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2013/03/23合同練習会解説

問題作成、選択：松永解説、テスター：池谷

問題アルゴリズム難易度（国内予選)

A 実装 A

B 実装 A

C シミュレーション A(Small) / B(Large)

D 幾何、場合分け B

E シミュレーション B

F 幾何、シミュレーション、貪欲 C-‐

G 横型探索(BFS) C-‐

H 動的計画法(DP) C-‐

I バックトラック(DFS) C-‐

J バックトラック/ビットDP C-‐ / C

K 構文解析、再帰 C

L バックトラック C+

総評

総評その2l 第1回ではやさしい幾何がなかったので、第2回では、入れるようにしたそうです l チームに1人くらい、できる人がいると頼もしいですね

l G～Lまでは典型問題なので、わからなかったら復習するといいでしょう l 復習しないと問題が解けないままだと思います

A 温度測定

原案： TopCoder SRM 310 Div 2 Easy

問題概要

l  1分間に1度、気温を測定する装置 l 不正確な測定値が存在する

l 値が-‐273度未満 l 前後2分以内に計測したすべての値との差が2より大きい

l 正しい測定値のみの平均気温を求める l すべて不適切な測定値ならば-‐300.0を出力

解法

1.  i分のときに計測した気温が、適切か不適切かを判断する

l  Boolean型の配列を用意して、i分のときの計測が正しいかどうかを求める

2.  適切な計測値だけで平均を求める l  正しい計測値だけの合計とその個数を求める l  型変換と0で割ることに注意する

ジャッジ解と提出状況

l ジャッジ解 l 松永(Java)50行 l 池谷(Java)51行

l 提出した数：14 l ACしたチーム数：9 l First AC時間：18min

B 成績調査

原案： Codeforces 152Aを改題

問題概要

l N人の学生の、m科目の成績がある l ある科目において、一番高い成績を取った人は「ベストな学生」である

l  1つでもベストである科目がある学生の人数を求める

解法

1.  i番目の学生がベストであるのかどうかを計算する

1.  まずは2次元配列に入力値を格納 2.  各列（縦）に対して、max値を求める 3.  Max値と同じ値を持つならば、booleanの配列にtrueを格納する

2.  最終的にその数を数える


l ジャッジ解 l 松永(C++)32行（マクロ部分含めず） l 池谷(Java)38行


C センサー付きロボット

原案：オリジナル

問題概要

l 2次元平面上に置かれたロボット l F（直進）, R（右）, L（左）の命令 l 壁があると180度回転する l ロボットの最後の位置と、初期位置から最も離れた距離の位置を求める

l （Small）：壁の数が4 l （Large）：壁の数が4以上100以下

考察

l ロボットが距離1しか進まないことと、壁がx軸とy軸に平行であることから、壁にちょうどぶつかる

l つまり、ロボットが進んだ時に、壁の線分上に位置していれば壁にぶつかったと言える

l Largeを解くには、壁にぶつかる判定をどのように実装されるかが要求される

解法（Small, Large）l Small, Large共にシミュレーションしていけばよい l 現在のx, y, 方向、を値に持つ変数を用意 l 命令が来たら、移動or回転して、最も離れている位置であるならば、更新

l 最大距離判定の際に、無理に平方根を取る必要はないです l √を取らずに比較すれば誤差が怖くないです

Small解法l N = 4なので、長方形or正方形

l  minX, minY, maxX, maxYを持っておけばよい

l 壁にぶつかる判定が楽 l  x,y共に、最小値より大きく、最大値より小さければよい

l 逆に考えて、x,yが最小値または最大値であればfalse、としてもよい

Large解法l 入力値は0以上100以下なので、その座標が壁であるかどうかの配列を用意する l  array[y座標][x座標] = 壁かどうか(true or false)

l それとは別に、壁の座標を記録しておき、進んだときに線上に存在するか、という方法でもできます

実装の工夫点とか

l （共通）方向ベクトルを作るといいです l  int [] vx = {0,1,0,-‐1}; //上,右,下,左 l  int [] vy = {1,0,-‐1,0}; l  nextX = x + vx[dir]　って感じで書きます

l C++だとpair<int, int>で座標管理できます


l ジャッジ解 l  (Small)松永(C++)64行 l  (Small)池谷(Java)78行 l  (Large)松永(C++)87行 l  (Large)池谷(Java)90行

l 提出した数 5(small)/ 2(large) l ACしたチーム数：3 / 2 l First AC時間：98min / 99min

D 恋人同士の移動時間

原案： East Central North America 2011 I :Wally World

問題概要

l 平面上の点に2人の恋人がいる l 通過することができない壁が存在する

l 壁は線分でx,yのどちらかに平行

l  1秒間で1m進むことができる l 2人が合うのに必要な最小の時間を求める

サンプル解析

l サンプル1 l サンプル2

(5, 2) (7, 2)

