2. หลักการนับขั้นสูง · n=0...
TRANSCRIPT
2. หลักการนับขั้นสูง
ในบทนี้เราจะศึกษาตัวอย่างเทคนิคการนับขั้นสูง 2 เทคนิค ได้แก่การใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด และฟังก์ชันก่อกำเนิด ซึ่งวิธีการทั้งสองนี้จะใช้เพื่อหาค่าของลำดับ {an}∞n=0 เมื่อan คือคำตอบของปัญหาการนับที่เกี่ยวข้องกับของ n สิ่ง
2.1 ความสัมพันธ์เวียนเกิด
บทนิยาม 2.1 ให้ {an}∞n=0 เป็นลำดับของจำนวนจริง ความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence
relation) อันดับที่ k สำหรับลำดับ {an}∞n=0 คือสมการที่อยู่ในรูป
an = f(an−1, an−2, . . . , an−k, n), n ≥ k
โดยมีพจน์ an−k ปรากฏอยู่ในสมการ
• ค่าเริ่มต้น (initial values) คือค่าของ a0, a1, . . . , ak−1 ที่ถูกกำหนดไว้
• ผลเฉลย (solution) ของความสัมพันธ์เวียนเกิด คือสูตรของ an ในรูปของ n
ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด และค่าเริ่มต้นที่กำหนดให้ (ถ้าม)ี
ตัวอย่าง 2.1
(i) an = 2an−1 + 1, (n > 1); a0 = 1 เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดอันดับที่ 1
โดยมีค่าเริ่มต้นคือ a0 = 1
(ii) an = an−1 + an−2, (n > 2); a0 = 0, a1 = 1 เป็นความสัมพันธ์เวียนเกิดอันดับที่ 2
โดยมีค่าเริ่มต้นคือ a0 = 1 และ a1 = 1
การหาผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิด
การหาผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิดสามารถทำได้หลายวิธี ในที่นี้เราจะใช้วิธีใดวิธีหนึ่งดังต่อไปนี้
• การทำซ้ำ โดยคำนวณค่าของ an หลาย ๆ ค่าจากความสัมพันธ์เวียนเกิดที่กำหนดให้เพื่อสังเกตและคาดคะเนรูปแบบทั่วไปของ an
• การใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว
24
ตัวอย่าง 2.2 จงหาผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิดต่อไปนี้โดยวิธีทำซ้ำ
(i) an = 3an−1, (n ≥ 1); a0 = 2
(ii) an = an−1 + n · n! , (n ≥ 1), a0 = 1
(iii) an = an−1 + 2n, (n ≥ 1); a0 = 1
25
ตัวอย่าง 2.3 ถ้าใช้ส่วนของเส้นตรง n เส้นแบ่งบริเวณภายในของวงกลม จะได้บริเวณย่อยมากที่สุดกี่บริเวณ
26
ตัวอย่าง 2.4 กำหนดให้ในตอนเริ่มต้น (วันที่ 1) มีแบคทีเรียอยู่ในจานเพาะเชื้อจำนวน 4
เซลล์ และสมมติว่า ในทุก ๆ วันหลังจากวันที่ 2 เป็นต้นไป ในช่วงเช้าแบคทีเรียแต่ละเซลล์ที่ยังมีชีวิตจะแบ่งตัวเป็น 2 เซลล์ และในช่วงบ่ายจะมีแบคทีเรียตายไป 3 เซลล์เสมอ
ให้ an คือจำนวนเซลล์ของแบคทีเรียที่ยังมีชีวิตอยู่ในตอนเย็นของวันที่ n (n ≥ 1)
(i) จะได้ a2 = ................, a3 = ................, a4 = ................
(ii) จงหาเขียนสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับลำดับ {an} และหาผลเฉลยของความสัมพันธ์
27
ตัวอย่าง 2.5 มีเสา 3 เสา และมีแผ่นกลมเจาะรู n แผ่นที่มีขนาดต่างกันวางซ้อนกันอยู่ในเสาหนึ่ง เรียงขนาดจากใหญ่ขึ้นไปหาเล็ก ดังรูป
ต้องการย้ายแผ่นกลมทั้งหมดจากเสาต้นเดิมไปวางเรียงในลักษณะเดียวกันในเสาต้นใดต้นหนึ่งจาก 2 ต้นที่เหลือ โดยให้ย้ายแผ่นกลมได้ครั้งละ 1 แผ่น และไม่ให้แผ่นที่ใหญ่กว่าวางซ้อนอยู่บนแผ่นที่เล็กกว่า
ให้ an คือจำนวนครั้งที่น้อยที่สุดในการย้ายแผ่นกลม n แผ่นตามเงื่อนไขดังกล่าว (n ≥ 1)
(i) จะได้ว่า a1 = ............, a2 = ............, a3 = ............ และ a4 = ............
