Materia: Matemática Básica MAT-014 Semestre: 2014-2 Profesor: Noel Sánchez Práctica del segundo Parcial Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo Divisor Común: el divisor común de dos o más expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que divide exactamente a cada una de las expresiones dadas. Común múltiplo: el común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Máximo Común Divisor (M.C.D.): el máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es la máxima expresión que divide exactamente a cada una de las expresiones dadas. Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.): el mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es la mínima expresión algebraica que es divisible exactamente entre cada una de las expresiones dadas. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo para monomios Pasos:

1. Descomponer los coeficientes en sus factores primos. 2. El M.C.D. serán los factores comunes con su menor exponente. 3. El M.C.M. serán los factores comunes y no comunes, y de los comunes se

toma el de mayor exponte. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo para polinomios Pasos:

1. Factorizar. 2. El M.C.D. serán los factores comunes con su menor exponente. 3. El M.C.M. serán los factores comunes y no comunes, y de los comunes se

toma el de mayor exponte. Fracciones algebraicas Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas.

Expresión algebraica entera: es la que no tiene denominador literal.

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Expresión algebraica mixta: es la que consta de una parte entera y una fraccionaria.

Reducción de fracciones: es cambiar su forma sin cambiar su valor. Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí. Pasos:

1. Factorizar. 2. Eliminar los factores iguales entre el numerador y el denominador.

Operaciones con fracciones algebraicas Suma y Resta: al igual que en las fracciones numéricas, para sumar dos o más fracciones algebraicas se debe determinar el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores, y luego simplificar.

Multiplicación y División Pasos:

1. Factorizar. 2. Eliminar los factores iguales entre el numerador y el denominador.

Fracciones Compuestas Ej.: Simplificar:

División de polinomios La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). El cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.

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Para dividir dos polinomios el grado del dividendo debe ser mayor que el grado del divisor. Regla para dividir dos polinomios:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del

divisor y tendremos el primer término del cociente.

3. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el

producto se resta al dividendo, para lo cual se cambia el signo, escribiendo

cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no

tiene término semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le

corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor.

4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y

tendremos el segundo término del cociente.

5. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el

producto se resta del dividendo, cambiando los signos.

6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del

divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta

el que el grado del resto sea menor que el grado del divisor.

Ejemplo: Hallar el cociente y el residuo:

División sintética o regla de Ruffini- Horner Esta regla solo se puede aplicar cuando el divisor es un binomio de primer grado. Caso I: Divisor de la forma Pasos:

1. Igualar a cero el divisor y despejar a

Este número será el divisor.

2. Tomar los coeficientes del dividendo y colocarlos en la tabla. El primer

coeficiente del dividendo se baja igual, y este número multiplica al divisor

y este resultado se le suma al próximo al término del dividendo. El

procedimiento se repite hasta a llegar al último término del dividendo. El

ultimo termino será el residuo y los demás los coeficientes del cociente, el

cual será un grado menor que el grado del dividendo.

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Caso II: Divisor de la forma Pasos:

1. Igualar a cero el divisor y despejar a

Este número

será el divisor.

2. Tomar los coeficientes del dividendo y colocarlos en la tabla. El primer

coeficiente del dividendo se baja igual, y este número multiplica al divisor

y este resultado se le suma al próximo al término del dividendo. El

procedimiento se repite hasta a llegar al último término del dividendo. El

ultimo termino será el residuo y los demás términos divididos entre

serán los coeficientes del cociente, el cual será un grado menor que el grado

del dividendo.

Ejemplo: Hallar el cociente y el residuo por división sintética

Teorema del residuo

El residuo de dividir un polinomio entero y racional entre un binomio de la forma se obtiene sustituyendo en el polinomio dado ECUACIONES Igualdad: es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ecuación: es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Identidad: es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. Miembros: son los lados de una ecuación o identidad. El primer miembro de una ecuación o identidad es la expresión que está a la izquierda del signo de igualdad, y el segundo miembro, es la expresión que está a la derecha. Clases de ecuaciones: Ecuación numérica: es una ecuación que la única letra que tiene es la incógnita. Ecuación literal: es una ecuación que además de las incógnitas tiene otras letras que representan cantidades conocidas. Ecuación entera: es cuando ninguno de sus términos tiene denominador.

