- 40 -

계 선형 상미분방정식2

1. 계 제차 선형 상미분방정식2

2"#$!′′ + q"#$!′ + r"#$!&5 "2"#$ ≠5$ ⇔ !′′+ c"#$!′ + s"#$!&5 "표준형$

계 제차 선형 상미분방정식의 기본 정리[2 ]

!3* !- 가 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 의 해라면

!&/3!3 + /- !- "/3 * /- 는 임의의 상수$

은 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 의 해이다 .

증명:

주의 계 제차 선형 상미분방정식의 기본 정리는 비제차 비선형에서는 성립하지 않는다: 2 , .

예: ( ) ㄱ !3 &3 + /0'#* !- &3 + '()# 는 비제차 미분방정식 !′′ + !&3 의 해이다 그러나 .

!3 + !- 는 주어진 비제차 방정식의 해가 아니다 .

( ) ㄴ !3 &3* !- &#- 는 비선형 미분방정식 !!′′ . #!′&5 의 해이다 그러나 .

!3 + !- 는 주어진 비선형 미분방정식의 해가 아니다 .

- 41 -

정의: !3 * !- 가 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 의 해라고 하자 이 때 . ,

6!3!-≠상수 또는 6!-

!3≠상수

이면 두 해 !3 과 !- 는 일차 독립한해라고 말한다 이 경우 .

!&/3 !3 + /- !- "/3* /-는 임의의 상수$

를 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 의 일반해라고 부른다 만일 어 . 떤 구간 t 위에서 c"#$* s"#$ 가 연속함수이면 일반해가 계 제차 선형 상미분방정식 2

!′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 의 모든 해이다 상수 . /3* /- 에 어 떤 특정한 수를 대입하여 얻

어진 해를 우리는 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 의 특수해라고 부 른다 그리고 . u!3 * !-v 를 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 의 해집 합의 기저라고 부른다 .

기저 구하기: !3 이 계 제차 선형 상미분방정식 2 !′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 표준형 의 알려진 한 ( ) 해라면

!3 의 일차독립한 한 해 !- 는 다음처럼 표현된다 .

!- &!3C6!3-

@.Cc"#$7#

7#

증명 일차독립한 해 : !- 를 !- &1!3라고 표현하면

- 42 -

주의: !3 의 일차독립한 해는 무수히 많다 따라서 적당한 가장 간단한 일차독립한 해를 구해서 . ( )

일반해를 구하면 된다 .

- 43 -

문제: !3 &# 는 계 재차 선형 상미분방정식 2 "#- . #$!′′ . #!′ + !&5 의 한 해이다 이 주어 . 진 미분방정식의 일반해를 구하시오 .

계 제차 선형 상미분방정식의 초기값 문제2 :

!′′ + c"#$!′ + s"#$!&5* !"#5$ &w5 * !′"#5$ &w3

- 44 -

계 비선형 상미분방정식은 적절한 치환을 통하여 계 상미분방정식으로 변환시켜 해를 구한다2 1 .

!′&67#7!&1 ⇒ !′′&67#

71 또는 !′′&67#71&67!

7167#

7!&167!

71

문제 다음 계 상미분방정식을 계 상미분방정식으로 변환시켜 해를 구하시오: 2 1 .

( ) ㄱ !′′&3 + "!′$-

( ) ㄴ !!′′&J"!′$-

- 45 -

( ) ㄷ !′′ + "!′$, '()! &5

( ) ㄹ #!′′ + -!′ + #!&5

( ) ㅁ "3 . #-$!′′ . -#!′ + -!&5* !3 &#

- 46 -

상수 계수를 계 제차 선형 상미분 방정식2

<!′′ + =!′ + /!&5 "<≠5* =* / 는 임의의상수$

의 해를 구할 때 우선적으로 , !&@x# "x는 상수$를 해로 시도해 보면

!′&x@x#* !′′&x-@x# 이고 이를 주어진 미분방정식에 대입하면

@x#"<x- + =x + /$ &5 ⇒ <x- + =x + / &5 "특성 방정식$

을 얻는다 여기서 근의 공식을 통하여 . x 값을 결정하면 주어진 미분방정식의 일반해를 구할 수 있 고 이 경우에는 일반해가 모든 해 이므로 다른 형태의 해는 존재하지 않는다, (why?) .

특성 방정식 <x- + =x + / &5 의 해를 구하면

x3 &6-<.= + l6=- . J</

* x- &6-<

.= . l6=- . J</"y&=- . J</ p판별식$

이다.

경우( ) 1: ㄱ yE5

!3 &@x3#* !- &@

x-# 는 6!3!-&@"

x- . x3$# ≠상수 "∵x3≠x- $ 이므로 일차독립한 해들이

다 따라서 일반해는 다음처럼 표현된다 . .

!&G@x3# + m@x-# "G* m는 임의의 상수$

경우( ) 2: ㄴ y&5

!3 &@. 6-<

=#

이 한 해이다 이 때 . , !3의 일차독립한 한 해 !-는 공식을 통하여 다음처럼 주

어진다 .

!- &#!3 &#@.6-<=#

그러므로 !&@.6-<

=#"G + m#$ 가 일반해이다 .

