2012 年高考数学重难点复习

浙江省宁波中学 王晓明

一 . 高考试题的回顾

遵循 : 国家课程标准 省考试说明

全面深入地考查了高中数学基础知识、基本技能和基本方法，多角度、多层次地考查了学生数学素养和能力。

稳 • 内容核心、背景常见、方法基本、设问简

洁、形式熟悉 • 延续了以往的结构和长度、题型题量和分

值 • 理科注重考查理性思维和抽象概括，文科

注重考查形象思维和定量处理 • 保持了叙述简明的特点，文字表述、符号

表示及图形设置清晰流畅、简明规范

实 • 内容和意义厚重扎实，立足双基考查，沉

稳而厚实 • 考基础、考通性、考通法• 对运算能力提出了高要求，运算是大量的，

运算一定要实，不仅要有精细迅速的运算技能，还需据条件和目标不断确定和调整运算方法和路径，需在运算中坚持到底

变 • 难度较去年有所下降 • 理科解答题把以往的概率统计题变为了数

列题，概率统计则在填空题出现 • 熟悉而不俗套，简约而不简单，深刻而不

深奥的创新试题 • 在运算中彰显能力 • 稳中渐变始终体现数学思维能力和素养的

考查

二 . 高考数学重难点内容分析

高考数学（理科）重点内容分析

重点内容 2009年 2010年 2011年 平均分 三角函数和 解三角形

5+14 5+5+4+14 5+14 22

概率及期望 （包括排列组合、二项式定理）

5+4+14 4+14 5+4+4 18

数列 （包括合情推理）

4+4 5+4+4 14 11.3

立体几何 （包括三视图）

5+4+15 5+4+15 5+5+15 24.3

解析几何 （包括线性规划）

5+4+15 5+5+4+15 5+5+4+15 27.3

函数与导数 5+4+14 5+5+4+14 5+5+4+14 23.3

高考数学（文科）重点内容分析

重点内容 2009年 2010年 2011年 平均分

三角函数和 解三角形

5+14 5+4+14 5+14 20

数列 （包括合情推理）

4+4+14 5+4+14 4+14 21

立体几何 （包括三视图）

5+4+14 5+14 5+5+14 22

函数与导数 5+4+15 5+5+15 5+4+15 24.3

解析几何 （包括线性规划）

5+4+15 5+5+15 5+5+4+15 26.3

三 . 复习内容的把握

------ 以平面解析几何为例

课程标准

解析几何是 17 世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

在本模块中 ( 平面解析几何初步 ) ，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中（圆锥曲线与方程） ，学生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。

通过圆锥曲线的学习，使学生进一步掌握用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题的作用。进一步体会数形结合的思想方法。

考试说明• （一）直线与方程• 1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素 .

• 2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线的斜率的计算公式 .

• 3. 能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直 .• 4. 掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解斜截式与一次函数的关系 .

• 5. 会求两直线的交点坐标 .• 6. 掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离 .

• （二）圆的方程• 1.掌握圆的标准方程与一般方程.• 2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系.• 3.能用直线与圆的方程解决一些简单的问题.• 4.初步了解用代数的方法处理几何问题,• （三）圆锥曲线• 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解

决实际问题中的作用.• 2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性

质.• 3.了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解

它的简单几何性质.• 4.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.( 文科只要求直

线与抛物线 )• 5.理解数形结合的思想.• 6.了解圆锥曲线的简单应用.• （四）曲线与方程• 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.(文科没有 )

直线 0: CByAxl 与二次曲线 0),( yxf 相交于 NM , 两点：

设 ),(),,( 2211 yxNyxM

0),(

0

yxf

CByAx02 cbxax

则有

a

cxx

a

bxx

a

21

21

0

0

),(),,( 2211 yxNyxM 关于直线 0: CByAxl 对称：

则有

)()(

022

1212

2121

xxByyA

Cyy

Bxx

A

（21）（本题满分 15分）已知椭圆1C :

2 2

2 21

y xa b

（ 0a b ）的

右顶点 (1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为 1。

Ⅰ（ ）求椭圆1C 的方程；

Ⅱ（ ）设点 P在抛物线 2C : 2 ( )y x h h R 上，2C 在点 P处的切

线与1C 交于点M，N。当线段 AP的中点与 MN的中点的横坐标

相等时，求 h的最小值。

x

y

P M

N o

2009 年解析几何高考试题

（Ⅰ ）由题意得 21 2, ,12 1

b ab ba

所求的椭圆方程为

22 1

4y

x ，

（Ⅱ ）设 21 1 2 2( , ), ( , ), ( , ),M x y N x y P t t h

则抛物线2C 在点 P处的切线斜率为 2x ty t ，

直线 MN的方程为 22y tx t h ，

将上式代入椭圆1C 的方程中，得 2 2 24 (2 ) 4 0x tx t h ，

即 2 2 2 2 24(1 ) 4 ( ) ( ) 4 0t x t t h x t h ，

所以 4 2 21 16[ 2( 2) 4] 0t h t h ，

设线段MN的中点的横坐标是 3x ，则2

1 23 2

( )2 2(1 )

x x t t hx

t

，

设线段 PA的中点的横坐标是 4x ，则 41

2tx ，

由 3 4x x 得 2 (1 ) 1 0t h t ，其中的 1,04)1( 22 hh 或 3h ；

当 3h 时， 22 0,4 0h h ， 4 2 21 16[ 2( 2) 4] 0t h t h 不成立；

因此 1h ，

当 1h 时代入方程 2 (1 ) 1 0t h t 得 1t ，

将 1, 1h t 代入不等式 4 2 21 16[ 2( 2) 4] 0t h t h 成立，

因此 h的最小值为 1．

(10年浙江理 21)已知 m＞1，直线2

: 02

ml x my ，

椭圆2

22

: 1x

C ym

， 1, 2F F 分别为椭圆C的左、右焦点.

