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1

Problem Set #3

布雷克布雷克布雷克布雷克----休斯休斯休斯休斯公式公式公式公式

Sec3.1 基礎統計複習基礎統計複習基礎統計複習基礎統計複習

在推導 BS公式之前，先提供大家一些數學符號以及定義。

定義：常態分配

若一個機率密度函數為

2

2

( )

21

2

x

e

µ

σ

πσ

−

−

, , 0Rµ σ∈ >

則稱此機率密度函數為平均數為µ ，標準差為σ 的常態分配，記為 2( , )N µ σ 。

備註：

(1) (0,1)N 又稱之為標準常態分配，統計學之書所附的查表值即為標準常態表。

(2) 若一個隨機變數 X 稱之服從平均數為µ ，標準差為σ 的常態分配，則可簡

記為 2~ ( , )X N µ σ 。

定義：標準常態之累積機率值

已知標準常態分配之機率密度函數為

2

21

2

x

e

π

−

，則我們定義 ( )N a 滿足

2

21

( )2

x

a

N a e dxπ

−

−∞

= ∫

性質： ( )N a 的對稱性

標準常態分配是一個對稱 y 軸的機率分配，所以查表值也有對稱的性質，即

( ) 1 ( )N a N a= − − , a R∈

範例一、幾個常見的常態查表值

(1) ( 1.645) 0.05N − = (2) ( 2.33) 0.01N − = (3) ( ) 0N −∞ =

(4) (1.645) 0.95N = (5) (2.33) 0.99N = (6) ( ) 1N ∞ =

備註：

標準常態分配的累積機率值還有另外一種常見的表達式為 ( )aΦ ，但是在 BS 公式

中所有的書都引用當時論文的寫法，所以我們之後也表示成 ( )N a 。

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2

定義：對數常態分配

若一個機率密度函數為

2

2

(ln )

21

2

x

e

x

µ

σ

πσ

−

−

, , 0Rµ σ∈ >

則稱此機率函數為內含參數µ 與σ 之對數常態分配，記為 2( , )Lognormal µ σ 。

以上定義其實並不直觀，若用以下的定義代替會更容易理解何謂對數常態分配。

定義：對數常態分配的另一種定義

若一個隨機變數 X 取對數之後會服從常態分配，則此隨機變數所服從的分配稱

之為對數常態分配。

用數學表示則為：若 2ln ~ ( , )X N µ σ ，則 2~ ( , )X Lognormal µ σ

定義：動差母函數

一個隨機變數 X 之動差母函數定義為 ( )tX

E e ，由於是習慣寫成 t的函數，所以通

常表示成 ( )X

M t 。其中下標表示是哪個隨機變數的動差母函數。

動差母函數的性質：

(1) 動差母函數不一定存在，但存在的話必唯一。

(2) 不同的分配所對應的動差母函數必定不一樣。此稱為 Uniqueness 性質。

(3) 動差母函數可以求出各階動差，即

0

( ) ( )k

k

X tk

dE X M t

dt=

=

備註：動差母函數的技巧正好為工數中的拉普拉斯變換。

定理：常態分配的動差母函數

設 2~ ( , )X N µ σ ，則

2 21

2( )t t

XM t e

µ σ+

= 。

有興趣的同學可以自行證明，利用國中所教的配方法就可以證明出來了，時間不

充裕的同學可以將結果背起來，這個結果可以讓我們很好推導對數常態分配的期

望值以及變異數。

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3

定義：期望值

設 X 為隨機變數，且其對應的機率密度函數為 ( )f x ，則 ( )g X 的期望值定義為

( ( )) ( ) ( )R

E g X g x f x dx= ∫

定義：指示函數(indicator function)

設 X 為隨機變數，若我們只關心某個事件 A發生與否的可能，則我們定義

指示函數為

{ }

1,

0, X A

x AI

x A∈

∈=

∉

指示函數的性質：

在以上所定義的指示函數有著以下兩個性質，分別描述如下

(1) 指示函數亦為一個隨機變數。

(2) 指示函數的期望值正好為 A發生的機率值，即

{ }( ) ( ) ( )X A

A

E I P X A f x dx∈

= ∈ = ∫

其中 ( )f x 為 X 的機率密度函數。

定理：對數常態分配的期望值

設 X 為內含參數µ 與σ 之對數常態分配，則

21

2( )E X eµ σ+

=

證明：

因為 X 服從對數常態分配，所以設 ln X Y= ，其中Y會服從常態分配。因此

21

2

1( ) ( ) ( )

Y

Y tE X E e M t e

µ σ+

== = =

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Sec3.2 利用統計方法推導利用統計方法推導利用統計方法推導利用統計方法推導 BSBSBSBS 公式公式公式公式

在 CRR 模型中，若將時間間隔切割至極細，我們可以得到股價的行為會服從對

數常態分配。描述的結果如下：

CRR 模型的股價運動的極限行為：

假設在風險中立世界裡，無風險報酬率為 r，而我們所關心的股價運動TS ，其波

動率為σ，則根據 CRR 的極限結果，我們得到風險中立世界中的股價運動行為會

服從對數常態分配， 即

2 2

0

1ln( / ) ~ (( ) , )