- 47 -

경우( ) 3: ㄷ yF5

우리는 서로 다른 두 해를 가진다.

x3 &6-<.= + l6.y (

* x- &6-<

. = . l6.y ("(&l6. 3 $

이므로 !3 * !- 를 다음처럼 표현할 수 있다 .

x3 &2 + q (* x- &2 . q ( "2&6-<

.=* q&6-<

l6.y≠5$

따라서 서로 일차 독립한 두 해

!3 &@"2 + q($# ⇒ !, &@

2# /0' q #

!- &@"2 . q($# ⇒ !J &@

2# '() q# 오일러 공식 ( )

!, * !J 를 얻는다 .

그러므로 일반해는 다음처럼 표현된다.

!&@2#"G/0' q# + m'() q#$ "G* m는 임의의상수$

문제 다음 미분방정식의 해를 구하시오: .

( ) ㄱ !′′ + !′ . -!&5* !"5$ &J* !′"5$ & . I

- 48 -

( ) ㄴ !′′ + -!′ + !&5* !"5$ &J* !"5$ & . H

( ) ㄷ !′′ + J!′ + I!&5* !"5$ &-* !′"5$ & . I

- 49 -

모델화 용수철 질량 문제 자유진동: - ( )

-

D"용수철상수$E5 +

완전히 늘어난 상태 ' "!&5$

추 평형상태 !

["추의 질량$E5

운동상태

뉴톤의 제 운동법칙2 :

힘 질량 가속도 (Force)= ( [mass]) ( [acceleration]

즉, :&[<

비감쇠 비강제하에서 용수철 운동(1) ,

비감쇠란 용수철이 주변 환경 그리고 시간에 영향을 받지 않는 상태를 의미하고,비강제란 외부에서 용수철에 작용하는 힘이 없는 상태를 의미한다.

평형상태에서의 후커 법칙(Hooke) : D'&[A "A&지구의 중력가속도$

D'위로향하는힘* [A&아래로 향하는 힘

운동상태에 있는 용수철에 가해지는 힘 &아래로향하는힘+위로향하는힘

그러므로, [!′′&[A . D"' + !$ 이다.

- 50 -

따라서 후커 법칙에 의하여

[!′′& . D! 즉* [!′′ + D!&5 이다 .

그러므로 위의 미분방정식을 풀면 용수철 운동은 다음처럼 주어진다.

!"%$ &G/0'{5 % + m'(){5 % "G*m는임의의상수* {5 &l66[

D$

이 운동은 조화 자유진동 이라고 불린다(Harmonic Oscillation) .

K&l6G- + m- * |&<R/%<)"6Gm $ &%<). 3"6G

m $ 라고 놓으면 위의 운동은 다음처럼 보다 간단히

표현된다.

!"%$ &K /0' "{5 % . |$

주파수 진동수( )[frequency] &6주기3

& 6-j

{5"주기 & 6{5

-j$ , K&진폭"<[c>(%17@$

추의 무게(Weight) = }&[A&D' "단위&)% &DA6'@/-[$

주위: 무게N>="c01)7$O ⇔ A&,-6'@/-9%* 질량NDA O ⇔ A&ZkX6

'@/-[* 질량NA O ⇔ A&ZX56

'@/-/[

여기서 무게는 추의 무게 질량은 추의 질량이고 , , A 는 지구의 중력 가속도를 의미한다 .

그리고 3-9% &3- 이다 평형상태 윗 지점은 이고 아랫 지점은 이고 상향inch . (-) , (+) ,

속도는 이고 하향속도는 이다 (-) , (+) .

문제 무게가 : ZX)%N약-- >="파운드$O인 아이런 볼이 용수철을 (iron) 3k5Z["약 J,인치$ 늘린다 . 이 평형상태에서 용수철을 추가로 3H /[ 아래로 늘린 다음 초기 속도를 5 으로 주고 용수철 을 놓아았다 비감쇠 비강제 상태에 있는 용수철의 운동을 구하시오 . , .

- 51 -

문제: -파운드의 무게를 가지는 추가 용수철을 H인치만큼 늘린다. % &5일 때 질량은 평형위치로 ,

부터 X인치 내려간 지점에서 6J,6'@/

9% 의 상향속도를 가진다 비감쇠 비강제 상태에 있는 용수 . ,

철의 운동 방정식 을 구하시오 그리고 주파수 진폭을 구하시오 ( ) . , .

- 52 -

감쇠 비강제하에서 용수철의 운동(2) ,

감쇠란 용수철이 주변 환경 그리고 시간에 영향을 받는 상태를 의미한다 , .

용수철의 감쇠상수를 / "/E5$ 라 놓으면 용수철의 감쇠력은

/ !′ "!&추가로늘어난용수철의길이$ 이다 .

따라서 운동 상태에 있는 용수철의 작용하는 힘은 다음처럼 주어 진다.

힘&비감쇠에서작용하는힘 . 감쇠력

그러므로

[!′′& .D! . /!′ 즉* [!′′ + /!′ + D!&5

위의 미분방정식의 특성방정식은

[x- + /x + D&5 이고 판별식은 , y&/- . J[D 이다 .

