PAT 1

By We Math Tutors

เฉลยข�อสอบคณิตศาสตร� PAT1 (มี.ค.59)

14

เฉลยละเอียดข้อสอบ PAT 1 2559

มีนาคม

1. ตอบ 5

วิธีท�า (ก) ผิด เพรำะถ้ำให้A={1,2},B={{2}},C={2,3}

จะได้ A∩ C={2} B

B∪C={2,3,{2}}

A B∪C

(ข) ผิด

2. ตอบ 3

วิธีท�าจำกข้อมูลที่โจทย์ก�ำหนดให้เขียนแผนภำพได้ดังนี้

เงื่อนไข : ชอบเรียนวิชำเดียวมี21คน

(20_ a_ b)+(18_ a_ c)+(17_ b_ c)=21

a+b+c=17

จ�ำนวนนักเรียนที่ชอบเรียนวิชำภำษำอังกฤษหรือวิชำภำษำไทยแต่ไม่ชอบเรียนวิชำคณิตศำสตร์

=(18_ a_ c)+c+(17_ b_ c)

=35_ a_ b_ c=35_ (a+b+c)=35_ 17=18คน

จำกแผนภำพ

(A∪ B)∪ (B∩C)=A∪ B≠B

\ข้อควำมนี้ผิด

(ค) ผิด เพรำะP(A)∪P(B)⊂P(A∪B)

B

A C

A∩C

ชอบMATH=24

ชอบTHAI=21

ชอบENG=22

20_a_b 18_a_c

17_b_c

cb

a

4

15

3. ตอบ 1

วิธีท�า พิจารณา (ก)ตัวเชื่อมหลักเป็น

ขั้นที่ 1 สมมติให้คำ่ควำมจริงเป็นเท็จ(F)และเริ่มจำกด้ำนหลังก่อน

เพรำะมีกรณีเดียวที่จะเท็จ

ขั้นที่ 2 น�ำคำ่ควำมจริงของp,qที่ได้จำกขั้นที่1แทนในด้ำนหน้ำซึ่งเรำจะพบว่ำมันขัดแย้ง

เมื่อมันขัดแย้งแสดงวำ่เป็นสัจนิรันดร์\ (ก)ถูก

(p q) (~p q)

(~p q)

T TF F

พิจารณา (ข)ตัวเชื่อมหลักเป็น เรำพบว่ำท�ำด้ำนซ้ำยให้เหมือน(สมมูล)กับด้ำนขวำไม่ได้

แสดงว่ำไม่เป็นสัจนิรันดร์\(ข)ถูก

หมายเหตุเช่น p≡F,q≡Fเรำจะได้ว่ำ

~p q≡ T แต่~p q≡ F

(~p q) (~q p)

F

T F

T F

~q≡ T p≡ Fq≡ F

F

T F

TT F

F

F

(~p q) (~q p)

~p≡ Tp≡ F q≡ Fขัดแย้ง

16

2

0

1

กรณีที่ 1x>0

≤0 ≤0 0≤0จริงเสมอ

แสดงว่ำช่วงค�ำตอบ1=(0,∞)ใช้ได้ทั้งหมด

กรณีที่ 2 x<0

≤0 ≤0เมื่อ x<0 _2x>0

ดังนั้น|_2x|=_2xจะได้≤0 _2≤0จริงเสมอ

|x _ x|x

| _x _ x|x

| _2x|x

_2xx

0x

พิจารณา (ค)

(p q) (~r ~q) ≡ (~p q) (~~r ~q)

≡ ~p q r ~q

≡ ~p r q ~q

≡ ~p r (q ~q)

≡ T

ในขณะที่p r≡Fเป็นเท็จได้เมื่อp≡T,r≡F

ดังนั้นทั้งสองไม่สมมูลกัน\(ค)ผิด

T

พิจารณา P(x)โดยx≠ 0จะแบ่งได้2กรณี

4. ตอบ2

วิธีท�า พิจารณา เอกภพสัมพัทธ์

0<|x|<2 จริงเสมอยกเว้น ยกเว้นxเป็น0

0<|x|และ|x|<2

ดังนั้นx≠0 ∩ _2<x<2

\ =(_2,0)∪(0,2)

17

แสดงว่ำช่วงค�ำตอบ2=(_∞,0)ใช้ได้ทั้งหมด

ช่วงค�ำตอบ=ช่วงค�ำตอบ1∪ช่วงค�ำตอบ2=(_∞,0)∪(0,∞)

\ P(x)แทนx (_∞,0)∪(0,∞)

พิจารณา Q(x)จำกโจทย์ได้วำ่

|x _ |x _1||<3เพรำะว่ำ(x_1)2=|x_ 1|

แบ่ง2กรณี

2

1

1

กรณีที่ 1x>1

|x _ (x_ 1)|< 3

1 < 3 จริงเสมอ

แสดงว่ำช่วงค�ำตอบ1=(1,∞)ใช้ได้ทั้งหมด

กรณีที่ 2 x ≤ 1

|x _ (_ (x_ 1))| < 3

|2x_ 1| < 3

_3<2x_ 1 < 3

_2<2x <4

_1<x<2

ช่วงค�ำตอบ2=(_1,1]

ช่วงค�ำตอบ=ช่วงค�ำตอบ1∪ช่วงค�ำตอบ2

=(1,∞)∪(_1,1]=(_1,∞)

\ Q(x)แทนx (_1,∞)

∩

1 2_1

x ≤ 1_1< x < 2

18

พิจารณา (ก)เมื่อ =(_2,0)∪(0,2)

∃x[Q(x)]≡ ∃x[x (_1,∞)]≡T

เช่นx=1

∀x[P(x)]≡ ∀x [x (_∞,0)∪(0,∞)]≡T

เพรำะ(_2,0)∪(0,2)⊂(_∞,0)∪(0,∞)

ดังนั้นทุกxใน จะอยู่ใน(_∞,0)∪(0,∞)

\ ∃x[Q(x)] ∀x[P(x)]≡T(ก)ถูกTT

พิจารณา (ข)เมื่อ =(_2,0)∪(0,2)

