ベクトル解析(2) - 北海道大学工学部 4 3.2 接線ベクトル 曲線cの微分 0 lim...
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ベクトル解析(2)
3. 空間曲線
• 空間曲線、曲線長
• 接線、法線
4. 空間曲面
• 空間曲面
• 接平面、法線
• 曲面の面積
Today’s Point
2
Chap. 3 空間曲線
•空間曲線、曲線長
•接線、法線
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
dt
drr
単位接線ベクトル
接線ベクトル
r
rt
単位主法線ベクトル t
tn
ds
d
dt
d
tt
rr
:
:
単位従法線ベクトル
ntb
3
3. 空間曲線
点P:座標(x(t), y(t), z(t))
変数t変化 -> 空間曲線C
点Pの位置ベクトル
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
曲線Cの方程式,変数tを媒介変数
3.1 空間曲線
)0( 0 ,sin ,cos aztaytax
例題1:半径aの円
jir tatat sincos)(
3
PQ
4
3.2 接線ベクトル
曲線Cの微分
0limt
d
dt t
r rr (ただし, ) 0r
点Pにおいて曲線Cに接する
変数tが時間を表すとき,r’(t)は各時刻tでの速度ベクトル
ベクトル関数r(t)とその導関数は連続(微分可能)
⇒ “曲線Cはなめらか”
P(t), Q(t+t)を曲線Cの2点とすると,ベクトル
r(t)=r(t+t) - r(t)
dt
drr
単位接線ベクトル
接線ベクトル
r
rt
4
5
3.3 曲線長
曲線Cを折れ線snで近似
弧ABの長さ:t→0とした時のsnの極限値s
t |||| rr
b
a
b
a
b
a
dtdt
dz
dt
dy
dt
dx
dtdt
ddts
222 )()()(
||||r
r
tsn |||| rr
空間曲線r=r(t)、区間a≦t≦bに対応する弧AB
5
例題1 半径aの円
jir tatat sincos)(
dt
drr
2)単位接線ベクトル
1)接線ベクトル
r
rt
3)曲線長
6
t
r
r
ji tata cossin -
atata - 22 )cos()sin(r
ji tt cossin -
2
0|| dts r全周
aadt 22
0
t
dttstat0
||)(: r位置 atadtt
0
7
3.4 曲線長による接線ベクトルの表現 b→t s(t):P(a)~P(t)間の弧長:
s=s(t)はtの関し増加関数
両辺をtで微分
t
a
t
adt
dt
dz
dt
dy
dt
dxdtts 222 )()()( ||)( r
0||||)(
dt
d
dt
tds rr
tr
rr
rrrr
||||//
dt
d
dt
ds
dt
d
ds
dt
dt
d
ds
d
ds: 曲線Cの線素
各点で曲線に接する単位ベクトル
7
ds
dr
r
rt
||
3.5 法線ベクトル
単位接線ベクトル t
0
02
1
ntn
tttt
tt
とすると法線
で微分 ds
ds
単位主法線ベクトル
曲線半径
曲率
:
/1:
//
t
t
tntn
単位従法線ベクトル
ntb
t
r
n
b 接平面
の張る平面とnt
8
// tn
ds
d
dt
d tt
rr : :) 注
例題1 半径aの円
jir tatat sincos)(
jit tt cossin -
)sincos(1
ji
tt
tta
ds
dt
dt
d
--
k
kji
ntb
--
-
0sincos
0cossin
tt
tt
ats
9
jit
tn
t
tt
a
sincos
/1
--
10
tbadtba
dtbtatats
t
t
22
0
22
0
222
)()cos()sin()(
-
)0( ,sin ,cos abtztaytax
例題2 常ら線
kjir bttatat sincos)(
kjir btatat - cossin)(
1)曲線長
t
a
t
adt
dt
dz
dt
dy
dt
dxdtts 222 )()()(||)( r
22222 )cos()sin()( babtatat -r
10
kjir
rt btata
ba-
cossin
1
|| 22
