2113-vjezbe 1 - algebarski razlomci.pdf
TRANSCRIPT
1
kvadrat zbroja: 2 2 2 2 22a b a b a b a ab ba b a ab b
kvadrat razlike: 22 22 2 22 2a b a b a a b b a ab b
razlika kvadrata: 2 2a b a b a b
razlika kubova: 3 3 2 2a b a b a ab b
zbroj kubova: 3 3 2 2a b a b a ab b
Rastavite na faktore sljedeće algebarske izraze:
1)
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
111 1
1 1 1 1 1 1 .
a abb b
a b a ab a a b a b b a a a a b b
2) 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 .a b a b a b b a b b b b a b
3)
2 22 2 2 2
6 4 4 2 4 2 4 4 4 4 2 4
1 2 3
2 2 2 2 2 2 2
4 9 4 9 4 1 9 1 1 4 9
1 1 2 3 2 3 1 1 1 2 3 2 3 .
a ab
a b a a b a b a a a a b
a a ab ab a a a ab ab
4)
2 2 22 2 2 29 4 12 4 3 2 4 3 2 2 3 2 2 3 2 2 .a b a ab ab a ab a ab a ab a
5) 22 2 24 4 1 2 1 2 1 2 1 .a b a a b a b a b
6)
2 2 22 2 2 216 25 24 9 4 3 25 4 3 5
4 3 5 4 3 5
x y ax a x a y x a y
x a y x a y
17)
3 3 2 2 22
2
2 23 3 1 3 1 1 3 1 1
1 3 3 .
2 3a a a a a a a a a
a a a
a a a
18)
2 23 2 3 2 2
2 2
4 4 4 2 2 2 2
2 2
4
2
4
2 2 .
a a a a a a a a a a a
a a a a a a
a
a
a
2
19) Pogledati (nije toliko bitno)
5 5 4 3 2 4 3 2
5 4 3 2 2 2
5 4 3 2 2 2 6 2 3
23 2 2 3 3 3 2 3 3 3 2
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1
a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
a a
a a a a a a a a a a
a a a
a
2 3 21 1
1
a a a a
a
2 3 21 1 .a a a a
množimo zadani izraz s 1
11
a
a
za 1 0.a
Na kraju provjerimo da dobivena faktorizacija vrijedi i za 1.a 20)
3 2 3 2 2
2 2 2
6 30 6 30 6 9 10 3
3 10 3 3 3 10 3
9 1
5 2 10
3 5 2 5 5
0
3 2 .
a a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a a a
a
a
a a
Izraz 2 ,ax bx c pri čemu je 0a i 2 4 0,b ac možemo faktorizirati na sljedeći
način:
21 2 ,ax bx c a x x x x gdje su 1x i 2x rješenja kvadratne jednadžbe
2 0.ax bx c Pokažimo to!
Rješenja kvadratne jednadžbe 2 0ax bx c su 2
1
4
2
b b acx
a
i
2
2
4
2
b b acx
a
pa imamo
22 2
1 2
44 4
2 2
b b acb b ac b b acx x
a a
2 4b b ac 2
2a
2
b
2 22 2
1 2 2
22 2 2 2 2
2 2
,
4 44 4
2 2 2
4 4
4 4
b
aa
b b ac b b acb b ac b b acx x
a a a
b b ac b b ac b
a a
2b2
4 4
4
ac
a
a
4
c2a
.c
a
Stoga je
2 2 21 2 2 1 1 2 1 2 1 2
2 .
b ca x x x x a x x x x x x x a x x x x x x a x x
a a
ax bx c
3
Skratite razlomke: 1)
2
23 3 3
24 3 2 2 2 2 2
2
2
2 2 48 2
4 4 16 4 4 4 2 4
2 2 4
a
a a aa a
a a a a a a a a
a a a
2 22 4 2 4a a a a 2
2.
2 4
a
a a
2)
2
23 3 3
4 2 4 2 2 2
3 9
2
3 3 927 3
9 54 81 9 54 81 3 9 3 9
3 3 9
a
a a aa a
a a a a a a a a a a
a a a
2 3 9a a 22
3.
3 93 9
a
a aa a
3)
2
2 2
2 2 2 2 2 22 2
b c
a b a b c a b a b a b ca ac b bc
a b bc c a b c a b ca b bc c
a b a b c
a b c a b c ako je 0.
a ba b c
a b c
4)
2 2
2 2
a b a b ca b a b c a ba bc b ac
b ab c ac b c b c a b c
b c b c a
a b
b c
ako je 0.a b c
5)
2 22 23 2 2 3
3 2 2 3 2 2
2 44 2 28 4 2
8 4 2 4 2 2
x y x yx x y y x yx x y xy y
x x y xy y x x y y x y
2 22 4x y x y
2
2
x y
x y
ako je 2 24 0,x y odnosno 2 0.x y
9)
2 2 2
3 2
2 3 4 9 4
4 18 18
x x x
x x x
212 9 4x x
2
69
2 2 9 9x x x
3
3 2
2
x
2
3 2 3
2 9 9
x
x x x
2 3x x
3
3 3 ako je 2 3 0.
3 3
x
xx x x x
4
2
1,2 1 2
2
2 9 9 0
9 81 72 9 3 3, 3;
4 4 2
32 9 9 2 3 2 3 3 ;
2
x x
x x x
x x x x x x
Apsolutnu vrijednost realnog broja x označavamo s .x Definiramo je na sljedeći
način: ako je 0,
ako je 0.
x xx
x x
Tako je npr. 2 2 (jer je 2 0 ), a 3 3 3 jer je 3 0.
Skratite razlomke:
1) 2
3 2
3 9.
2 3 9
x x xR
x x x
I 3 0 3x x
2
33 3 3
2 3 9
xx x x xR
x x x
3x x
2 3x x 3x
2
1,2 1 2
2
1 ako je 3
2 3 9 0
3 9 72 3 9 3, 3;
4 4 2
32 3 9 2 3 2 3 3 ;
2
xx
x x
x x x
x x x x x x
II 3 0 3x x
33 3 3
2 3 3
xx x x xR
x x x
x x
3
2 3 3x x x
3 3
ako je 0 i .2 3 2
x xx x
Dakle,
3 3
ako je ,3 \ ,02 3 2
1 ako je 3,
xx x
R
xx
U točkama 3
, 02
x x i 3x zadani razlomak nije definiran (jer tada imamo nulu u
nazivniku, a dijeljenje s nulom nije definirano).
5
2)
2 1 1.
2
x xR
x x
I 1 0 i 0 0x x x
1 11 1 1
2
x xx x xR
x x
1
1
2
x x
x x
x 1
22
x
xx
ako je 2x
II 1 0 i 0 1 0x x x
1x xR
x 1
22
x
xx
III 1 0 i 0 1x x x
1 1 11 1 1
2
x xx x xR
x x
2x x
1.
x
x
Dakle,
1 ako je , 1
1 ako je 1,0
2
1 ako je 0, \ 2
2
xx
x
xR x
x
xx
x