1.8 figurasplanas

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Autora:MilagrosLatasaAsso

Revisoras:FernandaRamosyNievesZuastiIlustraciones:AdelaSalvadoryMilagrosLatasa

1ESO CAPTULO8:FIGURASPLANAS

Matemticas1ESO.Captulo8:Figurasplanas Autora:MilagrosLatasaAssowww.apuntesmareaverde.org.es Revisoras:FernandaRamosyNievesZuasti

Ilustraciones:AdelaSalvadoryMilagrosLatasa

163 Figurasplanas1deESONDICE

1.ELEMENTOSDELPLANO1.1.PUNTOS,RECTAS,SEMIRRECTAS,SEGMENTOS.1.2.RECTASPARALELASYSECANTES.1.3.NGULOS.TIPOSDENGULOS.1.4.MEDIDADENGULOS.1.5.SUMAYRESTADENGULOSENELSISTEMASEXAGESIMAL.1.6.NGULOSCOMPLEMENTARIOSYSUPLEMENTARIOS.1.7.RECTASPERPENDICULARES.MEDIATRIZDEUNSEGMENTO.1.8.BISECTRIZDEUNNGULO.

2.POLGONOS2.1.LINEASPOLIGONALESYPOLGONOS.2.2.ELEMENTOSDEUNPOLGONO:LADOS,NGULOS.DIAGONALES,VRTICES2.3.CLASIFICACINDELOSPOLGONOS

3.CIRCUNFERENCIAYCRCULO3.1.CIRCUNFERENCIAYCRCULO3.2.ELEMENTOSDEUNACIRCUNFERENCIA..3.3.SECTORCIRCULAR,SEGMENTOCIRCULAR,CORONACIRCULAR.3.4.POSICIONESENTREUNARECTAYUNACIRCUNFERENCIA.3.5.PROPIEDADESIMPORTANTES

4.TRINGULOS4.1.CLASIFICACINDELOSTRINGULOS4.2.PROPIEDADESFUNDAMENTALESDEUNTRINGULO.4.3.IGUALDADDETRINGULOS4.4.RECTASYPUNTOSNOTABLESDEUNTRINGULO.



164 Figurasplanas1deESO5.CUADRILTEROS5.1.CLASIFICACINDELOSCUADRILTEROSCONVEXOS5.2.PROPIEDADESDELOSCUADRILTEROS.

ResumenEnlosmosaicosdelaAlhambracomoeldelafotografapuedesobservardistintasfigurasgeomtricascomorectasparalelasyrectassecantes,estrellasde5yde10puntas,polgonos

Enestecaptulovasarevisartusconocimientosdegeometrayaaprendermuchascosasnuevassobrelasfigurasgeomtricasplanasloquetevaapermitirverconunosojosnuevoselmundoqueterodeaobservando rectas paralelas en los edificios, ngulos interiores o exteriores, o como en elmosaicoanterior, losmotivosgeomtricosque loforman.Estasformasgeomtricaspuedenpermitirtedisearinteresantesdecoraciones.



165 Figurasplanas1deESO1.ELEMENTOSDELPLANO1.1.Puntos,rectas,semirrectas,segmentos.Elelementomssencillodelplanoeselpunto.Elsignodepuntuacinquetieneestemismonombre

sirveparadibujarlootambinunpequeocrculosiqueremosdestacarlo. Esmuytilnombrarlo yparaelloseutilizanletrasmaysculasA,B,C,Al igual que el punto, la recta es un objetoelementaldelplano.Constituyeunasucesininfinitade puntos alineados en una misma direccin. Lasrectassenombranconletrasminsculasr,s,t,Unasemirrectaescadaunadelaspartesenlasquequedadivididaunarectaporunpuntoqueperteneceaella.Elpuntosedenominaorigen.Lassemirrectassenombranconletrasminsculasoreferenciandosuorigen:semirrectadeorigenO,semirrectap,Un segmento es la porcin de recta comprendidaentredospuntosde lamisma.Lospuntosse llamanextremos.Lossegmentossenombranmediante susextremos, por ejemplo: segmento AB o segmentodeextremosA,B.

Ejemplo1:

A

B

C

SemirrectadeorigenD

ERectar

Rectas

SegmentoFG

SemirrectadeorigenE

F

SegmentoCMD

G

M

NO

P

Imaginaquecadaunode los lmitesde lahojadetu cuaderno,de lapizarraode cadaunade lasparedes de la habitacin en la que ests, seprolonga indefinidamente sin cambiar suinclinacin o posicin. Los objetos resultantesseranejemplosdeplanos.Para representarlos y estudiar bien suselementos,nosquedaremossoloconunapartedecadauno.Porejemplo,enloscasosanteriormentecitados,conlamismahoja,lapizarraolaparedtalcomolasvemos.



166 Figurasplanas1deESOActividadespropuestas

Copiaentucuadernoelsiguientedibujoyrealizalassiguientesactividades.1.Dibujatressegmentosquetengansusextremosfueradelasrectasrys.2.ElpuntoBpertenecealarectas?.Yalarectar?3.DibujaunsegmentoquetengacomoextremosAyunpuntoqueestenlasrectasrys4.DibujaunasemirrectadeorigenCyquepaseporB.5.EsposibledibujarunarectaquepasealavezporM,FyG?.YporN,AyE?

