§2 － 1 　二重积分

回忆定积分 . 设一元函数 y = f (x) 在 [a, b] 可积 .

n

iii

b

axfxxf

10)(limd)(

则

.d)(,0)( 面积在几何上表示曲边梯形时当 b

axxfxf

如图

0 x

y

a bxi xi+1 i

y = f (x)f ( i) 　　其中 i[xi, xi+1],

xi = xi+1 xi , 表小区间 [xi, xi+1] 的长 , f ( i)

xi 表示小矩形的面积 .

　　设有一立体 . 其底面是 xy 面上的区域 D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面 , 其顶是曲面 z= f (x, y)

0, 连续 . 称为曲顶柱体 .

若立体的顶是平行于 xy 面的平面 . 则平顶柱体的体积 = 底面积× 高 .

0y

z

x

z = f (x,y)

D

如图

一、例1.1. 求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积 V.V.

(i) 用曲线将 D 分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn

, 每个小区域 Di 都对应着一个小曲顶柱体 .

如图 z = f (x,y)

0y

z

x

z = f (x,y)

DDi Di

(ii) 由于 Di 很小 , z = f (x,y) 连续 , 小曲顶柱体　可近似看作小平顶柱体 .

( i , i) Di .

小平顶柱体的高 = f ( i , i).

若记 i = Di 的面积 .

则小平顶柱体的体积 = f ( i , i) i 小曲顶柱体体积 f ( i , i)

( i , i)Di

z = f (x,y)

(iii) 因此 , 大曲顶柱体的体积

n

iiiifV

1

),(

分割得越细 , 则右端的近似值越接近于精确值 V, 若分割得 " 无限细 ", 则右端近似值会无限接近于精确值 V.

也就是

n

iiiifV

1

),(lim

(iv) },{max 1

的直径记 ini

D

其中 Di 的直径是指 Di 中相距最远的两点的距离 .

,),(lim 10

n

iiiifV

则

其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积 .

x y

Di

如图

(1) 平面薄板的质量 M.

　　当平面薄板的质量是均匀分布时 ,

有 , 平面薄板的质量 = 面密度 × 面积 .

　　若平面薄板的质量不是均匀分布的 .

这时 , 薄板的质量不能用上述公式算 , 应如何算该薄板的质量 M?

2. 2. 非均匀分布物体的质量非均匀分布物体的质量

用曲线将 D 分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn ,用曲线将 D 分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn ,

　　设一平面薄板 , 所占区域为 D , 面密度 (x, y) 0 连续 . (x, y) D. 求该平面薄板的质量 M.

(i) 如图(i) 如图

0 x

y

D

Di

Di 的面积记作 i .

0 x

y

D

Di

　　由于 (x, y) 0 连续 , 从而当 Di 很小时 ,

(x, y) 在 Di 上的变化不大 , 可近似看作 (x,

y) 在 Di 上是不变的 .

　　从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di 这一小块质量的近似值 .

(ii) 即 , ( i , i) Di , 以 ( i , i) 作为 Di 这一

小　片薄板的面密度 . 从而 ,

第 i 片薄板的质量 mi ( i , i) i

(iii) 故 , 平面薄板的质量

n

iiiiM

1

),(

(iv) },{max 1

的直径若记 ini

D

.),(lim 10

n

iiiiM

则

　　 1. 定义 设 z=f (x,y) 是定义在有界闭区域 DR2

上的有界函数 . 　　　　　　将 D 任意分割成 n 个无公共内点的小

区域 Di(I=1, 2, …, n), 其面积记为 i.(i, i) Di, 作积

f (i, i) i, }.{max1

的直径记 ini

D

,),(1

n

iiiif 作和

二、二重积分的概念与性质

若对任意的分法和任意的取法 , 当 0 时 , 和式

n

iiiif

1

),( 的极限存在且极限值都为 I, 则称 f (x,y)