2TS S N r T Tσ σ−

若進一步我們引進隨機過程的概念，設 ~ (0, )T

W N T ，其中 0T ≥ ，則我們可將上

式改寫成

21

( )2

0

Tr T W

TS S e

σ σ− +

= , 其中 ~ (0, )T

W N T

此舉可將股價的行為更凸顯出來。而之後我們的討論就以此作為假設來推論。

備註：在此我們假定時刻為零，去推測時刻 T時的股價，故0

S 為已知的常數。

而以後T

W 我們將會假設為布朗運動，到時會有更多的性質可以利用。

之後我們討論的結果都是沿用這樣的結論，亦即假設風險中立的世界中股價行為

服從對數常態分配。

定義：(Black-Scholes Economic)

滿足以下的世界觀我們稱之為 BS經濟體：

1) 股價是連續的運動且服從對數常態分配。

2) 市場上的無風險利率已知且以連續複利計算。

3) 股價的波動率已知並假設為一個常數。

4) 沒有交易成本以及任何形式的交易稅。

5) 市場上可以以無風險利率做放款與借款，且沒有放空限制。

6) 股價所發放的股利率為已知的常數，且為連續股利的形式。

備註：

(1) 由於 BS 模型是連續模型，所以所有的條件都是以連續的形式呈現。

(2) 有些學者的信仰認為年化的波動率有可能並非為一個恆常值，所以發展出另

一套模型，稱之為 Stochastic Volatility Model。有興趣的同學們可以在

更進階的財務工程相關的課程中學到此特殊的模型。

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定理：(Black-Scholes Formula)

假設在 BS經濟體之中，在不考慮發放股利的情況下，買權的價格公式如下：

0 0 1 2

( , , , , ) ( ) ( )rT

C S K r T S N d Ke N dσ−

= −

其中1d =

2

0

1ln( / ) ( )

2S K r T

T

σ

σ

+ +

;

2

0

2

1ln( / ) ( )

2S K r T

dT

σ

σ

+ −

=

備註：

(1) 1d 與

2d 的關係正好滿足右方關係式：

2 1d d Tσ= −

(2) 為了簡單分析，一般書上所提供的都是不考慮股利下的買權公式證明。

(3) 一般而言有三種可以推導出 BS公式的方法，分別是利用統計方法，利用

解熱傳導偏微分方程式，以及利用 martingale 結合改變測度的技巧。

以下我們僅提供使用統計方法來證明布雷克-休斯的買權公式。

BS 公式的證明：

由於利用統計方法的證明其過程較長，讓我們將推導公式的流程分割成三個部分，

分成前置處理以及兩個步驟，以下是前置處理。

前置處理：

我們假設在風險中立世界下的股價運動為

21( )

20

Tr T W

TS S e

σ σ− +

= , 其中 ~ (0, )T

W N T

根據我們前幾講的討論，買權價格應等於未來 payoff 在風險中立測度下的期望折

現值，而買權在到期日的 payoff 只有在大於執行價時才為正值，故我們可以結合

指示函數表達買權的價格如下：

0 { }

{ } { }

( , , , , ) (( ) )

( ) ( )

T

T T

rT Q

T S K

Q rT rT Q

T S K S K

C S K r T e E S K I

E e S I Ke E I

σ−

≥

− −

≥ ≥

= −

= −

其中Q -measure 所表達的即為風險中立機率測度。

寫到這邊等於簡單的前置處理已經結束了，緊接著我們把上式的前半與後半分別

做分析，其中又由於後半部相較起來處理上簡單很多，所以習慣上先處理後半部

的行為，故第一步先分析後半部的行為，結果如下：

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分析後半部 { }( )T

rT Q

S KKe E I

−

≥的行為：

2

{ }

1( )

20

2

0

2

0

2

0

( ) ( )

( )

1 (( ) ln( / ))

2

1ln( / ) ( )

2 ( )

1ln( / ) ( )

2 ( )

T

T

Q

S K T

r T W

T

T

T

E I Q S K

Q S e K

Q r T W K S

K S r TW

QT T

S K r TW

QT T

σ σ

σ σ

σ

σ

σ

σ

≥

− +

= ≥

= ≥

= − + ≥

− −

= ≥

+ −−

= ≤

2 ( )N d=

因為 { }TS K

I≥

為指示函數，所以根據上一節的性質， { }( ) ( )T

Q

S K TE I Q S K

≥= ≥ ，緊接

著是一連串連續的代數，再利用標準化的技巧，可以得到 TW

T

服從標準常態分配，

因為是對稱原點的分配，故 TW

T

−

亦服從標準常態分配，最後再利用標準常態分

配的累積機率值表達此數值，我們得到

{ } 2( ) ( )T

rT Q rT

S KKe E I Ke N d

− −

≥= , 其中

2

0

2

1ln( / ) ( )

2S K r T

dT

σ

σ

+ −

=

緊接著，我們來處理較複雜的前半部的式子。

分析前半部 { }( )T

rT Q

T S Ke E S I−

≥的行為：

2

2

2

2

1( )

2{ } 0 { }

1

20 { }

1

20 { }

1

20

( ) ( )

( )

( )

(

T

T T

T

T

T

T

T

T

r T WQ rT Q rT

T S K S K

T WQ

S K

T WQ

S K

T WQ

W

E e S I E e S e I

E S e I

S E e I

S E e I

σ σ

σ σ

σ σ

σ σ

− +− −

≥ ≥

− +

≥

− +

≥

− +

=

=

=

=2

0

1ln( / ) ( )