∀x[P(x) Q(x)]≡ ∀x [x (_∞,0)∪(0,∞)และx (_1,∞)]

≡ ∀x [x (_1,0)∪(0,∞)]

≡F(ข)ผิด

เช่นx=_1.5

พิจารณา (ค)เมื่อ =(_2,0)∪(0,2)

∀x[~P(x)] ≡ ∀x [x (_∞,0)∪(0,∞)]

≡ ∀x[x=0]≡F

∀x[Q(x)] ≡ ∀x [x (_1,∞)]≡F

เช่นx=_1.5

\ ∀x[~P(x)] ∀x[Q(x)]≡F(ค)ถูกFF

19

5. ตอบ 5

วิธีท�าจำก a*b=1 =1 =1 + = 1 + = 1____(1)

จำก a*c=2 =2 = + = + = ____(2)

จำก b*c=3 =3 = + = + = ____(3)

หา a(1)+(2)_(3),

+++_+ = 1+_

= a=

แทนaใน(1)ได้ +=1 = b=

แทนaใน(2)ได้ += =_ c=_ 12

ค�ำตอบที่1 +<_12ผิด ค�ำตอบที่2 <+(_12)ผิด

ค�ำตอบที่3 <<_12ผิด ค�ำตอบที่4 <_12<ผิด

ค�ำตอบที่5 _12<< ถูก

aba+baca+cbcb+c

a+baba+cacb+cbc

aabaacbbc

babcaccbc

127

127127

127

127

127

712712

512

112

125

125125

125

125

125

1b1c1c

1213

1213

1213

1a1a

1a

1a

1b

1b

1b

1b1c

1b1c

12

12

76

2a

13

1c

1c

20

6. ตอบ0045.00

วิธีท�าจำก |a|+|b|=|a-b|

เมื่อ ab≤0 จำกโจทย์|x_ 1 _2|+|x_ 1 _3|=|(x_ 1 _2)_(x_ 1 _3)|

\ (x_ 1 _2)(x_ 1 _3)≤0

ให้A =x_ 1

(A_2)(A_3)≤0 A:2,3

เงื่อนไข

x _ 1 ≥0 x ≥ 1

x [1,∞)

2≤A≤ 3

\ 2≤ x _ 1 ≤ 3

(2)2≤(x_1)2 ≤(3)2

4≤ x _ 1 ≤9 บวก 1 5 ≤ x ≤ 10 x [5,10]

ค�ำตอบ=[5,10]∩[1,∞)=[5,10]

เมื่อx Iและx [5,10]

ดังนั้นA={5,6,7,8,9,10}

\ ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดในเซตA=45

เมื่อa,b,c≥0 a≤b≤ c \ a2 ≤b2 ≤ c2

2 3

เงื่อนไข

21

7. ตอบ 3

วิธีท�าx+2<3 _ x+2x _ 1

(x+2)2<(3_x+2x_1)2

x+2<(3_ x)+23_ x2x_1+(2x_1)

0<23_x2x_ 1

เรำพบว่ำด้ำนขวำ(23_x2x_1)ไม่เป็นลบแน่

ดังนั้นxในเงื่อนไขใช้ได้ทั้งหมดยกเว้นx=3,

ซึ่งท�ำให้23_x2x_1=0

\ x ≠3,

ขั้นที่ 2 ยกก�าลัง 2

12

12

12

12

∩ ∩

ขั้นที่ 1 เงื่อนไขx+2≥0และ3_ x ≥0และ2x_ 1 ≥0

ดังนั้นเงื่อนไขของโจทย์คือx [,3]

x ≥ _2 3 ≥ x x ≥ 12

เงื่อนไข

12

3_2

ขั้นที่ 3 น�ำค�ำตอบ∩เงื่อนไข

\ค�ำตอบเมื่อ∩เงื่อนไขคือx (,3)

22

ค�าตอบที่ 1 |2x_1|<1 ค�าตอบที่ 2 | x _2| <1

_1<2x_1<1 _1<x_2<1

0<2x<2 1<x<3

0<x <1 x (1,3)

x (0,1)

ค�าตอบที่ 3 |x _1|<2 ค�าตอบที่ 4 x2+2<3x

_2<x_1<2 x2_ 3x+2<0

_1<x<3 (x_2)(x_1)<0

x (_ 1,3)3

ค�าตอบที่ 5 x2<2x

x2_ 2x<0 x (1,2)

(x)(x_2)<0

x (0,2)0 2

1 2

23

8. ตอบ0641.00

วิธีท�าจำกa(a+b+3)=0

จะได้ว่ำa=0____(1)หรือa+b+3=0____(2)

พิจารณา กรณี (1)เมื่อa=0

จำกโจทย์ 2(b_a) = (a+b+1)(2_b)

จะได้ว่ำ 2(b_0) = (0+b+1)(2_b)

2b = 2b_b2+2_b

b2+b_2 = 0

(b+2)(b_1) = 0 b=_2,1

จะได้ค�ำตอบคือa=0,b=_2และa=0,b=1

พิจารณา กรณี (2)เมื่อa+b+3=0

จะได้ว่ำ a=_b_ 3 ____(3)

จำกโจทย์ 2(b_a) = (a+b+1)(2_b)

2(b_(_b_3)) = (_b_3+b+1)(2_b)

2(2b+3) = _2(2_b)

2b+3 = _(2_b)

b = _5

แทนb=_5ใน(3)ได้a=_(_5)_3=2

จะได้ค�ำตอบคือa=2,b=_5

เรำพบว่ำa4+b4มีค่ำมำกที่สุดเมื่อa=2,b=_5

\a4+b4=24+(_5)4=16+625=641

24

9. ตอบ20

วิธีท�าพิจำรณำr1

กรณีที่ 1y_2≥0 |x _ 1| ≤y_2

(y≥2)(y_2 ≥ |x _1|)

วิธีวำด|x_ 1| ≤|y_2|โดยแบ่ง2กรณีคือ

กรณีที่ 2y_2<0 |x _ 1| ≤ _ (y_2)