在 D 上可积 , 记为 f (x,y) R(D),并称此极限值 I 为

f (x,y) 在 D 上的二重积分 . 记作D

dyxf ,),( 即

n

iiii

D

fdyxf1

0),(lim),(

n

iiii

D

fdyxf1

0),(lim),(

其中“ ”称为二重积分符号 , D 称为积分区域 ,

f (x,y) 称为被积函数 , d 称为面积元素 , x, y 称为积分变量 . 和式 .),(

1

称为积分和

n

iiiif

注 1. 定积分

n

iii

b

axfdxxf

10

)(lim)(

二重积分

n

iiii

D

fdyxf1

0),(lim),(

区别在将小区间的长度 xi 换成小区域的面积

i,将一元函数 f (x) 在数轴上点 i 处的函数值 f (i)

换成二元函数 f (x, y) 在平面上点 (i, i) 处的函数值 f (i, i).可见 , 二重积分是定积分的推广 .

注 2. 若将 D 用两族平行于 x 轴和 y 轴的直线分割 .( 如图 )

Di

D

则除边界上区域外 , Di

的面积 i = xi yi,

故也将二重积分写成

D

dxdyyxf ),(

注 3. 可以证明若 f (x, y) 在 D 上连续 , 则 f (x, y)

在 D 　　上可积 , 　　　　若 f (x, y) 在 D 上有界 , 且在 D 内

只有有限个不连续点 , 或只在有限条曲线

上不连续 , 则 f (x, y) 可积 .

2. 2. 二重积分的性质二重积分的性质 ..

设 D 为有界闭区域 , 以下涉及的积分均存在 .

性质 1. 性质 1. .|||,| 的面积为区域其中 DDDdD

性质 2. 性质 2. DDD

dyxgyxfdyxgyxf )],(),()],(),([

性质 3. 性质 3. DD

dyxfkdyxkfk ),(),(,则为常数设

性质 4. 性质 4. 则无公共内点且设 ,,, 2121 DDDDD

21

),(),(),(DDD

dyxfdyxfdyxf

若在 D 上有 f (x, y) g (x, y), 则

DD

dyxgdyxf ),(),(

特别 : (i) 若在 D 上 f (x, y)0, 则

0),( D

dyxf

(ii) DD

dyxfdyxf |),(|),(

这是因为 | f (x, y)| f (x, y) | f (x, y) |

积分后即得 .

性质 5. 性质 5.

若在 D 上 m f (x, y) M, 则

||),( DMdyxfDmD

设 f (x, y) C(D), 则 (,)D, 使得

||),(),( DfdyxfD

性质 6. 性质 6.

性质 7. 性质 7.

3. 3. 二重积分的几何意义设 二重积分的几何意义设 x, y x, y 在 在 DD 上可积上可积 , , 则则

(i) 当 z=f (x, y)0 时 , .),( 曲顶柱体的体积D

dyxf

(ii) 当 z= f (x, y)<0 时 , )(),( 曲顶柱体的体积D

dyxf

(iii)

则上在

上在无公共内点且若

,0),(

,0),(,,,

2

12121

yxfD

yxfDDDDDD

21

),(),(),(DDD

dyxfdyxfdyxf

= (D1 上曲顶柱体体积 ) (D2 上曲顶柱体体积 )

.),(, 的代数和表示各小曲顶柱体体积一般 D

dyxf

1. 1. 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算 ..

由二重积分的几何意义知 , 当 f (x, y)0 时 ,

VdyxfD

曲顶柱体的体积 ),(

如图

若点 x 处截面面积为 A(x),

则体积

.)(b

adxxAV

x

y

0 a x

A(x)

三、二重积分的计算

.,0),(,),( 连续其中考虑 yxfzdyxfD

(1) 设积分区域 D 是由两条平行于 y 轴的直线 x=a, x

=b 　及两条曲线 y = y1(x), y = y2(x) 围成 . 如图

即 , D: y1(x) y y2(x),

a x b

称为 x— 型区域 .特别情形是

A 、 B 退缩成一点 , E 、 F

退缩成一点 . x

y

0

A

B

E

F

Dy = y1(x)

y = y2(x)

a b

由几何意义知 , ,),(),( 为顶表示以 yxfzdyxfD

以 D 为底的曲顶柱体体积 V. 如图 .

