라플라스변환 - chibum lee · pdf file라플라스변환의의미 시간영역...
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라플라스변환
기계시스템디자인공학과
의의: 미분방정식 대수방정식
정의 :
f(t) F(s)
여기서, s는 복소변수
그리고 f(t) = 0, for t<0
라프라스 연산자의 선형성
라플라스 변환(Laplace Transform)
0
)()( dtetfsF st
ℒ[𝑎𝑓 𝑡 ] = aℒ[𝑓 𝑡 ]ℒ[𝑓 𝑡 + 𝑔(𝑡)] = ℒ 𝑓 𝑡 + ℒ[𝑔 𝑡 ]
라플라스 변환의 의미
시간영역미분 방정식
시간영역의해(解)
주파수영역대수 방정식
주파수영역의해(解)
시간영역T-domain
주파수영역S-domain
)t(1)t(u
)t(bu)t(ax)t(x
s/1)s(U
)s(bU)s(X)as(
)e1(a
b)t(x at
)as(s
b)s(X
대수방정식 해간단
미분방정식 해복잡
𝓛
𝓛−𝟏
지수함수 (Exponential):
유도 :
단위계단파 함수 (Unit Step):
유도 :
라플라스 변환 예제
)(
1
)(
10
)(
)(
0
)(
0
)(
0
asasas
e
dtedteesF
tas
tasstat
atetf )(
)(1)( ttf
sss
e
dtedtetsF
st
stst
110
)(1)(
0
00
)(1 t
램프함수(Ramp):
참고 곱의 미분공식 이용
이항하면
여기서
라플라스 변환 예제
20
st
0
st
0
st
0
st
0
st
0
st
s
1dte
s
1dt
s
e
s
et
dts
edt)
s
et(dtte)s(F
ttf )(
)t(g)t(f)t(g)t(f)t(g)t(f
)t(g)t(f)t(g)t(f)t(g)t(f
stetgttf )(,)(
곱의미분
01
limlimlim
sttstt
st
t see
tte
참고
L'Hôpital의 정리
라플라스 변환 예제
단위 임펄스 함수(Unit Impulse):
참고
0,
0,0)()(
t
tttf
단, 1)(
dtt
)}t(1)t(1{1
lim)t(0
X 축으로 평행이동
=-)(1 t
)(1t
)(1)(1 tt
라플라스 변환 예제
단위 임펄스 함수 라플라스변환
1lim1
lim011
lim
11lim
)(1)(1{1
lim
)}(1)(1{1
lim
)(lim)]([)(
000
0
00
00
00
|
s
se
s
e
s
e
s
s
e
s
dtetdtet
dtett
dtettLsF
sss
st
stst
st
st
노피탈의정리
단위계단파적분구간에서 함수가 0인 부분은 적분해도 0이므로….
라플라스 변환 예제
정현파 함수(Sine function)
)tsin()t(f
22
0
sttjtj
0
st
sjs
1
js
1
j2
1
dtej2
ee
dtetsin]t[sinL)s(F
오일러(Euler)의 공식 sinjcose j
j2
eesin,
2
eecos
jjjj
오일러의공식
1j 2
참고
여현파 함수(Cosine function) )tcos()t(f
22
0
sttjtj
0
st
s
s
js
1
js
1
2
1
dte2
ee
dtetcos]t[cosL)s(F
복소수 계산 (공액 복소수)
오일러의공식
22
2
))((
)(
))((
11
ba
a
jbajba
jba
jbajba
jba
jbajba
주요함수의 변환공식
t
1
1
F(s)f(t)
)(t
s/1
2/1 s
ate )/(1 as
tsin )/( 22 s
2)/(1 as
)/( 22 sstcos
atte
mt 1ms/!m
)s(sFlim)0(f
)s(sFlim)(f
s
)s(F]d)(f[L
)0(f]dt
df[sL]
dt
fd[L
)0(f)s(sF]dt
df[L
)s(Fe)]Tt(f[L
)as(F)]t(fe[L