1.2.Rectasparalelasysecantes.Pensemosahoraenlasdiferentesposicionesquepuedenocupardosrectasenunplano:

Rectasparalelas:NotienenningnpuntocomnRectassecantes:TienenunnicopuntocomnRectascoincidentes:Todossuspuntossoncomunes

PorunpuntoPexterioraunarectarsolopuedetrazarseunarectaparalelaaellaeinfinitassecantes.Ejemplo2:

Anuestroalrededorencontramosobjetoscotidianosenlosqueseaprecianparalelasysecantes

AB

C E

Rectar

RectasFD

G

M

N



167 Figurasplanas1deESOActividadespropuestas6.Dibujacuatrorectasdemodoquehayadosparalelas,dosperpendicularesydossecantesnoperpendiculares.7.Observaelsiguientedibujoeindicaqurectassonparalelasaryqurectassonsecantesar.

1.3.ngulos.Tiposdengulos.Se llama ngulo a la regin del plano limitada por dossemirrectasconunorigencomn. Lassemirrectasquelolimitansellamanladosyelorigenvrtice.Paranombrarunngulopodemosutilizarunasolaletraobientres,quesernnombresdetrespuntos:elprimeroyelltimopuntossobre los ladosdelnguloyelcentralelvrtice.Enamboscasossecolocaencimaelsmbolo^.

Enelngulodeldibujo: O= AOBAsociados a semirrectasespecialesdefiniremos tres ngulosquenos servirn tanto como referenciaparaclasificarlosdems,comoparadefinirunadelasmedidasangularesmsutilizadas.Nosreferimosanguloscompletos,llanosyrectos.ngulocompleto:Eseldefinidopordossemirrectasiguales.

ngulollano:Eslamitaddeunngulocompleto.

ngulorecto:Eslamitaddeunngulollano.

Rectar

Recta1

Recta2 Recta 5

Recta 8

Recta 9

Recta 10

Recta 4 Recta 6 Recta 7Recta3

A

LadosVrtice

B

O O



168 Figurasplanas1deESO

Sellamanngulosconsecutivosadosngulosquetienenelmismovrticeyunladocomn.Uncasoparticularson losngulosadyacentes quesonngulosconsecutivoscuyos ladosnocomunesformanunngulollano.Se llamanngulosopuestosporelvrticea losngulosque tienenelmismovrticey talesque losladosdeuno son semirrectasopuestasa los ladosdelotro. Losngulosopuestosporel vrtice soniguales.Ejemplo3:

Consecutivos Adyacentes Opuestosporelvrtice



169 Figurasplanas1deESOActividadespropuestas8.Nombracadaunodeestosngulossegnsuabertura:

a) b)

c)

d)

e)

9. Indica todas las parejas de ngulos adyacentes, consecutivos y opuestos por el vrtice que seencuentranenelsiguientedibujo:

1.4.MedidadengulosPara medir ngulos utilizamos el llamado sistema sexagesimal. La unidad de medida es el gradosexagesimal.Serepresentaconelsmboloysedefinecomo1/360deunngulocompleto.

1=1/360partedeunngulocompletoElgradosexagesimaltienedosdivisores:Minuto1minuto=1=1/60partedeungradoSegundo1segundo=1=1/60partedeunminutoLas unidades de este sistema aumentan y disminuyen de 60 en 60, por eso el sistema se llamasexagesimal.Si un ngulo viene expresado en dos o tres de estasunidades,sedicequeestexpresadoenformacompleja.Enlaformaincomplejadelamedidadeunnguloapareceunasolaunidad.El paso de una a otra forma se realiza mediantemultiplicaciones o divisiones por 60, segn haya quetransformarunaunidaddemedidadengulosen launidadinmediatainferiorosuperior.

Recuerdaestasrelaciones:1ngulocompleto=360

1ngulollano=1801ngulorecto=90

1=60minutos=3600segundos1minuto=60segundos



170 Figurasplanas1deESOEjemplo4:Formacompleja:A=12o4032B=1354C=120o23Formaincompleja:D=35000E=23oF=34Ejemplo5:PasaremoselnguloDdelejemploanterioraformacompleja:

D=35000=58320=9o4320

Ejemplo6:A=12o2310=12.3600+23.60+10=44590Actividadespropuestas10.Pasaaformacomplejalossiguientesngulosa)12500 b)83 c)230 d)17600 11.Pasadeformaincomplejaaformacomplejaa)12o3440 b)13o237 c)49o5632 d)1o2527 12.Completalatabla:

EXPRESINENSEGUNDOS EXPRESINENMINUTOSYSEGUNDOS EXPRESINENGRADOS,MINUTOSYSEGUNDOS

8465 24532 31o355

1.5.Sumayrestadengulosenelsistemasexagesimal.Parasumarngulosexpresadosenelsistemasexagesimal,secolocanlossumandoshaciendocoincidirgrados,minutosysegundos,despussesuman lascantidadescorrespondientesacadaunidad.Si lossegundos sobrepasan 60, se transforman en minutos y se suman a los minutos resultantes de laprimerafasedelasuma.Silosminutossobrepasan60,lostransformamosengradosysesumanalosgradosanteriormenteobtenidos.Ejemplo7:

35000 60 583 60500 583 43 9o200 20

24o4329 77 60 73 6045o2948 17 1 13 169o7277 Nminutos=72+1=73 Ndegrados=69o+1o=70o