( ) ㄱ yE5 이면 용수철의 운동 유형은 과감쇠라고 부른다 .

( ) ㄴ yF5 이면 용수철의 운동 유형은 저감쇠라고 부른다 .

( ) ㄷ y&5 이면 용수철의 운동 유형은 임계감쇠라고 부른다 .

- 53 -

문제 감쇠 상태에 있으면서 무게가 : ZX)%N약-- >="파운드$O인 아이런 볼이 용수철을 (iron) 3k5Z[ "약 J,인치$ 늘린다 이 평형상태에서 용수철을 추가로 . 3H /[ 아래로 늘린 다음 초

기 속도를 5 으로 주고 용수철을 놓아았다 감쇠상수 . / 가 다음처럼 주어질 때 비강제 상태 에 있는 용수철의 운동을 구하시오 .

( ) ㄱ / &355 6'@/

DA ( ) ㄴ / &H56'@/

DA ( ) ㄷ /&356'@/

DA

- 54 -

문제: X파운드 무게의 추가 용수철을 -피트 늘어나게 한다 순간속도의 두 배와 같은 값의 감쇠력. 이 자유진동계에 작용한다고 가정하고 추를 평형위치에서 , , 9%~' 의 하향속도로 놓았을 때 비강제 상태에 있는 자유진동계의 운동 방정식을 구하시오 그리고 운동 유형을 기술하시오. .

- 55 -

문제: 3H파운드 무게의 추가 I 9% 길이의 용수철에 매달려 있다 평형상태에서 용수철을 재니 . Xk- 9% 였다 추를 밀어 올려 평형위치 위 . - 9% 지점에서 정지시켰다가 놓았다 주변 매체 .

가 순간속도와 같은 저항력 감쇠력 준다고 알려져 있을 때 비강제 상태에 있는 용수철 질 ( ) , -량 계의 변위 운동 방정식 를 구하고 운동 유형을 기술하시오 ( ) , .

- 56 -

오일러 코시 방정식-

미분방정식 #-!′′ + <#!′ + =!&5 "<* =는 임의의상수$ 을 우리는 오일러 코시 방정식이 -라고 부른다.

오일러 코시 방정식의 해를 구하는 법-

해로써 !&#[ "≠5$ 을 시도한다 그러면 .

!′&[#[. 3* !′′&["[ . 3$#[ . - 이고 이를 주어진 방정식에 대입하면 ,

#[N[- + "< . 3$[ + = O &5 이다 . #[≠5 이므로 우리는 다음 특성방정식을 가진다 .

[- + "< . 3$[ + = &5

위의 차 방정식의 판별식은 2 y&"< . 3$- . J= 이다 .

경우( ) : ㄱ yE5 ⇒ [&[3* [&[- "[3≠[- $

해 : !3 &#[3* !- &#

[-

[3 ≠[- 이므로 이 들 해는 일차독립이다 그러므로 일반해는 다음처럼 주어진다 . .

!&G#[3 + m#[-

주의 오일러 코시 방정식의 일반해 이외에 어떠한 해도 가지지 않는다: - .(Why?)

경우( ) : ㄴ y&5 ⇒ [&6-

3 . <

해 : !3 &#6-

3 . <

차수 줄이기 공식에 의해서 !3 에 일차독립한 해 !- 는 다음처럼 주어 진다 .

!- &#6-3 . <

>)#

그러므로 일반해는 다음처럼 주어 진다 . !&#6-

3 . <

"G + m >)#$ "G*m 는 임의의 상수$

- 57 -

경우( ) : ㄷ yF5 ⇒ [&2 ± q( "q≠5* (&l6. 3 $

해 : !3 &#2 + q( * !- &#

2 . q(

오일러 공식을 이용하면 우리는 해 !3 * !- 를 보다 친숙한 형태의 해로 변환시킬 수 있다 .

!, &#2/0'"q>)#$* !J &#2 '()"q>)#$

q≠5 이므로 !, 와 !J 는 명백히 일차도립한 해들이다 .

그러므로 일반해는 다음처럼 주어진다 .

!&#2 NG/0'"q>)#$ + m'()"q >)#$ O

문제 다음 미분방정식의 해를 구하시오: .

( ) ㄱ #-!′′ . H!&5

( ) ㄴ J#- !′′ + J#!′ . !&5

- 58 -

( ) ㄷ #-!′′ + ,#!′ + !&5

( ) ㄹ #- !′′ . J#!′ + H!&5* !"3$ &3* !′"3$ &5

( ) ㅁ #-!′′ + ,#!′ + !&5* !"3$ &J* !′"3$ & . -

- 59 -

정리 미분방정식 : !′′ + c"#$!′ +s"#$!&5 "여기서* c"#$* s"#$는연속함수$ 의 두 해 !3 과

!- 가 일차독립이기위한 필요충분 조건은 !3 과 !- 의 론스키안 (Wronskian)

}"!3 * !-$ & f f!3 !-!3 ′ !-′

&!3!- ′ . !- !3′ ≠ 5

이다 .

비제차 계 선형 표준형 상미분방정식2

"∗$ !′′ + c"#$!′ + s"#$!&R"#$ "c"#$ * s"#$* R"#$≠ 5 는 연속함수$

우리는 위의 미분방정식의 일반해를 구하고자 한다.