(y<2) (y_2 ≤ _ |x _1|)

จำกนั้นเรำก็เอำมำรวมกัน

วาด y _ 2 = |x _ 1| ก่อน

แล้วเอา พ.ท. เหนือกราฟ

รวมเส้นกราฟ

วาด y _ 2 = _|x _ 1| ก่อน

แล้วเอา พ.ท. ใต้กราฟ

รวมเส้นกราฟ

y≥ 0

r1

น�ำมำ∩กัน

x=1

y=2

และx2 _y2 _2x+4y ≤ 3

(x2 _2x)_(y2 _4y)≤ 3

(x2 _2x+1)_(y2 _4y+4) ≤3+1_4 (x_1)2 _(y_2)2 ≤0 (x_1)2 ≤ (y_2)2 (x_1)2 ≤ (y_2)2 |x _ 1| ≤ |y_2|

y

x

y

_ 1 3x

y

x

y≥ 0

y=2(_ 1,0) (3,0)

x=1

y

xy=2

(1,2)

y

xy=2(1,2)

25

พิจำรณำr2

y≥ 0

y≥ 0

น�ำมำ∩กัน

และx2+y2 _2x≤ 33

(x2 _2x)+y2 ≤ 33

(x2 _2x+1)+y2 ≤33+1 (x_1)2+y2 ≤34

y

x

วาด (x _ 1)2 + y2 = 34 ก่อน

จะได้วงกลม C(1,0) และ r = 34

แล้วเอา พ.ท. ด้านในรวมเส้นรอบ

รูปด้วยy

C(1,0)x

34 34

y

C(1,0)x

34 341+34≈6กว่ำๆ≈ _4กว่ำๆ

1_34

r2

จุดA,Bแก้จำก

y_2=|x-1| ____ (1)

(x_1)2+y2=34____ (2)

จะได้A(_2,5)

และB(4,5)

\จำกกรำฟr1 ∩r2พบว่ำ

Dr1∩r2=[_2,4]

a=_2,b=4และa2+b2=(_2)2+42=20

พิจำรณำr1 ∩r2

x43

A B

_2 _1

y

1+341_34

26

10.ตอบ4

วิธีท�าจำก(f_1og)(x) =3xf(x)_ 3x _4

f_1(g(x)) =3xf(x)_ 3x _4 ____(1)

จำกf (x+3) =x+4 x _ 3 x _ 3

f(x_3+3) =(x_3)+4

f(x) =x+1___(2)

แทน(2),(3)ใน(1)

g(x)_1 = 3x(x+1)_ 3x _4

g(x)_1 = 3x2+3x_ 3x _4

g(x)=3x2 _ 3 ___(4)

ดังนั้นA_B=[_3,∞)_ [_2,∞)=[_3,_2)

ซึ่ง[_3,_2)⊂(_4,_2)

gof(x)=g(f(x))=g(x+1)=3(x+1)2 _ 3

จะได้y=3(x+1)2 _ 3 3(x+1)2=y+3

\y+3≥0 y≥ _3 \A=Rgof=[_3,∞)

fog(x)=f(g(x))=f(3x2 _3)=(3x2 _3)+1

จะได้y=3x2 _2 3x2=y+2

\y+2≥0 y≥ _2\B=Rfog=[_2,∞)

หา A โดย A = Rgof

หา B โดย B = Rfog

≥ 0

≥ 0 ≥ 0

≥ 0

Inv x = y+1 y = x _ 1

f_1(x) = x_ 1

\ f_1(g(x)) = g(x)_ 1 ___(3)

27

11. ตอบ2

วิธีท�าจำก g(1 + x) = x(2 + x)

g(1+x_1) = (x_1)(2+x_1)

g(x) = (x_1)(1+x)=x2 _ 1

และจำกfog(x) = x2+1

f (g(x)) = x2+1

f (x2 _1) = x2+1

f (x+1_1) = (x+1)+1

f(x) = x+2

พิจารณา (ก)

(gof)(x) = (fog)(x)

g(f(x)) = f(g(x))

g(x+2) = f(x2 _1)

(x+2)2 _1 = (x2 _1)+2

x2+4x+4_1 = x2+1

4x =_2 x=_

\ {x R /(gof)(x)=(fog)(x)}={_}(ก) ผิด

พิจารณา (ข)

(gof)(x)+1 ≥ 0 จำก(ก)[(x+2)2_1]+1 ≥ 0 (x+2)2 ≥ 0 จริงเสมอ

x R

ดังนั้นทุกจ�ำนวนจริงx≥ _1ท�ำให้อสมกำรนี้เป็นจริง \ (ข) ถูก

x+1

แทนxด้วยx_ 1

แทนx2ด้วยx+1x+1

x _ 1 x _ 1 x _ 1

1212

28

แก้สมกำร(1)และ(2)

ได้จุดตัดO(0,1)

ท�ำหน้ำที่เป็นจุดศูนย์กลำง

r=OC=4+1=5

สมกำรวงกลมคือx2+(y_1)2 = (5)2

x2+y2 _2y+1 = 5 x2+y2 _2y_4 = 0 หมายเหตุ :เมื่อหำจุดศูนย์กลำงวงกลมได้สำมำรถใช้สูตรลัดในกำรหำจุดศูนย์กลำงวงกลม

จำกสมกำรรูปทั่วไปตัดChoiceได้พบว่ำChoice1มีจุดศูนย์กลำงที่(0,1)

เพียงข้อเดียวจึงตอบChoice1ได้เลย

พิจารณา (ค)

(f+g)(x) ≥ 1

f (x)+g(x) ≥ 1

(x+2)+(x2 _1) ≥ 1

x2+x ≥0 (x)(x+1) ≥0

ดังนั้นเรำพบว่ำมีxบำงจ�ำนวนที่x≥ _1ที่ท�ำให้อสมกำรเป็นเท็จเช่นx=_0.5

\ (ค) ผิด

_1 0

12.ตอบ 1

วิธีท�า

A

rO(0,1)