(ii) จงหาความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับลำดับ {an}∞n=1 และหาผลเฉลยของความสัมพันธ์
28
ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว
บทนิยาม 2.2 ความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้นเอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นค่าคงตัว คือความสัมพันธ์ที่สามารถจัดให้อยู่ในรูป
an − bk−1an−1 − bk−2an−2 − · · · − b0an−k = 0 (∗)
เมื่อ b0, b1, b2, . . . , bk−1 เป็นค่าคงตัว และเราเรียกสมการ
xk − bk−1xk−1 − bk−2x
k−2 − · · · − b0 = 0 (∗∗)
ว่า สมการช่วย (auxiliary equation) ของ (∗)
ทฤษฎีบท 2.1 ถ้า r1, r2, . . . , rk เป็นรากที่แตกต่างกันของ (∗∗) แล้ว ผลเฉลยของ (∗)คือ
an = c1rn1 + c2r
n2 + · · ·+ ckr
nk
เมื่อ c1, c2, . . . , ck เป็นค่าคงตัว (ซึ่งสามารถหาได้จากค่าของ a0, a1, . . . , ak)
หมายเหตุ: กรณีที่ (∗∗) มีรากซ้ำ สามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากเอกสารอ้างอิงหมายเลข 1
ตัวอย่าง 2.6 จงหาผลเฉลยของความสัมพันธ์เวียนเกิดต่อไปนี้
(i) an = 3an−1, (n ≥ 1); a0 = 2
(ii) an = 4an−2, (n ≥ 2); a0 = 0, a1 = 1
29
(iii) an = an−1 + 6an−2, (n ≥ 1); a0 = 2, a1 = 1
ตัวอย่าง 2.7 จงหาจำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว n ตัวอักษรโดยใช้ตัวอักษร A, B,
C โดยห้ามมีอักษร A อยู่ติดกัน
30
ตัวอย่าง 2.8 จงหาจำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว n ตัวอักษรโดยใช้ตัวอักษร A, B,
C, D โดยห้ามมีอักษร A และ B อยู่ติดกัน
31
2.2 ฟังก์ชันก่อกำเนิด
บทนิยาม 2.3 ให้ {an}∞n=0 เป็นลำดับของจำนวนจริง ฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating func-
tion) ของ {an}∞n=0 คือนิพจน์ (expression) ที่อยู่ในรูป
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · · =
∞∑n=0
anxn
หมายเหตุ
1. นิพจน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดในบทนิยามข้างต้น ยังมีชื่อเรียกว่า อนุกรมกำลังรูปนัย(formal power series) ซึ่งเป็นเพียงสัญลักษณ์อย่างหนึ่งที่เกิดจากลำดับ {an}∞n=0
โดยทั่วไป เราไม่สนใจการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมกำลังรูปนัย
อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี เช่น เมื่อเราต้องการเขียนฟังก์ชันก่อกำเนิดให้อยู่ในรูปแบบปิด (closed form) กล่าวคือ รูปแบบที่ปราศจากเครื่องหมาย
∑หรือปราศจาก
ลิมิตอนันต์ เราอาจพิจารณาค่าของ x ที่ทำให้อนุกรมลู่เข้า เพื่อเขียน f(x) ให้อยู่ในรูปแบบที่กระชับขึ้น
2. บทนิยามข้างต้นยังครอบคลุมถึงฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับจำกัด กล่าวคือถ้า {an}kn=0
เป็นลำดับจำกัด แล้วเราอาจขยายลำดับดังกล่าวให้เป็นลำดับอนันต์ {an}∞n=0 โดยให้an = 0 สำหรับทุก n > k และให้ฟังก์ชันก่อกำเนิดของ {an}kn=0 คือฟังก์ชันก่อกำเนิดของ {an}∞n=0 ซึ่งในที่นี้คือ
f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ akx
k
ตัวอย่าง 2.9 จงหาฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับต่อไปนี้
(i) 1, 1, 1, . . .
ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับนี้คือ
f(x) = 1 + x+ x2 + x3 + · · ·
=1
1− xเมื่อ |x| < 1
32
(ii) 1, 1, 1, 1
ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับนี้คือ
f(x) = 1 + x+ x2 + x3
=1− x4
1− xเมื่อ x ̸= 1
(iii) 1, 2, 4, 8, 16, . . .
ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับนี้คือ
f(x) = 1 + 2x+ 4x2 + 8x3 + 16x4 + · · ·
=1
1− 2xเมื่อ |2x| < 1
(iv) 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .
ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับนี้คือ
f(x) = 1 + x2 + x4 + x6 + · · ·
=1
1− x2เมื่อ |x| < 1
(v) 1, 5, 10, 10, 5, 1
ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับนี้คือ
f(x) = 1 + 5x+ 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5
= (1 + x)5
(vi) 1, 2, 3, 4, 5, . . .
เนื่องจาก
1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 + · · · = 1
1− xเมื่อ |x| < 1
เมื่อหาอนุพันธ์ทั้งสองข้าง จะได้ว่า
1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + 5x4 + · · · = 1
(1− x)2
ดังนั้น จะเห็นว่า ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ 1, 2, 3, 4, 5, . . . คือ f(x) =1
(1− x)2
33
(vii) 1, 1,1
2,1
6,1
24,
1
120, . . .
ฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับนี้คือ
f(x) = 1 + x+x2
2+
x3
6+
x4
24+
x5
120+ · · ·
=∞∑n=0
xn
n!
= ex
ตัวอย่าง 2.10 จงหาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับใด
(i) f(x) =1
1 + x
เนื่องจาก
f(x) =1
1 + x= 1− x+ x2 − x3 + · · · =
∞∑n=0
(−1)nxn เมื่อ |x| < 1
ดังนั้น f(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ an = (−1)n
(ii) f(x) =1
1− 3x
เนื่องจาก
f(x) =1
1− 3x= 1 + 3x+ (3x)2 + (3x)3 + · · · =
∞∑n=0
3nxn เมื่อ |3x| < 1
ดังนั้น f(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ an = 3n
(iii) f(x) =1− x5
1− x
เนื่องจากf(x) =
1− x5
1− x= 1 + x+ x2 + x3 + x4
ดังนั้น f(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ 1, 1, 1, 1, 1
(iv) f(x) = (1 + x)m
เนื่องจาก (1 + x)m =m∑
n=0
(m
n
)xn
ดังนั้น f(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ(m
0
),
(m
1
), . . . ,
(m
m
)
34
(v) f(x) = e2x
เนื่องจาก
e2x =∞∑n=0
(2x)n
n!=
∞∑n=0
2nxn
n!
ดังนั้น f(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ an =2n
n!
ความสำคัญของฟังก์ชันก่อกำเนิด
ให้ an คือจำนวนวิธีในการสร้าง การเลือก หรือการจัด ฯลฯ วัตถุ n ชิ้น ตามเงื่อนไขที่กำหนด ในบางกรณี การใช้หลักการนับเบื้องต้นเพื่อหาค่าของ an โดยตรงอาจทำได้ยาก แต่เราอาจหาค่าของสมาชิกในลำดับ {an}∞n=0 ได้ง่ายขึ้นเมื่อใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด โดยมีขั้นตอนดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1 เขียนฟังก์ชันก่อกำเนิด f(x) ให้สอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหา
ขั้นที่ 2 คำนวณหาค่าสัมประสิทธิ์ an ของแต่ละ xn ใน f(x)
การเขียน f(x) ให้สอดคล้องกับปัญหา (โดยที่ยังไม่ทราบค่าของ an) และการคำนวณหาค่าของ an จาก f(x) ล้วนมีเทคนิคที่ต้องฝึกฝนและเรียนรู้เพื่อให้เกิดความชำนาญ
ตัวอย่าง 2.11 จงเขียนฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับ {an} เมื่อ an คือคำตอบสำหรับปัญหาต่อไปนี้
(i) an คือจำนวนวิธีการเลือกของ n ชิ้นจากของจำนวนมากที่ไม่แตกต่างกัน
