2 เวกเตอร์ (vectors) · เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ...

321102 General Mathematics Chapter 2: Vectors

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

1

321 102 General Mathematics

( ส าหรับนักศึกษาคณะเภสัชศาสตร์ ประจ าภาคเรียนที่ 1/2549 ) ผู้สอน: ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย ์

2 เวกเตอร ์(Vectors)

บทน า ปริมาณทางวิทยาศาสตร์ (scientific quantities) ที่ใช้อยู่ในปัจจุบันมีดังต่อไปนี้

1. สเกลาร์ (Scalar) - มวล ระยะทาง เวลา เป็นต้น 2. เวกเตอร์ (Vector) - แรง ความเร็ว เป็นต้น 3. เทนเซอร์ (Tensor) - ความหนืด ความเค้น เป็นต้น

ในบทนี้เราจะศึกษาสมบัติต่าง และการน าไปใช้ของปริมาณเวกเตอร์

2.1 ทบทวนเวกเตอร์ในสองมิติ (Review of vectors in the plane)

นิยาม 2.1.1

ปริมาณ เวกเตอร ์จะแทนด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางก ากับด้วยลูกศร เวกเตอร์ที่เท่ากัน หมายถงึเวกเตอร์ที่แทนด้วยส่วนของเส้นตรงที่เท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน ถ้า u เป็นเวกเตอร์ใดๆ ขนาดของ u เขียนแทนด้วย u



2

■ การคูณด้วยสเกลาร์ (Scalar multiplication)

ให ้ c เป็นสเกลาร์ และ v เป็นเวกเตอร์ ผลคูณเชิง สเกลาร์ เขียนแทนด้วย vc โดยที ่ (1) v vc c

(2) ทิศทางของ vc จะมีทิศทางเดียวกันกับ v เมื่อ 0c ทิศทางของ vc จะมีทิศทางตรงข้ามกับ v เมื่อ 0c

■ การบวกเวกเตอร์ (Vector Addition)

ให้ 1v AB , 2v BC และ 1 2v = v +v แล้ว 1 2v = v +v AC

■ การลบเวกเตอร์ (Vector Subtraction)

ให้ 1v AB , 2v AD และ 1 2v = v - v แล้ว 1 2v = v - v DB

■ เวกเตอร์หน่วย (Unit vector)



3

■ เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก (Vectors in Rectangular Coordinate)

ให้ i เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน X และ j เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกน Y แล้วเวกเตอร์ใดๆในระนาบ XY สามารถเขียนในรูปของ i และ j ดังรูป

สมบัติเบื้องต้นของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก: 1. การเท่ากัน (Equality):

i+ j i+dja b c ก็ต่อเมื่อ a c และ b d

2. การบวก (Addition): ถ้า 1 1 1v i+ ja b และ 2 2 2v i+ ja b แล้ว

1 2 1 2 1 2v v ( + ) i+( + )ja a b b

3. การลบ (Subtraction):ถ้า 1 1 1v i+ ja b และ 2 2 2v i+ ja b แล้ว

1 2 1 2 1 2v v ( ) i+( )ja a b b



4

■ สมบัติทางพีชคณิต (Algebraic Properties): ถ้า 1v , 2v และ 3v เป็นเวกเตอร์ใดๆจะได้ว่า

1. Closed: 1 2v v เป็นเวกเตอร ์

2. Associative: 1 2 3 1 2 3(v v ) v v (v v )

3. Commutative: 1 2 2 1v v v v

4. Additive Identity: ส าหรับเวกเตอร์ v ใดๆ มีเวกเตอร์ศูนย์ 0ที่ท าให ้

v 0 0 v v

5. Additive Inverse: ส าหรับเวกเตอร์ v ใดๆ จะมีเวกเตอร์ -v ที่ท าให้ v v v v 0

■ ขนาดของเวกเตอร์ (Magnitude of Vector)

ส าหรับเวกเตอร์ v ใดๆ ขนาดจองเวกเตอร ์ v i+ ja b คือ

2 2v a b



5

■ ผลคูณด้วยสเกลาร์ (Scalar Multiplication):

ให ้ v i+ ja b เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ เป็น c สเกลาร์ v i+ jc ca cb

■ เวกเตอร์หน่วย (Unit Vector):