C(_ 2,2)

l1:y=2x+1____(1)

B

_22l2:y=

_x+1____(2)12

CA.CB=0แสดงว่ำCACB

มุมCAB=90๐เป็นมุมภำยในครึ่งวงกลม

ABจึงท�ำหน้ำที่เป็นเส้นผ่ำนศูนย์กลำง

ถำ้|CA|=|CB|ลำกCOตั้งฉำกกับAB

จะได้จุดOแบ่งครึ่งABพอดีจุดOจึงเป็นจุดศูนย์กลำงของวงกลม

^

29

13. ตอบ 3

วิธีท�าจำก | x2 _x|+|3_ x _ | x _ 3 || = 0 || x | _x|+|3_ x _ | x _ 3 || = 0 สมกำรเป็นจริงได้เมื่อ

|| x | _x| =0 และ |3_ x _ | x _ 3 || = 0 | x | _x =0 และ 3 _ x _ | x _3| = 0

|x|=x และ _(x_3) = |x_ 3 |

แสดงว่ำ x ≥0 และ x_ 3 ≤ 0 x ≤ 3

เซตค�ำตอบของสมกำรคือ[0,∞) ∩ (_∞,3]=[0,3]

หำจุดปลำยของส่วนของเส้นตรง2x+3y+6=0

โดยแทนx=0และx=3ในสมกำรเส้นตรง2x+3y+6=0

เมื่อx=0จะได้2(0)+3y+6=0 y=2

เมื่อx=3จะได้2(3)+3y_6=0 y=0

ดังนั้นPARAผ่ำนจุด(0,2),(3,0)และสมมำตรแกนy

เขียนกรำฟได้ดังรูป

สมกำรPARAคือ(x_0)2=_4C(y_2)

PARAผ่ำนจุด(3,0)จะได้32=_ 4C(0_2)

_4C = _ 92

\ควำมยำวลำตัสเรกตัมของพำรำโบลำ=4C=หน่วย92

y

(0,2)

(3,0)x

30

14.ตอบ 3

วิธีท�า

P:x2+4x+3y_ 5=0

x2+4x+22=_3y+5+4

(x+2)2=_3(y_3)

จำกโจทย์VF1+VF2=213

โดยVF1=VF2ดังนั้นVF1=VF2=13

จำกรูปCV=3

พิจารณา ΔCVF2 : (VF2)2=(CV)2+C

(13)2=32+C C=4

พิจารณาวงรี : a=b+c

32=b+4 b=5

สมกำรวงรีคือ +=1

น�ำ45คูณตลอดจะได้5(x+2)2+9y2= 45

5(x2+4x+4)+9y2=45

5x2+20x+20+9y2 =45

\ สมกำรวงรีE: 5x2+20x+9y2=25

(x+2)2

9y2

5

2E

2E

2E2E

2E

2E

2E

2E

หำจำกจุดกึ่งกลำงระหว่ำงAกับB

=C(,0)=C(_2,0)_5+12

C(_2,0)cE

aE=3

F1 F2

V(_2,3)

A(_5,0) B(1,0)

1313

y,

x,

31

แก้สมกำรเส้นตรงl2กับl3จะได้จุดตัดA(2,1)ท�ำหน้ำที่เป็นศูนย์กลำงวงกลม

และเป็นจุดศูนย์กลำงของHYPERด้วยเมื่อใช้เทคนิคลัดในกำรหำจุดศูนย์กลำงHYPER

จำกแต่ละChoiceพบว่ำChoice5มีจุดศูนย์กลำงที่(2,1)ข้อเดียวจึงCheckChoice

ตอบ5ได้เลย

ถ้าท�าวิธีตรงr=ระยะจำกAไปB=32+42=5

จำกรูป sin37 = = a=6

cos37 = = b=8

สมกำรHYPERจึงเป็น_=1

กระจำยได้เป็น16y2 _9x2 _32y+36x_596=0

ac

35

a10b10

45

bc

(x_ 2)2

82(y_ 1)2

62

15. ตอบ 5

วิธีท�า

l1:3x+4y_35=0

l2:4x_3y_5=0

l3:3x_4y_2=0

c=2r=10

c=10

B(5,5)5 5

q=37

34

m3=tanq= q=37

A b

a

y,

x,

F

32

16. ตอบ2

วิธีท�า

(At)_1B=

I (At)

_1 BB_1= B

_1

(A_1)t=

=

8 _2_3 1

8 _2_3 1

8 _2_3 1

1 0

b 1

a _2

0 1

8_ 2b_2

_3+b 1

12

11

พิจารณาแถวที่ 2 หลักที่ 1:0=_3+b b=3

พิจารณาแถวที่ 1 หลักที่ 1:a=8_2(3)=2

จะได้ A_1= B

_1=

det (A_1)=(2)(1)+0=2 det (B

_1)=(1)(1)+0=1

A=(A_1)

_1 = 2A=

B=(B_1)

_1 = =

2A+B= \ det (2A+B)=(2)(3)+0=6

2

3

a 0_2 1

2 0_1 3

1 0

2 21 0

_3 1

1 0

2 21 0

_3 1

1 0

b 1

33

17.ตอบ0003.00

วิธีท�า

AAt=9I

พิจารณาแถวที่ 1 หลักที่ 2:2a_ 2b+2=0____(1)

พิจารณาแถวที่ 3 หลักที่ 2:a+2b+4=0____(2)