정리 위의 미분방정식의 일반해는 다음처럼 표현된다: .

!"#$ &!;"#$ + !c "#$

여기서 , !;"#$ 는 "∗$ 의 제차 방정식의 일반해이고 , !c "#$ 는 "∗$ 의 특수해이다 .

증명: !∗ 는 "∗$ 의 임의의 해라고 하자 그러면 . !∗. !c 는 "∗$ 의 제차 방정식의 해이다 .

그러므로 !∗ . !c "#$ &!; "#$ 로 표현된다 .

따라서 , !∗ &!;"#$ + !c "#$ 로 표현된다 증명 끝 . [ ]

주목: "∗$ 의 재차 방정식의 일반해를 구하는 것은 비교적 쉽지만 "∗$ 의 특수해를 구하는 것은

쉽지 않다 따라서 특수해를 구하는 방법을 찾아야만 한다 . .

- 60 -

"∗$ !′′ + c"#$!′ + s"#$!&R"#$ "c"#$* s"#$* R"#$ ≠5 는 연속함수$ 의 특수해 !c "#$

를 구하는 법

미정계수법 미정계수법은 입력함수 (1) : R"#$ 에 의존한다 따라서 매우 제한적이지만 계산하기가 . 비교적 쉽다 .

기본규칙( ) ㄱ

입력함수 R"#$ 특수해 !c "#$ 의 선택

D@2# G@2#

D#) ")&5* 3* -* ⋯$ G)#) + G).3#).3 + ⋯ + G3# + G5

,#- . - G#- + m# + K D/0'{# G/0'{# + m '(){# D'(){# G/0'{# + m '(){# -'(),# G /0' ,# + m'() ,#

D@2#/0'{# @2#"G/0'{# + m'(){#$

D@2#'(){# @2#"G/0'{# + m '(){#$

,@I#'()J# @I#"G/0'J# + m '()J#$

#-@,# "G#- + m# + K$@,#

#@,# /0'J# "G# + m$@,#/0'J# + "K# + y$@,#'()J#

특수해 !c "#$ 를 주어진 비제차 방정식에 대입하여 !c "#$ 의 상수들을 결정함으로써 특수해 !c"#$

를 구한다 미정계수법에 적용되는 입력함수 . R"#$ 는 어떤 특수한 미분규칙을 가진다 예를 들면 . R"#$ &'@/# 이면 R"#$ 는 특수한 미분규칙을 가지지 않으므로 미정계수법을 이용할 수 있다 미정 . 계수법을 이용할 수 없을 때 우리는 나중에 소개하는 매개변수변환법을 이용한다.

문제 다음 초기값 문제의 해를 구하시오: .

(a) !′′ + !&#-* !"5$ &5* !′"5$ &-

- 61 -

(b) !′′ . X!′ + -I!&I#, @.# . L@. #

- 62 -

(c) !′′ + J!&#/0'#

- 63 -

수정규칙( ) ㄴ

비제차 미분방정식의 입력함수 R"#$ 가 비제차 미분방정식의 제차 부분의 일반해에 나탄나면 원래 선택한 특수해 !c "#$ 에 # 를 곱해서 이용하는 데 만일 #!c"#$ 가 또 비제차 미분방정식의 제차 부

분의 일반해에 나탄나면 #-!c"#$ 를 이용한다 이 경우에 ( #-!c"#$ 는 비제차 미분방정식의 제차 부 분의 일반해에 나타나지 않는다.)

#!c "#$ ⇒ #-!c"#$ ⇒ #

,!c "#$ ⇒ ⋯ 등 등

문제 다음 미분방정식의 해를 구하시오: .

(a) !′′ . -!′ + !&@#

- 64 -

(b) !′′ + !&35'()#* !"j$ &5* !′"j$ &-

- 65 -

합의 규칙( ) ㄷ

예를 들어 입력함수 R"#$ &J# + 35 /0'# 인 경우에 특수해 !c "#$ &!c3"#$ + !c-

"#$,

!c3"#$ &G# + m, !c- "#$ &K/0'# + y'()# 로 구분해서 특수해 !c "#$ 를 구할 수 있다 .

또는 구분하지 않고 특수해로써 !c"#$ &G# + m + K /0'# + y'()# 를 선택하여 특수해를 구

할 수 있다.

문제 다음 미분방정식의 해를 구하시오: .

(a) !′′ + J!′ + I!&-I#- + 3,'()-#

- 66 -

(b) !′′ + !&J# + 35'()#* !"j$ &5* !′"j$ &-

- 67 -

© !′′ . H!′ + Z!&H#- + - . 3-@,#

- 68 -

(d) !",$ + !′′&@# /0'#

- 69 -

매개변수변환법(2)

입력함수 R"#$ 의 도함수가 어 떤 특수한 규칙을 가지지 않을 때 우리는 매개변수변환법을 이 용한다 미정계수법이 가능할 때는 매개변수변환법을 이용하는 것 보다는 미정계수법을 이용하는 . 것이 비교적 계산이 쉽다 여하튼 매개변수변환법은 모든 입력함수에 이용할 수 있다 하지만 경 . . 우에따라 계산시 적분을 해야 하는 데 이적분 계산이 용이치 않을 때가 있다 .