ให ้ v 0 โดยที่ v i+ ja b

1. 2 2

v

a b เป็นเวกเตอร์หน่วยท่ีมีทิศทางเดียวกันกับ v

2. 2 2

v

a b

เป็นเวกเตอร์หน่วยท่ีมีทิศทางตรงข้ามกับ v

■ ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Scalar Product):

ส าหรับเวกเตอร์ u และ v ใดๆ u v u v cos

เมื่อ เป็นมุมระหว่าง u และ v



6

■ หมายเหต ุ ส าหรับเวกเตอร์ u และ v ใดๆที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ u และ v ตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ u v 0

■ สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร ์

(1) ส าหรับเวกเตอร์หน่วย i, j จะได้ว่า i i 1 j j 1

i j 0

j i 0

(2) ให ้ u i+ ja b และ v i+djc จะได้ว่า u v ac bd

(3) ให ้ u i+ ja b จะได้ว่า

2 2 2u u u a b

---------------------------------------------



7

2.2 ผลรวมเชิงเส้น และความเป็นอิสระเชิงเส้น (Linear combination and linearly independent)


เวกเตอร์ u และ v ใดๆ จะเป็นเวกเตอร์ที่ขนานกัน เขียนแทนด้วย u v ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน หรือ ทิศทางตรงข้ามกัน

■ ทฤษฎีบท 2.2.1

เวกเตอร์ u และ v ใดๆ ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ u v ก็ต่อเมื่อ มีสเกลาร์ m ที่ท าให้ u vm .


ให้ 1 2 nv , v ,..., v เป็นเวกเตอร์ในระนาบ v เป็น ผลรวมเชิงเส้น (linear

combination) ของ 1 2 nv , v ,..., v ถ้ามีสเกลาร์ 1 2, ,..., nm m m ที่ท าให้

1 1 2 2v v v ,..., vn nm m m



8


ให้ 1 2 nv , v ,..., v เป็นเวกเตอร์ และ 1 2, ,..., nm m m เป็นสเกลาร์ เซตของ

1 2 nv , v ,..., v เป็น อิสระเชิงเส้น ( linearly independent ) ก็ต่อเมื่อ ถ้า

1 1 2 2v v ,..., v 0n nm m m แล้วท าให้ 1 2 ... 0nm m m

Example2.2.1 ก าหนดให้ 1v 2i และ 2v 5 j จงแสดงว่า 1v และ 2v

เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม ่

■ หมายเหต ุ ถ้ามี 0im 1,2,...,i n ที่ท าให้

1 1 2 2v v ,..., v 0n nm m m

เราจะกล่าวว่า 1 2 nv , v ,..., v ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น ( linearly dependent )

Example2.2.2 ก าหนดให้ 1v 2i และ 2v 3i จงแสดงว่า 1v และ 2v

เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม ่



9

◙ หมายเหต ุ ถ้าเวกเตอร์ u และ v อยู่ในระนาบเดียวกัน และ u v แล้ว ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น u และ v

Example2.2.3 จงแสดงว่า u , v , u v และ u v เป็นอิสระเชิงเส้น

■ ทฤษฎีบท 2.2.2 ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย ์และไม่ขนานกัน แล้ว u และ v เป็นอิสระเชิงเส้น

Proof



10

Example2.2.4 จงแสดงว่า i และ j เป็นอิสระเชิงเส้น

■ ทฤษฎีบท 2.2.3 ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ ที่เป็นอิสระเชิงเส้น และ w อยู่ในระนาบเดียวกันกับ u และ v แล้ว w สามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของ u และ v ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น Proof

■ หมายเหต ุ เนื่องจาก i และ j เป็นอิสระเชิงเส้น แสดงว่าเวกเตอร์ใดๆในระนาบ สามารถเขียนในรูปของผลรวมเชิงเส้นของ i และ j ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น



11

■ ทฤษฎีบท 2.2.3 ถ้า u , v และw เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ และไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน แล้ว u , v และ w เป็นอิสระเชิงเส้น