过点 x0 作平面 x= x

0,截面是平面 x= x0

上的 , 以 z=f (x0,

y) 为曲边的曲边梯形 . 由定积分的几何意义 ,

)(

)( 00

02

01

,),()(xy

xydyyxfxA

)(

)(

2

1

.),()(,xy

xydyyxfxA一般

z

x0

yy2(x0)

y1(x0)

D

y=y2(x)

y=y1(x)

z=f (x, y)

z=f (x0, y)

x0a b

从而 , b

a

xy

xy

b

adxdyyxfdxxAV ,]),([)(

)(

)(

2

1

故 b

a

xy

xyD

dxdyyxfdyxf ]),([),()(

)(

2

1

右端称为先对 y , 再对 x 的二次积分 ( 累次积分 ).

计算原则 : 由里到外 .　　　　　即先将 x 看作常数 , 以 y 为积分变量 , 求里层积分 .　　　　　　　　　得到的结果是只含x, 不含 y 的函数式 , 再求外层积分( 以 x 为积分变量 ).

注 1. 公式 b

a

xy

xyD

dxdyyxfdyxf ]),([),()(

)(

2

1

虽是在条件 f (x, y) 0 下得到的 , 但对一般的 f (x, y) 都成立 , 只须 D 是 x— 型区域即可 .注 2. 习惯上常将右端的二次积分记作

b

a

xy

xydyyxfdx

)(

)(

2

1

),(

即 b

a

xy

xyD

dyyxfdxdyxf)(

)(

2

1

),(),(

b

a

xy

xydxdyyxf ]),([

)(

)(

2

1

(2) 类似 , 若 D: x1(y) x x2(y), c y d, 称为 y — 型区域 ,则二重积分可化为先对 x, 再对 y 的二次积分 .

即 d

c

yx

yxdydxyxf

)(

)(

2

1

]),([

x

y

0

d

c

E

F

x=x2(y)x=x1(y)D

D

dyxf ),(

d

c

yx

yxdxyxfdy

)(

)(

2

1

),(

(3) 若 D 既是 x— 型区域 , 又是 y— 型区域 .

比如

x0

y

x0

y

x0

y

则既可先对 x 积分 , 又可先对 y 积分 .等等 ,

d

c

yx

yx

b

a

xy

xydxyxfdydyyxfdx

)(

)(

)(

)(

2

1

2

1

),(),( D

dyxf ),(

当用某次序算二重积分不好算时 , 可改换积分次序 , 可能好算 .

此时 ,

(4) 若 D 的形状较复杂 , 既不是 x— 型区域 , 也不是 　 y— 型区域 .

x

y

0

D1

D2

D3

D

则可用一些平行于 x 轴和平行于 y 轴的直线将其分成若干块 , 使每一块或为 x— 型 , 或为 y—

型 , 分块积 . 如图

321

),(),(),(),(DDDD

dyxfdyxfdyxfdyxf

(5) 设 D: y1(x) y y2(x), a x b, 为 x — 型区域 .

其中 y2(x) 为分段函数 . 如图

则 b

a

xy

xyD

dyyxfdxdyxf)(

)(

2

1

),(),(

由于 y2(x) 是分段函数 ,

里层积分上限无法确定用哪一个表达式 . 　　　　　　　故应将D 分成 D1, D2, 分块积

分 .x

y

0

D1 D2

y = 1(x)

y = 2(x)

a b

(6) 不论是先对 x 积分

d

c

yx

yxD

dxyxfdydyxf)(

)(

2

1

),(),(

b

a

xy

xyD

dyyxfdxdyxf)(

)(

2

1

),(),(

还是先对 y 积分

　　里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式 , 而外层积分的上、下限是点的坐标 .