24o4329+45o2948=69o7277=69o7317=70o1317



171 Figurasplanas1deESOPararestardatosdemedidadengulos,ngulosexpresadosenelsistemasexagesimal,secolocanelminuendo y el sustraendo haciendo coincidir grados,minutos y segundos, despus restamos. Si enalgunacolumnaelminuendoesmenorqueelsustraendo,sepasaunaunidadinmediatamentesuperioralaquepresenteelproblemaparaquelarestaseaposible.Ejemplo8:

Ejemplo9:

Actividadespropuestas13.Calcula:34o4530+12o2715b)16o301+12o1312+2o116o45'+23o13''+30o2030d)65o485612o332535o542315o135''e)43o32115o5050''1.6.nguloscomplementariosysuplementariosSellamannguloscomplementariosadosnguloscuyasumaesunngulorecto(90o)Sellamanngulossuplementariosadosnguloscuyasumaesunngulollano(180o)Ejemplo10:Enlafiguraaparecendosejemplosgrficos:AyBsonnguloscomplementarios.CyDsonsuplementarios.Ejemplo11:Elngulo =12oeselcomplementariode =78oyelsuplementariode =168o

65o4850 65o485045o2948=20o19245o2948

20o192

37o60 7160 38o1214 37o7214 37o717415o1515 15o1515 15o1515

22o565938o121415o1515=37o721415o1515=37o717415o1515=

=22o5659




14.Copiaentucuadernoydibujaelcomplementariodelngulo yelsuplementariodelngulo .15.Calculalosnguloscomplementarioysuplementariode:a)35o5423b)65o4856c)43o321d)30o2030

16.Indicasilassiguientesparejasdengulossoncomplementarios,suplementariosoningunadelasdoscosas:a)15o3420y164o2540b)65o4856y24o124c)43o321y30o2659

1.7Rectasperpendiculares.Mediatrizdeunsegmento.Dosrectassonperpendicularessiformanunngulorecto..Esuncasoespecialderectassecantes.Paraconstruiruna rectaperpendicularauna rectadada r, seadaptauncartabna rysobrelseapoya unode los ladosque formaelngulorecto(cateto)delaescuadra.Elotrocatetodelaescuadranossirvepararealizarlaconstruccindeseada.Tambinpuedencambiarselasfuncionesdeescuadraycartabn.Lamediatrizdeun segmentoABes la rectaperpendicularaABtrazadadesdeelpuntomedioTodos los puntos de lamediatriz de un segmento equidistan, esdecir,estnalamismadistancia,delosextremos.Conuncompsyunareglapodemostrazarfcilmentelamediatrizdeunsegmentodado.Debemosseguirlospasos

SedibujaelsegmentoAB.ConcentroenAyconradioRmayorquelamitaddelsegmento,setrazaunarcoquecortealsegmentoAB.ConelmismoradiosetrazaunarcodecentroB.Seunenlospuntoscomunesdelosdosarcos.Estarectaeslamediatriz.



173 Figurasplanas1deESOActividadespropuestas17.Esposibledibujartresrectas,secantesdosadosdemodoquehayaexactamente:a)Unaparejaderectasperpendiculares b)dosparejasderectasperpendiculares.c) lastresparejasderectasseanperpendiculares.18.Dibujalamediatrizdeunsegmentode6cmdelongitud.19.Dibujaunsegmentodelongitud8cm,sumediatrizyunarectaperpendicularalsegmentodepartidaqueestaunadistanciade5cmdelsegmentoinicial.Quposicinocupaestarectaconrespectoalsegmentodepartida?.

1.6.Bisectrizdeunngulo.Labisectrizdeunnguloeslarectaquepasaporelvrticedelnguloylodivideendospartesiguales.Lospuntosdelabisectrizsonequidistantesalos2ladosdelngulo.PuedesobservarqueenlafiguradelejemploadjuntoqueCP=DP.Paratrazar labisectrizdeun ngulodevrticeO,setrazaunarcohaciendocentroenOquedeterminadospuntos,AyB.Acontinuacin,concentrosenAyBrespectivamenteycon radio fijo mayor que la mitad de la distancia AB,trazamosdosarcos.Estossecortanenunpunto,queunidoconelvrticeOnosdalabisectriz.Dosrectassecantesdeterminancuatrongulosysusbisectricessecortanconformandongulosrectosentreellas.Ejemplo14:Enlafigurainferiorobservamosquelasbisectricesdelosngulosqueformanryssonperpendiculares.Actividadespropuestas19.Utilizandountransportadordengulos,unareglayuncomps,dibujalosngulosqueseindicanylabisectrizdecadaunodeellos:a)45o b)130o c)70o d)45o

BisectrizA

B

O

C

D

P

CP=DP.

Bisectriz ngulosagudos

Bisectrizngulosobtusos

r

s



174 Figurasplanas1deESO2.POLGONOS2.1.Lneaspoligonalesypolgonos.Una lnea poligonal es una coleccin de segmentos consecutivos. Esto quiere decir que el primersegmento tiene un extremo comn con el segundo. El extremo libre del segundo es comn con elterceroyassucesivamente.Silosextremoslibresdelprimeroydelltimocoinciden,sedicequelalneapoligonalescerrada.Encasocontrario,esabierta.Unpolgonoesunaregindelplanolimitadaporunalneapoligonalcerrada.Ejemplo13

2.2.Elementosdeunpolgono:lados,ngulos,vrtices,diagonalesSe llama ladodeunpolgonoacadaunodelos segmentos que forman la lnea poligonalquelolimita.Los ngulos limitados por dos ladosconsecutivos son los ngulos interiores delpolgono.Los ngulos limitados por un lado y laprolongacin del lado consecutivo son losngulosexterioresdelpolgonoLos puntos en los que se cortan los lados sellamanvrtices.

