Radiao Trmica: Aspectos Clssicos e QunticosJovanio Silva dos Santos JniorFundao Universidade Federal de Rondnia, Ncleo de Cincia e Tecnologia, Departamento de Engenharia e Fsica - DENFI Curso de Bacharelado em Engenharia Eltrica - 5o Perodo - Matrcula: 200711760 - Disciplina de Fenmenos de Transporte.

ResumoEste artigo visa a comentar sobre o fenmeno da transferncia de calor por radiao trmica, alm de denir os conceitos de radiao trmica, irradiao, absortividade, reetividade, transmissividade e emissividade, as propriedades do corpo negro, do corpo cinzento e do corpo real. Temas como radiosidade e radio solar tambm pertencem ao foco deste artigo. Alm de todos esses tpicos ser apresentada uma breve noo sobre Fsica Quntica e Mecnica Quntica, para que se possa compreender perfeitamente a natureza da propagao da radiao e como ela interage com a matria. Index TermsRadiao trmica, irradiao, absortividade, reetividade, transmissividade, emissividade, corpo negro, corpo cinzento, corpo real, radiosidade, dualidade onda-partcula, equao de Scrhedinger, efeito Compton, produo e aniquilao de pares, efeito fotoeltrico, ftons de breamsstrahlung, ngulo de Bragg.

de energia direta a apenas possvel entre superfcies que se vem mutuamente. Quando se calcula a taxa de transferncia de calor de uma superfcie envolvida por ar, necessrio que se considere tanto conveco como radiao. Contudo, se a regio que envolve as superfcies estiver no vcuo, ento apenas transferncia de calor por radiao vai ocorrer. A radiao ser o modo dominante de transferncia de calor quando existir um gradiente elevado de temperatura entre a vizinhaa e a superfcie. Se a diferena de temperatura for pequena, a conveco ser o mecanismo principal de transferncia de calor. No caso de existir um gradiente de temperatura moderado entre a vizinhaa e a superfcie, tanto radiao quanto conveco devem ser consideradas. II. O NDAS E LETROMAGNTICAS A Fig. 1 mostra os vetores campo eltrico e campo magntico de uma onda eletromagntica. Os campos eltrico e magntico so perpendiculares um ao outro e perpendiculares direo da propagao da onda. As ondas eletromagnticas so, portanto, ondas transversais. Os campos eltrico e magntico esto em fase, e em cada ponto do espao e em cada instante de tempo seus mdulos esto relacionados por, E = cB, (1)

I. I NTRODUO

O

Estudo da transferncia de calor de extrema importncia na atualidade. Dele depende a compreenso de como funcionam alguns dos dispositivos usados para a melhoria da qualidade de vida (como a garrafa trmica), alm de trazer luz os mecanismos de alguns fenmenos naturais (como a transferncia de calor do Sol para a Terra e a inverso trmica, onde a conveco natural dicultada pela inverso do gradiente de temperatura em funo da altitude necessria para a livre disperso dos solutos do ar que formam a poluio). Existem trs maneiras de ocorrer transferncia de calor. A primeira ocorre a nvel molecular, em que a energia cintica das molculas da matria transferida de molcula a molcula. Este fenmeno denominado conduo. A segunda maneira est associada ao movimento de um uido, sendo denominada conveco. A terceira e ltima forma, objetivo deste artigo, se d por meio de ondas eletromagnticas, e denominada radiao. Diversos fatores devem ser considerados quando se est calculando a taxa de transferncia de energia, j que a radiao trmica um fenmeno ondulatrio. A distribuio de energia que deixa uma superfcie na forma de radiao trmica depende do comprimento de onda. A distribuio espectral da radiao vai depender da temperatura absoluta da superfcie e do acabamento supercial. Quando a radiao trmica atinge uma dada superfcie, a quantidade de energia absorvida vai depender da distribuio espectral da radiao incidente, bem como do acabamento da superfcie. A caracterstica ondulatria da transferncia de energia requer que se considere a orientao geomtrica das superfcies envolvidas no processo de transferncia de calor. Transferncia

em que, c = 1/ 0 0 a velocidade da onda (as constantes 0 e 0 representam a permeabilidade e a permissividade do vcuo, respectivamente). A direo de propagao de uma onda eletromagntica a direo do produto vetorial entre o campo eltrico e o campo magntico.

Figura 1. Os vetores campo eltrico e magntico em uma onda eletromagntica. Os campos esto em fase, perpendiculares um ao outro e perpendiculares direo de propagao da onda.

III. I NTENSIDADE DE R ADIAO A radiao que deixa uma superfcie pode se propagar em todas as direes possveis (Fig. 7), freqentemente est-se

interessado em conhecer a sua distribuio direcional. Tambm, a radiao que incide sobre uma superfcie pode vir de diferentes direes e a maneira pela qual a superfcie responde a essa radiao depende da direo. Tais efeitos direcionais podem ser de principal importncia na determinao da taxa de transferncia de calor radiante lquida e podem ser tratados com a introduo do conceito de intensidade de radiao. A. Denies Matemticas Devido sua natureza, o tratamento matemtico da transferncia de calor por radiao envolve o uso extensivo do sistema de coordenadas esfricas. A partir da Fig. 2(a), pode ser relembrado que o ngulo plano diferencial d denido por uma regio entre os raios de um crculo e medido como a razo entre o comprimento de arco dl sobre o crculo e o raio r do crculo. Analogamente, a partir da Fig. 2(b), o ngulo slido diferencial d denido por uma regio entre os raios de uma esfera e medido como a razo entre a rea dAn sobre a esfera e o quadrado do raio da esfera. Conseqentemente, tem-se, d = dAn . r2 (2)

da qual a radiao passa, corresponde a um ngulo slido diferencial d quando vista de um ponto sobre dA1 . Como mostrado na Fig. 3, a rea dAn um retngulo de dimenses rd x rsen()d; desta forma, dAn = r2 sen()dd. Conseqentemente, tem-se, d = sendd. (3)

Figura 3. O ngulo slido, correspondente a dAn , em um ponto sobre dA1 no sitema de coordenadas esfricas.

Quando vista a partir de um ponto sobre um elemento de rea supercial opaco dA1 , a radiao pode ser emitida em qualquer direo denida por um hemisfrio hipottico sobre a superfcie. O ngulo slido associado ao hemisfrio completo pode ser obtido pela integrao da Eq. 3 entre os limites = 0 at = 2 e = 0 at = /2. Dessa forma,2 /2 /2

d =h 0 0

sendd = 20

send = 2sr, (4)

em que, h se refere integrao no hemisfrio. Devemos notar que a unidade do ngulo slido o esterorradiano (sr), anlogo aos radianos para ngulos planos. IV. R ADIAO T RMICA Vamos considerar um slido que est inicialmente a uma temperatura T , mais alta do que a de sua vizinhana Tviz , mas em torno do qual h vcuo, como mostrado na Fig. 4. A presena do vcuo exclui a perda de energia da superfcie do slido por conduo ou conveco. Entretanto, pela intuio j se pode imaginar que o slido ir se resfriar e entrar em equilbrio trmico com a sua vizinhana. Esse resfriamento associado a uma reduo na energia interna armazenada pelo slido e uma conseqncia direta da emisso da radiao trmica da superfcie. Por sua vez, a superfcie interceptar e absorver a radiao oriunda da vizinhana. Entretanto, se Ts > Tviz a taxa de transferncia de calor por radiao lquida ,qrad,liq , est saindo da superfcie e a superfcie resfriar at que Ts atinja Tviz . Todos os tipos de matria emitem radiao. Para gases e slidos semitransparentes, tais como vidros e cristais de sais a

Figura 2. Denies matemticas. (a) ngulo plano. (b) ngulo slido. (c) Emisso da radiao a partir de uma rea diferencial dA1 para um ngulo slido d subentendido por dAn em um ponto sobre dA1 . (d) O sistema de coordenadas esfricas.

Consideremos a emisso em uma direo particular a partir de um elemento com rea supercial dA1 , como mostrado na Fig. 2(c). A direo pode ser especicada em termos dos ngulos de znite e azimutal, e , respectivamente, de um sistema de coordenadas esfricas (Fig. 2(d)). A rea dAn , atravs

Figura 4.

Resfriamento por radiao de um slido aquecido.

temperaturas elevadas, a emisso um fenmeno volumtrico, conforme ilustrado na Fig. 5. Isto , a radiao proveniente de um volume nito de matria o efeito integrado da emisso local atravs do volume. Contudo, nesse artigo, focouse situaes para as quais a radiao um fenmeno de superfcie. Na maioria dos slidos e lquidos, a radiao emitida das molculas internas fortemente absorvida pelas molculas adjacentes. Assim sendo, a radiao que emitida de um slido ou um lquido se origina das molculas que se encontram a uma distncia na superior a 1 m da superfcie exposta. por esta razo que a emisso de um slido ou um lquido no interior de um gs adjacente ou do vcuo vista como um fenmeno de superfcie. A radiao trmica pode ser associada com a taxa na qual a energia emitida pelo meio como um resultado de sua temperatura nita. O mecanismo da emisso da radiao relacionado energia liberada como resultado das oscilaes ou transies de vrios eltrons que constituem o meio. Essas oscilaes so, por sua vez, mantidas pela energia interna e, portanto, pela temperatura, do meio. Logo, a emisso de radiao trmica foi associada com as condies termicamente excitadas no interior da matria. Toda matria que esteja a uma temperatura absoluta nita vai emitir radiao, devido sua atividade atmica e molecular. A radiao emitida na forma de ondas eletromagnticas e, para a matria em estado de equilbrio, ela est associada com a energia interna da matria. A temperatura absoluta sempre utilizada nos clculos de radiao. A teoria da radiao trmica pode ser estudada tanto do ponto de vista ondulatrio quanto do ponto de vista quntico. Do ponto de vista ondulatrio, a radiao propaga-se por meio de ondas eletromagnticas. Do ponto de vista quntico, a radiao consegue se propagar como um conjunto de partculas denominadas ftons ou quanta. A partir de agora, estas duas formas de estudo sero abordadas detalhadamente. V. R ADIAO T RMICA : T RATAMENTO C LSSICO Em referncia radiao emitida por um corpo, os termos freqncia, v, e comprimento de onda, , sero utilizados,

Figura 5. O Processo de emisso: (a) Como um fenmeno volumtrico. (b) Como um fenmeno de superfcie.

pois, por enquanto, a radiao ter uma abordagem ondulatria. Eles esto relacionados por, = c , v (5)

em que, c a velocidade da luz no meio material. A velocidade da luz no vcuo vale c0 = 2, 998.108 m/s. O ndice de refrao de um meio material a razo entre a velocidade da luz no vcuo e a velocidade da luz no meio, dada por, c0 . (6) c A distribuio espectral da radiao eletromagntica est apresentada na Fig. 6. Os tipos de radiao esto classicados de acordo com os seus comprimentos de onda. O pequeno =

comprimento de onda dos raios gama, raios-X e radiao ultravioleta (UV) so principalmente de interesse para os fsicos de alta energia e engenheiros nucleares, enquanto as microondas de comprimento de onda elevado e as ondas de rdio dizem respeito aos engenheiros eletricistas. As unidades de comprimento de onda usuais so o micro ou micrmetro, m, 106 m, e o ngstron, , 1010 m. A regio de luz visvel do espectro se localiza entre 0,4 e 0,7 m, e a regio espectral entre 0,1 e 100 m chamada de radiao trmica.