且上限下限 .称为从里到外、线—线 ; 点—点 .

例 1. .,)( 2 围成和由其中求 xyxyDdyxD

x

y

0

y=x

y=x2

x

　　　　　　　为确定累次积分的上、下限 .

作与 y 轴同向的射线 ,

从下至上穿过 D.

则 y 是由下方的曲线 y=x2 变到上方的曲线 y=x

的 .

解 : 先画区域 D 的图形 .

法 1. 先对 y 积分 .

里层积分的下限为 x2, 上限为 x.

由于该射线变化范围是 [0, 1].

因此 , 外层积分下限为 0, 上限为 1. 即

1

0 2)()(

x

xD

dyyxdxdyx

dxyxyx

x2

1

0

2

2

1

dxxxx

1

0

432

2

1

2

3

20

3

10

1

4

1

6

31

0

543

xxx

x

y

0

y=x

y=x2

1

1

法 2. 先对 x 积分 .

作与 x 轴同向射线 ,

从左至右穿过 D.y

则 x 是从左方曲线 x=y 变到右方曲线 y=x2. 即 .的yx

故里层对 x 积分的下限为 y, 上限为 .y

而该射线的变化范围是 [0, 1].

故外层对 y 的积分下限为 0, 上限为 1.

1

0)()(

y

yD

dxyxdydxdyyx

1

0

2

2

1dyyxx

y

y

1

0

22

3

2

3

2

1dyyyy

20

3

6

3

5

2

4

11

0

32

52

yyy

例 2.

.

0,2, 2

第一象限的区域

围成的和由其中求 yxyxyDxydxdyD

解 : 先画 D 的图形 .

先对 x 积分 . 作与 x 轴同向的射线穿过D. 易知 , x 从左方曲线 y=x2 即 变到yx

1

0

2 y

yD

xydxdyxydxdy

右方曲线 y=x+2 即 x=2 y. 而 y[0, 1].

x

y

0

y=x+2y=x2

1

1

2

故

所以 , 原式 = 1

0

2 y

yxydxdy

1

0

22

2

1dyxy

y

y

1

0

2 ])2[(2

1dyyyy

24

7

问 , 若先对 y 积分 , 情形怎样 ?

x

y

0

y=x+2y=x2

1

1

2

例 3. 求 .sin11

0 ydx

x

xdy

解：由于1 siny

dxx

x 是“积不出”的，怎么办？

要改换积分次序 . 先画积分区域 D 的图形 .

由积分表达式知， D ： y x 1, 0 y 1

画曲线 x=y 和 x=1 ，直线 y=0, y=1.如图：

故 原式 = D

dxdyx

xsin

x

dyx

xdx

0

1

0

sin

1

0

sinxdx

x

x

1

0sin dxx 1cos1cos

1

0 x

y

x0

D

y = x

　　由例 2 ，例 3 知，选择适当的积分顺序，

有时能使积分变得简便，易行。在作题时，

当按某一顺序积分很难，或不可行时，可

改换积分顺序试一试。

例 4. 改换 .),(2

1

4

0的积分顺序

x

xdyyxfdx

解：写出 D 的表达式， .40,2

1: xxyxD

画 D 的图形

改为先对 x 再对 y 的积分

x

xdyyxfdx

2

1

4

0),(

y

ydxyxfdy

22

0 2),(

y

x0

D

xy2

1

xy 2

4

例 5. 关于分块函数在 D 上的积分 . D

dxy ||求

其中 D ： 0 x 1, 0 y 1

解：积分区域如图

记 f (x, y) = | y – x |

=y–x, 当 y x 时 ,

x–y, 当 y < x 时 ,

且区域 D1: y x 和 D2: y < x 分处在直线 y=x 的上，下方 .故，原式 =

21

)()(DD

dyxdxy

y

x0

1

1

DD2

y = x

D1

x

xdyyxdxdyxydx

0

1

0

11

0)()(

1

00

21

0

12 )