(1)+(2):3a+6=0 a=_2

น�ำคำ่aแทนใน(2)จะได้_2+2b+4=0 b=_1

\a2+b2=(_2)2 _(_1)2=4_1=3

2 _21 a b21 22

92a _ 2b + 20 2a _ 2b + 2a2 + b2 + 4a + 2b + 40 a + 2b + 4 9

2 a1_2 b21 22

1 000 100 01

9 000 900 09

=9

=

18.ตอบ0003.00

วิธีท�าจำกโจทย์a=i+j+k |a|=12+12+12=3

|b|=|a|2=(3)2=3

|c|=2

เนื่องจำกa+b=tc

|a+b+c|=|tc+c|

|a+b+c| =|(t+1)c|

|a+b+c|2=|(t+1)c|2

|a|2+|b|2+|c|2+2a . b+2b . c+2c . a)=(t+1)2|c|2

(3)2+32+(2)2+2(a . b+b . c+c . a)=(t+1)2(2)2

(t+1)2 = 16

t = _5,3

\t=3

9

ใช้ไม่ได้เพรำะtเป็นจ�ำนวนจริงบวก

34

19.ตอบ4

วิธีท�า จำกอสมกำรข้อจ�ำกัดที่โจทย์ก�ำหนดให้

สำมำรถเขียนกรำฟได้ดังนี้

จำกสมกำรจุดประสงค์P=7x_5y

P(1,9) = _38

P(5,11) = _20

P(6,2) = 32 แสดงว่ำa=6,b=2

P(3,3) = 6

(ก)ถูก เพรำะ a2+b2=62+22=40

(ข)ถูก เพรำะ ผลต่ำงของคำ่มำกที่สุดและค่ำน้อยที่สุดของP=32_ (_38)=70

(ค)ถูก เพรำะAมีพิกัดA(6,2)

BมีพิกัดB(1,9)

น�ำจุดAแทนในสมกำรเส้นตรง7x+5y=52

จะได้7(6)+5(2)=52สมกำรเป็นจริง

น�ำจุดBแทนในสมกำรเส้นตรง7x+5y=52

จะได้7(1)+5(9)=52สมกำรเป็นจริง

\จุดA(6,2)และB(1,9)อยู่บนเส้นตรง7x+5y=52

min

max

y

x

x _2y=_17x+y=12

x+3y=12

9x+y=56

(0,56)

(0,12)172(0,)

569(,0)

(0,4)

(1,9)

(4,0)(3,3) (6,2)

(12,0)

(5,11)

35

20.ตอบ 5

วิธีท�า

14

34

14

14

14

14

14

2

2

2

+ +

3

33 3

3 3

3

143A=

B= =

= =

=

C=

\ A_ B+C=

=

+ + =

+

+ +

+

12

14

14

14

14

14

14

14

3 3 3 3

3

3 3

143

143

143

143

143

143

3

3

3

3 212

123 31

414

14

1 1 1

3 3 3

123

1

143

1143

1

143

1

143

1

143

1

123

+

+

+=

= =

=

2 2

14

14

3 1

2. 314

143

2. 3

(2.3 ) (2.3 )=0()+

14

14

14

14

14

14

3

3 3

2

143

1143

1143

1

143

1

143 1

43

1

123 1

23

1

143 1

43

1

.

36

22.ตอบ2

วิธีท�า 32x+10 _4(3x+6)+27≤0 32(x+5) _4(3x+5)(3)+27≤0,ให้3x+5=Bจะได้ B2 _12B+27 ≤ 0 (B_9)(B_3) ≤ 0 (3x+5 _9)(3x+5_3)≤ 0 ให้ 3x+5 _9=0 x+5=2 x=_3

3x+5 _3=0 x+5=1 x=_4

\ x [_4,_3]

ดังนั้นA=[_4,_3]และA⊂(_5,_2)

21.ตอบ4

วิธีท�า จำก 1<m<r,a>1,B>1

ถ้ำm<rแล้วam<ar

และam=bn,ar=bsจะได้bn<bs \n<s

จำกm<rและn<sดังนั้นm+n<r+s\ ก. ถูก

จำกm<rและn<sและทุกตัวเป็นจ�ำนวนเต็มบวก

ดังนั้นmn<rs \ ข. ถูก

จำกn<s <1เป็นexponentialฟังก์ชันลด

ถ้ำm<rแล้ว()m>()r \ ค. ถูก

nsns

ns

_4 _3

37

23.ตอบ0034.00

วิธีท�า 25+3(15)|x|=5|x|+25(3|x|+1)

25+3(3|x|)(5|x|)_ 5|x| _25(3|x|+1)=0

25_ 5|x|+3|x|+1. 5|x| _25(3|x|+1)=0

25_ 5|x| _ 3|x|+1(25_ 5|x|)=0

(25_ 5|x|)(1_ 3|x|+1)=0

จะได้25_ 5|x|= 0 หรือ 1_ 3|x|+1 = 0

5|x|= 25 3|x|+1 = 1

|x| = 2 |x|+1 = 0

\x=2,_2 \สมกำรนี้ไม่มีค�ำตอบ

ดังนั้นA={2,_2}

\ค่ำมำกสุดของ3x+5x=32+52=34

24.ตอบ 1

วิธีท�า จำก 2log2y=4+log2 x

2log2y_ 2log2x=4

log2y_ log2x=2 log2()=2

=22 y=4x___ (1)

จำก4x+1+2=9(2)yแทนy=4x

(22)x+1+2=9(2)4x

22x+2+2_9(2x)=0,ให้2x=Aจะได้

4A2 _9A+2=0 (4A_1)(A_2)=0

A=,2 2x=,2 x=_2,1

แทนx=1ใน(1),y=4

เมื่อน�ำx=1,y=4แทนในตัวเลือกแต่ละข้อ

พบว่ำมีข้อ1เท่ำนั้นที่แทนแล้วเป็นจริง

ใช้ไม่ได้

12

yx

14

14

14

14

yx

38

25.ตอบ 1

วิธีท�า a = sin2sin2=sin2 22.5 sin2 67.5 =sin2 22.5 cos2 22.5

= (2sin22.5 cos2 22.5 )2=(sin45 )2=()2=

b = sin2 _ sin2=sin2 67.5_sin2 22.5 =cos2 22.5 _

sin2 22.5

= cos45 =

พบว่ำb2 _4a=()2 _4()=_=0

p8

p8

3p8

3p8

12

12

12

14

14

18

12

12

14

18

26.ตอบ4

วิธีท�า 4sin40๐ _ tan40๐ = 4sin40๐ _

=

=

= =

=

==

sin40๐ cos40๐

2(2sin40๐cos40๐)_ sin40๐

cos40๐

2sin80๐_ sin40๐

cos40๐

2sin50๐cos30๐

sin50๐

sin80๐+(sin80๐_ sin40๐)cos40๐

sin80๐+sin20๐ cos40๐

sin80๐+2cos60๐sin20๐ cos40๐

2 cos30๐=3=tan(_120๐)

