Avec le soutien et la participation : - de l'Institut Universitaire de Formation des Maîtres et

du Rectorat de Reims, - de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public,

- des Conseils Généraux des départements des Ardennes, de l'Aube, de la Marne et de la Haute-Marne, - du Conseil Régional de la Région Champagne-Ardenne.

13 mai 2009 FINALE

Le Rallye est organisé par l'IREM de REIMS (Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques)

Adresse : I.U.F.M. de Reims, 23 rue Clément Ader 51685 REIMS CEDEX 2

Direction : Agnès LENFANT

Responsable académique : Fabien Emprin

Les responsables départementaux sont en caractères gras

ARDENNES

Perrine BAZIN Collège Roger Salengro de Charleville-Mézières

Régis DEBARGE Lycée hôtelier de Bazeilles et I.U.F.M. de REIMS

Noël DEBARLE Lycée Sévigné de Charleville-Mézières

Fabrice FELLER Lycée Monge de Charleville-Mézières 2 avenue de Saint Julien, 08000 Charleville-Mézières

Laurent GADRE Lycée P. Bayle de Sedan

AUBE

Arnaud GAZAGNES Lycée Marie de Champagne de Troyes

Jean-Louis GERARD Collège Paul Langevin de Sainte-Savine 14 avenue Gabriel Thierry, 10300 Ste Savine

Pascal GUIRONNET Collège Albert Camus de La Chapelle Saint Luc

Fabienne MIRAMAND Collège Marie Curie de Troyes

Christine OUDIN Lycée Camille Claudel de Troyes

MARNE

Fabien EMPRIN I.U.F.M. de Châlons en Champagne

Valérie MATHAUX Lycée Pierre Bayen de Châlons en Champagne

Nicolas RIO Collège Perrot d’Ablancourt de Châlons en Champagne

Stéphane ROEBROECK Lycée Jean Talon de Châlons en Champagne 105 avenue Daniel Simonnot, 51037 Châlons-en-champagne

Wilfrid TETARD Collège Jean-Baptiste Drouet de Sainte-Ménehould

HAUTE-MARNE

Françoise BERTRAND Collège Les Franchises de Langres

Anne–Gaëlle BOUQUET Collège Les Franchises de Langres

Stéphane MONDON Lycée Charles de Gaulle de Chaumont route de Neuilly, BP 2067, 52903 Chaumont cedex 09

Karl SKORNIK Lycée Charles de Gaulle de Chaumont

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 11 : (����) Entoure en rouge le point S :

N° 12 : (�����)

On doit acheter ............ tickets. Le bénéfice sera alors de ........................ €.

--------Fin des réponses pour les Quatrièmes------

N° 13 : (�����) La note minimale que je dois obtenir au quatrième devoir est : ............

----------Fin des réponses pour les Troisièmes------------

N° 14 : (������) Indique par une croix la couleur de chaque lettre : F I N A L E D U R A L L Y E

Magenta

Cyan

Jaune

Bleu

Vert

Rouge

N° 15 : (������) Au mètre près, le rat doit parcourir ......... m.

Solution : 1 2 3 4 5 6

Bouteille

Magnum

Jéroboam

Réhoboam

Mathusalem

Salmanazar

Balthazar

N° 9 : (���) Pour chacune des 6 solutions, mets une croix en face de chaque

récipient utilisé :

Nabuchodonosor

1er 6ème 3ème

2ème 8

5ème

N° 10 : (����) Complète soigneusement le tableau : ------Fin des réponses pour les Cinquièmes-----

4ème

A B

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

RMCAN 2009 Feuille réponse Finale

Etablissement : ……………………………. Classe : ……

N° 1 : (�) Complète soigneusement la grille : N° 2 : (�) Au total, il faut ............ mL de colle. N° 3 : (�) Daffy doit pêcher ............ canards jaunes et ............ canards noirs. N° 4 : (��) Julia s’est arrêtée à ............ cm du socle. .

N° 5 : (��) Au minimum, il va devoir couper ............ fois le tasseau.

N° 6 : (��) Il y a ............ tricheurs qui ont copié sur Morpheus.

N° 7 : (���) Mets une croix rouge dans les portions de rues qui peuvent être coupées simultanément : N° 8 : (���) Au maximum, il y a ............ billes enfermées dans l’immeuble.