Figura 7. Radiaes emitidas por uma superfcie. (a) Distribuio espectral. (b) Distribuio direcional.

espectral da radiao de uma superfcie de um corpo irradiante ideal, chamado de corpo negro, foi obtida por Max Plank. O poder emissivo monocromtico, E,n a taxa de energia monocromtica emitida por um irradiador ideal para uma superfcie hemisfrica envolvente e uma funo do comprimento de onda e da temperatura da superfcie irradiante. A taxa de energia , E,n = C1 , 5 eC2 /T 1 (7)

Figura 6.

O espectro eletromagntico

A radiao trmica emitida por uma superfcie engloba uma faixa de comprimentos de onda. Conforme mostrado na Fig. 7(a), a intensidade da radiao varia como o comprimento de onda, e o termo espectral utilizado para que se possa referir natureza dessa dependncia. A radiao emitida consiste em uma distribuio contnua e no-uniforme de componentes monocromticos (comprimento de onda nico). Tanto a intensidade da radiao em qualquer comprimento de onda quanto a distribuio espectral variam com a natureza e a temperatura da superfcie emissora. A natureza espectral da radiao trmica uma das caractersticas que complicam a sua descrio. A segunda caracterstica relativa sua direcionalidade. Conforme mostrado na Fig. 7(b), uma superfcie pode emitir preferencialmente em certas direes, criando uma distribuio direcional da radiao emitida. Para que se possa quanticar apropriadamente a transferncia de calor por radiao, deve-se estar apto a tratar dos efeitos espectrais e direcionais, que sero abordados posteriormente. A radiao trmica emitida por um material pode ser separada nos seus componentes monocromticos. A distribuio

que possui como unidade W/m2 m e onde C1 = 3, 742.108 W m4 /m2 e C2 = 1, 439.104 mK. A Eq. 7 vlida para uma superfcie no vcuo e deve ser modicada se o ndice de refrao difere signicativamente da unidade. A distribuio espectral monocromtica de energia para a superfcie de um corpo irradiante ideal mostrada na Fig. 8 para sete valores diferentes de temperatura. O comprimento de onda em que a emisso monocromtica mxima ocorre, max , diminui na medida que a temperatura do corpo irradiante ideal aumenta. A relao entre max e a temperatura dada pela lei do deslocamento de Wien, dada por, max T = 2, 90.103 , (8)

que tem como unidade mK. A taxa total de energia emitida por um corpo irradiante ideal, ou corpo negro, para uma superfcie hemisfrica que o envolve, obtida pela integrao do poder emissivo monocromtico sobre toda a faixa de comprimentos de onda. Portanto,

En =0

E,n d.

O valor desta integral dado pela Eq. 9, conhecida como lei de Stefan-Boltzmann, dada por, En = T 4 , (9)

em que a constante de Stefan-Boltzmann, = 5, 670.108 W/m2 K 4 . A Eq.9 pode ser demonstrada se considerarmos a expresso de Plank para a radiao do corpo negro (Eq. 10). IBB (, T )d = 2hc d , 12

A frao da radiao emitida pelas superfcies de um corpo irradiante ideal no intervalo de comprimento de onda 1 2 pode ser obtida por meio da Tab. I e por, F[1 2 ] = F[02 ] F[01 ] (13)

5 ebc/

(10)

VI. R ADIAO T RMICA : T RATAMENTO Q UNTICO Como dito anteriormente, sabe-se que a forma pela qual a radiao se propaga por meio de ftons, tambm conhecidos como quanta. A partir de agora sero mostrados os aspectos corpusculares da radiao, e como tais aspectos levaram teoria quntica, com os resultados obtidos por De Broglie. A. Ftons: Propriedades Corpusculares da Radiao Basicamente, trs processos (o efeito fotoeltrico, o efeito Compton e a produo de pares) envolvem o espalhamento ou absoro de radiao pela matria. Dois processos (o de bremsstrahlung, que denota a radiao emitida por uma carga eltrica em desacelerao, e a aniquilao de pares) envolvem a produo da radiao. Em cada caso, iremos obter evidncias experiamentais de que a radiao se comporta como uma partcula em sua interao com a matria, diferentemente do comportamento ondulatrio que apresenta quando se propaga. 1) O Efeito Fotoeltrico: Foi em 1886 e 1887 que Heinrich Hertz realizou as experincias que pela primeira vez conrmaram a existncia de ondas eletromagnticas e a teoria de Maxwell sobre a propagao da luz. um desses fatos paradoxais e fascinantes na histria da cincia que Hertz tenha notado, no decorrer de suas experincias, o efeito que Einstein mais tarde usou para contradizer outros aspectos da teoria eletromagntica clssica. Hertz descobriu que uma descarga eltrica entre dois eletrodos ocorre mais facilmente quando se faz incidir sobre um deles luz ultravioletra. Lenard, seguindo alguns experimentos de Hallwachs, mostrou, logo em seguida, que a luz ultravioletra facilita a descarga ao fazer com que eltrons sejam emitidos da superfcie do catodo. A emisso de eltrons de uma superfcie, devida a incidncia de luz sobre essa superfcie, chamada de efeito fotoeltrico. A Fig. 9 mostra um aparelho usado para estudar o efeito fotoeltrico. Um invlucro de vidro encerra o aparelho em um ambiente no qual se faz vcuo. Luz monocromtica, incidente atravs de uma janela de quartzo, cai sobre a placa de metal A e libera eltrons, chamados fotoeltrons. Os eltrons podem ser detectados sob a forma de uma corrente se forem atrados para o coletor metlico B atravs de uma diferena de potencial V estabelecida entre A e B. O ampermetro G mede essa corrente fotoeltrica. A curva a na Fig. 10 um grco da corrente fotoeltrica, em um aparelho como o da Fig. 9, em funo da diferena de potencial V . Se V muito grande, a corrente fotoeltrica atinge um certo valor limite (ou de saturao) no qual todos os fotoeltrons emitidos por A so coletados por B. Se o sinal de V invertido, a corrente fotoeltrica no cai imediatamente a zero, o que sugere que os eltrons so emitidos de A com alguma energia cintica. Alguns alcanaro

em que: IBB - potncia emitida por unidade de rea em um intervalo de comprimento de onda d em torno de ; b = 1/kb T , onde kb a constante de Boltzmann, que vale 1, 3806503.1023 m2 Kg/s2 K; 34 h a constante de Planck, que vale 6, 626068.10 2 m kg/s. Portanto, em vista disso podemos vericar que a lei de Stefan-Boltzmann e a lei do deslocamento de Wien so conseqncias imediatas da lei de Planck para a radiao de corpo negro e da aproximao de Wien. Freqentemente deseja-se conhecer a energia irradiante de uma superfcie em um certo intervalo de comprimento de onda. O poder emissivo de um corpo negro a uma certa temperatura T no intervalo 0 1 pode ser determinado por,1

E01 ,n =0

C1 d 5 eC2 /T 1

(11)

Figura 8.

Distribuio espectral da radiao de um corpo negro.

Uma expresso mais conveniente obtida escrevendo a radiao emitida em um intervalo de comprimento de onda como a frao do poder emissivo total de uma superfcie de um corpo irradiante ideal a mesma temperatura. A frao da radiao no intervalo de comprimento de onda de 0 1 obtida pela diviso da Eq. 11 pela Eq. 9, dada por, d(T ) (12) 1 Os valores de F[01 ] como funo de T , so mostrados na Tab. I, que pode ser encontrada como anexo a este artigo.0

F[01 ] =

E01 ,n = En

1 T

C1 5 T 5 eC2 /T

freqncia da luz incidente. Devemos notar que h um limiar de freqncia ou freqncia de corte v0 (tambm chamado limiar fotoeltrico), abaixo do qual o efeito fotoeltrico deixa de ocorrer. Devido ao fato do efeito fotoeltrico ser basicamente um fenmeno de superfcie para a luz na regio visvel, necessrio nas experincias evitar-se lmes de xidos, gorduras e outros contaminantes de superfcies.

Figura 9. Aparelho usado para estudar o efeito fotoeltrico. A magnitude da tenso V pode ser variada continuamente, e seu sinal pode ser trocado pela chave inversora.

Figura 11. Um grco das medidas realizadas por Millikan do potencial limite no sdio em vrias freqncias. O limiar de freqncias v0 4, 39.1014 Hz.

Figura 10. Grcos da corrente i em funo da tenso V , de dados obtidos com o aparelho da Fig. 9. A diferena de potencial aplicada V dita positiva quando o coletor B na Fig. 9 est a um potencial maior que a superfcie fotoeltrica A. Na curva b a intensidade da luz incidente foi reduzida metade daquela da curva a. O potencial limite V0 independente da intensidade da luz, mas as correntes de saturao Ia e Ib so diretamente proporcionais a ela.

o coletor B apesar do campo eltrico opor-se ao seu movimento. Entretanto, se essa diferena de potencial torna-se sucientemente grande. um valor V0 , chamado potencial limite ou de corte atingido, e a corrente fotoeltrica cai a zero. Essa diferena de potencial V0 , multiplicada pela carga do eltron, mede a energia cintica Kmax do mais rpido fotoeltron emitido, dada por, Kmax = eV0 (14)

Experimentalmente nota-se que a quantidade Kmax independente da intensidade da luz incidente, como mostrado na curva b da Fig. 10, na qual a intensidade da luz foi reduzida metade do valor usado para obter a curva a. A Fig. 11 mostra o potencial V0 para o sdio em funo da

H trs aspectos principais do efeito fotoeltrico que no podem ser explicados em termos da teoria ondulatria clssica da luz: A teoria ondulatria requer que a amplitude do campo eltrico oscilante E da onda luminosa cresa se a intensidade da luz for aumentada. J que a fora aplicada ao eltron e.E, isto sugere que a enegia cintica dos fotoeltrons deveria tambm crescer ao se aumentar a intensidade do feixe luminoso. Entretanto, a Fig. 10 mostra que Kmax , que igual a e.V0 , independe da intensidade da luz. Isto foi testado para variaes de intensidade da ordem de 107 . De acordo com a teoria ondulatria, o efeitro fotoeltrico deveria ocorrer para qualquer freqncia da luz, desde que esta fosse intensa o bastante para dar a energia necessria ejeo dos eltrons. Entretanto, a Fig. 11 mostra que existe, para cada superfcie, um limiar de freqncias v0 caracterstico. Para freqncias menores que v0 o efeito fotoeltrico no ocorre, qualquer que seja a intensidade da iluminao. Se a energia adquirida por um fotoeltron absorvida da onda incidente sobre a placa metlica, a rea de alvo efetiva para um eltron no metal limitada, e provavelmente no muito maior que a de um crculo de raio aproximadamente igual ao raio atmico. Na teoria clssica, a energia luminosa est uniformemente distribuda sobre a frente da onda. Portanto, se a luz sucientemente fraca, deveria haver um intervalo de tempo mensurvel, que de aproximadamente 2 minutos, entre o instante em que a luz comea a incidir sobre a superfcie e o instante da ejeo do fotoeltron. Durante esse intervalo, o eltron deveria estar absorvendo ener-