39

27.ตอบ2

วิธีท�า a4+b4+c4=2(a2+b2)c2 c4 _2c2(a2+b2)+a4+b4=0

c4 _2c2(a2+b2)+(a2+b2)2 _2a2b2=0 [c2 _(a2+b2)]2=2a2b2

c2 _(a2+b2)=±2ab กรณีที่ 1 c2 _(a2+b2)=_2ab

c2=a2+b2 _2abเทียบกับc2=a2+b2 _ 2ab cosC

จะได้cosC= C=45

กรณีที่ 2 c2 _(a2+b2)=2ab

c2=a2+b2 +2abเทียบกับc2=a2+b2 _ 2ab cosC

จะได้cosC=_ C=135 ซึ่งใช้ไม่ได้เพรำะCเป็นมุมแหลม

\C=45 สอดคล้องกับสมกำร2tanC=cosec2C

* หมายเหตุ * น้องทุกคนดูในชีทตรีโกณมิติคอร์สADMISSIONS

ข้อ43หน้ำ181สิครับเก็งตรงเต็มๆ!

22

22

28.ตอบ0000.75

วิธีท�า A= arcsin sinA = น�ำไปวำดรูป

จำกรูป tanA = sinq

B = arctan (1 _ sinq) tan B = 1 _ sinq

C = arctan sinq _ sin2q tan C = sinq _ sin2q

จำกโจทย์ A + B = 2C tan(A + B) = tan2C

=

=

=tanA + tanB

1 _tanA tanB

1

1 _ sinq + sin2q

2sinq _ sin2q

1 _ sinq + sin2q2sinq _ sin2q =1

sinq +1_ sinq

1 _ sinq (1 _ sinq)

2sinq _ sin2q

1 _ (sinq _ sin2q)

2tanC

1 _tan2C

4(sinq _ sin2q) = 1 4sin2q - 4sinq +1=0

(2sinq _1)2=0 sinq= q=30

\ 3sin4q+cos4q=3()4+cos430 =+()4=+==0.75

12

12

34

316

316

916

32

sinq

1 + sin2q

sinq

1 + sin2q

1 + sin2q sinqA

1

40

29.ตอบ0005.00

วิธีท�า ให้z=a+bi

จำกโจทย์ | z | = | z _ 1 + i | จะได้ | a + bi | = | (a _ 1) + (b + 1) i |

| a + bi |2 = | (a _ 1) + (b + 1) i |2 a2 + b2 = (a _ 1)2 + (b + 1)2

a _ b = 1 _____ (1)

จำกโจทย์ Re (a + bi) = 0

Re (a + bi) = 0

Re = 0

ดังนั้น = 0 a + b = 0 _____ (2)

จำก (1) และ (2) จะได้ a = , b = _

ดังนั้น z = a + bi =

\ | 2z + 1 |2 = | 1 _ i + 1 |2 = | 2 _ i |2 = 22 + (_1)2 = 5

1 _ i2

1 _ 2i3 _i

(5 _ 5i)10

(5a + 5b) + (5b _ 5a)i10

5a + 5b10

12

12

41

30.ตอบ 5

วิธีท�า an=1900 a1+a2+a3+.....+a25=1900

(2a1+24d)=1900 a1+12d=76____(1)

=8

a1 + + + +..... =8 ____(2)

a1 +a2 +a3 +..... =2 ____(3)

(2)_(3),a1+(a2 _a1)+(a3 _a2)+(a3 _a2)+.....=6

a1+d+d+d+.....=6

a1+d=6 a1+d=6____(4)

(1)_(4), d=70 d=6จะได้a1=4

\ a100=a1+99d=4+99(6)=598

25

n=1

∞

n=1

an4n

_1a24

14

14

13

116

252

116

116

14

353

164

164

164

a316

a464

14

141 _

42

13

31. ตอบ 1

วิธีท�า =

=

=

=

=

= =

an

2

2

2

1

+ + +.....

+

+

+ +.....

∞

n=1

∞

n=1

∞

n=1

∞

n=1

∞

n=1

2

4n2_1

2

4n2_1

1

(2n _ 1)(2n+1)

1_ (_ )

n

13

n

13

13

13

11 . 3

13 _ 1

13 . 5

15 . 7

132

133

11

14

14

54

32.ตอบ0097.20

วิธีท�า 3an+1=an ==r

จำกข้อมูลโจทย์{an}เป็นล�ำดับเรขำคณิตมีอัตรำส่วนร่วมเท่ำกับ

ดังนั้น an=a5rn_5=2=2

an=

จำกโจทย์ bn===

\b1 +b2+b3 +..... = 486+++.....

= 486 = =97.2

13

13

an+1an

16

162

163

486 3n

486 6n

486 5

486 3n .2n

an

2n

n_5 _5 n13

13

13

1_

16

16

43

กรณี 2:ลูกแรกสีเขียว(G)ลูกที่8สีแดง(R)

\ กรณีที่2ท�ำได้3×2×6!วิธี รวม2กรณีn(A

,∩B)=2× 6! +6×6!=8×6! วิธี

\ P(A∪B,)=1_P(A

,∩B)=1_ =1_=

ที่เหลือสลับได้6!

ที่เหลือสลับได้6!