เนื่องจากการเลือกของ n ชิ้นมาจากของที่ไม่แตกต่างกัน สามารถทำได้เพียง 1 วิธีจึงได้ว่า ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับนี้คือ
f(x) = 1 + x+ x2 + · · · = 1
1− x
(ii) an คือจำนวนวิธีการเลือกของ n ชิ้นจากของ 2 ชนิด โดยของชนิดเดียวกันไม่ต่างกัน
ให้ f1(x) และ f2(x) คือฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับวิธีการเลือกของชนิดที่ 1 และของชนิดที่ 2 ตามลำดับ จะได้ว่า
f1(x) = 1 + x+ x2 + · · · และ f2(x) = 1 + x+ x2 + · · ·
สังเกตว่า หากนำ f1(x) และ f2(x) มาคูณกัน สัมประสิทธิ์ของ xn ใน f1(x)f2(x)
คือจำนวนวิธีในการเลือกของชนิดที่ 1 และชนิดที่ 2 รวมกันให้ได้ n ชิ้น ดังนั้น ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับ an คือ
f(x) = f1(x)f2(x) = (1 + x+ x2 + · · · )(1 + x+ x2 + · · · ) = 1
(1− x)2
35
(iii) an คือจำนวนวิธีการเลือกของ n ชิ้นจากของ r ชนิด โดยของชนิดเดียวกันไม่ต่างกัน
ให้ f1(x), f2(x), . . . , fr(x) คือฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับวิธีการเลือกของชนิดที่ 1 ถึงชนิดที่ r ตามลำดับ จะได้ว่า fi(x) = 1 + x + x2 + · · · สำหรับ i = 1, 2, . . . , r
ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าให้
f(x) = f1(x)f2(x) · · · fr(x) = (1 + x+ x2 + · · · ) · · · (1 + x+ x2 + · · · )︸ ︷︷ ︸r วงเล็บ
จะได้ว่า สัมประสิทธิ์ของ xn คือจำนวนิธีในการรวมของทั้ง r ชนิดให้ได้ n ชิ้น ดังนั้นฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับ an คือ
f(x) =1
(1− x)r
(iv) an คือจำนวนวิธีการเลือกของ n ชิ้นจากของ 3 ชนิด โดยของชนิดเดียวกันไม่ต่างกันและของชนิดที่สามมีได้ไม่เกิน 5 ชิ้น
เนื่องจากของสองชนิกแรกไม่มีการจำกัดจำนวน ดังนั้น ฟังก์ชันก่อกำเนิกสำหรับวิธีการเลือกของสองชนิดแรกคือ
f1(x) = 1 + x+ x2 + · · · และ f2(x) = 1 + x+ x2 + · · ·
แต่เนื่องจากของชนิดที่สามมีได้ไม่เกิน 5 ชิ้น ดังนั้น ฟังก์ชันก่อเนิดสำหรับวิธีการเลือกของชนิดที่สามคือ
f3(x) = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5
และจะได้ว่า ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับลำดับ an คือ
f(x) = f1(x)f2(x)f3(x)
= (1 + x+ x2 + · · · )(1 + x+ x2 + · · · )(1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5)
=1
1− x· 1
1− x· 1− x6
1− x
=1− x6
(1− x)3
(v) an คือจำนวนวิธีในการจ่ายเงิน n บาท โดยใช้เพียงเหรียญ 1 บาท และเหรียญ 2
บาทเท่านั้น
เนื่องจากจำนวนวิธีในการจ่ายเงิน k บาทใด ๆ โดยใช้เหรียญ 1 บาท สามารถทำได้ 1วิธีเสมอ ดังนั้น ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับวิธีการจ่ายเงิน k บามใด ๆ โดยใช้เหรียญ 1
บามคือf1(x) = 1 + x+ x2 + · · ·+ xk + · · ·
สำหรับการจ่ายเงิน l บาทโดยใช้เหรียญ 2 บาท จะเห็นว่า จะทำได้ 1 วิธี เมื่อ l
เป็นจำนวนคู่ และทำได้ 0 วิธี เมื่อ l เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับวิธีจ่ายเงินโดยใช้เหรียญ 2 บาท คือ
f2(x) = 1 + x2 + x4 + · · ·+ x2m + · · ·
36
ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับวิธีจ่ายเงิน n บาทโดยใช้เหรียญ 1 บาท และเหรียญ 2 บาทเท่านั้น จึงได้แก่
f(x) = f1(x)f2(x)
= (1 + x+ x2 + · · · )(1 + x2 + x4 + · · · )
=1
1− x· 1
(1− x2)
=1
(1− x)2(1 + x)
(vi) an คือจำนวนวิธีในการเลือกของ n ชิ้นจากของ N ชิ้นที่แตกต่างกัน