PolgonosLneaspoligonalescerradasyabiertas

Diagonal Diagonal

Lado

Vrtice

Vrtice

ngulointerior nguloexterior

Lado



175 Figurasplanas1deESOCadaunodelossegmentosqueunedosvrticesnoconsecutivossellamadiagonal.Cualquierpolgonotieneelmismonmerodelados,dengulosinterioresydevrtices.Dospolgonossonigualessitienenlosladosylosngulosiguales.Enalgunoscasosbastaconsaberquese cumplen condicionesmenosexigentes (llamadas criteriosde igualdad)paragarantizarlo.Veremosporejemplotrescriteriosdeigualdaddetringulos.Actividadespropuestas20.Copialosdibujossiguientesytrazatodaslasdiagonalesdecadapolgono:

a)b)c)d)

2.3.ClasificacindelospolgonosSegnlosnguloslospolgonosseclasificanendosgrandesgrupos:

ConvexosSitodossusngulossonconvexos.

CncavosSialmenosunodesusngulosescncavo

Porelnmerodelados,lospolgonosseclasificanen

TringuloTreslados

CuadrilteroCuatrolados

PentgonoCincolados

HexgonoSeislados

HeptgonoSietelados

OctgonoOcholados

Siunpolgonotienetodossusngulosigualessellamaequinguloysitienetodossusladosigualessellamaequiltero.



176 Figurasplanas1deESOLospolgonosquetienentodossusngulosinterioresysusladosigualessedenominanregulares.Lospolgonosregularessonentoncesequilterosyequingulos.Siporlomenosunadeestascondicionesseincumple,elpolgonosellamairregular.Enunpolgonoregularaparecennuevoselementos:

Centroqueesunpuntoqueequidistadelosvrtices.Radioqueesunsegmentoqueuneelcentroconunvrticedelpolgono.ngulo central que es el menor de los ngulos que determinan dos radios que unen vrticesconsecutivos.Apotema que es el segmento que une el centro con el puntomediodeunlado.Elapotemaesperpendicularallado.

Actividadespropuestas21.Dibuja,siesposible,unpolgonoejemplode:

a)tringulocncavob)pentgonoconvexoc)hexgonocncavod)cuadrilteroconvexoregular.

22. Observa la figura adjunta e indica qu polgonos son equingulos, equilteros, regulares eirregulares.Puedescopiarlatablainferiorentucuadernoycompletarla

A B C D E F G H

EQUINGULO EQUILTERO REGULAR IRREGULAR 23.Dibujaentucuadernoelapotemade:

a)untringuloequiltero,b)uncuadrado,c)unhexgonoregular.

A

B

C

D

E F

G

H

RadioRadio

Apotema

nguloCentral

Centro



177 Figurasplanas1deESO3.CIRCUNFERENCIAYCRCULO3.1.Circunferenciaycrculo

Unacircunferenciaesunalneacerradayplanacuyospuntosequidistandeunpuntointerioralamismallamadocentro.Laporcindeplanolimitadoporunacircunferenciasellamacrculo.

3.2.Elementosdeunacircunferencia.Sellamanelementosdeunacircunferenciaaciertospuntosysegmentossingularesdelamisma.Losdescribimosacontinuacin

Elcentroeselpuntointeriorequidistantedetodoslospuntosdelacircunferencia.

Elradiodeunacircunferenciaeselsegmentoqueuneelcentrodelacircunferenciaconunpuntocualquieradelamisma.Senombraconlaletrarobienconsuspuntosextremos.Lamedidadelradioesconstante.

Eldimetrodeunacircunferenciaeselsegmentoqueunedospuntosdelacircunferenciaypasaporelcentro.Eldimetromideeldobledelradio.

Unacuerdaesunsegmentoqueunedospuntoscualesquieradelacircunferencia.Eldimetroeslacuerdadelongitudmxima.

Cadaunadelaspartesenqueunacuerdadividealacircunferenciasellamaarco.

Un arco de circunferencia se denota con el smbolo sobre las letras que designan los puntosextremos del arco. Por ejemplo el arco de extremos A, B se escribe .Un caso particular es lasemicircunferencia,arcodelimitadoporlosextremosdeundimetro

3.3.Sectorcircularysegmentocircular.Coronacircular.Unsectorcirculareslaporcindecrculocomprendidaentredosradios.

Circunferencias Crculos

Cuerda

Centro

Arco

Radio

Dimetro



178 Figurasplanas1deESOUnsegmentocirculareslaporcindecrculocomprendidoentreunacuerdayelarcoquetienesusmismosextremos.Unacoronacirculareslasuperficiecomprendidaentredoscrculosconcntricos.

Elnguloqueformanlosdosradiosquedeterminanunsectorcircular,sellamangulocentral.Sielngulocentralesllano,elsectorcircularesunsemicrculo.Actividadespropuestas24.Dibujaunacircunferenciaderadio4cmyenellaunsectorcircularde30deamplitud.25. En la circunferencia anterior, indica si es posible trazar una cuerda en cada uno de los casossiguientesyhazloencasoafirmativo:a)de4cmdelongitud,b)de8cm,c)mayorde8cm.

