and rc circuits ch. 8 the complete response of rl 2007-10...

Ch. 8 The Complete Response of RL and RC Circuits

2007-10-05

부경대학교 전기제어계측공학부 1

2007-10-05 부경대학교 전기제어공학부 1


Chapter 8

The Complete Response of RL and RC Circuits

Chapter 8Chapter 8

The Complete Response of The Complete Response of RLRL and and RCRC CircuitsCircuits



- 미분방정식 : 캐패시터와 인덕터가 포함된 회로의 기술에 사용

- 1개의 캐패시터 또는 1개의 인덕터로 구성된 회로 : 1차 미분방정식(1차 회로)

Figure 8.0-1A plan for analyzing first-order circuits. (a) First, separate the energy storage elements from the rest of the circuit. (b) Next, replace the circuit connected to a capacitor by its Thévenin equivalent circuit, or replace the circuit connected to an inductor by its Norton equivalent circuit.

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Figure 8.0-2 (a) A circuit and (b) its complete response.

1차 회로 예

입력

출력(Response)

- 회로입력이 정현파 정상상태 출력 정현파

- 주파수 일치

- 스위치 동작 전, 정상상태의 출력 (캐패시터 전압)

( ),1000cos)( φ+= tBtv 0<t

스위치 동작 순간의 캐패시터 전압은 ?

( )φcos)0( Bvc =

과도상태 정상상태

스위치 동작 후의 커패시터 전압 표현식

( )δτ ++=−

tMKetvt

c 1000cos)(


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Complete response = natural response + forced response

Complete Response = Transient Res. + Steady-state Res.

입력을 영으로 둘 때,1차 미분방정식의 일반해 미분방정식의 특이해

- 1차 회로의 완전응답은 초기조건에 의해 결정- 초기조건이주어진 시각

τ0tt

Ke−−

=자연응답 τt

Ke−

=자연응답- 상수 K 는 초기조건에 의해결정

0tt =( )δτ ++=

−tMKetv

t

c 1000cos)(



입력전압이

1) 상수인 경우

2) 지수함수인 경우

3) 정현파 입력인 경우를 고려

Step 1 : 회로가 변화되기 이전의 강제응답을 구함 (초기조건)

Step 2 : 회로가 동작한 이후의 강제응답

Step 3 : 완전응답을 구하기 위해 강제응답 + 자연응답

자연응답은 초기조건을 사용.

1차 회로의 완전응답을 얻기 위한 계획

OS VtV =)(τ/)( t

OS eVtV −⋅=

( )θω +⋅= tCosVtV OS )(



장의 구성장의 구성

8.0 개요

8.1 설계문제

8.2 신호와 통신

8.3 상수 입력에 대한 1차 회로 응답

8.4 순차스위칭

8.5 1차 회로의 안정성

8.6 단위계단 전원

8.7 비 상수 입력에 대한 1차 회로 응답

8.8 미분 연산자

8.9 검증 예제

8.10 설계문제


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Figure 8.1-1(a) A printer connected to a laptop computer. (b) Two circuits connected by a cable and (c) an equivalent circuit.

8.1 Design Challenge8.1 Design Challenge

RG58 Cable : ]/[54.0 mr Ω=]/[88 mpFc =

송신기의 출력전압

OHV OLV논리 1: 논리 0:

TTL 사용 시 : ][4.2 VVOH = ][4.0 VVOL =

수신기의 입력전압

][0.2 VVIH = ][8.0 VVIL =



Figure 8.1-2 Voltages that occur during a transition from a logic 0 to a logic 1.

지연시간Δt

송신율

2개의 TTL 회로가 RG58 케이블로 연결될 경우지연시간이 2[ns]보다 작게 하기위한 케이블의 길이는?

2개의 TTL 회로가 RG58 케이블로 연결될 경우지연시간이 2[ns]보다 작게 하기위한 케이블의 길이는?