gia do feixe, at que tivesse acumulado bastante para escapar. No entanto, nenhum retardamento detectvel foi jamais medido. Essa dissonncia particularmente marcante quando a substncia fotoeltrica for um gs; nestas circunstncias, mecanismos de absoro coletiva podem ser ignorados e a energia do fotoeltron emitido foi certamente extradado de um feixe luminoso por um nico tomo ou molcula. B. O Efeito Compton O chamado efeito Compton a experincia que forneceu a evidncia mais direta da natureza corpuscular da radiao. Compon descobriu que a radiao de um dado comprimento de onda (na regio de raios-X), enviada atravs de uma folha de metal, era espalhada de modo inconsistente com a teoria clssica da radiao. De acordo com a teoria clssica, o mecanismo do efeito a re-radiao da luz por eltrons postos em oscilaes foradas pela radiao incidente e isso leva previso da intensidade observada em um ngulo , que varia com (1 + cos2 ), e no depende do comprimento de onda da radiao incidente. Compton descobriu que a radiao espalhada atravs de um certo ngulo consiste, na realidade, de duas componentes: uma cujo comprimento de onda igual ao da radiao incidente, e outra, com comprimento de onda deslocado em relao ao comprimento de onda incidente de uma quantidade que depende do ngulo, como mostrado na Fig. 12. Compton foi capaz de explicar a componente modicada, tratando a radiao incidente como um feixe de ftons de energia hv, cada fton espalhado elasticamente por um nico eltron. Em uma coliso elstica, tanto o momento como a energia devem-se conservar e, primeiramente, devemos atribuir um momento ao fton. Por analogia com a cinemtica relativstica de partculas, pode-se argumentar a Eq. 15. O experimento de Compton consiste, basicamente, em fazer com que um feixe de raios-X de comprimento de onda incida sobre um alvo de grate, como mostrado na Fig. 16 e dada por, hv . (15) c O argumento que, da relao relativstica entre energia e momento p= E = [(m0 c2 )2 + (pc)2 ]1/2 , (16)

Figura 12. O esquema da experincia de Compton. Raios-X monocromticos de comprimento de onda incidem sobre um alvo de grate. A distribuio da intensidade em funo do comprimento de onda medida para os raios-X espalhados em qualquer ngulo theta. Os comprimentos de onda espalhados so medidos observando-se a reexo de Bragg em um cristal. Suas intensidades so medidas por um detector, como uma cmera de ionizao.

Figura 13. O espectro da radiao espalhada por carbono, mostrando a linha inalterada em 0,7078 esquerda, e a linha deslocada em 0,7314 direita. A primeira o comprimento de onda da radiao primria.

E = pc,

(18)

em que m0 a massa de repouso da partcula, decorre que a velocidade correspondente a esse momento dada por: dE pc2 pc2 = = , 2 c4 + p2 c2 )1/2 dp E (m0

v=

(17)

a qual fornece a Eq. 15, quando substituimos E = 1/hv. Pode-se tambm derivar a Eq. 16, considerando-se a energia e o momento de uma onda eletromagntica, mas o argumento de analogia mais simples. Vamos considerar, agora, um fton de momento inicial p, incidindo sobre um eltron em repouso. Aps a coliso, o momento do fton p e o eltron recua com momento P , como mostra a Fig. 14. A conservao de momento nos fornece

Para um fton, isto sempre igual a c e, portanto, a massa de repouso do fton tem que ser nula. Logo, a Eq. 17 pode ser escrita como,

p=p +P

(19)

Figura 14.

Cinemtica do efeito Compton.

da qual decorre P 2 = (p p )2 = p2 2pp + (p )2 A conservao da energia nos fornece a Eq. 21. hv + mc2 = hv + (m2 c4 + P 2 c2 )1/2 (21) (20)

em que m a massa de repouso do eltron. Portanto, temos m2 c4 + P 2 c2 = (hv hv + mc2 )2 = (hv hv )2 + 2mc2 (hv hv ) + m2 c4 (22)

Por outro lado, a Eq. 20 pode ser reescrita sob a forma hv c2

P = ou seja:

2

+

hv c

2

2

hv hv cos c c

(23)Figura 15. Os resultados experimentais de Compton. A linha slida vertical esquerda corresponde ao comprimento de onda , e a que est direita ao comprimento de onda . Os resultados so mostrados para quatro ngulos de espalhamento diferentes. Devemos observar que o deslocamento Compton = para = 90 , est de acordo com a previso terica h/m0 c = 0, 0243 .

P 2 c2 = (hv hv )2 + 2(hv)(hv )(1 cos)

(24)

em que o ngulo de espalhamento do fton. Assim, temos a Eq. 25. hvv (1 cos) = mc2 (v v ) ou, equivalentemente, a Eq. 26. h (1 cos) (26) mc As medidas da componente modicada concordam muito bem com a previso acima. A linha inalterada presumivelmente devida ao espalhamento pelo tomo como um todo; se substituirmos m pela massa do tomo, o deslocamento do comprimento de onda ser muito pequeno, j que a massa do = (25)

tomo vrios milhares de vezes maior do que a massa de um eltron. A quantidade h/mc tem dimenso de comprimento, sendo chamada de comprimento de onda de Compton do eltron, e seu valor h (27) = 2, 4.1010 cm mc A Fig. 15 mostra os resultados da experincia na qual se mediu a intensidade dos raios-X espalhados como funo de seu comprimento de onda, para vrios ngulos de espalhamento. Tambm foram efetuadas medidas de recuo do eltron e estas esto de acordo com a teoria. Alm disso, por meio de experincias de coincidncia com boa resoluo temporal, determinou-se que o fton emergente e o eltron em recuo

aparecem simultaneamente. Est fora de dvida a justeza da interpretao da coliso como sendo do tipo bola de bilhar, ou seja, do comportamento corpuscular do fton. C. A Natureza Dual da Radiao Eletromagntica Em seu artigo Uma Teoria Quntica para o Espalhamento de Raios-X por Elementos Leves, Compton escreveu: A presente teoria depende essencialmente da suposio de que cada eltron que participa do processo espalha um quantum completo (fton). Isto envolve tambm a hiptese de que os quanta de radiao vm de direes denidas e so espalhados em direes denidas. O apoio experimental da teoria indica de forma bastante convincente que um quantum de radiao carrega consigo tanto momento quanto energia. A necessidade da hiptese do fton, ou partcula localizada, para interpretar processos que envolvem a interao da radiao com a matria clara, mas ao mesmo tempo necessria uma teoria ondulatria da radiao para explicar os fenmenos de interferncia e difrao. A idia de que a radiao no um fenmeno puramente ondulatrio nem meramente um feixe de partculas deve, portanto, ser levada a srio. O que quer que seja a radiao, ela se comporta como uma onda em certas circunstncias e como uma partcula em outras. Sem dvida, essa situao colocada em evidncia no trabalho experimental de Compton, onde (a) um espectrmetro de cristal usado para medir o comprimento de onda dos raiosX, sendo as medidas analisadas por meio da teoria ondulatria da difrao e (b) o espalhamento afeta o comprimento de onda de uma forma que s pode ser compreendida tratando-se os raios-X como partculas. nas prprias expresses E = hv e p = h/ que as caractersticas ondulatrias (v e ) se combinam com as caractersticas de partculas (E e p). D. Ftons e a Produo de Raios-X Os raios-X, assim chamados por seu descobridor Roentgen porque sua natureza era ento desconhecida, so radiaes eletromagnticas com comprimento de onda menor que aproximadamente 1,0 . Eles apresentam propriedades tpicas de ondas como polarizao, interferncia e difrao, da mesma forma que a luz e todas as outras radiaes eletromagnticas. Os raios-X so produzidos no alvo de um tubo de raios-X, mostrado na Fig. 16, quando um feixe de eltrons de alta energia, acelerados por uma diferena de potencial de alguns milhares de volts, freado ao atingir o alvo. Segundo a fsica clssica, a desacelerao dos eltrons, freados pelo material do alvo, causa a emisso de um espectro contnuo de radiao eletromagntica. A Fig. 17 mostra, para quatro valores diferentes da energia dos eltrons incidentes, como a energia dos raios-X emitidos por um alvo de tungstnio se distribui em funo do comprimento de onda. (Alm do espectro contnuo de raiosX, tambm so emitidas linhas de raios-X caractersticas do material do alvo.) A caracterstica mais notvel dessas curvas que, para uma dada energia dos eltrons, h um mnimo bem denido min para os comprimentos de onda; por exemplo, para eltrons de 40 keV, min 0,311 . Embora a forma

Figura 16. Um tubo de raios-X. Eltrons so emitidos termicamente do catodo aquecido C e acelerados em direo ao anodo (alvo) A pela diferena de potencial V . Raios-X so emitidos do alvo quando eltrons so freados ao atingi-lo.

do espectro contnuo de raios-X dependa do potencial V e um pouco do material do alvo, o valor de min depende apenas de V sendo o mesmo para todos os materiais. A teoria eletromagntica clssica no pode explicar esse fato, no havendo nehuma razo pela qual ondas com comprimento de onda menor que um certo valor crtico no devam ser emitidas pelo alvo.

Figura 17. O espectro contnuo de raios-X que emitido de um alvo de tungstnio, para quatro diferentes valores de eV , a energia dos eltrons incidentes.

Uma explicao surge imediatamente, entretanto, se encararmos os raios-X como ftons. A Fig. 18 mostra o processo elementar que, segundo esse ponto de vista, responsvel pelo espectro contnuo da Fig. 17. Um eltron de enegia cintica inicial K desacelerado pela interao com um ncleo pesado do alvo, e a energia que ele perde aparece na forma de radiao como um fton de raios-X. O eltron interage com o ncleo carregado por meio do campo coulombiano, transferindo momento para o ncleo. A desacelerao resultante

causa a emisso do fton. A massa do ncleo to grande que a energia que ele adquire durante a coliso pode ser completamente desprezada. Se K a energia cintica do eltron aps a coliso, ento a energia do fton dada pela Eq. 28, hv = K K , e o comprimento de onda do fton dado pela Eq. 29. hc =K K (29) (28)

que eltrons rpidos colidem com a matria, como os raios csmicos, nos anis de radiao de Van Allen que envolvem a Terra, ou na frenagem de eltrons emergentes de aceleradores ou ncleos radioativos. O processo de bremsstrahlung pode ser considerado como um efeito fotoeltrico s avessas: no efeito fotoeltrico, um fton absorvido, sua energia e momento indo para um eltron e um ncleo; no processo de bremsstrahlung, um fton criado, sua energia e momento vindo de uma coliso entre um eltron e um ncleo. Lida-se com a criao de ftons no processo de bremsstrahlung, em vez se sua absoro ou espalhamento pela matria. E. Produo e Aniquilao de Pares Alm dos efeitos fotoeltrico e Compton h um outro processo no qual ftons perdem energia na interao com a matria, que o processo de produo de pares. A produo de pares tambm um timo exemplo da converso de energia radiante em massa de repouso e energia cintica. Neste processo, ilustrado esquematicamente na Fig. 19, um fton de alta energia perde toda a sua energia hv em uma coliso com um ncleo, criando um par de eltron-psitron, com uma certa energia cintica. Um psitron uma partcula que tem todas as propriedades de um eltron, exceto o sinal de sua carga (e o de seu momento magntico) que oposto ao do eltron; o psitron um eltron positivamente carregado. Na produo de pares a energia de recuo absorvida pelo ncleo desprezvel por causa de sua grande massa, e assim a equao da conservao da energia total relativstica no processo simplesmente dada por,

Figura 18. O processo de bremsstrahlung responsvel pela produo do espectro contnuo de raios-X.