■ หมายเหต ุ ให้ k เป็นเวกเตอร์หน่วย ในทิศทางตามแกน Z จะเห็นว่า i , j และ k สอดคล้องกับเงื่อนไขของ ทฤษฎีบท 2.2.3 ดังนั้น i , j และ k เป็นอิสระเชิงเส้น ในที่สุดเราสรุปได้ว่า เวกเตอร์ใดๆในปริภูมิสามมิติเราสามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของ i , j และ k ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ดังจะได้ศึกษาในหัวขอ้ต่อไปนี้



12

2.3 เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิต ิ (Vectors in three dimensional

space)

■ การก าหนดต าแหน่งของจุดใดๆ ในปริภูมิสามมิติ เราจะใช้ ระบบพิกัดฉากแบบมือขวา (right-hand rectangular coordinate)ในลักษณะที่แกนทั้งสามเกิดจากระนาบสามระนาบที่ตั้งฉากกัน และตัดกันที่จุดๆหนึ่ง ที่เรียกว่า จุดก าเนิด (Origin) ดังแสดงในรูป

■ การตัดกันของระนาบทั้งสาม จะเกิดมีแกนสามแกนที่ตั้งฉากกัน ซึ่งเราจะเรียกว่า แกน X แกน Y และ แกน Z โดยระนาบทั้งสามจะปริภูมิสามมิติออกเป็น 8 ส่วน โดยที่แต่ละส่วนเรียกว่า อัฐภาค (Octant) และจุดใดๆในปริภูมิสามมิติจะแทนด้วย สามสิ่งอันดับ (Ordered Triple) ( , , )x y z



13

Example2.3.1 ให้ลงพิกัดของจุดต่อไปนี ้ 1. (2, 0, 0)

2. (0, -3, 0)

3. (0, 0, 2)

4. (1, 2, 3)

5. (-2, 1, -3)

■ ระยะระหว่างจุดในปริภูมิสามมิติ (Distance in Space)

Let 1 1 1 1( , , )P x y z and 2 2 2 2( , , )P x y z be any two points in space. Then

the distance from 1P to 2P is

2 2 2

1 2 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )PP x y x y x y



14

■ จุดกึ่งกลาง (Midpoints)

Let 1 1 1 1( , , )P x y z and 2 2 2 2( , , )P x y z be any two points in space. Then

the midpoint between 1P and 2P is

1 2 1 2 1 2, ,

2 2 2

x x y y z zP

Example2.3.1 Given 1(2,1, 3)P and 2 (3, 1,5)P . Find 1 2PP and the

midpoint between 1P and 2P



15

■ เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิต ิ(Vectors in space)

เราได้แสดงแล้วว่า เวกเตอร์ใดๆในปริภูมิสามมิติ สามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ i , j and k ได้เพียงแบบเดียว ให้ r เป็น เวกเตอร์ต าแหน่ง (Position vector) ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดก าเนิด และจุดปลายอยู่ที่พิกัด P( , , )x y z จะได้ว่า r i j kOP x y z

■ การบวก การลบ และการคูณด้วยสเกลาร์ สามารถค านวณได้ในลักษณะเดียวกันกับเวกเตอร์ในระนาบสองมิติ ดังนี ้ ถ้า 1 2 3u i j ka a a

1 2 3u i j kb b b และ c เป็นสเกลาร์ แล้ว 1 1 2 2 3 3u v ( + ) i ( + )j ( + )ka b a b a b

1 1 2 2 3 3u v ( ) i ( )j ( )ka b a b a b

1 2 3u i j kc ca ca ca



16

Example2.3.2

ก าหนด u 2 i 3 j 4k และ v i 3 j 4k ให้หา 2u 3v และ

2u 3v

■ เวกเตอร์ระหว่างจุดสองจุด (Vectors Between Two Points)

ให้ 1 1 1 1( , , )P x y z และ 2 2 2 2( , , )P x y z เป็นจุดสองจุดใดๆในปริภูมิสามมิติ จะได้วา่ 1 2 2 1 2 1 2 1( ) i ( ) j ( )kPP x x y y z z



17

Example 2.3.3

ให้ 1(2,1, 3)P และ 2 (3, 1,5)P ให้หา 1 2PP

■ ขนาดของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิต ิ( Magnitude or Length)

Let 1 2 3u i j ka a a be any vector in space. Then the magnitude (or

length) of u denoted by u is expressed as

2 2 2

1 2 3u a a a



18

Example 2.3.4 ให้ 1(2,1, 3)P และ 2 (3, 1, 5)P ให้หา 1 2PP

Example 2.3.5 ให้หาเวกเตอร์หน่วยในทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์จากจุด