8.2 Signals and Communications8.2 Signals and Communications- 전기회로의 주된 응용분야 : 에너지 전달, 메시지 전달

- 신호의 전달방법은 시각마다 변화되는 전압 또는 전류 : 전화기

- 각종 신호의 종류

0)( Vtv =

0,0)( <= ttv

0,)( 0 >= tVtv

0,0)( <= ttv

0,)( 0 >= − teVtv at

직류

Step

Decayingexponential

0,0)( <= ttv0,)( ≥= tKttv

10 0,)( ttVtv <<=

elsewheretv ,0)( =

( )θω += tVtv sin)( 0

Ramp

Pulse

Sinusoid


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Figure 8.2-1Common forms of electrical signals shown on the screen of an oscilloscope. Courtesy of Panasonic Industrial Co.

전기통신 발전 연대표는 표 8.2-2를 참조



Figure 8.2-2(a) An analog signal and the corresponding sampled signal. (b) A digital signal obtained by encoding the sampled signal.

- analog signal and digital signal examples



Figure 8.2-3(a) A signal is sent from the transmitter to the receiver using a cable. (b) The cable is modeled as a first-order circuit.


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Figure 8.3-1(a) A first-order circuit containing a capacitor. (b) After the switch closes, the circuit connected to the capacitor is replaced by its Thévenin equivalent circuit.

8.3 The Response of a First-Order Circuit to a Constant Input8.3 The Response of a First-Order Circuit to a Constant Input

후, 일정한 값의 입력이 인가될 때 1차 회로의 완전 해를 구한다.0t

스위치 동작이전에는정상상태

0t : 스위치 동작 순간

soc VRR

RV32

3

+=

32

32

RRRRRTH +

=

테브난등가회로



)()( tvdtdCti =

)()()()( tvtvdtdCRtvtiRV THTHOC +

=+=

CRV

CRtvtv

dtd

TH

OC

TH

=+ )()((8.3-1)

First order differential equation

KVL



1차 미분 방정식의 다른 예1차 미분 방정식의 다른 예

Figure 8.3-2(a) A first-order circuit containing an inductor. (b) After the switch closes, the circuit connected to the inductor is replaced by its Norton equivalent circuit.

2RVI S

sc =

32

32

RRRRRTH +

=

)()( tidtdLtv =

)()(

)()( tiR

tidtdL

tiRtvI

THTHSC +=+=

SCTHTH ILRti

LRti

dtd =+ )()(

(8.3-2)

First order differential equation

KCL

노튼 등가회로


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CRV

CRtvtv

dtd

TH

OC

TH

=+ )()(

SCTHTH ILRti

LRti

dtd =+ )()(

Ktxtxdtd =+

τ)()(

- τ : Time constant1차 미분방정식의 해(변수분리형)1차 미분방정식의 해(변수분리형)

ττ )()( txK

dttdx −=

ττdt

xKdx =

−Ddt

Kxdx +−=− ∫∫ ττ

1적분상수

( ) DtKx +−=−τ

τ 1ln DtDteeeKx ⋅==−

−+−τττ11

ττt

AeKx−

+=

1차 미분방정식의 표준형



ττt

AeKx−

+= 여기서 A는 회로의 초기조건으로부터 구한다.

t=0 의 순간에서

AKAeKx +=+=−

ττ τ0

)0(

[ ] τττt

eKxKtx−

−+= )0()(

τKxA −= )0(

(8.3-4)

τKtxxt

==∞∞>−

)(lim)(

[ ] τt

exxxtx−

∞−+∞= )()0()()(시정수(Time Constant)

오랜 시간 경과후



응답에서 Time Constant를 구하는 방법 : 앞의 해를 미분하면

[ ] [ ] ττ

τ

tt

exxexxdtdx

dtdtx

dtd −−

∞−−=∞−+∞= )()0(1)()0()()(

[ ])()0(1)(0

∞−−==

xxtxdtd

t τ

0

)(

)0()(

=

−∞=

t

txdtd

xxτ(8.3-5)

[ ] τt

exxxtx−

∞−+∞= )()0()()(


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Figure 8.3-3A graphical technique for measuring the time constant of a first-order circuit.