3.4.Posicionesentreunarectayunacircunferencia.Unarectapuedetenerdospuntoscomunesconunacircunferencia,unooninguno.

SECANTES

DospuntosencomnTANGENTES

UnpuntoencomnRECTAEXTERIORALACIRCUNFERENCIA

NingnpuntocomnElpuntocomndeunacircunferenciayunarectatangentes,sellamapuntodetangenciaLa distancia del centro de la circunferencia a una recta es menor, igual o mayor que el radio,dependiendodequeseansecantes,tangentesoexteriores



179 Figurasplanas1deESO3.5.PropiedadesimportantesdelascircunferenciasysuselementosAlgunasconstruccionesgeomtricascomoel trazadode lacircunferenciaquepasapor trespuntosdados, labsquedadelcentrodeunarcodecircunferenciaoeldibujodeuna recta tangenteaunacircunferenciacuandoseconoceelpuntodetangencia,sepuedenresolvergraciasaestaspropiedadesqueseleccionamos

Lasmediatricesdetodaslascuerdasdeunacircunferenciapasanporelcentro.

Larectatangenteaunacircunferenciaesperpendicularalradioquepasaporelpuntodetangencia.

Actividadespropuestas26.Dibujatrespuntosquenoestnenlnearectademodoqueelprimeroesta2cmdedistanciadelsegundoyelsegundoa3cmdeltercero.Finalmentetrazalacircunferenciaquepaseporlostres.



180 Figurasplanas1deESO4.TRINGULOSComohemosvistoantes,untringuloesunpolgonodetreslados.Estudiaremosenesteprrafodosclasificacionesdelostringulos,dospropiedadesimportantescomunesatodoslostringulosydescubriremoslosllamadosrectasypuntosnotablesdeuntringulo.4.1.ClasificacindelostringulosSegnlosladoslostringulosseclasificanen

EquilterosTienentresladosiguales

IsscelesTienenexactamentedos

ladosiguales

EscalenosLostresladossondesiguales

Segnlosnguloslostringulosseclasificanen

AcutngulosTienentresngulosagudos

RectngulosTienenunngulorecto

ObtusngulosTienenunnguloobtuso

Enuntringulorectngulolosladosqueformanelngulorectosellamancatetosyeltercerosedenominahipotenusa.

4.2.Propiedadesfundamentalesdeuntringulo.Lasumadelosngulosdeuntringuloes180o.Deestapropiedadsededucenlasconsecuenciassiguientes:

Losngulosagudosdeuntringulorectngulosoncomplementarios.Cadangulodeuntringuloequilterovale60o.

En un tringulo cualquier lado es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que sudiferencia.Esprecisotenerencuentaestapropiedadparasabersitressegmentosdadospuedenonoserlosladosdeuntringulo




27.Dibujaenunpapeluntringulo,divdeloentrespartesycoloralascontrescoloresdiferentes.Despusrecrtalasyformaconellasunngulollano.Deestaforma,habrsdemostradoquelasumadesusnguloses180o.28.Calculaelvalordel tercerngulode untringulosidosdeellosmidenrespectivamente:a)30oy80ob)20oy50oc)15oy75od)40o30y63o45.

27.Clasifica,segnsusngulos,lostringulosdelejercicioanterior.29.Construyeuntringulorectnguloissceles.30.Indicarazonadamentesiesposibleconstruiruntringulocuyosladosmidan:a)5cm,4cmy3cmb)10cm,2cmy5cmc)2dm,2dm4dmd)13m,12my5m

4.3.RectasypuntosnotablesdeuntringuloEnuntringulosedefinencuatrotiposderectasdenominadas,genricamente,rectasnotables.Esasrectasson:mediatrices,bisectrices,medianasyalturas.Entodotringuloexistentresrectasdecadaunodelostiposmencionadosytienenlapropiedaddepasarporunmismopunto.LospuntosdeinterseccindeestosgruposderectassedenominanpuntosnotablesLasmediatricesde lostres ladosdeltringuloconcurrenenunpunto llamado circuncentro (Oen lafiguraizquierdadelejemplo14).Dichopuntoequidistadelosvrticesy,eselcentrodelacircunferenciacircunscritaaltringulo.Lasbisectricesdelosngulosdeuntringuloconcurrenenunpuntollamadoincentro(Ienlafiguradela izquierda del ejemplo 14). Dicho punto equidista de los lados del tringulo y es el centro de lacircunferenciainscritaeneltringulo.



182 Figurasplanas1deESOEjemplo14

Sellamaalturadeuntringuloalarectaquepasaporunvrticeyesperpendicularalladoopuesto.Lastresalturasdeuntringulosecortanenelortocentro.Se llamamedianadeun tringuloa la rectaquepasaporunvrticeyporelpuntomediodel ladoopuesto.Elpuntodecortedelasmedianassellamabaricentro.Ejemplo15

Actividadespropuestas31.Dibujauntringuloequilterode10cmdeladoycompruebaquetodoslospuntosnotablescoinciden.32.Calculaelcircuncentrodeuntringulorectngulo.Dndeseencuentra?.33.Calculaelortocentrodeuntringuloobtusngulo.