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Ecuación fraccionaria: es cuando algunos o todos sus términos tienen denominador. Grado: el grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente que tiene la incógnita en la ecuación. Raíces o soluciones: las raíces o soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita que verifican o satisfacen la ecuación. Resolver la ecuación es hallar sus raíces, es decir el valor o los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación. Axioma fundamental de las ecuaciones Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados serán iguales. Reglas:

1. Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la igualdad no se altera.

2. Si a los dos miembros de una ecuación se multiplica o divide por una misma cantidad, la igualdad no se altera.

3. Si los dos miembros de una ecuación se elevan por una misma potencia o se le extrae una misma raíz, la igualdad no se altera.

La transposición de términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro al otro. Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita Paso:

1. Se efectúan las operaciones indicadas, si las hay. 2. Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todos los

términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.

3. Se reduce términos semejantes en cada miembro. 4. Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el

coeficiente resultante de la incógnita.

Ecuaciones fraccionarias de primer grado con una incógnita Para eliminar los denominadores en las ecuaciones fraccionarias se debe multiplicar por el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de los denominadores.

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Problemas sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejemplos:

1) La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los números. 2) La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 años.

Hallar ambas edades. 3) La edad de Enrique es la mitad de la Pedro; la de Juan el triple de la de

enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años, ¿qué edad tiene cada uno?

Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Una ecuación de segundo es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita es 2. Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma: Si la ecuación tiene todos sus términos se dice que es completa. Si a la ecuación le falta el segundo termino o el tercer término , se dice que es incompleta. Raíces de una ecuación de segundo grado: son los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Fórmula general de segundo grado La ecuación de segundo grado de la forma: Se resuelve con la fórmula general:

Esta ecuación se puede demostrar por el método de completar cuadrados. Problemas sobre ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Ejemplo: La longitud de un terreno excede a su ancho en 1m. Si el lado

mayor se aumenta en 5 m y el menor en dos, el área será el triple.

Determinar las dimensiones del terreno.

Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaciones simultáneas de primer grado con dos o más incógnitas Dos o más ecuaciones con dos más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Ecuaciones equivalentes o dependientes: son las que se obtienen una de la otra. Son equivalentes ya que una se obtiene de la otra mediante la multiplicación por un número. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones. Ecuaciones independientes: son las que no se obtienen una de la otra. Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común son simultáneas. Sistemas de ecuaciones: es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

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Solución: La solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Resolución

Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas, se debe reducir el sistema a una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Este procedimiento se llama eliminación. Métodos de eliminación:

1. Igualación 2. Sustitución 3. Reducción

Ejemplo: Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

1)

Problemas sobre sistemas de ecuaciones simultáneas Ejemplo: En un cine hay 700 personas entre adultos y niños. Cada adulto pagó $40 y cada niño $15 por su entrada. Le recaudación es de $1,800. ¿Cuántos adultos y cuántos niños hay en el cine?

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Práctica Segundo Parcial Matemática Básica MAT-014 Semestre: 2014-2 Profesor: Noel Sánchez I) Hallar el MCD y el MCM: II) Simplificar

III) Simplificar

IV) Simplificar

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V) Dividir: VI) Hallar el cociente y el residuo por división sintética:

VII) Resuelva las siguientes ecuaciones

VIII) Resuelva los siguientes problemas

1. La suma de dos números es 540 y su diferencia 32. Hallar los

números. Sol.:286 y 254

2. La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suma

40 años. Hallas las edades. Sol.: Pedro: 30 años y Juan: 10 años.

3. La edad de María es el triple de la de Rosa mas quince años y

ambas edades suman 59 años. Hallar las edades. Sol.: María: 48

años y Rosa: 11 años.