"∗$ !′′ + c"#$!′ + s"#$!&R"#$ 비제차 계 선형 [ 2 ODE]

(a) "∗$의 재차 부분 !′′ + c"#$!′ + s"#$!&5 의 일반해 !;"#$가

!;"#$ &G!3"#$ + m!- "#$

로 표현되면 특수해 , !c"#$를 다음처럼 선택한다.

!c "#$ &13 "#$!3"#$ + 1- "#$!-"#$ "13 "#$* 1-"#$ 는 어떤미지의함수$

지금 우리는 미지의 함수 , 13"#$* 1-"#$를 구해야만 한다.

미지의 함수 13"#$* 1-"#$를 구하기 위해서 우리는 다음 조건을 만족하는 특수해 !c"#$를 구

한다 .

13 ′"#$!3"#$ + 1-′"#$!-"#$ &5 ( )ㄱ

한편 , !c"#$ 를 "∗$ 에 대입하여 우리는 다음 방정식을 얻어낸다 .

13′"#$!3 ′"#$ + 1- ′"#$!- ′"#$ &R"#$ ( )ㄴ

크래머 규칙을 이용하여 의 연립 미분방정식으로부터 우리는 (Cramer) ( ), ( )ㄱ ㄴ

미지의 함수 13"#$* 1-"#$를 다음처럼 공식화 할 수 있다.

13 "#$ &C6}"!3 * !-$. !-"#$R"#$

7#* 1- "#$ &C6}"!3 * !-$!3"#$R"#$

7#

여기서 }"!3 * !-$ &f f!3 "#$ !- "#$

!3′"#$ !- ′"#$ (Wronskian)

- 70 -

문제 다음 미분방정식의 해를 구하시오: .

(a) !′′ + !&'@/#

- 71 -

(b) !′′ + Z!&6J/'/ ,#

- 72 -

© #-!′′ . #!′ + !&#>)?#?

(d) #-!′′ + #!′ . J!&6#-3

- 73 -

(e) #-!′′ . -#!′ + -!&#, '()#

- 74 -

전기회로RLC-

K

a � � �"%$ &�5'(){%

�t ′"%$ + at "%$ + 6K3"̀%$ &�"%$ N "̀%$ &Ct"%$7%O

여기서, t"%$ 는 시간 % 에서 전류를 의미하고 , "̀%$ t"%$ 는 시간 % 에서 전하를 의미하고 , a 은

옴의 저항, � 은 인덕턴스 , K 는 커패시턴스 , at * �t ′* 6K3` 세 양은 전압강하를 뜻하고 , a 의

단위는 옴"�$, � 의 단위는 헨리 "�$, K 의 단위는 패럿 ":$ 이다 .

적분기호를 없애기 위해 시간 , % 에 관하여 양변을 미분하면

�t ′′"%$ + at ′"%$ + 6K3t"%$ &� ′ "%$ &�5 { /0' {%

전기 시스템 역학 시스템

인덕턴스 � 질량 [

저항 a 감쇠상수 /

커패시턴스의 역수 6K

3 용수철 상수 D

전류 t"%$ 변위 !"%$

- 75 -

문제: a&33�* �&5k3�* K&5k53: 을 갖고 �"%$ &355'() J55 % 인 전압원에 연결된 a�K 회 로에서 전류 t"%$ 를 구하시오 여기서 . [ , % &5 일 때 전류와 전하는 5 이다 .]

- 76 -

변환 안 상욱Laplace

정의 함수 : 9 가 % ≥5 에서 정의될 때 적분 , ℒ"9"%$$ &C5

∞

@.'%9"%$7% 가 수렴한다면 앞에 언급 ,

한 이상적분을 함수 9 의 변환 이라고 말한다 이 경우에 Laplace (Laplace Transform) . 우측 이상적분은 ' 에 관한 함수이므로 ℒ"9"%$$ &:"'$ 로 표현한다 그리고 . 9"%$ 를 :"'$ 의 역변환이라하고 이를 다음처럼 표현한다 Laplace .

9"%$ &ℒ.3":"'$$.

그러므로 , ℒ.3"ℒ"9"%$$$ &9"%$ 이고 ℒ"ℒ.3":"'$$$ &:"'$ 이다 .

이상적분의 정의: 9"#$ 가 N<* ∞$ 에서 정의된 연속 함수라고 하자 .

C<

∞

9"#$7# & lima→∞C<

a

9"#$7# 적분 ( C<

a

9"#$7# 는 미분적분학의 나타나는 보통적분 다 .)ㅇ

보기: (1) 9"%$ &3* 5≤% F∞ 일 때 9"%$ 의 변환 Laplace :"'$ &ℒ"9"%$$ 를 구하시오 .

ℒ"9"%$$ &ℒ"3$ &C5

∞

@.'%"3$7% & lim

a→∞C5

a

@.'%7% & lim

a→∞

d

ef. 6'3@.'%g

hi5

a

& lima→∞

d

ef. 6'3"6@'a3$ + 6'

3 g

hi

& 6'3"(9 'E5$

(2) 9"%$ &@<% * % ≥5 일 때 9"%$ 의 변환 Laplace :"'$ &ℒ"9"%$$ 를 구하시오 .

