1

Kombinatorika Kombinatorika hr v rozvoji matematickho myslenia vrazn rolu. Jej vznam je predovetkm v rozvoji logickho myslenia a obecnch kombinanch schopnost a v neposlednom rade ju mono povaova za zklad pre nsledn rieenie rznych pravdepodobnostnch problmov. Kombinatorika je as matematiky, ktor sa (jak je z nzvu jasn) zaober kombinovanm vetkho monho, napr. meme pri portovch turnajoch kombinova drustva, meme ich priraova do rznych skupn at. Ako matematick disciplna sa kombinatorika zaala objavova pribline v 17. storo. O jej rozvoj sa okrom inch zaslili: Pascal, Fermat, Bernoulli, Leibniz, Euler alebo Laplace. Predmetom ich skmania boli hazardn hry. Vek vznam mala loha o rozdelen stvky, ktor Pascalovi predloil jeho priate, vniv hr - Chevalier de Mr. lo o Zpas hlava orol, ktor sa hr do 6 vyhranch parti. Problm vznikol, ke musel by preruen v ase, ke jeden hr mal 5 a druh 4 vyhran partie. Ako teda rozdeli vsaden peniaze? Bolo jasn, e rozdelenie v pomere 5:4 by nebolo spravodliv. Pascal pouil metdy kombinatoriky a rieil tento problm v obecnom prpade, kedy jednmu hrovi ostva ete vyhra r parti a druhmu s parti. Touto lohou sa zaoberal aj Pierre Fermat, ale ten doiel k inmu rieeniu. al rozvoj kombinatoriky je spojen s menami: Jakob Bernoulli, G. W. Leibniz a Leonhard Euler. Aj u nich boli hlavnmi lohami aplikcie na rzne hry (loto, pasins atd.). V zpadnch kultrach ju matematici objavili tie v svislosti s hazardnmi hrami. Vtedy v ivote privilegovanch vrstiev spolonosti zaujmali hazardn hry vznamn miesto. V kartch a kockch sa vyhrvali a prehrvali brilianty, zlato, palce a statky, kone i drah perky. Taktie boli rozren rozmanit lotrie. Preto sa kombinatorick lohy spoiatku tkali predovetkm tchto hier. Rieili sa naprklad problmy: kokmi spsobmi me pri danom pote vrhnutch kociek padn urit poet k, alebo kokmi spsobmi je mon zska dvoch krov v uritej kartovej hre. Tieto problmy boli hybnou silou v rozvoji nielen kombinatoriky, ale taktie terie pravdepodobnosti, ktor sa rozvjali sbene. "Kokmi spsobmi mono vybra, zoradi, usporiada ist objekty?" Takto lohu sa kombinatorika sna roztriedi do skupn i typov a pre kad typ lohy formuluje veobecn metdu rieenia - naprklad v podobe vzorca. Motivan loha: Urte poet vetkch prirodzench dvojcifernch sel, v ktorch v dekadickom zpise sa kad slica vyskytuje najviac raz. Rieenie: Na mieste desiatok sa vyskytuj postupne slice 1 9 a ku kadej z nich mono z mnoiny {0, 1, 2, ..., 9} vytvori vetky dvojcifern slo tak, e sa slice neopakuj: 1 krt 9 zostvajcich 2 krt 9 zostvajcich 3 krt 9 zostvajcich at. , celkom teda vytvorme 9. 9 = 81 sel

2

Bez toho, aby sme si uvedomili, sme k rieeniu pouili prv z kombinatorickch pravidiel - pravidlo sinu.