2

1()

2

1( dxyxydxxyy

x

x

1

0

21

0

2

2

1)

2

1

2

1( dxxdxxx

3

1

注：分块函数的积分要分块 ( 区域 )来积 .另外，带绝对值的函数是分块函数。

y

x0

D2

1

1

y = x

D1 D

在将二重积分化为二次积分的公式

,),(),()(

)(

2

1

中 xy

xy

b

aD

dyyxfdxdyxf

右边的二次积分不是两个定积分之积，计算时必须由

里至外，这当然较繁琐 . 但在某些情形下，可将右端

化为两个定积分之积。

例 6. 设 D ： a x b, c y d. f(x, y)=f1(x)·f2(y) 可积，则 .)()(),( 21

d

c

b

aD

dyyfdxxfdyxf

y

x0

d

c

a b

D

dyxf ),(:证

D

dxdyyfxf )()( 21

d

c

b

adyyfxfdx )()( 21

b

a

d

cdxdyyfxf ])()([ 21 .)()( 12

b

a

d

cdxxfdyyf

比如， .3

2

1

0

3

2

1

0 dyexdxdyxedx yy

.sin2sin1

0

1

0

2

0 rdrrrdrrd

只须要求里层积分d

cdyyf )(2 的被积函数 f2(y) 和

上、下限都与 x 无关即可。

关于利用对称性积分的问题

(1) 若 D 的图形关于 x 轴对称 .

(i) 若 f (x, –y) = f (x, y),

其中点 (x, –y) 与 (x, y) 关于 x 轴对称，

即函数也关于 x 轴对称 .

y

x0

D2

D1

1

),(2),(DD

dyxfdyxf 则

(ii) 若 f (x, –y) = – f (x, y), 0),( D

dyxf 则

(2) 若 D 的图形关于 y 轴对称 .y

x0

D2D1

(i) 若 f (– x, y) = f ( x, y). 其中 (– x,

y) 是 (x, y) 的关于 y 轴的对称点 .

1

),(2),(DD

dyxfdyxf 则

(ii) f (– x, y) = – f( x, y) ，则

0),( D

dyxf

(3) 一般，若 D关于平面上某直线 l 对称 .

y

x0

D2

y = x

D1

对 (x, y)D1 ，有关于 l 的对称点 (x1, y1)D2.

.),(2),(1

DD

dyxfdyxf 则

若 f (x, y)= – f (x1, y1) ，则

.0),( D

dyxf

若 f (x, y) = f (x1, y1).

例 7. (1) .0cos.1: 22 D

ydxyxD 则

,,10,10:)2( 对称关于知设 xyDyxD

).,(),( 0000 xyxyyx 的对称点为的关于直线点

,),( nn yxyxf 易知

).,(),( yxfxyxyf nn

.0)( D

nn dyx 从而

y

x0

(x0, y0)

(y0, x0)

y= x

y0

x0

2. 2. 二重积分的换元法二重积分的换元法

考虑D

dxdyyxf ,),( 若作变量代换 x=g(u, v), y=(u, v),

应如何计算作了变量代换后的二重积分？

定理 1. 设变换 x=g(u, v), y= (u, v) 时 uov 平面上的

有　　　界闭区域 D* 一一对应地变成 xoy 平面上

的有　　　界闭区域 D ，且满足

若 f (x, y) 可积，则

.),(

),()),(),,((),(

*

dudvvu

yxvuvugfdxdyyxf

DD

(1) x=g(u, v), y=(u, v)C1(D*)

0),(

),()2(

''

''

vu

vu

yy

xx

vu

yx

3. 3. 用极坐标变换计算二重积分用极坐标变换计算二重积分

变换 x = rcos, y = rsin 称为极坐标变换 .