식(8.3-4)의 그래프

0

)(

)0()(

=

−∞=

t

txdtd

xxτ

[ ] τττt

eKxKtx−

−+= )0()(



1차 미분방정식의 해를 이용한 RC 회로의 적용

)()( tvtx =CRTH=τ CR

VKTH

OC=

식(8.3-4)에 대입

[ ] τττt

eKxKtx−

−+= )0()(

[ ] CRt

OCOCTHeVvVtv

−−+= )0()( (8.3-6)

완전응답 자연응답강제응답

)0()(,0 vtvt ==

OCOC VvVtvt ≅+== )0(0067.09933.0)(,5τ

CRV

CRtvtv

dtd

TH

OC

TH

=+ )()(



1차 미분방정식의 해를 이용한 RL 회로의 적용

)()( titx = THRL=τ

SCTH

IRLK =

식(8.3-4)에 대입

[ ] τττt

eKxKtx−

−+= )0()(

[ ] tLR

SCSC

TH

eIiIti−

−+= )0()( (8.3-7)

완전응답 자연응답강제응답

SCTHTH ILRti

LRti

dtd =+ )()(


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Figure 8.3-4(a) A first-order circuit and (b) an equivalent circuit that is valid after the switch opens. (c) A plot of the complete response, v(t), given in Eq. 8.3-8.

Example 8.3-1Example 8.3-1스위치가 개방된 후의 커패시터 전압?

개방 후 50[ms] 시점의 커패시터 전압은?Sol.

상황 : 커패시터에 2[V]의 전압이일정하게 유지. (초기조건)

][2)0( Vv =

][8 VVoc = ][10 Ω= kRTH

][20][10201021010 363 mssCRTH =×=×××== −−τ

식(8.3-6)을 사용 [ ] CRt

OCOCTHeVvVtv

−−+= )0()(

][68)( 31020 Vetvt

−×−

−=

][51.768)05.0( 3

3

10201050

Vev =−= −

−

××−



Figure 8.3-4(c) A plot of the complete response, v(t), given in Eq. 8.3-8.

][68)( 31020 Vetvt

−×−

−=

][51.768)05.0( 3

3

10201050

Vev =−= −

−

××−



직접 해석직접 해석

)()( tvdtdCti =

)()()()( tvtvdtdCRtvtiRV THTHOC +

=+=

CRV

CRtvtv

dtd

TH

OC

TH

=+ )()(

][2)0( Vv =1) 초기조건

2) 회로방정식


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( )OCTH

VtvCR

tvdtd −−= )(1)(

( ) dtCR

tdvVtv THOC

1)()(1 −=−

CRV

CRtvtv

dtd

TH

OC

TH

=+ )()(

( ) DdtCR

tdvVtv THOC

+−=− ∫∫

1)()(1

( ) DtCR

VtvTH

OC +−=− 1)(ln

tCRD

tCR

DtCR

OCTHTHTH eAeeeVtv111

)(−−+−

===−

tCR

OCTHeAVtv1

)(−

+=초기조건을 대입하여 계수 A를 구함

02 eAVOC +=

682 −=−=A

tCRTHetv1

68)(−

−=



Figure 8.3-5(a) A first-order circuit and (b) an equivalent circuit that is valid after the switch closes. (c) A plot of the complete response, i(t), given by Eq.8-3-9.

Example 8.3-2Example 8.3-2스위치 동작 후의 인덕터 전류?

인덕터 전류가 2[mA]에 도달하는 시간?Sol.

상황 : 인덕터 초기전류 (초기조건) ][0)0( Ai =

][4 mAISC = ][1000 Ω=THR

][5][1051000/105/ 63 ssRL TH µτ =×=×== −−

식(8.3-7)을 사용 [ ] tLR

SCSC

TH

eIiIti−

−+= )0()(

[ ] ][14404)( 66 105105 mAeetitt

−=−+= −− ×

−×

−



][14)( 6105 mAetit

−= −×

−

−= −×

− 6105142t

e 에서 t 를 구하면

×−= −

21ln105 6t

][47.3][1047.3 6 ss µ=×= −


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Figure 8.3-6(a) A first-order circuit. The equivalent circuit for (b) t < 0 and (c) t > 0.

Example 8.3-3 Example 8.3-3

스위치가 닫힌 후, 커패시터의 전압?