Os eltrons no feixe incidente podem perder diferentes quantidades de energia nessas colises, e em geral um eltron chegar ao repouso apenas depois de vrias colises. Os raios-X assim produzidos pelos eltrons constituem o espectro contnuo da Fig. 17, e h ftons com comprimentos de onda que vo desde min at , correspondentes s diferentes perdas em cada coliso. O fton de menor comprimento de onda seria emitido quando um eltron perdesse toda toda a sua energia cintica em um processo de coliso; neste caso, K = 0, de forma que K = hc/min . Como K igual a eV , a energia adquirida pelo eltron ao ser acelerado pela diferena de potencial V aplicada ao tudo de raios-X, temos a Eq. 30, eV = ou, a Eq. 31, equivalente. hc . (31) eV Portanto o limite mnimo dos comprimentos de onda representa a converso completa da energia dos eltrons em radiao X. A Eq. 30 mostra claramente que se h 0, ento min 0, que a previso da teoria clssica. Isto mostra que a prpria existncia de um comprimento de onda mnimo um fenmeno quntico. A radiao X contnua da Fig. 17 freqentemente chamada bremsstrahlung, do alemo brems (=frenagem, isto , desacelerao) + strahlung (=radiao). O processo de bremsstrahlung ocorre no apenas em tubos de raios-X, mas sempre min = hc , min (30)

hv = E + E+ = (m0 c2 + K ) + (m0 c2 + K+ ) = K + K+ + 2m0 c2 . (32)

Nesta expresso, E e E+ so energias relativsticas totais, e K e K+ so as energias cinticas do eltron e do psitron, respectivamente. As duas partculas tm a mesma energia de repouso, m0 c2 . O psitron produzido com uma energia cintica um pouco maior que a do eltron porque a interao coulombiana do par com o ncleo positivamente carregado causa uma acelerao no psitron e uma desacelerao no eltron.

Figura 19.

O processo de produo de pares.

Ao se analisar este processo, ignora-se os detalhes da interao, considerando apenas a situao antes e depois da interao. Os princpios que me orientaram foram a conservao da energia total relativstica, a conservao do momento e a conservao da carga. Destas leis da conservao, no difcil mostrar que um fton no pode simplesmente desaparecer no espao vazio, criando um par. A presena do ncleo pesado (que pode absorver momento sem alterar apreciavelmente o balano de energia) necessria para permitir que tanto a energia quanto o momento sejam conservados no processo. A carga automaticamente conservada, pois o fton no tem carga e o par criado tem carga total nula. Da Eq. 32, vemos que a energia mnima necessria para que um fton crie um par 2m0 c2 , ou 1,02 MeV, que equivale a um comprimento de onda de 0,012 . Se o comprimento de onda for menor que isto, correspondendo a uma energia maior que o limite, o fton produz o par com uma certa energia cintica, alm da energia de repouso. O fenmeno de produo de pares um fenmeno de altas energias, devendo os ftons estar na regio dos raios-X de grande energia ou na regio dos raios-. Resultados obtidos experimentalmente demonstraram que a absoro de ftons em interao com a matria ocorre principalmente pelo processo fotoeltrico a baixas energias, pelo efeito Compton a energias intermedirias e pela produo de pares a altas energias. Pares eltron-psitron so produzidos na natureza por ftons de raios csmicos e em laboratrios por ftons de bremsstrahlung obtidos em aceleradores de partculas. Outros pares de partculas, tais como prton e antiprton, podem ser produzidos se o fton tiver energia suciente. Pelo fato do eltron e do psitron terem a menor massa de repouso das partculas conhecidas, a energia mnima para sua produo a menor. A experincia conrma a teoria quntica para o processo de formao de pares. No h qualquer explicao satisfatria para esse fenmeno na fsica clssica. VII. O P OSTULADO DE D E B ROGLIE : P ROPRIEDADES O NDULATRIAS DAS PARTCULAS A. Ondas de Matria Maurice De Broglie foi um fsico experimental francs que, desde o princpio, apoiou o ponto de vista de Compton em relao natureza corpuscular da radiao. A hiptese de De Broglie era de que o comportamento dual, isto , onda-partcula, da radiao tambm se aplicava matria. Assim como um fton tem associada a ele uma onda luminosa que governa seu movimento, tambm uma partcula material (por exemplo, um eltron) tem associada a ela uma onda de matria que governa seu movimento. Como o universo inteiramente composto por matria e radiao, a sugesto de De Broglie essencialmente uma armao a respeito de uma grande simetria na natureza. De fato, ele props que os aspectos ondulatrios da matria fossem relacionados com seus aspectos corpusculares exatamente da mesma forma quantitativa com que esses aspectos so relacionados para a radiao. De acordo com De Broglie, tanto para a matria quanto para a radiao a energia total E est relacionada freqncia v da onda associada ao seu movimento, dada por,

E = hv,

(33)

e o momento p relacionado com o comprimento de onda da onda associada, por, h ,

p=

(34)

Aqui conceitos relativos a partculas, energia E e momento p, esto ligados por meio da constante de Planck h aos conceitos relativos a ondas, freqncia v e comprimento de onda . A Eq. 34, na forma a seguir, chamada relao de De Broglie, h . p

=

(35)

Ela prev o comprimento de onda de De Broglie de uma onda de matria associada ao movimento de uma partcula material que tem um momento p. A natureza ondulatria da propagao da luz no revelada por experincias em tica geomtrica, porque as dimenses importantes dos equipamentos utilizados so muito grandes se comparadas ao comprimento de onda da luz. Se a representa uma dimenso caracterstica de um equipamento tico (por exemplo, a abertura de uma lente, espelho ou fenda) e o comprimento de onda da luz que atravessa o equipamento, estamos no limite da tica geomtrica quando /a 0. Devese observar que a tica geomtrica envolve a propagao de raios, o que anlogo trajetoria das partculas clssicas. No entanto, quando a dimenso caracterstica a de um equipamento tico torna-se comparvel ou menor do que o comprimento de onda da luz que o atravessa, entramos no domnio da tica fsica. Nesse caso, quando /a 1, o ngulo de difrao = /a sucientemente grande para que efeitos de difrao sejam facilmente observados, e a natureza ondulatria da propagao da luz se evidencia. Para observar aspectos ondulatrios no movimento da matria, portanto, precisa-se de sistemas com aberturas ou obstculos de dimenses convenientemente pequenas. Os sistemas mais apropriados para este m aos quais os experimentadores tinham acesso na poca de De Broglie utilizavam o espaamento entre planos adjacentes de tomos em um slido, onde a = 1. (Atualmente tem-se acesso a sistemas que envolvem dimenses nucleares de aproximadamente 104 .) Foi Elsasser quem mostrou, em 1926, que a natureza ondulatria da matria poderia ser testada da mesma forma que a natureza ondulatria dos raios-X havia sido, ou seja, fazendo-se com que um feixe de eltrons de energia apropriada incidisse sobre um slido cristalino. Os tomos do cristal agem como um arranjo tridimensional de centros de difrao para a onda eletrnica, espalhando fortemente os eltrons em certas direes caractersticas, exatamente como na difrao de raios-X. Esta idia foi conrmada por experincias feitas

por Davisson e Gerner nos Estados Unidos e por Thomson na Esccia. A Fig. 20 mostra esquematicamente o equipamento de Davisson e Gerner. Eltrons emitidos por um lamento aquecido so acelerados atravs de uma diferena de potencial V e emergem do canho de eltrons G com energia cintica eV . O feixe incide segundo a normal sobre um monocristal de nquel em C. O detector D colocado num ngulo particular e para vrios valores do potencial acelerador V so feitas leituras da intensidade do feixe espalhado. A Fig. 21, por exemplo, mostra que um feixe de eltrons fortemente espalhado detectado em = 50 para V = 54 volts. A existncia desse pico demonstra qualitativamente a validade do postulado de De Broglie, porque ele s pode ser explicado como uma interferncia construtiva de ondas espalhadas pelo arranjo peridico dos tomos nos planos do cristal. O fenmeno exatamente anlogo conhecida reexo de Bragg que ocorre no espalhamento de raios-X pelos planos atmicos de um cristal. No pode ser entendido com base no movimento clssico de partculas, mas apenas com base no movimento ondulatrio. Partculas clssicas no podem exibir interferncia, mas podem exibir ondas. A interferncia que ocorre neste caso no entre ondas associadas a eltrons distintos. Trata-se de interferncia entre partes diferentes da onda associada a um nico eltron que foi espalhada por vrias regies do cristal. Isto pode ser demonstrado usandose um feixe de eltrons com uma intensidade to baixa que os eltrons atravessam o aparelho um a um; verica-se que a gura do espalhamento dos eltrons permanece a mesma.

Figura 21. esquerda: a corrente do coletor no detector D da Fig. 20 em funo da energia cintica dos eltrons incidentes, mostrando um mximo de difrao. A Fig. 20 mostra uma srie de medidas para as quais = 50 . Se um valor apreciavelmente menor ou maior for usado, o mximo de difrao desaparece. direita: a corrente como funo do ngulo no detector para o valor xado da energia cintica dos eltrons de 54 eV.

Para as condies da Fig. 22, pode-se mostrar que o espaamento interplanar efetivo d, obtido por espalhamento de raios-X sobre o mesmo cristal, de 0,91 . Como = 50 , segue-se que = 90 50 /2 = 65 . O comprimento de onda calculado a partir da Eq. 36, supondo n = 1, : = 2dsen = 2.0, 91.sen65 = 1, 65, que tem como unidade . O comprimento de onda de De Broglie para eltrons de 54 eV, calculado a partir da Eq. 35 , = h/p = 6, 6.1034 /4, 0.1024 = 1, 65, que tambm tem como unidade o . A largura do pico observado na Fig. 21 tambm facilmente explicvel, uma vez que eltrons de baixa energia no podem penetrar profundamente no interior do cristal, de modo que apenas um pequeno nmero de planos atmicos contribui para a onda difratada. Portanto, o mximo da difrao no pronunciado. Todos os resultados experimentais concordavam muito bem, tanto qualitativa quanto quantitativamente, com as previses de De Broglie, e forneciam indcios convincentes de que as partculas materiais se movem de acordo com as leis do movimento ondulatrio. No apenas eltrons, mas todos os objetos materiais, carregados ou no, apresentam caractersticas ondulatrias em seu movimento, quando esto sob as condies da tica fsica.

Figura 20. O equipamento de Davisson e Germer. Eltrons do lamento F so acelerados por uma direna de potencial varivel V . Depois do espalhamento pelo cristal C eles so coletados pelo detector D.

B. A Dualidade Onda-Partcula Na fsica clssica, a energia transportada ou por ondas ou por partculas. Os fsicos clssicos observaram ondas de gua transportando energia sobre a superfcie da gua, ou balas transferindo energia do revlver para o alvo. A partir dessas experincias, eles construram um modelo ondulatrio para certos fenmenos macroscpicos e um modelo corpuscular para outros, e de forma bem natural estenderam esses modelos para regies virtualmente menos acessveis. Assim,

A Fig. 22 mostra a origem de uma reexo de Bragg, obedecendo relao de Bragg, deduzida a partir da gura, como mostra a Eq. 36,

n = 2dsen.

