2.3. cây nhị phân tìm kiếm (binary searching tree) 2.3.1. khái niệm – cấu trúc dữ...
DESCRIPTION
2.3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree) 2.3.1. Khái niệm – Cấu trúc dữ liệu Cây nhị phân tìm kiếm là cây nhị phân trong đó tại mỗi nút, khoá của nút đang xét lớn hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây con trái và nhỏ hơn khoá của tất các nút thuộc cây con phải. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
2.3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree)2.3.1. Khái niệm – Cấu trúc dữ liệu Cây nhị phân tìm kiếm là cây nhị phân trong đó tại mỗi nút,
khoá của nút đang xét lớn hơn khóa của tất cả các nút thuộc cây con trái và nhỏ hơn khoá của tất các nút thuộc cây con phải.
Cấu trúc dữ liệu của cây nhị phân tìm kiếm là cấu trúc dữ liệu biểu diễn cây nhị phân nói chung.
struct TNode
{
int Info;
struct TNode *pL,*pR;
};
2
2.3. Cây nhị phân tìm kiếm (Binary Searching Tree)
2.3.2. Các thao tác trên cây nhị phân tìm kiếm
2.3.2.a. Thêm vào một phần tử X vào cây
2.3.2.b. Tạo một cây NPTK
2.3.2.c. Duyệt cây
2.3.2.d. Tìm một phần tử X trong cây
2.3.2.e. Huỷ một phần tử có
khoá X
3
2.3.2.a. Thêm vào một phần tử X vào cây
Việc thêm một phần tử x vào cây phải đảm bảo điều kiện ràng buộc của CNPTK:
-* Mọi số thuộc cây con trái của nút đó đều nhỏ hơn số ứng với nút đó
-* Mọi số thuộc cây con phải của nút đó đều lớn hơn số ứng với nút đó
Hàm insert trả về giá trị -1: khi không đủ bộ nhớ.
0: khi gặp nút trùng.
1: khi thực hiện thành công.
4
int InsertTree(TREE &T,int k)
{
if (T!=NULL)
{ //neu can ca so trung nhau thi bo dong ngay duoi
if (T->Info==k) return 0;
if (T->Info>k) return InsertTree(T->pL,k);
else return InsertTree(T->pR,k);
}
else
{ T=(TREE)malloc(sizeof(TNode));
if (T==NULL) return -1;
T->Info=k;
T->pL=T->pR=NULL;
return 1;
}
}
5
2.3.2.b. Tạo một cây NPTK: Ta có thể tạo CNPTK bằng cách lặp lại quá trình thêm 1 phần tử vào một cây rỗng
void CreateTree(TREE &T)
{ T=NULL;
int k;
cout<<"\nIn put n=";
cin>>n;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>k;
InsertTree(T,k);
}
}
6
Ví dụ tạo cây nhị phân tìm kiếm: Cho mảng: 60 25 65 19 40 10 15 30 44 50X=60 ->Root25<60->L65>60->R19<25->L40>25>19->R10<19<25->L15>10<19<25->R30>15>…>25->R<40->L44>30->R50>44->R
7
Ví dụ chèn nút: Chèn nút 34
34<62->L
34>21->R
34<50->L->NULL-> chèn
Chèn nút 68
68>62->R
68>66->R
68<75->L
68<70->L->NULL->chèn
62
21 66
17 50 75
705834
68
8
2.3.2.c. Duyệt cây
2.3.2.d. Tìm một phần tử X trong cây
int SearchTree(TREE T,int k)
{
if (T==NULL) return 0;
else
if (T->Info==k) return 1;
if (k>T->Info) return SearchTree(T->pR,k);