dte)t(f)s(F
s
0s
t
0
2
2
sT
at
0
st
Laplace 변환의 주요 공식
정의
s 영역에서 이동
t 영역에서 이동
미분 공식
정적분 공식
최종값의 정리
초기값의 정리
S영역과 t 영역에서의 이동
공식
유도 :
공식
유도 :
)()()(
)()()]([
0
0
)(
0
asFRFdtetf
dtetfdtetfetfeL
Rt
tasstatat
)()]([ sFeTtfL sT
)(
)()(
)()()]([
0
)(
0
0
sFe
defedef
dteTtfdteTtfTtfL
sT
ssTTs
st
T
st
)()]([ asFtfeL at
ddt
Tt
t 축으로 T 만큼 평행이동
tT
)( Ttf
)(tf
s 축으로 –a 만큼 평행이동
sa
)(sF
)( asF
◁ s 영역 이동
◁ t 영역 이동
공식
유도 :
참고
공식
유도 :
)0(f)s(sFdte)t(fs)0(f
dte)t(f)s(e)t(f
dte)t(f]dt
df[L
0
st
0
st
0
st
0
st
)0(f)s(sF]dt
df[L
미분, 적분의 라플라스변환
ste)t(g
)t(g)t(f)t(g)t(f)t(g)t(f
s
)s(F]d)(f[L
t
0
)0(f)0(sf)s(Fs]dt
fd[L 2
2
2
)0(g)]t(g[sL)]t(g[L)s(F
)t(f)t(g,d)(f)t(gt
0
곱의 미분공식 이용
미분공식 이용
최종값 및 초기값의 정리
공식
유도 :
한편,
공식
유도 :
)s(sFlim)(f0s
)s(sFlim)0(fs
)0(f)(f)t(f
dtdt
dfdte
dt
dflim
0
0
st
00s
)0(f)s(sFlimdtedt
dflim
s
st
0s
)0(f)s(sFlimdtedt
dflim
0s
st
00s
미분공식 이용
라플라스 역변환
기계시스템디자인공학과
라플라스 역변환의 의미
시간영역미분 방정식
시간영역의해(解)
주파수영역대수 방정식
주파수영역의해(解)
시간영역T-domain
주파수영역S-domain
)t(1)t(u
)t(bu)t(ax)t(x
s/1)s(U
)s(bU)s(X)as(
)e1(a
b)t(x at
)as(s
b)s(X
대수방정식 해간단
미분방정식 해복잡
라프라스 변환공식 이용
극점에 따라 부분분수 전개(1)서로 다른, (2)다중, (3)복소
𝓛
𝓛−𝟏
라플라스 역변환 -서로 다른 극점
라프라스 변환 대수방정식 대수방정식의 해 이 해 F(s) 의 분모 다항식 A(s)의 해 (즉 A(s)=0인 s 값) 를 극점(Pole)이라 한다.
극점은 다음 3가지 경우 중에 하나가 된다.
(1) 서로 다른 극점, (2) 다중 극점, (3) 복소 극점
단, 방정식 B(s)=0의 해는 영점(zero)라 한다.
부분분수 전개: 서로 다른 극(pole)을 가질 때
여기서 를 다음과 같이 구할 수 있다..
n
n
2
2
1
1
n21
m21
ps
a
ps
a
ps
a
)ps()ps)(ps(
)zs()zs)(zs(K
)s(A
)s(B)s(F
ka
kps
kksA
sBpsa
)(
)()(
)(
)()(
sA
sBsF
라플라스 역변환 – 다중 극점
부분분수 전개: 다중 극(Multiple pole)을 가질 때
이제 ai 만 구하면 된다. 양변에 을 곱하면
양변에 s=-1을 대입하면 는 아주 간단하게 구할 수 있다.
3
3
2
21
3
2
)1()1()1(
)1(
32
)(
)()(
s
a
s
a
s
a
s
ss
sA
sBsF
2)(
)()1(
1
3
3
ssA
sBsa
2
123
3 )1()1()(
)()1( sasaa
sA
sBs
3)1( s
적어도 하나의 다중 극이란 뜻임.
3a
(𝑠 + 1)3까지의
모든 차수로가정
라플라스 역변환 – 다중 극점
는 양변을 s에 대하여 한번 미분하면 구할 수 있다.