초기조건

등가회로

][2.7126040

60)0( Vv =×+

=

][8126030

60 VVTH =×+

=



스위치 동작 후의 등가회로

][8 VVoc = ][20 Ω= kRTH

][40][10401021020 363 mssCRTH =×=×××== −−τ

식(8.3-6)을 사용 [ ] CRt

OCOCTHeVvVtv

−−+= )0()(

][8.08)( 31040 Vetvt

−×−

−=



Figure 8.3-7(a) A first-order circuit. The equivalent circuit for (b) t < 0 and (c) t > 0.

Example 8.3-4Example 8.3-4

스위치가 닫힌 후, 인덕터의 전류?

초기조건

][104030012)0( 3 Ai −×==

][106020012 3 AISC

−×==60

mA


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][106020012 3 AISC

−×== ][200 Ω=THR

][25][1025200/105/ 63 ssRL TH µτ =×=×== −−

식(8.3-7)을 사용 [ ] tLR

SCSC

TH

eIiIti−

−+= )0()(

[ ] ][2060][604060)( 66 10251025 mAemAetitt

−− ×−

×−

−=−+=



Figure 8.3-8(a) A first-order circuit, (b) the circuit after the switch opens, and (c) the equivalent circuit after the switch opens.


초기조건

][2)0( Vv =

4V

스위치 개방 후의 전류?

1) 커패시터의 전압을 구한다.

2) 입력과 커패시터 전압에 의한 마디방정식또는 메시방정식으로부터 전류를 구한다.

][486060

60 VVTH =×+

=

][603060606060 Ω=+

+×= kRTH



][4 VVOC=

][120][101201021060 363 mssCRTH =×=×××== −−τ

식(8.3-6)을 사용 [ ] CRt

OCOCTHeVvVtv

−−+= )0()(

][24)( 310120 Vetvt

−×−

−=

마디전압 해석법 적용

4V


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][24)( 310120 Vetvt

−×−

−=

01030)(

106010608

333 =×−+

×+

×− tvvvv aaa

마디방정식

[ ] 0)(28 =−++− tvvvv aaa

3101204)(212 −×

−−=+=

t

a etvv

][7.167.661060

4

1060)( 3

3

101203

10120

3 Aee

vtit

t

a µ−

−

×−

×−

−=×

−

=×

=



Example 8.3-6Example 8.3-6스위치가 개방된 후의 커패시터 전압?

개방 후 50[ms]일 때의 커패시터 전압?

Sol)

상황 : 커패시터에 2[V]의 전압이일정하게 유지. (초기조건)

][2)0( Vv =

][8 VVoc = ][10 Ω= kRTH

][20][10201021010 363 mssCRTH =×=×××== −−τ

식(8.3-6)을 사용 [ ] CRt

OCOCTHeVvVtv

−−+= )0()(

][68)( 31020 Vetvt

−×−

−=

][51.768)05.0( 3

3

10201050

Vev =−= −

−

××−

스위치가 t=50[ms]에서개방하는 것을 제외하고는예제 8.3.1과 동일



][68)( 31020 Vetvt

−×−

−=

][51.768)05.0( 3

3

10201050

Vev =−= −

−

××−


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Example 8.3-7Example 8.3-7스위치 동작 후의 인덕터 전류?

인덕터 전류가 2[mA]에 도달하는 시간?

Sol.