------Fin des réponses pour les Sixièmes-------

2 2

1 3 2

1 1 2

3 2 1

1 2 2

1 1

Questions subsidiaires à remplir par toutes les classes :

a) Quel est le nombre de vos réponses exactes ? ……….

b) Le nombre total de classes ayant participé à la demi-finale dans l’académie est : …………………….

Rue Bric

Rue Meur

Rue Minan

Rue Béol

Rue Ralle

Rue Tila

n

Rue Bicon

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 1 : Le Soduko… (����)

On avait inscrit dans chaque ligne et chaque colonne exactement deux fois les chiffres 1, 2 et 3. Depuis, certains chiffres ont été effacés.

Retrouve la grille de départ.

2 2

1 3 2

1 1 2

3 2 1

1 2 2

1 1

C’est le robot que Freddy avait mis au point pour gagner le Rallye Math...

Le problème, c’est qu’il ne savait compter que jusqu’à 2.

Alors, quand il a vu un « 3 »...

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 2 : Just another brick in the wall ! (����)

Pour faire comme son papa maçon, Roger veut, lui aussi, construire un mur.

Il a récupéré un jeu constitué de 80 briques toutes identiques et

veut réaliser avec celles-ci un mur de 10 briques de long sur 8 de haut. Plutôt que d’utiliser du ciment, il a décidé pour assembler deux briques de mettre entre elles 1 mL de colle « Scotch-Brique». Il utilise de même

1 mL de cette colle pour fixer chaque brique de la première couche avec le « sol ».

Combien de colle faut-il ?

Sur ce dessin, on a représenté un mur de 5 briques de long sur 4 de haut.

s

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 15 : Le chat, l’ours et le rat… (������������������������)

Au lycée La Fontaine, un rat fort affamé au début du week-end se trouva enfermé. Au point A il se trouve et il sait qu’au point B un morceau de chaource a été déposé. Le lycée est fermé et le pauvre animal devra le contourner. Il a vraiment la dalle !

Mais vous allez moins rire : quelle distance minimale

devra-t-il parcourir pour calmer sa fringale ?

Indication : Le lycée a la forme d’un hexagone régulier.

20 m 15 m 10 m

Lycée

Cour du Lycée

A B

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 14 : Ralléidoscope ! (������������������������)

Pour la finale du Rallye, Fabien veut imprimer la banderole suivante avec son imprimante personnelle :

Mais il n’a plus d’encre noire, et pour le reste, ce n’est guère mieux ! Sa cartouche d’encre « Jaune » peut encore imprimer 5 lettres,

sa cartouche « Magenta » 4 lettres et demie et sa cartouche « Cyan » 4 lettres et demie. En mélangeant à parts égales du jaune et du magenta, on obtient du rouge ; en mélangeant du magenta et du cyan, on obtient du bleu ; enfin,

en mélangeant du jaune et du cyan, on obtient du vert. Fabien veut que chaque lettre soit entièrement d’une de ces six

couleurs (magenta, jaune, cyan, bleu, vert ou rouge). Mais surtout, il veut que deux lettres qui se suivent, non seulement ne soient pas de

la même couleur, mais n’utilisent pas non plus la même composante. Par exemple, une lettre « cyan » ne pourra bien sûr pas suivre

une lettre « cyan », mais pas non plus une lettre verte car le vert contient du cyan. Une lettre rouge et une lettre bleue ne pourront pas

se toucher car le rouge et le bleu contiennent tous les deux du magenta. Retrouve la couleur de chaque lettre, sachant que le premier « L »

sera cyan, le « D » sera bleu, le deuxième « A » sera rouge et le « I » sera vert.

FINALE DU RALLYE

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 3 : Le défi duck… (�)

Donald et Daffy sont à la fête foraine et jouent à la pêche aux canards. Chaque canard jaune rapporte le même nombre entier de points et c’est aussi le cas pour chaque canard noir. Donald pêche 3 canards noirs et 5 canards jaunes. Il obtient ainsi

19 points qui ne lui permettent de gagner qu’un porte-clé ridicule ! Le voyant très déçu, le forain lui propose alors : « Si ton ami arrive à

comptabiliser exactement 21 points avec huit canards, je vous offre un ballon ! »

Donne le détail de la pêche que doit réaliser Daffy.

Enfin, quand même... Personnellement, ça me dérange un peu de devoir pêcher mon cousin Cédric...