은 또 한번 더 미분 하면 구할 수 있다.1a 1a22
0a
0)|2s2(
)1s(a2a)s(A
)s(B)1s(
ds
d
2
1s
1s12
1s
3
좌변
2a
)t1(e)t(f
)1s(
2
)1s(
1
)1s(
3s2s)s(F
2t
33
2
라플라스 역변환 – 복소 극점
222
2
)2()1s(
2
2
3
2)1s(
3
3s2s
3
)s(A
)s(B)s(F
t2sine2
3)t(f t
부분분수 전개: 복소극점(Complex pole)을 가질 때
완전 제곱꼴로 변형 후 sine 공식이용
참고: 2차식에서 복소근인지 실근인지를 빠르게 구별하는 방법
1) 완전제곱꼴로 바꾸고도 남는항이 양수 복소근
2) 완전제곱꼴로 바꾸고도 남는항이 음수 실근
𝑠2+4𝑠 + 13 = 𝑠2 + 4𝑠 + 4 + 9 = (𝑠 + 2)2+9 = 0
(𝑠 + 2)2= −9 𝑠 + 2 = ∓ −9 𝑠 = −2 ∓ 3𝑗
부분분수 연습
서로 다른 실근
3s
k
2s
k
)3s)(2s(
3)s(G
21
중근을 가질 경우
2
321
2
)2s(
k
2s
k
1s
k
)2s)(1s(
2)s(G
3k
)2s(3s
k)2s(
2s
k
)3s)(2s(
)2s(3
1
2s
21
2s
3k
)3s(3s
k)3s(
2s
k
)3s)(2s(
)3s(3
2
3s
21
3s
2k
k)2s(2s
k)2s(
1s
k
)1s(
2
3
2s
3
2221
2s
2k
)1s()2s(
k)1s(
2s
kk
)2s(
2
1
1s
2
321
1s
2
2)1s(
2k
k)2s(k)2s(1s
k
)1s(
2
2s
22
2s
32
21
2s
부분분수 연습
복소근
)5s4s(s
5)s(G
2
1)2s(
2
1)2s(
)2s(
s
1
1)2s(
2)2s(
s
1
14s4s
4s
s
1
5s4s
4s
s
1
22
2
2
2
)}tsin(2)t{cos(e1)t(g t2
5s4s
ksk
s
k2
321
4k,1k
)5s4s(s
)sksk(5s4s
1k
5s4s
ksk
s
k
32
2
3
2
2
2
1
2
321
계수 구하기
분모에서 완전제곱꼴
분자를S+2로분해
분모가 2차면 1차식으로.
부분분수 연습
중근과 복소근이 모두 포함되었다면
)5s4s(s
5)s(G
22
5s4s
ksk
s
k
s
k2
43
2
21
𝑘2는 양변에 𝑠2을 곱하여 구한다.
5
(𝑠2+4𝑠+5) 𝑠=0= 𝑘2 = 1
𝑘1 은 양변에 𝑠2을 곱한 후 미분
5
(𝑠2+4𝑠+5)
,
𝑠=0=
−5(2𝑠+4)
(𝑠2+4𝑠+5)2𝑠=0
= 𝑘2 = −4/5
𝑘3, 𝑘4나머지는 통분하여 계수비교를 한다.
제어공학연습문제
라플라스 변환/역변환
A. 다음 함수를 라플라스 변환하라.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7)
2t3)t(f ate5)t(f
t3cose8)t(f t4 t42 e)t3t21()t(f
)Tt(1t)t(f t2e2)t()t(f
)tsin()t(f
)Bsin()Asin()Bcos()Acos()BAcos(
)Bsin()Acos()Bcos()Asin()BAsin(
참고:
B. 다음 함수를 라플라스 역변환하라.
1) 2)
3) 4)
5) 6)
)4s(
2)s(F
16s
2)s(F
2
1s
1s)s(F
2
2)2s(
5)s(F
26s10s
13)s(F
2
2s3s
3s3s)s(F
2
2
C. 다음 함수를 Laplas 역변환하라.
1)
2)
3)
)10s)(2s)(1s(s
)1s(20)s(F
2
)39s6s(s
39s5)s(F
2
2
2
)1s)(1s(
1s)s(F
D. 다음 함수를 라플라스 역변환하라.
1)
2)
3)
)8s9s(s
16)s(F
2
)8s4s)(1s(
8)s(F
2
)9s3s(s
4s)s(F
2
E. 다음 함수를 라플라스 역변환하라.
1)
2)
3)
4s5s
16)s(F
2
)7s4s)(1s(
8)s(F
2
)9s6s(s
4s)s(F
2
F. 다음 함수를 라플라스 역변환하라.
1)
2)
3)
2s
3s6)s(F
2)2s)(1s(
2s5)s(F
)2s)(1s(s
)4s(3)s(F
G. 다음 함수를 라플라스 역변환하라.
1)
2)
3)
)1s(s
5s4s2)s(F
2
)s(s
1)s(F
222
1s2s2
1)s(F
2