ℒ"@<%$ &C5

∞

@.'%@<%7% & lim

a→∞C5

a

@."' .<$%7% & lim

a→∞

d

ef.6'. <

3@."' .<$%g

hi5

a

& lima→∞

d

ef.6'. <

3"6@"' .<$a

3$ + 6' . <

3 g

hi &6' . <

3"(9 'E<$

- 77 -

정리 변환의 선형성: Laplace

% ≥5 에서 9"%$ 와 A"%$ 의 변환이 존재하면 임의의 상수 Laplace <* = 에대하여 다음 등식이 성립한다.

ℒ"<9"%$ + =A"%$$ &<ℒ"9"%$$ + =ℒ"A"%$$

증명:

문제: /0';<%* '();<% 의 변환을 각각 구하시오 Laplace .

문제: /0'{%* '(){% 의 변환을 각각 구하시오 Laplace .

- 78 -

문제: %) 여기서 ( ) 은 자연수 의 변환을 각각 구하시오 ) Laplace .

첫 번째 '.이동 정리: 'ED 인 어떤 D 에 대해서 ℒ"9"%$$ &:"'$ 이면

ℒ"@<%9"%$$ &:"' . <$ ⇔ @<%9"%$ &ℒ.3":"' . <$$

증명:

문제: @<%/0'{%* @<%'(){%* @<%/0';{%* @<%'();{%* @<%%) 의 변환을 각각 구하시오 Laplace .

- 79 -

변환의 존재성 함수 Laplace : 9"%$ 가 % ≥5 에서 너무 빨리 증가하지 않는다면 즉 ( , % ≥5 에서

?9"%$? ≤] @D% 를 만족시키는 상수 ]* D 존재하면 성장제한 조건 ( ))

9"%$ 의 변환은 존재한다 Laplace .

증명:

문제 첫 번째 : '.이동 정리를 이용하여 다음 함수 :"'$ 의 역변환 Laplace 9"%$ 를 구하시오 .

(a) 6"' . 3$JL

(b) 6"' . 3$- + Z

' . L

© 6'- + H' + ,J

-53I

(d) 6'- . L' + 35

,' . 3

(f) 6'-+ 35j' + -Jj-

3

- 80 -

도함수 적분의 변환 그리고 초기값 상미분방정식, Laplace

정리 도함수의 변환: Laplace

(1) ℒ"9′"%$$ & 'ℒ"9"%$$ . 9"5$

(2) ℒ"9′′"%$$ &'-ℒ"9"%$$ . '9"5$ . 9′"5$

(3) ℒ"9")$"%$$ &')ℒ"9"%$$ . ').39"5$ . '). -9′"5$ . ⋯ . 9"). 3$"5$

증명:

- 81 -

정리 적분의 변환 안 상 욱: Laplace

% ≥5 에서 9"%$ 는 성장제한 조건을 만족시키는 조각 연속이고 , :"'$ &ℒ"9"%$$ 이면

ℒ"C5

%

9"�$7�$ &6':"'$

⇔ C5

%

9"�$7� &ℒ.3"6':"'$ $ "'E5* 'ED* % E5$

증명:

문제 함수 : :"'$ 의 역변환 Laplace ℒ.3":"'$$ 를 구하시오 .

(a) 6'"'- + Z$3

(b) 6'-"'- + Z$

,

- 82 -

초기값 상미분방정식 안 상 욱

!′′ + <!′ + =!&R"%$, !"5$ &w5 , !′"5$ &w3 ⋯ (*)

여기서, R"%$ 는 입력함수 , !"%$ 는 출력함수라고 부른다 변환 해법은 제차 비제차를 구 .[Laplace , 분할 필요가 없다는 장점과 입력함수 R"%$ 가 복잡한 경우에도 손쉽게 해결할 수 있다는 장점을 가 지고 있다.

단계 [ 1] ℒ"!$ & � ⇔ !&ℒ.3"�$ 이 ! 가 우리가 구하고자하는 의 특수해이다 (*) .

의 양변에 변환을 택하면 (*) Laplace

ℒ"!′′$ + <ℒ"!′$ + =ℒ"!$ &ℒ"R"%$$ [ℒ 의 선형성 ]

ℒ"!′$ &'� . w5 * ℒ"!′′$ &'-� . 'w5 . w3

∴ "'- + <' + =$� & "' + <$w5 + w3 + a"'$ "여기서* a"'$ &ℒ"R"%$$$

단계 [ 2] "̀'$ &6'- + <' + =

3&6

"' + 6-< $-

+ = . 6J

<-3

�&�"'$ & N"' + <$w5 + w3 O "̀'$ + a"'$ "̀'$

단계 [ 3] !&ℒ.3"�$ 특수해 ( )

문제 다음 초기값 상미분방정식의 해를 구하시오: .

(a) !′′ . !&%* !"5$ &3* !′"5$ &3

- 83 -

(b) !′′ + L!′ + 3-!&-Z@,% * !"5$ &,* !′"5$ & . 35

© !′′ + !&-%* !"6Jj $ & 6-

j* !′"6J

j $ &- . l6- 힌트 [ : % . 6Jj&�% ]

- 84 -

문제 함수 : :"'$ 의 역변환 Laplace ℒ.3":"'$$ &9"%$ 를 구하시오 .

