2. cinem tica vetorial(ok) [modo de...
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A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática A Cinemática Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as Escalar estuda as grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, grandezas: Posição, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento, Deslocamento,
Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média,
A Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática VetorialA Cinemática Vetorialestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasestuda as mesmasgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masgrandezas, masdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas um
2
Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Média, Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Velocidade Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea, Instantânea,
Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Aceleração Média e Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando Instantânea, dando
a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um a elas um tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas tratamento apenas numérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalarnumérico, escalar.
dando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umdando a elas umtratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.tratamento vetorial.Nesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossaNesse estudo, nossamaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãomaior preocupaçãoserá com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a será com o módulo, a
direção edireção edireção edireção edireção edireção edireção edireção eo sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessaso sentido dessas
grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.grandezas.
Qual a distância entre Qual a distância entre Qual a distância entre Qual a distância entre Recife e São Luís?Recife e São Luís?Recife e São Luís?Recife e São Luís?
1S∆
2S∆rr∆ ∆S1 e ∆S2 são alguns dos
deslocamentos possíveis. Esses deslocamentos são chamados de deslocamentos escalares.
2rr
Vetor posição e vetor deslocamento rr
rr∆
3
Qual a menor distância Qual a menor distância Qual a menor distância Qual a menor distância entre Recife e São Luís?entre Recife e São Luís?entre Recife e São Luís?entre Recife e São Luís?
A menor distância entre duas posições pode ser medida pelo módulo do vetor deslocamento. Este vetor liga o ponto de partida ao ponto de chegada.
O vetor deslocamento(vetor diferença) é aquele que mostra omódulo, a direção e o sentido do menor deslocamento entre duasposições.
α 1rr
finalposiçãovetorr
inicialposiçãovetorr
rrr
2
1
12
−−
−=∆
r
r
rrr
Resumindo...
Trajetória(+)
0
Posição inicial
Posição finalrr∆
S∆
1rr
rr
rSr∆≥∆
4
Trajetória(+)2rα
S∆rSr∆=∆
rr∆
Velocidade Média Vetorial (Características)
S∆
escalarmédiaveloct
SVm
.∆∆=
rr∆
0
Trajetória(+)
Posição inicial
Posição finalmVr
5
escalarmédiaveloc.
vetorialmédiaveloct
rVm
.∆∆=r
r
Trajetória(+)
rt
r∆∆
= .1 Módulo :
Direção e sentido: os mesmos de
t
rVm ∆
∆=
rr
rr∆
Exemplo 1Exemplo 1
No mapa destacamos a trajetória descrita por um automóvel em movimento entre o
Colégio São Luís e o IFPE(Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco). Essa trajetória tem comprimento de 9,6 km e gastou-se aproximadamente 20 min para cumprir todo o trajeto.
a) Qual o módulo da velocidade média escalar do automóvel entre as posições A e B? b) Represente o vetor deslocamento entre as posições A e B e calcule o seu móduloc) Qual o módulo, direção e sentido da sua velocidade média vetorial?
hkmh
km
t
SVm /8,28
3
16,9 ==
∆∆=
r3
rr∆escala pela odeterminad - kmr 7,5=∆
r
hkmt
rVm /1,17
3
17,5 ==
∆∆
=r
r
mVr
Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Um móvel percorre, no sentido anti-horário, uma trajetória circular de raio 10 m. Nos instante de t0= 0 e t1 = 3 s ele se encontra nas posições indicadas na figura. Determine sua velocidade média escalar, o módulo, a direção e o sentido da sua velocidade média vetorial . Dado cos45º=0,7
s3t =
7
45º 0t0 =
escalar.inst.veloct
SlimV
ainstantâne
velocidade
a definiçãopor
0t ∆∆=
→∆ vetorial.inst.veloct
rlimV
por dada será vetorial
ainstantâne e velocidada então
0t ∆∆=
→∆
rr
r vr
Velocidade Instantânea Vetorial (Características)
CONSEQÜÊNCIA DO ∆t TENDER A ZERO
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r v
CARACTERÍSTICAS DO VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA
• Ele é sempre tangente à trajetória.• E tem sempre o sentido do movimento.