2)単位接線ベクトル
3)単位主法線ベクトル
)sin(cos ji
t
tn
tt -
4)単位従法線ベクトル
ds
dt
dt
d
ds
d ttt
2222
2222 sincos
ba
a
ba
tata
t
)cossin(1
0sincos
cossin1
22
22
kji
kji
ntb
atbtbba
tt
bttaba
-
--
-
11
22 badt
ds
2222
1sincos
baba
tata
--
ji
ji ttba
asincos
22
-
12
例題2 (5章)
kjir bttatat sincos)(
kjir btatat - cossin)(
kiir
rt
222222cossin
|| ba
bt
ba
at
ba
a
-
sincos22
jit
t ttba
a
dt
d
-
曲線半径曲率 : /1:
//
t
t
tntn
)sin(cos jit
tn tt -
Today’s Point
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Chap. 4 空間曲面 dv
d
du
d rr
•空間曲面
•接平面、法線
•曲面の面積 dxdy
yxS
D
rr
),( vur
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4. 空間曲面
点Pの位置ベクトルrが2つの変数u,vの関数r=r(u,v)
点Pの座標(x, y, z):曲面S
r=r(u,v)
上式を曲面Sの方程式,変数u,vを媒介変数という
変数v固定,変数u変化させた場合の曲面S上の曲線⇒“u曲線”
変数u固定,変数v変化させた場合の曲面S上の曲線 ⇒ “v曲線”
u曲線とv曲線の接線ベクトルはそれぞれ ,
u v
r r
4.1 空間曲面
14
15
4.2 接平面
曲面S上の点Pを通り,点Pにおける と を含む平面はただ
一つ定まる。これを曲面Sの点Pにおける接平面という
0u v
r r条件: 曲面Sの各点で接ベクトル と
が平行でない
u
r
v
r
u
r
v
r
u v u v
r r r rn
15
このとき,単位ベクトル
接平面に垂直。
これを単位法線ベクトル
法線における接平面と単位上の点放物面 )5 ,2 ,1( 22 Pyxz
kjir )(),( 22 vuvuvu
接線 du
dr
144
)22(
/
22
--
vu
vu
dv
d
du
d
dv
d
du
d
kji
rrrrn
kjirr
dv
d
du
d
222 1)2()2( -- vudv
d
du
d rr
dv
dr
)2,1(
)5,2,1(
での単位法線ベクトル)5,2,1(P
)42(21
1kjin --
例題3
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ki u2 kj v2
201
u kji -- vu 22
v210
P(1,2,5)での接平面の方程式
ルを通る平面上のベクト)5,2,1(P
kjiprt )5()2()1( ---- zyx
0nt
0542
0)5()2)(4()1(2
--
-----
zyx
zyx
P(1,2,5)での法線の方程式
)5(4
)2(
2
)1(-
-
-
-
-z
yx
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6章 勾配grad (6.3:例題3参照)
p t
n
),,( zyxr
接平面
における上の点球面
単位法線ベクトルと
)1 ,1 ,1(3222 Pzyx
kjir223),( vuvuvu --
接線 ki
223 vu
u
---
---
---
22
22
31 0
30 1
vu
vvu
u
dv
d
du
d
kji
rr
dv
dr
で法線ベクトル)1,1,1(P
例
18
du
drkj
223 vu
v
---
kji --
-- 2222 33 vu
v
vu
u
kjirr
h dv
d
du
d3
3
3
1
1
1
dv
d
du
d
dv
d
du
d rrrrn / )(
3
1kjin
19
kjig )1()1()1(
)1,1,1(),,(
--- zyx
Pzyx を結ぶベクトルと平面上の点
p g
n
),,( zyxr
での接平面は従って )1,1,1(P
0hg
3