(a) 6', . j'-I

(b) 6'J + '

-

-

© 6'J . Z'-3

(d) 6'J + j-'-L

(e) 6', . ,'

-

35

정의 단위계단함수 : 1"% . <$ &u5* 5≤ % F<3* % ≥<

"<≥5$

정리: ℒ"1"% . <$$ &6'@.<'

"'E5$

증명:

- 85 -

두 번째 이동정리: :"'$ &ℒ"9"%$$ 이다 이 때 . ,

ℒ"9"% . <$1"% . <$$ &@.<':"'$ ⇔ 9"% . <$1"% . <$ &ℒ.3"@.<':"'$$

증명:

주목: ℒ"9"%$1"% . <$$ &@.<'ℒ"9"% + <$$

- 86 -

문제: ℒ.3":"'$$ 를 구하시오 여기서 . :"'$ &6'- + j-@.'

+6'- + j-@.-'

+6"' . -$-@.,'

이다.

- 87 -

문제: :"'$ &ℒ"9"%$$ 를 구하시오 여기서 .

9"%$ &

�

�

�

��-* 5≤% F3

6-

%-* 3 ≤%F 6-

j

/0'%* % ≥6-

j

- 88 -

문제 변환을 이용하여 다음 초기값 문제 상미분방정식의 해를 구하시오: Laplace .

(a) !′′ + ,!′ + -!&R"%$* !"5$ &5* !′"5$ &5

여기서 , R"%$ &���

�

�

3* 5≤% F3

5* % ≥3

- 89 -

(b) !′′ + !′ . -!&R"%$* !"5$ &3* !′"5$ &5

여기서 , R"%$ &���

�

�

, '()% . /0'%* 5 ≤% F-j

, '()-% . /0'-%* % ≥-j

- 90 -

© !′ + !&R"%$* !"5$ &I 여기서 , R"%$ &���

�

�

5* 5≤% Fj

,/0'%* % ≥j

- 91 -

(d) !′′ + !&9"%$* !"5$ &5* !′"5$ &3 여기서 , 9"%$ &

�

�

�

��

5* 5≤% Fj

3* j≤% F-j

5* % ≥-j

- 92 -

문제 함수 : :"'$ 의 역변환 Laplace 9"%$ 를 구하시오 .

(a) 6"' . 3$J3

(b) 6'- + -' + L

3

© 6'- + H' + ,J

-' + I

(d) 6'-"' + 3$

,

-' . 3

(e) 6"' + -$J"' + 3$-

- 93 -

문제 다음 미분방정식의 해를 구하시오: .

(a) !′ . !&3 + %@%* !"5$ &5

(b) !′′ . !&@%/0'%* !"5$ &5* !′"5$ &5

© !′′ . -!′ + I!&3 + %* !"5$ &5* !′"5$ &J

- 94 -

충격함수 안 상 욱(Dirac’s Delta Function)

(a) 9D"% . <$ &�

�

�

��6D

3* <≤%≤< + D

5* 5≤% F< 또는 % E< + D

(<E5)

(b) |"% . <$ & limD→59D"% . <$ &

���

�

�

∞* % &<

5* %≠<충격함수 ( )

정리: ℒ"�"% . <$$ &@. <'

증명:

- 95 -

문제 다음 초기값 문제의 해를 구하시오: .

(a) !′′ + ,!′ +-!&|"% . 3$* !"5$ &5* !′"5$ &5

(b) !′′ + ,!′ + -! &1"% . 3$ . 1"% . -$* !"5$ &5* !′"5$ &5

- 96 -

© !′′ + -!′ + -!&A"%$* !"5$ &3* !′"5$ & . I

여기서 , A"%$ &���

�

�

35'()- %* 5 ≤%Fj

5* % ≥j

- 97 -

(d) !′′ + !& .- '()% + 35 |"% . j$* !"5$ &5* !′"5$ &3

- 98 -

(e) !′′ + I!′ + H!&|"% . 6-j $ + 1"% . j$ /0'%* !"5$ &5* !′"5$ &5

- 99 -

정리: :"'$ &ℒ"9"%$$ 이고 , )&3* -* ,* ⋯ 이면

ℒ"%)9"%$$ & ". 3$)67')7)

:"'$ & ". 3$):")$"'$

증명:

- 100 -

주목: )&3 인 경우

ℒ"% 9"%$$ & . : ′"'$* 9"%$ &ℒ.3":"'$$ ⇒ %9"%$ & .ℒ

.3": ′"'$$ऀ

∴ ℒ.3":"'$$ & .6%

ℒ.3": ′"'$$

문제 다음 초기값 문제의 해를 구하시오: .

!′′ + 3H!&/0'J %* !"5$ &5* !′"5$ &3

문제: :"'$ &>)6'-

'- + {-"{≠ 5$ 의 역변환 Laplace 9"%$ 를 구하시오 .

- 101 -

문제 다음 의 해를 구하시오: Laguerre’s ODE .