상황 : 인덕터 초기전류 (초기조건) ][0)0( Ai =

][4 mAISC = ][1000 Ω=THR

][5][1051000/105/ 63 ssRL TH µτ =×=×== −−

식(8.3-7)을 사용 [ ] tLR

SCSC

TH

eIiIti−

−+= )0()(

[ ] ][14404)( 66 105105 mAeetitt

−=−+= −− ×

−×

−스위치가 t=10[us]에서 개방하는 것을 제외하고는예제 8.3.2와 동일



[ ] ][14404)( 66 105105 mAeetitt

−=−+= −− ×

−×

−

−= −×

− 6105142t

e

×−= −

21ln105 6t

][47.3][1047.3 6 ss µ=×= −



Figure E 8.3-1

Exercise 8.3-1Exercise 8.3-1

][3)0( Vv = 2=OCV 8=THR초기조건

][104.01005.08 66 sCRTH−− ×=××==τ

[ ] CRt

OCOCTHeVvVtv

−−+= )0()(

[ ] ττtt

eetv−−

+=−+= 2232)(


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Figure E 8.3-2

초기조건

][3/1)0( Ai =

2=OCV8=THR

][75.04/38/6/ sRL TH ====τ

등가회로

][4/1 AISC =

[ ] tLR

SCSC

TH

eIiIti−

−+= )0()(

[ ] ττtt

eeti−−

⋅+=−+= 12/14/14/13/14/1)(




Figure E 8.3-3

초기조건

][1.01040160

120

4010161016

121016

10

)0( Ai =+

=+

+×+=

스위치 동작 후 등가회로

][5.040/20/ sRL TH ===τ

[ ] tLR

SCSC

TH

eIiIti−

−+= )0()(

[ ] ττtt

eeti−−

⋅−=−+= 2.03.03.01.03.0)(




Figure E 8.3-4

초기조건

][12)0( Vv =

스위치 동작 후의 회로

12=OCV 200=THR

][1041020200 36 sCRTH−− ×=××==τ

[ ] CRt

OCOCTHeVvVtv

−−+= )0()(

[ ] ][12121221)( Vetvt

=−+=−

τ


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Figure E 8.3-5

Sol.

1) 스위치가 동작한 후의 인덕터 전류를 구하고

2) 옴법칙을 활용하여 전압을 구한다.

초기조건 0)0( =i스위치 동작 후 등가회로

9[V]

5[Ω]

45[Ω]

1/5[A]

][9/545/25/ sRL TH ===τ

[ ] ][2.02.02.002.0)( Aeetitt

ττ−−

⋅−=−+=



[ ] ][2.02.02.002.0)( Aeetitt

ττ−−

⋅−=−+=

][8

2.05925)2.02.0(40

25)(40)(

Ve

ee

dtdititv

t

tt

τ

ττ

−

−−

+=

××+⋅−×=

+×=




Figure E 8.3-6

Sol.

1) 인덕터 전류

2) 전압

(1) 초기조건

][5.0)0( Ai =

(2) 스위치 동작 후의 등가회로

][60600400

600100 VvOC =+

×=][09375.0640/60 AiSC ==

640=THR


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][1015625.0640/1.0/ 3 sRL TH−×===τ(3) 시정수

(4) 전류 해

[ ] ττtt

eeti−−

+=−+= 40625.009375.009375.05.009375.0)(

(5) 전압 구하기



τt

eti−

+= 40625.009375.0)(

][5.975.37

40625.01.06401.0)40625.009375.0(400

1.0)(400)(

Ve

ee

dtdititv

t

tt

τ

ττ

−

−−

−=

×−×++×=

+×=

][1015625.0640/1.0/ 3 sRL TH−×===τ



Figure 8.4-1(a) A circuit with sequential switching. (b) The equivalent circuit before t = 0. (c) The equivalent circuit for 0 < t < l ms. (d) The equivalent circuit after t = 1 ms.

8.4 Sequential Switching8.4 Sequential Switching

동일 회로 내에서, 다른 시각에 동작하는 2개 이상의 스위치 동작

10)( =ti

10)0()0( == −+ ii


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Sol.

][10 mst <<

0=SCI

][10)0()0( Aii == −+

2=THR

][1][1012/102 33 mss =×=×= −−τ

[ ] ][100100)( Aeetitt

ττ−−

=−+=

t=1[ms] 에서 회로 변화 이 때의 상태 조건(초기조건)이 요구

][68.310)1( 001.0001.0

Aei ==−

초기조건



][68.3)1()1( Aii =−=+

][1 mst<

0=SCI 1=THR

][2][1021/102 33 mss =×=×= −−τ

[ ] ][68.3068.30)( Aeetitt

ττ−−

=−+=

초기조건



Figure 8.4-2Current waveform for t ≥ 0. The exponential has a different time constant for 0 ≤ t < t1 and for t ≥ t1 where t1 = 1 ms.

][68.3)( Aetit

τ−

=

][10)( Aetit

τ−

= ][1ms=τ

][2 ms=τ


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Figure 8.4-3 A comparator.

=)(tvO−+ > vvVH

−+ < vvVL

비교기(Comparator)의 동작비교기(Comparator)의 동작



Figure 8.4-4A comparator is used to compare the capacitor voltage, vc (t), to a threshold voltage, VT.