KOMBINATORICK PRAVIDLA Predchdzajca jednoduch loha vedie k zavedeniu kombinatorickho pravidl sinu: Predpokladajme, e mme vybra dva prvky a, b priom vyberme prv z konenej neprzdnej mnoiny A a druhy z konenej neprzdnej mnoiny B. V prpade, e vyber prvku b je nezvisl na vbere prvku a je celkom A.B monost, ako vybra tieto prvky. Jedn sa teda o poet vetkch usporiadanch k - tc, ktorch prv len mono vybra n1 spsobmi, druh n2 spsobmi po vbere prvho, ........., kad k - ty len n1, n2, ..., nk spsobmi po vbere (k - 1) ho lena. Tento poet je rovn sinu n1. n2. ..... nk . Kombinatorickm pravidlom sinu mono riei vinu kombinatorickch loh, rieenia vak bvaj zdhav. Ak je lohou zisti poet prvkov nejakej mnoiny M, meme mnoinu M rozloi na niekoko disjunktnch podmnon Mj tak, e M = M 1 M2 M3 ... Mk, a potom uri poty prvkov mnon Mj. Tm je zaveden kombinatorick pravidlo stu. Tento poet je rovn | M | = | M1 | + | M2 | + | M3 | + ... + | Mk | Pre rieenie lohy nielen tmito pravidlami je nutne definova najzkladnej pojem kombinatoriky a to faktoril .

Faktoril Faktoril sla n je sin prirodzench sel 1 a n a oznaujeme ho vkrinkom za danm slom, veobecne n!. Matematicky to najahie zapisujeme v tvare: n! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3). . . 3. 2. 1 Nula nie je prirodzen slo, ale ak sme nten vyjadri v niektorom vzahu 0! , definujeme to ako 1, t.j. plat 0! = 1. Ak chceme faktoril rozloi len iastone, meme kedykovek presta a posledn len zase povaova za faktoril teda, napr.: n! = n (n - 1) (n - 2)! Na zklade toho je mon uri faktoril zloitejch prkladov. Dokte, e plat : ( n + 1 )! - n! = n . n!

Rieenie : ( n + 1 )! = ( n + 1 ) n! ... ( n + 1 ).n! n! = n . n! ... n!.( n + 1 1 ) = n . n! ... ... n . n! = n . n!

Je dleit si zapamta, e faktoril ( ! ) je len symbol, ktor sm o sebe nemono ani vybra pred ztvorky ani vykrti, prve tak ako s nm nemono naprklad roznsobi ztvorky. Pri vskyte faktorilov v zlomku je vhodn faktorily vch sel rozpsa pomocou faktorilov mench sel a po prave vykrti.

3

Prklad 1:

loha: Upravte:

Varicie, Permutcie, Kombincie 1. Varicie bez opakovania Defincia: Varicie bez opakovania k-tej triedy z n prvkov je kad usporiadan k-tica rznych prvkov, vybranch z n-prvkovej mnoiny. Nech mnoina M obsahuje n rznych prvkov a nech pi M. Potom kad [[[[p1; p2; p3; ...; pk]]]] je varicia k-tej triedy z n prvkov bez opakovania.

4

Poznmky: 1) zle na porad prvkov 2) prvky sa nemu opakova Poet takchto varici sa uruje poda vzorca: Prklad 2: Dan je mnoina M = {a, b, c, d}. Z prvkov tejto mnoiny vytvorte varicie 2.triedy bez opakovania. Vypotajte ich poet. Rieenie:

Prklad 3:

Do kolskho vboru zvolili 7 iakov. Kokmi spsobmi sa d z nich vybra predseda, podpredseda, tajomnk a pokladnk? Rieenie: S to varicie: n = 7, k = 4

Funkcionri vboru sa daj vybra 840 spsobmi.

Prklad 4: Z kokch rznych prvkov meme vytvori 240 varici 2. triedy? Rieenie: S to varicie: n = x, k = 2

5

Potrebujeme 16 prvkov.