else return SearchTree(T->pL,k);
}
9
2.3.2.c. Duyệt cây
2.3.2.d. Tìm một phần tử X trong cây
TNode* SearchTree1(TREE T,int k)
{
if (T==NULL) return NULL;
else
if (T->Info==k) return T;
if (k>T->Info) return SearchTree1(T->pR,k);
else return SearchTree1(T->pL,k);
}
10
2.3.2.e. Huỷ một phần tử có khoá Xint DelTree(TREE &T,int k){
if (T==NULL) return 0;if (T->Info>k) return DelTree(T->pL,k);if (T->Info<k) return DelTree(T->pR,k);else{
TNode *p=T;if (T->pR==NULL)
T=T->pL;else
if (T->pL==NULL)T=T->pR;
else {
TNode *q=T->pR;SearchStandfor(p,q);
}delete(p);
}}
11
2.3.2.e. Huỷ một phần tử có khoá X
void SearchStandfor(TREE &p,TREE &q)
{
if (q->pL) SearchStandfor(p,q->pL);
else
{ p->Info=q->Info;
p=q;
q=q->pR;
}
}
12
2.3.2.f. Huỷ toàn bộ CNPTK
Void removeTree( TREE &T)
{
if(T)
{
removeTree(T->pL);
removeTree(T->pR);
delete(T);
}
}
13
2.3.2.a. Tìm kiếm trên cây nhị phân tìm kiếm BST Tìm kiếm trong cây có tồn tại nút có khóa (Key) là SearchData
hay không. Dùng thuật toán tìm kiếm nhị phân vì do đặc điểm của cây nhị
phân tìm kiếm thì tại 1 nút nểu Key của nút này khác với SearchData:
Nếu SearchData > Key của nút tìm ở cây con bên phải Nếu SearchData < Key của nút tìm ở cây con bên trái
B1: CurrNode = BSTreeB2: IF (CurrNode == NULL or CurrNode->Key == SearchData)
Thực hiện BKTB3: IF (CurrNode ->Key > SearchData) // tìm ở cây con bên trái
CurrNode = CurrNode->BSTree->BSTLeftB4: ELSE // tìm ở cây con bên phải
CurrNode = CurrNode->BSTree->BSTRightB5: Lặp lại B2BKT: Kết thúc
14
- Minh họa thuật toán:
Giả sử chúng ta cần tìm kiếm nút có thành phần dữ liệu là 30 trên cây nhị phân tìm kiếm sau: SearchData = 30
15
CurNode->Key > SearchData // Tìm kiếm trên cây con trái
=> CurNode = CurNode->BST_Left
16
CurNode->Key > SearchData // Tìm kiếm trên cây con trái
=> CurNode = CurNode->BST_Left
CurNode->Key = SearchData Thuật toán kết thúc (Tìm thấy)
17
2.3.2.a. Tìm kiếm trên cây nhị phân tìm kiếm BST (tt)Cài đặt thuật toánBSTType BSTSearching (BSTType BSTree, T SearchData){
BSTType CurrNode = BSTree;while (CurrNode !=NULL & CurrNode->Key != SeachData){
if (CurrNode ->Key > SearchData) CurrNode = CurrNode ->BSTLeft;
else CurrNode = CurrNode ->BSTRight;
}return (CurrNode);
}
18
2.3.2.b. Thêm vào một nút trên cây nhị phân tìm kiếm Giả sử thêm vào 1 nút có thành phần dữ liệu là NewData vào
cây nhị phân tìm kiếm sao cho sau khi thêm, cây vẫn là cây nhị phân tìm kiếm.
Bao gồm các thao tác tìm kiếm vị trí thêm và thêm nút vào cây.
Thao tác chỉ thêm được nếu không có hiện tượng trùng khóa, do đó nếu NewData trùng với Key của 1 trong các nút trong cây thì không thực hiện thêm.