1차 회로를 사용한 비교기

)0(CTA vVV >>초기 가정 :

=)(tvOTCH VtvV >)(

TCL VtvV <)(

[ ] τt

ACAC eVvVtv−

−+= )0()(



비교기의 출력이 변화되는 시각계산 1t

[ ] τ1

)0(t

ACAT eVvVV−

−+=

−

−=AT

AC

VVVvt )0(ln1 τ (8.4-1)


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Figure 8.4-5The initial capacitor voltage is vc(0) = 1.667 volts, and the comparator output is to switch from VL = 0 to VH = 5 volts at time t1 = 1 ms.

Exam. 8.4-1Exam. 8.4-1

][35667.1)0( VvC ==

에서 출력이 변화하기 위한 R?][11 mst =

Sol. 식 (8.4-1)을 사용

001.0)2ln(1053/1053/5ln101)0(ln 66

1 =×=

−−××=

−

−= −− RRVVVvtAT

ACτ

R에 대해서 풀면 ][44.110)2ln(

1016

3

Ω=×

×= −

−

kR

[ ] τ1

)0(t

ACAT eVvVV−

−+=



Figure 8.4-6A comparator is used to compare the resistor voltage, vR(t), to a threshold voltage, VT.

Exam. 8.4-2Exam. 8.4-2

)(tvR Tv

)0(LTA RiVV >>

일 때, 비교기 출력전압이 바뀌는시각은?

Sol. )()( tRitv LR =t

LR

AL

AL e

RVi

RVti

−

−+= )0()(

t1은 일 때의 시각TL VtRi =)(

( ) 1)0(t

LR

ALAT eVRiVV−

−+=

−

−=AT

AL

VVVRi

RLt )0(ln1




Figure E 8.4-1

][5.1)0( Vvc =

비교기 출력이 t1=1[ms]에서 변화되기위한 VT 값은?

Sol.

[ ] [ ] ][88.255.15)0( 63

31

101102101

VeeVvVVt

ACAT =−+=−+= −

−

××××−−

τ


2007-10-05





Figure E 8.4-2

][1)0( mAiL =

비교기 출력이 t1=10[ms]에서 변화되기위한 L 값은?

Sol.

−+=×=

− tLR

AL

ALR e

RVi

RVtitv )0(300)(300)(

5.15005101

5005300

310105003 =

−×+=

−×−− Le

][51.8

51050055.05ln

5

5005101

5005

3005.1

ln

5

3

3

HL =

−×−×

−=

−×

−

−=

−

−



8.5 Stability of First-Order Circuits8.5 Stability of First-Order Circuits

1차 회로의 자연응답τt

n Ketx−

=)(

1차 회로의 완전 응답 = 자연응답 + 강제응답 )()()( txtxtx fn +=

자연응답

: 자연응답은 영으로 수렴 안정∞→> t,0τ

∞→< t,0τ : 자연응답은 무한값으로 발산 불안정

안정된 1차 회로의 설계 0>==TH

TH RLCRτ

회로 구성에 있어서 등가저항은 음의 값을 가질 수도 있다 :

연산증폭기, 트랜지스터 등의 종속전원이 포함된 회로



Figure 8.5-1(a) A first-order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the initial condition. (c) The circuit used to calculate Voc. (d) The circuit used to calculate RTH.

Exam. 8.5-1Exam. 8.5-1

종속전원이 포함된 회로에서스위치 동작 후의 커패시터 전압을 구하라?

Sol.

초기조건 계산등가회로

초기조건계산 테브난 등가회로 정상응답

종속전류원

마디에서 KCL 적용

0)(2)( =− titi0)0( =i

][12)0( Vv =


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Figure 8.5-1(a) A first-order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the initial condition. (c) The circuit used to calculate Voc. (d) The circuit used to calculate RTH.

스위치 동작 후 테브난 등가회로

OCv 루프의 전압방정식

iii ××−=−××+××= 333 105)(101010512

][104.2 3 Ai −×−=

][241010)( 3 VivOC =××−=

종속전원이 있을 경우 등가저항은?