1.00000000

(1, 2) (3, 2) (2, 1)

(2, 100)

1.41421356 = √2

考察と解法

l 2人の速さが同じなので、2人の最短距離の半分が求めたい時間になる l 出会う場所は、距離の半分の場所になる

l 壁がない時は2点の距離が最短距離になる l 2人の間に壁があるならば、壁の端を通るような経路を考えればよい l 壁の端点を通る経路は2通り l  2人の間に壁があるかどうか => 線分と線分の交差判定

線分と線分の交差判定

l ライブラリを公開している人を参考にしてください（割愛します）

l  Javaならば、 Line2D.intersectsLine()というメソッドがあります

l ライブラリを持っていなくとも、2点から直線の式を求めて、壁の座標から判定することは可能です

l 易しい幾何が国内予選で出る可能性はゼロではないので、勉強しましょう


l ジャッジ解 l 松永(C++)61行 l 池谷(Java)39行


E 戦艦ゲーム

原案： GCPC 2012 A: Battleship

問題概要

l 2人のプレーヤーが交互に相手の戦艦を撃沈させていく

l 撃沈させた時、相手の戦艦が残っているならば、自分の順番を続けられる

l 2番目のプレーヤーは全滅してももう一回のターンができる

l ゲームの勝敗を求める

解法

l シミュレーションする l 事前に残り何体あるのか、を計算する l 当たっていれば、もう一回自分のターン、ただし残り個数が0ならターン交代

l 当たっていないならば、ターン交代 l 相手のターン終了時にどちらか一方でも戦艦の個数が0であれば終了する

l 最後に残り個数を判断して勝敗を計算する

実装の工夫点など

l 問題文をしっかりと理解しましょう l 重要な部分には線を引いたり、要約した紙を作るといいでしょう

l 3次元配列で図の状態を持つと楽かもです l  Field[0: 自分, 1:相手][h][w]といった具合

l シミュレーション問題は、ある程度紙にまとめてから書いた方がいいと思います l コーディングしてから失敗に気づく、というのは、結構なロスだと思われます

F 頑固なヌーRick

原案： Asia Taiwan 2004

問題概要

l ヌーが牧草地に向かって移動を繰り返す l 距離D以内で移動しないといけない l FSの方向に最も近い方向の場所を選ぶ

l 最低限FSの方向に直角未満で進まないとダメ

l 方向を変える角度が直角以内でないとダメ

l ヌーが移動した経路を求める

解法

l 経路はただ一つに決まるので、素直にシミュレーションをしていけばよい

l 満たさないといけない条件 l 距離D以内 l  FSの方向に90度以内 l 直前の方向と90度以内

l 最もFSの角度が小さいものを選べばよい l 角度の計算方法が分かればできる

角度の計算

l 内積の公式より、 l v1・v2=|v1||v2|cosθ から式変形して、 l  θ=arccos(v1・v2 / (|v1||v2|))