4. La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triple

de la de Enrique y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las

cuatro edades suma 132 años, ¿Qué edad tiene cada uno? Sol.:

Pedro:22años, Enrique: 11 años, Juan: 33 años y Eugenio: 66

años.

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5. La edad de B es los 3/5 de la edad de A, y si ambas edades se

suman, la suma excede en 4 años a doble de la edad de B. Hallar

ambas edades. Sol.:A=10 años y B=6 años

6. Después de gastar 1/3 y 1/8 de lo que tenia me quedan $39.

¿Cuánto tenia? Sol.: $72

7. Tenía cierta suma. Gasté 3/4 en trajes y 2/3 de lo que me quedo

en libros. Si lo que tengo ahora es $380 menos que 2/5 lo que

tenía al principio, ¿Qué cantidad tenía en un principio? Sol.:

$1,200

8. Después de vender los 3/5 de una pieza de tela me quedad 40m

¿Cual era la longitud de la tela? Sol.:L=100m

IX) Resuelva las siguientes ecuaciones de segundo grado por la fórmula general

X) Resuelva por la formula general y factorización:

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VIII) Resuelva los siguientes problemas

1. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada

dimensión se aumenta en 4 m en el área será el doble. Hallar las

dimensiones de la sala. Sol.:12mx8m

2. La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102.

Hallar ambas edades. Sol.: 17 y 6 años.

3. Una persona compro cierto número de libros por $1,800. Si

compra 6 libros menos por el mismo dinero, cada uno le cuesta

$10 más. ¿Cuántos libros compro y cuánto le costó cada uno?

Sol.:36 libros a $50.

4. Un hombre compro cierto número de naranjas por $150. Se

comió 5 naranjas y vendiendo las restantes a un $1 más de lo que

le costó cada una recupero lo que había gastado. ¿Cuántas

naranjas compro y a qué precio? Sol.: 30 naranjas a $5.

5. Un tren ha recorrido 200 km en cierto tiempo. Para haber

recorrido esa distancia en una hora menos, la velocidad debió

haber sido 10 km más por hora. Hallar la velocidad del tren. Sol.:

40 km/hora.

6. Los gastos de una excursión son $9,000. Si desisten de ir tres

personas, cada una de las restantes tendría que pagar $100 más.

¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada uno?

Sol.: 18 personas a $500.

7. Compré cierto número de libros por $400 y cierto número de

plumas por $400. Cada pluma me costó $10 cada más que cada

libro. ¿cuántos libros compre y a qué precio si el número de

libros excede el de plumas en 2? Sol.: 10 libros a $40.

XI) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

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X) Resuelva los siguientes problemas

1. En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de un niño cuestan $512. Si

por 17 entradas de niño y 15 de adultos se pagó $831, hallar el

precio de entrada de un niño y de un adulto. Sol.: Adulto: $35 y

niño: $18.

2. Un hombre tiene $404 en 91 monedas de $5 y de a $4. ¿Cuántas

monedas son de $5 y cuántas de a $4? Sol.: 40 de $5 y 51 de a $4.

3. Si Pedro le da a Juan $3, ambos tienen igual suma, pero si Juan le

da a Pedro $3, este tiene 4 veces lo que le queda a Juan. ¿cuánto

tiene cada uno? Sol.: Pedro: $13 y Juan: $7.

4. La edad actual de un hombre es los 9/5 de la edad de su esposa,

y dentro de 4 años la edad de su esposa será los 3/5 de la suya.

Hallar ambas edades actuales. Sol.: Hombre: 36 años y Esposa:

20 años.

5. Cinco Kilos de azúcar, 3 de café y 4 de frijoles cuestan $118; 4 de

azúcar, 5 de café y 3 de frijoles cuestan $145; 2 de azúcar, 1 de

café y 2 de frijoles cuestan $46. Hallar el precio de un kilo de

cada mercancía. Sol.: Azúcar: $6/Kilo, Café: $20/Kilo y Frijoles

$7/kilo.

Respuestas Tema I

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Tema II

Tema III

Tema IV

Tema V Tema VI

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