Prklad 5: Ak sa poet prvkov zv o 2, zv sa poet varici 3. triedy o 384. Koko je prvkov? Rieenie:

Prvkov je 8. x y

Prklad 6: Koko jedno a tvorcifernch sel mono zostavi pomocou cifier 0,1,2,3 ak sa v iadnom z sel nijak cifra nem opakova ? Rieenie: V(4,1) + V(4,2) + V(4,3) + V(4,4) = 64............keby medzi ciframi nebola 0 V(3,0) + V(3,1) + V(3,2) + V(3,3) =16............poet sel s 0 na zaiatku Spolu tch sel bude 64 16 = 48

6

lohy

1. Ak sa poet prvkov zv o dva, zv sa poet varici tretej triedy bez opakovania o 384. Koko je prvkov? (8)

2. Vo vrecku je 6 rznych lstkov oznaench slicami 1 a 6. Kokmi rznymi spsobmi meme postupne, s prihliadnutm na poradie vybra tri z nich, ak vybran lstky sa do vrecka nevracaj ? (120 spsobmi) 3. Poet trojlennch varici bez opakovania je 10 nsobkom dvojlennch varici bez opakovania tej istej mnoiny prvkov. Koko prvkov m tto mnoina? (12 prvkov) 4. V slovenskej hokejovej lige hr 10 mustiev. Hr sa o zlat, strieborn a bronzov medaily. Kokmi spsobmi mu by rozdelen? (720) 5. Koko rznych trikolr meme vytvori z bielej, ltej, ervenej, modrej a zelenej ltky? Pruhy trikolr maj rovnak rku a zovame ich vodorovne. (60) 6. O telefnnom sle svojho spoluiaka vedel Peter len to, e je esmiestne, zana sedmikou, neobsahuje dve rovnak slice a je deliten 25. Uri, koko telefnnych sel prichdza do vahy. (420)

2. Varicie s opakovanm

Defincia: Varicie k-tej triedy z n prvkov s opakovanm je kad usporiadan k-tica prvkov, vybranch z n-prvkovej mnoiny. V k-tici sa mu prvky ubovone opakova. Poznmky: 1) zle na porad prvkov 2) prvky sa mu opakova

Poet takchto varici sa uruje poda vzorca: V(k, n) = nk

Prklad 7: Vo vrecku je 6 rznych lstkov oznaench slicami 1 a 6. Kokmi rznymi spsobmi meme postupne, s prihliadnutm na poradie vybra tri z nich, ak vybran lstky sa do vrecka vracaj ? Rieenie: V(3, 6) = 63 = 216 Kartiky meme z vrecka vybra 216 spsobmi.

7

Prklad 8: Koko rznych telefnnych stanc mono zapoji na telefnnu centrlu, ak s vetky sla stanc 5-cifern? Rieenie: n = 10, k = 5 V(k, n) = V(5, 10) = 105

Prklad 9:

Koko me by tchto stanc, ak sa ich slo neme zana nulou? Rieenie: Poet sel, ktor sa zanaj nulou ( 0 . . . .) je n = 10 a k = 4 V(k, n) = V(4, 10) = 104 Poet sel, ktor sa nezanaj nulou je V(5, 10) - V(4, 10) = 105 104 = 90 000 . Prklad 10: Koko znakov, ktor s zloen z 1 a 4 signlov me obsahova Morseova abeceda? Rieenie:

n = 2 ( . ; , ) : z jednho signlu ... k = 1 ... V(1, 2) = 21 = 2 z 2 signlov ... k = 2 ... V(2, 2) = 22 = 4 z 3 signlov ... k = 3 ... V(3, 2) = 23 = 8 zo 4 signlov ... k = 4 ... V(4, 2) = 24 = 16 spolu (z 1 ... 4 signlov) ... V(1, 2) + V(2, 2) + V(3, 2) + V(4, 2) = 2 + 4 + 8 + 16 = 30 Prklad 11: Koko rznych pcifernch prirodzench sel, vch ako 30 000 meme napsa z slic 0, 1, 2, 3? Rieenie: Tu je jasn, e ide o varicie s opakovanm, lebo mme k dispozcii tyri sla a z nich mme vytvra pcifern sla. Kad slo mus ma na prvom mieste slicu tri a na alie tyri miesta meme kombinova hociktor z slic 0, 1, 2, 3. Teda: V(4, 4 ) = 44 = 256 . Medzi tmito slami je vak aj slo 30 000, ktor nevyhovuje zadaniu prkladu. Konen vsledok je preto 256 1 = 255

8

lohy

1. Koko pcifernch sel meme zostavi z cifier 2, 3, 4, 6, 7, 9,