สังเกตว่า ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับการเลือกของชิ้นที่ i เมื่อ i = 1, 2, . . . , N คือ
fi(x) = 1 + x
โดยเลข 1 ที่เป็นสัมประสิทธ์ของ x0 บ่งว่า การไม่เลือกของชิ้นที่ i ทำได้ 1 วิธี และเลข1 ซึ่งเป็นสัมประสิทธ์ของ x1 บ่งว่า การเลือกของชิ้นที่ i ทำได้ 1 วิธีเช่นกัน ดังนั้นฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับวิธีการเลือกของ n ชิ้นจาก N ชิ้นที่ต่างกัน จึงได้แก่
f(x) = f1(x)f2(x) · · · fN(x)= (1 + x)(1 + x) · · · (1 + x)︸ ︷︷ ︸
N วงเล็บ
= (1 + x)N
ซึ่งจะเห็นได้ว่า สัมประสิทธิ์ของ xn คือ(N
n
)นั่นคือ an =
(N
n
)
37
เทคนิคการคำนวณเกี่ยวกับฟังก์ชันก่อกำเนิด
ในการคำนวณหาสัมประสิทธิ์ของ xn ใน f(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ในบางกรณีอาจคำนวณได้โดยง่าย เช่น ถ้า f(x) =
1
1− 2xแล้วจะได้ว่า สัมประสิทธิ์ของ xn คือ 2n
แต่ในบางกรณี การหาสัมประสิทธิ์ของ xn อาจทำได้ยาก เช่น เมื่อ
f(x) =1− x6
(1− x)3
ดังนั้น เราควรทราบเทคนิคเบื้องต้นเพื่อคำนวณหาสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิด ดังนี้
ทฤษฎีบท 2.2 ถ้า f(x) =∑∞
n=0 anxn เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ {an}∞n=0 และ
g(x) =∑∞
n=0 bnxn เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ {bn}∞n=0 แล้วจะได้ว่า
(i) cf(x) =∞∑n=0
canxn เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ {can}∞n=0 เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
(ii) f(x) + g(x) =∞∑n=0
(an + bn)xn เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ {an + bn}∞n=0
(iii) f(x)g(x) =∞∑n=0
(∑ni=0 aibn−i
)xn เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ {
∑ni=0 aibn−i}∞n=0
ตัวอย่าง 2.12 จงหาสัมประสิทธิ์ของ x10 ที่เกิดจากการกระจายฟังก์ชันต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอนุ-กรมกำลัง
(i) f(x) =3
1− 2x
เนื่องจาก1
1− 2xเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ an = 2n
ดังนั้น f(x) =3
1− 2xเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ 3an = 3 · 2n
จึงได้ว่า สัมประสิทธิ์ของ x10 ใน f(x) คือ 3 · 210 = 3072
(ii) f(x) =2
3 + x
สังเกตว่าf(x) =
2
3 + x=
2
3· 1
1 + x/3
เนื่องจาก1
1 + x/3เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ an =
(− 1
3
)nดังนั้น f(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ
2
3an =
2
3
(− 1
3
)nสัมประสิทธิ์ของ x10 ใน f(x) คือ
2
311
38
(iii) f(x) =1
4− x2
โดยการแยกเศษส่วนย่อย จะได้ว่า
1
4− x2=
1
(2− x)(2 + x)=
1/4
2− x+
1/4
2 + x
เนื่องจาก1/4
2− x=
1
8· 1
1− x/2เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของ
1
8
(12
)nและ
1/4
2 + x=
1
8· 1
1 + x/2เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของ
1
8
(− 1
2
)nดังนั้น f(x) เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของ
1
8
[(12
)n+(− 1
2
)n]สัมประสิทธิ์ของ x10 ใน f(x) คือ
1
212
(iv) f(x) =(1− x4)5
1− 2x
สังเกตว่า f(x) = (1− x4)5 · 1
1− 2x
ให้ h(x) = (1− x4)5 = a0 + a4x4 + a8x
8 + a12x12 + a16x
16 + a20x20
และให้ g(x) =1
1− 2x= b0 + b1x+ b2x
2 + · · ·
จะได้ว่า สัมประสิทธิ์ของ x10 ใน f(x) คือ
a0b10 + a4b6 + a8b2 =
(5
0
)210 −
(5
1
)26 +
(5
2
)22
= 1024− 320 + 40
= 744
บทนิยาม 2.4 สำหรับแต่ละจำนวนจริง α และแต่ละจำนวนเต็มบวก k เราให้(α
k
)=
α(α− 1)(α− 2) · · · (α− k + 1)
k!