(36)

Figura 22. No alto: O feixe difratado em = 50 e V = 54 volts surge do espalhamento ondulatrio pela famlia de planos mostrados, separados por uma distncia d = 0, 91. O ngulo de Bragg = 65 . Para simplicar, a refrao da onda espalhada quando ela deixa o cristal no indicada. Embaixo: Derivao da relao de Bragg, mostrando apenas dois planos atmicos e dois raios dos feixes incidente e espalhado. Se um nmero inteiro de comprimentos de onda n se ajusta exatamente na distncia 2l entre as frentes de onda incidente e espalhada medidas sobre o raio inferior, ento a contribuio dos dois raios para a frente de onda espalhada estar em fase, e um mximo de difrao ser obtido para o ngulo . Como l/d = cos(90 ) = sen, tem-se que 2l = 2dsen, e, ento, pode-se obter a relao de Bragg, n = 2dsen. O mximo de difrao de primeira ordem (n=1) normalmente mais intenso.

eles explicaram a propagao do som em termos de um modelo ondulatrio e presses de gases em termos de um modelo corpuscular (teoria cintica). O fato de terem obtido sucesso os condicionou a esperar que todos os entes fossem partculas ou ondas. Continuaram sendo bem sucedidos at o incio do sculo XX com as aplicaes da teoria ondulatria de Maxwell radiao e a descoberta de partculas elementares de matria, tais como o nutron e o psitron. Os fsicos clssicos estavam, portanto, bastante despreparados para achar que para entender a radiao precisassem recorrer a um modelo corpuscular em algumas situaes, como no efeito Compton, e a um modelo ondulatrio em outras, como na difrao de raios-X. Talvez mais notvel seja o fato de que essa mesma dualidade onda-partcula se aplica tanto matria quanto radiao. A razo entre a carga e a massa

do eltron e o rastro de ionizao que ele deixa na matria (uma seqncia de colises localizadas) sugerem um modelo corpuscular, mas a difrao de eltrons sugere um modelo ondulatrio. Os fsicos sabem agora que so compelidos a usar ambos os modelos para o mesmo ente. muito importante notar, no entanto, que em qualquer medida feita apenas se aplica um modelo - os dois modelos no so usados sob as mesmas circunstncias. Quando o ente detectado por algum tipo de interao, ele atua como uma partcula no sentido que localizado; quando est se movendo, age como uma onda, no sentido que se observam fenmenos de interferncia, e, obviamente, uma onda tem extenso, e no localizada. Niels Bohr resumiu a situao em seu princpio da complementaridade. Os modelos corpuscular e ondulatrio so complementares; se uma medida prova o carter ondulatrio da radiao ou da matria, ento impossvel provar o carter corpuscular na mesma medida, e vice-versa. A escolha de que modelo usar determinada pela natureza da medida. Alm disso, nossa compreenso da radiao ou da matria est incompleta a menos que levemos em considerao tanto as medidas que revelem os aspectos ondulatrios quanto as que revelem os aspectos corpusculares. Portanto, radiao e matria no so apenas ondas ou apenas partculas. Um modelo mais geral e, para a mentalidade clssica, mais complicado, necessrio para descrever seu comportamento, embora em situaes extremas possa ser aplicado um modelo ondulatrio simples, ou um modelo corpuscular simples. A ligao entre os modelos corpuscular e ondulatrio feita por meio de uma interpretao probabilstica da dualidade onda-partcula. No caso da radiao, foi Einstein quem unicou as teorias ondulatria e corpuscular; a seguir, Max Born aplicou um argumento semelhante para unicar as teorias ondulatria e corpuscular da matria. No modelo ondulatrio, a intensidade da radiao, I, proporcional a 2 , onde 2 o valor mdio, sobre um perodo, do quadrado do campo eltrico da onda. (I o valor mdio do chamado vetor de Poynting, e foi utilizado o smbolo em vez de E para o campo eltrico para evitar confuses com a energia total E.) No modelo do fton, ou corpuscular, a intensidade da radiao escrita I = N hv, onde N o nmero mdio de ftons por unidade de tempo que cruzam uma unidade de rea perpendicular direo de propagao. Foi Einstein quem sugeriu que 2 , que na teoria eletromagntica proporcional energia radiante contida em uma unidade de volume, poderia ser interpretado como uma medida do nmero de ftons por unidade de volume. Devo lembrar que Einstein introduziu uma granulosidade para a radiao, abandonando a interpretao contnua de Maxwell. Isto leva a uma interpretao estatstica da intensidade. Nessa interpretao, uma fonte pontual de radiao emite ftons ao acaso em todas as direes. O nmero mdio de ftons que cruza uma unidade de rea vai diminuir com o aumento da distncia da fonte rea. Isto se deve ao fato de que os ftons se espalham sobre uma esfera de rea tanto maior quanto mais longe eles estiverem da fonte. Como a rea de uma esfera proporcional ao quadrado de seu raio, obtem-se,

em mdia, uma lei de inverso do quadrado para a intensidade, assim como no modelo ondulatrio. No modelo ondulatrio, imagina-se que ondas esfricas se espalham a partir da fonte, e que a intensidade cai de forma inversamente proporcional ao quadrado da distncia fonte. Aqui, essas ondas, cuja intensidade pode ser medida por 2 , podem ser vistas como ondas condutoras de ftons; as ondas em si mesmas no tm energia - h apenas ftons - mas so uma grandeza cuja intensidade mede o nmero mdio de ftons por unidade de volume. De forma anloga interpretao de Einstein da radiao, Max Born props uma unicao semelhante para a dualidade onda-partcula da matria. Ela surgiu muitos anos depois de Schredinger ter desenvolvido sua generalizao do postulado de De Broglie, a chamada mecncia quntica. Para que isso fosse feito, deve-se associar mais do que apenas comprimento de onda e freqncia s ondas de matria. Isto feito introduzindo uma funo que representa a onda de De Broglie, chamada funo de onda . Para partculas que se movem na direo x com um valor preciso do momento e da energia, por exemplo, a funo de onda pode se escrita como uma funo senoidal simples de amplitude A, (x, t) = Asen2 Isto o anlogo de, (x, t) = Asen2 x vt , (38) x vt . (37)

dado instante, mas em vez disso foi especicado, por meio de 2 , a probabilidade de encontrar um fton em uma certa regio num dado instante. Na interpretao de Born tambm no foi especicada a localizao exata de uma partcula em um certo instante, mas, em vez disso, foi especicada, por meio de 2 , a probabilidade de encontrar uma partcula em um dado ponto em um certo instante. Assim como estamos habituados a somar funes de onda ( 1 + 2 = ) para duas ondas eletromagnticas superpostas cuja intensidade resultante dada por 2 , tambm vamos somar funes de onda para duas ondas de matria superpostas (1 + 2 = ) cuja intensidade resultante dada por 2 . Isto , um princpio da superposio se aplica tanto matria quanto radiao. Isto est de acordo com o fato experimental notvel de que a matria exibe propriedades de interferncia e difrao, um fato que no pode ser entendido com base nas idias da mecnica clssica. Devido ao fato de que ondas podem se superpor tanto construtivamente (em fase) quanto destrutivamente (fora de fase), duas ondas podem se combinar ou para darem uma onda resultante de grande intensidade ou para se cancelarem, mas duas partculas clssicas de matria no podem se combinar de forma a se cancelarem. VIII. A E QUAO DE O NDA DE S CHREDINGER Uma generalizao no muito difcil de se entender da equao de onda de uma partcula livre ao caso de movimento de uma partcula de massa m no campo de fora representado por uma funo de energia potencial V (x, y, z, t), o qual depende da posio r e possivelmente tambm do tempo t, dada por, ih h2 (r, t) = t 2m2

para o campo eltrico de uma onda eletromagntica senoidal de comprimento de onda , e freqncia v, se movendo no sentido positivo do eixo x. A grandeza 2 vai, para as ondas de matria, desempenhar um papel anlogo ao desempenhado por 2 para as ondas de radiao. Essa grandeza, a mdia do quadrado da funo de uma onda para ondas de matria, uma medida da probabilidade de se encontrar uma partcula em uma unidade de volume em um dado ponto e instante de tempo. Assim como uma funo de espao e do tempo, tambm o ; e, assim como satisfaz equao de onda, tambm a satisfaz ( equao de Schredinger). A grandeza uma onda (de radiao) associada a um fton, e uma onda (de matria) associada a uma partcula material. Segundo Born: De acordo com essa interpretao, toda a evoluo dos eventos determinada pelas leis da probabilidade; a um estado no espao corresponde uma probabilidade denida, que dada pela onda de De Broglie associada ao estado. Um processo mecnico portanto acompanhado por um processo ondulatrio, a onda condutora, descrita pela equao de Schredinger, cujo signicado o de dar a probabilidade de um curso denido do processo mecnico. Se, por exemplo, a amplitude da onda condutora for zero em um certo ponto do espao, isto signica que a probabilidade de encontrarmos o eltron nesse ponto praticamente nula. Assim como na interpretao de Einstein da radiao, no foi especicada a localizao exata de um fton em um

r, t + V (x, y, z, t)(r, t),

(39)

Schredinger conseguiu a Eq. 39 propondo que = eiS/h , o que implica em, S [ S]2 ih 2 + S + V (x, y, z, t) = 0 (40) t 2m 2m A Eq. 40 parece a Equao de Hamilton-Jacobi da mecnica na presena de foras, completada por um termo de mecnica quntica proporcional a h. A existncia do fator i nessa equao de crucial importncia e geralmente requer que a funo S seja complexa. Irei adotar a Eq. 39 como sendo a equao fundamental da mecnica quntica no relativstica para partculas sem spin e cham-la de equao de onda ou equao de Schredinger com dependncia temporal. A equao de Schredinger exprime que a energia total de uma partcula, em termos de operadores atuando sobre a funo de onda, a soma da energia cintica com a energia potencial. Ela pode ser escrita como, (Top + Vop ) = Eop Denindo o operador da energia por, (41)

Eop = ih e

, t

(42)

1 h2 h2 2 pop pop = = . 2m 2m 2m Aplicando as Eqs. 42 e 43 na Eq. 41 obetem-se, Top = h2 2m2

(43)

(r, t) + Vop (r, t) = ih

(r, t) , t

(44)Figura 23. Uma cavidade com um orifcio apresenta comportamento prximo ao de um corpo negro. A radiao que entra na cavidade tem pouca chace de sair antes de ser completamente absorvida. A radiao emitida atravs do orfcio (no est representada na gura) caracterstica da temperatura das paredes da cavidade.

em que o operador Vop representa o potencial de interao a que a partcula est sujeita numa dada situao fsica, variando, evidentemente, de um problema para outro. Se o movimento da partcula est restrito coordenada x, a equao de Schredinger se reduz , h2 2 + V = ih . 2m x2 t

(45)

IX. P ROPRIEDADES BSICAS DA R ADIAO Neste tpico sero apresentadas as propriedades bsicas da radiao, bem como o tratamento matemtico para cada uma. A. Corpo Negro Um corpo negro um corpo ideal cuja superfcie um absorvedor ideal de radiao incidente independentemente do comprimento de onda ou da direo da radiao. Desde que no existe nenhuma superfcie com tal caracterstica, o conceito de corpo negro uma idealizao. Entretanto, este conceito tili porque o padro de comparao das propriedades de radiao das superfcies reais. Pode se mostrar que um corpo negro tambm um emissor perfeito de radiao em todas as direes e em todos os comprimentos de onda. Para uma dada temperatura, nenhuma superfcie pode emitir mais energia radiativa, total ou monocromtica, do que um corpo negro. As caractersticas de radiao de um corpo negro sero identicadas pelo uso do ndice n. A distribuio espectral da radiao de corpo negro especicada pela quantidade RT (v), denomida de radincia espectral, que denida de forma que RT (v)dv seja igual energia emitida por unidade de tempo em radiao de freqncia compreendida no intervalo v a v + dv por unidade de rea de uma superfcie temperatura absoluta T . A melhor aproximao prtica de um corpo negro ideal corresponde a um pequeno orifcio em uma cavidade, tal como o buraco da fechadura de uma porta de armrio, apresentado na Fig. 23. A radiao incidente no orifcio tem pouca chance de ser reetida para fora do orifcio antes de ser absorvida pelas paredes da cavidade. Assim, a radiao emitida atravs do orifcio caracterstica da temperatura das paredes da cavidade.

