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13 고유값

13.1 수학적 배경13.2 물리적 배경13.3 다항식 방법13.4 멱 방법13.5 MATLAB 함수: eig

Applied Numerical Methods

13장 고유값

고유값 또는 특성값 문제

진동과 탄성을 수반하는 공학 분야에서 흔히

마주치는 문제

선형미분방정식과 통계학을 포함하는 광범위한

영역에서도 이용

장 고유값13


13.1 수학적 배경 (1/2)

선형 대수방정식 문제

비동차 시스템

→ 시스템이 선형 독립이면, 즉 행렬식이 0이 아니면

유일한 해가 존재

동차 선형대수방정식을 고려하자.

→ 당연한(쓸데없는) 해: 모든 x = 0

→ 유용한 해가 존재하더라도 유일하지 않음

⇒여러 조합의 값들을 만족하는 x 사이의 관계식 제공

}{}]{[ bxA =

0}]{[ =xA

장 고유값13


13.1 수학적 배경 (2/2)

고유값 문제의 일반적인 형태는 다음과 같다.

→ 간략한 표현

유용한 해를 얻기 위해서- 행렬식 = 0 → 고유값 λ를 결정- 특성다항식(다항식 방법) → 고유벡터 {x}를 결정

0)λ(

0 )λ( 0 )λ(

2211

2222121

1212111

=−+++

=++−+=+++−

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

[ ] 0}{λ[I]][ =− xA

[ ]λ[I]][ −A

여기서 λ = 고유값 또는 특성값

{x}= 고유벡터

장 고유값13


13.2 물리적 배경 (1/3)

물리적으로 어떤 문제에서 고유값이 필요한가?

질량-스프링 시스템을 고려하자.

가정 각 질량에 외력이나 감쇠력이 없음

각 스프링의 최초 길이는 l 이고 스프링 상수는 k 로 동일함

각 스프링의 정적 평형위치에 대한 상대 변위를 측정함

평형위치에서 벗어난 질량의 위치는

스프링에 힘을 생성시켜 질량을 놓을

때 진동이 발생함.

장 고유값13


13.2 물리적 배경 (2/3)

각 질량에 대해 Newton 제2법칙을 적용하면

항들을 모아서 정리하면

)( 12121

2

1 xxkkxdt

xdm −+−=

21222

2

2 )( kxxxkdt

xdm −−−=

0)2( 2121

2

1 =+−− xxkdt

xdm

0)2( 2122

2

2 =−− xxkdt

xdm

여기서 xi = 질량 i의 변위

장 고유값13


13.2 물리적 배경 (3/3)

진동이론에서

방정식에 를 대입하면

⇒ 고유값 문제 → 2자유도계 시스템의 2개의 고유값 (ω2)

→ 미지수 X와 유일한 관계: 고유벡터

여기서 Xi =질량 i의 진폭

ω = 2π/Tp = 진동수

Tp = 주기

)sin( tXx ii ω=

)sin(2 tXx ii ωω−=′′

02

0 2

22

21

1

21

12

1

=

ω−+−

=−

ω−

Xm

kXmk

XmkX

mk

장 고유값13


13.3 다항식 방법

특성방정식을 생성하는 행렬식을 전개하는 것

다항식의 근을 구함

장 고유값13


예제 13.1 (다항식 방법) (1/4)

Q. 다음 식의 고유값과 고유벡터를

m1 = m2 = 40 kg 이고 k = 200 N/m인 경우에

대해 구하라.

02

0 2

22

21

1

21

12

1

=

ω−+−

=−

ω−

Xm

kXmk

XmkX

mk

장 고유값13


예제 13.1 (다항식 방법) (2/4)

풀이)

이 시스템의 행렬식은

→ ω2 = 15 와 5 s-2 → ω = 3.873 과 2.236 s-1 →Tp = 1.62 와 2.81 s

고유값(예를 들어 ω2 = 15 s-2)를 대입하면

→ X1 = –X2

→ 두 번째 질량의 진폭은 첫 번째 질량의 진폭과 크기는 같고 방향이 반대

ω2 = 5 s-2 인 경우 → X1 = X2

→ 두 번째 질량의 진폭은 첫 번째 질량의 진폭과 크기와 방향이 모두 같음

( )( ) 0105

05 10

22

1

212

=ω−+−=−ω−

XXXX

07520)( 222 =+ω−ω

( )( ) 015105

05 1510

21

21

=−+−=−−

XXXX

장 고유값13


예제13.1(다항식 방법) (3/4)

벽 사이에 세 개의 스프링으로 연결된 두 질량에 대한 진동의 주요 모드.

