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29. IIRフィルタの設計29. Design of Infinite Impulse Response Filter

このテーマの要点 IIRフィルタの構成法を理解する

IIRフィルタの特性について理解を深める

教科書の該当ページ 8.3 ディジタルフィルタ [p.146]

!IIRフィルタの設計法 [p.155]

IIRフィルタ

H(z) =b0 + b1 z

− 1

+ b2 z −

2

+ ... + bK z −

K

1 − (a1 z −

1

+ a2 z −

2

+ ... + aM z −

M

)

y(n) = ∑ am y (n− m) + ∑ bk u (n− k)M

m = 1

K

k = 0

! 応答が無限! 安定性に条件あり! 零位相・直線位相は近似! 低次でも良好な f 特

設計法　● アナログフィルタのH(z)を変換

　● 希望特性を直接近似

インパルス不変法, 双一次変換法

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インパルス不変法 (標準 z 変換法)

アナログフィルタのインパルス応答を離散化して H(z) を求める方法 アナログフィルタ

! 伝達関数 HA(s)HA (ω )

0 ω! インパルス応答 hA(t)

0 t

hA (t ) T 間隔でサンプリング

ディジタルフィルタ

! インパルス応答 h(n) = hA(nT )

h (n )

0 n

z 変換! 伝達関数 H(z)

H (Ω )

0 Ω

※ 離散化によってスペクトルが折り返すエイリアシングに注意

! LPF, BPFのみ設計可能! 十分な減衰特性を有すること

インパルス不変法の手順

① HA(s)を部分分数展開

② 各要素をラプラス逆変換

③ 展開式の要素の和

HA(s) =b0(s − σ1)(s − σ2) ••• (s − σm)(s − λ 1)(s − λ 2) ••• (s − λ n)

= + + ••• +p1

s − λ 1

p2

s − λ 2

pn

s − λ n (8.48)

hAi (t) = pi e λ i t (8.49)

T 間隔でサンプリングhi (n) = hAi (nT ) = pi e λ

i nT (8.50)

z 変換

Hi (z) = pi

1 − e λ i T z

− 1

zz − e λ

i T = pi (8.51)

要はこの置き換えを行う

H(z) = ∑ pi

n

i = 1

zz − e λ

i T

(8.52)

※ 振幅の調整が必要

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例題 教科書演習問題 [4]

HA(s) =1

s2 + 3s + 2 と等価なディジタルフィルタのH(z)を求めよ

① HA(s)を部分分数展開1

(s + 2)(s + 1)HA(s) = = −1

s + 11

s + 2

② 各要素を変数変換pi

s − λi

pi

1 − e λ i T z

− 1

H(z) = − 11 − e − 2T z

− 1

11 − e −T z

− 1

= − zz − e − 2T

zz − e −T

=ze −T(1 − e −T )

z2 − (e −T+ e − 2T )z + e − 3T

2次LPFの設計例１

特性

バタワース f0 = 1 kHz fs = 10 kHz HA(s) =ω0

2

s2 + 2 ω0 s + ω0

2

① 部分分数展開

HA(s) =j 2ω0 /2

s + 2 (1+ j )ω0 /2j 2ω0 /2

s + 2 (1− j )ω0 /2−

② 変数変換

pi

s − λi

pi

1 − e λ i T z

− 1

H(z) =j 2ω0 /2

1− e −

2(1+

j

)ω

0T /2 z

− 1−

j 2ω0 /21− e

−

2(1− j

)ω

0T /2 z

− 1

③ 数値代入

H(z) = 4442.822 z −

1

1− 1.158046 z −

1

+ 0.411241 z −

2

④ 振幅調整

z = e j

0T

= 1のとき

H(z) = 1

分子 = 0.253195 z −

1

4

回路の構成１

H(z) = 0.253195 z −

1

1− 1.158046 z −

1

+ 0.411241 z −

2

=b1

z −

1

1− a1 z −

1

− a2 z −

2

FF部分

FB部分

b1 = + 0.253195a1 = + 1.158046a2 = − 0.411241

u(n)

z −

1

+

y(n)b1+ a1

z −

1

a2

双一次変換法

双一次変換と呼ばれるs→z 変換を行い H(z) を定める方法

① 対応するデジ・アナ遮断周波数を計算

② 双一次変換

ωA = tanπ ωDωs

ωs：サンプリング角周波数

s 1 − z −

1

1 + z −

1

HA(s) H(z)

※ 振幅の調整が必要

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双一次変換の概念

アナログフィルタの周波数特性を tan によって写像

ωA

ωD

ωA = tanπ ωDωs

HA(s

)

∞特性は無限

H(z) ωs /2 特性は有限(繰り返し)

無限の範囲を有限に写像

2次LPFの設計例２

特性

バタワース f0 = 1 kHz fs = 10 kHz HA(s) =ω0

2

s2 + 2 ω0 s + ω0

2

① アナログ遮断周波数ωA0 = tan

π ωD0ωs

= tan 0.1π = 0.324920 rad/s

HA(s) に代入

HA(s) = 0.105573s2

+ 0.459506 s + 0.105573

② 双一次変換

s 1 − z −

1

1 + z −

1

H(z) = 0.067455 + 0.134910 z −

1

+ 0.067455 z −

2

1 − 1.142980 z −

1

+ 0.412802 z −

2

④ 振幅調整 この場合不要

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回路の構成２

H(z) = 0.067455 + 0.134910 z −

1

+ 0.067455 z −

2

1 − 1.142980 z −

1

+ 0.412802 z −

2

=b0 + b1

z −

1

+ b2 z −

2

1− a1 z −

1

− a2 z −

2

FF部分

FB部分

b0 = + 0.067455b1 = + 0.134910b2 = + 0.067455a1 = + 1.142980a2 = − 0.412802 z

− 1

u(n)

z −

1

+ y(n)

b1 +

+

b2

b0

+ a1

a2

安定性と特性比較

極の写像

インパルス不変法

安定

s平面

Re

ImπT

j

πT

− j

双一次変換法

安定

s平面

Re

Im

Re(z)

Im(z)

1−1

− j

j

z平面

z = e a

+

j

Ω

a < 1 で収束

設計例1,2の特性比較

双一次変換

インパルスLPF

双一次変換

インパルス

HPF