A emisso de um corpo negro difusa, portanto a intensidade espectral I,cn da radiao que deixa a cavidade independente da direo. Alm disso, uma vez que o campo radiante no interior da cavidade, que o efeito cumulativo da emisso e da reexo a partir da superfcie da cavidade, deve possuir a mesma forma da radiao que emerge da abertura, tem-se tambm que existe um campo de radiao de corpo negro no interior da cavidade. Conseqentemente, qualquer superfcie pequena no interior da cavidade experimenta uma irradiao G = E,cn (, T ). Essa superfcie irradiada de maneira intensa, independentemente da sua orientao. Radiao de corpo negro existe no interior da cavidade independente do fato da superfcie da cavidade ser altamente reexiva ou absorvedora. 1) A Distribuio de Planck: A intensidade espectral de um corpo negro bem conhecida, tendo sido determinada primeiramente por Plank. Dada por, I,cn (, T ) = 2hc2 0 5 (ehc0 /kT ) , (46)

1

em que, h = 6, 626.1034 J.s e k = 1, 381.1023 J/K so as constantes de Planck e Boltzmann, respectivamente, c0 = 2, 998.108 m/s a velocidade da luz no vcuo, e T a temperatura absoluta do corpo negro (K). Como o corpo negro um emissor difuso, o seu poder emissivo espectral dado pela Eq. 7. 2) Lei do Deslocamento de Wien: Na Fig. 24 pode ser visto que a distribuio espectral do corpo negro possui um mximo e que o comprimento de onda correspondente a esse mximo max depende da temperatura. A natureza dessa dependncia pode ser obtida derivando-se a Eq. 7 em relao a e igualando o resultado a zero. Ao fazer isso, obtem-se, max T = C3 , (47)

em que, a terceira constante da radiao C3 = 2898 m.K.

A Eq. 47 conhecida por lei do deslocamento de Wien, e o lugar geomtrico dos pontos descritos por essa lei est representado na forma de uma linha tracejada na Fig. 24. De acordo com esse resultado, o poder emissivo espectral mximo deslocado para o comprimentos de onda menores com o aumento da temperatura. Esse poder emissivo encontra-se no meio da regio do vsivel no espectro ( 0, 5m) para a radiao solar, uma vez que o Sol emite aproximadamente como um corpo negro a 5800 K. Para um corpo negro a 1000 K, o pico da emisso ocorre em 2,90 m, com parte da radiao emitida sendo visvel como luz vermelha. Com o aumento da temperatura, os menores comprimentos de onda se tornam mais expressivos, at que nalmente tem-se uma emisso signicativa ao longo de todo o espectro visvel. Por exemplo, uma lmpada com lamento de tungstnio, operando a 2900 K (max = 1m), emite luz branca, embora a maior parte da sua emisso permanea na regio do infravermelho.

G=0

G d.

(48)

A radiao incidente pode ter sua origem na emisso e reexo que ocorrem em outras superfcies e ter distribuiees espectral e direcional determinadas pela intensidade espectral I,i (, , ). Essa grandeza denida como a taxa na qual energia radiante de comprimento de onda incide a partir da direo (, ), por unidade de rea da superfcie receptora normal a essa direo, por unidade de ngulo slido no entorno dessa direo e por unidade de intervalo de comprimento de onda d no entorno de . A intensidade da radiao incidente pode ser relacionada com a irradiao, que engloba a radiao incidente a partir de todas as direes. A radiao espectral G (W/(m2 .m) denida como a taxa na qual a radiao de comprimento de onda incide sobre uma superfcie, por unidade de rea da superfcie e por unidade de intervalo de comprimento de onda d no entorno de . Conseqentemente,2 /2

G =0 0

I,i (, , )cossendd,

(49)

em que sen()dd o ngulo slido unitrio. O fator cos() aparece porque G um uxo baseado na rea supercial real, enquanto I,i denido em termos da rea projetada. Se a irradiao total G(W/m2 ) representa a taxa na qual radiao incide por unidade de rea a partir de todas as direes e em todos os comprimentos de onda, temos,

G=0

G ()d,

(50)

ou, 2 0 0 /2

G=0

I,i (, , )cossenddd.

(51)

Se a radiao incidente for difusa, I,i independente de e , e tem-se queFigura 24. Poder emissivo espectral de corpos negros.

G () = I,i (), e G = Ii . C. Absortividade, Reetividade e Transmissividade

(52)

B. Irradiao A taxa na qual a radiao atinge uma superfcie chamada de irradiao. As caractersticas direcionais da radiao so importantes. A irradiao por unidade de rea identicada por G, em watt por metro quadrado. O ndice ser utilizado para denotar a taxa monocromtica de energia de irradiao que atinge a superfcie. A radiao total incidente na superfcie obtida pela integrao em toda a faixa de comprimento de onda, de acordo com,

(53)

Quando radiao incide numa superfcie real, parte dessa radiao absorvida, parte reetida e a parcela restante transmitida atravs do corpo, como mostrado na Fig. 25. A soma dessas quantidades deve ser igual radiao total incidente na superfcie.

Dessa forma, depende da distribuio direcional da radiao incidente, bem como do seu comprimento de onda e da natureza da superfcie absorvedora. Deve-se notar que, se a radiao inicidente estiver distribuda de forma difusa e , for independente de , a Eq. 57 se reduz ,/2

() = 20

, (, )cossend.

(58)

Figura 25.

Radiao incidente em uma superfcie.

A absortividade hemisfrica total, , representa uma mdia integrada em relao direo e ao comprimento de onda. Ela denida como a frao da irradiao que aborvida por uma superfcie, dada por, Das Eqs. 50 e 56, tem-se, 0

1) Absortividade: Dene-se absortividade como a frao da radiao total incidente que absorvida pela superfcie. Para um corpo real, a absortividade, , varia, em geral, com o comprimento de onda, e por isso dene-se a absortividade monocromtica, . A absortividade expressa em termos da absortividade monocromtica por, 1 = G

Gabs . G

(59)

=

()G()d . G ()d 0

(60)

G d.0

(54)

A determinao da propriedade absortividade complicada pelo fato de que, como a emisso, ela pode ser caracterizada tanto por uma dependncia direcional como por uma dependncia espectral. A absortividade direcional espectral, , (, , ), de uma superfcie denida matematicamente por, I,i,abs (, , ) . I,i (, , )

, (, , ) =

(55)

Nessa expresso, despreza-se qualquer dependncia da absortividade em relao temperatura supercial. Tal dependncia pequena para a maioria das propriedades radiantes espectrais. Est implcito no resultado anterior que as superfcies podem exibir uma absoro seletiva em relao ao comprimento de onda e direo da radiao incidente. Para a maioria dos clculos de engenharia, no entanto, trabalha-se com propriedades superciais que representam mdias direcionais. Conseqentemente, dene-se uma absortividade hemisfrica espectral () por, () Das Eqs. 49 e 55 tem-se,2 0 /2 , (, , )I,i (, , )cossendd 0 . 2 /2 I,i (, , )cossendd 0 0

Conseqentemente, depende da distribuio espectral da radiao incidente, assim como da sua distribuio direcional e da natureza da superfcie absorvedora. Deve-se notar, tambm, que embora seja aproximadamente independente da temperatura supercial, o mesmo no pode ser dito a respeito da emissividade hesmisfrica total, . Na Eq. 90 ca evidente que essa propriedade apresenta uma forte dependncia em relao temperatura. Como depende da distribuio espectral da irradiao, seu valor para uma superfcie exposta radiao solar pode diferir apreciavelmente do seu valor para a mesma superfcie quando exposta a uma radiao com maiores comprimentos de onda originada em uma fonte a uma temperatura mais baixa. Como a distribuio espectral da radiao solar praticamente proporcional da emisso de uma corpo negro a 5800 K, temse pela Eq. 60 que a absortividade total para a radiao solar s pode ser aproximada por, = 0

()E,b (, 5800K)d . E,b (, 5800K)d 0

(61)

G,abs () . G ()

(56)

() =

(57)

As integrais que aparecem nessa equao podem ser calculadas utilizando-se a funo de radiao de corpo negro , F(0) , da Tab. I, que pode ser encontrada no Apndice. 2) Reetividade: A reetividade denida como a frao da radiao total incidente que reetida pela superfcie. Contudo, sua denio especca pode assumir diversas formas diferentes, uma vez que essa propriedade inerentemente bidirecional. Ou seja, alm de depender da direo da radiao incidente, ela tambm depende da direo da radiao reetida. Evitarei essa complicao trabalhando exclusivamente com uma reetividade que representa uma mdia integrada no hemisfrio associado radiao reetida e, portanto, no fornecendo informao a respeito da distribuio direcional dessa radiao. Como a absortividade, a reetividade, ,

uma funo do comprimento de onda de forma que utilizado para representar a reetividade monocromtica de uma superfcie, dada por, = 1 G

G d.0

(62)

A reetividade direcional espectral, , (, , ), de uma superfcie denida como a frao da intensidade espectral incidente na direo e que reetida pela superfcie. Dessa forma, temos, , (, , ) I,i,ref (, , ) . I,i (, , ) (63)

A reetividade hemisfrica espectral () , ento, denida como a frao da irradiao espectral que reetida pela superfcie. Conseqentemente, () que pode ser escrita por, () =2 /2 , (, , )cossendd 0 0 . 2 /2 I,i (, , )cossendd 0 0

G,ref () , G ()

Figura 26.

Reexo especular e difusa.