2

)K S r Tσ

σ

− −

≥

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在此我們設α

2

0

1ln( / ) ( )

2K S r Tσ

σ

− −

= ，根據期望值的定義，則上式可以改寫成

2

2

2 2 2

2

1

2 20

2

20

( )

20

1

2

1

2

1

2

xT x

T

x xT T

T

x T

T

S e e dxT

S e dxT

S e dxT

σ σ

α

σ σ

α

σ

α

π

π

π

∞ − + −

− +∞ −

−∞ −

=

=

=

∫

∫

∫

讓我們做一個變數變換，令x T

yT

σ−

= ，則上式又可以改寫為：

2

2

0'

1

2

y

S e dyα

π

∞ −

= ∫ ， 其中 'α

2

0

1ln( / ) ( )

2K S r T

T

σ

σ

− +

=

0(1 ( '))S N α= −

最後再根據常態分配的對稱性，得知 1 ( ') ( ')N Nα α− = − 。最後令1

' dα− = ，

代回上式得到：

0 1

( )S N d= , 其中1d =

2

0

1ln( / ) ( )

2S K r T

T

σ

σ

+ +

因此我們綜合以上兩步驟的結果得到買權的 BS公式為

0 0 1 2

( , , , , ) ( ) ( )rT

C S K r T S N d Ke N dσ−

= −

其中1d =

2

0

1ln( / ) ( )

2S K r T

T

σ

σ

+ +

，2 1

d d Tσ= − 。

Ｑ.Ｅ.Ｄ

以上是買權的價格公式，至於賣權的價格公式則可以利用 Put-Call Parity 推導出

來(請同學務必自行驗證一次)，所以很幸運的就不必像剛剛一樣經過如此繁瑣的

工作。最後，我們將無發放股利的 BS 公式總結如下：

定理：（無發放股利下的股票選擇權之 BS 公式）

0 0 1 2( , , , , ) ( ) ( )

rTC S K r T S N d Ke N dσ

−

= − ;0 2 0 1

( , , , , ) ( ) ( )rT

P S K r T Ke N d S N dσ−

= − − −

其中1d =

2

0

1ln( / ) ( )

2S K r T

T

σ

σ

+ +

;

2

0

2 1

1ln( / ) ( )

2S K r T

d d TT

σ

σ

σ

+ −

= − =

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Sec3. 3.遠期契約遠期契約遠期契約遠期契約

遠期契約是一種兩人約定在未來的某個時刻點，以雙方簽訂契約當時所同意好的

價格(履約價)購買一標的產品的一種契約。這樣的契約本身具有強制力，所以無

論到期時標的價格大小，都必須執行。不過現今的遠期契約通常以現金交割為主，

所以只要有一方支付到期標的價格與履約價的差價即可，如此一來還可以省下貨

物運送的成本。遠期契約還有一個特色，就是簽定時並沒有任何一方需要支付額

外的金額給另一方，因為契約的本身是雙方皆合意的基礎下才簽訂，雖然每個人

都有自己對未來標的價格的不確定性的看法，而幸運女神可能偏好眷顧某一位人

選，但在簽訂契約時，他們(買賣雙方)是一致認為這是可以接受的，故客觀上來

看並沒有任何一方享有比較好的優勢。不過實際上持有現貨的賣方可能會有額外

的倉儲成本(cost of carry)要負擔，在此我們暫不考慮這些額外的成本。

備註：履約價在遠期契約內一般稱為 Delivery Price 或 Forward Price.

遠期契約最早是在日本江戶幕府時代所發展出來的金融商品，當時的標的物是稻

米，而當時的大阪堂島市場已經小有規模，契約的內容也漸漸的發展成標準化的

內容，例如統一標的物的規格、契約時間長短、履約價的大小等等，於是就成為

我們現今所了解的期貨市場的雛形。

簡單來說，遠期契約是期貨的前身，整體而言，遠期契約相較於期貨，契約內容

上較具有彈性，而期貨也從以前主要是約定交易農產品轉而以金融商品為大宗，

以下是我們簡單整理的幾個異同：

遠期契約與期貨之異同

遠期契約 期貨

買賣雙方在到期日以履約價交易標的物 同左

客制化 標準化，例如：到期日、契約規模、標

的物等等。

只在到期日進行結算 逐日結算

在店頭市場交易，流動性較低。 在交易所（集中市場）交易，流動性較高。

信用風險較高（當買賣雙方有任何一方不履行

契約的內容時，即為信用風險）

由於需要逐日結算，所以信用風險較低。

由於不需要逐日結算，所以並沒有每日價格

（或指數）漲跌停的限制。

交易所有訂出每日價格（或指數）漲跌停的限

制。

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無套利原則下的遠期契約價格無套利原則下的遠期契約價格無套利原則下的遠期契約價格無套利原則下的遠期契約價格

假設現在時刻為 0而到期的時刻為T，現在的標的價格為0

S ，且市場的無風險利

率為 r (連續複利概念下)。根據無套利理論，合理的遠期契約的 Forward Price

應為0

rTS e 。一旦市場的遠期價格悖離

0

rTS e ，則必存在一種套利方式可以進行無

風險套利，

練習題、

在我們之前所談的遠期契約中，都是在到期日當天才支付 forward price，但如果

我們改成今日契約的買方就先付 forward price，其他假設不變的情況之下，請問

無套利下的 forward price 應為多少？

解答：應為現在的股價減去期間內所有發放股利的折現值，即為

0( )S discount Dividents−∑

備註：此種契約稱為 prepaid forward contract。

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Sec3.4 廣義下廣義下廣義下廣義下的的的的 BS 公式公式公式公式