1(1,0,1)P ไปยังจุด 2 (3,2,0)P

Example 2.3.6 ให้หา เวกเตอร์ที่มีขนาด 6 หน่วย ในทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ v 2 i 2 j k



19

■ ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product or Scalar Product )

จากนิยามของผลคูณเชิงสเกลาร์ ส าหรับเวกเตอร์ u และ v ใดๆ u v u v cos

เมื่อ เป็นมุมระหว่าง u และ v

■ เราสามารถ สรุปการค านวณ ผลคูณเชิงสเกลาร์ ได้เช่นเดียวกับเวกเตอร์ในสองมิติดังนี้ ให้ 1 2 3u i j ka a a และ 1 2 3v i j kb b b จะได้ว่า 1 1 2 2 3 3u v a b a b a b

Example 2.3.7 ให้ u 3k และ v 2i 2k จงหา u v



20

■ การหามุมระหว่างเวกเตอร ์(Angle between two vectors)

จาก u v u v cos

Example 2.3.8 ให้หา มุมระหว่างเวกเตอร์ u 3k และ v 2i 2k

Example2.3.9 ให้แสดงว่า เวกเตอร์ u 3i 2j k และ v 2 j 4k



21

■ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross Product or Vector Product)

นิยาม 2.3.1 ให ้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ u v คือ u v u v sin n

โดยที่ เป็นมุมระหว่าง u และ v และ n เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ และ ตามกฎมือขวา

■ สมบัติของ ผลคูณเชิงเวกเตอร ์Properties of the cross product

1. u v (v u)

2. u และ v ขนานกันก็ต่อเมือ u v 0

3. ส าหรับเวกเตอร์หน่วย

i j k , j i k

j k i , k j i

k i j , i k j

i i 0

j j 0

k k 0



22

4. u v เป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบจากเวกเตอร์ uและ v

■ กฎของผลคูณเชิงเวกเตอร์ ให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ c และ d เป็นสเกลาร์ แล้วจะได้ว่า

1. u v (v u)

2. ( u) ( v) (u v)c d cd

3. u (v w) (u v) (u w)

■ การค านวณผลคูณเชิงเวกเตอร์ ให้ 1 2 3u i j ka a a และ

1 2 3v i j kb b b เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ



23

■ สูตรผลคูณเชิงเวกเตอร์ในรูปของดีเทอร์มินันต์ ให้ 1 2 3u i j ka a a และ 1 2 3v i j kb b b จะได้ว่า

1 2 3

1 2 3

i j k

u v a a a

b b b

Example 2.3.10 Find u v and v u if u 2 i j k and

v 4 i 3 j k

Example 2.3.11 ให้หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุด (1, 1,0)P ,

(2,1, 1)Q และ ( 1,1,2)R



24

Example 2.3.12 ให้หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมท่ีมีจุดยอดอยู่ที่ (1, 1,0)P ,

(2,1, 1)Q และ ( 1,1,2)R

Example 2.3.13 ให้หาเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุด (1, 1,0)P , (2,1, 1)Q และ ( 1,1,2)R



25

■ ผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้น (Triple Scalar Product or Box Product )

ให้ u , v และ w เป็นเวกเตอร์ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ แล้วผลคูณ (u v) w จะเรียกว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้น ของ u , v และ w

จะเห็นว่าค่าสัมบูรณ์ของ (u v) w u v w cos เป็นปริมาตรของกล่องสี่เหลี่ยมด้านขนาน (Box) ที่เกิดจากเวกเตอร์ u , v และ w .

■ สูตรการค านวณผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้น ให้ 1 2 3u i j ka a a , 1 2 3v i j kb b b และ 1 2 3w i j kc c c แล้วจะได้ว่า

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(u v) w

a a a

b b b

c c c

หมายเหต:ุ (u v) w (v u) w u (v w) w (u v)



26

Example 2.3.14 ให้หาปริมาตรของกล่องที่เกดิจากเวกเตอร์ u i 2 j k , v 2 i 3k และ w 7 j 4k .