% !′′ + "3 . %$!′ + )!&5

- 102 -

합성곱 안 상 욱

일반적으로, ℒ"9"%$A"%$$≠ℒ"9"%$$ℒ"A"%$$ 이다 .

정의: 9"%$ ∗A"%$ & "9∗A$"%$ &C5

%

9"�$A"% . �$7�,

우리는 "9∗A$"%$ 를 9"%$ 와 A"%$ 의 합성곱 이라고 부른다 (convolution) .

합성곱의 성질

(a) 9∗A&A∗9 (b) 9∗"A + ;$ &9∗A + 9∗;

© "9∗A$∗;&9∗"A∗;$ (d) 9∗5 &5∗9&5

증명:

주목: %∗3 &C5

%

"�$"3$7� & 6-

%-≠% 이므로 일반적으로 9∗3 ≠9 이다 .

- 103 -

합성곱 정리: 9"%$ 와 A"%$ 의 변환이 존재하면 Laplace

ℒ"9"%$∗A"%$$ & ℒ"9"%$$ℒ"A"%$$

이다 .

증명:

- 104 -

문제 역변환 : ℒ.3"6"'- + JZ$-

3 $ 을 구하시오 .

문제 다음 적분방정식 방정식 의 해를 구하시오: (Volterra ) .

(a) !"%$ . C!"�$ '()"% . �$ 7� & %

(b) !"%$ . C5

%

"3 + �$ !"% . �$7� & 3 . '();%

- 105 -

© !′ + H!"%$ + ZC5

%

!"�$7� &3* !"5$ &5

(d) !′"%$ &3 . '()% . C5

%

!"�$7�* !"5$ &5

(e) A"%$ + -C5

%

A"�$/0'"% . �$7�&J@.% + '()%

- 106 -

HONGIK UNIVERSITY May 6TH. 2015 An, SangWook (Today is a New Day)1. Let 9"%$ be piecewise continuous for % ≥5 and satisfy a growth restriction.

Prove that ℒuC5

%

9"�$7�v& 6'3:"'$,

where ℒ"9"%$$ &:"'$.2. Prove that the Laplace transform of a

piecewise continuous function 9"%$ with period c is ℒ"9$&63.@

.c'

3 C5

c

@.'%9"%$7%.

3. Find the inverse Laplace transform of :"'$& >)6'+-'+3 , and calculate the integral

C5

∞

6%

@.,%.@

.J%

7%.

4. Solve the initial value problem !″+-!′+-!&I|"%.-$* !"5$ &5* !′"5$ &3.5. (a) Assume that the Laplace transform of R"%$ exists. Show that the solution of the initial value problem !″+!&R"%$* !"5$ &G* !′"5$ &m

is !"%$ &G/0'% +m'()%+C5

%

'() "%.�$R"�$7�.

(b) In (a), when R"%$ &u3 (9 3 F %F-5 otherwise and G&m&3, solve the initial value

problem.

6. Consider a system of linear ODEs of !3 &!3"%$* !- &!- "%$, u!3′&!3 .J!-

!-′&!3 +!-+,@%

!3"5$ &,* !- "5$&5

Find �-"'$ &ℒ"!-"%$$ and !-"%$.

7. a) Prove that if ℒu9"%$v&:"'$, then ℒu9"%.<$1"%.<$v&@.<':"'$.

(b) Let R"%$&

�

�

�

��5 * 5F % F 6-

j

'()% * 6-

jF% Fj

3 * %Ej

Solve the initial value problem

!′.!&R"%$* !"5$ &5.8. (a) Prove that if ℒu9"%$v&:"'$ and ℒuA"%$v&�"'$, then

ℒuC5

%

9"�$A"%.�$7�v&:"'$�"'$.

(b) Solve !"%$.C5

%

!"�$/0';"%.�$7� & %. LOVE YOUR DREAM

- 107 -

HONGIK UNIV. MAY. 20Th.. 2015 AN, SangYook -Today is a New Day-APPLIED MATH(I)

1. Find the general solutions of #-!″+J#!′."#- .-$!&5.

(Note that '();#& �[&5

∞

6"-[+3$�

3#-[+3.)

2. Solve the ODE "#- +3$!″+#!′.!&5 by power series method. 3. Use power series method to solve the second order differential equation

!″ +"/0'#$! &5

and determine the first three nonzero terms.

4. Consider #-!″+I#!′+"#+J$! &5. Find a basis of solutions.

5. We have an ODE #-!″+#!′+"#- .�-$!&5 with a positive parameter �. (a) Find the indicial equation of the ODE with �&-.(b) Find a solution of the ODE with �&-. (c) What is your plan or idea to find out another solution that is linearly independent of your solution in (b)

6. Solve !″+"#.#-$!&5 and determine the first three nonzero terms. 7. Use power series method to solve a following ODEs !″+! &5 and !′& -#!8. Solve the ODE !″+@#! & 5.9. Solve the ODE #"#.3$!″+",#.3$!′+!& 510. Solve the ODE "#- .#$!″.#!′+! &5.11. Find the general solution of #!″+!&5 and determine the first three terms.

12. Solve the ODE "3.#- $!″.-#!′+-!& 5

LOVE YOUR DREAM