0)1( 1)-y( )1(
0)1(1 1)-y(1 )1(1
--
--
zyx
zx
zx
)0( ng
20
4.3 空間曲面の面積
曲面S上の4点を頂点とし,u曲線とv曲線で囲まれた微小図形PP1P2P3を考え,その面積を⊿Sとする
u,v→0とすると
は曲面上の微小面分PP1P2P3の面積を近似すると考えて,これを面積素という
uu
PuPPP
-
rrr )()(1
vv
PP
r3
vuvu
PPPPS
rr31
dudvvu
dS
rr
したがって,面積を⊿Sは,
20
21
曲面の面積
曲面Sの面積は微小面分の面積の総和
uv平面上の領域Dは曲面Sに対応
vuvu
rr
dudvvu
SD
rr
ベクトル面積素
dSは点Pで接平面に垂直
dudvvu
dSd
rrnS
u,v→0の極限をとると,曲面の面積Sは
dudvvu
dS
rr
vuyx
rrrrn /
21
微小面分PP1P2P3を近似的に点Pにおける接平面上の図形と見なし,その法単位ベクトルの方向を考慮して定義されるベクトル
22
221/
yx
yx
ff
ff
yxyx
--
kjirrrrn
dxdyffD
yx 221
kjirr
--
yx ff
yx
221 yx ffyx
rr
kir
xfx
kj
ryf
y
曲面の方程式
kjir ),(),( yxfyxyx
221 yx
yx
ff
ff
--
kjin dxdyffS
Dyx 221
例)曲面 ),( yxfz の単位法線ベクトルnとその面積S
で表されることを証明せよ。ただし、領域Dは曲面Sのxy平面上への正射影である。
),( yxfz
22
xとyを媒介変数として
dxdyyx
SD
rr
例題4
23
面積?0)z0,y0,(x 24 -- yxz
a
kji
kji
ba
8816
402
042
-
-
641122
8
2
1 222 baS
)4,0,0(
z
x)0,0,2(
)0,4,0(
y
a
b
解法1)外積 )0,4,2()0,0,2()0,4,0( --
b
解法2)面積分 0)z0,y0,(x 24 -- yxz
yxyxf -- 24),(
kir
2-dx
dkj
r-
dy
d
kji
kjirr
-
- 2
110
201dy
d
dx
d
-2
0
24
06
x
dxdyS
kjir ) 24( yxyx --
)4,0,0(
z
x)0,0,2(
)0,4,0(
y
y
42 yxx
xy 24 -x)2(
6
1
114
2kji
kjin
24
DD
dxdydxdyyx
S 6rr
64]4[6)24(6 2
0
22
0-- xxdxx
25
例題5 2)z0,y0,(x 2 22 -- yxz
kjir )2( 22 yxyx --
kir
xdx
d2- kj
ry
dy
d2-
kji
kjirr
-
- xy
y
xdy
d
dx
d22
210
201
)22(144
1
144
22
2222kji
kjin
xy
yxyx
xy
D
dxdyyx 144 22
222),( yxyxf -- 2z
2
2
x
y
25
dxdy
yxS
D
rr
26
D
dxdyyxS 144 22
sin cos ryrx
14144 222 ryx
rr
r
yy
xxJ
rdrddrdJdxdy
r
r
-
cossin
sincos
であるので2
1
22
3
2
2
0
2
0
2
)14()14(12
1
414
rrrdr
d
rdrrdS
3
13]1)81[(
12
12)14(
12
14 2
32
0
2
0
2
3
2
-
rdS
2
2
x
y
222 yx
z
27
問題
を求めよ法単位ベクトル
球面
n
kjir )(cos)sin(sin)sin(cos),( .2 vavuavuavu
t
kjir
単位接線ベクトル
に至る曲線長から
曲線
)2
0)1
2)( .1
tt
teet tt
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線形変換としての対角化の意味・直交変換 - 学習サポート …...L06-Q2 Quiz(ベクトルの規格化) ベクトル x = [3 4] と同じ大きさで平行なベクトルをひとつ求めよう(規格化しよう)
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