\ กรณีที่1ท�ำได้2×6!วิธี

ลูกแรกได้Rท�ำได้2วิธี

ลูกแรกได้Gท�ำได้3วิธี

R

2

3

1

2

G

R,G

R

R

R

ลูกที่8ได้Rท�ำได้1วิธี

ลูกที่8ได้Rท�ำได้2วิธี

กรณี 1:ลูกแรกสีแดง(R)ลูกที่8สีแดง(R)

33. ตอบ 5

วิธีท�า n(s)=8×7× 6 × ..... × 3 ×2×1=8! ให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่หยิบครั้งที่1ได้สีขำว(W)

B แทนเหตุกำรณ์ที่หยิบครั้งที่8ได้สีแดง(R)

โจทย์ถำมP(A∪B,)=1_P(A∪B

,),=1_P(A

,∩B)

หา P(A,∩ B) :หยิบครั้งที่1ไม่ได้สีขำวและครั้งที่8ได้สีแดง

หา n(A,∩ B) :__ __ __ __ __ __ __ __

8× 6!8!

17

67

44

35. ตอบ0070.00

วิธีท�า จำก(3+a)(bc)

กรณี a = 1: (3+1)(bc)หำรด้วย4ลงแน่ๆเมื่อbc I+

\ bกับcเลือกได้ตัวละ5วิธีคือ1,2,3,4,5

\กรณีนี้มี5×5=25วิธี กรณี a = 2: (3+2)(b

c)หำรด้วย4ไม่ลงแน่ๆ

กรณี a = 3: (3+3)(bc)หำรด้วย4ลงเมื่อbc I+และ≥2

จะได้b=2,3,4,5และc=1,2,3,4,5

\กรณีมี4×5=20วิธี กรณี a = 4: (3+4)(b

c)หำรด้วย4ไม่ลงแน่ๆ

กรณี a = 5: (3+5)(bc)หำรด้วย4ลงตัวแน่ๆเมื่อbc I+

bกับcเลือกได้ตัวละ5วิธีคือ1,2,3,4,5

\กรณีนี้มี5×5=25วิธี เมื่อรวมทุกกรณีจะมี25+20+25=70วิธี

\จ�ำนวนสมำชิกในS×S×Sมี70แบบ

34.ตอบ 5

วิธีท�า LOCKน.ส.ข.

\ วิธีจัดทั้งหมด=3×2×4!=144วิธี

ขั้นที่ 1 :เลือกผู้หญิงนั่งข้ำงข.ได้3×2วิธีขั้นที่ 2:สลับ4คนที่เหลือได้4!วิธี

ญข

ก

ญ

45

พิจารณา Q1 เมื่อ Q1 = 23.5

1 ต�ำแหน่งของQ1=(20+1)=5.25 Q1=ต�ำแหน่งที่5.25

2 Q1=x5+(x6 _ x5)(0.25) เมื่อข้อมูลเป็นA.S,d=x6 _ x5

23.5=x5+d(0.25)____(1)

พิจารณา D6 เมื่อ D6 = 38.2

1 ต�ำแหน่งของD6=(20+1)=12.6 D6=ต�ำแหน่งที่12.6

2 D6=x12+(x13 _ x12)(0.6) เมื่อข้อมูลเป็นA.S,d=x13 _ x12

38.2=x12+d(0.6)____(2)

(2)_(1),14.7=(x12 _ x5)+0.35d

และเมื่อข้อมูลเป็นA.S,x12=x5+7d

\ x12 _ x5=7d

จะได้ 14.7=7d+0.35d

14.7=7.35d

d=2

พิจารณา Q3

1 ต�ำแหน่งของQ3=(20+1)=15.75 Q3=ต�ำแหน่งที่15.75

2 Q3=x15+(x16 _ x15)(0.75)

Q3=x15+d(0.75)____(3) เมื่อข้อมูลเป็นA.S,d=x16 _ x15

(3)_(1),Q3 _Q1=(x15 _ x5)+0.5d x15=x5+10d

x15 _ x5=10d

Q3 _Q1=10d+0.5d

=10.5d

\ QD.= = = =10.5

14

610

34

Q3 _Q12

10.5d2

10.5 × 22

36. ตอบ 3

วิธีท�า

46

37.ตอบ4

วิธีท�า จำกโจทย์

= 70

x = 70×10

= 700

และจำก (xi _3)2=310

(x _6x+9) = 310

x _ 6 x+9 = 310

x _6(10m)+10.9 = 310 xi =10m

700_60m+90 = 310

\ m=8

s2= _ m2

= _ 82=6

เรำจะได้ว่ำข้อมูลชุดแรกx1,x2,...,x10จะมีs12=6

และเมื่อพิจำรณำข้อมูลชุดที่23x1 _1,3x2 _1,...,3x10

_ 1

จะได้ว่ำs22 = (3)2 . s1

2

= 9. 6

= 54

หมายเหตุเมื่อyi=cxi+dจะได้ว่ำsy2=c2 sx

2

2i

2i

2i

2i

2i

i

i

10

i=1

10

i=1

21

22

23

210x+x+x+...+x

10

10700

10

10

10 10

10 10

i=1

i =1

i =1 i =1

i =1 i =1

N

x10

i=1

47

38.ตอบ0396.00

วิธีท�า จำกโจทย์จะได้ว่ำN=2n

และ x2 = 12+22+32+...+n2+(_1)2+(_2)2+(_3)2+...+(_n)2

= 2(12+22+32+...+n2)

และm =

= =0

\ s2 = _ m2

= _(0)2

=

46 =

276 = 2n2+3n+1

0 = 2n2+3n_275

0 = (n_11)(2n+25)

n = 11,_

ค่ำเฉลี่ยของ13,23,33,...,n3 =

=

เมื่อn=11, = = = 396

หมายเหตุ 12+22+32+...+n2=i2=(n+1)(2n+1)

13+23+33+...+n3 =i3=(n+1)

2n0

225

Nx2

2n1+2+3+...+n+(_1)+(_2)+(_3)+...+(_n)