（Ⅰ ）当直线 l过右焦点 2F 时，求直线 l的方程；

（Ⅱ ）设直线 l与椭圆C交于 ,A B两点， 21FAF ，

12 FBF 的重心分别为 ,G H .若原点O在以线段

GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

2010年解析几何高考试题

Ⅰ（ ）解：因为直线 :l2

02

mx my 经过 2

2 ( 1,0)F m ，

所以2

2 12

mm ,得 2 2m ，

又因为 1m ，

所以 2m ，

故直线 l的方程为2

22 0

2x y 。

Ⅱ（ ）解：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 。

由

2

22

2

2

1

mx my

xy

m

，消去 x得

222 1 0

4

my my

则由2

2 28( 1) 8 04

mm m ，知 2 8m ，

且有2

1 2 1 2

1,

2 8 2

m my y y y 。

由于 1 2( ,0), ( ,0),F c F c ，

故O为 1 2F F 的中点，

由 2 , 2AG GO BH HO ��������������������������������������������������������

，

可知 )3

,3

(),3

,3

( 2211 yxH

yxG

2 22 1 2 1 2( ) ( )

9 9

x x y yGH

设M 是GH的中点，则 1 2 1 2( , )6 6

x x y yM

，

由题意可知 2 ,MO GH

即2 2

2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4[( ) ( ) ]

6 6 9 9

x x y y x x y y

即 1 2 1 2 0x x y y

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2( )( )2 2

m mx x y y my my y y

22 1

( 1 ( )8 2

mm ）

所以2 1

08 2

m 即 2 4m 又因为 1m 且 0

所以1 2m 。所以m的取值范围是 (1, 2)。

若原点O在以线段GH为直径的圆内

090GOH 0OG OH ����������������������������

(21) (本题满分 15分) 已知中心在原点 O，焦点在 x轴上，离心率为3

2

的椭圆过点( 2，2

2)．

(Ⅰ ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ ) 设不过原点 O的直线 l与该椭圆交于 P，Q两点，满足直线

OP，PQ，OQ △的斜率依次成等比数列，求 OPQ面积的取值

范围．

x

y

O

(第 21题)

P

Q

(Ⅰ ) 解：由题意可设椭圆方程为 2 2

2 21

x y

a b (a＞b＞0)，KKss**55uu

则

2 2

3,

2

2 11,

2

c

a

a b

故2,

1.

a

b

所以，椭圆方程为 2

2 14

xy ． ……………………………5分

(Ⅱ ) 解：由题意可知，直线 l的斜率存在且不为 0，

故可设直线 l的方程为 y＝kx＋m (m≠ 0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由2 2

,

4 4 0,

y kx m

x y

消去 y得

(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

则 Δ＝64 k2b2－16(1＋4k2b2)(b2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，

且 1 2 2

8

1 4

kmx x

k

，

2

1 2 2

4( 1)

1 4

mx x

k

．

故 y1 y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2．

因为直线 OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以 1 2

1 2

y y

x x ＝

2 21 2 1 2

1 2

( )k x x km x x m

x x

＝k2，

即 2 2

2

8

1 4

k m

k

＋m2＝0，又m≠0，

所以 k2＝1

4，即 k＝

1

2 ．

由于直线 OP，OQ的斜率存在，且 Δ＞0，得

0＜m2＜2 且 m2≠ 1．

设 d为点 O到直线 l的距离，

则 S△ OPQ＝1

2d | PQ |＝

1

2| x1－x2 | | m |＝ 2 2(2 )m m ，

所以 S△ OPQ的取值范围为 (0，1)． ……………………………15分

（21）（本题满分 15分）已知抛物线 1 :C 2x ＝ y，圆

2 :C 2 2( 4) 1x y 的圆心为点M，

（Ⅰ ）求点M到抛物线 1C 的准线的距离；

（Ⅱ ）已知点 P是抛物线 1C 上一点（异于原点），过点 P作

圆 2C 的两条切线，交抛物线 1C 于 A，B两点，若过M，P两

点的直线 l垂直于 AB，求直线 l的方程.

2011 年解析几何高考试题

Ⅰ（ ）解：抛物线的准线方程为：1

,4

y 所以圆心M（0,4）到抛

物线的距离是17

,4

Ⅱ（ ）解：设 P(x0, x02)，A（ 2

1 1,x x ）B（ 22 2,x x ），

由题意得 0 1 21,x x x

设过点 P的圆 C2的切线方程为

20 0( )y x k x x ， ①

则2

0 0

2

| 4 |1

1

kx x

k

即 2 2 2 2 20 0 0 0( 1) 2 (4 ) ( 4) 1 0x k x x k x

设 PA，PB的斜率为 1 2 1 2, ( )k k k k ，则 1 2,k k 是上述方程的两根，

2

0 01 2 2

0

2 ( 4)

1

x xk k

x

，

2 20

1 2 20

( 4) 1

1

xk k

x

①将 代入 2y x 得 2 20 0 0x kx kx x ，

由于 0x 是此方程的根，故 1 1 0 2 2 0, ,x k x x k x 所以

22 20 01 2

1 2 1 2 0 021 2 0

2 ( 4)2 ( ) 2

1AB

x xx xk x x k k x x

x x x

，

20

0

4MP

xk

x

由MP⊥AB,得2 2

0 0 002

0 0

2 ( 4) 4( 2 ) ( ) 1

1AB MP

x x xk k x

x x

，解得

5

2320 x

即点 P的坐标为23 23

( , )5 5

，所以直线 l的方程为 3 1154

115y x 。

谢谢2011 年 9月