19
2.3.2.b. Thêm vào một nút trên cây nhị phân tìm kiếm (tt)B1: NewNode = BinTreeCreateNode(NewData)B2: IF(NewNode == NULL)
Thực hiện BKTB3: IF (BSTree == NULL)
B3.1: BSTree = NewNodeB3.2: Thực hiện BKT
B4: CurrNode = BSTreeB5: IF (CurrNode == NULL)
Thực hiện BKTB6: IF (CurrNode->Key > NewData)
B6.1: AddLeft = TrueB6.2: If (CurrNode->BSTLeft != NULL)
CurrNode = CurrNode->BSTLeftB7: IF (CurrNode->Key < NewData)
B6.1: AddLeft = FalseB6.2: If (CurrNode->BSTRight != NULL)
CurrNode = CurrNode->BSTRightB8: Lặp lại B5B9: IF (AddLeft == True)
CurrNode = CurrNode->BSTLeftB10: ELSE
CurrNode = CurrNode->BSTRightBKT: Kết thúc
20
- Minh họa thuật toán:
Giả sử chúng ta cần thêm vào trong cây nhị phân tìm kiếm 1 nút có thành phần dữ liệu là 55: NewData = 55
21
CurNode->Key > NewData // Thêm vào cây con trái
=> AddLeft = True
CurNode->BST_Left != NULL // Chuyển sang cây con trái
=>CurNode = CurNode->BST_Left
22
CurNode->Key < NewData // Thêm vào cây con phải
=> AddLeft = False
CurNode->BST_Right != NULL // Chuyển sang cây con phải
=> CurNode = CurNode->BST_Right
23
CurNode->Key < NewData // Thêm vào cây con bên phải
=> AddLeft = False
CurNode->BST_Right != NULL // Chuyển sang cây con bên phải
=> CurNode = CurNode->BST_Right
24
CurNode->Key < NewData // Thêm vào cây con phải
=> AddLeft = False
CurNode->BST_Right == NULL
// Thêm NewNode vào thành nút gốc cây con phải của CurNode
// (AddLeft = False), thuật toán kết thúc.
CurNode->BST_Right = NewNode
Kết quả sau khi thêm:
25
2.3.2.b. Thêm vào một nút trên cây nhị phân tìm kiếm (tt)BSTType BSTAddNode (BSTType &BSTree, T NewData){ BSTType NewNode = BinTreeCreateNode(NewData);
if (NewNode == NULL) return (NewNode);if (BSTree == NULL) BSTree = NewNode;else{ BSTType CurrNode = BSTree;
int AddLeft = 1;while (CurrNode->Key != NewData) // khong them neu trung Key{ if (CurrNode->Key > NewData) // them o cay con ben trai
{ AddLeft = 1;if (CurrNode->BSTLeft != NULL)
CurrNode = CurrNode->BSTLeft;else break;
}else // them o cay con ben phai{ AddLeft = 0;
if (CurrNode->BSTRight != NULL)CurrNode = CurrNode->BSTRight;
else break;}
}if (AddLeft == 1) CurrNode->BSTLeft = NewNode;else CurrNode->BSTRight = NewNode;
}return (NewNode)
}
26
2.3.2.c. Loại bỏ 1 nút trên cây Hủy mộtnút trên cây nhị phân tìm kiếm cũng phải bảo đảm
cho cây sau khi hủy nút đó thìcây vẫn là một cây nhị phân tìm kiếm.
Đây là một thao tác không đơn giản bởi nếukhông cẩn thận chúng ta sẽ biến cây thành một rừng.
Giả sử chúng ta cần hủy nút có thành phần dữ liệu (Key) là DelData ra khỏi cây nhịphân tìm kiếm.
Tìm kiếm địa chỉcủa nút cần hủy là DelNode, Hủy nút có địa chỉ là DelNode nàynếu tìm thấy
(Do vậy thuật toán này còn được gọi là thuật toán tìm kiếm và loại bỏtrên cây).
27
2.3.2.c. Loại bỏ 1 nút trên cây (tt) Trong quá trình tìm kiếm cần giữ địa chỉ nút cha của nút cần
hủy là PrDelNode. Việc hủy nút có địa chỉ DelNode có thể xảy ra một trong ba
trường hợp sau: DelNode là nút lá DelNode là nút chỉ có 01 cây con DelNode là nút có 02 cây con
28
2.3.2.c. Loại bỏ 1 nút trên cây - DelNode là nút lá Cắt bỏ mối quan hệ cha-con giữa PrDelNode và DelNode
bằng cách cho con trỏ PrDelNode->BST_Left = NULL hoặc PrDelNode->BST_Right = NULL Tiến hành hủy (delete) nút có địa chỉ DelNode này.