其中 0 r <+, 0 2( 或 - )

的积分区域若D

dxdyyxf ),(

D经极坐标变换后变成极坐标系下的区域 D*.因：

rr

r

r

yx

cossin

sincos

),(

),(

.)sin,cos(),(* DD

rdrdrrfdxdyyxf 故

x

y

r

(x, y)

0

如图的积分区域设 DdxdyyxfD ),()1(

称为“曲边三角形”或“曲边扇形”

曲边的极坐标方程为 r = r().

D 的最小极角为，最大极角为 .

此时， D* : 0 r r(), .

从而：

)(

0)sin,cos(.),(

r

D

rdrrrfddxdyyxf

x

y

Dr = r()

0

特别：

y

0x

r = r()

)22

(

22

3,

20

及

0 x

y

r = r()

0

称为“极点位于 D 的边界上”的情形。

(2) 若积分区域 D 如图

即 D包含极点，这相当于

在上图中让 =0 ，而增大 2

D*:0 r r(), 0 2

)(

0

2

0)sin,cos(

),(

r

D

rdrrrfd

dxdyyxf

r

0 x

D

r = r()

(3) 若积分区域 D 如图 .

即：极点在 D 外，而 D 是由两个　　“曲边扇形”相减而成。

作以 0 为起点的射线过 D ，先遇到的曲边为 r=r1() ，后遇的曲边为 r=r2(),

最大，最小极角分别为 , , 此时，

0 x

y

r=r2()

r=r1()

D*: r1() r r2(),

)(

)(

2

1

)sin,cos(),(

r

rD

rdrrrfddxdyyxf

例 8. 求 ,1 22 D

dxdyyx 其中 D ： x2+y2 1

解：一般 , 若 D 的表达式中含有 x2+y2 时，可考虑用　　极坐标积分。

0 x

y

x2+y2 1

令 x=rcos, y=rsin, 则

x2+y2 1 的极坐标方程为 r = 1.由 (2)

D*: 0 r 1, 0 2

D

dxdyyx 221

1

0

22222

0sincos1 rdrrrd

1

0

22

01 rdrrd

])(12

1[2

1

0

22 rdr

1

0

2

32 )1(

3

2r

3

2

另由几何意义： 3

2)(

2

11 22 单位球体积

D

dyx

例 9. 计算 ,22

D

yx dxdye 其中 D: x2+y2a2(a>0).

解： D 如图 ,由于 D关于 x 轴， y 轴都对称，

0 x

yx2+y2 = a2

a

D1

Dr = a

),(),(),(22

yxfyxfeyxf yx 且

即 f (x, y) 也关于 x 轴， y 轴对称 .故

1

2222

4D

yx

D

yx dxdtedxdye

20,0:1

arD且

0

2

0

2

1

22

rdreddxdye r

D

yx

ara r erde

00

2 )(4

)(2

1

2

22

)1(4

2ae

从而，原式 )1(2ae

注：本题若用直角函标计算，会遇到 ,2

dxe x

而这个积分是“积不出”的。

例 10. 计算广义积分

0

2

dxe x

解：这是一个在“概率论”中很重要的积分，用　　通常方法无法算出 .由广义积分定义

R x

R

x dxedxe00

22

lim

2

0

2

0)(lim)(

22

R x

R

x dxedxe

R xR xR x dxedxedxe

00

2

0

222

)(

R yR x dyedxe

00

22

R yxR

dyedx00

22

S

yx dxdye22

其中 S: 0 y R, 0 x R

下用“夹逼定理”求 2

0)(lim

2

R x

Rdxe

作 D1 ： x2+y2 R2

0,,)2(: 2222 yxRyxD 0 x

y

x2+y2=R2

R

222 )2( Ryx

R

D

yx

S

yx

D

yx dxdyedxdyedxdye2222

1

22

)1(4

1)1(

4

1 2222 2R

S

yxR edxdyee

令 R+ ，上式两端的极限均为 ,4

故 .

2

0

2

0)(lim)(

22

R x

R

x dxedxe

4lim

22

S

yx

Rdxdye

20

2

dxe x故