2n2(12+22+32+...+n2)

n6

662

11

n(n+1)(2n+1)n

6

n

2(n+1)n

2

2n2

11

2(11+1)11

2

6(n+1)(2n+1)

n13+23+33+...+n3

n

i=1

n

i=1

48

39.ตอบ0061.00

วิธีท�า จำกโจทย์Nช=18,Nญ=30_18=12

mรวม=64,mช=64\ mญ=64ด้วย

และsช2 =10,sญ=5

เมื่อmช =mญ

s2 =

=

= =16

\ sรวม=4

เมื่อนำงสำวกสอบได้P22.66ของนักเรียนทั้งห้อง

รวมNช sช

2+Nญ sญ2

Nช+Nญใช้Nช=3,Nญ=2

เพรำะNช:Nญ=18:12:=3:2

จำกตำรำงA=0.2734 Z=0.75

\ Zก=_0.75(Zด้ำนซ้ำย<0)

จำกZก=

_0.75 = xก=61คะแนน

xก _ mรวมsรวม

xก _64

4

805

3 x10+2x 52

3+2

22.66%(A=0.2266)

นำงสำวก=P22.66

64

A=0.5-0.2266=0.2734

N=30คน

49

40.ตอบ2

วิธีท�า เมื่อyเป็นตัวแปรต้นและxเป็นตัวแปรตำม

โดยจะใช้yพยำกรณ์xสมกำรจึงเป็น

x =my+c____(1)

x =m y+N. c

จำกตำรำง x=20, y=25และN=5

\20=m(25)+5c

น�า 5 หารตลอด

4=5m+c____(2)

(1)×y,xy=my2+cy

xy=m y2+c y

จำกตำรำง xy=131และ y2=175

\131=m(175)+c(25)____(3)

(2)×25,100=125m+25c____(4)

(3)_(4), 31=50m m==0.62

แทนmใน(2)ได้

4=5+c c=0.9

\x=0.62y+0.9

และy=8 x=0.62(8)+0.9=5.86

3150

3150

50

41.ตอบ 1

วิธีท�า

บังคับ Con ที่ x = a

f(a)=a+b_4

lim(x2+bx+a)=a2+ba+a

จะได้ a2+ba+a = a+b_4

a2+ba_b+4=0____(1)

บังคับ Con ที่ x = b

f(b)=b2+b(b)+a=2b2+a

lim(2bx_a)=2b2 _a

จะได้2b2+a=2b2 _a \a=0

แทนa=0ใน(1),b=4

x , x≤0

ดังนั้นf(x)= x2+4x , 0<x≤4

8x , x>4

ก. (fof)(a_b) =(fof)(_4)=f(f(_4))=f(_4)=_4

\ (fof)(a_b)=a_b \ก.ถูก

ข. f(a+b)=f(4)=42+4(4)=32

f(a)+f(b)=f(0)+f(4)=0+(42+4(4))=32

\ f(a+b)=f(a)+f(b) \ข.ถูก

ค. f,(f(2))=f

,(12) ขณะx=12, f(x)=8x

f,(x)= 8

\ f,(12)= 8

หา f(f,(2)):ขณะx=2, f(x)=x2+4x

f,(x) =2x+4 f

,(2)=8

\ f(f,(2))=f(8)=8(8)=64

ดังนั้นf,(f(2))≠f(f,(2))\ค.ผิด

x b+

f(2)=22+4(2)=12

x a+

51

42.ตอบ0009.00

วิธีท�า พิจำรณำ|x2 _ x _2|=|(x_2)(x+1)|

ขณะx 2_แสดงว่ำx≈1.99ท�ำให้(x_2)(x+1)<0แน่ๆ

ดังนั้น|x2 _ x _2|=_ (x2 _ x _2)

lim=lim=

ใช้L’Hospitalต่อจะได้

lim = =9x 2

_ 231

3

_2x+1

0 _ (x2+4)(2x)231

3

_4+1

_ (8)(4)

x 2_

x 2_ 1

3

_ (x2_ x _2)

2 _ (x2+4)

00

| x2 _ x _2|

2 _ 3 x2+4

43.ตอบ0003.00

วิธีท�า

จำกโจทย์x [_4,_2]แสดงว่ำ|x+2|=_(x+2)=_x _2

|x+2|=(x+2),x+2≥0 x ≥ _2

_(x+2),x+2<0 x < _2

x3+x2+x

x3+x2+x

x3+x2+x

x(x2+x+1)

x|x+2|_ x2 _ 2

_ x2 _ 2x_ x2 _2

x(_ x _2)_ x2 _ 2

_ 2(x2+x+1)

dx=

dx==

= =_1 _ (_ 4)=3

dx

dx= xdx

_4

_2

∫

_4

_2

∫

_4

_2

∫

_4

_2

∫_4

_2

∫ 12

12

x2

2

_ 2

_ 4

52

44.ตอบ 1

วิธีท�า จำกg(x)=xf(x) g(0)=(0)f(0)=0

g(x) = g,(x)dx= (4x3+9x2+2)dx =x4+3x3+2x+c

g(0)=0 g(0)=c=0

f(x) = =

\ f(x) =x3+3x2+2

f,(x) =3x2+6x=0

3x(x+2) = 0

x = _2,0

\ค่ำสูงสุดสัมพัทธ์ =f(_2)=_8+12+2=6 \ก.ถูก

\ค่ำต�่ำสุดสัมพัทธ์=f(0)=2 \ข.ถูก

ค. อัตรำกำรเปลี่ยนแปลงของ(f+g)(x)เทียบกับxเมื่อx=1

คือ(f+g),(1)=f

,(1)+g

,(1)=(3+6)+(4+9+2)=24 \ ค.ผิด

∫ ∫

max min

x4+3x3 +2xx

g(x)x

53

จะได้ =_2

=_2 2a+2=_4\a=_3

f(x)=x3 _3x+b f,(x) =3x2 _ 3

จำกlim =2f,(x)

\lim =2f,(3)

= 2 [3 (32)_ 3]=48

(1+a+b)_ (_1 _a+b)2

f(1)_ f(_1)1 _(_1)

f(x+h)_ f(x_ h)h

f(3+h)_ f(3_ h)hh 0

h 0

ΔyΔx

45.ตอบ0048.00

วิธีท�า จำกโจทย์เมื่อx1=_1,x2=1เท่ำกับ

_2