40

50

602000/ 1

2 3 4

2001/ 1

2 3 4

2002/ 1

2 3 4

2003/ 1

2 3 4

2004/ 1

2 3 4

2005/ 1

2 3 4

年间

销售量

13 - 13 - 3939




计算季节指数计算季节指数((seasonal indexseasonal index))

1.1. 刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征刻画序列在一个年度内各月或季的典型季节特征2.2. 以其平均数等于以其平均数等于 100%100% 为条件而构成为条件而构成3.3. 反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小反映某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小4.4. 如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数

应等于应等于 100%100%

5.5. 季节变动的程度是根据各季节指数与其平均数季节变动的程度是根据各季节指数与其平均数 (100(100%)%) 的偏差程度来测定的偏差程度来测定如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各

期的季节指数应大于或小于期的季节指数应大于或小于 100%100%

13 - 13 - 4040




季节指数季节指数(( 计算步骤计算步骤 ))

1.1. 计算移动平均值计算移动平均值 (( 季度数据采用季度数据采用 44 项移动平均，月份数项移动平均，月份数据采用据采用 1212 项移动平均项移动平均 )) ，并将其结果进行“中心化”处，并将其结果进行“中心化”处理理将移动平均的结果再进行一次将移动平均的结果再进行一次 22 项的移动平均，即得出“中心化项的移动平均，即得出“中心化

移动平均值”移动平均值” ((CMACMA))

2.2. 计算移动平均的比值，也称为季节比率计算移动平均的比值，也称为季节比率将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，然后再计算出将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，然后再计算出

各比值的季度各比值的季度 (( 或月份或月份 )) 平均值，即季节指数平均值，即季节指数

3.3. 季节指数调整季节指数调整各季节指数的平均数应等于各季节指数的平均数应等于 11 或或 100%100% ，若根据第，若根据第 22 步计算的季步计算的季

节比率的平均值不等于节比率的平均值不等于 11 时，则需要进行调整时，则需要进行调整具体方法是：将第具体方法是：将第 22步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平

均值均值

13 - 13 - 4141





13 - 13 - 4242





13 - 13 - 4343





啤酒销售量的季节变动

0. 50

0. 80

1. 10

1. 40

1 2 3 4季度

季节指数

13 - 13 - 4444




分离季节因素分离季节因素

1.1. 将原时间序列除以相应的季节指数将原时间序列除以相应的季节指数

2.2. 季节因素分离后的序列反映了在没有季节季节因素分离后的序列反映了在没有季节因素影响的情况下时间序列的变化形态因素影响的情况下时间序列的变化形态

ITS

IST

S

Y

IT

S

IST

S

Y

13 - 13 - 4545




季节性及其分离图季节性及其分离图

0

15

30

45

60

/年季度

啤酒销售量

(Y)啤酒销售量

(Y/ S)季节分离后的序列

预测值

13 - 13 - 4646




建立预测模型并进行预测建立预测模型并进行预测

13 - 13 - 4747




线性趋势模型及预测线性趋势模型及预测

1.1. 根据分离季节性因素的序列确定线性趋势根据分离季节性因素的序列确定线性趋势方程方程

2.2. 根据趋势方程进行预测根据趋势方程进行预测该预测值不含季节性因素，即在没有季节因该预测值不含季节性因素，即在没有季节因

素影响情况下的预测值素影响情况下的预测值

3.3. 计算最终的预测值计算最终的预测值将回归预测值乘以相应的季节指数将回归预测值乘以相应的季节指数

tYt 5592.06067.30ˆ tYt 5592.06067.30ˆ

13 - 13 - 4848




线性趋势预测和最终预测值线性趋势预测和最终预测值((例题分析例题分析 ))

13 - 13 - 4949




20062006 年预测值年预测值((例题分析例题分析 ))

13 - 13 - 5050




实际值和最终预测值图实际值和最终预测值图

0

10

20

30

40

50

60

702000/1 3

2001/1 3

2002/1 3

2003/1 3

2004/1 3

2005/1 3

2006/1 3

时间

销售量

实际值

最终预测值

13 - 13 - 5151




本章小节本章小节

1.1. 时间序列的分解时间序列的分解2.2. 时间序列的描述性分析时间序列的描述性分析3.3. 时间序列的预测程序时间序列的预测程序4.4. 平稳序列的预测平稳序列的预测5.5. 有趋势序列的分析和预测有趋势序列的分析和预测6.6. 复合型序列的分解预测复合型序列的分解预测

结束

kk

13 .5 趋势型序列的预测

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