1.7 定积分的简单应用

1.7.1 定积分在几何中的应用

问题提出t

57301p

2

1. 定积分 的含义及其几何意义分别是什么

( )b

af x dxò

1

( ) lim ( )nb

inai

b af x dx f

nx

®¥=

-= åò

x

y

a b

y＝ f(x)

O

( )b

af x dxò

2. 微积分基本定理是什么？

如果 f(x) 是区间 [a， b] 上的连续函数，

并且 ，则

.

( ) ( )F x f x¢ =

( ) ( ) ( ) ( )b b

a af x dx F x dx F b F a¢= = -ò ò

3. 用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的方法，二者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题 .

探究（一）：曲线 y2＝ x与 y＝ x2所围成图 形的面积

思考 1 ：曲线 y2 ＝ x 与 y ＝ x2 所围成的图形是什么？其交点坐标是什么？

1

1

x

y

O

y2 ＝ xy ＝ x2

(0,0)

(1,1)

思考 2 ：如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？

x

y

O 1

1

A

BCD

y2 ＝ xy ＝ x2

S ＝ S 曲边梯形 OABC － S 曲边梯形OADC.

思考 3 ：该图形的面积用定积分怎样表示？

x

y

O 1

1

A

BCD

y2 ＝ xy ＝ x2

1 12

0 0S xdx x dx= -ò ò

思考 4 ：利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？

x

y

O 1

1

A

BCD

y2 ＝ xy ＝ x2

31 3 120 0

2 1 1| |

3 3 3S x x= - =

探究（二）：直线 y＝ x－ 4与曲线 及 x轴所围成图形的面积

2y x=

思考 1 ：直线 y＝ x－ 4 与曲线 及 x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标是什么？

2y x=

8

4

4 x

y

O

y ＝ x －4 2y x=

(8,4)

(0,0)

(4,0)

x

y

O 4 8

y ＝ x －4

4

A

BC

D

2y x=

思考 2 ：如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？

S ＝ S 曲边梯形 OABC － S 三角形 ABD.

思考 3 ：该图形的面积用定积分怎样表示？

x

y

O 4 8

y ＝ x －4

4

A

BC

D

2y x=

8 8

0 42 ( 4)S xdx x dx= - -ò ò

思考 4 ：利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？

x

y

O 4 8

y ＝ x －4

4

A

BC

D

2y x=

3820

2 2 1 40| 4 4

3 2 3S x= - ´ ´ =

理论迁移

例 1 计算由直线 y ＝ 2 － x ，

和曲线 所围成的平面图形的面积 .

13

y x=-

y x=

x

y

O32

y ＝ 2 －x

1

A

B1

－ 1

y x=136

S =

例 2 如图，直线 y ＝ kx 将抛物线 y ＝ x － x2 与 x 轴所围成的平面图形分成 面积相等的两部分，求实数 k 的值 .

x

y

O

y ＝ kxy＝ x－ x2

1

1 － k

31

12

k= -

小结作业 1. 定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积 .解题时，一般先要画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限 . 2. 定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积 .对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解 .

3. 位于 x轴下方的曲边梯形的面积，等于相应定积分的相反数 .一般地，设由直线 x＝ a， x＝ b(a ＜ b) ， y＝ 0和曲线 y＝ f(x) 所围成的曲边梯形的面积为 S，则 .| ( ) |

b

aS f x dx=ò

x

y

a b

y＝ f(x)

O

y＝ |f(x)|

作业：P58 练习：（ 1 ），（ 2 ） . P60 习题 1.7B 组： 1 ， 2 ，3.