29
Ví dụ 1: Huỷ nút lá 30
Kết quả sau khi huỷ:
30
2.3.2.c. Loại bỏ 1 nút trên cây - DelNode là nút có 01 cây con Chuyển mối quan hệ cha con giữa PrDelNode và DelNode
thành mối quan hệ cha-con giữa PrDelNode và nút gốc cây con của DelNode rồi tiến hành cắt bỏ mối quan hệ cha-con giữa DelNode và cây con của nó và tiến hành hủy nút có địa chỉ DelNode này.
Trong trường hợp này chúng ta thực hiện các bước:
B1: PrDelNode->BST_Left = DelNode->BST_Left
B2: DelNode->BST_Left = NULL
31
Ví dụ 2: Huỷ nút 19 có 01 nút gốc con
Kết quả sau khi huỷ:
32
2.3.2.c. Loại bỏ 1 nút trên cây - DelNode là nút có 02 cây con
Sử dụng phương pháp: Chuyển 02 cây con của DelNode về thành một cây con:
Theo phương pháp này chúng ta sẽ chuyển cây con phải của DelNode về thành cây con phải của cây con có nút gốc là nút phảinhất trong cây con trái của DelNode
hoặc Chuyển cây con trái của DelNode về thành cây con trái
củacây con có nút gốc là nút trái nhất trong cây con phải của DelNode
Sau khi chuyển thì DelNode sẽ trở thành nút lá hoặc nút chỉ có 01 cây con và chúng ta hủy DelNode như đối với trường hợp ở trên.
33
Ví dụ 3:Huỷ nút 25 có 02 nút gốc con
Chúng ta sẽ chuyển cây con phải của DelNode (DelNode->BST_Right) về thành cây con phải của cây con có nút gốc là nút phải nhất trong cây con trái của DelNode (nút MRNode) sau đó hủy DelNode
34
B1: MRNode->BST_Right = DelNode->BST_Right
B2: DelNode->BST_Right = NULL
35
Kết quả sau khi huỷ:
Tiến hành các bước để hủy DelNode:
B3: PrDelNode->BST_Left = DelNode->BST_Left
B4: DelNode->BST_Left = NULL
36
SỬ DỤNG PHẦN TỬ THẾ MẠNG Sử dụng phần tử thế mạng là nút phải nhất trong cây con
trái của DelNode (MRNode), hoặc là nút trái nhất trong cây con phải của DelNode (MLNode).
Sau khi chuyển toàn bộ nội dung dữ liệu của nút thế mạng cho DelNode (DelNode_Key = MRNode->Key hoặc DelNode->Key = MLNode->Key) thì chúng ta sẽ hủy nút thế mạng như đối với trường hợp c1) và c2) ở trên.
37
Ví dụ: Giả sử cần hủy nút có Key = 25 (DelData = 25). Chúng ta sẽ chọn phần tử thế mạng MLNode là nút trái nhất trong cây con phải của DelNode (trái nhất trong DelNode->BST_Right) để hủy,
38
Chuyển dữ liệu trong MLNode về cho DelNode:
DelNode->Key = MLNode->Key
39
Tiến hành hủy MLNode (hủy nút lá):
PrMLNode->BST_Left = NULL
40
Kết quả sau khi hủy:
41
2.3.2.d. Hủy toàn bộ cây
Thao tác chỉ đơn giản là việc thực hiện nhiều lần thao tác hủy một nút trên cây nhị phân tìm kiếm cho đến khi cây trở thành rỗng.
Hàm thực hiện việc hủy tất cả các nút trong cây nhị phân tìm kiếm BSTree.
void BSTDelete(BSTType &BSTree)
{
BSTType DelNode = BSTree;
while (BSTDeleteNodeTRS(BSTree, DelNode->Key) == 1)
DelNode = BSTree;
return;
}
42
BÀI TẬP
a. Áp dụng giải thuật tạo cây nhị phân tìm kiếm để vẽ cây có 11 phần tử với thứ tự các khóa được nhập vào như sau:
20 17 32 10 3 27 14 40 19 25 35
b. Cho biết kết quả duyệt cây theo thứ tự NLR, LRN. Có nhận xét gì về kết quả duyệt cây theo thứ tự LNR ?