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RESUMINDO
Aceleração Média Vetorial (Características)
0
0Vr
vetorialmédia aceleração
DV-VV onde ,t
Va 0m
rrrrr
r ==∆∆∆=
Trajetória(+)
Vr
escalar média aceleração
V-VV onde ,t
Va 0m =∆
∆∆=
t
DVam ∆
=∆=
rr
r
0 Trajetória
0Vr
Vr
0Vr
0VVVDrrrr
−=∆=
α
αcos.2V.V- V² V²²D 00+=
amoparalelogr do métodomar
mar
polígono do método
00
t
DVam ∆
=∆=
rr
r
velocidade de variaçãovetor
do sentido mesmo o e direção mesma
a tem médio aceleraçãovetor o assim ,.1
Vtt
Vam
rr
r ∆∆
=∆∆=
0Vr
−
Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Exemplo 1Um móvel percorre um movimento circular com velocidade escalar constante de 6 m/s. Nos instante de t0= 0 a t1 = 3 s ele descreve 1/2 da circunferência. Determine sua aceleração média vetorial.
t0= 0 0vr RESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃORESOLUÇÃO
�Representar os vetores velocidade instantânea
movimento
t
DVam ∆
=∆=
rr
r
12
t1 = 3 s vr
t∆
Observe que os vetores estão em sentidos opostos. Assim o módulo do vetor variação de velocidade(vetor diferença) será calculado pelo caso particular
s/m1266Dv =+==∆rr
2
m s/m43
12a ==r
curto. muito tempo
de intervalo num vetorial média aceleração a igual é
vetorial ainstantâne aceleração a seja, ou ,
será vetorial ainstantâne aceleração a definiçãoPor
t
V
ta
∆∆
→∆=
rr
0lim
CONSIDERAÇÕES
Vr
A aceleração vetorial sempre se encontra dentro da curva formando um ângulo com a velocidade vetorial. A direção
Aceleração Instantânea Vetorial (Características )
ar
θvelocidade vetorial. A direção depende dos módulos das velocidades inicial e final
Se 0º<θ<90º - movimento acelerado
Se θ=90º - movimento uniforme
Se 90º<θ<180º - movimento retardadoainstantâne velocidade −V
r
vetorial aceleração −ar
Componentes da Aceleração Vetorial
Vr
θcar
tar
arca
MRUV do equações - al tangenciaceleração - at
r
a trajetórida raio o é R onde ,R
Va - centrípeta aceleração a
2
cc =− rr
vetorial aceleração da módulo a
vetorial equação
:que observamos figura Na
²²² ct
ct
aa
aaarvr
vrr
+=+=
at aC
Quadro resumo
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MRUMRUMRUMRU ZERO ZERO
MRUVMRUVMRUVMRUV DIF. DE ZERO
ZERO
MCUMCUMCUMCU ZERO DIF. DE ZERO
MCUVMCUVMCUVMCUV DIF. DE ZERO
DIF. DE ZERO
Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2Exemplo 2
Em determinado instante, o vetor velocidade e o vetor aceleração de uma partícula são representados na figura abaixo.
a) Qual a intensidade da aceleração escalar ?b) Qual o raio de curvatura R da trajetória ?
Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3Exemplo 3
Uma partícula P move-se em trajetória circular de centro O, tendo velocidade escalar v0 = 8,0 m/s no instante t = 0. No instante t = 1,0 s a aceleração vetorial instantânea tem módulo 20 m/s² e está representada no
desenho seguinte. Sabendo que senθ=0,60 e cosθ= 0,80; calcule:
a) o módulo da aceleração escalar em t= 1,0 s;b) o módulo da aceleração centrípeta no instante t =1,0 s;c) o módulo da velocidade no instante t = 1,0 s;
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c) o módulo da velocidade no instante t = 1,0 s;d) o raio da trajetória.
Exemplo 4 Exemplo 4 Exemplo 4 Exemplo 4
Um corpo partindo do repouso realiza movimento uniformemente variado com aceleração escalar 3 m/s² sobre uma pista circular de raio 100 m. No instante t = 10s, determine:a) o módulo da velocidade escalar do móvel;b) o módulo da sua aceleração tangencial;e) o módulo da sua aceleração centrípeta;d) o módulo da sua aceleração.
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Exemplo 5 Exemplo 5 Exemplo 5 Exemplo 5
Um móvel descrevendo um M.C.U.V tem, em um dado instante, velocidade de módulo v = 10 m/s e aceleração de módulo a = 8 m/s² conforme a figura abaixo.a) O movimento do móvel é acelerado ou retardado? Justifique.b) Qual é o módulo da aceleração tangencial desse móvel?e) Para o instante retratado, qual é o módulo da aceleração centrípeta?d) Qual é o raio da trajetória circular descrita pelo móvel?
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d) Qual é o raio da trajetória circular descrita pelo móvel?