และให้(α
0
)= 1 สำหรับทุก α
ตัวอย่างเช่น (1/2
3
)=
12
(12− 1)(
12− 2)
3!=
12(−1
2)(−3
2)
6=
1
16(−3
4
)=
(−3)(−4)(−5)(−6)
4!= 15
39
ข้อสังเกต
1. ถ้า α เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นคือ ถ้า α = n เมื่อ n ∈ N จะได้ว่า(n
k
)=
n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)
k!
เมื่อ k ≤ n จะได้(n
k
)=
n!
(n− k)!k!ซึ่งสอดคล้องกับบทนิยามในบทที่ 1
เมื่อ k ≥ n+ 1 จะได้ว่า n = k − i สำหรับบาง i ∈ N ทำให้ได้ว่า(n
k
)= 0
2. ถ้า α เป็นจำนวนเต็มลบ นั่นคือ ถ้า α = −n เมื่อ n ∈ N จะได้ว่า(−n
k
)= (−1)k
(n+ k − 1
k
)(ให้นักเรียนแสดงรายละเอียดด้วยตนเอง ว่าเพราะเหตุใด) เช่น(
−3
4
)= (−1)4
(3 + 4− 1
4
)=
(6
4
)= 15
ทฤษฎีบท 2.3 ให้ α เป็นจำนวนจริงใด ๆ ถ้า |x| < 1 แล้วจะได้ว่า
(1 + x)α =∞∑k=0
(α
k
)xk = 1 +
(α
1
)x+
(α
2
)x2 + · · ·
ข้อสังเกต จากทฤษฎีบท 2.3 จะเห็นว่า
1. f(x) = (1 + x)α เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ{(
α
k
)}∞
k=0
2. เมื่อ α = −n โดยที่ n ∈ N จะได้ว่า
1
(1 + x)n=
∞∑k=0
(−1)k(n+ k − 1
k
)xk
ดังนั้น
1
(1− x)n=
∞∑k=0
(k + n− 1
n− 1
)xk
40
ตัวอย่าง 2.13 จงหาสัมประสิทธิ์ของ x20 ที่เกิดจากการกระจายฟังก์ชันต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอนุกรมกำลัง
(i) f(x) =1
(1− x)10
(ii) f(x) =x2 + 2
(1− x)10
(iii) f(x) =(1− x8)9
(1− x)10
41
ตัวอย่าง 2.14 จงหาฟังก์ชันก่อกำเนิดของลำดับ{(
n
3
)}∞
n=3
ตัวอย่าง 2.15 จงแก้ปัญหาต่อไปนี้โดยใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด
(i) ต้องการนำลูกแก้ว 20 ลูกที่เหมือนกัน ไปใส่ในกล่อง 3 กล่องที่ต่างกัน จะแบ่งได้กี่วิธี
(ii) ต้องการนำลูกแก้ว 20 ลูกที่เหมือนกัน ไปใส่ในกล่อง 3 กล่องที่ต่างกัน โดยกล่องที่หนึ่งจะต้องมีลูกแก้วอย่างน้อย 1 ลูก แต่ไม่เกิน 3 ลูก จะแบ่งได้กี่วิธี
42
ตัวอย่าง 2.16 ถ้าต้องการหยิบผลไม้ใส่กระเช้าจำนวน 100 ลูก จากผลไม้สี่ชนิดที่มีอยู่คือมะยม มะปราง มะไฟ และมะม่วง โดยจำนวนของมะยมต้องเป็นจำนวนคู่ จำนวนมะปรางต้องหารด้วย 5 ลงตัว และจำนวนของมะไฟต้องไม่เกิน 4 ลูก ส่วนจำนวนของมะม่วงนั้นมีได้อย่างมากเพียงลูกเดียว จงใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดเพื่อหาว่า จะจัดผลไม้ใส่กระเช้าตามเงื่อนไขดังกล่าวได้กี่วิธี (ในที่นี้ถือว่าผลไม้ชนิดเดียวกันไม่มีความแตกต่างกัน)