183 Figurasplanas1deESO4.4.Igualdaddetringulos.Dostringulossonigualessilostresladosylostresngulossoniguales.Paracomprobarquedostringulossonigualesessuficientecomprobarquesecumpleunodelostrescriteriossiguientes:1Tienenlostresladosiguales.Es posible construir un tringulo tomando comopuntodepartida las longitudesde lostres lados:a,b,cPara ello, se dibuja un segmento de longitud igual aunodeellos (aporejemplo).Susextremosserndosvrticesdeltringulo.Acontinuacindesdeunextremosetrazaunarcoconradiobydesdeelotrosetrazaunarcoconradioc.Elpuntocomndelosdosarcoseselvrticequefalta:

2Tienendosladosigualeseigualelngulocomprendidoentreambos.Pongamosquelosdatossonlaslongitudesbycyelngulo .Sedibujaenprimerlugarelngulo

.Suvrticeesunvrticedeltringulo.Sobresusladossellevanconuncompslasmedidasbyc,estosarcossonlosdosvrticesrestantes.

3Tienenunladoigualadyacenteadosngulostambiniguales.

Suponemosconocidoel ladoay losngulos y .Podemos construirel tringulo con facilidad tambinenestecaso.Se dibuja en primer lugar el segmento a. Susextremossondosvrticesdenuestrotringulo.Ensusextremos,sedibujanlosngulos y demodoque

elsegmentoaseaunladodecadaunodeellos.Porltimo,seprolonganlosladosde y hastaquesecorten.

Actividadespropuestas34.Dibujauntringuloenlossiguientescasos:a)Susladosmiden12cm,10cmy8cmb)Unladomide10cmysusngulosadyacentes30oy65o.c)Dosladosmiden10cmy8cmyelngulocomprendidoentreellos50o.

a

ab b

cc

bb

c

c

aa



184 Figurasplanas1deESO6.CUADRILTEROSUn cuadrilteroesunpolgonode cuatro lados.Comootrospolgonos, se clasificanendos grandesgruposdependiendodeltipodengulosquetengan:cncavosyconvexos.Adems,podemosdistinguirvariostiposdecuadrilterosconvexos.6.1.Clasificacindeloscuadrilterosconvexos.Loscuadrilterosconvexosseclasificanenparalelogramosynoparalelogramos.Unparalelogramoesuncuadrilteroque tiene los ladosparalelose igualesdosados.Tambinsusngulossonigualesdosados.Haycuatrotiposdeparalelogramos:

CuadradoLoscuatroladosyloscuatro

ngulossoniguales

RectnguloSusladossondistintosysus

cuatrongulosiguales

RomboLoscuatroladossonigualesy

losngulosdistintos

RomboideLadosyngulosdistintos

Loscuadrilterosnoparalelogramospuedenserdedostipos:

TrapeciosTienenexactamentedosladosparalelos

TrapezoidesNotienenningunaparejadelados

paralelosAdems,siuntrapeciotienedosladosiguales,sellamatrapecioisscelesysitienedosngulosrectos,sellamatrapeciorectngulo.Ejemplo16:Losparalelogramostienenmuchasyvariadasaplicacionesendiseoyconstruccin




6.2.Propiedadesdeloscuadrilteros1.Lasumadelosngulosdeuncuadrilteroes360o.Altrazarunadelasdiagonalesdeuncuadrilteroquedadivididoendostringulos.Lasumadelosngulosdeamboscoincideconlasumadelosngulosdelcuadriltero.

Nombramoslosngulosdelcuadriltero

Dibujamos unadiagonalynombramostambinlosnuevos

ngulosqueaparecen:

= =

=180o=180o

=

=180o+180o=360o

Otraspropiedadesdeloscuadrilterosson

2.Ladiagonaldeunparalelogramolodivideendostringulosiguales.3.Lasdiagonalesdeunparalelogramosecortanenelpuntomedio.4.Lasdiagonalestantodeunrombocomodeuncuadrado,sonperpendiculares.5.Alunirlospuntosmediosdeuncuadriltero,seformaunparalelogramo.



186 Figurasplanas1deESOActividadespropuestas35.Fjateeneldibujoeindicaqucuadrilterosson:a)cncavosb)paralelogramosc)isscelesd)trapeciose)trapezoidesf)regulares

35.Averiguaqutipodeparalelogramoaparecesiseunenlospuntosmediosde:a)uncuadradob)unromboc)unrectngulod)untrapecioe)untrapezoide.36.Losdosngulosagudosdeunromboidemiden32o.Cuntomidecadaunodelosngulosobtusos?.

A B C D E F G H



187 Figurasplanas1deESOCURIOSIDADES.REVISTA

LAROSADELOSVIENTOS

Larosade losvientoshaaparecidoengrficasymapasdesdeelao1300.Labasedesudibujoes un polgono estrellado. Las rectas que unenvrticesopuestossonlosrumbosdenavegacin

GRACECHISHOLMYOUNG(18681944)

Grace Chisholm Youngincluy en su obra Primerlibro de Geometramltiples diagramas defiguras tridimensionalespara ser recortadas yconstruidas.Su innovadora forma deplantear laenseanzade laGeometra, ha trascendidohastaelmomentoactual.

EUCLIDES,UNGRANGEMETRAEnelsigloIIIa.C.EuclidesenseabaMatemticasenlaescueladeAlejandra.SuobraprincipalfueronLosElementos,quehansidodurantesigloslabasedelageometra.LasaportacionesmsinteresantesdeEuclidesfuerondefinicionesypostuladoscomostos:UnpuntoesaquelloquenotienepartesUnalneaesunalongitudsinanchuraLasextremidadesdeunalneasonpuntos

POLGONOSREGULARESESTRELLADOSUn polgono regular estrellado puede construirse apartir del regular convexo uniendo vrtices noconsecutivosdeformacontinua.Si N es el nmero de vrtices del polgono regularconvexoyMelsaltoentrevrtices, lafraccinN/Mhade ser irreducible, de lo contrario no se generaelpolgonoestrellado.