從上一節，我們已經得到如何利用 BS 公式求出在無發放股利下的買賣權價格。

之後我們想要將此公式推廣到有發放股利的情況以及應用至外匯選擇權之中。

但我們不想要同學們每次都要經過複雜的推導造成學習上的負擔，因此有學者整

理出 Black-Scholes 的廣義公式，透過這個公式，可以恣意的推論在各種不同型

態下的 BS 公式，在此強烈建議同學們可以將結果背誦起來，而證明的部分就請

容我們省略了。這麼好用的公式其表達如下：

定理：（BS 之廣義公式）

買權價格為 0 1 2

( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )P P

T TC S K r T F S N d F K N dσ = −

賣權價格為 0 2 1

( , , , , ) ( ) ( ) ( ) ( )P P

T TP S K r T F K N d F S N dσ = − − −

其中1d =

21ln( ( ) / ( ))

2

P P

T TF S F K T

T

σ

σ

+

; 2 1

d d Tσ= −

備註：

(1) 此廣義公式僅方便利於同學們記誦在其他狀況下的 BS 公式，因此推導的

過程在此省略。

(2) ( )P

TF S 以及 ( )

P

TF K 分別代表著股價以及債券的 prepaid forward price。

(3) 一般常態分配表只能查到小數點後兩位，所以通常需要算到小數點後兩位

之後四捨五入。

練習題一、

請利用 Put-Call Parity，推導賣權的 BS 公式。(此為上一節的練習題)

練習題二、

證明在無發放股利的情況下，廣義公式的結果正好與原始之公式結果相同。

練習題三、

試推導在發放連續股利的情況下，化簡廣義公式的結果。(可與下一節結果對照)

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Sec3.5 考慮連續股利下的考慮連續股利下的考慮連續股利下的考慮連續股利下的 BS 公式公式公式公式

若我們現在所考慮的股票有發放連續股利的情況，我們可以套用廣義公式得到發

放連續股利下的 BS 公式，其結果如下：

定理：（發放連續股利下的股票選擇權之 BS 公式）

買權價格為 0 0 1 2

( , , , , , ) ( ) ( )T rT

C S K r T S e N d Ke N dδ

σ δ− −

= −

賣權價格為 0 2 0 1

( , , , , , ) ( ) ( )rT T

P S K r T Ke N d S e N dδ

σ δ− −

= − − −

其中1d =

2

0

1ln( / ) ( )

2S K r T

T

δ σ

σ

+ − +

;

2

0

2 1

1ln( / ) ( )

2S K r T

d d TT

δ σ

σσ

+ − −

= − =

範例二、

請利用 BS 公式，搭配下面的資訊求出一個為期三個月的歐式買權的期初價格。

i.股票的現貨價格為 50，買權的執行價為 52。

ii.股票的波動度為 0.4。

iii.股票所發放的連續股利率為 4%。

iv.市場的無風險利率為 8%。

解答：

首先將以上的資訊轉換成我們熟悉的符號，其分別為

050S = 、 52K = 、 0.4σ = 、 0.08r = 、 0.25T = 、 0.04δ =

緊接著我們先分別算出1d 以及

2d 的大小，套入公式可得

1d =

2

0

1ln( / ) ( )

2 0.0461

S K r T

T

δ σ

σ

+ − +

= −

2 10.0461 0.4 0.25 0.2461d d Tσ= − = − − = −

而查常態分配表可以得到

1

( ) ( 0.05) 0.4801N d N= − = ; 2

( ) ( 0.25) 0.4013N d N= − =

最後再代入 BS 公式，得到買權價格為 0.04 0.25 0.08 0.25

(50,52,0.4,0.08,0.25,0.04) 50 0.4801 52 0.4013

23.766 20.454

3.31

C e e− × − ×

= × − ×

= −

=

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Sec3.6 考慮離散股利下的考慮離散股利下的考慮離散股利下的考慮離散股利下的 BS 公式公式公式公式

不知道同學們有沒有覺得很奇怪，為什麼離散股利的情況與連續股利的情況要分

開討論？差異有這麼大嗎？其實最大的問題是在於 BS 公式中所假設的股價是連

續的運動，所以發放連續股利的話並不影響其連續的行為，但是發放離散股利的

話，財務直觀告訴我們股價的運動應該會有一個瞬間的斷點產生，這樣的話，就

不符合 BS 公式的假設。幸好這樣的問題有學者提出一種合理的方式可以解決這

個問題，他的想法是這樣的，由於股價會受到發放離散股利的影響，股價會在期

間內產生斷點，那有沒有存在一個在市場上可觀測到的價格運動，可以取代現貨

股價，且已經內含離散股利的影響，使得其價格運動不會產生斷點的好東西呢？

相信聰明的學生們已經想到了，沒錯!就是預付遠期價格!