장 고유값13


예제 13.1 (다항식 방법) (4/4)

>> A = [10 -5; -5 10];

>> p = poly(A)

장 고유값13


예제 13.1 (다항식 방법) (4/4)

>> A = [10 -5; -5 10];

>> p = poly(A)

p =

1 -20 75

장 고유값13


예제 13.1 (다항식 방법) (4/4)

>> A = [10 -5; -5 10];

>> p = poly(A)

p =

1 -20 75

>> roots(p)

장 고유값13


예제 13.1 (다항식 방법) (4/4)

>> A = [10 -5; -5 10];

>> p = poly(A)

p =

1 -20 75

>> roots(p)

ans =

15

5

장 고유값13


13.4 멱 방법

가장 크거나 지배적인 고유값을 구하기 위해사용되는 반복법

가장 작은 고유값을 구하는 데에도 적용이 가능

멱 방법을 적용하기 위해 방정식을 다음과 같다.

}{}]{[ xxA λ=

장 고유값13


예제 13.2 (멱 방법을 이용한 최대 고유값의 결정) (1/4)

Q. 벽 사이에 3개의 질량과 4개의 스프링이 놓여있는 시스템의방정식을 다음과 같이 유도할 수 있다.

모든 질량이 m = 1 kg 이고 모든 스프링상수가 k = 20 N/m인경우에 식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 고유값 λ는 각 진동수의 제곱인 ω2이다. 멱 방법을 사용하여 최대 고유값과 그에 해당하는 고유벡터를 구한다.

02

0 2

0 2

32

32

3

32

22

21

1

21

12

1

=

−+−

=−

−+−

=−

−

Xm

kXmk

XmkX

mkX

mk

XmkX

mk

ω

ω

ω

0][λ4020020402002040

=−

−−−

−I

장 고유값13



풀이)

정리하면

첫 번째 가정으로 좌변에 있는 모든 X를 1(초기값)로 놓는다.

우변의 최대 값(20)을 1이 되도록 정규화한다.

→ 첫 번째 고유값의 추정 = 정규화에 사용된 값인 20

→ 그에 해당하는 고유벡터는

332

2321

121

λ4020λ204020λ2040

XXXXXXXXXX

=+−=−+−=−

20)1(40)1(200)1(20)1(40)1(2020)1(20)1(40

=+−=−+−=−

=

101

2020020

T101

장 고유값13



간략히 표현하면

그 다음 반복을 위해 예측한 고유백터인 를 곱한다.

→ 두 번째 고유값의 추정 = 40

→

세 번째 반복:

→ 세 번째 고유값의 추정 = –80, 그리고 (부호가 변해서 커짐)

=

=

−−−

−

101

2020020

111

4020020402002040

T101

−=

−=

−−−

−

11

140

4040

40

101

4020020402002040

%50%10040

2040=×

−=εa

−

−−=

−=

−

−−−

−

75.01

75.080

6080

60

11

1

4020020402002040

%150=εa

장 고유값13



네 번째 반복:

→ 네 번째 고유값의 추정 = 70, 그리고 (부호가 변해서 커짐)

다섯 번째 반복:

→ 다섯 번째 고유값의 추정 = 68.5714, 그리고

→ 고유값이 수렴된다.

→ 여러 번 반복이 필요하다.

→ 고유값은 68.28427로 수렴되며,

그때의 고유벡터는

−

−=

−

−=

−

−

−−−

−

71429.0171429.0

7050

7050

75.01

75.0

4020020402002040

%214=εa

−

−=

−

−=

−

−

−−−

−

70833.0170833.0

5714.685714.48

5714.685714.48

71429.0171429.0

4020020402002040

%08.2=εa

T707107.01707107.0 −−

장 고유값13


13.5 MATLAB 함수: eig

MATLAB 함수: eig

e = eig(A)

여기서 = 정방행렬 A의 고유값을 나타내는 벡터

[V, D] = eig(A)

여기서 D = 고유값을 대각원소로 갖는 대각행렬

V = 각 열이 고유벡터로 구성된 행렬

장 고유값13


예제 13.3 (MATLAB을 이용한 고유값과 고유벡터의 결정) (1/3)

Q. MATLAB을 이용하여 예제 20.2에서 다룬 시스템의 고유값과

고유벡터를 구하라.

풀이)

해석 대상인 행렬:

−−−

−

4020020402002040

장 고유값13



>> A = [40 -20 0; -20 40 -20; 0 -20 40];

>> e = eig(A) % To obtain only eigenvalues

장 고유값13



>> A = [40 -20 0; -20 40 -20; 0 -20 40];

>> e = eig(A) % To obtain only eigenvalues

e =

11.7157

40.0000

68.2843 → 최대 고유값

장 고유값13



% 고유값과 고유벡터를 모두 얻기 위해서는 다음과 같이 입력한다.

>> [v, d] = eig(A)

장 고유값13



% 고유값과 고유벡터를 모두 얻기 위해서는 다음과 같이 입력한다.

>> [v, d] = eig(A)

v =

0.5000 -0.7071 -0.5000

0.7071 -0.0000 0.7071

0.5000 0.7071 -0.5000

d =

11.7157 0 0

0 40.0000 0

0 0 68.2843

장 고유값13

13 고유값 - pusan national...

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