MOSAICOSSabes qu es unmosaico? .Se llamamosaico atodorecubrimientodelplanomediantepiezasquenopuedensuperponerse,nipuedendejarhuecossinrecubrir.Losmssencillossonlosmosaicosregularesformadosporpolgonosregularestodosiguales.Solohaytresposibilidadesparaconstruirmosaicosregulares.Bscalas.Un mosaico semiregular es el formado porpolgonosregularesdeformaqueencadavrticetenganlamismadistribucin.Solohayocho

ILUSIONESPTICASSonrectasparalelasocurvaslaslneasgrises?



188 Figurasplanas1deESORESUMEN

Ejemplos

Elementosdelplano Los elementos fundamentales del plano son:puntos,rectas,semirrectas,segmentos

Posicinrelativadedosrectas Dos rectas distintas pueden ser paralelas osecantes

Polgonos.Elementosdeunpolgono

Unpolgono esuna lneapoligonal cerrada. Loselementos de un polgono son lados, vrtices,diagonales,ngulosinterioresyexteriores

Clasificacindelospolgonos

Poreltipodenguloscncavosyconvexos.Regularesoirregularessegntengantodossusladosyngulosigualesono.Porelnmerodelados:tringulos,cuadrilteros,pentgonos,hexgonos,

CircunferenciaycrculoUna circunferencia es una lnea cerrada quecumpleque todos suspuntos estn a lamismadistanciadeunpuntofijollamadocentro.Uncrculoeslapartedeplanoqueencierraunacircunferencia.

Elementosdeunacircunferencia Centro,radio,dimetro,cuerda,arco.

CrculosCircunferencias

Tringulo

Cuadriltero

Pentgono

Cncavo

Convexo

DiagonalLado Vrtice

ngulointerior ngulo

exterior

Rectasparalelas

Rectassecantes

RectaSemirrecta

Segmento

Puntos

Cuerda

Centro

Arco

Radio

Dimetro




Sectorcircular,segmentocircularycoronacircular

Un sector circular es la porcin de crculocomprendidaentredosradios.Un segmento circulares laporcinde crculocomprendido entre una cuerda y el arco quetienesusmismosextremos.Una corona circular es la superficiecomprendidaentredoscrculosconcntricos.

ClasificacindetringulosSegn los ngulos acutngulos, rectngulos yobtusngulos.Segn los lados: equilteros, issceles yescalenos,

Propiedades Lasumadelosngulosdeuntringuloes180o.

Entodotringulo,cualquierladoesmenorquelasumadelosotrosdos.

Rectasypuntosnotablesenuntringulo

Lasmediatricesconcurrenenelcircuncentro, lasbisectrices en el incentro, las alturas en elortocentroylasmedianasenelbaricentro.

Clasificacindeloscuadrilteros

Paralelogramossisusladossonparaleloseigualesdosadosynoparalelogramos.Los paralelogramos se dividen en cuadrados,rectngulos,rombosyromboides.Los no paralelogramos pueden ser trapecios otrapezoides.

Rectngulo Romboide

TrapecioTrapezoide

Rectngulo

Equiltero

Issceles

Obtusngulo



190 Figurasplanas1deESOEJERCICIOSYPROBLEMAS

1. Dibujaunarectahorizontalyotraqueformeunngulode60oconella.2. Dibuja cuatro rectas demodo que tres de ellas pasen por unmismo punto y la cuarta sea

paralelaaunadeellas.3. Dibujadosrectassecantesyunsegmentoquetengaunextremoencadaunadeellas.4. Si dosrectasryssonperpendicularesytrazasunatercerarectapparalelaaunadeellas,por

ejemploar,cmosonlasrectassyp?.Hazundibujo.5. Unngulomidederecto.Expresaestamedidaengrados,minutosysegundos.6. Calcula:

a) 54o2510+32o1714b)14o3015+62o116+42o1c) 15o23'+73o10''+70o2838d)45o454512o4885e) 67o42315o437''f)33o32115o3520''

7. Lasumadedosnguloses125o46'35''.Siunodeellosmide57o55'47'',cuntomideelotro?

8. Cincoguardasdeseguridaddebenrepartirseporigualunserviciodevigilanciade24horas.Expresaenhorasyminutoseltiempoquedebepermanecervigilandocadaunodeellos

9. Enuntablerode33,culeselmayornmerodeladosquepuedetenerunpolgono?Yenunode44?

10. LafotografarepresentaunmosaicodeLaAlhambradeGranada.Observaqueestconstituidopormotivosgeomtricos.

a. Estemosaicotienedostiposdepolgonosregulares:Culesson?

b. Describeelpolgonoblanco.Escncavooconvexo?

c. Elmosaicodelafotografanoesunmosaicoregular.Silofueraestaraformadonicamenteporpolgonoregularestodosiguales.

d. Describe un octgono regular: nmerode lados,cuntomidesungulocentral,cuntomidesusngulosinteriores




4,5cm

3,8cm

3,5cm 4,5cm

3,8 cm3,5cm

11. Calculaelnmerodediagonalesquetienenlossiguientespolgonos:a)Rombob)trapecioc)trapezoided)cuadradoe)rectngulof)hexgono.