2.4 เส้นตรง และ ระนาบในปริภูมิสามมิต ิ (Lines and Planes in Space)

ในหัวข้อนี้เราจะใช้ผลคูณเชิงสเกลาร์ และ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ในการหาสมการของเส้นตรง และ สมการของระนาบ ดังนี้

◙ การหาสมการของเส้นตรง

พิจารณา เส้นตรง L ที่ผ่านจุด 0 0 0 0( , , )P x y z และขนานกับเวกเตอร์ v i j ka b c ดังรูป



27

◙ สมการในรูปมาตรฐานของเส้นตรงในปริภูมิสามมิติ มี 2 แบบ

(1) สมการในรูปพารามิเตอร์ (Parametric equation)

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

(1.1)

เมือ่ t เป็นพารามิเตอร์ โดยที่ t

(2) สมการในรูปสมมาตร (Symmetric equation) เมื่อ , , 0a b c 0 0 0x x x y x z

a b c

(1.2)

Example 2.4.1 ให้หาสมาการในรูป พารามิเตอร์ ของเส้นตรงที่ผ่านจุด ( 2,0,4) และขนานกับ v 2 i 4 j 2k

Example 2.4.2 ให้หาสมการในรูปสมมาตร ของเส้นตรงที่ผ่านจุด ( 3,2, 3)P และ (1, 1,4)Q



28

■ ระยะทางระหว่างจุด และ เส้นตรงในปริภูมิสามมิต ิ

พิจารณาระยะทางจากจุด S ไปยังเส้นตรง ที่ผ่านจุด P และขนานกับเวกเตอร์ v

สรุป:

ระยะทางจากจุด S ไปยังเส้นตรง ที่ผ่านจุด P และขนานกับเวกเตอร์ v คือ

v

v

PSd

Example 2.4.3 Find the distance from the point (1,1,5)S to the line

: 1 , 3 , 2L x t y t z t



29

■ มุมระหว่าง เส้นตรง ในปริภูมิสามมิต ิ

พิจารณา มุมระหว่าง เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกับ เวกเตอร์ 1v และ 2

v

สรุป:

มุมระหว่าง เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกับ เวกเตอร ์ 1v และ 2

v หาได้จาก

1 2

1 2

v vcos

v v

Example 2.4.4 ให้หามุมระหว่างเส้นตรง

1 : 2 3 , 1 5 , 4 4L x t y t z t

และ 2 : 3 , 6 2 , 5 2L x t y t z t



30

■ ระยะทางระหว่าง เส้นตรงสองเส้นในปริภูมิสามมิต ิ

ให้ d ระยะระหว่างเส้นตรงสองเส้น ซึ่งหมายถึงระยะที่สั้นที่สุดระหว่างเส้นตรงทั้งสอง

กรณีที่ 1 เส้นตรงสองเส้นตัดกัน

เห็นได้ชัดว่า 0d

กรณีที่ 2 เส้นตรงสองเส้นไม่ตัดกัน แต่ขนานกัน

จะเห็นว่า d เป็นระยะระหว่างจุด (บนเส้นตรงเส้นหนึ่ง) ไปยังเส้นตรงอีก

เส้นหนึ่ง นั่นคือ 1 2 1

1

v

v

PPd



31

Example 2.4.5 ให้หาระยะระหวา่งเส้นตรง

1

5 1 1:

1 2 7

x y zL

และ 2

1 2 3:

3 6 21

x y zL



32

กรณีที่ 3 เส้นตรงสองเส้นไม่ตัดกัน และไม่ขนานกัน

พิจารณาระยะระหว่างเส้นตรง

1 1 11

1 1 1

:x x y y z z

La b c

และ 2 2 2

2

2 2 2

:x x y y z z

La b c

สรุป: ให้ 1P และ 2P เป็นจุดอยู่บนเส้นตรง 1L และ 2L ที่มีทิศทางเดียวกับ เวกเตอร์ 1v และ 2v ตามล าดับ ถ้า d เป็นระยะระหว่างเส้นตรงทั้งสอง จะได้ว่า

1 2a

a

PPd

เมื่อ 1 2a v v



33

Example 2.4.6 ให้หาระยะระหว่างเส้นตรง

1

6 1 3:

2 1 4

x y zL

และ 2

2 5 1:

3 2 5

x y zL



34

■ สมการของระนาบในปริภูมิสามมิติ (Equations for Planes in Space)