(64) Apesar de o tratamento da resposta de um material semitransparente radiao incidente ser um problema complicado, resultados razoveis podem ser obtidos com freqncia por meio do uso de transmissividades hemisfricas denidas por, = e Gtr . (70) G A transmissividade total est relacionada com o componente espectral atravs da expresso, = = G,tr ()d 0 G ()d 0

(65)

A reetividade hemisfrica total , ento, denida como, e, neste caso, tem-se, = 0

G,tr () , G ()

(69)

Grel . G

(66)

p ()G ()d . G ()d 0

(67)

H dois tipos de reexo de ondas eletromagnticas, que so a especular e a difusa, como mostrado na Fig. 26. Reexo especular est presente quando o ngulo de incidncia igual ao ngulo de reexo. Radiao difusa est presente quando a reexo uniformemente distribuda em todas as direes. Um corpo real no exibe nem reexo especular nem reexo difusa pura. Uma superfcie altamente polida vai produzir uma reexo especular enquanto que uma superfcie spera ou rugosa tem uma caracterstica difusa. A hiptese de reexo difusa razovel para a maioria das aplicaes de engenharia. 3) Transmissividade: A transmissividade denida como sendo a frao da radiao total incidente que transmitida atravs de um corpo, e que nesse artigo vai ser representada pela letra grega . Tambm depende do comprimento de onda, assim como a absortividade e a reetividade. A transmissividade monocromtica designada por e a transmissividade total dada por, 1 = G

=

()G ()d 0 . G ()d 0

(71)

Para a maioria das superfcies slidas a transmissividade igual a zero, j que os corpos so normalmente opacos radiao incidente. A soma da absortividade, reetividade e transmissividade vale 1, + + = 1. Para corpos opacos, = 0. Portanto, temos + = 1. (73) (72)

G d.0

(68)

Na Fig. 27 esto representadas as distribuies espectrais da reetividade e da absortividade normais de superfcies

opacas selecionadas. Um material como o vidro ou a gua, que semitransparente em pequenos comprimentos de onda, torna-se opaco em maiores comprimentos de onda. Esse comportamento mostrado na Fig. 28, que representa a transmissividade espectral de diversos materiais semitransparentes comuns. Deve-se notar que a transmissividade do vidro afetada pelo seu teor de ferro e que a transmissividade de plsticos, tais como o Tedlar, maior do que aquela do vidro na regio IV. Esses fatores possuem um peso importante na seleo de materiais para placas de cobertura em aplicaes que envolvem coletores solares, no projeto e seleo de janelas para conservao de energia e na especicao de materiais para a fabricao de componentes ticos em sistemas de imagem infravermelhos.

D. Emissividade A quantidade total de energia irradiada pela superfcie de um corpo negro dada pela Eq. 9 e a radiao monocromtica emitida pela superfcie dada pela Eq. 7. Um corpo real emite menos radiao do que um corpo negro. A razo entre a energia real emitida por um corpo qualquer para a radiao emitida por um corpo negro mesma temperatura chamada de emissividade, . A emissividade monocromtica recebe o smbolo de e a emissividade total obtida pela integrao daquela grandeza sobre todo o espectro de comprimento de onda, dada por, = 1 En E,n d. 0

(74)

A distribuio espectral da radiao, como j mencionado, est associada com a temperatura do corpo irradiante. As caractersticas de radiao de uma superfcie, absortividade e transmissibilidade, so fortemente dependentes da distribuio espectral da radiao. Se a radiao incidente na superfcie que est a T1 se origina de uma outra superfcie que tambm est a mesma temperatura, ento a distribuio espectral da energia ser idntica e a absortividade das superfcies ser igual. Esta situao est ilustrada esquematicamente na Fig. 29.

Figura 27. Dependncia espectral da absortividade ,n e da reetividade ,n normais espectrais de materiais opacos selecionados. Figura 29. Equivalncia entre a emissividade e a absortividade.

1) Intensidade de Radiao e Sua Relao com a Emisso: Retornando Fig. 2(c), agora est-se interessado na taxa na qual a emisso a partir de dA1 passa atravs de dAn . Essa grandeza pode ser expressa em termos da intensidade espectral I,e da radiao emitida. Dene-se formalmente I,e como a a taxa na qual energia radiante emitida no comprimento de onda na direo (, ), por unidade de rea da superfcie emissora normal a essa direo, por unidade de ngulo slido no entorno dessa direo e por unidade de intervalo de comprimento de onda d no entorno de . Devemos observar que a rea utilizada para denir a intensidade o componente de dA1 perpendicular direo da radiao. Na Fig. 30, podemos ver que essa rea projetada igual a dA1 cos(). De fato, esta a forma como dA1 iria ser vista por um observador situado sobre dAn . A intensidade espectral, que possui unidades de W/(m2 .sr.m), dada por,Figura 28. Dependncia espectral de transmissividades espectrais de materiais semitransparentes selecionados.

I,,

dq , dA1 cosdd

(75)

em que (dq/d) dq a taxa na qual radiao de comprimento de onda deixa dA1 e passa atravs de dAn . Rearranjando a Eq. 75, tem-se, dq = I,e (, , )dA1 cosd, (76)

em que dq tem unidades W/m. Essa importante expresso nos permite calcular a taxa na qual a radiao emitida por uma superfcie se propaga para a regio do espao denida pelo ngulo slido d no entorno da direo (, ). Entretanto, para calcular essa taxa, a intensidade espectral I,e da radiao emitida deve ser conhecida. Expressando a Eq. 76 por unidade de rea da superfcie emissora e substituindo a Eq. 3, o uxo de radiao espectral associado dA1 dado por, dq = I,e (, , )cossendd. (77)

Figura 31. Emisso a partir de um elemento de rea diferencial dA1 para um hemisfrio hipottico centrado em um ponto sobre dA1 .

cos() que aparece no integrando uma conseqncia dessa diferena. O poder emissivo hemisfrico total, E(W/m2 ), a taxa na qual a radiao emitida por unidade de rea em todos os comprimentos de onda possveis e em todas as direes possveis. Conseqentemente, temos,

E=0

E ()d,

(79)

ou,Figura 30. A projeo de dA1 normal direo da radiao. 2 0 0 /2

E=0

I,e (, , )cossenddd.

(80)

Se as distribuies espectral e direcional de I,e forem conhecidas, ou seja, se I,e (, , ) conhecida, o uxo trmico associado emisso em qualquer ngulo slido nito ou ao longo de qualquer intervalo de comprimentos de onda nito pode ser determinado pela integrao da Eq. 77. Por exemplo, dene-se o poder emissivo hemisfrico espectral E (W/(m2 .m)) como a taxa na qual radiao de comprimento de onda emitida em todas as direes a partir de uma superfcie por unidade de intervalo de comprimentos de onda d no entorno de e por unidade de rea supercial. Assim, E o uxo trmico espectral associado emisso para um hemisfrio hipottico sobre dA1 , dado por,2 /2

Como o termo poder emissivo implica em emisso em todas as direes, o adjetivo hemisfrico redundante e freqentemente omitido. Fala-se, ento, de poder emissivo espectral E ou de poder emissivo total E. Embora a distribuio direcional da emisso de uma superfcie varie de acordo com a natureza da superfcie, existe uma caso especial que fornece uma aproximao razovel para muitas superfcies. Fala-se de emissor difuso como uma superfcie para a qual a intensidade da radiao emitida independente da direo, ou seja, I,e (, , ) = I,e (). Retirando I,e do integrando da Eq. 78 e efetuando a integrao, chega-se a, E () = I,e (). De maneira anloga, a partir da Eq. 80, temos, E = Ie (82) (81)

E () = q () =0 0

I,e (, , )cossendd. (78)

Devemos notar que E um uxo baseado na rea supercial real, enquanto I,e baseada na rea projetada. O termo

em que Ie a intensidade total da radiao emitida. Deve-se notar que a constante que aparece nas expresses anteriores e no 2, e tem a unidade de esterorradiano. 2) Emisso de Superfcies Reais: Tendo desenvolvido a noo de um corpo negro para descrever o comportamento de uma superfcie ideal, pode-se agora analisar o comportamento de superfcies reais. Deve-se lembrar de que o corpo negro um emissor ideal no sentido de que nenhuma superfcie pode emitir mais radiao do que um um corpo negro mesma temperatura. , portanto, conveniente escolher um corpo negro como referncia ao se descrever a emisso de uma superfcie real. importante reconhecer que, em geral, a radiao espectral emitida por uma superfcie real difere da distribuio de Planck (Fig. 32(a)). Alm disso, a distribuio direcional (Fig. 32(b)) pode ser diferente da difusa. Dessa forma, a emissividade pode assumir diferentes valores de acordo com o fato de se estar interessado na emisso em um dado comprimento de onda ou em uma dada direo, ou ento em mdias integradas ao longo de comprimentos de onda e direes.

, (, , , T )

I,e (, , , T ) . I,cn (, T )

(83)

Deve-se notar como os ndices subscritos e designam o interesse em relao emissividade em um comprimento de onda e em uma direo especcos. Ao contrrio, os termos que aparecem entre parnteses designam a dependncia funcional em relao ao comprimento de onda, direo e/ou temperatura. A ausncia de variveis direcionais nos parnteses do denominador da Eq. 83 implica que a intensidade independente da direo, o que , naturalmente, uma caracterstica da emisso de um corpo negro. De maneira semelhante, uma emissividade direcional total , que representa uma mdia espectral de , , pode ser denida como, (, , T )

Ie (, , T ) . Icn (T )

(84)

Na maioria dos clculos em engenharia, trabalha-se com propriedades superciais que representam mdias direcionais. Uma emissividade hemisfrica espectral dada por, E (, T ) . E,cn (, T )

(, T )

(85)

Ela pode ser relacionada com a emissividade direcional , pela substituio da expresso para o poder emissivo espectral, Eq. 78, obtendo-se,2 /2 I,e (, , , T )cossendd 0 0 . 2 /2 I,cn (, T )cossendd 0 0

(, T )

=

(86)

Ao contrrio do que acontece na Eq. 78, agora a dependncia em relao temperatura reconhecida. Pela Eq. 83 e como I,cn independente de e , tem-se,2 0 /2 , (, , , T )cossendd 0 . 2 /2 cossendd 0 0

(, T ) =

(87)

Considerando , independente de , o que uma hiptese razovel para a maioria das superfcies, e calculando o denominador, obtm-se,/2 (, T )

=20

, (, , T )cossend.

(88)

Figura 32. Comparao de emisses de um corpo negro e de uma superfcie real. (a) Distribuio espectral. (b) Distribuio direcional.

Dene-se a emissividade direcional espectral (, , , T ) de uma superfcie a uma temperatura T , como a razo entre a intensidade da radiao emitida no comprimento de onda e na direo e , e a emissividade da radio emitida por um corpo negro nos mesmos valores de T e . Portanto, temos

A emissividade hemisfrica total, que representa uma mdia em todas as direes e comprimentos de onda possveis, dada por, (T ) E(T ) . Ecn (T )

(89)

Substituindo as Eqs. (79) e (85), tem-se,

(T ) =

(, T )E,b (, T )d 0

Eb (T )

.

(90)

Se as emissividades de uma superfcie forem conhecidas, torna-se uma questo simples calcular as caractersticas da sua emisso. Por exemplo, se (, T ) for conhecido, ele pode ser usado para determinar o poder emissivo espectral da superfcie em quaisquer comprimento de onda e temperatura. De maneira semelhante, se (T ) for conhecido, ele pode ser usado para calcular o poder emissivo total da superfcie em qualquer temperatura. A emissividade direcional de um emissor difuso uma constante, independente da direo. Entretanto, embora essa condio seja freqentemente uma aproximao razovel, todas as superfcies exibem algum desvio do comportamento difuso. Variaes representativas do valor de em funo de so mostradas esquematicamente na Fig. 33 para materiais condutores e materiais no-condutores. Para condutores, aproximadamente constante na faixa de 40 , acima da qual ela aumenta com o aumento de , mas nalmente decai para zero. Ao contrrio, para materiais no-condutores, aproximadamente constante para 70 , alm do que ela diminui rapidamente com o aumento de . Uma implicao dessas variaes que, embora existam direes preferenciais para a emisso, a emissividade hemisfrica no ir diferir acentuadamente do valor da emissividade normal superfcie n , que corresponde a = 0. Na realidade , a razo raramente se situa fora do intervalo 1, 0 ( / n ) 1, 3 para materiais condutores e do intervalo 0, 95 ( / n ) 1, 0 para materiais no-condutores. Dessa forma, com uma aproximao razovel, tem-se n.

espera que a emissividade espectral seja independente do comprimento de onda. Algumas distribuies espectrais representativas de so mostradas na Fig. 34. A forma em que varia com depende de se o slido um condutor ou no-condutor, assim como da natureza do revestimento da superfcie.