l C++では、complex型のarg関数で角度計算できるようです

G エレベータの故障

原案： NCPC 2011 D Elevator Trouble

問題概要

l エレベーターに乗って、s階からg階に行く l エレベーターは、上にu階、または、下にd階移動できる

l ボタンを押す最小回数を求める l 無理ならば、”use the stairs”を出力する

解法

l 横型探索をします l 現在の位置と何回ボタンを押したのか、を状態として持って、状態をキューで管理する

l キューがなくなるまで、キューから状態を取得して、新たな状態をキューに入れるという操作を繰り返す

l 重複した状態は、キューに入れる必要なし

l コードを見た方がわかりやすいと思います

H 良い連立政権

原案： BAPC 2012 G: Good Coalision

問題概要

l n個の政党があり、政党ごとに、獲得した議席数と任期を満了できる確率が与えられる

l 政党を連立させ、過半数（=76以上）となるときの最大の任期満了率を求める l 連立させると、議席数は加算され、確率は掛け算となる

解法

l 動的計画法 l dp[i番目までの政党][議席数] = 確率 l 初期値はdp[0][0] = 100.0 l その政党を使うor使わないの2通りの遷移

l 使うなら議席数を加算して、確率を乗算 l 使わないなら議席数、確率はそのままで遷移

l 最終的に議席数が76以上のiにおける、dp[n][i]の最大値を求めればよい

I 彫像

原案： Codeforces #94 Div2 C: Statues

問題概要

l 8×8のチェス盤がある l 左下にいるMariaが右上に到達したい l Mariaの移動は8近傍。彫像のマスには不可 l 彫像はMariaが移動していると同時に1マス下に移動する。一番下のときは消える

l 現在Mariaのマスにいると彫像の勝ち l 右上に進んだらMariaの勝ち l 勝敗を求めよ

解法

l 右上にたどり着ければもちろん勝ち l また、8ターン生き延びれたらMariaの勝ちは必然となる l 彫像は長くても8ターンで消えてしまう l 実質は7ターン目でも大丈夫だと思われる

l つまり、バックトラックをして、右上にたどり着けるor深さ8の所までたどり着ければ勝ちとなる

J アレルギーテスト

原案： NCPC 2009 C Allergic Test

問題概要

l K個のアレルゲンが与えられる l アレルゲンはD日間活性している l 一日に最大1つアレルゲンを与えることができる

l ある日にちのときに、アレルゲンが2つ以上活性化していると検査できない

l テスト計画を実施する最短の日時を求める

サンプル解析

l  k = 3, {2, 2, 2} l  k = 5, {1,4,2,5,2}

答えは5

各アレルゲンごとに最低一日は、単体のテストの日にちを作らないといけない

答えは10

Small解法l バックトラックをして、並び順を全探索する

l 使ってないものを一つ選んで、使ってるものの右側に追加するようなイメージ

l 現在の深さ、次のテストは何日から始めればよいか、現在の合計を引数をして再帰していけばよいです

l 計算量はk! = 9! = 10^5くらい l  LargeだとTLEとなってしまう

Large解法l bitDP[使った集合][重複してもよい日数]

l 使った集合に対して、重複してもよい日数がxのときの最小の日数を求めていく

l 初期状態は0、最終的な状態は(1 << k) -‐ 1 l いわゆる「渡す（飛ばす）DP」で書いた方がわかりやすいと思います

l 計算量はO(k * 8 * 2 ^ k) = 10^ 8くらい

ちょっと高度なお話

l 最小日数が同じ場合であれば、重複してもよい日数が多い方がよいです l 使った集合に対して、最小の日数と、最大の重複してもよい日数を持っているだけでよい

l 計算量はO(k * 2 ^ k) = 10^ 7

重複日数3 重複日数0


l ジャッジ解 l  (Small)池谷(Java)44行 l  (Large)松永(C++)55行 l  (Large)池谷(Java)58行

l 提出した数：2(small)/0(large) l ACしたチーム数：0/0 l First AC時間：-‐-‐/-‐-‐

K 等式

原案：オリジナル

問題概要

l x,y,zの3つの変数を含む式がある。 l 式は足し算と掛け算のみ l 右辺は整数

l 式が成立するような変数の組み合わせは何通りあるか求める

解法

l x,y,zについて1～100までループを回して、構文解析をする

l 掛け算が省略されているので、掛け算の記号を追加して構文解析するといいと思います

l 構文解析の入門的問題はAOJ0109です

L 平面上の蛇

原案： East Central North America 2006 G: Snakes on a Plane

問題概要

l n * mのグリッドがある l 蛇を構成する四角形は1を表す l 蛇は4方向で2つ、1の正方形と接している

l 蛇の頭としっぽは例外

l 最大蛇は、0の正方形を1に変換しても、蛇の長さが変わらない蛇のことである

l 最大蛇の数を求めよ

解法

l 最大蛇でない時の判定 l 蛇の頭またはしっぽのまわりに1を追加する l 追加したマスの周りに、1のマスが1個しかない時、長さが長くできる

l  1のマスの次数が3つ以上1のマスであるとき、蛇ではないので、それも除外する

l 最大蛇でないと確定できたら、違う色に塗りつぶすなどすればいいでしょう



l 提出した数：5 l ACしたチーム数：0 l First AC時間：-‐-‐

お疲れさまでした

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