2.6 2.6 复杂交流电路的分析与计算复杂交流电路的分析与计算

相量形式的基尔霍夫定律相量形式的基尔霍夫定律

0 KCL

I 0 KVL

U

和计算复杂直流电路一样，复杂交流电路也要应用支路电流法支路电流法、叠加原理叠加原理和戴维宁定理戴维宁定理等方法来分析与计算。所不同的是电压、电流应以相量 相量 表示，电阻、电感和电容及其组成的电路应以阻抗或阻抗或导纳 导纳 来表示。

IU、

相量形式的欧姆定律相量形式的欧姆定律

RIU

)(j LXIU

)j( CXIU

一般正弦交流电路的解题步骤一般正弦交流电路的解题步骤1 、根据原电路图画出相量模型图 ( 电路结构不变 )

Ii Uu

X C XL RR CL

、

、、 jj

2 、根据相量模型列出相量方程式或画相量图

3 、用相量法或相量图求解

4 、将结果变换成要求的形式

有功功率 有功功率 PP 有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，或各支路有功功率之和。

i

i

1

2i RIP

无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。

)( ii

i

1

2i CL XXIQ

的相位差与为 iii IU

无功功率 无功功率 QQ

i1

ii sin∑i

IUQ 或

i1

ii cos i

IUP或

已知： )1sin( tIi ms

)2sin( tEe m

, R1 、 R2 、 L 、 C

求：各支路电流的大小

ei

si eL

CLi 2Ri1R

2R

例 2.6

相量模型

原始电路

sI

LI

2RI

eI

LjX

E

1R

2R

si eL

CLi 2Ri1R

2R

CjX

ie

解法一：支路电流法

CeR

RLL

eRL

jXIERI

RIjXI

IIII

222

22

21 0

解法二：叠加定理

+

'''

''2

'22

'''

eee

RRR

LLL

III

III

III

SI

R1

R2

'I L

'I R2

'

eI

LjX

CjX

''eIR1

R2

''LI

''2RI

LjX

E

CjX

sI

LI

2RI

eI

LjX

E

1R

2R

解法三： 戴维南定理

求eI

ABU

LI 、

2RI

B

sI

LI

2RI

eI

LjX

E

1R

2R

A

eI

EZ

CjX

SE

2RjXZ L

)//( 2RjXIE LSS

图示电路中，电压表读数为 220V, 电流表读数为 I1=10A ， I2=14.14A, R1 =12 ， R2 = XL, 电源电压 u 与电流 i 同相。求总电流 I 、 R2 、 XL 、 Xc.

I •

I1

•

U2

•10

14.14

10

U1

•120

100u

i

i2 i1

CR2

L

R1

A1A2

V

u1

u2

10A14.14A

I=10A U1=12×10=120V U2=220–120=100V Xc=10010

=10

=100

14.14Z2 = R2

2 +XL2 =7.07 R2= XL=5

解：

I2

•

+

–

+

–

+ –

例 2.7

下图中已知： I1=10A 、 UAB =100V ，求： A 、 UO 的读数

解题方法有两种：1. 利用复数进行相量运算

2. 利用相量图求结果

AA B C2

5 j5UO

C1

10j

例 2.8

I

1

I

2

I

解法 1: 利用复数进行相量运算

已知： I1=10A 、 UAB =100V，

则：A4521055

1002o

jI

A1090101 jI

o A01021

IIIA 读数为 10安

求： A 、 UO 的读数

即： V0100UABo

设： 为参考相量，

ABU

A A B C2

5 j5UO

C1

10j

I

1

I

2

I

A01021o

III V100)101 jjIU C

（

V4521001001001

jUUU ABCo

UO 读数为 141 伏

求： A 、 UO 的读数

已知： I1=10A 、 UAB =100V ，A A B C2

5 j5UO

C1

10j

I

1

I

2

I

解法 2: 利用相量图求解

设： V0100 o

ABUABU

2

I

45°由已知条件得：

10A1 I 、领先 90°

1

I

2

I

A21055

100222

I

ABU

45°落后于

I=10 A 、 UO =141V

21

III

ABCo UUU

1

求： A 、 UO 的读数

已知： I1=10A 、 UAB=100V，

UC1=I XC1=100V

uC1 落后于 i 90°

A A B C2

5 j5UO

C1

10j

1CU

OU

I

I

1

I

2

I

在具有电感和电容的电路中，若调节电路的参数或电源的频率，使电压与电流同相电压与电流同相，则称电路发生谐振现象。

2.7.12.7.1 串联谐振串联谐振

或：C

Lo

o 1

CL XX

谐振时的角频率谐振时的角频率

1. 1. 谐振条件谐振条件

2.72.7 电路中的谐振电路中的谐振

2. 2. 谐振频率 谐振频率 根据谐振条件：

CωLω

oo

1

LC

10

LCf

21

0 或

电路发生谐振的方法：(1) 电源频率 f 一定，调参数 L 、 C 使 fo= f ；

(2) 电路参数 LC 一定，调电源频率 f ，使 f = fo

可得谐振频率谐振频率：

3.3. 串联谐振特怔串联谐振特怔

RXXRZ CL 22 )(

(1)(1) 阻抗最小阻抗最小

当电源电压一定时： R

UII 0

(2) (2) 电流最大电流最大

电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， 和 相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。