Figura 34. Dependncia espectral da emissividade normal espectral materiais selecionados.

,n

de

Valores representativos da emissividade normal total n so apresentados nas Figs. 35 e 36. Vrias generalizaes podem ser feitas.

(91)Figura 35. Dependncia com a temperatura da emissividade normal total de materiais selecionados.n

Figura 33. total.

Distribuio direcional representativa da emissividade direcional

Deve-se notar que, embora as consideraes anteriores tenham sido feitas para a emissividade total, elas tambm se aplicam s componentes espectrais. Como a distribuio espectral da emisso de superfcies reais se afasta da distribuio de Planck (Fig. 32), no se

A emissividade de superfcies metlicas geralmente pequena, atingindo valores da ordem de 0,02 para superfcies altamente polidas de ouro e de prata. A presena de camadas de xidos pode aumentar signicativamente a emissividade de superfcies metlicas. A emissividade de materiais no-condutores comparativamente maior, sendo em geral superior a 0,6. A emissividade de condutores aumenta com o aumento da temperatura; entretanto, dependendo do material, a emissividade de no-condutores pode tanto aumentar como diminuir com o aumento da temperatura. Devese notar que as variaes de n com T apresentadas na Fig. 35 so consistentes com as distribuies espectrais de ,n mostradas na Fig. 34. Essas tendncias seguem a Eq. 90. Embora a distribuio espectral de ,n seja aproximadamente independente da temperatura, h proporcionalmente uma maior emisso em menores

Figura 37.

Troca radiante em uma cavidade isotrmica.

Figura 36.

Valores representativos da emissividade normal total

n.

comprimentos de onda com o aumento da temperatura. Dessa forma, se para um material em particular ,n aumenta com a diminuio do comprimento de onda, n ir aumentar com o aumento da temperatura para esse material. Deve ser reconhecido que a emissividade depende fortemente da natureza da superfcie, que pode ser inuenciada pelo mtodo de fabricao, seu ciclo trmico e reaes qumicas com o ambiente. E. Lei de Kirchhoff Vamos considerar um grande recinto isotrmico com temperatura supercial Ts no interior do qual esto connados vrios corpos pequenos, como mostrado na Fig. 37. Como esses corpos so pequenos quando comparados ao recinto, a sua inuncia desprezvel no campo de radiao, que devido ao efeito cumulativo da emisso e da reexo na superfcie do recinto. Deve-se lembrar que, independentemente de suas propriedades radiantes, tal superfcie forma uma cavidade que se comporta como um corpo negro. Em conseqncia, independentemente da sua orientao, a irradiao experimentada por qualquer corpo no interior da cavidade difusa e igual emisso de um corpo negro a Ts . Portanto, temos, G = Ecn (Ts ). (92)

E1 Ts = Ecn (Ts ). 1 Como esse resultado deve ser aplicvel a cada um dos corpos connados, obtemos, E1 Ts E2 Ts = = ... = Ecn Ts . 1 2

(93)

Essa relao conhecida como lei de Kirchhoff. Uma conseqncia importante que, como 1, E(Ts ) Ecn (Ts ). Dessa forma, nenhuma superfcie real pode ter um poder emissivo superior quele de uma superfcie negra mesma temperatura e o conceito do corpo negro como um emissor ideal est conrmado. A partir da denio da emissividade hemisfrica total, Eq. 89, uma forma alternativa da lei de Kirchhoff1

1

=

2

2

= ...1.

(94)

Assim, para qualquer superfcie no interior do recinto, temse, = , (95)

Sob condies de regime estacionrio, deve existir equilbrio trmico entre os corpos e o recinto. Dessa forma, T1 = T2 = ... = Ts e a taxa lquida de transferncia de energia para cada superfcie deve ser igual a zero. Aplicando um balano de energia em uma superfcie de controle ao redor do corpo 1, tem-se, 1 GA1 E1 (Ts )A1 = 0, ou, da Eq. 92,

ou seja, a emissividade hemisfrica total da superfcie igual sua absortividade hemisfrica total. A deduo anterior pode ser repetida em condies espectrais. Para qualquer superfcie no interior do recinto, tem-se, como mostrado na Eq. 96, que = . (96)

Condies associadas ao uso da Eq. 96 so menos restritivas do que aquelas associadas Eq. 95. Uma forma da lei de Kirchhoff para a qual no h restries envolve as propriedades direcionais espectrais:

,

= , .

(97)

Essa igualdade sempre aplicvel, porque , e , so propriedades inerentes da superfcie. Isto , respectivamente, elas so independentes das distribuies espectral e direcional das radiaes emitida e incidente. F. Corpo Cinzento Um corpo cuja emissividade e absortividade da sua superfcie so independentes do comprimento de onda e da direo chamado de corpo cinzento, ou seja, = e = = cte. Aceitando o fato de que a emissividade direcional espectral e absotividade direcional espectral so iguais sob quaisquer condies, comearei considerando as condies associadas ao uso da Eq. 96. De acordo com as denies das propriedades hemisfricas espectrais, est-se na realidade perguntando sob quais condies, se que de fato existe alguma, a seguinte igualdade ser vlida,2 /2 , cossendd ? = = 0 20 /2 cossendd 0 0 2 /2 , I,i cossendd 0 0 2 /2 I,i cossendd o 0

= cte,

A superfcie cinza ( e so independentes de ) Devemos notar que a primeira condio corresponde principal hiptese necessria para a deduo da lei de Kirchhoff. Como a absortividade total de uma superfcie depende da distribuio espectral da irradiao, no se pode armar inequivocadamente que = . Por exemplo, uma superfcie particular pode ser altamente absorvedora da radiao em uma regio espectral e virtualmente no-absorvedora em outra regio, como mostra a Fig. 38(a). Conseqentemente, para os dois possveis campos de irradiao, G,1 () e G,2 () mostrados na Fig. 38(b), os valores de iro diferir drasticamente. Em contraste, o valor de independente da irradiao. Assim, no h qualquer base para se estabelecer que seja sempre igual a . Para admitir comportamento de superfcie cinza e portanto a validade da Eq. 95, no necessrio que e sejam independentes de em todo o espectro. Falando pragmaticamente, uma supercie cinza pode ser denida como sendo uma superfcie para a qual e so independentes de nas regies espectrais da irradiao e da emisso supercial. Da Eq. 100, mostra-se facilmente que o comportamento de superfcie cinza pode ser admitido para as condies da Fig. 39. Isto , a irradiao e a emisso supercial esto concentradas em uma regio na qual as propriedades espectrais da superfcie so aproximadamente constantes. Conseqentemente, 2 1

= (98) e (99)

E,cn (, T )d Ecn (T )

,o

=

,o ,

Como e, = , , tem-se por inspeo que a Eq. 96 pode ser aplicada se uma das seguintes condies for satisfeita: A irradiao difusa (I,i independente de e ); A superfcie difusa ( , e , so independentes de e ) A primeira condio uma aproximao razovel para muitos clculos em engenharia; a segunda condio razovel para muitas superfcies, particularmente de materiais que no conduzem eletricidade. Admitindo a existncia de uma irradiao difusa ou de uma superfcie difusa, agora vou considerar quais condies adicionais devem ser satisfeitas para que a Eq. 95 seja vlida. Das Eqs. 90 e 60, a igualdade se aplica caso, E,cn (, T )d ? 0 0

= ,o

4 3

G d G

,

cujo caso = = ,o . Entretanto, se a irradiao se encontrasse em uma regio espectral que correspondesse a < 1 ou > 4 , o comportamento de superfcie cinza no poderia ser admitido.

=

Ecn (T )

=

G ()d = . G

(100)Figura 38. Distribuio espectral. (a) da absortividade espectral de uma superfcie e (b) da irradiao espectral em uma superfcie.

Como = , tem-se que, por inspeo, a Eq. 95 pode ser utilizada se uma das seguintes condies for satisfeita: A irradiao corresponde emisso de um corpo negro com temperatura supercial T , em cujo caso G () = E,cn (, T ) e G = Ecn (T );

Uma superfcie para a qual , e , so independentes de e conhecida por superfcie cinza difusa (difusa devido independncia direcional e cinza devido independncia em

Figura 39. Um conjunto de condies nas quais o comportamento de superfcie cinza pode ser suposto.

Figura 40. Dependncia espectral da emissividade e absortividade. Condutores eltricos.

relao ao comprimento de onda). Ela uma superfcie na qual as Eqs. 95 e 96 so satisfeitas. Admite-se tais condies superciais em muitas consideraes subseqentes. Contudo, embora a hiptese de superfcie cinza seja razovel para muitas aplicaes, alguma cautela deve ser tomada ao utilizla, particularmente se as regies espectrais da irradiao e da emisso forem signicativamente afastadas. G. Corpo Real As propriedades de radiao da superfcie de um corpo real so diferentes daquelas dos corpos negro e cinzento. A emissividade monocromtica das vrias superfcies reais apresentada nas Figs. 40 e 41. A radiao emitida por um corpo real no inteiramente difusa. Portanto, a emissividade do corpo depende do ngulo de observao. A variao direcional da emissividade para vrios materiais mostrada nas Figs.42 e 43. Tendo em vista que clculos de engenharia so o interesse principal deste artigo, importante que se reconhea quando as caractersticas de radiao das superfcies de um corpo real podem ser aproximadas pelas de um corpo cinzento. Para se decidir se tais aproximaes so possveis, a distribuio espectral da radiao emitida pelo corpo e a radiao incidente no corpo devem ser consideradas. Referindo-se s Figs.40 e 41, se a maior parcela da radiao incidente que atinge o alumnio de superfcie anodizada se localizar na faixa de comprimento de onda de 8 a 10 m, ento o comportamento desta superfcie pode ser considerado como sendo o de um corpo negro com absortividade de 0,93. Nenhum erro signicativo seria introduzido, uma vez que a absortividade aproximadamente constante nessa faixa de comprimento de onda. Se, contudo, a radiao incidente na superfcie for extendida para a faixa de 2 a 10 m, ento a aproximao do corpo cinzento pode ainda ser utilizada, mas com prejuzo

Figura 41.

Dependncia espectral da emissividade e absortividade. Metais.

Figura 42.

Emissividade direcional total. Isolante eltrico.

Figura 44.

Balano de energia para um corpo cinzento.

Figura 43.

Emissividade direcional total. Metais.

J= de exatido. A absortividade mdia da superfcie obtida utilizando-se a Eq. 54. A caracterstica direcional da radiao das superfcies dos corpos reais est ilustrada nas Figs. 42 e 43, como j mencionado. Para considerar essa variao, emissividades monocromtica direcional e total so utilizadas. Os valores tabulados da emissividade para a superfcie de um corpo real so geralmente aqueles normais superfcie do corpo, = 0 . As emissividades so distinguidas pelo ndice n, n e n . Para isolantes eltricos, a variao de n e + n menos do que 3%. Para condutores, a variao pode ser maior, s vezes atingindo + 15%. Valores da emissivid