舉例說明，如果我們想要計算一個半年期的歐式買權價格，但是在這半年間其連

結標的有發放離散股利的情況，則我們可以觀察此標的所對應的半年期預付遠期

契約價格的運動，計算此運動的波動度來取代我們原先在 BS 公式中應以股價運

動波動度所代入的變數，最後別忘了，原先 BS 公式中應代入股票現貨價格的地

方也都必須改以股票的預付遠期價格來替代。

定理：（發放離散股利下的 BS 公式）

買權價格為 1 2

( ) ( ) ( )P rT

TC F S N d Ke N d

−

= −

賣權價格為 2 1

( ) ( ) ( )rT P

TP Ke N d F S N d

−

= − − −

其中1d =

21ln( ( ) / ) ( )

2

P

TF S K r T

T

σ

σ

+ +

; 2 1

d d Tσ= −

備註：

(1) 不知道有沒有同學覺得奇怪？這樣一來，整個公式的表達式，看起來其實很

像是沒有發放股利的寫法，那是因為我們用預付遠期價格的運動取代了原先

股價的運動，所以已經內含了發放股利的因素，所以公式中不必再有δ 這一

項了。

(2) 如果將來同學們做相關練習題時，題目是發放離散股利而又要求同學們使用

BS 公式計算選擇權價格，則題目所給的波動度即使沒特別說明，我們都視

為是預付遠期價格的波動度。

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範例三、

假設一個股票標的每季發放股利一次，請利用 BS 公式，搭配下面的資訊求出一

個為期半年的歐式賣權的期初公平價格。

i.股票的現貨價格為 42。

ii.每季發放的股利皆為 0.75，正好為賣權契約簽訂的三個月後以及半年後。

iii.假設第二次股利發放後，賣權契約立刻到期。

iv.股票的預付遠期價格的波動度為 0.3。

v.市場的無風險利率為 4%。

vi 賣權的執行價為 40。

解答：

首先我們先計算股票的預付遠期契約價格，其價值為

0.04 0.25 0.04 0.5( ) 42 0.75 0.75 40.52231

P

TF S e e

− × − ×

= − − =

緊接著我們先分別算出1d 以及

2d 的大小，套入公式可得

1d =

2

2

1ln( ( ) / ) ( )

ln(40.52231/ 40) (0.04 0.5 0.3 )0.52 0.26150.3 0.5

P

TF S K r T

T

σ

σ

+ ++ + ×

= =

2 10.2615 0.3 0.5 0.0494d d Tσ= − = − =

而查常態分配表可以得到

1

( ) ( 0.26) 0.3974N d N− = − = ; 2

( ) ( 0.05) 0.4801N d N− = − =

最後再代入 BS公式，得到賣權價格為

2 1

0.02

( ) ( ) ( )

40 0.4801 40.52231 0.3974

18.824 16.104

2.72

rT P

TP Ke N d F S N d

e

−

−

= − − −

= × − ×

= −

=

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Sec3.7 應用應用應用應用 BS 公式公式公式公式至外匯選擇權上至外匯選擇權上至外匯選擇權上至外匯選擇權上

還記得我們在前幾講談到外匯選擇權的時候，提到外國貨幣的無風險報酬(連續

複利計)所扮演的角色就等同於股票選擇權中的連續股利的角色，所以令人意外

的，相較於離散股利的複雜，我們可以直接將股票選擇權中的 BS公式套用在訂

價外匯選擇權上。事不宜遲，讓我們將公式推廣如下：

定理：（外匯選擇權之 BS 公式）

假設考慮一外匯選擇權，其價格以本國貨幣計價，並以外國貨幣做為買進或放空

的標的，在已知下列的條件下：

i 現在的即期匯率為0x (本國貨幣/外國貨幣)。

ii 約定匯率為K (本國貨幣/外國貨幣)。

iii 本國貨幣以及外國貨幣的無風險利率分別為dr 以及 fr 。

iv 匯率(本國貨幣/外國貨幣)的波動度為σ 。

v 到期時間為T。

外匯買權價格為 0 0 1 2

( , , , , , ) ( ) ( )f dr T r T

d fC x K r T r x e N d Ke N dσ

−−

= −

外匯賣權價格為 0 2 0 1

( , , , , , ) ( ) ( )fdr Tr T

d fP x K r T r Ke N d x e N dσ

−−

= − − −

而 1d =

2

0

1ln( / ) ( )

2d fx K r r T

T

σ

σ

+ − +

;

2

0

2 1

1ln( / ) ( )

2d fx K r r T

d d TT

σ

σ

σ

+ − −

= − =

備註：

此外匯選擇權公式其實是由 Garman-Kohlhagen 在 1983年改寫 BS公式所推導出

來的。

範例四、

請利用 BS公式，搭配以下資訊求出一個為期一年並以美金計價的歐式外匯買權

的期初價格。

i 現在的即期匯率為 0.009(美金/日幣)

ii 約定匯率為 0.01(美金/日幣)

iii 美金與日幣的無風險利率分別為 4%以及 2%。

Iv 匯率(美金/日幣)的波動度為 0.05

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解答：

首先將以上的資訊轉換成我們熟悉的符號，其分別為

00.009x = 、 0.01K = 、 0.05σ = 、 0.04

dr = 、 1T = 、 0.02fr =

緊接著我們先分別算出1d 以及

2d 的大小，套入公式可得

2

0

1

2

1ln( / ) ( )