LQ CQ

(3) (3) 同相同相

IU、

(4) (4) 电压关系电压关系

电阻电压： UR = Io R = U

00 CCLL XIUXIU

电容、电感电压： CL UU

RX X CL 当 时： 有： UUU U RCL

RCR

L

U

U

U

UQ CL

0

0 1

令：

表征串联谐振电路的谐振质量品质因数，品质因数，Q

QUUU CL 有：

所以串联谐振又称为电压谐振。

注意

QUUCR

XIU CC 0

0

1

QUUR

LXIU LL 0

0

谐振时谐振时 :: 与 相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的 Q 倍。

LU

CU

相量图：相量图：

I

LU

CU

UU R

所以电力系统应避免发生串联谐振。所以电力系统应避免发生串联谐振。

4. 4. 谐振曲线谐振曲线(1) (1) 串联电路的阻抗串联电路的阻抗频率特性频率特性

阻抗随频率变化的关系。

22

1 CLRZ

Z0RZ 0 Z0

LX

Z

0f

CX

LfX L 2

fcXC

21

容性)( 0

感性)( 0

f0

R

)(j CL XXRZ

(2) (2) 谐振曲线谐振曲线

)1-(

)(22 CLR

U

Z

UI

QQ 值越大，曲线越尖锐，选择性越好。值越大，曲线越尖锐，选择性越好。

0I Q 大

Q 小0I

分析：

R

LQ 0

谐振电流R

UI 0

电路具有电路具有选择最接近谐振频率附近的电流选择最接近谐振频率附近的电流的能力 的能力 ——称为选择性。——称为选择性。

f0f0

IZ ,

R 0I

通频带：通频带：

:0f 谐振频率

上限截止频率上限截止频率:2f

下限截止频率:1f

通频带宽度越小通频带宽度越小 ((QQ 值越大值越大 ))

，，选择性越好，抗干扰能力越强。

0

I

f

△ƒ= ƒ2 － ƒ1

当电流下降到 0.707Io 时所对应的上下限频率之差，称通频带。即：

00.707 I

1f 2f

0I

0ff

Q 大

Q 小

串联谐振应用举例收音机接收电路

1L

2L 3L

C

:1L 接收天线

2L 与 C ：组成谐振电路

:3L 将选择的信号送 接收电路

1L

2L 3L

C

C - 2L321 eee 、、 为来自 3 个不同电台（不同频率）的电

动势信号； 组成谐振电路 ，选出所需的电台。

C2L2LR

1e2e3e

已知： 20 H25022 LRL 、

kHz8201 f

C2L2LR

1e2e3e

解：CL

f2

12

1

pF

LfC 150

2

1

22

如果要收听 节目， C 应配多大？1e问题：

结论：当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。1e

2.7.22.7.2 并联谐振并联谐振 1.1. 谐振条件谐振条件

LCωRCω

LωR

LωRCω

LωRCω

Z

2

j1

j

)j(j

1

)j(j

1

+

U

-

RCX

LX

I

1

I C

I

实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有 RLω 0

)( LωCωLRCCRωLCω

LωZ 2 1j

1

j1

j

则：

1.1. 谐振条件谐振条件

01

00

LωCω：谐振条件

2.2. 谐振频率谐振频率或 LC

ff2

10

可得出：

LCω

10

）LωCωLRCCRωLCω

LωZ

2 1(j

1

j1

j

由：

3. 3. 并联谐振的特征并联谐振的特征

(1)(1) 阻抗最大，呈电阻性阻抗最大，呈电阻性RC

LZ 0

( 当满足 0L R 时 )

I00 Z

U

RCL

UII

(2)(2) 恒压源供电恒压源供电时，总时，总电流最小；电流最小；

恒流源供电恒流源供电时，电路的端电压最大。时，电路的端电压最大。

0S ZIU

Z

Z I,

0ω

0Z

0I

(3)(3) 支路电流与总电流支路电流与总电流 的关系的关系

Lfπ

U

LfπR

UI

02

021 2)(2

当 0L R 时，

01 QIII C

U

CI

I1

1

I支路电流是总电流的 支路电流是总电流的 QQ 倍 倍 电流谐振 电流谐振相量图

CfπU

Cfπ

UI 0

0

C 2

21

QR

L

R

Lf 002

RCL

U

CfU )2( 00

0

0

)2(

ZU

CfU

I

IC

功率因数低引起的问题

有功功率 P=UNIN cos

功率因数

1. 电源设备的容量将不能充分利用

2. 增加输电线路和发电机绕组的功率损耗

I = U cosP 在 P 、 U 一定的情况下， cos越低

，I 越大损耗越大。

情况下， cos 越低， P 越小，设备得不到充分利用。

P=UI cos

P = r I 2

电压与电流的相位差角 ( 功率因数角 )