등가저항을 구하기 위한 등가회로

외부전원인가

T

TTH IVR =

전압방정식 : ( ) ( ) 021010105 33 =−+××+× iiIi T TIi 2=

( ) ( ) ( ) 33 101021010 ××−=−+××= TTT IiiIV

][1010 3 Ω×−==T

TTH I

VR 등가저항이 음수로 됨불안정한 회로



310201224)( −×−=t

etv

회로가 불안정할 경우 강제응답을 정상상태 응답으로 간주하는것은 적절하지 못함

][241010)( 3 VivOC =××−=

][1010 3 Ω×−==T

TTH I

VR


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Figure 8.5-2(a) A first order circuit containing a dependent source. (b) The circuit used to calculate the Thévenin resistance of the part of the circuit connected to the capacitor.

Exam 8.5-2Exam 8.5-2이 회로가 안정하기 위한 종속전원의 계수 B=?

회로의 시정수는 20[ms]가 되도록 설계.

Sol.

초기조건은 앞의 예제와 동일

테브난 등가저항 계산으로부터해를 구한다.

테브난 등가저항 계산을 위한 회로



전압방정식 : 0105 3 =+× TVi 3105×−= TVi

종속전원 상위마디에 KCL 01010 3 =−

×++− T

T IVBii

010101

1051

33 =−

×+

×−

TT IVB

BBIVR

T

TTH 23

1010

10101

1051

13

33−×=

×+

×−==

등가저항이 양의 값이 되기 위한 조건은 2/3<B



시정수 20[ms]의 조건으로부터

][10101021020 3

6

3

Ω×=××== −

−

CRTH

τ

33

1010231010 ×=

−×=B

RTH 1=B

결과적으로 B=1 이면 회로는 안정하게 동작한다.


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Figure 8.6-1Application of a constant-voltage source at t = t0 using two switches both acting at t = t0.

8.6 The Unit Step Source8.6 The Unit Step Source

0tt < 0=Output

0tt > 1=Output단위계단함수

><

=−0

00 1

0)(

tttt

ttu (8.6-1)

t=t0 에서는 크기가 정의되지 않으며,

순간적으로 0 1로 변함.Figure 8.6-2Unit step forcing function. u(t − t0).

0tt <

0tt >

0=v

0Vv =



Figure 8.6-1Application of a constant-voltage source at t = t0 using two switches both acting at t = t0.

)()( 0ttuVtv O −=

Figure 8.6-3Single-switch equivalent circuit for the step voltage source.



Figure 8.6-4Symbol for the step voltage source of magnitude V0 applied at t = t0.

계단 전압원 기호

• 계단응답

회로의 초기조건은 영 상태에서

계단 전압원이 공급될 때의 회로 응답

함수)( tu −

><

=−0001

)(tt

tu

><

=−0

00 0

1)(

tttt

ttu


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Figure 8.6-5(a) Rectangular voltage pulse. (b) Two-step voltage waveforms that yield the voltage pulse.

Pulse Source

<<<<

=tttttVtt

tv O

1

10

0

0

0)(

Figure 8.6-6Two-step voltage sources that yield a rectangular voltage pulse, v(t) with a magnitude of V0 and a duration of (t1 − t0) where t0 < t1.

)( 0ttuVO −

)( 1ttuVO −−

)()()( 10 ttuVttuVtv OO −−−=



• 단위계단함수는 이상적인 모델임을 명심

• 실제, t=t0 에서 순간적으로 스위칭 되는 소자는 존재하지 않음

전환시간이 매우 짧은 경우(예: 1ns) , 순간적인 스위칭으로 간주

회로의 시정수에 비해 스위칭 시간이 짧으면 무시 가능



Figure 8.6-7Pulse source connected to an RL circuit. The pulse is generated by the combination of two-step voltage sources each with units in volts.

RL회로에 펄스전원 인가

t0=0로 가정.

펄스신호는 지속시간 동안영이 아닌 일정한 값

01 ttt −=∆

0)0( =i 상태에서 펄스 인가

?)( =ti

중첩의 원리 적용

21 iii +=

−=

−−τntt

O eRVi 1

0≥t

1tt ≥

−=

−τt

O eRVi 11

−=

−−=

−−−−11

11

2ττtt

Ott

O eRVe

RVi


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전체 전류

−

−

=+=−

−

1

1

121ττ

τ

ttO

tO

eeRV

eRV

iii10 tt ≤<

1tt >

Figure 8.6-8Response of the RL circuit shown in Figure 8.6-7.