2

ln(0.009 / 0.01) (0.04 0.02 0.5 0.05 ) 1

0.05 1

1.6822

d fx K r r T

dT

σ

σ

+ − +

=

+ − + × ×

=

×

= −

2 1

1.6822 0.05 1

1.7322

d d Tσ= −

= − −

= −

而查常態分配表可以得到

1

( ) ( 1.68) 0.0465N d N= − = ; 2

( ) ( 1.73) 0.0418N d N= − =

最後再代入 BS公式，得到歐式外匯買權的期初公平價格為 0.02 1 0.04 1

(0.009,0.01,0.05,0.04,1,0.02) 0.009 0.0465 0.01 0.0418

0.0004102 0.0004016

0.000008

C e e− × − ×

= × − ×

= −

= 6

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Sec3.8 布萊克小檔案布萊克小檔案布萊克小檔案布萊克小檔案

布萊克((((Fischer Black，1938年 1月 11日-1995年 8月 30號）

是美國經濟學家，Black-Scholes 模型的提出者之一。布萊克畢生

堅持奮戰在華爾街，在金融領域他是“搞實務的”而不是“做學術

的”，然而就是他創建了迄今為止最正確、最經典、應用最廣、成

就最高的模型：布萊克-休斯選擇權定價模型。在他因病去世一

年後，諾貝爾將經濟學獎頒給了參與創建模型的兩位學者 Myron

Scholes 和 Robert C.Merton，布萊克終未獲此畢生殊榮。

布萊克是位充滿傳奇色彩的人物。他從沒受過正式的金融和經濟學訓練，卻

在幾年內創立了現代金融學的基礎。他在生活中處處規避風險，卻在學術研究和

商業實踐中勇敢地挑戰前人。他能輕易地獲得芝加哥大學和 MIT 的終身教授頭銜，

也能自如地放棄，再次投身到金融衍生產品革命大潮。他頻繁地在象牙塔和華爾

街之間穿梭，給那些以為理論和實踐是兩個截然不同世界的人出了大大的難題。

以衍生性商品和數學模型為代表的是一種高級金融的轉型，以及定量分析師

的出現，為市場和投資銀行帶來了深遠影響。然而，過去 20 年中物理學家和數

學家進軍華爾街和倫敦金融城的故事，卻鮮有報道。

一本由佩里·梅林(Perry Mehrling)撰寫的布萊克傳記說道：如果不是 1995

年因為肺癌而去世，布萊克本可以與 Myron Scholes 和 Robert Merton 一起獲得諾

貝爾經濟學獎。Merton 的出發點與兩人不同，卻得到與布萊克和休斯相同的結

果。此後，Merton 和 Myron Scholes 繼續供職於“長期資本管理 ” (LTCM)這家時

運不濟的對沖基金公司（該公司給布萊克發出邀請，但布萊克予以拒絕）。

布萊克本身是個很值得挖掘的題材，特別是他年輕時曾沉迷於濫性和致幻藥

物，但他仍有很多未解之謎。正如梅林所言：“布萊克甚至在與其最親密的朋友

在一起時，也總是表現得非常封閉，看重個人隱私，理智而孤僻、漠然、冷淡。”

梅林將布萊克比作性情古怪的鋼琴家Glenn Gould，他彈奏的J.S.Bach的《哥

德堡變奏曲》(Goldberg Variations)，改變了人們對巴赫音樂的認識。同樣，布

萊克的觀點由於與主流相去甚遠，以至於難以發表。布萊克和斯科爾斯有關選擇

權定價的論文，在得到芝加哥大學的支持前，曾兩次遭到退稿。

一個問題是，在布萊克以及威廉·夏普(William Sharpe)、保羅·薩繆爾森(Paul

Samuelson)等人於 1960至 1970 年代，從事金融學的開創性工作時，金融並不為

巨集觀經濟學家視為一門真正的學科。薩繆爾森曾經寫道：“金融一度被我當作

周日的繪畫消遣。在當時，甚至布萊克自己也認為，布萊克—休斯公式不會引起

多大關注。

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然而，這個一度被當作消遣的經濟學分支卻後來居上。這要歸功於布萊克和