12. Dibujaunhexgono regularyuncuadrado.Marcaelcentroysitaen cadaunodeellosdosapotemasydosradios.

13. Dibujaundecgonoytodassusdiagonales.14. Completa:

a. Untringulorectngulotieneunngulo..b. Untringulo..tieneunnguloobtuso.c. Untringulo..tienelostresngulosagudos.

15. Construyeuntringulosabiendoquea=9cm,b=7cmyelnguloC=50.16. Sepuedeconstruirun tringulodemodoque susngulosmidan105o,45oy35o.Razona tu

respuesta.17. Dibujauntringuloobtusngulo.Creesquelastresalturassoniguales?18. Observalasfigurasycalculalosngulosquefaltan

19. Dados tressegmentosdecualquiermedida,essiempreposibleconstruirun tringulo?.Porqu?. Recorta tiritas de papel de longitudes de 10 cm, 8 cm y 6 cm, puedes construir untringuloconellas?.

20. Puedes asegurar que son iguales lostringulosdelafiguraderecha?

21. Siunodelosngulosdeuntringulorectnguloesde50o,indicaelvalordelosdems.Dibujauntringulorectnguloconestosngulosyuncatetode5cm.

22. Sidosdelosngulosdeuntringulomiden30oy70o,cuntomideelmenordelosngulosqueformanlasbisectricescorrespondientes?

KJ

L

70o

42o

32o40o

H

G

I

FD

E

102o

22o

42o 66o

B

CA



192 Figurasplanas1deESO23. Construyeuntringulosabiendoquea=10cm,losngulosB=45C=5024. Calculaelincentrodeltringuloanteriorydibujalacircunferenciainscritaaltringulo.25. Enqupuntocolocarasunpozoparaquetrescasasde

campo no alineadas, estn a la misma distancia delmismo? Haz un grfico esquemtico en tu cuaderno ycalculaelpuntoentudibujo.

26. Desdeunodelosvrticesdeunhexgonosetrazantresdiagonalesquedividenalpolgonoencuatrotringulos.a. Calculalasumadelosngulosdelhexgono.b. Sielhexgonoesregular,calculaelvalordecadaunodesusngulosinteriores.c. Enelmismosupuesto,calculaelvalordelngulocentral.

27. Dibujaunpolgonode9lados.Cmosellama?a. Cuntos tringulos puedes formar al trazar todas las diagonales que parten de un

vrtice?b. Cuntovalelasumadelosngulosdelpolgonoinicial?.

28. Sealasilassiguientesafirmacionessonverdaderas:Silasdiagonalesdeuncuadrilterosonperpendiculares,setratadeunromboLostrapeciosrectngulostienentodossusngulosigualesLosrectngulossonpolgonosequingulos.Lasdiagonalesdeunparalelogramosecortanenelpuntomedio

Justificatusrespuestasyhazundibujoqueacompaeacadauna.29. Consigueunhilogruesoyuntrozodepapeldecolor.Recortaelhilooeltrozodepapel,segn

procedayconstruye:a) Unacircunferencia,b)uncrculo,c)unradio,d)unsegmentocircular,e)unsectorcircular.

30. Dibujaunacircunferenciade3cmderadioydosarcosigualesascomolascuerdasquetienensusmismosextremos.Compruebaquelascuerdastambinsoniguales.

31. Eneldibujohechoparadarrespuestaalejercicioanterior,trazadosdimetrosperpendicularesalascuerdas.Midedespusladistanciadecadacuerdaalcentro.Quobservas?

32. Dibujadosrectasparalelasdemodoqueladistanciaentreellasseade5cm.Dibujadespusunacircunferenciatangenteaambas.

?



193 Figurasplanas1deESOAUTOEVALUACIN

1. DibujatrespuntosA,B,Cquenoestnalineadosy:a. LasrectasrquepasaporAyBysquepasaporByC.b. LarectaperpendiculararyquepasaporelpuntoC.c. LarectaperpendicularasquepasaporB.d. LarectaparalelaasquepasaporA.

2. Calculaelcomplementarioysuplementariodelosngulossiguientes:a) 54ob)73o4056

3. Cuntovalenlosngulosinterioryexteriordeunpentgonoregular?4. Dibujaunhexgonoytodassusdiagonales.

5. Clasificalossiguientepolgonos,completandolatabla:

a) b) c) d)

POLGONO CNCAVO REGULAR EQUINGULO EQUILTERO PORELNMERODELADOSESUN

a) NO S SI SI ENEGONOb) c) d) e) SI NO CUADRILTERO

6. Dibujauntringulocuyosladosmiden3cm,6cmy5cmytrazasustresalturas.7. a)Dibujaunsectorcircularderadio4cmdemodoquesuamplitudseade82o.b)Dibujauna

coronacirculardefinidapordoscrculosderadios4cmy2cm.

8. Dibujauntringuloenelquea=6cm, y 45o.Calculadespussucircuncentro.

9. Dibujauntrapecioissceles,untrapeciorectngulo,unromboide,trazasusdiagonalesyestudiasisecortanenelpuntomedio.

10. Calculaelvalordelngulo B enlassiguientesfiguras:

a) b)

A

B

32o

CB

DA40o

C

1.8 figurasplanas

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