在电源设备UN 、 IN 一定的

2.7 2.7 功率因数的提高功率因数的提高 (( 自学自学 ))

负载

iu

说明： 由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。cos

功率因数 和电路参数的关系

）（ COS

R

XXtg CL 1

R

CL XX Z

例 40W白炽灯 1COS

40W日光灯 5.0COS

A364.05.0220

40

cos

U

PI

发电与供电设备的容量要求较大

供电局一般要求用户的 ， 否则受处罚。

85.0COS

A182.0220

40

U

PIcosUIP

纯电阻电路 )0( 1COS

10 COSR-L-C 串联电路)9090(

纯电感电路或纯电容电路

0COS )90(

电动机 空载

满载

3.0~2.0COS9.0~7.0COS

日光灯 （ R-L-C 串联电路） 6.0~5.0COS

常用电路的功率因数

提高功率因数的原则： 必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。

提高功率因数的措施 :

u

i

R

L

Ru

Lu

并电容C

提高功率因数的方法

已知感性负载的功率及功率因数 cos 1 若要求把电路功率因数提高到 cos ，则应并联电容 C 为

+

–

u

i

iRL

L

R

C

iC

I •

Ic

•

IRL•

U•

1

Ucos I= P

Ucos 1

IRL= P

P=UIRLcos 1 =UIcos

Ic= IRLsin 1 –Isin

Psin Ucos 1

Ic=Psin 1

Ucos –

U P (tan 1– tan)=

C = U 2

P (tan1– tan )

Ic=UXc

=U C go

某小水电站有一台额定容量为 10kVA 的发电机，额定电压为 220V ，额定频率 f=50Hz ，今接一感性负载 , 其功率为 8kW ，功率因数 cos 1=0.6 ，试问：1. 发电机的电流是否超过额定值？2. 若要把电路功率因数提高到 0.95 ，需并多大的电容器？3. 并联电容后，发电机的电流是多大？4. 并联电容后，发电机还可接多少只 220V 、 40W 的灯泡？解： 1. 感性负载需要的电流I1

UNcos 1

I1= P

= 8000200×0.6

=60.6A

发电机额定电流 IN

UN

IN= =1000220

=45.45ASN

发电机提供的电流超过了 IN ，不允许。

例 2.10

解： 2. cos 1=0.6 1=53.6o tan 1 =1.33

cos =0.95 =18.2o tan =0.329

C = U 2

P(tan1– tan ) 8000=

314×220(1.33–0.329)=526µF

3. 并联电容 C 后，发电机的电流 I

UNcos I=P

= 8000

220×0.95=38.3A

例：某小水电站有一台额定容量为 10kVA 的发电机，额定电压为 220V ，额定频率 f=50HZ ，今接一感性负载 , 其功率为 8kW ，功率因数 cos 1=0.6 ，试问：2. 若要把电路功率因数提高到 0.95 ，需并多大的电容器？3. 并联电容后，发电机的电流是多大？

例：某小水电站有一台额定容量为 10kVA 的发电机，额定电压为 220V ，额定频率 f=50Hz ，今接一感性负载 , 其功率为 8kW ，功率因数 cos 1=0.6 ，试问：4 . 并联电容后，发电机还可接多少只 220V 、 40W 的灯泡？

解： 4.每盏灯的电流 ID1

40 ID1=220 =0.182A

若接入 N盏灯后，发电机输出电流正好等于 IN ，则

I •

ID•

IN•

= +IN

2=(ID+Icos )2+(Isin )2

ID=7.47A

N= ID/ ID1 =7.47/0.182=41盏1 I

•

Ic

•

U•

I1

•

IN

•

ID

•

u

i

i1 icC

iN

R

L

+

–

iD

交流电路小结交流电路小结1.1. 理解正弦量的特征及其各种表示方法；理解正弦量的特征及其各种表示方法；2. 2. 理解电路基本定律的相量形式及阻抗；理解电路基本定律的相量形式及阻抗； 熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法， 会画相量图。；会画相量图。；3. 3. 掌握有功功率和功率因数的计算掌握有功功率和功率因数的计算 ,, 了解瞬时了解瞬时 功率、无功功率和视在功率的概念；功率、无功功率和视在功率的概念；4.4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐 振的条件及特征；振的条件及特征；5.5.了解提高功率因数的意义和方法。了解提高功率因数的意义和方法。

作业：

第 P97-99页习题

B ： 2.5.3(b d)、 2.6.1、 2.6.3