ตัวอย่าง 2.17 ให้ n ≥ 6 ต้องการแบ่งเซต X = {1, 2, 3, . . . , n} ออกเป็นสองเซตย่อยที่มีสมาชิกเรียงลำดับติดต่อกัน ได้แก่เซต
A = {1, 2, 3, . . . , k} และ B = {k + 1, k + 2, k + 3, . . . , n}
โดยที่ 3 ≤ k ≤ n−3 (ค่า k สามารถเป็นไปได้ทุกค่าในช่วงดังกล่าว) จากนั้นจะเลือกสมาชิกจาก A มา 3 จำนวน และเลือกสมาชิกจาก B มา 3 จำนวน จงใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดเพื่อหาว่าจะสามารถทำตามเงื่อนไข ดังกล่าวได้กี่วิธี
43
ตัวอย่าง 2.18 สับเซตของ {1, 2, 3, . . . , 2000} ซึ่งผลบวกของสมาชิกทุกตัวในสับเซตถูกหารด้วย 5 ลงตัว มีทั้งหมดกี่สับเซต
44
ฟังก์ชันก่อกำเนิดชี้กำลัง
ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่ได้กล่าวไปแล้ว ในบางกรณีจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ(ordinary generating function) ซึ่งมักใช้แก้ปัญหาการนับบางปัญหาที่เกี่ยวกับการแจกจ่ายสิ่งของที่มีการซ้ำ ต่อไปจะกล่าวถึงฟังก์ชันก่อกำเนิดชี้กำลัง (exponential generating func-
tion) ซึ่งสามารถใช้แก้ปัญหาบางปัญหาที่เกี่ยวกับการจัดเรียงสิ่งของที่มีการซ้ำ
บทนิยาม 2.5 ฟังก์ชันก่อกำเนิดชี้กำลังของลำดับ {an}∞n=0 คือ
f(x) = a0 + a1x+ a2x2
2!+ a3
x3
3!+ · · · =
∞∑n=0
anxn
n!
สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ เราทราบว่า
ex = 1 + x+x2
2!+
x3
3!+ · · ·
ดังนั้น ex เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดชี้กำลังของลำดับ 1, 1, 1, . . .
ตัวอย่าง 2.19 ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิดชี้กำลังของลำดับใด
(i) f(x) = e2x
(ii) f(x) =ex + e−x
2
(iii) f(x) =ex − e−x
2
45
(iv) f(x) =ex + e−x
2· (ex − 1)
ข้อสังเกต
• ถ้านำของที่เหมือนกัน n ชิ้นมาจัดเรียงแบบเส้นตรง จะทำได้n!
n!วิธี
และเนื่องจากxn
n!=
n!
n!· x
n
n!
จึงได้ว่า จำนวนวิธีดังกล่าว คือสัมประสิทธิ์ของxn
n!ในฟังก์ชัน ex
• ถ้านำของชนิดที่ 1 ซึ่งเหมือนกัน และของชนิดที่ 2 ซึ่งเหมือนกัน รวม n ชิ้นมาจัดเรียงแบบเส้นตรง จะทำได้ทั้งหมด∑
i+j=n
n!
i!j!วิธี
ซึ่งหากพิจารณาผลคูณ
e2x =
(1 + x+
x2
2!+
x3
3!+ · · ·
)(1 + x+
x2
2!+
x3
3!+ · · ·
)จะเห็นว่า พจน์ที่มี xn ในผลคูณนั้นได้แก่(∑
i+j=n
1
i!j!
)xn =
(∑i+j=n
n!
i!j!
)xn
n!