−=

−τ1

1)( 1t

O eRVti

−=

−1)2(

112

1ττtt

O eeRVti

−=

−−ττ11 2 tt

O eeRV



Example. 8.6-1Example. 8.6-1

)(84)( tutvs −=

?)(0 =ti

Sol

0<t

0>t

4)( =tvs

][2.020/4)0(0 Ai ==

[sec]5.020/10/ === RLτ

τt

eiiiti−

∞−+∞= )]()0([)()(

ττtt

eeti−−

+−=−−+−= 4.02.0)]2.0(2.0[2.0)(




)(147)( tutvs −=

?)(0 =tv

Sol

0<t

0>t

7)( =tvs

][375.48/57)0(0 Vv =×=

[sec]8625.046.05353 =

+⋅== CRTHτ

τt

evvvtv−

∞−+∞= )]()0([)()(0

ττtt

eetv−−

+−=

×−−×+×−= 75.8375.4]

857

857[

857)(0


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Figure E 8.6-1

Exercise 8.6-1Exercise 8.6-10)0( =−v ][10 AI =

5.01 =t 일 때

Sol.

][10 st << 동안의 응답?

2구간으로 나누어 해석

][5.00 st <<

][15.0 st <<

?)( =tv



10 tt <<

110 =×= IVOC

0)0()0( =+=− vv초기조건 :

1)( =∞v [ ] CRt

OCOCTHeVvVtv

−−+= )0()(

[ ] tt

eetv 101.0 1101)( −−−=−+=

τt

Aevtv−

+∞= )()(RC 직렬회로의표준응답

초기조건을 대입하여 A를 구함

01)0( 0 =+= Aev1−=A



tt <1초기조건 :

0)( =∞v

5.01 == tttetv 101)( −−=

5.0101 1)( ×−−= etv

τt

evvvtv−

∞−+∞= )]()0([)()(

( ) ττtt

eeetvtv−−−

−=−+= 51 1]0)([0)(


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tetv 101)( −−= ( ) τt

eetv−−−= 51)(

tt <110 tt <<




Figure E 8.6-2

?)( =tv

][1001 mst = ][1.0 FC µ= ][200 Ω= kR

Sol.

tt <110 tt <<

2개의 구간으로 나누어 해석



10 tt <<a)

0)0()0( =+=− vv초기조건 :

10)( =∞v

τt

Aevtv−

+∞= )()(RC 직렬회로의표준응답

010)0( 0 =+= Aev

10−=A


−=

−τt

etv 110)(

][1020101.010200 363 sRC −− ×=×××==τ


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][9326.9110)( 3

3

102010100

1 Vetv =

−= −

−

××

−

tt <1b)

초기조건

시정수는 변동 없음

τt

Aevtv−

+∞= )()(

0)( =∞v

RC 직렬회로의표준응답

9326.90)( 01 =+= Aetv

9326.9=A

초기조건을 대입하여 A를 구함 τt

etv−

= 9326.9)(



Figure E 8.6-3


?)( =ti

Sol. 입력전류 파형이 폭 0.2[s]의 펄스형태이므로 2개의 구간으로 나누어 해석

tt <110 tt <<



10 tt << ][2.01 st =

0)0()0( =+=− ii초기조건 :

][5)( Ai =∞

τt

Aeiti−

+∞= )()(

RL 회로의 표준응답

05)0( 0 =+= Aei

5−=A


−=

−τt

eti 15)(

][1.02/2.0/ sRL ===τ정상조건 :

시정수 :


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tt <1

][323.415)2.0( 1.02.0

Aei =

−=

−초기조건 :

][0)( Ai =∞정상조건 :

τt

Aeiti−

+∞= )()(

RL 회로의 표준응답

323.40)0( 0 =+= Aei

323.4=A

초기조건을 대입하여 A를 구함τt

eti−

= 323.4)(



tt <1

10 tt <<

τt

eti−

= 323.4)(

−=

−τt

eti 15)(

and rc circuits ch. 8 the complete response of rl 2007-10...

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