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 4 : La coupe n’est pas pleine... (��������)

Avant un concours important, Julia, qui veut se motiver, dessine sur la porte de sa chambre une jolie coupe à partir

du schéma ci-contre. Puis, en utilisant un vieux pot de peinture argentée, elle commence

à peindre la coupe en commençant par le haut. Malheureusement, Julia n’a pas assez de peinture. Elle ne parvient à peindre

que les trois quarts de son dessin, du haut de la coupe jusqu’à une ligne

horizontale située à une certaine distance du socle.

Indique précisément cette distance, en centimètres.

Socle – Socle - Socle

Zut ! Plus de rose... Il ne me reste plus qu’à

finir le visage

en vert...

1 dm

Socle

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 13 : La note fatale ! (��������������������)

Mme Plantet, notre prof de maths, va rendre le quatrième et dernier devoir du trimestre et, comme d’habitude, elle ne mettra que des notes entières sur 20.

Ce trimestre : � J’ai déjà eu deux fois la moyenne mais jamais 20. � Je n’ai eu pour l’instant que des notes qui sont des nombres pairs.

� Le produit de mes trois premières notes est 1 120.

Quelle note minimale dois-je obtenir à ce quatrième devoir pour obtenir la moyenne ce trimestre ?

Et moi, pour avoir la

moyenne, il me faut

37/20 au dernier devoir... C’est pas

gagné...

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 12 : Le rallyonnaire... (��������������������)

Sympa, le nouveau jeu à gratter ! Il coûte 5 €. Mais ce que les gens ne savent pas, c’est que les gains ne doivent rien au hasard : Tous les tickets sont numérotés (1, 2, 3, 4, …) par ordre d’impression. Tous ceux qui portent un numéro pair ne rapportent rien. Parmi ceux qui portent un numéro impair :

� si leur numéro est multiple de 3, ils rapportent 3 € ; � si leur numéro est multiple de 5, ils rapportent 5 € ;

� si leur numéro est multiple de 7, ils rapportent 7 € ; � si leur numéro est à la fois multiple de 3 et 5, de 3 et 7, de 5 et 7 ou de 3, 5 et 7, les gains sont multipliés. Par exemple, un ticket dont le numéro est

multiple à la fois de 5 et 7 rapportera 5 × 7 = 35 €. Un dont le numéro est multiple de 3, 5 et 7 rapportera 3 × 5 × 7 = 105 €.

Le ticket actuellement sur le présentoir est le numéro 80.

Combien, au minimum, doit-on acheter de tickets portant des numéros consécutifs en comptant celui du présentoir pour gagner de l’argent (une fois

déduit le prix d’achat des tickets) et dans ce cas, quel sera le bénéfice ?

Fin des exercices pour le niveau Quatrième

Comment j’en suis arrivée là ? Simple : c’est l’argent que j’ai économisé

en n’achetant jamais de ticket à gratter !

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 5 : La somme, ha ! (��������)

Fabien veut fabriquer les pièces ci–contre, toutes constituées de trois

ou quatre cubes de 5 cm d’arête. Pour cela il achète un tasseau (une barre de bois parallélépipédique) de section carrée de 5 cm et

exactement de la longueur nécessaire. Fabien a d’abord pensé découper les 27 cubes puis les coller comme

il faut, mais il pense à la réflexion pouvoir donner moins de coups de scie s’il ne découpe pas tous les cubes… Ce n’est en effet pas nécessaire puisqu’il va en recoller certains après !

Combien de fois, au minimum, Fabien va–t–il devoir couper ce

tasseau ?

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 6 : Maths’risque ! (��������)

Le cauchemar en cours de maths aujourd’hui ! Le prof était furieux en rendant les devoirs ! Il s’est rendu compte que le quart des élèves de la classe avait copié sur Trinity, le tiers sur Néo

et 5 sur Smith. Quant aux autres copies, elles étaient identiques à celle de Morpheus !

En sachant que ma classe compte entre 25 et 45 élèves, combien ont donc copié sur Morpheus ?

s

Moi, M’sieur, copier sur quelqu’un !? Je vous jure que...

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 11 : Quand t’es dans le désert... (����������������)

Il fait chaud, dans ce désert ! Jean-Patrick doit absolument trouver l’oasis située au point S mais où est-il passé, ce point ? Avant, il était inscrit sur sa carte, de même que les points C, D, E et F, chacun correspondant à une croix, mais avec la transpiration, l’encre s’est effacée ! Jean-Patrick se souvient

seulement que : � Tous les points (A, B, C, D, E, F et S) sont distincts. � Le point C est à moins de 8 km de B et à plus de 10 km de A. � Le point D est plus près de A que de B mais plus près de C que de A. � En partant de E, c’est aussi long de rejoindre le point D que le point A. � Rien ne pourra jamais se trouver à égale distance à la fois de A, de E et de F.