ให้ ระนาบ M ผ่านจุด 0 0 0 0( , , )P x y z และ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ n i j ka b c ดังรูป

สรุป:

สมการของระนาบที ่ผ่านจุด 0 0 0 0( , , )P x y z และ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ n i j ka b c คือ

0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z

Example 2.4.7 ให้หาสมาการของระนาบที่ผ่านจุด 0 ( 3,0,7)P และ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ n 5i 2 j k



35

■ สมการในรูปทั่วไปของระนาบ คือ ax by cz d

Example 2.4.8 ให้หาสมการของระนาบที่ผ่านจุด (0,0,1)P , (2,0,0)Q and

(0,3,0)R



36

■ ระยะทางระหว่างจุด กับระนาบ (Distance from a Point to a Plane)

พิจารณาระยะทางระหว่างจุด S กับระนาบ M ที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับเวกเตอร์ n

สรุป: ถ้า d เป็น ระยะทางระหว่างจุด S กับระนาบ M ที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับเวกเตอร์ n จะได้ว่า

n

n

PSd

Example 2.4.9 Find the distance from (1,1,3)S to the plane

3 2 6 6x y z



37

◙ พิจารณาสูตรการหาระยะทางระหว่างจุดกับระนาบจาก ถ้า d เป็น ระยะทางระหว่างจุด 1 1 1( , , )S x y z กับระนาบ M ที่มีสมการเป็น 0Ax By Cz D จาก

เนื่องจาก

n

n

PSd

สรุป: สูตรการหาระยะทางระหว่างจุดกับระนาบ ถ้า d เป็น ระยะทางระหว่างจุด 1 1 1( , , )S x y z กับระนาบ M ที่มีสมการเป็น 0Ax By Cz D จะได้ว่า

1 1 1

2 2 2

Ax By Cz Dd

A B C

Example 2.4.10 Find the distance from (1,1,3)S to the plane

3 2 6 6x y z



38

■ มุมระหว่างระนาบ (Angles Between Planes)

มุมระหว่างระนาบให้หมายถึงขนาดของมุมแหลม ที่เกิดจากเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง

สรุป: ให้ 1n และ 2n เปน็เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ 1M และ 2M ถ้า เป็นมุมระหว่างระนาบทั้งสอง จะได้ว่า

1 2

1 2

n ncos

n n

Example2.4.11 Find the angle between the planes 3 6 2 15x y z

and 2 2 5x y z



39

■ ระยะทางระหว่างระนาบ (Distance between Planes)

ในปริภูมิสามมิติ ถ้าระนาบไม่ขนานกัน แล้วต้องตัดกัน ดังนั้นเราจึงพิจารณาเฉพาะระนาบที่ขนานกัน

ให้ 1n และ 2n เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ 1M และ 2M โดยที่

1 1 1 1n i j kA B C และ 2 2 2 2n i j kA B C ระนาบทั้งสองจะขนาน

กันก็ต่อเมื่อ 1 1 1

2 2 2

A B C

A B C

สรุป:

เราสามารถหาระยะระหว่างระนาบที่ขนานกันได้โดยหาจุดบนระนาบหนึ่ง แล้วน าไปหาระยะระหว่างจุดนั้น กับระนาบอีกระนาบหนึ่ง

Example2.4.12 Find the distance between the planes 2 2 4x y z

and 6 3 6 2x y z



40

◙ สมการเสน้ตรงของระนาบที่ไม่ขนานกัน

สรุป:

ให้ 1n และ 2n เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบ 1M และ 2M โดยที่

1 1 1 1n i j kA B C และ 2 2 2 2n i j kA B C ถ้าระนาบไม่ขนานกัน จะได้ว่า เส้นตรงที่เกิดจากการตัดกัน มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ 1 2n n

Example2.4.13 ให้หาสมการเส้นตรงที่เกิดจากการตัดกันของระนาบ 1x y z and 3 2 5x y z

Chapter 3 Limit and continuity of functions

Chapter 4 Derivative of functions

Chapter 5 Applications of derivative and

differentials

Chapter 6 Integration

Chapter 7 Applications of integration

Chapter 8 Differential equations

2 เวกเตอร์ (vectors) · เป็นเวกเตอร์ใดๆ และ...

Documents