華爾街中一些開明的企業主管等人物。時任高盛交易業務主管 Robert Rubin，曾

吸引布萊克加盟，希望他能夠使高盛從另外的角度看待風險和回報。不過“長期

資本管理”基金的倒閉，使參與該公司的先鋒人物備受奚落(布萊克在此基金倒

閉前辭世)，使投資者對衍生品交易中存在的欺詐風險而警覺起來。然而這無法

抹煞他們的成就。

Sec3.9 休斯休斯休斯休斯小檔案小檔案小檔案小檔案

麥倫·休斯（Myron Scholes，1941 年 7月 1 日－）是一位

美國經濟學家，主要的成就是與 Fischer Black 發展出計算金融

衍生工具的布萊克-休斯模型，並因此獲得 1997年的諾貝爾經

濟學獎。布萊克-休斯模型提供人們計算選擇權價值的基本概念，

並且已經成為全球金融市場的標準模型。

麥倫·休斯於 1941 年出生在加拿大。休斯在學校是一個好

學生，雖然他從十幾歲開始就苦於視力減退，直到 26 歲時才手術解決。因為家

庭的緣故，他小時候就對經濟學產生興趣，他也幫忙他叔叔的業務，而他的父母

親在他就讀高中時幫他開立帳戶來投資股票市場。

在他的母親死於癌症之後，休斯繼續留在哈密爾頓就學，並在 1962 年從麥

克馬斯特大學獲得經濟學的學士學位。在他就讀麥克馬斯特大學時，他的一位教

授介紹他認識喬治·斯蒂格勒與米爾頓·傅利曼，他們都是芝加哥大學的經濟學家，

後來也都獲得諾貝爾經濟學獎。麥倫·休斯在獲得學士學位後，決定前往芝加哥

大學進行經濟學研究。他在這裡與是與同事 Michael Jensen 與 Richard Roll 成為

同事，也獲得跟尤金·法馬和莫頓·米勒學習的機會，他們的研究領域是歷史較短

的金融經濟學。他在 1964年獲得工商管理碩士，然後在 1969 年通過莫頓·米勒

的書面論文審核，獲得博士學位。

他的博士論文在 1968 年完成後，麥倫·休斯在麻薩諸塞州史隆管理學院從事

研究。他在這裡認識當時擔任理特咨詢顧問公司（Arthur D. Little）顧問的 Fischer

Black）與 Robert C.Merton（他在 1970 年進入麻省理工學院）。在接下來的幾年

當中，麥倫·休斯與布萊克和莫頓進行資產定價的開創性研究，包括他們著名的

選擇權定價模型。同時，麥倫·休斯也與 Michael Jensen 及 Merton·Miller 繼續學

術上的合作。他在1973年決定搬到 University of Chicago Booth School of Business，

希望與費雪·布萊克、尤金·法馬及莫頓·米勒可以密切合作。他在 1972 年於芝加

哥取得著名的學術地位，雖然兩年後他就搬到麻省理工學院。麥倫·休斯在芝加

哥研究期間，也開始跟證券價格研究中心（Center for Research in Security Prices）

緊密合作，幫助開發和分析其著名的股市數據資料庫。

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他在 1981 年搬到史丹福大學，一直待到 1996年從教學生涯退休為止。他在 1997

年因「開發一個決定選擇權價值的新的方法」而與 Robert C.Merton共同獲得諾

貝爾經濟學獎。與他進行共同研究的學者Fischer Black因為已經在1995年去世，

因此沒有資格獲得諾貝爾獎。

麥倫·休斯在 1990 年決定更直接地介入金融市場，他進入所羅門兄弟擔任一

位特殊顧問，然後成為固定收入金融衍生商品小組的總經理。他在 1994年與幾

位同事合作，包括所羅門兄弟前副主席及債券交易主管 John Meriwether 和他未

來的諾貝爾獎共同得獎人 Robert C.Merton，並共同創建被稱為長期資本管理公司

（Long Term Capital Management）的對沖基金。這個基金以 10億美元的資本開

始運作，在第一年極為成功，年平均報酬率超過 40％。然而隨著 1997年的東亞

金融危機和 1998 年的俄羅斯金融危機爆發，高槓桿基金在 1998 年不到 4個月的

時間內損失 46億美元並導致破產，成為投資事業潛在風險最突出的例子。

長期資本管理在 2005 年替麥倫·休斯帶來更多的麻煩，當時他在長期資本管

理公司與美國之間的訴訟這個案件有所牽連，被指控為了避免繳納從公司投資獲

利的所得稅曾經使用非法的避稅管道 。結果美國政府發現麥倫·休斯和他的合夥

人非法從1.06億美元的損失當中逃避4,000萬美元的稅，而不具任何經濟實質。

麥倫·休斯目前是鉑韋資產管理公司對沖基金的主席，這是他與前長期資本

管理公司合夥人黃奇輔所創立的基金。這個公司管理 45億美元，年平均報酬率

為百分之 9.4（2007年）。鉑韋資產管理公司從 2008 年初至 10 月 15 日之間蒙

受百分之 38 的損失。這次損失導致鉑韋資產管理公司暫時停止運作，投資者也

撤回大量的基金。

Sec3.10 莫頓小檔案莫頓小檔案莫頓小檔案莫頓小檔案

羅伯特·莫頓（Robert C.Merton，1944-)

對布萊克－斯科爾斯公式所依賴的假設條件做了進一步減弱，

在許多方面對其做了推廣，1997年諾貝爾經濟學獎獲得者

羅伯特·莫頓於 1944年出生於美國紐約。莫頓的父親羅伯

特·K.默頓（Robert K.Merton）是哥倫比亞大學著名的社會學家。

莫頓從小就對金融市場和交易有極大的興趣，十歲時就買了他的第一個股票，十

幾歲時就進出於經紀公司。默頓小時候還對數學特別感興趣。

1966年默頓畢業於哥倫比亞大學工學院，並獲工程數學學士學位。在哥倫

比亞大學。默頓曾經上過楚才坤教授的熱傳導課，楚教授教會了他偏微分的方程

和其他高深的數學理論。也正是在這位楚教授的鼓舞和推薦下，默頓大學畢業後

去了加州理工學院攻讀碩士學位。因為默頓在哥倫比亞大學時選修了許多研究生

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課程，所以在加州理工學院的第一年他就修完了所有必要的學分。在加州理工學