� Le point S est plus près de F que de C mais plus loin de F que C.

Aide Jean-Patrick, qui commence à avoir soif, en plaçant le point S.

A B

0 10 5

Kilomètres

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 10 : Huit clos ! (����������������)

Les chiffres de 1 à 9 sont inscrits dans les cases de la grille suivante. En lisant les lignes de gauche à droite et les colonnes de haut en bas, on obtient 6 nombres à trois chiffres que l’on range dans l’ordre

décroissant. On a indiqué à l’extérieur de la grille le classement obtenu. On connaît la position du chiffre 8 et on sait de plus que la grille donne un carré magique c'est-à-dire que la somme des chiffres inscrits dans

une ligne, une colonne ou une diagonale est identique.

Complète cette grille.

Tu

1er 6ème 3ème

2ème 8

5ème

4ème

Fin des exercices pour le niveau Cinquième

Tu sais ce qu’on va faire, pour gagner du temps ? Moi, je place le 8 et toi le reste...

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 7 : Sans interdit… (������������)

Voici le plan de la ville de Langland où toutes les rues sont en sens unique. Cette ville est continuellement en travaux ce qui oblige la société qui assure le travail à couper des portions de rue (une portion de rue est comprise entre deux intersections). Mais le maire est très exigeant : même pendant les travaux, toute personne qui emprunte une entrée (E) de la ville doit pouvoir utiliser la sortie (S) de son choix.

Au maximum, combien de portions de rues peut-on couper simultanément en respectant la contrainte du maire ? Sur la feuille réponse, tu indiqueras

par une croix les portions de rue bloquées.

Rue Bric Rue Bric Rue Bric Rue Bric Rue Bric

Rue Meur Rue Meur Rue Meur Rue Meur Rue Meur

Rue Minan Rue Minan Rue Minan Rue Minan Rue Minan

Rue Béol

Rue Béol

Rue Béol

Rue Béol

Rue Ralle

Rue R

alle

Rue Ralle

Rue Ralle

Rue Tila

n

Rue Tila

n

Rue Tila

n

Rue Tila

n

E

E

E

E

E

E

E

S

S

SS

S

S S

Rue Bicon

Rue Bicon

Rue Bicon

Rue Bicon

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 8 : Too billes or not too billes ? (������������)

Aymeric a dans sa chambre de nombreux petits cubes transparents.

Certains contiennent une bille :

D’autres non :

Avec ces cubes, il s’amuse à construire des « immeubles ». En voici un ayant 3 cubes de largeur, 3 cubes de hauteur et 3 cubes de profondeur. Comme il en a l’habitude, Aymeric a placé un cube noir sur la face du devant, en haut et à droite.

Attention : vu de devant, voici ce que l’on voit puisque les billes en arrière plan sont cachées par celles qui sont

devant !

Maintenant, Aymeric a construit un nouvel « immeuble » de 4 cubes de largeur, 4 cubes de hauteur et 4 cubes de profondeur et il l’a observé du devant, de droite et du haut. Voilà ce qu’on aperçoit :

Mais combien y a-t-il au maximum de billes enfermées dans

l’ « immeuble » d’Aymeric ?

Du devant : De droite : Du haut :

Vue du haut

Vue de

droite

Vue du

devant

Fin des exercices pour le niveau Sixième

RMCAN 2009 Finale 13/05/2009

IREM de REIMS

N° 9 : Folklore ? Hic ! (������������)

Dans ma cave il y a :

� Une seule bouteille contenant 75 cL ; � un seul magnum contenant l’équivalent de 2 bouteilles ; � un seul jéroboam contenant l’équivalent de 4 bouteilles ; � un seul réhoboam contenant l’équivalent de 6 bouteilles ; � un seul mathusalem contenant l’équivalent de 8 bouteilles ; � un seul salmanazar contenant l’équivalent de 12 bouteilles ; � un seul balthazar contenant l’équivalent de 16 bouteilles ; � un seul nabuchodonosor contenant l’équivalent de 20 bouteilles.

Comment remplir un Melchizédec contenant 30 litres en utilisant des bouteilles de ma cave ? Donne les six réponses possibles.

S’il vous plaît,

Mademoiselle : juste un dernier

petit melchizédec et j’y vais !