ดังนั้น ค่า∑i+j=n
n!
i!j!คือสัมประสิทธิ์ของ
xn
n!ในผลคูณดังกล่าว ซึ่งเท่ากับ 2n
ข้อสังเกตข้างต้น ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ ในกรณีที่มีของมากกว่า 2 ชนิด
46
ตัวอย่าง 2.20 จงใช้ฟังก์ชันกำเนิดชี้กำลังเพื่อหา an เมื่อ an เป็นคำตอบของปัญหาต่อไปนี้
(i) an คือจำนวนวิธีการสร้างคำที่มีความยาว n ตัวอักษรจากตัวอักษร A, B, C
(ii) an คือจำนวนวิธีการสร้างคำที่มีความยาว n ตัวอักษรจากตัวอักษร A, B, C โดยต้องมีA อย่างน้อยหนึ่งตัว
(iii) an คือจำนวนวิธีการสร้างคำที่มีความยาว n ตัวอักษรจากตัวอักษร A, B, C โดยต้องมีB เป็นจำนวนคี่ตัว
47
ตัวอย่าง 2.21 เมื่อทอดลูกเต๋าหนึ่งลูกจำนวน 9 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้ม 1
อย่างน้อยหนึ่งครั้ง และได้แต้ม 2 เป็นจำนวนคู่ครั้ง
48
แบบฝึกหัด
1. ต้องการนำกระเบื้องขนาด 1 × 2 มาปูตารางขนาด n × 2 ให้เต็มพื้นที่พอดี โดยจะวางกระเบื้องในแนวนอนหรือแนวตั้งก็ได้ แต่กระเบื้องต้องไม่ซ้อนทับกัน จะสามารถทำได้ กี่วิธี
2. มีบันไดอยู่ 10 ขั้น กบตัวหนึ่งกระโดดจากพื้นไปสู่ขั้นที่ 10 โดยกระโดดขึ้นเท่านั้น (ไม่มีการกระโดดลง) ถ้าในการกระโดดแต่ละครั้ง กบสามารถกระโดดขึ้นไปได้เพียงหนึ่งขั้น หรือสองขั้นหรือสามขั้นเท่านั้น จะมีวิธีกระโดดกี่วิธี
3. ให้ n > 0 เป็นจำนวนนับ มีตาชั่งสองข้างและก้อนน้ำหนัก n ก้อนที่หนัก 20, 21, . . . , 2n−1
หน่วย จะวางก้อนน้ำหนักทีละก้อนลงบนตาชั่ง โดยไม่ให้ตาชั่งข้างขวาหนักกว่าตาชั่งข้างซ้าย ในแต่ละครั้งจะเลือกน้ำหนักหนึ่งก้อนที่ยังไม่ถูกวางบนตาชั่ง และวางลงบนตาชั่ง ข้างซ้ายหรือข้างขวาจนครบทุกก้อนจงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการกระทำดังกล่าว
(IMO 2011)
4. ในการสอบเข้าคณะแพทยศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งหนึ่ง ผู้สมัครจะต้องสอบ 7 วิชาโดยผลคะแนนของแต่ละวิชาจะเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 100 คะแนน ซึ่งคะแนนรวมขั้นต่ำในการเข้าคณะแพทยศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งนี้เท่ากับ 500 คะแนน และยังมีเกณฑ์เพิ่มเติมว่า ผู้สมัครจะต้องได้คะแนนแต่ละวิชาไม่น้อยกว่า 30 คะแนน
หากนายปฐวีต้องการเข้าเรียนคณะแพทยศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งนี้ โดยจะทำคะแนนรวมให้ได้ 500 คะแนนพอดี เขาจะมีวิธีทำคะแนนของทั้ง 7 วิชาได้กี่วิธี
5. นางสาวแพรวตั้งใจว่า ในเดือนเมษายนนี้จะออกกำลังกายเพื่อลดน้ำหนักตลอดทั้งเดือนโดยจะแบ่งโปรแกรมการออกกำลังกายออกเป็นสามช่วง กล่าวคือ ช่วงแรกจะเดินรอบอ่างม.อ. ติดต่อกันทุกวัน ช่วงที่สองจะไปฟิตเนสติดต่อกันทุกวัน และช่วงสุดท้ายจะเล่นโยคะติดต่อกันทุกวัน นอกจากนี้ ในแต่ละช่วง จะเลือกหนึ่งวันให้เป็นวันที่งดอาหารเย็นอีกด้วย
นางสาวแพรวจะมีวีธีแบ่งวันในเดือนเมษายนออกเป็นสามช่วง พร้อมทั้งเลือกวันงดอาหารเย็นในแต่ละช่วงได้ทั้งหมดกี่วิธี
6. ต้องการสร้างคำที่มีความยาว n ตัวอักษรจากตัว C, O, U, N, T โดยให้จำนวนของสระในคำรวมกันเป็นจำนวนคู่ จะสร้างได้กี่วิธี