院學習時，他仍然十分關注金融市場。他早上 6：30就去一個經紀公司進行股票

和場外期權的交易，直到 8：30 再去學院工作，在那裡他形成了對金融市場交易

過程的直覺，這種直覺對他今後從事的選擇權定價理論研究有莫大的幫助。

在加州理工學院時，莫頓開始接觸數理經濟學，逐漸產生了要把他傑出的數

學分析技能與他對經濟學的興趣結合起來的想法。而且當時巨觀經濟蓬勃發展，

許多知識分子投身於經濟學研究，莫頓也決心要在經濟學上有所建樹。於是莫頓

開始申請經濟學碩士，但是他的想法沒有得到人們的支持，他的家人以及加州理

工學院的導師都對此表示難以理解。當時沒有一個大學願意接受他，後來只有麻

省理工學院接受了他，並給了他全額獎學金。

1970 年莫頓去了麻省理工學院。因為擔心學習正統的經濟學專業可能會跟

不上，經人推薦他選了保羅·薩繆爾森的數理經濟學專業，從此莫頓作了保羅·

薩繆爾森助手。薩繆爾森和莫頓彼此發現對方都對用數學方法解決時間和不確定

性問題很感興趣。於是他倆開始合作研究投資組合、認股證定價等問題。1969

年他倆合作發表了《使效用最大化的完整的認股權定價模型》，1974年合作發

表了《對長期最優投資決策的對數正態估計的謬誤》。在麻省理工學院工作的這

段時間是莫頓對期權定價理論集中研究的期間，此間他發表了許多有創見性的論

文。如：1969年的《連續模型中的最優消費與證券組合原則》，1973年的《時

間點的資產定價模型》，1974年的《公司債的定價：利率的風險結構》，1976

年的《標的股票的收益非連續時的期權定價》等等。在這些論文中，莫頓提出並

推廣了“布萊克--休斯”公式，對期權定價理論作出了傑出貢獻。從 1982年至 1988

年莫頓一直擔任美國金融協會委員，並於 1986年出任金融協會主席。 1988年

莫頓離開了麻省工學院去了哈佛大學商學院任教。從八十年代後期起，莫頓把用

於分析期權定價的數學方法應用於更為廣闊的金融領域，使金融風險管理有了定

量的分析工具可用，這個領域後來被稱為金融工程學。

莫頓在選擇權定價理論和金融工程學上的研究成果極大的促進了全球金融

衍生品市場的繁榮。莫頓本人也是他的學術成就的受益者，1993年莫頓與另外 9

人組成了一個名為“長期資本管理”的公司，該公司把布萊克--莫頓--休斯十年

前創建的理論在實踐中運用，公司成立三年，每年回報率高達 40%，其中莫頓分

享的利潤超過 10億美元。1997年他獲得了諾貝爾經濟學獎，這正是對他在選擇

權定價理論方面作出的傑出貢獻的肯定。

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計算題計算題計算題計算題

1. For a 4-month European call option on a stock, you are given:

(i) The stock’s price is 52.

(ii) The strike price is 60.

(iii) The stock pays no dividends.

(iv) The stock’s annual volatility is 25%

(v) The continuously compounded risk-free rate is 5%

Determine the Black-Scholes premium for the option.

(Hint: ( 0.80) 0.2119 ; ( 0.95) 0.1711N N− = − = )

2. For a 6-month European put option on a stock, you are given:

(i) The stock’s price is 45.

(ii) The strike price is 44.

(iii) The continuous dividend rate for the stock is 3%.

(iv) The stock’s annual volatility is 10%

(v) The continuously compounded risk-free rate is 4%

Determine the Black-Scholes premium for the option.

(Hint: ( 0.42) 0.3372 ; ( 0.35) 0.3632N N− = − = )

3. For a 1-year European call option on a stock, you are given:

(i) The 1-year forward price for the stock’s price is 50.

(ii) The strike price is 45.

(iii) The continuous dividend rate for the stock is 2%.

(iv) The stock’s annual volatility is 0.4

(v) The continuously compounded risk-free rate is 5%

Determine the Black-Scholes premium for the option.

(Hint: (0.46) 0.6772 ; (0.06) 0.5239N N= = )

4. For a 1-year European call option on a stock, you are given:

(i) The stock’s 1-year forward price is 60.

(ii) The strike price is 55.

(iii) The continuously compounded risk-free rate is 0.04.

(iv) The annual volatility of a prepaid forward on the stock is 0.3.

(v) The stock pays a dividend of 1 every 3 months, starting immediately after

the call option is written. The dividend at the end of one year is paid before

the option may be exercised .

Determine the Black-Scholes premium for the option.

(Hint: (0.44) 0.67 ; (0.14) 0.5557N N= = )

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5. For the dollar-euro exchange rate, you are given:

(i) The spot exchange rate is 0.85 ＄/€.

(ii) The strike price is 0.9 ＄/€.

(iii) The continuously compounded risk-free rate for dollar is 0.05.

(iv) The continuously compounded risk-free rate for euro is 0.02.

(v) The annual volatility of the exchange rate is 10%.

Determine the Garman-Kohlhagen premium for a dollar-denominated 1-year

European call option on euros.

(Hint: ( 0.22) 0.4129 ; ( 0.32) 0.3745N N− = − = )

6. For the yen-dollar exchange rate, you are given:

(i) The spot exchange rate is 130 ￥/＄.

(ii) The strike price is 125 ￥/＄.

(iii) The continuously compounded risk-free rate for dollar is 0.05.

(iv) The continuously compounded risk-free rate for yen is 0.03.

(v) The annual volatility of the exchange rate is 10%.

Determine the Garman-Kohlhagen premium for a yen-denominated 6-month

European put option on dollars.

(Hint: ( 0.45) 0.3264 ; ( 0.38) 0.352N N− = − = )